Натуральні числа

Безліч натуральних чисел, що використовуються для рахунку або перерахування.

Формально безліч натуральних чисел можна встановити за допомогою системи аксіом Пеано.

Зістема аксіом Пеано

1. Одиниця - натуральне число, яке не слідує ні за яким числом.

2. Для будь-якого натурального числа існує однина
яке безпосередньо слідує за .

3. Кожне натуральне число
слід безпосередньо лише за одним числом.

4. Якщо деяка безліч
містить і разом з кожним натуральним числом містить безпосередньо наступне за ним число
(Аксіома індукції).

Операції на безлічі

множення

Віднімання :

Властивості віднімання: Якщо
то

Якщо
то

Подільність натуральних чисел

Поділ : ділиться на
таке, що

Властивостіоперацій:

1. Якщо
діляться на то
ділиться на

2. Якщо
і
діляться на то
ділиться на

3. Якщо
і діляться на те поділяється на

4. Якщо поділяється на те
ділиться на

5. Якщо
діляться на а не діляться на те
не ділиться на

6. Якщо або діляться на те
ділиться на

7. Якщо поділяється на
то ділиться на і поділяється на

Теоремапро поділ із залишкомДля будь-яких натуральних чисел
існують і єдині позитивні числа
такі, що
причому

Доказ. Нехай
Розглянемо наступний алгоритм:

	Якщо Якщо то зробимо ще одне віднімання Продовжуємо процес віднімання до тих пір, поки залишок не буде меншим від числа Існує число таке, що
	Складемо всі рядки даного алгоритму та отримаємо необхідний вираз, де

Єдиність уявлення будемо доводити методом "від неприємного".

Припустимо, що є два уявлення

і
Віднімемо один вираз з іншого причому
Остання рівність у цілих числах можлива тільки у випадку, оскільки
при
□

Наслідок 1. Будь-яке натуральне число можна представити у вигляді:
або або

Наслідок 2. Якщо
поспіль натуральних чисел, то одне з них ділиться на

Наслідок 3. Якщо
два послідовні парні числа, то одне з них поділяється на

Визначення. Натуральне число називається простим, якщо воно не має дільників, крім одиниці та самого себе.

Слідство4. Будь-яке просте число має вигляд
або

Справді, будь-яке число можна уявити у вигляді всі числа цього ряду, крім
точно є складовими. □

Слідство5 . Якщо
просте число, то
ділиться на

Справді,
три підрядні натуральні числа, причому,
парні, а
непарне просте. Отже, одне з парних чисел
і
ділиться на 4, а одне – ще й на □

Приклад 2 . Справедливі такі твердження:

1.Квадрат непарного числа при розподілі на 8 дає залишок

2. Ні за якого натурального n число n 2 +1 не поділяється на 3.

3. Використовуючи лише цифри 2, 3, 7, 8 (можливо, кілька разів), не можна скласти квадрат натурального числа.

Доказ1. Будь-яке непарне числоможна уявити у вигляді
або
Зведемо кожне з цих чисел у квадрат і отримаємо необхідне затвердження.

Доказ 2.Будь-яке натуральне число можна подати у вигляді
Тоді вираз
дорівнюватиме одному з виразів
які не діляться на

Доказ3. Справді, остання цифра квадрата натурального числа не може закінчуватися на жодну з цих цифр.

Ознаки подільності

Визначення. Десятичним уявленням натурального числа називається уявлення числа у вигляді

Скорочений запис

Ознаки подільності на

Утв.6Нехай
десяткове уявленнячисла числа Тоді:

1. Число ділиться на
коли цифра - парна;

2. Число ділиться на коли двозначне число
ділиться на

3. Число ділиться на коли
або

4. Число ділиться на
коли

5. Число ділиться на
коли двозначне число
- ділиться на

6. Число ділиться на

7. Число ділиться на коли сума цифр числа ділиться на

8. Число ділиться на
коли сума цифр числа з знаками, що чергуються, ділиться на

Доказ.Доказ ознак 1)-5) легко виходить із десяткового запису числа Доведемо 6) та 7). Справді,

Звідси випливає, що коли ділиться (або
то сума цифр числа теж поділяється на

Доведемо 11). Нехай ділиться на Представимо число у вигляді

Оскільки всі складові суми поділяються на
то сума теж поділяється на □

Приклад 3 . Знайдіть усі п'ятизначні числа виду
, Що діляться на 45.

Доказ.
Тому число ділиться на 5, і остання цифра у нього дорівнює 0 чи 5, тобто.
або
Початкове число ділиться і 9, тому ділиться на 9, тобто.
чи ділиться на 9, тобто.

Відповідь:

Ознака ділимостіна і

Утв.7Нехай десяткове уявлення числа числа Число ділиться на
коли різниця між числом без трьох останніх знаків та числом, складеним із трьох останніх знаків, ділиться на

Доказ.Подаємо у вигляді Так як число
ділиться на і
то
ділиться на та □

приклад 4 . Нехай
Тоді
ділиться на і, отже, число
ділиться на

Нехай
Тоді

ділиться на Тоді число
ділиться на

Прості числа

Решето Ератосфена

(Простий алгоритм отримання всіх простих чисел)

Алгоритм.Виписуємо всі числа від 1 до 100 та викреслюємо спочатку всі парні. Потім, з тих, що залишилися, викреслюємо діляться на 3, 5, 7 і т.д. В результаті залишаться лише прості числа.

Теорема Евкліда. Число простих чиселнескінченно.

Доказ"від неприємного". Нехай кількість простих чисел звичайно -
Розглянемо число
Запитання: число - Просте чи складове?

Якщо - складове число, воно ділиться на деяке просте число і, отже, одиниця ділиться цього просте число. Протиріччя.

Якщо - просте число, то воно більше за будь-яке просте число
а всі прості числа ми виписали та пронумерували. Знову суперечність. □

Утв.8Якщо число є складовим, воно має простий дільник такий, що

Доказ.Якщо - найменший простий дільник складового числа
то

Слідство.Щоб визначити чи є число простим, треба визначити, чи має воно прості дільники

приклад 5 . Нехай
Щоб перевірити, чи є число
простим, треба перевірити, чи ділиться на прості числа Відповідь: число
просте.

Генератори простих чисел

Гіпотеза:Усі числа виду
прості.

При
- це прості числа
для
вручну і за допомогою комп'ютера доведено, що всі складові.

Наприклад, (Ейлер)

Гіпотеза:Усі числа виду
прості.

При
це так, а
ділиться на 17.

Гіпотеза: Усі числа виду
прості.

При
це так, а

Гіпотеза:Усі числа виду прості. При
це так, а

Теорема.(Метод Ферма виділення множників) Ціле непарне число не є простим
існують натуральні числа і такі, що
Доказ.

□

приклад 6 . Розкласти на прості помножувачі числа

приклад 7 . Розкласти на множники число
Це число ділиться на 3
Далі, за методом виділення множників,

приклад 8 . При яких цілих число

просте?

Зауважимо, що так як
просте, те чи
або
Відповідь:

Утв. 10Натуральне число має непарне число дільників, коли воно є повним квадратом?

Доказ.Якщо
дільник числа
то має дві різні пари дільників
і
а при
обидві пари будуть рівними.

приклад 9 . Числа мають по 99 дільників. Чи може число мати рівно 100 дільників?

Відповідь: ні. Дійсно за попередньою властивістю та - повні квадрати, А їх твір – немає.

приклад 10 . Числа
прості. Знайти

Рішення.Будь-яке число можна подати у вигляді
Якщо
то виходять три простих числа
що задовольняють умові завдання. Якщо
то
складова. Якщо
то число
ділиться на а якщо
то число
Таким чином, у всіх розглянутих варіантах три простих числа не виходить. Відповідь:

Визначення. Число називається найбільшим загальним дільником чисел і якщо воно ділить і є найбільшим із таких чисел.

Позначення:

Визначення . Числа і називаються взаємно простими, якщо

Приклад 1 2 . Вирішити в натуральних числах рівняння

Рішення.Нехай

Отже, рівняння має вигляд Відповідь: Рішень немає.

Проосновна теорема арифметики

Теорема.Будь-яке натуральне число більше або є простим числом, або може бути записано у вигляді добутку простих чисел, причому цей добуток єдино з точністю до порядку співмножників.

Наслідок 1.Нехай

Тоді
дорівнює творувсіх загальних простих помножувачів з найменшими ступенями.

Наслідок 2.Нехай
Тоді
одно твору всіх різних простих співмножників з найбільшими ступенями. ділиться на

10. Знайдіть останню цифру числа 7 2011 + 9 2011 .

11. Знайдіть усі натуральні числа, які збільшуються у 9 разів, якщо між цифрою одиниць та цифрою десятків вставити нуль.

12.До деякого двозначного числа ліворуч і праворуч приписали по одиниці. В результаті вийшло число в 23 рази більше від початкового. Знайдіть це число.

Питання з теорії чи вправ можна поставити Валерію Петровичу Чувакову

chv @ uriit . ru

Додаткова література

1. Віленкін Н.Я. та ін. За сторінками підручника математики. Арифметика. Алгебра. -М.: Просвітництво, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Підготовка до вирішення олімпіадних завданьз математики. -М.: Ілекса, 2009.

3. Канель-Бєлов А.Я., Ковальджі А.К. Як вирішують нестандартні завдання. -М. МЦНМВ, 2009.

4. Агаханов Н.А., Подліпський О.К. Математичні олімпіадиМосковська область. -М.: Фізматкнига, 2006

5. Горбачов Н.В. Збірник олімпіадних завдань, -М.: МЦНМО, 2004

Лекція

Конспект лекцій з курсу "теорія чисел"

Лекція

Наступні розділи теорії чисел: теорія ділимості, Прості та складові... Теорема. Нехай x>0, xR, dN. Кількість натуральнихчисел, кратних d і не перевершують x, і... Лекція 12 13 Лекція 13 15 Література. 17 Конспектлекційза курсом «Теорії чисел» ...

Конспект лекцій з культурології

Конспект

Павлюченков Конспектлекційз культурології... нерівномірно й існували у межах натуральногогосподарства. Саме в полісі... дослідження нескінченно малих чиселбагато в чому завершили створення... той час, як матеріальні ділимодо нескінченності. Духовні...

Д А Шадрін Логіка конспект лекцій

Конспект

Являє собою конспектлекційз дисципліни «Логіка». Конспектлекційскладено в... цього служить визначення натуральнихчисел. Так, якщо 1 - натуральнечисло та n - натуральнечисло, то 1 ... вичерпують весь обсяг ділимогопоняття, тому...

Подільність чисел. Прості та складові числа.

Подільність натуральних чисел............................................... .................................................. ....................
Основна теорема арифметики............................................... .................................................. ..................
Ознаки подільності................................................ .................................................. ..................................
Твердження, пов'язані з ділимістю чисел............................................ ...............................................
Усні завдання................................................ .................................................. .............................................
«Напівусні» завдання .............................................. .................................................. ..................................
Коли до повної кількості десятків ............................................... .................................................. ...............
Завдання на подільність сум:............................................. .................................................. ...........................
Нестандартні завдання................................................ .................................................. .............................
Деякі завдання з підручників.............................................. .................................................. ................
Порівняння................................................. .................................................. .................................................
Мала теорема Ферма............................................... .................................................. ...............................
Розв'язання рівнянь у цілих числах............................................. .................................................. ...........
Список литературы:............................................... .................................................. ....................................

Генріх Г.М.

ФМШ №146 м. Перм

Однією з цілей математичної освіти, що знайшла відображення в федеральному компоненті державного стандартуз математики, є інтелектуальний розвитокучнів.

Тема «Дільність чисел. Прості та складові числа» – одна з таких тем, які, починаючи з 5 класу, дозволяють у більшою міроюрозвивати математичні здібностідітей. Працюючи в школі з поглибленим вивченнямматематики, фізики та інформатики, де навчання ведеться з 7 класу, кафедра математики нашої школи зацікавлена ​​у тому, щоб учні вже у 5-7 класах докладніше знайомилися з цією темою. Ми намагаємося це реалізувати на заняттях у школі юних математиків (ШПМ), а також у регіональному літньому математичному таборі, де разом із вчителями нашої школи викладаю і я. Я постаралася підібрати такі завдання, які цікаві учням із 5 по 11 клас. Адже учні нашої школи вивчають цю темуза програмою. А випускники школи останні 2 роки зустрічаються із завданнями з цієї теми на ЄДІ (у задачах типу С6). Теоретичний матеріалу різних випадках розглядаю у різному обсязі.

Подільність натуральних чисел.

Деякі визначення:

Говорять, що натуральне число a ділиться на натуральне число b, якщо є таке натуральне число c, що a=bc. У цьому пишуть: a b . У цьому

У разі b називають дільником числа a, а a- кратним числа b. Натуральне число називається простим, якщо у нього немає дільників,

відмінних від нього самого та від одиниці (наприклад: 2, 3, 5, 7 тощо).Число називається складеним, якщо воно не є простим. Одиниця не є ні простим, ні складовим.

Число n ділиться на просте число p в тому і тільки в тому випадку, якщо p трапляється серед простих множників, на які розкладається n.

Найбільшим загальним дільником чисел a та b називається найбільша кількість, одночасно є дільником a і дільником b, позначається НОД (a; b) або D (a; b).

Найменшим загальним кратним називають найменше число, Що ділиться і на a, і на b, позначається НОК (a; b) або K (a; b).

Числа a та b називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільникдорівнює одиниці.

Генріх Г.М.

ФМШ №146 м. Перм

Основна теорема арифметики

Будь-яке натуральне число n єдиним чином (з точністю до порядку множників) розкладається на добуток ступенів простих помножувачів:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

тут p1, p2, ... pm - Різні прості дільники числа n, а k1, k2, … km - ступеня входження (ступеня кратності) цих дільників.

Ознаки подільності

∙ Число ділиться на 2 і тоді, коли остання цифра ділиться на 2 (тобто парна).

∙ Число ділиться на 3 і тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

∙ Число ділиться на 4 і тоді, коли двозначне число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 4.

∙ Число ділиться на 5 тоді і лише тоді, коли остання цифра ділиться на 5 (тобто дорівнює 0 чи 5).

∙ Щоб дізнатися, чи ділиться число на 7 (на 13), треба розбити його десятковий запис праворуч наліво на групи по 3 цифри в кожній (найліва група може містити 1 або 2 цифри), після чого взяти групи з непарними номерами зі знаком «мінус» », а з парними номерами – зі знаком «плюс». Якщо отриманий вираз поділяється на 7 (на 13), то і задане числоділиться на 7 (на 13).

∙ Число ділиться на 8 і тоді, коли тризначне число, складене з трьох останніх цифр, ділиться на 8.

∙ Число ділиться на 9 і тоді, коли сума цифр ділиться на 9.

∙ Число ділиться на 10 тоді і лише тоді, коли остання цифра – нуль.

∙ Число ділиться на 11 тоді і лише тоді, коли сума його цифр, що стоять на парних місцях у десятковому записі, і сума його цифр, що стоять на непарних місцях у десятковому записі, дають однакові залишки при розподілі на 11.

Твердження, пов'язані з ділимістю чисел.

∙ Якщо a b і b c , то a c .

∙ Якщо a m, то і ab m.

∙ Якщо a m і b m, то a+b m

∙ Якщо a+.b m і a m, то і b m

∙ Якщо a m і a k, причому m і kвзаємно прості, то a mk

∙ Якщо ab m і a взаємно просто з m, то b m

Генріх Г.М.

ФМШ №146 м. Перм

∙ На заняттях з цієї теми в залежності від віку учнів, місця та часу проведення занять, я розглядаю різні завдання. Підбираю ці завдання, в основному, із джерел, які вказані наприкінці роботи, в тому числі і з матеріалів Пермського регіонального турніру юних математиків минулих років та матеріалів II та ІІІ етапівРосійська олімпіада школярів з математики минулих років.

Наступні завдання використовую для проведення занять у 5, 6, 7 класах у ШЮМ1 е під час проходження теми «Дільність чисел. Прості та складові числа. Ознаки подільності».

Усні завдання.

1. До 15 ліворуч і праворуч припишіть по 1 цифрі так, щоб число ділилося на 15.

Відповідь: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. До 10 ліворуч і праворуч припишіть по 1 цифрі так, щоб число ділилося на 72.

Відповідь: 4104.

3. Деяке число ділиться на 6 і 4. Чи обов'язково воно ділиться на 24?

Відповідь: ні, наприклад, 12.

4. Знайдіть найбільше натуральне число, кратне 36, у записі якого беруть участь усі цифри по 1 разу.

Відповідь: 9876543120.

5. Дано число 645*7235. Замініть * цифрою так, щоб отримане число стало кратним 3. Відповідь: 1, 4, 7.

6. Дано число 72*3*. Замініть * цифрами так, щоб отримане число стало кратним 45. Відповідь: 72630, 72135.

«Напівусні» завдання.

1. Скільки неділь може бути у році?

2. У деякому місяці три неділі припали на парні числа. Який день тижня був 7 числа цього місяця?

3. Почнемо рахувати пальці рук в такий спосіб: першим нехай буде великий палець, другим – вказівний, третім – середній, четвертим – безіменний, п'ятим – мізинець, шостим – знову безіменний, сьомим – середній, восьмим – вказівний, дев'ятим – великий, десятим – вказівний палецьі т.д. Який палець буде 2000-м?

1 ШПМ – Школа Юних Математиків – суботня школа при ФМШ №146

Генріх Г.М.

ФМШ №146 м. Перм

За яких n число1111...111 ділиться на 7?

За яких n число 1111...111 ділиться на 999999999?

6. Дроб b a – скоротний. Чи скоротитиме дріб a + − b b ?

7. У країні Анчурії в обігу є купюри номіналом 1 анчур, 10 анчурів, 100 анчурів, 1000 анчурів. Чи можна відрахувати 1000000 анчурів за допомогою 500000 купюр?

8. Знайдіть двозначне число, перша цифра якого дорівнює різниці між цим числом і числом, записаним тими ж цифрами, але в зворотному порядку.

1. У році може бути 365 або 366 днів, кожен сьомий день – неділя, отже, 365=52×7+1 або 366=52×7+2, їх може бути 52, або 53, якщо неділя припала на 1 число.

2. Ці 3 неділі припали на 2, 16 та 30 числа. Значить, 7-е число цього місяця буде п'ятницею.

3. Кількість пальців за рахунку повторюватимуться з періодом 8, отже, досить порахувати залишок від розподілу 2000 на 8. Він дорівнює 0. Т.к. восьмим йде вказівний палець, то й 2000-им буде вказівний палець.

націло на 7, а 111111 = 7 × 15873. Звідси випливає, що якщо в записі даного числабільше 6 одиниць, то після кожної 6 одиниці черговий залишок дорівнює 0. Т.ч.,

число виду 1111 ... 111 ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли кількість його

цифр ділиться на 6, тобто. n=7× t, де tZ.

одночасно. У цьому числі кількість одиниць кратно 9. Однак перше і друге такі числа 111 111 111 і 111 111 111 111 111 111 не діляться на 999 999 999. А число, в якому 18 одиниць, ділиться на 999 999. 18-го, кожне 18 число ділиться на 999 999 999, тобто. n=18× t, де tÎ N.

6. Дроби		a – скоротна, тобто. a=bn, де nÎ Z. Тоді перепишемо дріб					a − b
							a + b
bn − b		b (n − 1)		n − 1	Очевидно, що дріб a a + − b b	скоротимо.
bn + b		b (n + 1)		n + 1

7. Нехай було a купюр номіналом в 1 анчур, b - номіналом в 10 анчурів, c номіналом в 100 анчурів і d номіналом в 1000 анчурів. Отримаємо

Як зазначалося, натуральне число а ділиться націло на натуральне число b, якщо є натуральне число з, при множенні якого b виходить а:

Слово "націло" зазвичай опускають - для стислості.

Якщо ділиться на b, то говорять ще, що кратно b. Наприклад, число 48 кратно числу 24.

Теорема 1. Якщо один із множників ділиться на деяке число, то й твір ділиться на це число.

Наприклад, 15 ділиться на 3, отже, і 15∙11 ділиться на 3, тому що 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ці міркування підходять для загального випадку. Нехай число а ділиться с, тоді знайдеться таке натуральне число n, що a = n∙c. Розглянемо добуток числа а та довільного натурального числа b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Звідси, за визначенням, випливає, що твір ab теж ділиться на с. Що й потрібно було довести.

Теорема 2. Якщо перше число ділиться на друге, а друге ділиться на третє, то перше число ділиться на третє.

Наприклад, 777 ділиться на 111, тому що 777 = 7∙111, а 111 ділиться на 3, тому що 111 = 3∙37. З цього випливає, що 777 ділиться на 3, оскільки 777 = 3 (37 7).

У загальному випадкуці міркування можна повторити майже дослівно. Нехай число а ділиться число b, а число b ділиться число с. Це означає, що знайдуться такі натуральні числа n та m, що a = n∙b та b = m∙c. Тоді число а можна уявити у вигляді: а = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Рівність а = (n∙m)∙c означає, що число а також поділяється на с.

Теорема 3. Якщо кожне з двох чисел ділиться на деяке число, то їх сума та різниця поділяються на це число.

Наприклад, 100 ділиться на 4, тому що 100 = 25 ∙ 4; 36 також ділиться на 4, тому що 36 = 9∙4. З цього випливає, що 136 ділиться на 4, тому що

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Можна також зробити висновок, що число 64 ділиться на 4, тому що

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Доведемо теорему у випадку. Нехай кожне з чисел а та b ділиться на число с. Тоді, за визначенням, знайдуться такі натуральні числа n та m, що
а = n∙c та b = m∙c. Розглянемо суму чисел а та b.

a + b = n·c + m·c = (n + m)·c.

Звідси випливає, що а + b поділяється на с.

Аналогічно, а - b = n · c - m · c = (n - m) · c. Отже, а - b поділяється на с.

Теорема 4. Якщо одне з двох чисел ділиться на деяке число, а інше на нього не ділиться, то їхня сума та різниця не діляться на це число .

Наприклад, 148 ділиться на 37, тому що 148 = 4∙37, а 11 не ділиться на 37. Очевидно, що сума 148 + 11 і різницю 148 – 11 не діляться на 37, інакше це суперечило властивості 3.

Ознаки подільності

Якщо число закінчується цифрою 0, воно ділиться на 10.

Наприклад, число 4560 закінчується цифрою 0, його можна подати у вигляді твору 456∙10, який ділиться на 10 (за теоремою 1).

Число 4561 не ділиться на 10, тому що 4561 = 4560 +1 - сума числа 4560, що ділиться на 10, і числа 1, що не ділиться на 10 (за теоремою 4).

Якщо число закінчується однією з цифр 0 або 5, воно ділиться на 5.

Наприклад, число 2300 ділиться на 5, тому що це число ділиться на 10, а 10 ділиться на 5 (теорема 2).

Число 2305 закінчується цифрою 5, воно ділиться на 5, оскільки його можна записати у вигляді суми чисел, що діляться на 5: 2300 + 5 (теорема 3).

Число 52 не ділиться на 5, тому що 52 = 50 + 2 - сума числа 50, що ділиться на 5, і числа 2, що не ділиться на 5 (за теоремою 4).

Якщо число закінчується однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8, воно ділиться на 2.

Наприклад, число 130 закінчується цифрою 0, воно ділиться на 10, а 10 ділиться на 2, отже 130 ділиться на 2.

Число 136 закінчується цифрою 6, воно ділиться на 2, оскільки його можна записати у вигляді суми чисел, що діляться на 2: 130 + 6 (теорема 3).

Число 137 не ділиться на 2, тому що 137 = 130 + 7 – сума числа 130, що ділиться на 2, та числа 7, що не ділиться на 2 (за теоремою 4).

Число, що ділиться на 2, називають парним.

Число, що не ділиться на 2, називають непарним.

Наприклад, числа 152 та 790 – парні, а числа 111 та 293 – непарні.

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9.

Наприклад, сума цифр 7 + 2 + 4 + 5 = 18 числа 7245 ділиться на 9. Число 7245 ділиться на 9, тому що його можна подати у вигляді суми 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), де сума у ​​перших дужках ділиться на 9, а других дужках – сума цифр цього числа – також ділиться на 9 (по теоремі 3).

Число 375 не ділиться на 9, тому що сума його цифр 3 + 7 + 5 = 15 не ділиться на 9 Це можна довести наступним чином: 375 = 3 ∙ (99 + 1) + 7 ∙ (9 +1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), де сума у ​​перших дужках ділиться на 9, а у других дужках – сума цифр числа 375 – не ділиться на 9 (за теоремою 4).

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то саме число ділиться на 3.

Наприклад, у числа 375 сума цифр 3 + 7 + 5 = 15 ділиться на 3, і воно само ділиться на 3 тому, що 375 = (3 99 + 7 9) + (3 + 7 + 5), де сума в перших дужках ділиться на 3, а у других дужках – сума цифр числа 375 – також поділяється на 3.

Сума цифр числа 679, що дорівнює 6 + 7 + 9 = 22, не ділиться на 3, і саме число не ділиться на 3, тому що 679 = (6 99 + 7 9) + (6 + 7 + 9), де сума перших дужках ділиться на 3, тоді як у других дужках – сума цифр числа 679 – не ділиться на 3.

Примітка. Коли кажуть «число закінчується цифрою...» мають на увазі « десятковий записчисла закінчується цифрою...»

Прості та складові числа

Кожне натуральне число р поділяється на 1 і саме на себе:

р: 1 = р, р: р = 1.

Простим числом називають таке натуральне число, яке більше одиниці і ділиться тільки на 1 і саме на себе.

Ось перші десять простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непрості натуральні числа великі одиниці, називають складовими. Кожне складове число ділиться на 1, саме він і ще хоча б одне натуральне число.

Ось усі складові числа, менші за 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Таким чином, множина всіх натуральних чисел складається з простих чисел, складових чисел і одиниці.

Простих чисел дуже багато, є перше число – 2, але немає останнього простого числа.

Дільники натурального числа

Якщо натуральне число а поділяється на натуральне число b, число b називають дільникомчисла а.

Наприклад, дільниками числа 13 є числа 1 і 13, дільниками числа 4 – числа 1, 2, 4, а дільниками числа 12 – числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Кожне просте число має тільки два дільники – одиницю і саму себе, а кожне складове число, крім одиниці та себе, має й інші дільники.

Якщо дільник – просте число, його називають простим дільником. Наприклад, число 13 має простий дільник 13, число 4 – простий дільник 2, а число 12 – прості дільники 2 та 3.

Кожне складове число можна у вигляді твори його простих дільників. Наприклад,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = З 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Праві частини отриманих рівностей називають розкладанням на прості множникичисел 28, 22, 81 та 100.

Розкласти дане складове число на прості множники - значить уявити його у вигляді добутку різних його простих дільників або їх ступенів.

Покажемо, як можна розкласти число 90 на звичайні множники.

1) 90 ділиться на 2, 90:2 = 45;

2) 45 не ділиться на 2, але ділиться на 3, 45: 3 = 15;

3) 15 ділиться на 3, 15:3 = 5;

4) 5 ділиться на 5, 5:5 = 1.

Таким чином, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Найбільший спільний дільник

Число 12 має дільники 1, 2, 3, 4, 12. Число 54 має дільники 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Ми бачимо, що числа 12 і 54 мають спільні дільники 1, 2, 3 6.

Найбільшим загальним дільником чисел 12 та 54 є число 6.

Найбільший загальний дільник чисел а та b позначають: НОД (а, b).

Наприклад, НОД (12, 54) = 6.

Найменше загальне кратне

Число, що ділиться на 12, називається кратним числу 12. Число 12 кратні числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 і т.д. Число 18 кратні числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 і т. д.

Ми, що є числа, кратні одночасно 12 і 18. Наприклад, 36, 72, 108, ... . Ці числа називаються загальними кратними чисел 12 та 18.

Найменшим загальним кратним натуральних чисел а та b називають найменше натуральне число, що ділиться націло на а та b. Це число позначають НОК (а, b).

Найменше загальне кратне двох чисел зазвичай знаходять одним із двох способів. Розглянемо їх.

Знайдемо НОК(18, 24).

І спосіб. Виписуватимемо числа, кратні 24 (більшому з даних чисел), перевіряючи, чи ділиться кожне з них на 18: 24∙1=24 – не ділиться на 18, 24∙2 = 48 – не ділиться на 18, 24∙3 = 72 - ділиться на 18, тому НОК (24, 18) =
= 72.

ІІ метод. Розкладемо числа 24 і 18 на прості множники: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

НОК (24, 18) має ділитися і на 24, і на 18. Тому шукане число містить усі прості дільники більшого числа 24 (тобто числа 2, 2, 2, 3) і ще множники, що відсутні, з розкладання меншого числа 18 (ще одне число 3). Тому НОК(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Оскільки взаємно прості числа немає загальних простих дільників, їх найменше загальне кратне дорівнює добутку цих чисел. Наприклад, 24 та 25 – взаємно прості числа. Тому НОК (24, 25) = 24 ∙ 25 = 600.

Якщо одне з двох чисел ділиться націло на інше, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює більшому з них. Наприклад, 120 ділиться націло на 24, отже НОК (120, 24) = 120.

Цілі числа

Нагадування. Числа, які використовують при підрахунку кількості предметів, називають натуральними числами. Нуль не вважається натуральним числом. Натуральні числа та нуль, записані в порядку зростання і без перепусток, утворюють ряд цілих невід'ємних чисел:

У цьому розділі буде введено нові числа – цілі негативні.

Цілі негативні числа

Базовий прикладіз життя – термометр. Припустимо, він вказує температуру 7° тепла. Якщо температура знизиться на 4°, то термометр показуватиме 3° тепла. Зменшенню температури відповідає дія віднімання: 7 – 4 = 3. Якщо температура знизиться на 7°, то термометр покаже 0°: 7 – 7 = 0.

Якщо температура знизиться на 8°, то термометр покаже –1° (1° морозу). Але результат віднімання 7 – 8 не можна записати за допомогою натуральних чисел та нуля, хоча він має реальний сенс.

Відрахувати у ряді невід'ємних цілих чисел від числа 7 ліворуч 8 чисел не можна. Щоб дія 7 – 8 стала здійсненною, розширимо ряд невід'ємних цілих чисел. Для цього ліворуч від нуля запишемо (праворуч ліворуч) по порядку всі натуральні числа, додаючи до кожного з них знак «–», що показує, що це число стоїть ліворуч від нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читають мінус 1, мінус 2, мінус 3 і т. д.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Отриманий ряд чисел називають рядом цілих чисел. Точки ліворуч і праворуч у цьому записі означають, що ряд можна продовжувати необмежено праворуч і ліворуч.

Праворуч від числа 0 у цьому ряду розташовані числа, які називають натуральними чи цілими позитивними.