Giải hệ phương trình tuyến tính thông qua định thức. Các định thức và hệ phương trình tuyến tính môn toán, môn toán cấp bằng

  • Hệ thống tôi phương trình tuyến tính Với N không rõ.
    Giải hệ phương trình tuyến tính- đây là một bộ số như vậy ( x 1 , x 2 , …, xn), khi thay thế vào từng phương trình của hệ sẽ thu được đẳng thức đúng.
    Ở đâu aij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- các hệ số của hệ thống;
    b i , i = 1, …, m- thành viên miễn phí;
    x j , j = 1, …, n- không rõ.
    Hệ trên có thể viết dưới dạng ma trận: A X = B,




    Ở đâu ( MỘT|B) là ma trận chính của hệ thống;
    MỘT- ma trận hệ thống mở rộng;
    X- cột ẩn số;
    B- cột thành viên miễn phí.
    Nếu ma trận B không phải là ma trận rỗng ∅ thì hệ thống này phương trình tuyến tính được gọi là không đồng nhất.
    Nếu ma trận B= ∅ thì hệ phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất. Một hệ thống đồng nhất luôn có nghiệm bằng 0 (tầm thường): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
    Hệ thống phương trình tuyến tính là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm.
    Hệ phương trình tuyến tính không nhất quán là một hệ phương trình tuyến tính không giải được.
    Một hệ phương trình tuyến tính nhất định là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.
    Hệ phương trình tuyến tính vô định- đang có tập vô hạn giải hệ phương trình tuyến tính.
  • Hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn số
    Nếu số ẩn số bằng số phương trình thì ma trận là hình vuông. Định thức của ma trận được gọi là định thức chính của hệ phương trình tuyến tính và được ký hiệu là Δ.
    Phương pháp Cramerđể giải các hệ N phương trình tuyến tính với N không rõ.
    Quy tắc Cramer.
    Nếu như yếu tố quyết định chính hệ phương trình tuyến tính không bằng 0, thì hệ thống nhất quán và được xác định, đồng thời nghiệm duy nhất được tính bằng công thức Cramer:
    trong đó Δ i là các định thức thu được từ định thức chính của hệ Δ bằng cách thay thế Tôi cột thứ vào cột thành viên tự do. .
  • Hệ m phương trình tuyến tính với n ẩn số
    Định lý Kronecker–Capelli.


    Để một hệ phương trình tuyến tính nhất quán, điều cần và đủ là hạng của ma trận hệ phải bằng hạng của ma trận mở rộng của hệ, rang(Α) = rang(Α|B).
    Nếu như rang(Α) ≠ rang(Α|B), thì hệ hiển nhiên không có nghiệm.
    Nếu như rang(Α) = rang(Α|B), thì có thể xảy ra hai trường hợp:
    1) hạng(Α) = n(số ẩn số) - nghiệm là duy nhất và có thể thu được bằng cách sử dụng công thức Cramer;
    2) xếp hạng(Α)< n - có vô số giải pháp.
  • Phương pháp Gaussđể giải hệ phương trình tuyến tính


    Hãy tạo một ma trận mở rộng ( MỘT|B) của một hệ thống nhất định từ các hệ số của ẩn số và vế phải.
    Phương pháp Gaussian hoặc phương pháp loại bỏ ẩn số bao gồm việc rút gọn ma trận mở rộng ( MỘT|B) bằng cách sử dụng các phép biến đổi cơ bản trên các hàng của nó thành dạng đường chéo (về phía trên chế độ xem hình tam giác). Trở lại hệ phương trình, tất cả các ẩn số đều được xác định.
    ĐẾN các phép biến đổi cơ bản phía trên các dòng như sau:
    1) hoán đổi hai dòng;
    2) nhân một chuỗi với một số khác 0;
    3) thêm một chuỗi khác vào một chuỗi, nhân với một số tùy ý;
    4) ném ra một dòng số 0.
    Ma trận mở rộng rút gọn về dạng đường chéo tương ứng với hệ thống tuyến tính, tương đương với cái này, cách giải quyết nó không gây khó khăn gì. .
  • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
    Một hệ thống đồng nhất có dạng:

    tương ứng với nó phương trình ma trận A X = 0.
    1) Một hệ thống đồng nhất luôn nhất quán, vì r(A) = r(A|B), luôn tồn tại giải pháp không (0, 0, …, 0).
    2) Để một hệ thuần nhất có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là r = r(A)< n , tương đương với Δ = 0.
    3) Nếu r< n , thì hiển nhiên Δ = 0 thì xuất hiện ẩn số tự do c 1 , c 2 , …, c n-r, hệ thống có các nghiệm không tầm thường và có vô số nghiệm.
    4) Giải pháp chung X Tại r< n có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
    X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
    giải pháp ở đâu X 1, X 2,…, Xn-r hình thành một hệ thống giải pháp cơ bản.
    5) Hệ thống giải pháp cơ bản có thể được lấy từ giải pháp chung hệ thống đồng nhất:

    ,
    nếu chúng ta đặt tuần tự các giá trị tham số bằng (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
    Mở rộng giải pháp chung trong hệ thống cơ bản giải pháp là bản ghi của lời giải tổng quát dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các lời giải thuộc hệ cơ bản.
    Định lý. Để hệ thống tuyến tính phương trình đồng nhất có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là Δ ≠ 0.
    Vì vậy, nếu định thức Δ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
    Nếu Δ ≠ 0 thì hệ phương trình tuyến tính đồng nhất có vô số nghiệm.
    Định lý. Để một hệ thuần nhất có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là r(A)< n .
    Bằng chứng:
    1) r không thể có nhiều hơn N(thứ hạng của ma trận không vượt quá số cột hoặc hàng);
    2) r< n , bởi vì Nếu như r = n, thì yếu tố quyết định chính của hệ Δ ≠ 0, và theo công thức của Cramer, có một nghiệm tầm thường duy nhất x 1 = x 2 = … = x n = 0, mâu thuẫn với điều kiện. Có nghĩa, r(A)< n .
    Kết quả. Để có một hệ thống đồng nhất N phương trình tuyến tính với Nẩn số có nghiệm khác 0 thì điều cần và đủ là Δ = 0.

Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình như sau:

trong đó a ij, b i là các hệ số, x i là các biến, gọi là hệ phương trình tuyến tính.

Giải một hệ phương trình tuyến tính có nghĩa là chỉ ra tất cả các nghiệm của hệ, tức là các tập hợp giá trị của các biến biến phương trình của hệ thành các đặc tính.

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là:

    khớp nếu nó có ít nhất một giải pháp;

    không nhất quán nếu không có giải pháp;

    xác định xem nó có giải pháp duy nhất hay không;

    đồng nhất nếu mọi b i = 0;

    không đồng nhất nếu mọi b i ≠ 0.

Quy tắc Cramer

(Gabriel Cramer (1704-1752) Nhà toán học Thụy Sĩ)

Phương pháp này chỉ áp dụng được trong trường hợp hệ phương trình tuyến tính, trong đó số biến trùng với số phương trình. Ngoài ra, cần đưa ra các hạn chế về hệ số của hệ thống. Điều cần thiết là tất cả các phương trình phải độc lập tuyến tính, tức là không có phương trình nào là tổ hợp tuyến tính của những phương trình khác.

Để làm được điều này, điều cần thiết là định thức của ma trận hệ thống không bằng 0.

 = det A  0;

Định lý. (Quy tắc Cramer):

Hệ n phương trình với n ẩn số

Nếu định thức của ma trận hệ không bằng 0 thì hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm này được tìm bằng các công thức:

x tôi = ;

Ở đâu - yếu tố quyết định chính, bao gồm các hệ số số cho ẩn số, và  i – vòng loại phụ, thu được từ cột chính bằng cách thay thế cột thứ i bằng cột chứa các thuật ngữ tự do b i.

 tôi =

Ví dụ. Giải hệ bằng quy tắc Cramer.

;

 1 =
;  2 =
;  3 =
;

x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;

Ví dụ. Tìm nghiệm của hệ phương trình:

 =
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

 1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

 2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

 3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Nếu hệ thống là đồng nhất, tức là b i = 0 thì tại 0 hệ có nghiệm 0 duy nhất x 1 = x 2 = … = x n = 0.

Phương pháp ma trận

Phương pháp ma trận được áp dụng để giải các hệ phương trình trong đó số phương trình bằng số ẩn.

Phương pháp này thuận tiện cho việc giải các hệ thống bậc thấp. Nó dựa trên việc áp dụng các tính chất của phép nhân ma trận.

Cho hệ phương trình:

Hãy giới thiệu ký hiệu sau:

A=
- ma trận hệ số của hệ thống;

B = ma trận – cột các thuật ngữ tự do;

X = - ma trận – cột ẩn số.

Hệ phương trình có thể viết dưới dạng ma trận:

Hãy thực hiện phép biến đổi sau: A -1 AX = A -1 B,

bởi vì A -1 A = E thì EX = A -1 B, ta được

X = A -1 B - nghiệm của phương trình ma trận

Ví dụ . Giải hệ bằng phương pháp ma trận

Giải. Hãy biểu thị:

,
,
.

Chúng ta thu được phương trình ma trận
.

Quyết định của anh ấy
, tức là

(Việc tìm ma trận nghịch đảo đã được thảo luận trước đó).

Phương pháp Gauss

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Nhà toán học người Đức)

Không giống như phương pháp ma trận và phương pháp Cramer, phương pháp Gauss có thể được áp dụng cho các hệ phương trình tuyến tính với bất kỳ số nào phương trình và ẩn số. Bản chất của phương pháp là loại trừ nhất quán không rõ.

Xét hệ phương trình tuyến tính:

Sự định nghĩa: Ma trận gồm các hệ số cho hệ thống chưa biết, được gọi là ma trận hệ thống.

Sự định nghĩa: Một ma trận được gọi là ma trận mở rộng của một hệ nếu một cột các số hạng tự do của hệ được thêm vào ma trận A.

Ma trận mở rộng là bản ghi được mã hóa của hệ thống. Các hàng của ma trận tương ứng với các phương trình của hệ thống. Nhân một phương trình với một số và cộng tích này với một phương trình khác tương đương với việc nhân một hàng ma trận với số này và cộng tích này theo một hàng ma trận khác. Vì vậy, việc làm việc với các phương trình có thể được thay thế bằng việc làm việc với các hàng ma trận.

Sự định nghĩa: Ma trận A được gọi từng bước nếu:

A) bất kỳ hàng nào của nó đều có ít nhất một phần tử khác 0,

B) phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi dòng, bắt đầu từ dòng thứ hai, nằm ở bên phải phần tử khác 0 của dòng trước đó.

Phương pháp Gauss là một phương pháp hiệu quả để giải và nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính. Nó bao gồm thực tế là hệ phương trình tuyến tính này được chuyển đổi thành một hệ phương trình tương đương thuộc loại bước, dễ dàng giải và nghiên cứu. Việc áp dụng phương pháp Gaussian không phụ thuộc vào số lượng phương trình hoặc số lượng ẩn số trong hệ thống.

Chúng ta hãy xem ý tưởng của phương pháp Gaussian bằng các ví dụ cụ thể.

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Hãy tạo một ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản để đưa nó về dạng:

, từ đó chúng ta nhận được: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Ví dụ. Giải hệ bằng phương pháp Gaussian.

Hãy tạo một ma trận mở rộng của hệ thống.

Do đó, hệ thống ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng:

  • Ghi chú giải thích dự án khóa học

    Dự án khóa học

    Và cột thứ ba của ma trận, chúng tôi tìm thấy phụ trợ vòng loại: Tìm các hệ số của đa thức: Vậy... tích: Tìm tích: Tìm nghiệm chính yếu tố quyết định: Chúng tôi tìm thấy phụ trợ vòng loại và thay thế từng ma trận thành...

  • Những khuyến nghị về phương pháp thực hiện bài tập độc lập ngoại khóa của học sinh môn “Toán học” đối với chuyên ngành

    Khuyến nghị về phương pháp

    Ví dụ: tính toán yếu tố quyết định lệnh thứ hai 1) 2) 2. Tính toán yếu tố quyết định lệnh thứ ba yếu tố quyết định bậc ba được gọi... từ các hệ số của ẩn số Hãy soạn phụ trợ vòng loại hệ thống như sau: ... Thì...

  • Liên bang Nga là sách giáo khoa dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục đại học nghiên cứu các chuyên ngành ngôn ngữ Moscow "Trường trung học" 2002

    Sách giáo khoa

    chất bổ sung, phụ trợđộng từ, động từ thể và pha, trạng từ tăng cường, biểu thị vòng loại; không đồng nhất... bằng cách kết hợp một từ "vật chất" với " phụ trợ-từ ngữ pháp. Theo đó, và...

    • Trang 1


    Yếu tố quyết định chính được biên dịch sao cho cột đầu tiên chứa các hệ số cho tham số được vẽ trên trục hoành. TRONG trong trường hợp này người ta chấp nhận rằng klK bị trì hoãn bởi trục tung, a & 2it - theo chiều ngang.  

    Định thức chính bằng 0 và ít nhất một định thức phụ không bằng 0.  

    Yếu tố quyết định chính - Hurwitz được biên soạn như sau.  

    Đồ thị /C4 - x và các khung của nó.  

    Định thức chính của ma trận P (hoặc Q) có cấp m và biểu thức định thức chính tương ứng có nghĩa là các cột của ma trận P có trong định thức đang xét có cùng số và cùng thứ tự với các hàng của ma trận Q được bao gồm trong định thức khác.  

    Yếu tố quyết định chính D (p), được gọi là đặc tính, không phụ thuộc vào biến mong muốn hoặc vào vị trí tác dụng của lực nhiễu.  

    Chúng ta soạn định thức chính A.  

    Chúng tôi soạn yếu tố quyết định chính của hệ thống và đánh đồng nó bằng 0. Chúng tôi đánh giá sự ổn định theo bản chất của rễ. Mức độ của phương trình đặc tính được xác định bởi số lượng phần tử sử dụng nhiều năng lượng tích lũy năng lượng một cách độc lập, có tính đến các cực của từng nguồn được điều khiển phụ thuộc tần số có sẵn trong mạch. Trong một số trường hợp, khi nghiên cứu độ ổn định, không chỉ cần tính đến cực trội đầu tiên của op-amp hoặc bóng bán dẫn mà còn cả các cực còn lại.  

    Vì định thức chính của hệ (3.50) bằng 0 nên các vectơ riêng không được xác định duy nhất mà nằm trong một thừa số không đổi.  

    Hãy biểu diễn định thức chính D [công thức (8.35)] thông qua các tham số của mạch.  

    Nếu định thức chính của một hệ gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số không bằng 0 thì hệ đó có nghiệm duy nhất, nhưng nếu định thức này bằng 0 thì hệ đó hoặc là không chắc chắn hoặc không nhất quán.  

    Nếu định thức chính của một hệ thuần nhất (9) không bằng 0 thì theo định lý trước đó, hệ có nghiệm duy nhất. Giải pháp này là tầm thường. Nếu định thức chính bằng 0 thì hệ thống, theo Định lý 2, có thể không nhất quán hoặc không xác định. Tuy nhiên, hệ phương trình (9) không thể mâu thuẫn vì có một nghiệm tầm thường.  

    Nếu định thức chính của một hệ thuần nhất (9) không bằng 0 thì theo định lý trước đó, hệ có nghiệm duy nhất. Giải pháp này là tầm thường. Nếu định thức chính bằng 0 thì hệ thống. Tuy nhiên, hệ phương trình (9) không thể mâu thuẫn vì có một nghiệm tầm thường.  

    Nếu định thức chính của một hệ thuần nhất (9) không bằng 0 thì theo định lý trước đó, hệ có nghiệm duy nhất. Giải pháp này là tầm thường. Nếu định thức chính bằng 0 thì hệ thống, theo Định lý 2, có thể không nhất quán hoặc không xác định. Tuy nhiên, hệ phương trình (9) không thể mâu thuẫn vì có một nghiệm tầm thường.  

    CHI NHÁNH KOSTROMA TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUÂN ĐỘI BẢO VỆ RCB

    Cục Tự động hóa điều khiển quân đội

    Chỉ dành cho giáo viên

    "Tôi chấp thuận"

    Trưởng phòng số 9

    Đại tá YAKOVLEV A.B.

    "______"______________ 2004

    Phó Giáo sư A.I.SMIRNOVA

    "Người đủ điều kiện.

    GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TIỆN TUYẾN TÍNH"

    BÀI GIẢNG số 2/1

    Thảo luận tại cuộc họp khoa lần thứ 9

    "____"___________ 2004

    Nghị định thư số___________

    Kostroma, 2004.

    Giới thiệu

    1. Các yếu tố quyết định bậc hai và bậc ba.

    2. Tính chất của định thức. Định lý phân rã.

    3. Định lý Cramer.

    Phần kết luận

    Văn học

    1. V.E. Schneider và cộng sự. Khóa học ngắn hạn Toán cao cấp, Tập I, Ch. 2, đoạn 1.

    2. V.S. Shchipachev, Toán cao cấp, chương 10, đoạn 2.

    GIỚI THIỆU

    Bài giảng thảo luận về các định thức bậc hai và bậc ba và các tính chất của chúng. Và cả định lý Cramer, cho phép bạn giải các hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng định thức. Định thức cũng được sử dụng sau này trong chuyên đề “Đại số vectơ” khi tính toán sản phẩm vector vectơ.

    Câu hỏi ôn tập lần 1 CÁC YẾU TỐ QUYẾT ĐỊNH CỦA THỨ HAI VÀ THỨ BA

    ĐẶT HÀNG

    Hãy xem xét một bảng gồm bốn số có dạng

    Các số trong bảng được biểu thị bằng một chữ cái có hai chỉ số. Chỉ số đầu tiên cho biết số hàng, số thứ hai cho biết số cột.

    ĐỊNH NGHĨA 1. Định thức bậc hai gọi điện sự biểu lộ loại :

    (1)

    số MỘT 11, …, MỘT 22 được gọi là các phần tử của định thức.

    đường chéo, được hình thành bởi các yếu tố MỘT 11 ; MỘT 22 được gọi là đường chính và đường chéo được hình thành bởi các phần tử MỘT 12 ; MỘT 21 - bên cạnh nhau.

    Như vậy, định thức bậc hai bằng hiệu giữa tích các phần tử của đường chéo chính và đường chéo phụ.

    Lưu ý rằng câu trả lời là một con số.

    VÍ DỤ. Tính toán:

    Bây giờ hãy xem xét một bảng gồm chín số, được viết thành ba hàng và ba cột:

    ĐỊNH NGHĨA 2. Yếu tố quyết định bậc ba được gọi là biểu thức có dạng :

    Yếu tố MỘT 11; MỘT 22 ; MỘT 33 – tạo thành đường chéo chính.

    số MỘT 13; MỘT 22 ; MỘT 31 – tạo thành một đường chéo bên.

    Chúng ta hãy mô tả sơ đồ cách các thuật ngữ cộng và trừ được hình thành:


    " + " " – "

    Dấu cộng bao gồm: tích của các phần tử trên đường chéo chính, hai số hạng còn lại là tích của các phần tử nằm ở các đỉnh của các tam giác có đáy song song với đường chéo chính.

    Các số hạng trừ được hình thành theo cùng một sơ đồ đối với đường chéo phụ.

    Quy tắc tính định thức bậc ba này được gọi là

    Quy tắc T reugolnikov.

    VÍ DỤ. Tính theo quy tắc tam giác:


    BÌNH LUẬN. Các yếu tố quyết định còn được gọi là yếu tố quyết định.

    câu hỏi nghiên cứu thứ 2 TÍNH CHẤT CỦA CÁC XÁC ĐỊNH.

    ĐỊNH NGHĨA MỞ RỘNG

    Tài sản 1. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu các hàng của nó được hoán đổi với các cột tương ứng.

    .

    Bằng cách tiết lộ cả hai yếu tố quyết định, chúng tôi bị thuyết phục về tính đúng đắn của đẳng thức.

    Thuộc tính 1 thiết lập sự bằng nhau giữa các hàng và cột của định thức. Vì vậy, chúng ta sẽ xây dựng tất cả các tính chất tiếp theo của định thức cho cả hàng và cột.

    Tài sản 2. Khi sắp xếp lại hai hàng (hoặc cột), định thức đổi dấu ngược lại, giữ nguyên giá trị tuyệt đối .

    .

    Tài sản 3. Tổng số nhân phần tử hàng (hoặc cột)có thể được coi là dấu hiệu quyết định.

    .

    Tài sản 4. Nếu định thức có hai hàng (hoặc cột) giống nhau thì nó bằng 0.

    Thuộc tính này có thể được chứng minh bằng cách xác minh trực tiếp hoặc bạn có thể sử dụng thuộc tính 2.

    Ta ký hiệu định thức bằng D. Khi sắp xếp lại hai hàng thứ nhất và thứ hai giống nhau thì nó không thay đổi nhưng theo tính chất thứ hai thì nó phải đổi dấu, tức là.

    D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

    Tài sản 5. Nếu tất cả các phần tử của một chuỗi (hoặc cột)bằng 0 thì định thức bằng 0.

    Tính chất này có thể coi là trường hợp đặc biệt thuộc tính 3 tại

    Tài sản 6. Nếu các phần tử của hai đường (hoặc cột)định thức tỉ lệ thì định thức bằng 0.

    .

    Có thể được chứng minh bằng cách xác minh trực tiếp hoặc sử dụng tính chất 3 và 4.

    Tài sản 7. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu cộng các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột) khác với các phần tử của một hàng (hoặc cột) nhân với cùng một số.

    .

    Được chứng minh bằng xác minh trực tiếp.

    Ứng dụng thuộc tính được chỉ định trong một số trường hợp có thể tạo thuận lợi cho quá trình tính toán các định thức, đặc biệt là bậc ba.

    Đối với những gì tiếp theo chúng ta sẽ cần các khái niệm về phần bù thứ và phần bù đại số. Hãy xem xét các khái niệm này để xác định trật tự thứ ba.

    ĐỊNH NGHĨA 3. Người vị thành niên của một phần tử cho trước của định thức cấp ba được gọi là định thức cấp hai thu được từ một phần tử cho trước bằng cách gạch bỏ hàng và cột tại giao điểm của phần tử đã cho.

    Yếu tố thứ yếu MỘT Tôi j ký hiệu là M Tôi j. Vì vậy đối với phần tử MỘT 11 trẻ vị thành niên

    Nó có được bằng cách gạch bỏ hàng đầu tiên và cột đầu tiên trong định thức bậc ba.

    ĐỊNH NGHĨA 4. Phần bù đại số của phần tử của định thức họ gọi nó là số nhỏ nhân với (-1)k , Ở đâu k - tổng số hàng và số cột tại giao điểm của phần tử này.

    Phần bù đại số của một phần tử MỘT Tôi j ký hiệu là MỘT Tôi j .

    Như vậy, MỘT Tôi j =

    .

    Hãy viết các phép cộng đại số cho các phần tử MỘT 11 và MỘT 12.

    . .

    Một quy tắc hữu ích cần nhớ: phần bù đại số phần tử của định thức bằng với dấu thứ của nó cộng thêm, nếu tổng số hàng và số cột nơi phần tử xuất hiện là thậm chí, và với một dấu hiệu trừ đi, nếu số tiền này số lẻ .

    Ma Trận - bàn hình chữ nhật, được tạo thành từ các con số.

    Hãy để nó được trao ma trận vuông 2 đơn hàng:

    Định thức (hoặc định thức) bậc 2 tương ứng với ma trận cho trước là số

    Định thức (hoặc định thức) bậc 3 tương ứng với ma trận là một số

    Ví dụ 1: Tìm định thức của ma trận và

    Hệ phương trình đại số tuyến tính

    Cho hệ 3 phương trình tuyến tính với 3 ẩn số

    Hệ (1) có thể viết dưới dạng ma trận-vectơ

    trong đó A là ma trận hệ số

    B - ma trận mở rộng

    X là vectơ thành phần cần thiết;

    Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer

    Cho hệ phương trình tuyến tính với hai ẩn số:

    Chúng ta hãy xem xét việc giải các hệ phương trình tuyến tính với hai và ba ẩn số bằng cách sử dụng các công thức của Cramer. Định lý 1. Nếu định thức chính của hệ khác 0 thì hệ có nghiệm và duy nhất. Giải pháp của hệ thống được xác định bởi các công thức:

    trong đó x1, x2 là nghiệm của hệ phương trình,

    Các yếu tố quyết định chính của hệ thống, x1, x2 là các yếu tố quyết định phụ.

    Vòng loại phụ trợ:

    Giải hệ phương trình tuyến tính ba ẩn bằng phương pháp Cramer.

    Cho hệ phương trình tuyến tính với ba ẩn số:

    Định lý 2. Nếu định thức chính của hệ khác 0 thì hệ có nghiệm và duy nhất. Giải pháp của hệ thống được xác định bởi các công thức:

    trong đó x1, x2, x3 là nghiệm của hệ phương trình,

    Yếu tố quyết định chính của hệ thống

    x1, x2, x3 là các định thức phụ.

    Yếu tố quyết định chính của hệ thống được xác định bởi:

    Vòng loại phụ trợ:


    • 1. Lập bảng (ma trận) các hệ số ẩn và tính định thức chính.
    • 2. Tìm - một định thức bổ sung của x thu được bằng cách thay thế cột đầu tiên bằng cột chứa các số hạng tự do.
    • 3. Tìm - một định thức bổ sung của y, thu được bằng cách thay thế cột thứ hai bằng cột chứa các số hạng tự do.
    • 4. Tìm - một định thức bổ sung của z, thu được bằng cách thay thế cột thứ ba bằng cột chứa các số hạng tự do. Nếu yếu tố quyết định chính của hệ thống không bằng 0 thì bước 5 sẽ được thực hiện.
    • 5. Tìm giá trị của biến x bằng công thức x/.
    • 6. Tìm giá trị của biến y bằng công thức y/.
    • 7. Tìm giá trị của biến z bằng công thức z/.
    • 8. Viết đáp án: x=...; y=…, z=… .