На минулому уроці ми навчилися складати та віднімати десяткові дроби (див. урок «Складання та віднімання десяткових дробів»). Заодно оцінили, наскільки спрощуються обчислення порівняно із звичайними двоповерховими дробами.
На жаль, з множенням та розподілом десяткових дробів подібного ефекту не виникає. У деяких випадках десятковий запис числа навіть ускладнює ці операції.
Спочатку введемо нове визначення. Ми зустрічатимемося з ним досить часто, і не лише на цьому уроці.
Значна частина числа - це все, що знаходиться між першою та останньою ненульовою цифрою, включаючи кінці. Йдетьсятільки про цифри, десяткова точка не враховується.
Цифри, що входять до значну частинучисла, що називаються значущими цифрами. Вони можуть повторюватися і навіть дорівнювати нулю.
Наприклад, розглянемо кілька десяткових дробів та випишемо відповідні їм значущі частини:
- 91,25 → 9125 (значні цифри: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (значні цифри: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (значні цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (значні цифри: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (значна цифравсього одна: 3).
Зверніть увагу: нулі, що стоять усередині значущої частини числа, нікуди не подіються. Ми вже стикалися з чимось подібним, коли вчилися переводити десяткові дроби у звичайні (див. урок «Десятичні дроби»).
Цей момент настільки важливий, а помилки тут припускаються так часто, що найближчим часом я опублікую тест на цю тему. Обов'язково потренуйтесь! А ми, озброївшись поняттям значущої частини, почнемо, власне, тему уроку.
Розмноження десяткових дробів
Операція множення складається із трьох послідовних кроків:
- Для кожного дробу виписати значну частину. Вийдуть два звичайних цілих числа - без усіляких знаменників та десяткових точок;
- Помножити ці числа будь-яким зручним способом. Безпосередньо, якщо числа невеликі, або стовпчиком. Отримаємо значну частину шуканого дробу;
- З'ясувати, куди і скільки розрядів зрушується десяткова точка у вихідних дробах щоб одержати відповідної значущої частини. Виконати зворотні зрушення для частини, отриманої на попередньому кроці.
Ще раз нагадаю, що нулі, що стоять з обох боків від значущої частини, ніколи не враховуються. Ігнорування цього правила призводить до помилок.
- 0,28 · 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 · 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Працюємо з першим виразом: 0,28 · 12,5.
- Випишемо значущі частини для чисел із цього виразу: 28 і 125;
- Їх добуток: 28 · 125 = 3500;
- У першому множнику десяткову точку зсунуто на 2 цифри вправо (0,28 → 28), а в другій - ще на 1 цифру. Усього потрібен зрушення вліво на три цифри: 3500 → 3,500 = 3,5.
Тепер розберемося з виразом 6,3 · 1,08.
- Випишемо значущі частини: 63 та 108;
- Їх добуток: 63 · 108 = 6804;
- Знову два зсуви вправо: на 2 та 1 цифру відповідно. Усього – знову 3 цифри вправо, тому зворотний зсув буде на 3 цифри вліво: 6804 → 6,804. На цей раз нулів на кінці немає.
Дісталися третього виразу: 132,5 · 0,0034.
- Значні частини: 1325 та 34;
- Їх добуток: 1325 · 34 = 45050;
- У першому дробі десяткова точка йде вправо на 1 цифру, а в другому - на цілих 4. Разом: 5 вправо. Виконуємо зсув на 5 вліво: 45050 → ,45050 = 0,4505. Наприкінці прибрали нуль, а спереду дописали, щоб не залишати «голу» десяткову точку.
Наступний вираз: 0,0108 · 1600,5.
- Пишемо значущі частини: 108 та 16 005;
- Примножуємо їх: 108 · 16005 = 1728540;
- Вважаємо цифри після десяткової точки: у першому числі їх 4, у другому – 1. Усього – знову 5. Маємо: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Наприкінці забрали «зайвий» нуль.
Зрештою, останній вираз: 5,25 · 10 000.
- Значні частини: 525 та 1;
- Примножуємо їх: 525 · 1 = 525;
- У першому дробі виконано зрушення на 2 цифри праворуч, а у другому - на 4 цифри ліворуч (10 000 → 1,0000 = 1). Разом 4 − 2 = 2 цифри вліво. Виконуємо зворотний зсув на 2 цифри вправо: 525 → 52 500 (довелося дописати нулі).
Зверніть увагу на останній приклад: оскільки десяткова точка переміщається у різних напрямках, сумарний зсув перебуває через різницю. Це дуже важливий момент! Ось ще приклад:
Розглянемо числа 1,5 та 12 500. Маємо: 1,5 → 15 (зрушення на 1 вправо); 12500 → 125 (зсув на 2 вліво). Ми крокуємо на 1 розряд праворуч, а потім - на 2 ліворуч. У результаті, ми зробили крок на 2 − 1 = 1 розряд вліво.
Розподіл десяткових дробів
Поділ - це, мабуть, найскладніша операція. Звичайно, тут можна діяти за аналогією з множенням: ділити значні частини, а потім рухати десяткову точку. Але в цьому випадку виникає багато тонкощів, які зводять нанівець потенційну економію.
Тому давайте розглянемо універсальний алгоритм, який трохи довший, але набагато надійніший:
- Перекласти всі десяткові дроби на звичайні. Якщо трохи потренуватися, на цей крок у вас будуть йти лічені секунди;
- Розділити отримані дроби класичним способом. Іншими словами, помножити перший дріб на «перевернутий» другий (див. урок «Множення та розподіл числових дробів»);
- Якщо можливо, результат знову подати у вигляді десяткового дробу. Цей крок теж виконується швидко, оскільки найчастіше у знаменнику вже стоїть ступінь десятки.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Вважаємо перший вираз. Для початку переведемо обидва дроби в десяткові:
Аналогічно надійдемо з другим виразом. Чисельник першого дробу знову розкладеться на множники:
У третьому та четвертому прикладах є важливий момент: після позбавлення від десяткового записувиникають скорочувані дроби. Однак ми не виконуватимемо цього скорочення.
Останній приклад цікавий тим, що у чисельнику другого дробу стоїть просте число. Тут просто нема чого розкладати на множники, тому вважаємо «напролом»:
Іноді в результаті поділу виходить ціле число (це про останній приклад). У такому разі третій крок взагалі не виконується.
Крім того, при розподілі часто виникають «некрасиві» дроби, які не можна перевести в десяткові. Цим розподіл відрізняється від множення, де результати завжди представні у десятковій формі. Зрозуміло, у такому разі останній крок знову ж таки не виконується.
Зверніть також увагу на 3-й та 4-й приклади. У них ми навмисно не скорочуємо звичайні дробиотримані з десяткових. Інакше це ускладнить зворотне завдання- Подання кінцевої відповіді знову в десятковому вигляді.
Запам'ятайте: основна властивість дробу (як і будь-яке інше правило в математиці) саме по собі ще не означає, що його треба застосовувати скрізь і завжди, за будь-якої зручної нагоди.
Чиста математика є свого роду поезією логічної ідеї. Альберт Ейнштейн
У цій статті ми пропонуємо вам вибір простих математичних прийомів, багато з яких досить актуальні в житті і дозволяють вважати швидше.
1. Швидке обчислення відсотків
Мабуть, в епоху кредитів та розстрочок найактуальнішою математичною навичкою можна назвати віртуозне обчислення відсотків в умі. Самим швидким способомобчислити певний відсотоквід числа є множення даного відсоткана це число з наступним відкиданням двох останніх цифр в результаті, адже відсоток є не що інше, як одна сота частка.
Скільки становлять 20% від 70? 70 × 20 = 1400. Відкидаємо дві цифри та отримуємо 14. При перестановці множників твір не змінюється, і якщо ви спробуєте обчислити 70% від 20, то відповідь також буде 14.
Цей спосіб дуже простий у випадку з круглими числами, але що робити, якщо треба порахувати, наприклад, відсоток від числа 72 чи 29? У такій ситуації доведеться пожертвувати точністю заради швидкості та округлити число (у нашому прикладі 72 округляється до 70, а 29 до 30), після чого скористатися тим самим прийомом з множенням та відкиданням двох останніх цифр.
2. Швидка перевірка ділимості
Чи можна порівну поділити 408 цукерок між 12 дітьми? Відповісти на це питання легко і без допомоги калькулятора, якщо згадати прості ознакиділимості, які нам викладали ще у школі.
- Число ділиться на 2, якщо його остання цифра ділиться на 2.
- Число ділиться на 3, якщо сума цифр, з яких складається число, ділиться на 3. Наприклад, візьмемо число 501, представимо його як 5 + 0 + 1 = 6. 6 ділиться на 3, а значить, і саме число 501 ділиться на 3 .
- Число ділиться на 4, якщо число, утворене його останніми двома цифрами, ділиться на 4. Наприклад, беремо 2340. Останні дві цифри утворюють число 40, яке ділиться на 4.
- Число ділиться на 5, якщо його остання цифра 0 чи 5.
- Число ділиться на 6, якщо воно ділиться на 2 та 3.
- Число ділиться на 9, якщо сума цифр, з яких складається число, ділиться на 9. Наприклад, візьмемо число 6 390, представимо його як 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 ділиться на 9, а значить, і саме число 6 390 поділяється на 9.
- Число ділиться на 12, якщо воно ділиться на 3 та 4.
3. Швидке обчислення квадратного кореня
Квадратний корінь з 4 дорівнює 2. Це вважатиме будь-хто. А як щодо квадратного кореня з 85?
Для швидкого приблизного рішення знаходимо найближче до заданого квадратне число, в даному випадкуце 81 = 92.
Тепер знаходимо наступний найближчий квадрат. У разі це 100 = 10^2.
Корінь квадратний з 85 знаходиться десь в інтервалі між 9 і 10, а оскільки 85 ближче до 81, ніж до 100, то квадратний коріньцього числа буде 9 із чимось.
4. Швидке обчислення часу, через який грошовий внесок під певний відсоток подвоїться
Хочете швидко дізнатися час, який потрібно, щоб ваш грошовий внесокіз певною процентною ставкою подвоївся? Тут також не потрібний калькулятор, достатньо знати «правило 72».
Ділимо число 72 на нашу відсоткову ставку, після чого отримуємо приблизний термінчерез який вклад подвоїться.
Якщо вклад зроблено під 5% річних, то буде потрібно 14 років, щоб він подвоївся.
Чому саме 72 (іноді беруть 70 чи 69)? Як це працює? На ці питання розгорнуто відповість "Вікіпедія".
5. Швидке обчислення часу, через який грошовий внесок під певний відсоток потроїться
У разі процентна ставка за вкладом має стати дільником числа 115.
Якщо вклад зроблено під 5% річних, то потрібно 23 роки, щоб він потроївся.
6. Швидке обчислення погодинної ставки
Уявіть, що ви проходите співбесіди з двома роботодавцями, які не називають оклад у звичному форматі «рублів на місяць», а говорять про річні оклади та погодинної оплати. Як швидко порахувати, де платять більше? Там, де річний оклад становить 360 000 рублів, чи там, де платять 200 рублів на годину?
Для розрахунку оплати однієї години роботи при озвучуванні річного окладу необхідно відкинути від названої суми три останні знаки, після чого розділити число, що вийшло на 2.
360 000 перетворюється на 360 ÷ 2 = 180 рублів на годину. за інших рівних умовахвиходить, що друга пропозиція краща.
7. Просунута математика на пальцях
Ваші пальці здатні на набагато більше, ніж прості операції складання та віднімання.
За допомогою пальців можна легко множити на 9, якщо ви забули таблицю множення.
Пронумеруємо пальці на руках ліворуч від 1 до 10.
Якщо хочемо помножити 9 на 5, то загинаємо п'ятий палець зліва.
Тепер дивимось на руки. Виходить чотири незігнуті пальці до зігнутого. Вони означають десятки. І п'ять незігнутих пальців після зігнутого. Вони позначають одиниці. Відповідь: 45.
Якщо ми хочемо помножити 9 на 6, то загинаємо шостий палець зліва. Отримаємо п'ять незігнутих пальців до зігнутого пальця та чотири після. Відповідь: 54.
Таким чином, можна відтворити весь стовпчик множення на 9.
8. Швидке множення на 4
Існує надзвичайно легкий спосібблискавичного множення навіть великих чиселна 4. Для цього достатньо розкласти операцію на дві дії, помноживши число, що шукається, на 2, а потім ще раз на 2.
Подивіться самі. Помножити 1223 відразу на 4 в розумі зможе не кожен. А тепер робимо 1223×2=2446 і далі 2446×2=4892. Так набагато простіше.
9. Швидке визначення необхідного мінімуму
Уявіть, що ви проходите серію з п'яти тестів для успішної здачіяких вам необхідний мінімальний бал 92. Залишився останній тест, а за попередніми результати такі: 81, 98, 90, 93. Як вирахувати необхідний мінімум, який потрібно отримати в останньому тесті?
Для цього вважаємо, скільки балів ми недобрали/перебрали у пройдених тестах, позначаючи недобір негативними числами, а результати із запасом - позитивними.
Отже, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.
Склавши ці числа, отримуємо коригування для необхідного мінімуму: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.
Виходить дефіцит у 6 балів, отже, необхідний мінімум збільшується: 92 + 6 = 98. Справи погані. :(
10. Швидке уявлення значення звичайного дробу
Зразкове значення звичайного дробуможна дуже швидко подати у вигляді десяткового дробу, якщо попередньо приводити його до простих і зрозумілих співвідношень: 1/4,1/3, 1/2 та 3/4.
Наприклад, ми маємо дріб 28/77, що дуже близько до 28/84 = 1/3, але оскільки ми збільшили знаменник, то початкове число буде дещо більше, тобто трохи більше, ніж 0,33.
11. Трюк із вгадуванням цифри
Можна трохи пограти в Девіда Блейна та здивувати друзів цікавим, але дуже простим математичним трюком.
- Попросіть друга загадати будь-яке ціле число.
- Нехай він помножить його на два.
- Потім додасть до числа 9, що вийшов.
- Тепер нехай забере 3 від числа, що вийшов.
- А тепер нехай розділить число, що вийшло навпіл (воно в будь-якому випадку розділиться без залишку).
- Нарешті, попросіть його відняти з числа того числа, яке він загадав на початку.
Відповідь завжди буде 3.
Так, дуже тупо, але часто ефект перевершує всі очікування.
Бонус
І, звичайно, ми не могли не вставити в цей пост ту саму картинку з дуже крутим способом множення.
) та знаменник на знаменник (отримаємо знаменник твору).
Формула множення дробів:
Наприклад:
Перед тим, як приступити до множення чисельників та знаменників, необхідно перевірити можливість скорочення дробу . Якщо вдасться скоротити дріб, то вам легше буде далі робити розрахунки.
Розподіл звичайного дробу на дріб.
Розподіл дробів за участю натурального числа.
Це не таке страшно, як здається. Як і у випадку зі складанням, переводимо ціле число в дріб з одиницею в знаменнику. Наприклад:
Розмноження змішаних дробів.
Правила множення дробів (змішаних):
- перетворюємо змішані дроби на неправильні;
- перемножуємо чисельники та знаменники дробів;
- скорочуємо дріб;
- якщо отримали неправильний дріб, то перетворюємо неправильний дріб на змішану.
Зверніть увагу!Щоб помножити змішаний дрібна інший змішаний дріб, потрібно, для початку, привести їх до вигляду неправильних дробів, а далі помножити за правилом множення звичайних дробів.
Другий спосіб множення дробу на натуральне число.
Буває зручніше використовувати другий спосіб множення звичайного дробу на число.
Зверніть увагу!Для множення дробу на натуральне числонеобхідно знаменник дробу розділити це число, а чисельник залишити без зміни.
З наведеного вище прикладу зрозуміло, що цей варіант зручніше для використання, коли знаменник дробу ділиться без залишку на натуральне число.
Багатоповерхові дроби.
У старших класах найчастіше зустрічаються триповерхові (або більше) дроби. Приклад:
Щоб привести такий дріб до звичного вигляду, використовують поділ через 2 точки:
Зверніть увагу!У розподілі дробів дуже важливий порядок розподілу. Будьте уважні, тут легко заплутатися.
Зверніть увагу, наприклад:
При поділі одиниці на будь-який дріб, результатом буде той самий дріб, тільки перевернутий:
Практичні поради при множенні та розподілі дробів:
1. Найважливішим у роботі з дробовими виразами є акуратність та уважність. Усі обчислення робіть уважно та акуратно, зосереджено та чітко. Краще запишіть кілька зайвих рядків у чернетці, ніж заплутатися у розрахунках в умі.
2. У завданнях з різними видамидробів – переходьте до виду звичайних дробів.
3. Всі дроби скорочуємо доти, доки скорочувати вже буде неможливо.
4. Багатоповерхові дробові виразинаводимо на вигляд звичайних, користуючись розподілом через 2 точки.
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
приклад.
Знайдіть добуток алгебраїчних дробів і .
Рішення.
Перед виконанням множення дробів розкладемо на множники многочлен у чисельнику першого дробу і знаменнику другого. У цьому нам допоможуть відповідні формули скороченого множення: x 2 +2 · x + 1 = (x + 1) 2 і x 2 -1 = (x - 1) · (x + 1). Отже, .
Очевидно, отриманий дріб можна скоротити 
(Цей процес ми розбирали у статті скорочення алгебраїчних дробів).
Залишилось лише записати результат у вигляді алгебраїчного дробу, навіщо потрібно виконати множення одночлена на многочлен у знаменнику: 
.
Зазвичай рішення записують без пояснень у вигляді послідовності рівностей: 
Відповідь:
.
Іноді з дробами алгебри, які потрібно помножити або розділити, слід виконати деякі перетворення, щоб виконання зазначених дій проходило простіше і швидше.
приклад.
Розділіть алгебраїчну дріб на дріб.
Рішення.
Спростимо вид алгебраїчного дробу, позбавившись від дробового коефіцієнта. Для цього помножимо її чисельник і знаменник на 7 , що дозволяє зробити основну властивість алгебраїчного дробу , маємо 
.
Тепер стало видно, що знаменник отриманого дробу і знаменник дробу, на яку нам потрібно виконати поділ, є протилежними виразами. Змінимо знаки чисельника та знаменника дробу, маємо 
.
Множення та розподіл дробів.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Ця операція набагато приємніша за складання-віднімання! Бо простіше. Нагадую: щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити чисельники (це буде чисельник результату) та знаменники (це буде знаменник). Тобто:
Наприклад:
Все дуже просто. І, будь ласка, не шукайте спільний знаменник! Не треба його тут…
Щоб розділити дріб на дріб, потрібно перевернути другу(це важливо!) дріб і їх перемножити, тобто:
Наприклад:
Якщо трапилося множення чи поділ із цілими числами та дробами – нічого страшного. Як і при додаванні, робимо з цілого числа дріб з одиницею в знаменнику – і вперед! Наприклад:
У старших класах часто доводиться мати справу з триповерховими (або навіть чотириповерховими!) дробами. Наприклад:
Як цей дріб привести до пристойного вигляду? Так, дуже просто! Використовувати поділ через дві точки:
Але не забувайте про порядок розподілу! На відміну від множення, це дуже важливо! Звичайно, 4:2, або 2:4, ми не сплутаємо. А ось у триповерховому дробі легко помилитись. Зверніть увагу, наприклад:
У першому випадку (вираз зліва):
У другому (вираз праворуч):
Відчуваєте різницю? 4 та 1/9!
А чим визначається порядок розподілу? Або дужками, або (як тут) довжиною горизонтальних рис. Розвивайте окомір. А якщо немає ні дужок, ні рисок, типу:
то ділимо-множимо по порядку, зліва направо!
І ще дуже простий і важливий прийом. У діях зі ступенями він вам ох як знадобиться! Поділимо одиницю на будь-який дріб, наприклад, на 13/15:
Дріб перекинувся! І так завжди буває. При розподілі 1 на будь-який дріб, в результаті отримуємо той же дріб, тільки перевернутий.
Ось і всі події з дробами. Річ досить проста, але помилок дає більш ніж достатньо. Візьміть до уваги практичні поради, і їх (помилок) буде менше!
Практичні поради:
1. Найголовніше при роботі з дробовими виразами – акуратність та уважність! Це не загальні слова, Не благі побажання! Це сувора потреба! Усі обчислення на ЄДІ робіть як повноцінне завдання, зосереджено та чітко. Краще написати два зайві рядки в чернетці, ніж накосячіть при розрахунку в умі.
2. У прикладах з різними видами дробів – переходимо до звичайних дробів.
3. Усі дроби скорочуємо до упору.
4. Багатоповерхові дробові вирази зводимо до звичайних, використовуючи розподіл через дві точки (стежимо за порядком розподілу!).
5. Одиницю на дріб ділимо в умі, просто перевертаючи дріб.
Ось вам завдання, які потрібно обов'язково вирішувати. Відповіді наведено після всіх завдань. Використовуйте матеріали цієї теми та практичні поради. Накиньте, скільки прикладів ви змогли вирішити правильно. З першого разу! Без калькулятора! І зробіть правильні висновки...
Пам'ятайте - правильна відповідь, отриманий з другого (тим більше – третього) разу – не рахується!Таке суворе життя.
Отже, вирішуємо в режимі іспиту ! Це вже підготовка до ЄДІ, між іншим. Вирішуємо приклад, перевіряємо, вирішуємо наступний. Вирішили все – перевірили знову з першого до останнього. І тільки потімдивимося відповіді.
Обчислити:
Вирішили?
Шукаємо відповіді, які збігаються із вашими. Я спеціально їх безладно записав, подалі від спокуси, так би мовити... Ось вони, відповіді, через крапку з комою записані.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
А тепер робимо висновки. Якщо все вийшло – радий за вас! Елементарні обчисленняз дробами – не ваша проблема! Можна зайнятися більше серйозними речами. Якщо ні...
Значить у вас одна з двох проблем. Або обидві відразу.) Нестача знань та (або) неуважність. Але... Це розв'язувані проблеми.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.