Sin, cos, tang, cotang của một góc là gì sẽ giúp bạn hiểu được tam giác vuông.
Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh \(AC\)); chân là hai cạnh còn lại \(AB\) và \(BC\) (liền kề với góc vuông), và nếu chúng ta coi hai chân so với góc \(BC\), thì chân \(AB\) là cạnh liền kề và chân \(BC\) là đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?
Sin của góc– đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosin của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tiếp tuyến của góc– đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotang của góc– đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).
Trong tam giác của chúng tôi:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:
Cosine→chạm→chạm→liền kề;
Cotang→chạm→chạm→liền kề.
Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và côtang là tỷ số của các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở cùng một góc). Không tin tôi? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:
Ví dụ, hãy xem xét cosin của góc \(\beta \) . Theo định nghĩa, từ một tam giác \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), nhưng chúng ta có thể tính cosin của góc \(\beta \) từ tam giác \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.
Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!
Đối với tam giác \(ABC \) ở hình bên dưới, ta tìm được \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc \(\beta \) .
Câu trả lời: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Đường tròn đơn vị (lượng giác)
Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xem xét một đường tròn có bán kính bằng \(1\) . Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.
Như bạn có thể thấy, vòng tròn này được xây dựng theo Hệ thống Descartes tọa độ Bán kính của đường tròn bằng 1 và tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ, vị trí bắt đầu Vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục \(x\) (trong ví dụ của chúng tôi, đây là bán kính \(AB\)).
Mỗi điểm trên đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục \(x\) và tọa độ dọc theo trục \(y\). Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Xét tam giác \(ACG\) . Nó có hình chữ nhật vì \(CG\) vuông góc với trục \(x\).
\(\cos \ \alpha \) từ tam giác \(ACG \) là gì? Đúng rồi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ngoài ra, chúng ta biết rằng \(AC\) là bán kính của đường tròn đơn vị, có nghĩa là \(AC=1\) . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\sin \ \alpha \) trong tam giác \(ACG \) bằng bao nhiêu? Tất nhiên rồi \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Thay thế giá trị của bán kính \(AC\) vào công thức này và nhận được:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Vì vậy, bạn có thể cho biết điểm \(C\) thuộc đường tròn có tọa độ nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra rằng \(\cos \ \alpha \) và \(\sin \alpha \) chỉ là những con số? \(\cos \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Tất nhiên là tọa độ \(x\)! Và \(\sin \alpha \) tương ứng với tọa độ nào? Đúng rồi, phối hợp \(y\)! Vì vậy, điểm \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Vậy \(tg \alpha \) và \(ctg \alpha \) bằng bao nhiêu? Đúng vậy, hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), MỘT \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:
Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : góc (giáp kề với góc \(\beta \) ). Giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là bao nhiêu \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của hàm lượng giác:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\góc ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(mảng) \)
Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ \(y\) ; giá trị cosin của góc - tọa độ \(x\) ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.
Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục \(x\). Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.
Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là \(360()^\circ \) hoặc \(2\pi \) . Có thể xoay vectơ bán kính theo \(390()^\circ \) hoặc theo \(-1140()^\circ \) không? Tất nhiên là bạn có thể! Trong trường hợp đầu tiên, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), do đó, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí \(30()^\circ \) hoặc \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Trong trường hợp thứ hai, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), nghĩa là, vectơ bán kính sẽ tạo thành ba cuộc cách mạng đầy đủ và sẽ dừng ở vị trí \(-60()^\circ \) hoặc \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau \(360()^\circ \cdot m \) hoặc \(2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là bất kỳ số nguyên nào ), tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.
Hình bên dưới thể hiện góc \(\beta =-60()^\circ \) . Hình ảnh tương tự tương ứng với góc \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) vân vân. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát \(\beta +360()^\circ \cdot m\) hoặc \(\beta +2\pi \cdot m \) (trong đó \(m \) là số nguyên bất kỳ)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Bây giờ, khi đã biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:
Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(mảng)\)
Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Nào, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc trong \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tương ứng với một điểm có tọa độ \(\left(0;1 \right) \) , do đó:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- không tồn tại;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc trong \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) tương ứng với các điểm có tọa độ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \phải) \), tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác trong điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.
Câu trả lời:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- không tồn tại
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- không tồn tại
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- không tồn tại
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- không tồn tại
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:
Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Bạn phải nhớ hoặc có thể xuất nó!! \) !}
Nhưng giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)được đưa ra trong bảng dưới đây, bạn phải nhớ:
Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ chỉ cho bạn một ví dụ về cách ghi nhớ khá đơn giản các giá trị tương ứng:
Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin cho cả ba số đo góc ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), cũng như giá trị tiếp tuyến của góc trong \(30()^\circ \) . Biết các giá trị \(4\) này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosine được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(mảng) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Tử số "\(1 \)" sẽ tương ứng với \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) và mẫu số "\(\sqrt(\text(3)) \)" sẽ tương ứng với \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có mũi tên thì chỉ cần nhớ các giá trị \(4\) từ bảng là đủ.
Tọa độ của một điểm trên đường tròn
Có thể tìm được một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn khi biết tọa độ tâm của đường tròn, bán kính và góc quay của nó không? Tất nhiên là bạn có thể! Hãy lấy nó ra công thức tổng quátđể tìm tọa độ của một điểm. Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:
Chúng ta được cho điểm đó \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn là \(1.5\) . Cần tìm tọa độ của điểm \(P\) thu được bằng cách xoay điểm \(O\) theo \(\delta \) độ.
Như có thể thấy trong hình, tọa độ \(x\) của điểm \(P\) tương ứng với độ dài của đoạn \(TP=UQ=UK+KQ\) . Độ dài của đoạn \(UK\) tương ứng với tọa độ \(x\) của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng \(3\) . Độ dài của đoạn \(KQ\) có thể được biểu thị bằng định nghĩa cosin:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Sau đó, chúng ta có điểm \(P\) tọa độ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm thấy giá trị của tọa độ y cho điểm \(P\) . Như vậy,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
Vì vậy, trong cái nhìn tổng quát tọa độ các điểm được xác định theo công thức:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(mảng) \), Ở đâu
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - tọa độ tâm của đường tròn,
\(r\) - bán kính của hình tròn,
\(\delta \) - góc quay của bán kính vectơ.
Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript bị vô hiệu hóa trong trình duyệt của bạn.Để thực hiện tính toán, bạn phải kích hoạt điều khiển ActiveX!
Chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu lượng giác với tam giác vuông. Chúng ta hãy xác định sin và cosin là gì, cũng như tiếp tuyến và cotang của một góc nhọn. Đây là những điều cơ bản của lượng giác.
Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn rằng góc vuông là một góc bằng 90 độ. Nói cách khác, một nửa góc quay.
Góc nhọn- dưới 90 độ.
góc tù- lớn hơn 90 độ. Khi áp dụng cho một góc độ như vậy, "nghiêng" không phải là một sự xúc phạm mà là một thuật ngữ toán học :-)
Hãy vẽ một hình tam giác vuông. Góc vuông thường được ký hiệu là . Xin lưu ý rằng cạnh đối diện với góc được biểu thị bằng cùng một chữ cái, chỉ nhỏ. Do đó, cạnh đối diện với góc A được gọi là .
Góc được biểu thị bằng ký hiệu tương ứng chữ cái Hy Lạp.
Cạnh huyền của tam giác vuông là cạnh đối diện với góc vuông.
chân- các cạnh đối diện với nhau là góc nhọn.
Chân nằm đối diện với góc gọi là đối diện(so với góc). Chân còn lại nằm trên một cạnh của góc được gọi là liền kề.
xoang góc nhọn ở tam giác vuông- đây là một thái độ chân đối diệnđến cạnh huyền:
Cô sin góc nhọn trong tam giác vuông - tỉ số chân liền kềđến cạnh huyền:
Đường tiếp tuyến góc nhọn trong tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề:
Một định nghĩa khác (tương đương): tiếp tuyến của một góc nhọn là tỉ số giữa sin của góc và cosin của nó:
cotang góc nhọn trong một tam giác vuông - tỷ lệ của cạnh liền kề với cạnh đối diện (hoặc, tương tự, tỷ lệ cosin với sin):
Lưu ý các mối quan hệ cơ bản của sin, cos, tang và cotang dưới đây. Chúng sẽ hữu ích cho chúng ta khi giải quyết vấn đề.
Hãy chứng minh một số trong số họ.
Được rồi, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa và công thức viết ra. Nhưng tại sao chúng ta vẫn cần sin, cos, tang và cotang?
Chúng tôi biết điều đó tổng các góc của một tam giác đều bằng.
Chúng ta biết mối quan hệ giữa các bữa tiệc tam giác bên phải. Đây là định lý Pythagore: .
Hóa ra khi biết hai góc trong một tam giác, bạn có thể tìm được góc thứ ba. Biết hai cạnh của một tam giác vuông, bạn có thể tìm được cạnh thứ ba. Điều này có nghĩa là các góc có tỷ lệ riêng và các cạnh có tỷ lệ riêng. Nhưng bạn phải làm gì nếu trong một tam giác vuông bạn biết một góc (trừ góc vuông) và một cạnh nhưng cần tìm các cạnh còn lại?
Đây là điều mà người xưa đã gặp phải khi lập bản đồ khu vực và bầu trời đầy sao. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể đo trực tiếp tất cả các cạnh của một tam giác.
Sin, cosin và tiếp tuyến - chúng còn được gọi là hàm số góc lượng giác- nêu mối quan hệ giữa các bữa tiệc Và góc tam giác. Biết góc, bạn có thể tìm thấy tất cả các hàm lượng giác của nó bằng các bảng đặc biệt. Và biết các sin, cosin và tiếp tuyến của các góc của một tam giác và một trong các cạnh của nó, bạn có thể tìm thấy phần còn lại.
Chúng ta cũng sẽ vẽ một bảng các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang cho các góc “tốt” từ đến.
Xin lưu ý hai dấu gạch ngang màu đỏ trong bảng. Ở các giá trị góc thích hợp, tiếp tuyến và cotang không tồn tại.
Chúng ta hãy xem xét một số bài toán lượng giác từ Ngân hàng Nhiệm vụ FIPI.
1. Trong một tam giác, góc là , . Tìm thấy .
Vấn đề được giải quyết trong bốn giây.
Từ , .
2. Trong một tam giác, góc là , , . Tìm thấy .
Hãy tìm nó bằng định lý Pythagore.
Vấn đề đã được giải quyết.
Thông thường trong các bài toán có các hình tam giác có góc và hoặc có góc và. Hãy ghi nhớ các tỷ lệ cơ bản cho chúng!
Đối với một tam giác có các góc và cạnh đối diện thì góc at bằng một nửa cạnh huyền.
Một tam giác có các góc và cân. Trong đó, cạnh huyền lớn hơn chân gấp nhiều lần.
Chúng ta đã xem xét các bài toán giải tam giác vuông - tức là tìm các cạnh hoặc góc chưa biết. Nhưng đó không phải là tất cả! TRONG Tùy chọn bài kiểm tra trạng thái thống nhất Trong toán học có rất nhiều bài toán liên quan đến sin, cosin, tiếp tuyến hoặc cotang của góc ngoài của một tam giác. Thêm về điều này trong bài viết tiếp theo.
Bài giảng: Sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc tùy ý
Sin, cosin của một góc tùy ý
Để hiểu hàm lượng giác là gì, chúng ta hãy nhìn vào một hình tròn có bán kính đơn vị. Cho vòng tròn có tâm tại gốc tọa độ tại mặt phẳng tọa độ. Để xác định chức năng quy định chúng ta sẽ sử dụng vectơ bán kính HOẶC, bắt đầu từ tâm đường tròn và điểm R là một điểm trên đường tròn Vectơ bán kính này tạo thành một góc alpha với trục Ồ. Vì hình tròn có bán kính bằng một, Cái đó HOẶC = R = 1.
Nếu từ điểm R hạ đường vuông góc với trục Ồ, thì ta được một tam giác vuông có cạnh huyền bằng một.
Nếu vectơ bán kính di chuyển theo chiều kim đồng hồ thì hướng này gọi điện tiêu cực, nếu nó di chuyển ngược chiều kim đồng hồ - tích cực.
Sin của góc HOẶC, là tọa độ của điểm R vectơ trên đường tròn.
Nghĩa là, để có được giá trị sin góc đã cho alpha cần phải xác định tọa độ bạn trên một chiếc máy bay.
Làm sao giá trị đã chođã được nhận? Vì chúng ta biết rằng sin của một góc tùy ý trong một tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh huyền, nên chúng ta có được điều đó
Và kể từ đó R=1, Cái đó sin(α) = y 0 .
Trong vòng tròn đơn vị, giá trị thứ cấp không được nhỏ hơn -1 và lớn hơn 1, nghĩa là
Xoang chấp nhận giá trị dương trong phần tư thứ nhất và thứ hai của vòng tròn đơn vị, và trong phần thứ ba và thứ tư - âm.
Cosin của gócđường tròn cho trước được hình thành bởi vectơ bán kính HOẶC, là hoành độ của điểm R vectơ trên đường tròn.
Nghĩa là, để thu được giá trị cosin của một góc alpha cho trước thì cần xác định tọa độ X trên một chiếc máy bay.
Cosin của một góc tùy ý trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền, ta thu được điều đó
Và kể từ đó R=1, Cái đó cos(α) = x 0 .
Trong vòng tròn đơn vị, giá trị hoành độ không được nhỏ hơn -1 và lớn hơn 1, nghĩa là
Cosine nhận giá trị dương trong phần tư thứ nhất và thứ tư của vòng tròn đơn vị, và âm trong phần tư thứ hai và thứ ba.
Đường tiếp tuyếngóc tùy ý Tỷ số của sin và cosin được tính toán.
Nếu chúng ta xem xét một tam giác vuông thì đây là tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh liền kề. Nếu như chúng ta đang nói về về đường tròn đơn vị thì đây là tỉ số của tọa độ và hoành độ.
Đánh giá theo các mối quan hệ này, có thể hiểu rằng tiếp tuyến không thể tồn tại nếu giá trị hoành độ bằng 0, tức là ở góc 90 độ. Tiếp tuyến có thể nhận tất cả các giá trị khác.
Tiếp tuyến dương ở phần tư thứ nhất và thứ ba của vòng tròn đơn vị, và âm ở phần tư thứ hai và thứ tư.
Sin là một trong những hàm lượng giác cơ bản, việc sử dụng nó không chỉ giới hạn ở hình học. Các bảng tính các hàm lượng giác, như máy tính kỹ thuật, không phải lúc nào cũng có sẵn và việc tính sin đôi khi cần thiết để giải nhiệm vụ khác nhau. Nhìn chung, việc tính sin sẽ giúp củng cố kỹ năng vẽ và kiến thức về nhận thức lượng giác.
Trò chơi với thước kẻ và bút chì
Một nhiệm vụ đơn giản: làm thế nào để tìm sin của một góc vẽ trên giấy? Để giải, bạn sẽ cần thước thông thường, hình tam giác (hoặc la bàn) và bút chì. Cách đơn giản nhất để tính sin của một góc là chia cạnh xa của một tam giác có góc vuông cho cạnh dài - cạnh huyền. Vì vậy, trước tiên bạn cần hoàn thiện góc nhọn thành hình tam giác vuông bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với một trong các tia ở một khoảng cách tùy ý tính từ đỉnh của góc. Chúng ta sẽ cần duy trì một góc chính xác là 90°, vì vậy chúng ta cần một hình tam giác nhọn.
Dùng la bàn thì chính xác hơn một chút nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn. Trên một trong các tia bạn cần đánh dấu 2 điểm ở một khoảng cách nhất định, điều chỉnh bán kính trên la bàn, xấp xỉ bằng khoảng cách giữa các điểm và vẽ các hình bán nguyệt có tâm tại các điểm này cho đến khi thu được giao điểm của các đường này. Bằng cách nối các điểm giao nhau của các đường tròn của chúng ta với nhau, chúng ta có được một đường vuông góc nghiêm ngặt với tia của góc của chúng ta, tất cả những gì còn lại là kéo dài đường thẳng cho đến khi nó giao nhau với một tia khác.
Trong tam giác thu được, bạn cần dùng thước để đo cạnh đối diện với góc và cạnh dài trên một trong các tia. Tỷ lệ của chiều thứ nhất so với chiều thứ hai sẽ là giá trị mong muốn của sin của góc nhọn.
Tìm sin cho một góc lớn hơn 90°
Vì góc tù nhiệm vụ không khó khăn hơn nhiều. Bạn cần vẽ một tia từ đỉnh tới phía đối diện dùng thước kẻ vẽ một đường thẳng chứa một trong các tia của góc mà ta quan tâm. Với những gì nhận được góc nhọn nên tiến hành như mô tả ở trên, xoang các góc liền kề, tạo thành một góc ngược 180°, bằng nhau.
Tính sin bằng các hàm lượng giác khác
Ngoài ra, có thể tính sin nếu biết giá trị của các hàm lượng giác khác của góc hoặc ít nhất là độ dài các cạnh của tam giác. Đồng nhất thức lượng giác sẽ giúp chúng ta điều này. Hãy xem xét các ví dụ phổ biến.
Làm thế nào để tìm sin với cosin của một góc đã biết? Đồng nhất thức lượng giác đầu tiên, dựa trên định lý Pythagore, phát biểu rằng tổng bình phương của sin và cosin của cùng một góc bằng một.
Làm thế nào để tìm sin khi biết tiếp tuyến của một góc? Tiếp tuyến có được bằng cách chia cạnh xa cho cạnh gần hoặc chia sin cho cosin. Như vậy, sin sẽ là tích của cosin và tiếp tuyến, và bình phương của sin sẽ là bình phương của tích này. Chúng ta thay thế cosin bình phương bằng hiệu giữa 1 và sin vuông theo công thức đầu tiên nhận dạng lượng giác và thông qua các thao tác đơn giản chúng ta quy giản phương trình về phép tính sin bình phương qua tang;
Làm thế nào để tìm sin với cotang đã biết của một góc? Giá trị của cotang có thể được tính bằng cách chia chiều dài của cạnh gần góc nhất cho chiều dài của cạnh ở xa và cũng bằng cách chia cosin cho sin, nghĩa là cotang là một hàm, nghịch đảo của tiếp tuyến so với số 1. Để tính sin, bạn có thể tính tiếp tuyến bằng công thức tg α = 1 / ctg α và sử dụng công thức trong tùy chọn thứ hai. Bạn cũng có thể rút ra một công thức trực tiếp bằng cách tương tự với tiếp tuyến, trông giống như như sau.
Cách tìm sin ba cạnh của một tam giác
Có công thức tính độ dài bên chưa biết bất kỳ tam giác nào, không chỉ tam giác vuông, trong hai các bên đã biết bằng cách sử dụng hàm lượng giác của cosin của góc đối diện. Cô ấy trông như thế này.
Tôi nghĩ bạn xứng đáng được nhiều hơn thế này. Đây là chìa khóa lượng giác của tôi:
- Vẽ mái vòm, tường và trần nhà
- Các hàm lượng giác không gì khác hơn là phần trăm ba hình thức này.
Ẩn dụ cho sin và cosin: mái vòm
Thay vì chỉ nhìn vào các hình tam giác, hãy tưởng tượng chúng hoạt động bằng cách tìm một số ví dụ đặc biệt từ cuộc sống.
Hãy tưởng tượng bạn đang ở giữa một mái vòm và muốn treo một màn hình máy chiếu phim. Bạn chỉ ngón tay vào mái vòm ở một góc “x” nhất định và màn hình sẽ bị treo từ thời điểm này.
Góc bạn trỏ tới sẽ xác định:
- sin(x) = sin(x) = chiều cao màn hình (từ sàn đến điểm lắp mái vòm)
- cosine(x) = cos(x) = khoảng cách từ bạn đến màn hình (theo tầng)
- cạnh huyền, khoảng cách từ bạn đến đỉnh màn hình luôn bằng nhau, bằng bán kính của vòm
Bạn có muốn màn hình càng lớn càng tốt? Treo nó ngay phía trên bạn.
Bạn có muốn màn hình treo càng xa bạn càng tốt không? Treo nó thẳng vuông góc. Màn hình sẽ có chiều cao bằng 0 ở vị trí này và sẽ treo ở vị trí xa nhất, như bạn đã yêu cầu.
Chiều cao và khoảng cách từ màn hình tỷ lệ nghịch với nhau: màn hình treo càng gần thì chiều cao của nó càng lớn.
Sin và cosine là tỷ lệ phần trăm
Than ôi, không ai trong suốt những năm tôi học tập giải thích cho tôi rằng các hàm lượng giác sin và cosin chẳng qua là tỷ lệ phần trăm. Giá trị của chúng nằm trong khoảng từ +100% đến 0 đến -100% hoặc từ mức tối đa dương đến 0 đến mức tối đa âm.
Giả sử tôi đã trả khoản thuế 14 rúp. Bạn không biết nó là bao nhiêu. Nhưng nếu bạn nói rằng tôi đã nộp 95% thuế, bạn sẽ hiểu rằng tôi chỉ đơn giản là bị lừa.
Chiều cao tuyệt đối không có nghĩa gì cả. Nhưng nếu giá trị sin là 0,95 thì tôi hiểu rằng TV đang được treo gần như trên đỉnh mái vòm của bạn. Anh ấy sẽ sớm đạt được chiều cao tối đaở trung tâm của mái vòm và sau đó lại bắt đầu giảm xuống.
Làm thế nào chúng ta có thể tính toán tỷ lệ phần trăm này? Rất đơn giản: chia chiều cao màn hình hiện tại cho mức tối đa có thể (bán kính của mái vòm, còn gọi là cạnh huyền).
Đó là lý do tại sao chúng ta được biết rằng “cosine = cạnh đối diện/cạnh huyền”. Đó là tất cả về việc nhận được sự quan tâm! Tốt nhất nên định nghĩa sin là “tỷ lệ phần trăm của chiều cao hiện tại so với mức tối đa có thể”. (Sine trở nên âm nếu góc của bạn chỉ "ngầm". Cosin trở thành âm nếu góc hướng về điểm vòm phía sau bạn.)
Hãy đơn giản hóa các phép tính bằng cách giả sử chúng ta đang ở tâm của vòng tròn đơn vị (bán kính = 1). Chúng ta có thể bỏ qua phép chia và chỉ lấy sin bằng chiều cao.
Mỗi vòng tròn về cơ bản là một đơn vị, được phóng to hoặc thu nhỏ theo tỷ lệ đúng kích cỡ. Vì vậy, hãy xác định các kết nối vòng tròn đơn vị và áp dụng kết quả cho kích thước vòng tròn cụ thể của bạn.
Thử nghiệm: lấy bất kỳ góc nào và xem nó hiển thị bao nhiêu phần trăm chiều cao so với chiều rộng:
Đồ thị tăng trưởng của giá trị sin không chỉ là một đường thẳng. 45 độ đầu tiên bao phủ 70% chiều cao, nhưng 10 độ cuối cùng (từ 80° đến 90°) chỉ bao phủ 2%.
Điều này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn: nếu bạn đi theo vòng tròn, ở góc 0° bạn sẽ đứng gần như thẳng đứng, nhưng khi bạn đến gần đỉnh mái vòm, độ cao ngày càng thay đổi ít hơn.
Tiếp tuyến và cát tuyến. Tường
Một ngày nọ, người hàng xóm xây một bức tường ngay cạnh nhauđến mái vòm của bạn. Khóc quan điểm của bạn từ cửa sổ và một mức giá tốt để bán lại!
Nhưng liệu bằng cách nào đó có thể giành chiến thắng trong tình huống này?
Tất nhiên là có. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta treo màn hình chiếu phim ngay trên tường nhà hàng xóm? Bạn nhắm mục tiêu góc (x) và nhận được:
- tan(x) = tan(x) = chiều cao màn hình trên tường
- khoảng cách từ bạn đến bức tường: 1 (đây là bán kính mái vòm của bạn, bức tường không di chuyển đi đâu xa bạn, phải không?)
- secant(x) = sec(x) = “chiều dài của cái thang” tính từ bạn đứng ở giữa mái vòm đến đỉnh của màn treo
Hãy làm rõ một số điểm liên quan đến tiếp tuyến hoặc chiều cao màn hình.
- nó bắt đầu từ 0 và có thể tăng cao vô hạn. Bạn có thể kéo dài màn hình ngày càng cao trên tường để tạo ra một khung vẽ vô tận để xem bộ phim yêu thích của mình! (Tất nhiên, đối với một cái lớn như vậy, bạn sẽ phải chi rất nhiều tiền).
- tiếp tuyến chỉ là một phiên bản lớn hơn của sin! Và trong khi mức tăng của sin chậm lại khi bạn di chuyển về phía đỉnh mái vòm, thì tiếp tuyến vẫn tiếp tục tăng!
Sekansu cũng có điều để khoe:
- Secant bắt đầu từ 1 (thang nằm trên sàn, từ bạn đến tường) và bắt đầu đi lên từ đó
- Đường cát tuyến luôn dài hơn đường tiếp tuyến. Chiếc thang nghiêng mà bạn sử dụng để treo màn hình phải dài hơn chính màn hình phải không? (Với các kích thước không thực tế, khi màn hình quá dài và thang cần được đặt gần như theo chiều dọc, kích thước của chúng gần như giống nhau. Nhưng ngay cả khi đó secant sẽ dài hơn một chút).
Hãy nhớ rằng, các giá trị là phần trăm. Nếu bạn quyết định treo màn hình một góc 50 độ thì tan(50)=1,19. Màn hình của bạn lớn hơn 19% so với khoảng cách tới tường (bán kính vòm).
(Nhập x=0 và kiểm tra trực giác của bạn - tan(0) = 0 và sec(0) = 1.)
Cotang và cosecant. Trần nhà
Thật đáng kinh ngạc, người hàng xóm của bạn giờ đây đã quyết định xây một mái nhà trên mái vòm của bạn. (Anh ấy bị sao vậy? Có vẻ như anh ấy không muốn bạn theo dõi khi anh ấy khỏa thân đi dạo quanh sân...)
Chà, đã đến lúc xây một lối thoát lên mái nhà và nói chuyện với hàng xóm của bạn. Bạn chọn góc nghiêng và bắt đầu thi công:
- khoảng cách thẳng đứng giữa cửa thoát gió trên mái và sàn nhà luôn bằng 1 (bán kính của mái vòm)
- cotang(x) = cot(x) = khoảng cách giữa đỉnh mái vòm và điểm thoát
- cosecant(x) = csc(x) = độ dài đường đi của bạn tới mái nhà
Tiếp tuyến và cát tuyến mô tả bức tường, COtang và COsecant mô tả trần nhà.
Kết luận trực quan của chúng tôi lần này tương tự như những kết luận trước:
- Nếu bạn lấy góc bằng 0°, lối ra mái nhà của bạn sẽ tồn tại mãi mãi vì nó sẽ không bao giờ chạm tới trần nhà. Vấn đề.
- Bạn sẽ có được “thang” ngắn nhất lên mái nhà nếu bạn xây nó ở góc 90 độ so với sàn nhà. Cotang sẽ bằng 0 (chúng ta hoàn toàn không di chuyển dọc theo mái nhà, chúng ta thoát ra theo phương vuông góc) và cosec sẽ bằng 1 (“chiều dài của thang” sẽ là tối thiểu).
Trực quan hóa các kết nối
Nếu cả ba trường hợp được vẽ theo kiểu kết hợp mái vòm-tường-trần thì kết quả sẽ như sau:
Chà, nó vẫn là hình tam giác đó, tăng kích thước lên tới tường và trần nhà. Chúng ta có các cạnh thẳng đứng (sin, tiếp tuyến), các cạnh ngang (cosine, cotang) và “cạnh huyền” (secant, cosecant). (Bằng các mũi tên, bạn có thể thấy vị trí của từng phần tử. Cosecant là tổng khoảng cách từ bạn đến mái nhà).
Một chút phép thuật. Tất cả các tam giác đều có chung đẳng thức:
Từ định lý Pythagore (a 2 + b 2 = c 2), chúng ta thấy các cạnh của mỗi tam giác được nối với nhau như thế nào. Ngoài ra, tỷ lệ “chiều cao và chiều rộng” cũng phải giống nhau đối với tất cả các hình tam giác. (Chỉ cần lùi lại từ tam giác lớnđến ít hơn. Có, kích thước đã thay đổi nhưng tỷ lệ khung hình vẫn giữ nguyên).
Biết cạnh nào trong mỗi tam giác bằng 1 (bán kính của hình vòm), chúng ta có thể dễ dàng tính được “sin/cos = tan/1”.
Tôi luôn cố gắng ghi nhớ những sự thật này bằng cách hình dung đơn giản. Trong hình, bạn thấy rõ những sự phụ thuộc này và hiểu chúng đến từ đâu. Kỹ thuật này nhiều tốt hơn việc ghi nhớ công thức khô.
Đừng quên những góc độ khác
Psst... Đừng mắc kẹt vào một đồ thị, nghĩ rằng tiếp tuyến luôn nhỏ hơn 1. Nếu tăng góc lên, bạn có thể chạm tới trần nhà mà không chạm tới tường:
Các kết nối Pythagore luôn hoạt động, nhưng kích thước tương đối có thể khác.
(Bạn có thể nhận thấy rằng tỷ số sin và cosin luôn nhỏ nhất vì chúng nằm trong hình vòm).
Tóm lại: chúng ta cần nhớ điều gì?
Đối với hầu hết chúng ta, tôi muốn nói điều này là đủ:
- lượng giác giải thích cấu trúc của các đối tượng toán học như vòng tròn và các khoảng lặp lại
- Sự tương tự giữa mái vòm/tường/mái cho thấy mối quan hệ giữa các hàm lượng giác khác nhau
- Các hàm lượng giác dẫn đến tỷ lệ phần trăm mà chúng tôi áp dụng cho kịch bản của mình.
Bạn không cần phải ghi nhớ các công thức như 1 2 + cot 2 = csc 2 . Chúng chỉ thích hợp cho những bài kiểm tra ngu ngốc, trong đó kiến thức về một sự kiện được coi là sự hiểu biết về nó. Hãy dành một phút để vẽ một hình bán nguyệt có dạng mái vòm, bức tường và mái nhà, dán nhãn cho các phần tử và tất cả các công thức sẽ đến với bạn trên giấy.
ứng dụng: Hàm nghịch đảo
Bất kì hàm lượng giác lấy một góc làm đầu vào và trả về kết quả dưới dạng phần trăm. tội lỗi (30) = 0,5. Điều này có nghĩa là góc 30 độ chiếm 50% chiều cao tối đa.
Hàm lượng giác nghịch đảo được viết là sin -1 hoặc arcsin. Nó cũng thường được viết là asin trong nhiều ngôn ngữ khác nhau lập trình.
Nếu chiều cao của chúng ta bằng 25% chiều cao của mái vòm thì góc của chúng ta là bao nhiêu?
Trong bảng tỷ lệ của chúng tôi, bạn có thể tìm thấy tỷ lệ trong đó cát tuyến được chia cho 1. Ví dụ: cát tuyến cho 1 (cạnh huyền với phương ngang) sẽ bằng 1 chia cho cosin:
Giả sử sec của chúng ta là 3,5, tức là 350% bán kính của một vòng tròn đơn vị. Giá trị này tương ứng với góc nghiêng nào của tường?
Phụ lục: Một số ví dụ
Ví dụ: Tìm sin của góc x.
Một nhiệm vụ nhàm chán. Chúng ta hãy phức tạp hóa việc "tìm sin" tầm thường thành "Chiều cao tính theo phần trăm của mức tối đa (cạnh huyền) là bao nhiêu?"
Đầu tiên, hãy chú ý rằng hình tam giác được xoay. Không có gì sai với điều đó. Hình tam giác cũng có chiều cao, nó được biểu thị bằng màu xanh lá cây trong hình.
Cạnh huyền bằng bao nhiêu? Theo định lý Pythagore, chúng ta biết rằng:
3 2 + 4 2 = cạnh huyền 2 25 = cạnh huyền 2 5 = cạnh huyền
Khỏe! Sin là phần trăm chiều cao của cạnh dài nhất của tam giác, hay cạnh huyền. Trong ví dụ của chúng tôi, sin là 3/5 hoặc 0,60.
Tất nhiên, chúng ta có thể đi theo nhiều cách. Bây giờ chúng ta biết rằng sin là 0,60, chúng ta có thể tìm arcsine một cách đơn giản:
Asin(0,6)=36,9
Đây là một cách tiếp cận khác. Lưu ý rằng hình tam giác “hướng vào tường”, vì vậy chúng ta có thể sử dụng tiếp tuyến thay vì sin. Chiều cao là 3, khoảng cách đến tường là 4 nên tiếp tuyến là ¾ hoặc 75%. Chúng ta có thể sử dụng arctang để chuyển từ giá trị phần trăm trở lại một góc:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Ví dụ: Bạn sẽ bơi vào bờ chứ?
Bạn đang ở trên một chiếc thuyền và bạn có đủ nhiên liệu để đi được 2 km. Bây giờ bạn đang cách bờ biển 0,25 km. Bạn có thể bơi vào bờ ở góc tối đa bao nhiêu để có đủ nhiên liệu? Bổ sung cho câu lệnh bài toán: chúng ta chỉ có một bảng các giá trị cung cosin.
Chúng ta có gì? bờ biển có thể được biểu diễn dưới dạng một “bức tường” trong tam giác nổi tiếng của chúng ta, và “chiều dài của một cái thang” gắn vào bức tường là khoảng cách tối đa có thể đi được bằng thuyền đến bờ (2 km). Một sect xuất hiện.
Đầu tiên, bạn cần phải đi đến phần trăm. Ta có 2/0,25 = 8, tức là ta có thể bơi được quãng đường gấp 8 lần khoảng cách thẳng tới bờ (hoặc tới tường).
Câu hỏi được đặt ra: “Sec của 8 là gì?” Nhưng chúng ta không thể trả lời nó vì chúng ta chỉ có cung cosin.
Chúng ta sử dụng các phụ thuộc dẫn xuất trước đó để liên hệ cát tuyến với cosin: “sec/1 = 1/cos”
Sekans 8 bằng cosin⅛. Một góc có cosin bằng ⅛ thì bằng acos(1/8) = 82,8. Và đây là góc lớn nhất mà chúng ta có thể có được trên một chiếc thuyền với lượng nhiên liệu quy định.
Không tệ, phải không? Nếu không có sự tương tự như mái vòm-tường-trần, tôi sẽ lạc lối trong một loạt các công thức và phép tính. Việc hình dung bài toán giúp đơn giản hóa đáng kể việc tìm kiếm lời giải và cũng rất thú vị khi xem hàm lượng giác nào cuối cùng sẽ giúp ích.
Đối với mỗi vấn đề, hãy suy nghĩ như sau: Tôi quan tâm đến mái vòm (sin/cos), bức tường (tan/sec) hay trần nhà (cũi/csc)?
Và lượng giác sẽ trở nên thú vị hơn nhiều. Tính toán dễ dàng cho bạn!