Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Такой вид движения также рассматривается в кинематике. При криволинейном движении вектор скорости тела всегда направлен по касательной к траектории. То же самое происходит и при движении по окружности (см. рисунок). Равномерное движение тела по окружности характеризуется рядом величин.
Период – время, за которое тело, двигаясь по окружности, совершает один полный оборот. Единица измерения – 1 с. Период рассчитывается по формуле:
Частота – количество оборотов, которое совершило тело, двигаясь по окружности, в единицу времени. Единица измерения – 1 об/с или 1 Гц. Частота рассчитывается по формуле:
В обеих формулах: N – количество оборотов за время t . Как видно из вышеприведенных формул, период и частота величины взаимообратные:
При равномерном вращении скорость тела будет определяется следующим образом:
где: l – длина окружности или путь, пройденный телом за время равное периоду T . При движении тела по окружности удобно рассматривать угловое перемещение φ (или угол поворота), измеряемое в радианах.Угловой скоростью ω тела в данной точке называют отношение малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt . Очевидно, что за время равное периоду T тело пройдет угол равный 2π , следовательно при равномерном движении по окружности выполняются формулы:
Угловая скорость измеряется в рад/с. Не забывайте переводить углы из градусов в радианы. Длина дуги l связана с углом поворота соотношением:
Связь между модулем линейной скорости v и угловой скоростью ω :
При движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью изменяется только направление вектора скорости, поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является движением с ускорением (но не равноускоренным), так как меняется направление скорости. В этом случае ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным, или центростремительным ускорением , так как вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру (см. рисунок).
Модуль центростремительного ускорения связан с линейной v и угловой ω скоростями соотношениями:
Обратите внимание, что если тела (точки) находятся на вращающемся диске, шаре, стержне и так далее, одним словом на одном и том же вращающемся объекте, то у всех тел одинаковые период вращения, угловая скорость и частота.
Основные теоретические сведения
Основы динамики
Если в кинематике только описывается движение тел, то в динамике изучаются причины этого движения под действием сил, действующих на тело.
Динамика – раздел механики, который изучает взаимодействия тел, причины возникновения движения и тип возникающего движения. Взаимодействие – процесс, в ходе которого тела оказывают взаимное действие друг на друга. В физике все взаимодействия обязательно парные. Это значит, что тела взаимодействуют друг с другом парами. То есть всякое действие обязательно порождает противодействие.
Сила – это количественная мера интенсивности взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела целиком или его частей (деформации). Сила является векторной величиной. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Сила характеризуется тремя параметрами: точкой приложения, модулем (численным значением) и направлением. В Международной системе единиц (СИ) сила измеряется в Ньютонах (Н). Для измерения сил используют откалиброванные пружины. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра.
Сила, оказывающая на тело такое же действие, как и все силы, действующие на него, вместе взятые, называется равнодействующей силой . Она равна векторной сумма всех сил, действующих на тело:
Чтобы найти векторную сумму нескольких сил нужно выполнить чертеж, где правильно нарисовать все силы и их векторную сумму, и по данному чертежу с использованием знаний из геометрии (в основном это теорема Пифагора и теорема косинусов) найти длину результирующего вектора.
Виды сил:
1. Сила тяжести. Приложена к центру масс тела и направлена вертикально вниз (или что тоже самое: перпендикулярно линии горизонта), и равна:
где: g - ускорение свободного падения, m - масса тела. Не перепутайте: сила тяжести перпендикулярна именно горизонту, а не поверхности на которой лежит тело. Таким образом, если тело лежит на наклонной поверхности, сила тяжести по-прежнему будет направлена строго вниз.
2. Сила трения. Приложена к поверхности соприкосновения тела с опорой и направлена по касательной к ней в сторону противоположную той, куда тянут, или пытаются тянуть тело другие силы.
3. Сила вязкого трения (сила сопротивления среды). Возникает при движении тела в жидкости или газе и направлена против скорости движения.
4. Сила реакции опоры. Действует на тело со стороны опоры и направлена перпендикулярно опоре от нее. Когда тело опирается на угол, то сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности тела.
5. Сила натяжения нити. Направлена вдоль нити от тела.
6. Сила упругости. Возникает при деформации тела и направлена против деформации.
Обратите внимание и отметьте для себя очевидный факт: если тело находится в покое, то равнодействующая сил равна нулю.
Проекции сил
В большинстве задач по динамике на тело действует больше чем одна сила. Для того чтобы найти равнодействующую всех сил в этом случае можно пользоваться следующим алгоритмом:
1. Найдем проекции всех сил на ось ОХ и просуммируем их с учетом их знаков. Так получим проекцию равнодействующей силы на ось ОХ.
2. Найдем проекции всех сил на ось OY и просуммируем их с учетом их знаков. Так получим проекцию равнодействующей силы на ось OY.
3. Результирующая всех сил будет находится по формуле (теореме Пифагора):
При этом, обратите особое внимание на то, что:
1. Если сила перпендикулярна одной из осей, то проекция именно на эту ось будет равна нулю.
2. Если при проецировании силы на одну из осей «всплывает» синус угла, то при проецировании этой же силы на другую ось всегда будет косинус (того же угла). Запомнить при проецировании на какую ось будет синус или косинус легко. Если угол прилежит к проекции, то при проецировании силы на эту ось будет косинус.
3. Если сила направлена в ту же сторону что и ось, то ее проекция на эту ось будет положительной, а если сила направлена в противоположную оси сторону, то ее проекция на эту ось будет отрицательной.
Законы Ньютона
Законы динамики, описывающие влияние различных взаимодействий на движение тел, были в одной из своих простейших форм, впервые четко и ясно сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год), поэтому эти законы также называют Законами Ньютона. Ньютоновская формулировка законов движения справедлива только в инерциальных системах отсчета (ИСО) . ИСО – система отсчета, связанная с телом, движущимся по инерции (равномерно и прямолинейно).
Есть и другие ограничения на применимость законов Ньютона. Например, они дают точные результаты только до тех пор, пока применяются к телам, скорости которых много меньше скорости света, а размеры значительно превышают размеры атомов и молекул (обобщением классической механики на тела, двигающиеся с произвольной скоростью, является релятивистская механика, а на тела, размеры которых сравнимы с атомными - квантовая механика).
1)
Пружину жесткостью 90 Н/м
разрезали на три равные части. Определите жесткость каждой из получившихся пружин.
Решение:
Первоначально под действием некоторой силы
F
деформация пружины составляла .
Если подействовать этой силой на любую из получившихся частей пружины, то величина деформации окажется в три раза меньше: 
следовательно, .
Ответ:
270
Н/м.
2)
Под действием некоторой силы материальная точка приобретает ускорение 2 м/с 2
. Каким будет ускорение этой точки, если ее масса увеличится в 1,5 раза, а сила увеличится в 3 раза?
Решение:
Согласно второму закону Ньютона,
;
Ответ:
4 м/с
2
.
3)
Найти линейную скорость и натяжение нити для маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости (такой маятник называется коническим). Длина нити - 1 м
., масса маятника 0,1 кг
. Угол образуемый с вертикалью 30 0
.
Решение:
Маятник двигаясь по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое определяется по формуле .
Центростремительное ускорение сообщает маятнику равнодействующая силы тяжести и силы натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона:
ОХ: 
ОУ:
решая систему уравнений (1)-(2), получим
Из рисунка видно, что
тогда 
,
Из уравнения (1) определим натяжение нити 
Ответ:
v=
1,5
м/с; Т=
0.9
Н.
4)
Автомобиль массой 6000 кг
. проходит закругление горизонтальной автомобильной дороги радиусом 500 м.
с максимальной скоростью 36 км/ч
. Определите коэффициент трения шин, а также силу трения.
Решение:
При повороте давление на колеса, а значит и силы, действующие на колеса со стороны дороги, перераспределяются. Действующие силы будут приложены к внешним колесам. Автомобиль будет переворачиваться, если равнодействующая сил проходит ниже центра тяжести.
По второму закону Ньютона:
ил
и в проекциях на оси координат:
OX
:
OY
:
как известно
,
поэтому с учетом (2) получим 
Двигаясь по дуге окружности, автомобиль обладает центростремительным ускорением. Так как в горизонтальной плоскости действует только сила трения, то именно она сообщает автомобилю центростремительное ускорение.Решая совместно (1) и (3), получим выражение:
вычислим: 
Ответ:
μ=
0,02; F
тр
=
1200 Н.
5)
Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч,
делая поворот радиусом кривизны в 100 м
. под каким углом к горизонту должен он расположить мотоцикл, чтобы не упасть на повороте? Чему при этом этом равен коэффициент трения скольжения?
Решение:
Укажем действующие силы, считая что масса системы мотоцикл - мотоциклист сосредоточена в центре масс.
По второму закону Ньютона
В проекциях на оси координат:
OX
:
OY
: 
Из уравнения (2) следует но с другой стороны имеем
Подставив (3) и (4) в (1) получим 
Из рисунка видно 
, или с учетом (2) 
произведем
вычисления
Ответ:
6)
Чему равна максимальная скорость мотоциклиста, при движении по наклонному треку с углом α=
30 0
при том же радиусе закругления и коэффициенте трения(см. задачу №5)
Решение:
Согласно второму закону Ньютона
В проекциях на оси координат:
OX
: 
OY
:
Скорость мотоциклиста не может быть больше значения, определяемого максимальным значением силы трения:
решая совместно (1) и (2) , получим 
произведем вычисления:
Ответ:
v=
36
м/с.
7)
Какова минимальная скорость движения мотоциклиста по вертикальной стене, если коэффициент трения покрышек о поверхность стены 0,5, а радиус стены 20 м
.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона динамическое равновесие будет соблюдаться при выполнении следующего условия:
то есть центростремительное ускорение создается равнодействующей сил, приложенных к телу. В проекциях на оси координат получим простые выражения
OX
: 
OY
: 
Учитывая, что и решая совместно систему уравнений (1) - (2), получим окончательное выражение для определения минимальной скорости для езды по вертикальной стенке: 
произведем вычисления:
Ответ:
v min =
20
м/с.
8)
Шарик массой m
, подвешенный на нити длиной L
движется по окружности в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в точках, направление на которые из центра окружности составляет угол α
с вертикалью, если скоростью шарика в этих положениях считать
v
.
Решение:
Согласно второму закону Ньютона
Проведем ось OX
по касательной к окружности через центр масс, тогда ось OY
будет направлена по радиусу, и спроецируем на них действующие силы:
OX
:
OY
:
Из уравнения (1) следует, что шарик имеет не только центростремительное ускорение (нормальное), но и касательное (тангенциальное), то есть скорость шарика изменяется не только по направлению, но и по величине. Для ответа на вопрос задачи достаточно решить уравнение (2)
так как
поэтому получим окончательное выражение 
О
твет:
.
ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ.
1.ПЕРИОД (Т)-промежуток времени, за который тело совершает один полный оборот.
, где t-время, в течение которого совершено N оборотов.
2. ЧАСТОТА ()- число оборотов N, совершаемых телом за единицу времени.
(герц)
3. СВЯЗЬ ПЕРИОДА И ЧАСТОТЫ:
4. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ () направлено по хордам.
5.УГЛОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ (угол поворота ).
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ - это такое движение при котором модуль скорости не изменяется.
6. ЛИНЕЙНАЯ СКОРОСТЬ ( направлена по касательной к окружности.
7. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ 
8. СВЯЗЬ ЛИНЕЙНОЙ И УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Угловая скорость не зависит от радиуса окружности, по которой движется тело. Если в задаче рассматривается движение точек, расположенных на одном диске, но на разном расстоянии от его центра, то надо иметь в виду, что УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ ЭТИХ ТОЧЕК ОДИНАКОВА.
9. ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ (нормальное) УСКОРЕНИЕ ().
Т. к. при движении по окружности постоянно изменяется направление вектора скорости, то движение по окружности происходит с ускорением. Если тело движется по окружности равномерно, то оно обладает только центростремительным (нормальным) ускорением, которое направлено по радиусу к центру окружности. Ускорение называется нормальным, так как в данной точке вектор ускорения расположен перпендикулярно (нормально) к вектору линейной скорости. .
Если тело движется по окружности с изменяющейся по модулю скоростью, то наряду с нормальным ускорением, характеризующим изменение скорости по направлению, появляется ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ, характеризующее изменение скорости по модулю (). Направлено тангенциальное ускорение по касательной к окружности. Полное ускорение тела при неравномерном движении по окружности определится по теореме Пифагора:
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
При рассмотрении движения тела относительно разных систем отсчета траектория, путь, скорость, перемещение оказываются различными. Например, человек сидит в движущемся автобусе. Его траектория относительно автобуса - точка, а относительно Солнца - дуга окружности, путь, скорость, перемещение относительно автобуса равны нулю, а относительно Земли отличны от нуля. Если рассматривается движение тела относительно подвижной и неподвижной систем отсчета, то согласно классического закона сложения скоростей скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной :
Аналогично
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАКОНА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ
1) Движение тел относительно Земли
б) тела движутся навстречу друг другу
2) Движение тел относительно друг друга
а) тела движутся в одном направлении
б) тела движутся в разных направлениях (навстречу друг другу)
3) Скорость тела относительно берега при движении
а) по течению
б) против течения , где - скорость тела относительно воды, - скорость течения.
4) Скорости тел направлены под углом друг к другу.
Например: а) тело переплывает реку, двигаясь перпендикулярно течению
б) тело переплывает реку, двигаясь перпендикулярно берегу
| |
в) тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движении, например, колесо движущегося автомобиля. Каждая точка тела имеет скорость поступательного движения, направленную в сторону движения тела и - скорость вращательного движения, направленную по касательной к окружности. Причем, Чтобы найти скорость любой точки относительно Земли необходимо векторно сложить скорость поступательного и вращательного движения:
| |
ДИНАМИКА
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ИНЕРЦИИ)
Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в покое или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действия тел компенсируются (уравновешиваются).
Явление сохранения скорости тала при отсутствии действия на него других тел или при компенсации действия других тел называется инерцией.
Системы отсчета, в которых выполняются законы Ньютона, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). К ИСО относятся системы отсчета связанные с Землей или не имеющие ускорения относительно Земли. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно Земли, являются неинерциальными, в них законы Ньютона не выполняются. Согласно классическому принципу относительности Галилея все ИСО равноправны, законы механики имеют одинаковую форму во всех ИСО, все механические процессы протекают одинаково во всех ИСО (никакими механическими опытами, проведенными внутри ИСО, нельзя определить находится она в покое или движется прямолинейно и равномерно).
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Скорость тела изменяется при действии на тело силы. Любое тело обладает свойством инертности. Инертность – это свойство тел, состоящее в том, что для изменения скорости тела требуется время, скорость тела мгновенно измениться не может. То тело, которое больше изменяет свою скорость при действии одинаковой силы, является менее инертным. Мерой инертности служит масса тела.
Ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела.
Сила и ускорение всегда сонаправлены. Если на тело действуют несколько сил
, то ускорение телу сообщает равнодействующая
этих сил (), которая равна векторной сумме всех сил, действующих на тело: 
Если тело совершает равноускоренное движение, то на него действует постоянная сила.
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Силы возникают при взаимодействии тел.
Тела действуют друг на друга с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению.
Особенности сил, возникающих при взаимодействии:
1. Силы всегда возникают парами.
2 Силы, возникающие при взаимодействии, имеют одну природу.
3.Силы, не имеют равнодействующей, т. к. приложены к разным телам.
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ
СИЛА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ-сила, с которой притягиваются все тела во Вселенной.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ: тела притягиваются друг к другу с силами прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними.
(формулой можно пользоваться для расчета притяжения точечных тел и шаров), где G-гравитационная постоянная (постоянная всемирного тяготения), G=6,67·10 -11 , -массы тел, R-расстояние между телами, измеряется между центрами тел. 
СИЛА ТЯЖЕСТИ – сила притяжения тел к планете. Сила тяжести вычисляется по формулам:
1) , где - масса планеты, - масса тела, - расстояние между центром планеты и телом.
2) , где - ускорение свободного падения,
Сила тяжести всегда направлена к центру тяжести планеты. 
Радиус орбиты искусственного спутника, - радиус планеты, - высота спутника над поверхностью планеты,
Тело становится искусственным спутником, если ему в горизонтальном направлении сообщить необходимую скорость. Скорость, необходимая для того, чтобы тело двигалось по круговой орбите вокруг планеты, называется первой космической скоростью . Чтобы получить формулу для вычисления первой космической скорости, необходимо помнить, что все космические тела, в том числе и искусственные спутники, движутся под действием силы всемирного тяготения , кроме того, скорость – величина кинематическая, «мостиком» в кинематику может служить формула, следующая из второго закона Ньютона Приравнивая правые части формул, получаем: или Учитывая, что тело движется по окружности и поэтому обладает центростремительным ускорением , получаем: или . Отсюда - формула для вычисления первой космической скорости . Учитывая, что формулу для расчета первой космической скорости можно записать в виде: .Аналогично, используя второй закон Ньютона и формулы криволинейного движения, можно определить, например, период обращения тела по орбите.
СИЛА УПРУГОСТИ – сила, действующая со стороны деформированного тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц при деформации. Силу упругости можно вычислить с помощью закона Гука: сила упругости прямо пропорциональна удлинению: где - удлинение,
Жесткость, . Жесткость зависит от материала тела, его формы и размеров.
СОЕДИНЕНИЕ ПРУЖИН
Закон Гука выполняется только при упругих деформациях тел. Упругими называются деформации, при которых после прекращения действия силы тело приобретает прежние форму и размеры.
Динамика движения материальной точки по окружности с постоянной по модулю скоростью.Петров К.А., Развина Т.И., Чертина М.И.
В освоении школьного курса физики существенную роль играет умение решать задачи. И в настоящее время, когда альтернативы централизованному тестированию не предвидится, уже не важно, решаются ли эти задачи для тренинга, иллюстрации правил, формул и законов или преследуют такую важную цель обучения, как развитие творческих способностей учащихся. Умение систематизировать. Выделять общие закономерности и решать достаточно сложные задачи изящно и рационально приобретает большое значение. Авторы настоящей статьи предприняли попытку показать все вышесказанное на примере темы «Динамика вращательного движения тела».
При движении материальной точки по окружности радиусом с линейной скоростью 
результирующая всех сил, действующих на точку, направлена к центру окружности и сообщает точке центростремительное ускорение 
, равное 
.
Один из примеров вывода этого соотношения следующий. За малое время 
радиус-вектор, соединяющий центр окружности с точкой на ней, поворачивается на угол 
, а точка перемещается по дуге, длина которой 
. Скорость этого перемещения 
, где 
– угловая скорость точки. За это же время вектор скорости 
поворачивается на такой же угол , поскольку линейная скорость точки 
. Изменение скорости 
. Быстрота изменения вектора скорости определяется аналогично (1) и является искомым центростремительным ускорением: , где 
и 
– период и частота вращения точки.
При решении задач по данной теме необходимо установить силы, действующие на тело и вызывающие это движение, и, воспользовавшись вторым законом Ньютона, связать эти силы с кинематической характеристикой движения – центростремительным ускорением: 
.
При рассмотрении сил, действующих на точку (тело), следует четко помнить их направления: сила тяжести 
направлена вертикально вниз; сила реакции опоры 
– перпендикулярна опоре; сила натяжения нити 
– вдоль оси подвеса, сила упругости 
– противоположно возникающей деформации; сила трения (сопротивления) 
– противоположно направлению возможного движения.
Так как центростремительное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой происходит движение точки (тела), направление одной из осей выбирают вдоль направления ускорения, а вторую ось (если есть необходимость) направляют перпендикулярно ей. Далее рассматриваются проекции действующих сил на выбранные оси.
В статье представлена систематизация и алгоритм решения задач по данной теме.
1. Рассмотрим тело на выпуклой криволинейной поверхности с радиусом кривизны .
А) в верхней точке выпуклого моста
Сила давления 
тела на мост в верхней его точке согласно третьему закону Ньютона: 
б) в произвольной точке выпуклого моста
В
в) скатывание и отрыв тела от гладкой полусферы
Определим высоту 
, с которой тело при скатывании отрывается от полусферы. В момент отрыва сила реакции становится равной нулю. Тогда проекции сил на ось Оу: 
, 
. Из закона сохранения энергии 
, определим 
. Тогда (1) с учетом (2) и (3) примет вид:
.
2. Рассмотрим тело на вогнутой криволинейной поверхности с радиусом кривизны .
А
) в нижней точке вогнутого моста
Второй закон Ньютона в проекции на ось Оу:
б) в произвольной точке моста
В
торой закон Ньютона в проекции на ось Оу: 
;
в) рассмотрим движение математического маятника
П
ри максимальном смещении нити маятника от положения равновесия (угол 
от вертикали) проекция сил на оси Ох и Оу:
Ох А: 
(
– тангенциальное ускорение, 
, т.к. 
Oy A: 
(
–сила натяжения нити в этом положении)
В произвольном положении маятника (угол отклонения 
меньше угла )
Ох В: 
Ускорение точки в этом положении 
Примечание: определим силу натяжения нити в нижнем положении тела при условии, что ускорения в крайнем и нижнем положениях тела равны: 
Запишем проекцию сил на ось Оу:.
3. Движение тела по окружности в вертикальной плоскости
А) рассмотрим самолет, совершающий «мертвую петлю» (петля Нестерова)
Для тела в положении А, проекция сил на ось Оу: 
Для тела в положении В, проекция сил на ось Оу: 
Разность сил, действующих на летчика со стороны сидения, находим из (1) и (2): 
. Силы отличаются: 
.
б) рассмотрим вращение шарика на нити с постоянной по модулю скоростью в вертикальной плоскости
Ситуация идентична предыдущей. Силы натяжения 
и 
, действующие на тело в положении А и В со стороны нити, равны: 
, 
.Сила больше силы на величину 
. Их отношение 
.
в) свободное вращение шарика на нити в вертикальной плоскости
Проекции сил на ось Оу для положения А: 
,
Проекции сил на ось Оу для положения В:
Разность сил натяжения в положениях А и В 
Из закона сохранения механической энергии С учетом (4) выражение (3) примет вид:
При определении минимальной скорости 
, сообщаемой телу в положении А, чтобы оно совершило полный оборот, следует считать, что в положении В сила натяжения 
будет отсутствовать. Тогда равенство (2) будет иметь вид: 
. Перепишем выражение (4) в виде: .
4. Движение тела по окружности в горизонтальной плоскости
А) тело, закрепленное на невесомой пружине жесткостью 
, вращается на гладкой горизонтальной поверхности.
С
ила упругости 
, 
. Длина растянутой пружины 
равна 
, где 
– длина пружины в недеформированном состоянии; 
– удлинение пружины, 
– угловая скорость вращения тела. Объединив (1) и (2), получим: 
. Из этого выражения определяются различные параметры, в частности, удлинение пружины 
; угловая скорость вращения тела 
.
Б
) тело на вращающемся диске (коэффициент трения тела о диск 
, угловая скорость вращения диска постоянна и равна )
Ох: 
Оу: 
С учетом (3) и (2) запишем выражение (1) в виде 
.
При заданной угловой скорости вращения диска легко определить положение тела относительно оси вращения диска: 
.
В) тела на вертикальной стене (коэффициент трения тела о стену )
Запишем проекции сил на выбранные оси.
Ох: 
Оу: 
С учетом того, что 
можно записать: 
или 
. Отсюда 
; 
.
г) конический маятник
З
апишем проекции сил на выбранные оси.
Ох: 
Поделив (1) на (2), получим 
.
Угловая скорость 
, период вращения 
. При заданном радиусе , описываемой телом окружности, сила натяжения равна .
Д
) тело в гладкой полусферической чаше.
По аналогии с коническим маятником рассматриваем проекции сил на выбранные оси.
Ох: 
Высота , на которую поднимается тело во вращающейся чаше, равна 
5. Повороты
А
) автомобиль на повороте
Запишем проекции сил на выбранные оси.
. 
.
При превышении скорости автомобиль не впишется в траекторию поворота и его «занесет».
Особый случай представляет задача на движение поезда (трамвая) по закругленным участкам. Для устранения бокового давления со стороны колес на рельсы, наружный рельс укладывают выше внутреннего. Высота возвышения рельса, радиус кривизны участка, скорость поезда и ширина колеи 
связаны соотношением, которое определим следующим образом.
Из треугольника АВС 
.
Из проекций сил на оси 
.
Учитывая малость угла : 
.
Тогда 
.
б) мотоциклист (велосипедист) н
а вираже
Сила тяжести приложена к центру тяжести тела, сила реакции опоры – перпендикулярна опоре. Результирующая сил и 
должна проходить через центр тяжести, в противном случае возникнет вращающий момент силы 
, который повернет тело либо к горизонту, либо выбросит тело за пределы виража. Для определения угла отклонения 
тела от вертикали, воспользуемся тригонометрическим соотношением 
.
Определим силу взаимодействия движущегося тела с горизонтальной плоскостью. Эта сила 
. Её величина 
.
6. Велосипедист на наклонном треке
А) определение минимальной скорости 
при движении велосипедиста (угол наклона плоскости к горизонту, коэффициент трения о трек , радиус трека ).
С
ила трения должна препятствовать скольжению тела вниз. Запишем II закон Ньютона в проекциях на оси.
С учетом , делим (1) на (2): 
.
Б) определение максимальной скорости 
при движении велосипедиста
В
данной ситуации сила трения 
должна быть максимальной (
) и препятствовать движению велосипедиста к верхнему краю велотрека. Тогда аналогично случаю (а), проекции сил на оси:
П
римечание. Аналогично случаям (а) и (б) рассматриваются следующие задачи. По внутренней поверхности конуса с углом при вершине 
с постоянной угловой скоростью вращается шарик массой 
, описывая окружность в горизонтальной плоскости. Коэффициент трения шарика о поверхность конуса . Для того чтобы шарик не спустился вниз конуса, сила трения должна быть направлена вверх подобно случаю 6а.
Для того чтобы шарик не вылетел из конуса, сила трения должна быть направлена вниз, подобно случаю 6б.
7.Кольцо (резиновое, металлическое), замкнутая цепочка из металлических звеньев длиной раскручиваются и вращаются в горизонтальной плоскости с угловой скоростью (или линейной скоростью ).
Сила натяжения в кольце определяется следующим образом. Выделим малый элемент кольца массой 
таким образом, что 
. Результирующая сил натяжения, возникающих в кольце в проекции на ось Оу: , длина которой в недеформированном состоянии каждая, соединенные невесомой пружиной жесткостью
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
(Урок ключевых ситуаций, 10 класс, профильный уровень – 2 часа).
Образовательная цель урока
Научить учащихся применять законы динамики при решении задач по теме «Динамика движения тела по окружности».
Развивающая цель урока
- Развивать умение учащихся применять полученные теоретические знания при решении задач;
- Развивать способности учащихся строить логические суждения;
Воспитательная цель урока
- Воспитывать у учащихся самостоятельность при поиске решения задач;
- Формировать у учащихся способность эффективно использовать время на уроке;
Оборудование : проектор, экран, презентация.
Ход урока
- Организационный момент
- Практикум по решению задач
- Изучение ключевых ситуаций по теме «Динамика движения тела по окружности»;
- Составление таблицы ключевых ситуаций по теме урока;
- Применение алгоритма решения задач по динамике к различным ключевым ситуациям;
- Самостоятельная работа учащихся
- Рефлексия
- Домашнее задание
Учитель:
Движение тела по окружности или по дуге окружности довольно часто встречается в природе и технике. Приблизительно по окружности движется Луна вокруг Земли, каждая точка земной поверхности движется по окружности вокруг земной оси. Дугу окружности описывают точки самолёта во время виража, автомобиль на повороте, поезд на закруглении дороги, велосипедист на велотреке, стрелки часов. Вращение используют в химической промышленности в таком устройстве, как центрифуга, для отделения кристаллов от раствора. В металлургии широко применяется центробежное литьё. Вращение используют и для того, чтобы тренировать космонавтов переносить повышенную тяжесть.
Сегодня на уроке я приглашаю вас к обсуждению различных типовых ситуаций по теме
« Динамика движении тела по окружности», которые позволят вам наглядно увидеть проявление и применение законов динамики.
Многочисленные примеры движения тела по окружности можно условно разделить на две большие группы: а) движение тела по окружности в вертикальной плоскости и б) движение тела по окружности в горизонтальной плоскости (слайд №3 ). Однако для описания закономерностей движения вращающихся тел в различных ситуациях используется общий подход - алгоритм (слайд №2 ).
2. Практикум по решению задач
Учитель: Рассмотрим «секреты» движения тела по окружности в горизонтальной плоскости слайды № 4-12 ).
Учитель: А сейчас я приглашаю вас в научную лабораторию Казанского Государственного университета (демонстрация видеозадачи «Карусель» ). Предлагаю объединиться в творческие группы и приступить к решению проблемы: как, наблюдая за спичечным коробком на вращающемся диске, определить коэффициент трения коробка о поверхность карусели? В вашем распоряжении линейка и спичечный коробок. Результатом вашей исследовательской работы станет отчёт руководителей групп (слайд № 4 ).
3. Защита решения видеозадачи №1 у доски.
слайд 13 ).
4. Практикум по решению задач
Учитель: Рассмотрим «секреты» движения тела по окружности в вертикальной плоскости с динамической точки зрения, используя общий алгоритм решения задач по механике (слайды № 15-22 ).
Учитель: «Вода не выливается из сосуда, который вращается, - не выливается даже тогда, когда сосуд перевернут дном вверх, ибо этому мешает вращение» - писал две тысячи лет назад Аристотель. Этот эффектный опыт без сомненья многим знаком: вращая достаточно быстро ведёрко с водой, вы достигаете того, что вода не выливается даже в той части пути, где ведёрко опрокинуто вверх дном (демонстрация видеозадачи «Вращение ведерка с водой» ). Попробуем разобраться в особенностях этого явления. Предлагаю объединиться в творческие группы и приступить к решению проблемы: при какой скорости вращения ведёрка с водой, она не выливается? Результатом вашей исследовательской работы станет отчёт руководителей групп (слайд № 23 ).
5. Защита решения видеозадачи №2 у доски.
Руководители групп защищают решение видеозадачи. В ходе обсуждения выбирается оптимальный путь решения (слайд 23 ).
6. Самостоятельная работа учащихся по применению алгоритма решения задач по теме «Динамика движения тела по окружности» (слайд №24-31).
7. Рефлексия
Учитель: У вас на столе лист самоанализа, который позволит вам оценить своё психологическое состояние. Заполните его и сдайте. Мне тоже важно, с каким настроением вы уходите с урока физики.
Лист самоанализа
Выберите из каждой предложенной пары состояний наиболее соответствующее вашему после урока:
- Чувствую вдохновение (2 балла) – чувствую подавленность (0 баллов) ____
- Интересно (2 балла) – не интересно (0 баллов) ___
- Уверен в себе (2 балла) – неуверен (0 баллов) _____
- Не устал (2 балла) – устал (0 баллов) _____
- Старался (2 балла) – не старался (0 баллов) _____
- Доволен собой (2 балла) – недоволен (0 баллов) ___
- Не раздражаюсь (2 балла) – раздражаюсь (0 баллов) _