Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Понятие о моменте силы
Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.
Согласно определению, момент силы относительно оси вращения представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).
- векторная величина
Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.
Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина - это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от к точке приложения силы F¯.
Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.
Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).
В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.
Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.
Физический смысл величины M¯
Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы - это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.
Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.
Момент силы - аддитивная величина
Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.
Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.
Пример решения задачи
Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.
Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 - по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй - отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).
Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) - векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .
Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» - внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
7 кл - 39. Момент силы. Правило моментов
Момент силы тяжести.Гантеля и рука
Сила и масса
Момент силы. Рычаги в природе, технике, быту | Физика 7 класс #44 | Инфоурок
Зависимость углового ускорения от момента сил 1
Субтитры
Общие сведения
Специальные случаи
Формула момента рычага
Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:
| M → | = | M → 1 | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {M}}\right|=\left|{\vec {M}}_{1}\right|\left|{\vec {F}}\right|} , где: | M → 1 | {\displaystyle \left|{\vec {M}}_{1}\right|} - момент рычага, | F → | {\displaystyle \left|{\vec {F}}\right|} - величина действующей силы.Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору r → {\displaystyle {\vec {r}}} , момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:
| T → | = | r → | | F → | {\displaystyle \left|{\vec {T}}\right|=\left|{\vec {r}}\right|\left|{\vec {F}}\right|}Сила под углом
Если сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} направлена под углом θ {\displaystyle \theta } к рычагу r, то M = r F sin θ {\displaystyle M=rF\sin \theta } .
Статическое равновесие
Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.
Момент силы как функция от времени
M → = d L → d t {\displaystyle {\vec {M}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}} ,
где L → {\displaystyle {\vec {L}}} - момент импульса.
Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.
Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.
L o → = I c ω → + [ M (r o → − r c →) , v c → ] {\displaystyle {\vec {L_{o}}}=I_{c}\,{\vec {\omega }}+}Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.
Продифференцируем это выражение по времени. И если I {\displaystyle I} - постоянная величина во времени, то
M → = I d ω → d t = I α → {\displaystyle {\vec {M}}=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}} ,где α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} - угловое ускорение , измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с 2). Пример: вращается однородный диск.
Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:
M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] {\displaystyle {\vec {M_{c}}}=I_{c}{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}+[{\vec {w}},I_{c}{\vec {w}}]} .
Момент силы относительно оси или просто момент силы называется проекция силы на прямую, которая перпендикулярна радиусу и проведена в точке приложения силы умноженная на расстояние от этой точки до оси. Либо произведение силы на плечо ее приложения. Плечо в данном случае это расстояние от оси до точки приложения силы. Момент силы характеризует вращательное действие силы на тело. Ось в данном случае это место крепления тела, относительно которого оно может совершать вращение. Если тело не закреплено, то осью вращения можно считать центр масс.
Формула 1 - Момент силы.
F - Сила действующая на тело.
r - Плечо силы.
Рисунок 1 - Момент силы.
Как видно из рисунка, плечо силы это расстояние от оси до точки приложения силы. Но это в случае если угол между ними равен 90 градусов. Если это не так, то необходимо вдоль действия силы провести линию и из оси опустить на нее перпендикуляр. Длинна этого перпендикуляра и будет равна плечу силы. А перемещение точки приложения силы вдоль направления силы не меняет ее момента.
Принято считать положительным такой момент силы, который вызывает поворот тела по часовой стрелки относительно точки наблюдения. А отрицательным соответственно вызывающий вращение против нее. Измеряется момент силы в Ньютонах на метр. Один Ньютонометр это сила в 1 Ньютон действующая на плечо в 1 метр.
Если сила, действующая на тело, проходит вдоль лини идущей через ось вращения тела, или центр масс, если тело не имеет оси вращения. То момент силы в этом случае будет равен нулю. Так как эта сила не будет вызывать вращения тела, а попросту будет перемещать его поступательно вдоль лини приложения.
Рисунок 2 - Момент силы равен нулю.
В случае если на тело действует несколько сил, то момент силы будет определять их равнодействующая. К примеру, на тело могут действовать две силы равные по модулю и направленные противоположно. При этом суммарный момент силы будет равен нулю. Так как эти силы будут компенсировать друг друга. Если по простому, то представьте себе детскую карусель. Если один мальчик ее толкает по часовой стрелке, а другой с той же силой против, то карусель останется неподвижной.
Лекция 3. Закон сохранения момента импульса.
Момент силы. Момент импульса материальной точки и механической системы. Уравнение моментов механической системы. Закон сохранения момента импульса механической системы.
Математические сведения.
Векторным произведением двух (ненулевых) векторов и называется вектор , который в декартовой системе координат (с ортами , , ) определяется по формуле
.
Величина (площадь прямоугольника на векторах и ).
Свойства векторного произведения.
1) Вектор направлен перпендикулярно к плоскости векторов и . Поэтому для любого вектора , лежащего в плоскости (линейно независимых) векторов и (т.е. ), получаем . Следовательно, если два ненулевых вектора и параллельны , то .
2) Производная по времени от векторного произведения – это вектор 
.
Действительно, (базисные векторы , , - постоянные)
Вектор момента импульса
Вектором момента импульса относительно точки О называется вектор
где - радиус-вектор из точки О, - вектор импульса точки. Вектор направлен перпендикулярно к плоскости векторов и . Точку О иногда называют полюсом . Найдем производную от вектора момента импульса по времени
.
Первое слагаемое в правой части: 
. Так как в инерциальной системе отсчета по второму закону Ньютона (в импульсной форме) , то второе слагаемое имеет вид .
Величина 
называется вектором момента силы
относительно точки О.
Окончательно получаем:
производная от вектора момента импульса относительно точки равна моменту действующих сил относительно этой точки.
Свойства вектора момента силы.
.
3) Момент суммы сил равен сумме моментов каждой из сил 
.
4) Сумма моментов сил относительно точки
при переходе к другой точке О 1 , при которой изменится по правилу
.
Следовательно, момент сил не изменится, если .
5) Пусть , где , тогда 
.
Следовательно, если две одинаковые силы лежат на одной прямой , то их моменты одинаковые . Эта прямая называется линией действия силы . Длина вектора называется плечом силы относительно точки О.
Момент силы относительно оси.
Как следует из определения момент силы, координаты вектора моменты силы относительно координатных осей определяются формулами
, 
, 
.
Рассмотрим метод нахождения момента силы относительно некоторой оси z. Для этого надо рассмотреть вектор момента силы относительно некоторой точки О на этой оси и найти проекцию вектора момента силы на эту ось.
1) Проекция вектора момента силы на ось z не зависит от выбора точки О.
Возьмем на оси z две разные точки О 1 и О 2 и найдем моменты силы F относительно этих точек.
Разность векторов 
направлена перпендикулярно вектору , лежащему на оси z. Следовательно, если рассмотреть орт оси z – вектор , то проекции на ось z равны между собой
Поэтому, момент силы относительно оси z определен однозначно.
Следствие . Если момент силы относительно некоторой точки на оси равен нулю, то равен нулю момент силы относительно этой оси.
2) Если вектор силы параллелен оси z, то момент силы относительно оси равен нулю .
Действительно вектор момента силы относительно любой точки на оси должен быть перпендикулярен вектору силы, поэтому он также перпендикулярен и оси, параллельной этому вектору. Поэтому проекция вектора момента силы на эту ось будет равна нулю. Следовательно, если разложение вектора силы на компоненту параллельную оси, и компоненту , перпендикулярную оси, то
3) Если вектор силы и ось не параллельны, но лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю. Действительно, в этом случае вектор момента силы относительно любой точки на оси направлен перпендикулярно этой плоскости (т.к. вектор тоже лежит в этой плоскости). Можно сказать и иначе. Если рассмотреть точку пресечения линии действия силы и прямой z, то момент силы относительно этой точки равен нулю, поэтому и момент силы относительно оси равен нулю.
Итак, чтобы найти момент силы относительно оси z, надо:
1) найти проекцию силы на любую плоскость p перпендикулярную этой оси и указать точку О - точку пересечения этой плоскости с осью z;
Похожая информация.
Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага, открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.
Правило момента сил
Было введено понятие момента сил. Момент силы - это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:
где M - момент силы,
F - сила,
l - плечо силы.
Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:
F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2
В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы. Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы. Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения. То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.
Применение правила моментов сил в различных ситуациях
Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой. Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить. Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.
Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.