Trực tiếp ( MN), chỉ có một với đường tròn của nó điểm chung (MỘT), gọi điện đường tiếp tuyến đến vòng tròn.
Điểm chung được gọi trong trường hợp này điều khoản của hợp đồng.
Khả năng tồn tại đường tiếp tuyến, và hơn nữa, được vẽ qua bất kỳ điểm nào vòng tròn, như một điểm tiếp tuyến, được chứng minh như sau định lý.
Hãy để nó được yêu cầu thực hiện vòng tròn với trung tâm ồ đường tiếp tuyến qua điểm MỘT. Để làm điều này từ điểm MỘT, từ trung tâm, chúng tôi mô tả vòng cung bán kính A.O., và từ điểm ồ, là tâm, chúng ta cắt cung này tại các điểm B Và VỚI một nghiệm la bàn bằng đường kính của đường tròn đã cho.
Sau khi chi tiêu thì hợp âm O.B. Và hệ điều hành, nối dấu chấm MỘT có dấu chấm D Và E, tại đó các dây này giao nhau với một đường tròn cho trước. Trực tiếp QUẢNG CÁO Và A.E. - tiếp tuyến của đường tròn ồ. Thật vậy, từ cách xây dựng có thể thấy rõ rằng Hình tam giác AOB Và AOC cân(AO = AB = AC) với các căn cứ O.B. Và hệ điều hành, bằng đường kính vòng tròn ồ.
Bởi vì OD Và O.E.- bán kính, sau đó D - ở giữa O.B., MỘT E- ở giữa hệ điều hành, Có nghĩa QUẢNG CÁO Và A.E. - trung vị, được vẽ về các đáy của các tam giác cân, và do đó vuông góc với các đáy này. Nếu thẳng D.A. Và E.A. vuông góc với bán kính OD Và O.E., sau đo họ - tiếp tuyến.
Kết quả.
Hai tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn bằng nhau và tạo thành các góc bằng nhau với đường thẳng nối điểm này với tâm.
Vì thế AD=AE và ∠ OAD = ∠OAE bởi vì tam giác vuông AOD Và AOE, có điểm chung cạnh huyền A.O. và bằng nhau chân OD Và O.E.(dưới dạng bán kính), bằng nhau. Lưu ý rằng ở đây từ “tiếp tuyến” thực sự có nghĩa là “ đoạn tiếp tuyến” từ một điểm nhất định đến điểm tiếp xúc.
1. Hai tiếp tuyến của một điểm.
Vẽ hai tiếp tuyến $$AM$$ và $$AN$$ thành một đường tròn có tâm tại điểm $$O$$, các điểm $$M$$ và $$N$$ nằm trên đường tròn (Hình 1) .
Theo định nghĩa của tiếp tuyến $$OM \perp AM$$ và $$ON \perp AN$$. Trong các tam giác vuông $$AOM$$ và $$AON$$, cạnh huyền $$AO$$ là cạnh huyền chung, hai cạnh $$OM$$ và $$ON$$ bằng nhau, nghĩa là $$\Delta AOM = \ Đồng bằng AON$$. Từ sự bằng nhau của các tam giác này, suy ra $$AM=AN$$ và $$\angle MAO = \angle NAO$$. Do đó, nếu vẽ hai tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn thì:
1,1$$(\^{\circ}$$. !} các đoạn tiếp tuyến từ điểm này đến các điểm tiếp tuyến đều bằng nhau;
1,2$$(\^{\circ}$$. !} đường thẳng đi qua tâm đường tròn và điểm nhất định, chia đôi góc giữa các tiếp tuyến.
Sử dụng thuộc tính 1.1$$(\^{\circ}$$, легко решим следующие две задачи. (В решении используется тот факт, что в каждый треугольник можно вписать окружность).!}
Dựa trên $$AC$$ Tam giác cân$$ABC$$ nằm ở điểm $$D$$, với $$DA = a$$, $$DC = b$$ (Hình 2). Các đường tròn nội tiếp trong tam giác $$ABD$$ và $$DBC$$ tiếp tuyến với đường thẳng $$BD$$ tại các điểm $$M$$ và $$N$$ tương ứng. Tìm đoạn $$MN$$.
.
$$\tam giác$$ Cho $$a > b $$. Ta ký hiệu $$x = MN$$, $$y = ND$$, $$z = BM$$.
Theo tính chất tiếp tuyến $$DE = y$$, $$KD = x + y $$, $$AK = AP = a - (x + y)$$, $$CE = CF = b - y$$ , $ $BP = z$$ và $$BF = z + x$$. Hãy bày tỏ bên(Hình 2a): $$AB = z+a-x-y$$, $$BC=z+x-b-y$$. Theo điều kiện $$AB=BC$$, do đó $$z+a-x -y = z+x+b-y$$. Từ đây chúng ta tìm thấy $$x=\frac((a-b))(2)$$, tức là $$MN=\frac((a-b))(2)$$. Nếu $$a \lt b$$, thì $$MN=\frac((b-a))(2)$$. Vì vậy $$MN=\frac(1)(2)|a-b|$$. $$\blacktam giác$$
TRẢ LỜI
$$\frac(|a-b|) (2)$$
Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tổng các cạnh bằng hai lần tổng bán kính của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, tức là $$a+b=2R+2r$$.
$$\tam giác$$ Đặt $$M$$, $$N$$ và $$K$$ là các điểm tiếp tuyến giữa các cạnh của tam giác vuông $$ABC$$ (Hình 3), $$AC =b$$, $$BC=a$$, $$r$$ - bán kính của đường tròn nội tiếp, $$R$$ - bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Hãy nhớ rằng cạnh huyền là đường kính của đường tròn ngoại tiếp: $$AB=2R$$. Hơn nữa, $$OM \perp AC$$, $$BC \perp AC$$, do đó, $$OM \parallel BC$$, tương tự như $$ON \perp BC$$, $$AC \perp BC$$ , có nghĩa là $$ON \parallel AC$$. Tứ giác $$MONC$$ theo định nghĩa là hình vuông, tất cả các cạnh của nó bằng $$r$$, vì vậy $$AM = b - r$$ và $$BN = a - r$$.
Theo tính chất của các tiếp tuyến $$AK=AM$$ và $$BK=BN$$, do đó $$AB = AK + KB = a+b-2r$$, và vì $$AB=2R$$ , nên chúng ta nhận $$a+b=2R+2r$$. $$\blacktam giác$$
Tài sản 1,2$$(\^{\circ}$$ сформулируем по другому: !} Tâm của đường tròn nội tiếp một góc nằm trên phân giác của góc đó.
Một hình thang $$ABCD$$ có đáy $$AD$$ và $$BC$$ được mô tả xung quanh một đường tròn có tâm tại điểm $$O$$ (Hình 4a).
a) Chứng minh rằng $$\angle AOB = \angle COD = $$90$$(\^{\circ}$$ .!}
b) Tìm bán kính của đường tròn nếu $$BO = \sqrt(5)$$ và $$AO = 2 \sqrt(5)$$. (Hình 4b)
$$\tam giác$$ a) Đường tròn nội tiếp trong góc $$BAD$$, theo tính chất 1.2$$(\^{\circ}$$ $$AO$$ - биссектриса угла $$A$$, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2} \angle A$$; $$BO$$ - биссектриса угла $$B$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle B$$. Из параллельности прямых $$AD$$ и $$BC$$ следует, что $$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$$,поэтому в треугольнике $$AOB$$ из $$\angle 1 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^{\circ}$$ следует $$\angle AOB = 90^{\circ}$$.!}
Tương tự như $$CO$$ và $$DO$$ phân giác của các góc $$C$$ và $$D$$ của hình thang, $$\angle COD = 180^(\circ) - \frac(1)( 2)(\ góc C + \angle D) = 90^(\circ)$$.
b) Tam giác $$AOB$$ vuông với hai chân $$AO = 2 \sqrt(5)$$ và $$BO = \sqrt(5)$$. Tìm cạnh huyền $$AB=\sqrt(20+5) = 5$$. Nếu một đường tròn chạm vào cạnh $$AB$$ tại điểm $$K$$, thì $$OK \perp AB$$ và $$OK$$ là bán kính của đường tròn. Theo tính chất của tam giác vuông, $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, do đó $$OK = \frac(2\sqrt(5)\cdot \sqrt(5))(5) = 2$ $. $$\blacktam giác$$
TRẢ LỜI
2. Góc giữa tiếp tuyến và dây cung với một điểm chung trên đường tròn.
Nhớ rằng số đo của góc nội tiếp bằng một nửa thước đo độ vòng cung mà nó nằm trên đó.
Định lý 1. Số đo góc giữa tiếp tuyến và dây có chung một điểm trên đường tròn bằng nửa số đo của cung bao quanh hai cạnh của nó.
$$\square$$ Đặt $$O$$ là tâm của đường tròn, $$AN$$ là tiếp tuyến (Hình 5). Chúng ta hãy biểu thị góc giữa tiếp tuyến $$AN$$ và dây cung $$AB$$ là $$\alpha$$. Hãy nối các điểm $$A$$ và $$B$$ với tâm của vòng tròn.
Do đó, số đo độ của góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo độ của cung $$AnB$$, được bao quanh giữa các cạnh của nó, và do đó, góc $$BAN$$ bằng nhau với bất kỳ góc nội tiếp nào được chắn bởi cung $$AnB$$ . (Có thể lập luận tương tự cho góc $$MAB$$). $$\blacksquare$$
Điểm $$C$$ nằm trên đường tròn và được ngăn cách với các tiếp tuyến vẽ từ điểm $$M$$ tới đường tròn ở các khoảng cách $$CS = a$$ và $$CP = b$$ (Hình 6). Chứng minh rằng $$CK = \sqrt(ab)$$.
$$\tam giác$$ Hãy vẽ các hợp âm $$CA$$ và $$CB$$. Góc $$SAC$$ giữa tiếp tuyến $$SA$$ và dây cung $$AC$$ bằng góc nội tiếp $$ABC$$. Và góc $$PBC$$ giữa tiếp tuyến $$PB$$ và dây cung $$BC$$ bằng góc nội tiếp $$BAC$$. Chúng ta thu được hai cặp tam giác vuông đồng dạng $$\Delta ASC \sim\Delta BKC$$ và $$\Delta BPC \sim \Delta AKC$$. Từ sự giống nhau, chúng ta có $$\dfrac(a)(AC)=\dfrac(x)(BC)$$ và $$\dfrac(b)(BC)=\dfrac(x)(AC)$$, trong đó ngụ ý $ $ab=x^2$$, $$x=\sqrt(ab)$$. (Nếu hình chiếu của điểm $$C$$ lên đường thẳng $$AB$$ nằm ngoài đoạn $$AB$$ thì chứng minh không thay đổi nhiều). (Ch. v.v.) $$\blacktriangle$$
Thu nhậnáp dụng trong lời giải - vẽ các hợp âm "còn thiếu" - thường giúp giải các bài toán và định lý với đường tròn và tiếp tuyến, chẳng hạn như trong chứng minh định lý sau "về tiếp tuyến và cát tuyến".
Định lý 2. Nếu từ một điểm $$M$$ vẽ tiếp tuyến $$MA$$ và cát tuyến $$MB$$ thành một đường tròn, cắt đường tròn tại điểm $$C$$ (Hình 7), thì đẳng thức $$MA là hợp lệ ^2 = MB \cdot MC$$, tức là nếu một tiếp tuyến và một cát tuyến được vẽ từ một điểm $$M$$ vào một đường tròn thì bình phương của đoạn tiếp tuyến từ điểm $$M$$ đến điểm tiếp tuyến tương đương với sản phẩmđộ dài của các đoạn cát tuyến từ điểm $$M$$ đến các điểm giao nhau của nó với đường tròn.
$$\square$$ Hãy vẽ các hợp âm $$AC$$ và $$AB$$. Góc $$MAC$$ giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp $$ABC$$, cả hai đều được đo bằng nửa số đo của cung $$AnC$$. Trong các tam giác $$MAC$$ và $$MBA$$, các góc $$MAC$$ và $$MBA$$ bằng nhau và góc ở đỉnh $$M$$ là chung. Những hình tam giác này là
tương tự nhau, từ sự giống nhau chúng ta có $$MA/MB = MC/MA$$, ngụ ý $$MA^2 = MB \cdot MC$$. $$\blacksquare$$
Bán kính của hình tròn là $$R$$. Từ điểm $$M$$ vẽ một tiếp tuyến $$MA$$ và một cát tuyến $$MB$$, đi qua tâm $$O$$ của đường tròn (Hình 8). Tìm khoảng cách giữa điểm $$M$$ và tâm của đường tròn nếu $$MB = 2MA$$.
$$\tam giác$$ Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách cần thiết $$x: \: x=MO$$, sau đó $$MB = x+R$$, $$MC=x-R$$ và theo điều kiện $$MA=MB /2= (x+R)/2$$. Theo định lý tiếp tuyến và cát tuyến, $$(x+R)^2/4=(x+R)(x-R)$$, từ đó rút gọn $$(x+R)$$, ta được $$( x+R )/4=x-R$$. Chúng ta dễ dàng tìm được $$x = \dfrac(5)(3)R$$. $$\blacktam giác$$
TRẢ LỜI
$$\dfrac(5)(3)R$$
3. Tính chất của dây tròn.
Sẽ rất hữu ích nếu bạn tự chứng minh các tính chất này (nó được củng cố tốt hơn), bạn có thể phân tích các chứng minh từ sách giáo khoa.
1,3$$(\^{\circ}$$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей. !}
1,4$$(\^{\circ}$$. Равные хорды окружности находятся на !} khoảng cách bằng nhau từ tâm vòng tròn. Ngược lại: các dây bằng nhau nằm ở những khoảng cách bằng nhau tính từ tâm vòng tròn.
1,5$$(\^{\circ}$$. !} Các cung tròn bao quanh giữa hợp âm song song, bằng nhau (Hình 9 sẽ gợi ý cách chứng minh).
1,6$$(\^{\circ}$$. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, то $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды (на рис. 10 $$\Delta AMC \sim \Delta DMB$$). !}
Hãy chứng minh khẳng định sau.
1,7$$(\^{\circ}$$. !} Nếu trong một đường tròn bán kính $$R$$ góc nội tiếp chắn bởi một dây cung có độ dài $$a$$ bằng $$\alpha$$, thì $$a = 2R\textrm(sin)\alpha$$ .
$$\blacksquare$$ Đặt trong đường tròn bán kính $$R$$ dây cung $$BC = a$$, góc nội tiếp $$BAC$$ phụ thuộc dây cung $$a$$, $$\angle BAC = \alpha$$ (Hình 11 a, b).
Hãy vẽ đường kính $$BA^(")$$ và xem xét tam giác vuông$$BA^(")C$$ ($$\góc BCA^(")= 90^(\circ)$$, dựa trên đường kính).
Nếu góc $$A$$ là nhọn (Hình 11a), thì tâm $$O$$ và đỉnh $$A$$ nằm cùng phía của đường thẳng $$BC$$, $$\ góc A^(") = \angle A$$ và $$BC = BA^(") \cdot \textrm(sin)A^(")$$, tức là $$a=2R\textrm(sin)A^ (")$ $.
Nếu góc $$A$$ tù thì tâm $$O$$ và đỉnh $$A$$ nằm dọc các mặt khác nhau từ đường thẳng $$BC$$ (Hình 11b), thì $$\angle A^(") = 180^(\circ) - \angle A$$ và $$BC = BA^(") \cdot \textrm (sin)A^(")$$, tức là $$a=2R\textrm(sin)(180-A^("))=2R\textrm(sin)A^(")$$.
Nếu $$\alpha = 90^(\circ)$$, thì $$BC$$ là đường kính, $$BC = 2R = 2R\textrm(sin)90^(\circ)$$.
Trong mọi trường hợp, đẳng thức $$a=2R\textrm(sin)A^(")$$ là đúng. $$\blacktriangle$$
Vì vậy, $$\boxed(a = 2R\textrm(sin)\alpha)$$ hoặc $$\boxed(R = \dfrac(a)(2\textrm(sin)\alpha))$$. (*)
Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ABC$$, trong đó $$AB = 3\sqrt(3)$$, $$BC = 2$$ và góc $$ABC = 150^(\circ) $$.
$$\tam giác$$ Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ABC$$, đã biết góc $$B$$ ứng với dây $$AC$$. Từ công thức đã được chứng minh, nó suy ra $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)B)$$.
Chúng ta hãy áp dụng định lý cosine cho tam giác $$ABC$$ (Hình 12) và tính đến điều đó
$$\textrm(cos)150^(\circ) = \textrm(cos)(180^(\circ)-30^(\circ)) = -\textrm(cos)30^(\circ) = -\ dfrac(\sqrt(3))(2)$$, chúng ta nhận được
$$AC^2 = 27+4+2\cdot 3\sqrt(3) \cdot 2 \cdot \dfrac(\sqrt(3))(2) = 49,\: AC=7$$.
Chúng ta tìm thấy $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)150^(\circ)) = \dfrac(7)(2\textrm(sin)30^(\circ)) = 7$$. $$\blacktam giác$$
TRẢ LỜI
Ta sử dụng tính chất hai dây cắt nhau để chứng minh định lý sau.
Định lý 3. Cho $$AD$$ là phân giác của tam giác $$ABC$$ thì
$$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$$ , I E. Nếu như$$AB=c,\: AC=b,\: BD=x,\:DC=y$$ , Cái đó$$AD^2 = bc-xy$$ (Hình 13a).
$$\square$$ Hãy mô tả một đường tròn bao quanh tam giác $$ABC$$ (Hình 13b) và biểu thị giao điểm của phần tiếp theo của đường phân giác $$AD$$ với đường tròn là $$B_1$$ . Hãy để chúng tôi biểu thị $$AD = l $$ và $$DB_1 = z $$. Các góc nội tiếp $$ABC$$ và $$AB_1C$$ bằng nhau, $$AD$$ là phân giác của góc $$A$$, do đó $$\Delta ABD \sim \Delta AB_1C$$ (ở hai góc ). Từ sự giống nhau, chúng ta có $$\dfrac(AD)(AC) = \dfrac(AB)(AB_1)$$, tức là $$\dfrac(l)(b) = \dfrac(c)(l+z) $ $, từ đó $$l^2=bc-lz$$. Theo tính chất của các hợp âm giao nhau, $$BD\cdot DC = AD \cdot DB_1$$, tức là $$xy=lz$$, vì vậy chúng ta nhận được $$l^2=bc-xy$$ . $$\blacksquare$$
4. Hai đường tròn tiếp xúc
Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ xét các bài toán với hai đường tròn tiếp tuyến. Hai đường tròn có một điểm chung và một tiếp tuyến chung tại điểm đó gọi là tiếp tuyến. Nếu các đường tròn nằm cùng phía của một tiếp tuyến chung thì chúng được gọi là liên quan nội bộ(Hình 14a), và nếu nằm ở hai phía đối diện của tiếp tuyến thì chúng được gọi là liên quan bên ngoài(Hình 14b).
Nếu $$O_1$$ và $$O_2$$ là tâm của đường tròn thì theo định nghĩa của tiếp tuyến $$AO_1 \perp l$$, $$AO_2 \perp l$$, do đó, trong cả hai trường hợp điểm chungtiếp xúc nằm trên đường tâm.
Hai đường tròn có bán kính $$R_1$$ và $$R_2$$ ($$R_1 > R_2$$) tiếp tuyến nội tại tại điểm $$A$$. Qua điểm $$B$$ nằm trên chu vi lớn hơn, một đường thẳng được vẽ tiếp tuyến với đường tròn nhỏ hơn tại điểm $$C$$ (Hình 15). Tìm $$AB$$ nếu $$BC = a$$.
$$\tam giác$$ Đặt $$O_1$$ và $$O_2$$ là tâm của các đường tròn lớn hơn và nhỏ hơn, $$D$$ là giao điểm của dây cung $$AB$$ với đường tròn nhỏ hơn. Nếu $$O_1N \perp AB$$ và $$O_2M \perp AB$$, thì $$AN=AB/2$$ và $$AM=AD/2$$ (vì bán kính vuông góc với dây cung chia nó thành một nửa). Từ sự giống nhau của các tam giác $$AO_2M$$ và $$AO_1N$$, suy ra $$AN:AM = AO_1:AO_2$$ và do đó, $$AB:AD = R_1:R_2$$.
Theo định lý tiếp tuyến và cát tuyến ta có:
$$BC^2 = AB\cdot BD = AB (AB-AD) = AB^2(1 - \dfrac(AD)(AB))$$,
tức là $$a^2 = AB^2(1-\dfrac(R_2)(R_1))$$.
Vì vậy $$AB = a \sqrt(\dfrac(R_1)(R_1-R_2))$$. $$\blacktam giác$$
Hai đường tròn bán kính $$R_1$$ và $$R_2$$ tiếp tuyến ngoài tại điểm $$A$$ (Hình 16). Tiếp tuyến chung ngoài của chúng tiếp xúc với đường tròn lớn hơn tại điểm $$B$$ và đường tròn nhỏ hơn tại điểm $$C$$. Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ABC$$.
$$\tam giác$$ Hãy kết nối các trung tâm $$O_1$$ và $$O_2$$ với các điểm $$B$$ và $$C$$. Theo định nghĩa của một tiếp tuyến, $$O_1B \perp BC$$ và $$O_2C \perp BC$$. Do đó, $$O_1B \song song O_2C$$ và $$\góc BO_1O_2 + \angle CO_2O_1 = 180^(\circ)$$. Vì $$\angle ABC = \dfrac(1)(2) \angle BO_1A$$ và $$\angle ACB = \dfrac(1)(2) \angle CO_2A$$, nên $$\angle ABC + \ góc ACB = 90^(\circ)$$. Theo đó $$\angle BAC = 90^(\circ)$$ , và do đó bán kính của hình tròn ngoại tiếp một tam giác vuông là $$ABC$$ , bằng một nửa cạnh huyền $$BC$$.
Hãy tìm $$BC$$. Đặt $$O_2K \perp O_1B$$, thì $$KO_2 = BC,\: O_1K = R_1-R_2,\: O_1O_2 = R_1+R_2$$. Sử dụng định lý Pythagore chúng ta tìm thấy:
$$KO_2 = \sqrt(O_1O_2^2 - O_1K^2)= 2\sqrt(R_1R_2), \: \underline(BC = 2\sqrt(R_1R_2) )$$.
Vì vậy, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $$ABC$$ bằng $$\sqrt(R_1R_2)$$. Trong giải pháp $$R_1 > R_2$$, cho $$R_1
TRẢ LỜI
$$\sqrt(R_1R_2)$$
Các đoạn tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ một điểm thì bằng nhau góc bằng nhauđường thẳng đi qua điểm này và tâm đường tròn. BẰNG CHỨNG. A. 3. B. 4. 1. 2. S. O. Theo định lý về tính chất tiếp tuyến, góc 1 và góc 2 là góc vuông nên tam giác ABO và ACO là vuông góc. Họ bình đẳng vì có chung cạnh huyền OA và chân bằng nhau OV và hệ điều hành. Do đó AB = AC và góc 3 = góc 4, đây là điều cần chứng minh.
Trang trình bày 4 từ bài thuyết trình "Hình học vòng tròn". Kích thước của kho lưu trữ với bản trình bày là 316 KB.hình học lớp 8
bản tóm tắt bài thuyết trình khác“Tính chất của tứ giác” - Hình thang. Không biết đã sửa lại lỗi lầm chưa. Các đường chéo chia đôi các góc. Các định nghĩa về tứ giác Đường chéo. Chính tả. Hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau. Mọi góc độ đều đúng. Các góc đối diện. Các yếu tố của một hình bình hành. Người xây dựng. Hình thoi. Tính chất của tứ giác. Các bữa tiệc. Tứ giác và tính chất của chúng. Tứ giác. Giúp Dunno sửa lại lỗi lầm. Đường chéo. Cạnh đối diện.
“Vectơ lớp 8” - Mục tiêu bài học. Tên bằng và vectơ đối diện. Xác định tọa độ của vectơ. Các vectơ bằng nhau. Vector trong bài học vật lý. Tiếp tục câu. Tìm và đặt tên vectơ bằng nhau trong bức tranh này. Tọa độ vectơ. Công việc thực tế. Giá trị tuyệt đối vectơ. Độ lớn tuyệt đối của vectơ. Làm việc độc lập theo cặp. Hiện tượng tự nhiên được mô tả đại lượng vật lý. Vectơ. Tọa độ vectơ.
“Tích vô hướng trong tọa độ” - Khởi động toán học. Giải tam giác. Định lý của Napoléon. Vật liệu mới. Trao đổi thẻ. Hãy giải quyết vấn đề. Hình học. Tên tác giả của định lý. Kết quả. Vectơ. Tính chất của tích vô hướng của vectơ. tích vô hướng trong tọa độ và các tính chất của nó. Chứng minh định lý Pythagore. Bài kiểm tra toán.
“Đối xứng trục trong hình học” - Một hình được gọi là đối xứng qua đường thẳng a. Hình có hai trục đối xứng. Các hình có một trục đối xứng. Dựng các tam giác đối xứng với số liệu theo đường thẳng C. Nội dung. Vẽ các điểm A” và B”. Sự định nghĩa. Sự đối xứng trong thơ. Đối xứng trục. Vẽ hai đường thẳng a, b và đánh dấu hai điểm A, B. Làm thế nào để có được hình đối xứng với hình này. Những từ có trục đối xứng.
Hình học “Đối xứng trục và tâm” - Mô tả hình. Weil Herman. Sự đối xứng trong thế giới thực vật. Khoa học. Sự đối xứng trong thế giới côn trùng. Các góc của một tam giác. Đối xứng quay. Tính tỉ lệ. Thuật toán xây dựng. Trục và đối xứng trung tâm. Các điểm đối xứng về tâm. Sự đối xứng của các điểm so với đường thẳng. Những tính năng quen thuộc. Điều gì đã thu hút bạn đến với những bức ảnh này? Điểm O. Trung tâm và đối xứng trục. Tính đối xứng của hình tương đối thẳng.
“Định lý Thales” lớp 8” - Phân đoạn. Kỹ năng giải quyết vấn đề. Đường chéo. Phân tích. Nhiệm vụ cho bản vẽ đã hoàn thành. Bằng chứng. Học. Những đường thẳng song song. Thales được biết đến như một nhà hình học. Thales của Miletus. Trung điểm của các cạnh. Định lý Thales. Câu nói của Thales. Nhiệm vụ. Tìm các góc của hình thang. Chứng minh.
Thông thường, các vấn đề hình học gây khó khăn cho người nộp đơn, sinh viên tốt nghiệp và người tham gia Olympic toán học. Nếu bạn nhìn vào số liệu thống kê của Kỳ thi Thống nhất năm 2010, bạn có thể thấy rằng bài toán hình học Khoảng 12% người tham gia bắt đầu C4, nhưng chỉ 0,2% người tham gia nhận được điểm tối đa và nhìn chung, nhiệm vụ này hóa ra là khó nhất trong số những nhiệm vụ được đề xuất.
Rõ ràng, chúng ta càng sớm đưa ra cho học sinh những giải pháp hay hoặc bất ngờ cho các vấn đề thì nhiều khả năng hơn gây hứng thú và say mê một cách nghiêm túc và lâu dài. Nhưng thật khó để tìm thấy sự thú vị và nhiệm vụ phức tạpở cấp lớp 7, khi việc nghiên cứu hình học một cách có hệ thống mới bắt đầu. Những gì có thể được cung cấp cho một học sinh quan tâm đến toán học, người chỉ biết dấu bằng của các tam giác, tính chất của các cạnh kề và góc đứng? Tuy nhiên, người ta có thể đưa ra khái niệm tiếp tuyến của đường tròn là một đường thẳng có một điểm chung với đường tròn; Giả sử bán kính vẽ tới điểm tiếp xúc vuông góc với tiếp tuyến. Tất nhiên, cần xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra về vị trí của hai đường tròn và các tiếp tuyến chung của chúng, có thể được rút ra từ 0 đến 4. Bằng cách chứng minh các định lý được đề xuất dưới đây, bạn có thể mở rộng đáng kể bộ bài toán cho học sinh lớp bảy. Đồng thời, đồng thời chứng minh tầm quan trọng hoặc đơn giản là thú vị và những điều lý thú. Hơn nữa, vì nhiều phát biểu không có trong sách giáo khoa ở trường nên chúng có thể được thảo luận trong các lớp học vòng tròn và với sinh viên tốt nghiệp khi lặp lại phép đo mặt phẳng. Những sự thật này hóa ra có liên quan trong năm học vừa qua. Vì bản thân nhiều công việc chẩn đoán Bài thi của Nhà nước thống nhất có một bài toán cần giải quyết cần sử dụng tính chất của đoạn tiếp tuyến được chứng minh dưới đây.
T 1
Các đoạn tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ
bằng một điểm (Hình 1)
Đây là định lý mà lần đầu tiên bạn có thể giới thiệu cho học sinh lớp bảy.
Trong quá trình chứng minh, ta đã sử dụng dấu đẳng thức của tam giác vuông và kết luận tâm đường tròn nằm trên phân giác của góc BSA.
Trên đường đi, chúng ta đã nhớ rằng phân giác của một góc là quỹ tích các điểm thuộc vùng bên trong của một góc cách đều hai cạnh của nó. Giải pháp cho một vấn đề không hề tầm thường lại dựa trên những sự thật này, ngay cả những người mới bắt đầu nghiên cứu hình học cũng có thể tiếp cận được.
1. Đường phân giác của góc MỘT, TRONG Và VỚI tứ giác lồi A B C D cắt nhau tại một điểm. Tia AB Và DC cắt nhau tại một điểm E, và các tia
Mặt trời Và QUẢNG CÁO tại điểm F. Chứng minh rằng tứ giác không lồi AECF tổng độ dài các cạnh đối diện bằng nhau.
Giải pháp (Hình 2). Cho phép VỀ- giao điểm của các đường phân giác này. Sau đó VỀ cách đều tất cả các cạnh của tứ giác A B C D, đó là
là tâm của đường tròn nội tiếp một tứ giác. Theo định lý 1
các đẳng thức sau đây đúng: AR = A.K.,
phòng cấp cứu = E.P., F.T. = FK. Hãy cộng các vế trái và vế phải theo từng hạng và có được đẳng thức đúng:
(AR + phòng cấp cứu) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A. F. + (EU + máy tính). Bởi vì ST = RS, Cái đó AE + F.C. = A. F. + EU, đó là điều cần chứng minh.
Chúng ta hãy xem xét một bài toán có công thức bất thường, để giải được bài toán đó chỉ cần biết định lý là đủ 1 .
2. Có không N- một tam giác có các cạnh lần lượt là 1, 2, 3, ..., N, một vòng tròn có thể nội tiếp được vào đó?
Giải pháp. Hãy nói điều này N-gon tồn tại. MỘT 1 MỘT 2 =1, …, MỘT n-1 MỘT n= N– 1,MỘT N MỘT 1 = N. B 1 , …, B N - điểm tương ứng chạm. Khi đó theo Định lý 1 MỘT 1 B 1 = MỘT 1 B N< 1, N – 1 < MỘT N B N< N. Theo tính chất tiếp tuyến MỘT N B n= MỘT N B n-1 . Nhưng, MỘT N B n-1< MỘT n-1 MỘT n= N - 1. Sự mâu thuẫn. Vì vậy không N-gon thỏa mãn điều kiện của bài toán.
T 2 Lượng phe đối lập tứ giác ngoại tiếp về
các vòng tròn đều bằng nhau (Hình 3)
Học sinh, như một quy luật, dễ dàng chứng minh tính chất này của tứ giác được mô tả. Sau khi chứng minh định lý 1 , đó là một bài tập huấn luyện. Chúng ta có thể khái quát thực tế này - tổng các cạnh của một tam giác chẵn ngoại tiếp đi qua một cạnh là bằng nhau. Ví dụ, đối với một hình lục giác ABCDEF Phải: AB + CD + EF = BC + DE + FA.
Giải pháp (Hình 1). Vì tứ giác ABEF và ECDF là hai tam giác nội tiếp nên theo Định lý 2 P ABEF = 2(AB + EF) và P ECDF = 2(CD + EF), theo điều kiện
P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = p. AB = a + p.
một tiếp tuyến của đường tròn được vẽ cắt các đoạn AB Và AC tại các điểm M Và R tương ứng. Chứng minh rằng chu vi của một tam giác AMR và độ lớn của góc KBTB không phụ thuộc vào việc chọn điểm X.
Giải pháp (Hình 5). Theo Định lý 1 MV = MX và RS = RX. Do đó, chu vi của tam giác AMR bằng tổng các phân đoạn AB Và AC. Hoặc tiếp tuyến kép vẽ đường tròn ngoại tiếp của một tam giác AMR . Giá trị của góc MOP được đo bằng một nửa góc VOS, không phụ thuộc vào việc chọn điểm X.
Giải pháp (Hình 6). Phương pháp 1 (đại số). Cho phép AK = AN = x, Sau đó BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, thì chúng ta có thể tạo ra một phương trình cho x: b = x + (a – c + x).Ở đâu
.
Phương pháp hai (hình học). Chúng ta hãy nhìn vào sơ đồ. Các đoạn tiếp tuyến bằng nhau, lần lượt lấy từng đoạn, cộng lại bằng nửa chu vi
Tam giác. Màu đỏ và màu xanh lá cây tạo nên một bên MỘT. Sau đó, phân khúc chúng tôi quan tâm x = p – a. Tất nhiên, kết quả thu được là trùng khớp.
. Z Lưu ý rằng từ bài toán tham khảo 1
theo sau đó CM = p ∆ ABC. b + x = p; x = p – b. Các công thức thu được có ứng dụng trong các bài toán sau. 4. Tìm bán kính hình tròn nội tiếp tam giác vuông có chân một, b và cạnh huyền Với. Giải pháp (Hình 8). Tđược rồi thế nào OMCN - vuông thì bán kính của đường tròn nội tiếp bằng tiếp tuyến CN.
.
5. Chứng minh rằng các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp với cạnh của tam giác đối xứng qua điểm giữa của cạnh này.
Giải pháp (Hình 9). Lưu ý rằng AK là đoạn tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Theo công thức (2)
. máy ảo- đoạn đường
tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Theo công thức (1)
. AK = VM, và điều này có nghĩa là các điểm K và M cách đều nhau từ giữa cạnh AB, Q.E.D.
6. Hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến trong được vẽ bởi hai đường tròn. Tiếp tuyến trong cắt tiếp tuyến ngoài tại điểm A, B và chạm vào các vòng tròn tại các điểm A 1 Và TRONG 1 . Chứng minh rằng AA1 = BB1.
Giải pháp (Hình 10). Dừng lại... Có gì để quyết định? Đây chỉ là một cách phát biểu khác của bài toán trước. Rõ ràng, một trong các đường tròn nội tiếp và đường tròn còn lại là ngoại tiếp của một tam giác nhất định ABC. Và các phân đoạn AA 1 và BB 1 tương ứng với các phân đoạn AK Và máy ảo nhiệm vụ 5. Điều đáng chú ý là nhiệm vụ được đề xuất ở Olympic toàn Nga học sinh môn toán được giải một cách rõ ràng như vậy.
7. Các cạnh của hình ngũ giác theo thứ tự đường đi là 5, 6, 10, 7, 8. Chứng minh rằng hình ngũ giác này không thể nội tiếp một đường tròn.
Giải pháp (Hình 11). Giả sử rằng trong một hình ngũ giác ABCDE bạn có thể ghi một vòng tròn. Hơn nữa, các bên AB, BC, đĩa CD, DE Và EA Chúng ta lần lượt đánh dấu các điểm tiếp tuyến theo thứ tự - 5, 6, 10, 7 và 8. F, G, H, M Và N. Cho độ dài của đoạn A. F. tương đương với X.
Sau đó B.F. = FD – A. F. = 5 – x = B.G.. G.C. = BC – B.G. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Và như thế: HD = DM = 9 – x; TÔI. = VN = x – 2, MỘT = 10 – X.
Nhưng, A. F. = MỘT. Đó là 10 - X = X; X= 5. Tuy nhiên, đoạn tiếp tuyến A. F. không thể bằng nhau AB. Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng một hình tròn không thể nội tiếp trong một hình ngũ giác cho trước.
8. Một hình tròn nội tiếp một hình lục giác có các cạnh theo thứ tự đường tròn là 1, 2, 3, 4, 5. Tìm độ dài cạnh thứ sáu.
Giải pháp. Tất nhiên, chúng ta có thể chỉ định một đoạn tiếp tuyến là X, Như trong nhiệm vụ trước đó, viết phương trình và nhận được câu trả lời. Tuy nhiên, sẽ hiệu quả và hiệu quả hơn nhiều nếu sử dụng ghi chú cho định lý 2 : tổng các cạnh của một hình lục giác ngoại tiếp, lấy lần lượt, bằng nhau.
Khi đó 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Ở đâu X– phía thứ sáu chưa biết, X = 3.
Giải pháp (Hình 12). Vì độ dài của tất cả các cạnh đều là số nguyên nên các phần phân số của độ dài của các đoạn bằng nhau BT, B.P., DM, DN, A.K. Và TẠI. Chúng ta có TẠI + TV= 1 và các phần phân số của độ dài đoạn TẠI Và bệnh laođều bình đẳng. Điều này chỉ có thể thực hiện được khi TẠI + TV= 0,5. Theo định lý 1
VT + thực tế ảo.
Có nghĩa, thực tế ảo= 0,5. Lưu ý rằng điều kiện đĩa CD= 3 hóa ra là không có người nhận. Rõ ràng, các tác giả của vấn đề đã giả định một số giải pháp khác. Trả lời: 0,5.
10. Trong một hình tứ giác ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Vòng tròn được ghi trong hình tam giác ABD Và CBD chạm vào đoạn BD tại các điểm M Và N tương ứng. Tìm độ dài của đoạn MN.
Giải pháp (Hình 13). MN = DN – DM. Theo công thức (1) cho tam giác cơ sở dữ liệu Và DBC tương ứng, chúng ta có:
11. Thành một hình tứ giác A B C D bạn có thể ghi một vòng tròn. Vòng tròn được ghi trong hình tam giác ABD Và CBD có bán kính R Và r tương ứng. Tìm khoảng cách giữa tâm của các vòng tròn này.
Giải pháp (Hình 13). Vì theo điều kiện nên tứ giác A B C Dđược ghi theo định lý 2 chúng ta có: AB + DC = AD + BC. Hãy sử dụng ý tưởng giải quyết vấn đề trước đó. . Điều này có nghĩa là điểm tiếp xúc của các đường tròn với đoạn DM phù hợp. Khoảng cách giữa tâm của các vòng tròn bằng tổng bán kính. Trả lời: R + r.
Trong thực tế, người ta đã chứng minh được điều kiện là một tứ giác A B C D bạn có thể ghi một vòng tròn, tương đương với điều kiện - trong tứ giác lồi A B C D vòng tròn được ghi trong hình tam giác ABC Và ADC chạm vào nhau. Mặt trái là sự thật.
Người ta đề xuất chứng minh hai phát biểu nghịch đảo lẫn nhau này trong bài toán sau, có thể coi đây là một dạng tổng quát của bài toán này.
12. Trong tứ giác lồi A B C D (cơm. 14) vòng tròn nội tiếp trong hình tam giác ABC Và ADC chạm vào nhau. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác ABD Và BDC cũng chạm vào nhau.
13. Trong một hình tam giác ABC với các bên một, b Và cở bên cạnh Mặt trờiđiểm được đánh dấu D sao cho các vòng tròn nội tiếp trong hình tam giác ABD Và ACD chạm vào đoạn QUẢNG CÁO tại một điểm. Tìm độ dài của đoạn.
BD ADC Và Giải pháp (Hình 15). Áp dụng công thức (1) cho tam giác A.D.B. , tính toán DM 
hai D Hóa ra, Mặt trời- điểm tiếp xúc với bên ABC vòng tròn được ghi trong một hình tam giác . Điều ngược lại là đúng: nếu đỉnh của một tam giác nối với điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp trên phía đối diện
, thì các vòng tròn nội tiếp trong các hình tam giác thu được sẽ chạm vào nhau. VỀ 1 , VỀ 14. Trung tâm VỀ 2 và VỀ 1 , VỀ 2 , VỀ 3 ba đường tròn không giao nhau có cùng bán kính nằm ở các đỉnh của một tam giác. Từ điểm
3, các tiếp tuyến của các đường tròn này được vẽ như trong hình.
Được biết, các tiếp tuyến này giao nhau tạo thành một hình lục giác lồi, các cạnh được sơn màu đỏ và xanh. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn màu đỏ bằng tổng độ dài các đoạn màu xanh. Giải pháp (Hình 16). Điều quan trọng là phải hiểu cách sử dụng thực tế là các đường tròn đã cho có bán kính bằng nhau. Lưu ý rằng các phân đoạn Và BR DM VỀ 1 Giải pháp (Hình 16). Điều quan trọng là phải hiểu cách sử dụng thực tế là các đường tròn đã cho có bán kính bằng nhau. Lưu ý rằng các phân đoạn Và ồ 2 bằng nhau, suy ra từ đẳng thức của các tam giác vuông B.M. . Tương tự như vậy = D.L., D.P. = FK FN MỘT, VỚI. Chúng ta cộng các đẳng thức theo từng số hạng, sau đó trừ đi tổng kết quả các đoạn tiếp tuyến giống hệt nhau được vẽ từ các đỉnh E, Và ABCDEF: Hình lục giác Và A.K., AR Và C.L., VN Và E.P. C.M.
. Chúng tôi có được những gì chúng tôi cần.
Dưới đây là một ví dụ về một bài toán lập thể, được đề xuất tại Giải đấu Toán học Quốc tế lần thứ XII dành cho học sinh Trung học “Cup tưởng nhớ A. N. Kolmogorov”. 16. Cho hình chóp ngũ giác SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Có một quả cầu cái, chạm vào tất cả các cạnh của kim tự tháp và một quả cầu khác 1, chạm vào tất cả các mặt của đế A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 và sự tiếp nối của các xương sườn bên SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5
vì các đoạn tiếp tuyến bằng nhau. Cho phép C i A i = a tôi. Sau đó p SAiAi +1 = s+a tôi +a tôi+1, và từ sự bằng nhau của các chu vi, suy ra rằng Một 1 = Một 3 = Một 5 = Một 2 = Một 4, từ đâu SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 = SA 5 .
17. Kỳ thi quốc gia thống nhất Công việc chẩn đoán 8.12.2009, S–4. Cho một hình thang A B C D, cơ sở của nó BC = 44,QUẢNG CÁO = 100, AB = CD= 35. Đường tròn tiếp tuyến với đường thẳng QUẢNG CÁO Và AC., chạm vào bên đĩa CD tại điểm K. Tìm độ dài của đoạn CK.BDC và BDA, chạm vào các bên ВD tại các điểm E Và F. Tìm độ dài của đoạn E. F..
Giải pháp. Có thể xảy ra hai trường hợp (Hình 20 và Hình 21). Sử dụng công thức (1) chúng ta tìm được độ dài của các đoạn DE Và DF.
Trong trường hợp đầu tiên QUẢNG CÁO = 0,1AC, đĩa CD = 0,9AC.. Trong lần thứ hai - QUẢNG CÁO = 0,125AC, đĩa CD = 1,125AC.. Chúng tôi thay thế dữ liệu và nhận được câu trả lời: 4.6 hoặc 5.5.
Các vấn đề cần giải quyết độc lập/
1. Chu vi hình thang cân, ngoại tiếp đường tròn bằng 2 chà xát. Tìm hình chiếu của đường chéo của hình thang lên đáy lớn hơn. (1/2r)
2. Mở ngân hàng Các vấn đề về Kỳ thi Thống nhất toán học. TẠI 4. Đến một vòng tròn được ghi trong một hình tam giác ABC (Hình 22), vẽ được ba tiếp tuyến. Chu vi của các hình tam giác đã cắt là 6, 8, 10. Tìm chu vi tam giác đã cho. (24)
3. Vào một hình tam giác ABC vòng tròn được ghi. MN – tiếp tuyến với đường tròn, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Tìm chu vi của tam giác MNC. (12)
4. Đối với một đường tròn nội tiếp hình vuông có cạnh a, vẽ một tiếp tuyến cắt hai cạnh của nó. Tìm chu vi của hình tam giác đã cắt. (MỘT)
5. Một hình tròn được ghi trong một hình ngũ giác có cạnh MỘT, d, c, d Và e. Tìm các đoạn mà điểm tiếp tuyến chia cạnh bằng MỘT.
6. Một hình tròn nội tiếp một tam giác có các cạnh là 6, 10 và 12. Một tiếp tuyến được vẽ với đường tròn sao cho nó cắt hai cạnh dài. Tìm chu vi của hình tam giác đã cắt. (16)
7. đĩa CD- Đường trung bình của tam giác ABC. Vòng tròn được ghi trong hình tam giác ACD Và BCD, chạm vào đoạn đĩa CD tại các điểm M Và N. Tìm thấy MN, Nếu như AC – Mặt trời = 2. (1)
8. Trong một hình tam giác ABC với các bên một, b Và cở bên cạnh Mặt trờiđiểm được đánh dấu D. Để các vòng tròn được ghi trong hình tam giác ABD Và ACD, một tiếp tuyến chung được vẽ cắt nhau QUẢNG CÁO tại điểm M. Tìm độ dài của đoạn LÀ. (Chiều dài LÀ không phụ thuộc vào vị trí của điểm D Và
bằng ½ ( c + b – a))
9. Đường tròn bán kính nội tiếp tam giác vuông MỘT. Bán kính của đường tròn tiếp tuyến với cạnh huyền và phần mở rộng của hai chân bằng R. Tìm độ dài của cạnh huyền. ( R–a)
10. Trong một hình tam giác ABCđộ dài các cạnh đã biết: AB = Với, AC = b, Mặt trời = MỘT. Một vòng tròn nội tiếp trong một hình tam giác tiếp xúc với một cạnh AB tại điểm C 1. Đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với phần kéo dài của cạnh AB mỗi điểm MỘT tại điểm C 2. Xác định độ dài của đoạn C 1 C 2. (b)
11. Tìm độ dài các cạnh của tam giác chia cho điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp bán kính 3 cm thành các đoạn 4 cm và 3 cm (7, 24 và 25 cm trong tam giác vuông)
12. Olympic Soros 1996, vòng 2, lớp 11. Cho một hình tam giác ABC, trên các cạnh của các điểm được đánh dấu A 1, B 1, C 1. Bán kính các đường tròn nội tiếp hình tam giác AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 bình đẳng trong r. Bán kính của hình tròn nội tiếp một hình tam giác A 1 B 1 C 1 bằng R. Tìm bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác ABC. (R +r).
Các bài toán 4–8 được lấy từ sách bài toán của Gorder R.K. Phép đo mặt phẳng." Mátxcơva. Nhà xuất bản MCNMO. 2004.
Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng ta thu thập thông tin cá nhân gì:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Ngoại lệ:
- Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục xét xử, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty
Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.