Какие точки принадлежат плоскости а.  Начертательная геометрия

Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости? Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии.

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.
2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей.

Положим, что пл.α (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ, а пл. β - двумя параллельными - DE и FG. Согласно первому положе

нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости.

Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис. 107).

Положим, что пл. γ (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС. Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно прямой ВС, принадлежит пл. γ. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (рис. 108).

Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой плоскости. Это не требуется.

Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости, заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM должна быть параллельна пл. π 1 . Построение начато с проведения проекции А"М" перпендикулярно к линии связи А"А". По точке М" найдена точка М", и затем проведена проекция А"М". Прямая AM отвечает условию: она параллельна пл. π 1 И лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М), заведомо принадлежащие этой плоскости.

Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной плоскости, и на этой прямой берут точку.

Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее горизонтальная проекция D" и известно, что точка D должна лежать в плоскости, определяемой треугольником АВС (рис. 110).

Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А" и D" и отмечают точку М", в которой прямая A"D" пересекает отрезок В"С". Построив фронтальную проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости: эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена.

Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной проекции прямой AM.

Другой пример дан на рис. 111. В пл. β, заданной параллельными прямыми АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная проекция - точка К

Через точку К" проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам E" и F" строим Е" на А"В" и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. β, так как проходит через точки Е и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять точку К" на E"F", го точка К окажется в пл.β

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем горизонтали, фронтали 1) и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций . Линию наибольшего наклона к пл. π 1 , будем называть линией ската плоскости 2).

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в пей и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником АВС. Требуется провести горизонталь через вершину А (рис. 112).

Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл.π 1 , то фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К"⊥А"А". Для построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим точку К" и проводим прямую через точки А" и К".

Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной плоскости: эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций π 1 .

Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами.

Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей («нулевая» горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости сводится

к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси проекций.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π 2 .

Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Пост роение выполнено аналогично построению горизонтали (см. рис. 112).

Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с проведения горизонтальной проекции фронтали - прямой А"К", так как направление этой проекции известно: А К"⊥А"А". Затем строим фронтальную проекцию фронтали - прямую А"К".

1)Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать также ее профильные прямые - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные пл. π 3 . Для горизонталей, фронталей и профильных прямых встречается общее название - линия уровня. Однако такое название отвечает обычному представлению только о горизонтальности.

2)Для линии ската плоскости распространено название «линия наибольшего ската», но понятие «скат» по отношению к плоскости не требует добавления «наибольший».

Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости: эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна пл, π 2 .

Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис, 108, справа, на котором изображена пл. β и прямая МВ, устанавливаем, что эта прямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальному следу («нулевой» фронтали) плоскости, Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям π 1 , π 2 и π 3 называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае определяется наклон к пл.π 1 , во втором - к пл. π 2 , в третьем - к пл. π 3 . Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно, соответственно брать ее следы.

Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. к π 1 , называется линией ската плоскости.

Согласно правилам проецирования прямого угла (см, § 15) горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после горизонтальной и может занимать различные положения в зависимости от задания плоскости. На рис, 114 изображена линия ската Пл. α: ВК⊥h" 0α . Так как В"К также перпендикулярна к h" 0α , то ∠ВКВ" есть линейный угол

двугранного, образованного плоскостями α и π 1 Следовательно, линия ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций π 1 .

Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл, π 2 служит для определения угла между этой плоскостью и пл, π 2 , а линия наибольшего наклона к пл.π 3 - для определения угла.с пл. π 3 .

На рис, 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл, α с пл.π 1 выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В" и горизонтальной в виде отрезка К"В". Определить величину этого угла можно, построив прямоугольный треугольник по катетам, равным К"В" и В"В".

Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой плоскости. Например, если (рис. 115) задана линия ската КВ, то, проведя перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций х и проведя h" 0α ⊥ К"В", мы вполне определяем плоскость, для которой КВ является линией ската.

Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным образоии горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве вспомогательных.

На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К" точки К. Требовалось найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В.

Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К и лежащая в заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь МN: ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К". Затем построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали.

Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N".

На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции А" точки А, принадлежащей пл.α, найдена ее горизонтальная проекция (А"); построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа аналогичная задача решена при помощи фронтали MN.

Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската плоскости (АВ) и горизонтальная проекция точки (К"). Справа на рис. 118 показано построение; через точку К" проведена (перпендикулярная к А"В") горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая проекция К".

На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. α, в которой эта кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек, находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции кривой.

Стрелками показан ход построения фронтальной проекции А" по горизонтальной проекции А".

Вопросы к §§ 16-18

1. Как задаетcя плоскость на чертеже?
2. Что такое след плоскости на плоскости проекций?
3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа плоскости?
4. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости?
5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?
6. Что такое фронталь, горизонталь и линия ската плоскости?
7. Может ли служить линия ската плоскости для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций π 1 ?
8. Определяет ли прямая линия плоскость, для которой эта прямая является, линией ската?

Одной из задач, для решения которых применяются линии уровня, является задача на построение проекций точки, принадлежащей плоскости. Пусть имеется фронтальная проекция D 2 точки D принадлежащей плоскости, заданной следами k X l (рис. 111, а). Требуется найти горизонтальную проекцию D 1 точки D.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости. Решаем задачу с помощью горизонтали h плоскости k X l. Через точку D 2 проводим фронтальную проекцию h 2 этой горизонтали, которая, как известно, должна быть параллельна оси х 12 (Рис. 111 б). Она пересечет фронтальную проекцию k 2 фронтального следа k к точке N 2 ; проведя вертикальную линию связи, найдем на оси проекций х 12 горизонтальную проекцию фронтального следа N горизонтали (см. рис. 108).

TBegin-->TEnd-->

Горизонтальная проекция h 1 горизонтали должна быть параллельна l 1 , Горизонтальную проекцию D 1 точки D найдем на горизонтальной проекции h 1 горизонтали в точке пересечения ее с вертикальной линией связи, проведенной через точку D 2 .

Эту задачу можно было бы решить также с помощью фронтали. В этом случае пришлось бы через точку D 2 провести фронтальную проекцию f 2 ||k 2 . Советуем учащимся выполнить построение самим. Результат должен быть одинаковым с первым построением.

Несколько изменим условия задачи. Пусть будет задана горизонтальная проекция Е 1 точки Е и плоскость ABC, определенная проекциями треугольника (рис, 112, а), В этой задаче нельзя воспользоваться горизонталью плоскости, поскольку отсутствует фронтальная проекция точки Е. Применяем фронталь f; через точку E 1 проводим горизонтальную проекцию (х фронтали, находим ее фронтальную проекцию l2 и на ней точку Е 1 .

Точку в плоскости можно построить не только с помощью горизонтали и фронтали, но и с помощью прямой общего положения. В некоторых случаях это даже удобнее.

TBegin-->
TEnd-->

Построение прямой общего положения, принадлежащей плоскости общего положения, принципиально не отличается от построения горизонталей и фронталей, принадлежащих плоскости. Построение основано на положении, известном из геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она имеет две общие точки с этой плоскостью. Таким образом, если мы пересечем одну из проекций плоскости произвольной прямой и используем две точки пересечения этой прямой с линиями, принадлежащими плоскости, для построения второй проекции линии, то мы сможем решить задачу. Для примера решим предыдущую задачу с помощью прямой общего положения (рис. 112, б). Через точку Е 1 проводим прямую D 1 F 1 любого наклона; находим фронтальную проекцию D 2 F 2 линии DF, используя точки пересечения D 1 и F 1 . На пересечении фронтальной проекции D 2 F 2 с вертикальной линией связи находим фронтальную проекцию Е 1 точки Е.

программа передач на сегодня : Animal Planet, Bloomberg, 3 канал, CNN, Ajara TV, Classic Sport, Amazing Life, AB Moteurs Luxe HD, Jetix, Jetix Play, Mezzo, HD Кино, Discovery Channel, MCM, MGM, HD Life, Discovery Science.

Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Задача: Плоскость S задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М 2) принадлежит плоскости.

Найти М 1.

Краткая запись условия задачи: S(а Ç b), М(М 2)Î S; М 1 = ?

Решение: Через точку М 2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую

kÌ S: k 2 Ç a 2 =1 2 ; k 2 Ç b 2 =2 2 ;

затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 1 1 и 2 1 проводим прямую k 1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М 1 . И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.

Прямая принадлежит плоскости, если она:

1. Проходит через две точки плоскости;

Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.

Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).

Точка М(М 1) принадлежит Г . Найти М 2 .

М(М 1)Î Г(АВС). М 2 = ?

Решение:

Через точку М 1 (рис.2-6) проведём прямую k , параллельную стороне треугольника АВ . Она пересечёт сторону АС в точке 1 : k 1 || A 1 B 1 ; k­ 1 A 1 Ç C 1 =1 1 ; с помощью линии связи найдём 1 2 , проведём k 2 параллельно А 2 В 2 ней найдём точку М 2 :

Алгоритмическая запись решения:

1 1 Î A 1 C 1 Þ 1 2 Î A 2 C 2 ; 1 2 Î k 2 , k 2 || A 2 B 2 ; M 2 Î k 2 .

Как вы думаете?

Сколько решений имеет эта задача?

Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Имеется две группы таких плоскостей:

1. Проецирующие плоскости
2. Плоскости уровня

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей.

Одна из её проекций вырождается в прямую линию, называемую главной проекцией и обладающую собирательными свойствами.

Горизонтально проецирующая плоскость

Это плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций: Г^^ П 1

(рис. 2-7а, 2-7б).

Графический признак:

Горизонтальная проекция Г 1 горизонтально проецирующей плоскости прямая линия, не параллельная и не перпендикулярная линиям связи. Это главная проекция.

Например:

Г ^^ П 1 - горизонтально проецирующая плоскость.

Г^ П 1 Þ Г 1 - прямая линия, главная проекция.

Ðb - угол наклона плоскости Г к П 2 .

Пространственный чертеж

5.1 Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );

· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );

· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );

· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).

Рисунок 5.1

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

5.2 Следы плоскости.

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фрон­тальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может за­нимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3

Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизон­тальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 пер­пендикулярен к оси x.

Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, пря­мых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонталь­ный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.

Рисунок 5.4

Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между задан­ной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизон­тальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плос­кость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная од­новременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Та­ких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и па­раллельна П 2 (рисунок 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).

Рисунок 5.7

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное мно­жество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, зани­мающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, прове­денная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция гори­зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8

Рисунок 5.9

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в за­данной плоскости и параллельная П 3 .

К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).

Признаки принадлежности хорошо известны из курса планиметрии. Наша задача рассмотреть их применительно к проекциям геометрических объектов.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

Используя эти свойства, решим в качестве примера задачу. Пусть плоскость задана треугольником АВС . Требуется построить недостающую проекцию D 1 точки D , принадлежащей этой плоскости. Последовательность построений следующая (рис. 2.5).

Через точку D 2 проводим проекцию прямой d , лежащей в плоскости DАВС , пересекающую одну из сторон треугольника и точку А 2 . Тогда точка 1 2 принадлежит прямым А 2 D 2 и C 2 В 2 . Следовательно, можно получить ее горизонтальную проекцию 1 1 на C 1 В 1 по линии связи. Соединив точки 1 1 и А 1 , получаем горизонтальную проекцию d 1 . Ясно, что точка D 1 принадлежит ей и лежит на линии проекционной связи с точкой D 2 .

Достаточно просто решаются задачи на определение принадлежности точки или прямой плоскости. На рис. 2.6 показан ход решения таких задач. Для наглядности изложения задачи плоскость задаем треугольником.

Рис. 2.6. Задачи на определение принадлежности точки и прямой плоскости.

Для того, чтобы определить принадлежит ли точка Е плоскости DАВС , проведем через ее фронтальную проекцию Е 2 прямую а 2 . Считая, что прямая а принадлежит плоскости DАВС , построим ее горизонтальную проекцию а 1 по точкам пересечения 1 и 2. Как видим (рис. 2.6, а), прямая а 1 не проходит через точку Е 1 . Следовательно, точка Е ÏDАВС .

В задаче на принадлежность прямой в плоскости треугольника АВС (рис. 2.6, б), достаточно по одной из проекций прямой в 2 построить другую в 1 * считая, что вÌDАВС . Как видим, в 1 * и в 1 не совпадают. Следовательно, прямая в Ë DАВС .

Линии уровня в плоскости

Определение линий уровня было дано ранее. Линии уровня, принадлежащие данной плоскости, называются главными . Эти линии (прямые) играют существенную роль при решении ряда задач начертательной геометрии.

Рассмотрим построение линий уровня в плоскости, заданной треугольником (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

Горизонталь плоскости DАВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h 2 , которая, как известно, параллельна оси ОХ . Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости DАВС , а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А 2 и 1 2 , по линии связи получим горизонтальные проекции (А 1 уже есть) 1 1 . Соединив точки А 1 и 1 1 , имеем горизонтальную проекцию h 1 горизонтали плоскости DАВС . Профильная проекция h 3 горизонтали плоскости DАВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Фронталь плоскости DАВС строится аналогично (рис. 2.7) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f 1 , так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f 3 фронтали должна быть параллельна оси ОZ и пройти через проекции С 3 , 2 3 тех же точек С и 2.

Профильная линия плоскости DАВС имеет горизонтальную р 1 и фронтальную р 2 проекции, параллельные осям OY и OZ , а профильную проекцию р 3 можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с D АВС .