У вигляді:
± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …
де ± - знак дробу: або +, або -,
, - десяткова кома, яка служить роздільником між цілою і дробовою частинами числа,
d k- десяткові цифри.
При цьому порядок проходження цифр до коми (ліворуч від неї) має кінець (як min 1-на цифра), а після коми (праворуч) — може бути і кінцевою (як варіант, цифр після коми може взагалі не бути), і нескінченною.
Значенням десяткового дробу ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … є дійсне число:
яке дорівнює сумі кінцевого або нескінченної кількостідоданків.
Подання дійсних чиселза допомогою десяткових дробів є узагальнення запису цілих чисел десятковій системіобчислення. У поданні цілого числа десятковим дробом немає цифр після коми, і т.ч., це уявлення виглядає так:
± d m … d 1 d 0 ,
І це збігається із записом нашого числа у десятковій системі числення.
Десятковий дріб- це результат розподілу перші на 10, 100, 1000 і так далі елементів. Ці дроби досить зручні обчислень, т.к. вони ґрунтуються на такій самій позиційній системі, на якій побудовано рахунок і запис цілих чисел. Завдяки цьому запис та правила дій з десятковими дробамипрактично такі ж, як і для цілих чисел.
Записуючи десяткові дроби не потрібно відзначати знаменник, він визначається місцем, яке займає відповідна цифра. Спочатку пишемо цілу частину числа, далі праворуч ставимо десяткову точку. Перша цифра після десяткової точки позначає число десятих, друга – число сотих, третя – число тисячних тощо. Цифри, які розташовані після десяткової точки, є десятковими знаками.
Наприклад: 
Одна з переваг десяткових дробів така, що їх дуже просто можна привести до вигляду звичайних: число після десяткової точки (у нас це 5047) - це чисельник; знаменникдорівнює n-ого ступеня 10, де n- Число десяткових знаків (у нас це n = 4):
Коли в десятковому дробі немає цілої частини, значить, перед десятковою точкою ставимо нуль:
Властивості десяткових дробів.
1. Десятковий дріб не змінюється, коли праворуч додаються нулі:
13.6 =13.6000.
2. Десятковий дріб не змінюється, коли видаляються нулі, розташовані в кінці десяткового дробу:
0.00123000 = 0.00123.
Увага!Не можна видаляти нулі, які розташовані не наприкінці десяткового дробу!
3. Десятковий дріб збільшується в 10, 100, 1000 і так далі раз, коли переносимо десяткову точку відповідно 1-ну, 2, 2 і так далі позицій правіше:
3.675 → 367.5 (дроб збільшився в сто разів).
4. Десятковий дріб стає меншим у десять, сто, тисячу і так далі разів, коли переносимо десяткову точку відповідно 1-ну, 2, 3 і так далі позицій лівіше:
1536.78 → 1.53678 (дроб став менше в тисячу разів).
Види десяткових дробів.
Десяткові дроби поділяються на кінцеві, нескінченніі періодичні десяткові дроби.
Кінцевий десятковий дріб -це дріб, що містить кінцеву кількість цифр після коми (чи їх немає зовсім), тобто. виглядає так:
Дійсне число можна представити як кінцевий десятковий дріб лише в тому випадку, якщо це число є раціональним і при записі його нескоротним дробом p/qзнаменник qне має простих дільників, які відмінні від 2 та 5.
Нескінченний десятковий дріб.
Містить групу цифр, що нескінченно повторюється, яка називається періодом. Період записується у дужках. Наприклад, 0.12345123451234512345 ... = 0. (12345).
Періодичний десятковий дріб- це такий нескінченний десятковий дріб, в якому послідовність цифр після коми, починаючи з деякого місця, є групою цифр, що періодично повторюється. Іншими словами, періодичний дріб— десятковий дріб, що виглядає так:
Подібний дріб зазвичай коротко записують так:
Група цифр b 1 … b l, яка повторюється, є періодом дробучисло цифр у цій групі є довжиною періоду.
Коли в періодичному дробі період йде відразу після коми, значить, дріб є чистої періодичної. Коли між комою та 1-м періодом є цифри, то дріб є змішаної періодичної, а група цифр після коми до 1-го знака періоду передперіодом дробу.
Наприклад, Дріб 1, (23) = 1,2323 ... є чистої періодичної, а дріб 0,1 (23) = 0,12323 ... - Змішаної періодичної.
Основна властивість періодичних дробів, завдяки якому їх виділяють із усієї сукупності десяткових дробів, у тому, що періодичні дроби і вони представляють раціональні числа . Точніше, має місце таке:
Будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб представляє раціональне число. Назад, коли раціональне число розкладається в нескінченний десятковий дріб, отже, цей дріб буде періодичним.
ДЕСЯТИЧНІ ДРОБИ. ДІЇ НАД ДЕСЯТИЧНИМИ ДРОБИМИ
(Урок-узагальнення)
Тумишева Замира Тансикбаївна, учитель математики, школа-гімназія №2
м. Хромтау Актюбінської області Республіка Казахстан
Ця розробкауроку призначено як урок-узагальнення за розділом «Дії над десятковими дробами». Її можна використовувати як у 5 класах, так і у 6 класах. Урок проводиться у ігровій формі.
Десяткові дроби. Дії над десятковими дробами.(Урок-узагальнення)
Ціль:
Відпрацювання умінь і навичок складання, віднімання, множення та поділу десяткових дробів на натуральні числа та на десятковий дріб
Створення умов розвитку навичок самостійної роботи, самоконтролю та самооцінки, розвитку інтелектуальних якостей: уваги, уяви, пам'яті, вміння аналізувати та узагальнювати
Прищепити пізнавальний інтересдо предмета та виробити впевненість у своїх силах
ПЛАН УРОКУ:
1. Організаційна частина.
3. Тема та мета нашого уроку.
4. Гра «До заповітного прапорця!»
5. Гра «Числовий млин».
6. Ліричний відступ.
7. Перевірна робота.
8. Гра «Шифрування» (робота у парах)
9. Підбиття підсумків.
10. Домашнє завдання.
1. Організаційна частина. Здрастуйте. Сідайте.
2. Огляд правил виконання арифметичних дій із десятковими дробами.
Правило складання та віднімання десяткових дробів:
1) зрівняти кількість знаків після коми у цих дробах;
2) записати один під одним так, щоб кома була під комою;
3) не помічаючи комою, виконати дію (додавання або віднімання), і поставити в результаті кому під комами.
3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37
3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57
0,450 4,0 7,88 3,20
3,905 7,5 7,12 1,37
При додаванні та відніманні натуральні числа записують як десятковий дріб з десятковими знаками, рівними нулю
Правило множення десяткових дробів:
1) не звертаючи уваги на кому, помножити числа;
2) в отриманому творі відокремити комою стільки цифр справа наліво, скільки їх відокремлено комою в десяткових дробах.
При множенні десяткового дробу на розрядні одиниці (10, 100, 1000 тощо) кома переноситься вправо на стільки чисел, скільки нулів у розрядній одиниці
4
17,25 · 4 = 69
х 1 7,2 5
4
6 9,0 0
15,256 · 100 = 1525,6
,5 · 0,52 = 2,35Х 0,5 2
4,5
2 7 0
2 0 8__
2,3 5 0
При множенні натуральні числа записують як натуральні числа.
Правило розподілу десяткових дробів на натуральне число:
1) розділити цілу частину поділеного, поставити в приватному кому;
2) продовжити поділ.
При розподілі до залишку зносимо тільки по одному числу з поділеного.
Якщо в процесі розподілу десяткового дробу залишиться залишок, то приписавши до нього необхідне числонулів, продовжимо поділ до того часу, поки залишку вийде нуль.
15,256: 100 = 0,15256
0,25: 1000 = 0,00025
Розподіл десяткового дробу на розрядні одиниці (10, 100, 1000 тощо) кома переноситься вліво на стільки чисел, скільки нулів у розрядній одиниці.
18,4: 8 = 2,3
_ 18,4 І_8_
16 2,3
2 4
2 4
22,2: 25 = 0,88
22,2 І_25_
0 0,888
22 2
20 0
2 20
2 00
200
200
3,56: 4 = 0,89
3,56 І_4_
0 0,89
3 5
3 2
36
При розподілі натуральні числа записують як натуральні числа.
Правило розподілу десяткових дробів на десятковий дріб:
1) перенесемо кому в дільнику вправо так, щоб вийшло натуральне число;
2) кому в поділеному перенесемо вправо настільки чисел, наскільки перенесли в дільнику;
3) виробляємо розподіл десяткового дробу на натуральне число.
3,76: 0,4 = 9, 4
_ 3,7,6 І_0,4,_
3 6 9, 4
1 6
1 6
0
Гра «До заповітного прапорця!»
Правила гри:З кожної команди до дошки викликаються по одному учневі, які виробляють усний рахунок з нижньої сходинки. Один приклад відзначає відповідь у таблиці. Далі його змінює інший член команди. Відбувається рух догори - до заповітного прапорця. Учні на місцях усно перевіряють результати своїх гравців. При неправильній відповіді до дошки виходить інший член команди, щоб продовжити вирішення завдань. Викликають до дошки учнів капітани команд. Виграє та команда, яка при найменшій кількостіучнів першою досягне прапорця.
Гра «Числовий млин»
Правила гри:У гуртках млина записані числа. На стрілках, що з'єднують кружки, вказано дії. Завдання полягає в тому, щоб виконати послідовно дії, просуваючись по стрілці від центру до зовнішнього кола. Виконуючи послідовно дії вказаним маршрутом, ви знайдете відповідь в одному з гуртків внизу. Результат виконання дій за кожною стрілкою записується в овалі поруч.
Ліричний відступ.
Вірш Ліфшиця «Три десяті»
Це хто
З портфеля
Шпурляє в досаді
Ненависний задачник,
Пенал та зошити
І суєть свій щоденник.
Не червоніючи при цьому,
Під дубовий буфет.
Щоб лежав під буфетом?
Познайомтеся, будь ласка:
Костя Жигалін.
Жертва вічних причіпок, -
Він знову провалений.
І шипить,
На розпатланий
Дивлячись задачник:
Просто мені не щастить!
Просто я невдаха!
У чому причина
Образи його та прикрості?
Що відповідь не зійшлася
Лише на три десяті.
Це справжня дрібниця!
І до нього, безперечно,
Причіпається
Сувора
Марія Петрівна.
Три десяти...
Скажи про таку помилку -
І, мабуть, на обличчях
Побачиш усмішку.
Три десяти...
І все-таки про цю помилку
Я прошу вас
Послухати мене
Без посмішки.
Якби, будуючи ваш будинок.
Той, у якому живете.
Архітектор
Трохи
Помилився
У розрахунку, -
Що б сталося.
Ти, знаєш, Костя Жигалін?
Цей будинок
Перетворився б
У купу руїн!
Ти вступаєш на міст.
Він надійний та міцний.
А не будь інженер
У кресленнях своїх точний, -
Ти б, Костю,
Впавши
в холодну річку,
Не сказав би дякую
Тому людині!
Ось турбіна.
У ній вал
Токарями розточений.
Якби токар
У роботі
Не дуже був точний, -
Здійснилося б, Костю,
Велике нещастя:
Рознесло б турбіну
На дрібні частини!
Три десятих -
І стіни
Зводяться
Косо!
Три десятих -
І зваляться
Вагони
З укосу!
Помились
Тільки на три десяті
Аптека, -
Стане отрутою ліки,
Вб'є людину!
Ми громили та гнали
Фашистська банда.
Твій батько подавав
Батареї команду.
Помилишся він прильотом
Хоч на три десятих, -
Не наздогнали б снаряди
Фашистів проклятих.
Ти подумай про це,
Мій друже, холоднокровно
І скажи.
Чи не права була
Маріє Петрівно?
Якщо чесно
Подумаєш, Костю, про це.
То недовго лежати
Щоденнику під буфетом!
Перевірочна робота на тему «Десятичні дроби» (математика -5)
На екрані з'являться послідовно 9 слайдів. Учні у зошитах записують номер варіанта та відповіді на запитання. Наприклад, Варіант 2
1. З; 2. А; і т.п.
ПИТАННЯ 1
Варіант 1
При множенні десяткового дробу на 100, потрібно в цьому дробі перенести кому:
А. ліворуч на 2 цифри; Ст праворуч на 2 цифри; С. не міняти місце комою.
Варіант 2
При множенні десяткового дробу на 10, потрібно в цьому дробі перенести кому:
А. праворуч на 1 цифру; Ст ліворуч на 1 цифру; С. не міняти місце комою.
ПИТАННЯ 2
Варіант 1
Сума 6,27+6,27+6,27+6,27+6,27 у вигляді твору записується так:
А. 6,27 · 5; Ст 6,27 · 6,27; С. 6,27 · 4.
Варіант 2
Сума 9,43+9,43+9,43+9,43 у вигляді твору записується так:
А. 9,43 · 9,43; Ст 6 · 9,43; С. 9,43 · 4.
ПИТАННЯ 3
Варіант 1
У творі 72,43 · 18 після коми буде:
Варіант 2
У творі 12,453 · 35 після коми буде:
А. 2 цифри; В. 0 цифр; 3 цифри.
ПИТАННЯ 4
Варіант 1
У приватному 76,4: 2 після коми буде:
А. 2 цифри; В. 0 цифр; 1 цифра.
Варіант 2
У приватному 95,4: 6 після коми буде:
А. 1 цифра; В. 3 цифри; 2 цифри.
ПИТАННЯ 5
Варіант 1
Знайти значення виразу 34,5: х + 0,65 · у, при х = 10 у = 100:
А. 35,15; Ст 68,45; С. 9,95.
Варіант 2
Знайти значення виразу 4,9 · х +525:у, при х = 100 у = 1000:
А. 4905,25; Ст 529,9; С. 490,525.
ПИТАННЯ 6
Варіант 1
Площа прямокутника зі сторонами 0,25 та 12 см дорівнює
А. 3; Ст 0,3; З. 30.
Варіант 2
Площа прямокутника зі сторонами 0,5 та 36 см дорівнює
А. 1,8; Ст 18; З. 0,18.
ПИТАННЯ 7
Варіант 1
Зі школи одночасно в протилежні сторонивийшли двоє учнів. Швидкість першого учня 3,6 км\год, швидкість другого - 2,56 км\год. Через 3 години відстань між ними буде рівна:
А. 6,84 км; Ст 18,48 км; С. 3,12 км
Варіант 2
Зі школи одночасно в протилежні сторони виїхали два велосипедисти. Швидкість першого 11,6 км\год, швидкість другого - 13,06 км\год. Через 4 години відстань між ними буде рівна:
А. 5,84 км; Ст 100,8 км; С. 98,64 км
Варіант 1
Варіант 2
Перевірте відповіді. Поставте "+" за правильну відповідь та "-" за неправильну відповідь.
Гра «Шифрування»
Правила гри:На кожну парту лунає картка із завданням, що має код-літеру. Виконавши дії та отримавши результат, записуєте код-літеру вашої картки під числом, що відповідає вашій відповіді.
В результаті отримаємо пропозицію:
6,8
420
21,6
420
306
65,8
21,6
Підбиття підсумків уроку.
Оголошуються оцінки за перевірочну роботу.
Домашнє завдання №1301, 1308, 1309
Дякуємо за увагу!
Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії з десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.
Навігація на сторінці.
Десятковий запис дробового числа
Читання десяткових дробів
Скажемо кілька слів про правила читання десяткових дробів.
Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».
Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число, Тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».
Розряди у десяткових дробах
У записі десяткових дробів, як і у записи натуральних чиселзначення кожної цифри залежить від її позиції. Дійсно, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробахтак само як і про розряди в натуральних числах.
Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової комиповністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.
Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 перебуває у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.
Розряди в десятковій дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.
Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладу за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання по розрядах десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.
Кінцеві десяткові дроби
До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, в записі яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.
Визначення.
Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записах яких міститься кінцеве число символів (цифр).
Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.
Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо в розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.
Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби
У записі десяткового дробу після коми можна припустити можливість наявності нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.
Визначення.
Нескінченні десяткові дроби- Це десяткові дроби, в записі яких знаходиться нескінченна безлічцифр.
Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати у повному вигляді, тому в їхньому записі обмежуються лише деяким кінцевим числомцифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .
Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторювана група цифр 1. Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.
Визначення.
Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.
Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1 , а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .
Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особлива формазаписи. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .
Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).
Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять під час переведення в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 та 5 .
Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43(9), 27,(9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.
Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.
Визначення.
Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.
Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.
Зазначимо, що неперіодичні дроби не перетворюються на звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби становлять ірраціональні числа.
Дії з десятковими дробами
Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та поділ. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.
Порівняння десяткових дробівпо суті базується на порівнянні звичайних дробів, що відповідають порівнюваним десятковим дробам. Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянню натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Переходимо до наступної дії множення десяткових дробів. Множення кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно віднімання десяткових дробів, правила, приклади, розв'язання множення стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Десяткові дроби на координатному промені
Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.
Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.
Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені . Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.
Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007, тому що 16,3007=16+0,3+0,0007, то в дану точкуможна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячної частки одиничного відрізка.
Такий спосіб побудови десяткових чиселна координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченного десяткового дробу.
Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, 
, тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421… відповідає точка координатного променявіддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.
Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.
Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, що відповідає даній точці на координатному промені.
Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .
Зрозуміло, що точки координатного променя, в які неможливо потрапити в процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби
Список литературы.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
§ 31. Завдання та приклади на всі дії з десятковими дробами.
Виконати вказані дії:
767. Знайти приватне від поділу:
772. Обчислити:
Знайти х , якщо:
776. Невідоме число помножили на різницю чисел 1 та 0,57 та у творі отримали 3,44. Знайти невідоме число.
777. Суму невідомого числа та 0,9 помножили на різницю між 1 та 0,4 та у творі отримали 2,412. Знайти невідоме число.
778. За даними діаграми про виплавку чавуну в РРФСР (рис. 36) скласти завдання, на вирішення якої треба застосувати дії складання, віднімання і розподілу.
779. 1) Довжина Суецького каналу 165,8 км, довжина Панамського каналуменше Суецького на 84,7 км, а довжина Біломорсько-Балтійського каналу на 145,9 км більша за довжину Панамського. Яка довжина Біломорсько-Балтійського каналу?
2) Московське метро(до 1959 р.) було збудовано у 5 черг. Довжина першої черги метро 11,6 км, другий -14,9 км, довжина третьої на 1,1 км менша за довжину другої черги, довжина четвертої черги на 9,6 км більша за третю чергу, а довжина п'ятої черги на 11,5 км менша четвертої. Чому дорівнює довжина Московського метро на початок 1959 р.?
780. 1) Найбільша глибина Атлантичного океану 8,5 км, найбільша глибина Тихого ркеану на 2,3 км більша за глибину Атлантичного океану, а найбільша глибина Північного Льодовитого океануу 2 рази менше від найбільшої глибини Тихого океану. Якою є найбільша глибина Північного Льодовитого океану?
2) Автомобіль "Москвич" на 100 км шляху витрачає 9 л бензину, автомобіль "Перемога" на 4,5 л більше, ніж витрачає "Москвич", а "Волга" в 1,1 рази більше "Перемоги". Скільки бензину витрачає автомобіль Волга на 1 км шляху? (Відповідь округлити з точністю до 0,01 л.)
781. 1) Учень під час канікул поїхав до дідуся. Залізницею він їхав 8,5 години, а від станції на конях 1,5 години. Усього він проїхав 440 км. З якою швидкістю учень їхав залізницею, якщо на конях він їхав зі швидкістю 10 км на годину?
2) Колгоспнику треба було бути у пункті, що знаходиться на відстані 134,7 км від його будинку. 2,4 години він їхав автобусом із середньою швидкістю 55 км на годину, а решту шляху він пройшов пішки зі швидкістю 4,5 км на годину. Скільки часу він ішов пішки?
782. 1) За літо один ховрах знищує близько 0,12 ц хліба. Піонери навесні винищили на 37,5 га 1250 ховрахів. Скільки хліба зберегли школярі для колгоспу? Скільки збереженого хліба припадає на 1 га?
2) Колгосп підрахував, що, знищивши ховрахів на площі 15 га ріллі, школярі зберегли 3,6 т зерна. Скільки ховрахів у середньому знищено на 1 га землі, якщо один ховрах за літо знищує 0,012 т зерна?
783. 1) При розмелюванні пшениці на борошно втрачається 0,1 її ваги, а при випіканні виходить припік, що дорівнює 0,4 ваги борошна. Скільки печеного хліба вийде з 2,5 т пшениці?
2) Колгосп зібрав 560 т соняшникового насіння. Скільки соняшникової олії виготовлять із зібраного зерна, якщо вага зерна становить 0,7 ваги насіння соняшника, а вага отриманої олії становить 0,25 ваги зерна?
784. 1) Вихід вершків із молока становить 0,16 ваги молока, а вихід олії із вершків становить 0,25 ваги вершків. Скільки потрібно молока (за вагою) для отримання 1 ц олії?
2) Скільки кілограмів білих грибів треба зібрати для одержання 1 кг сушених, якщо при підготовці до сушіння залишається 0,5 ваги, а при сушінні залишається 0,1 ваги обробленого гриба?
785. 1) Земля, відведена колгоспу, використана так: 55% її зайнято ріллом, 35% -лугом, а решта землі в кількості 330,2 га відведена під колгоспний сад і під садиби колгоспників. Скільки всього землі у колгоспі?
2) Колгосп засіяв 75% усієї посівної площі зерновими культурами, 20%-овочевими, а решту площі кормовими травами. Скільки посівної площі мав колгосп, якщо кормовими травами він засіяв 60 га?
786. 1) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника завдовжки 875 м та шириною 640 м, якщо на 1 га висівати 1,5 ц насіння?
2) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника, якщо його периметр дорівнює 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засів 1 га потрібно 1,5 ц насіння.
787. Скільки платівок квадратної формизі стороною 0,2 дм поміститься у прямокутнику розміром 0,4 дм х 10 дм?
788. Читальний зал має розміри 9,6 м x 5 м x 4,5 м. На скільки місць розрахований читальний зал, якщо на кожну людину необхідно 3 куб. м повітря?
789. 1) Яку площу луки скосить трактор із причепом чотирьох косарок за 8 годин, якщо ширина захоплення кожної косарки 1,56 м та швидкість трактора 4,5 км на годину? (Час на зупинки не враховується.) (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
2) Ширина захоплення тракторної овочевої сівалки дорівнює 2,8 м. Яку площу можна засіяти цією сівалкою за 8 год. роботи при швидкості 5 км на годину?
790. 1) Знайти вироблення трикорпусного тракторного плуга за 10 год. роботи, якщо швидкість трактора 5 км на годину, захоплення одного корпусу 35 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
2) Знайти вироблення п'ятикорпусного тракторного плуга за 6 год. роботи, якщо швидкість трактора 4,5 км на годину, захоплення одного корпусу 30 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
791. Витрата води на 5 км пробігу для паровоза пасажирського поїзда дорівнює 0,75 т. Водяний бак тендеру вміщує 16,5 т води. На скільки кілометрів колії вистачить води поїзду, якщо бак був наповнений на 0,9 своєї місткості?
792. На запасній дорозі можуть поміститися лише 120 товарних вагонів при середній довжині вагона в 7,6 м. Скільки поміститься на цьому колії чотиривісних пасажирських вагонівдовжиною 19,2 м кожен, якщо на цьому шляху буде вміщено ще 24 товарні вагони?
793. Для міцності залізничного насипу рекомендується проводити зміцнення укосів у вигляді посіву польових трав. На кожен квадратний метр насипу потрібно 2,8 г насіння вартістю 0,25 руб. за 1кг. Скільки коштуватиме засів 1,02 га укосів, якщо вартість робіт становитиме 0,4 від вартості насіння? (Відповідь округлити з точністю до 1 руб.)
794. Цегельний завод доставив на станцію залізниціцеглини. На перевезенні цегли працювали 25 коней та 10 вантажних машин. Кожен кінь перевозив 0,7 т за одну поїздку і щодня здійснював 4 поїздки. Кожна машина перевозила за одну поїздку 2,5 т і щодня здійснювала 15 поїздок. Перевезення тривало 4 дні. Скільки штук цегли було доставлено на станцію, якщо середня вага однієї цегли 3,75 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 тис. штук.)
795. Запас борошна був розподілений між трьома пекарнями: перша отримала 0,4 всього запасу, друга 0,4 залишку, а третя пекарня отримала борошна на 1,6 т менше ніж перша. Скільки всього борошна було розподілено?
796. На другому курсі інституту 176 студентів, на третьому 0,875 цього числа, а на першому у півтора рази більше тогощо було на третьому курсі. Число студентів на першому, другому та третьому курсах становило 0,75 всього числа студентів цього інституту. Скільки студентів було в інституті?
___________
797. Знайти середнє арифметичне:
1) двох чисел: 56,8 та 53,4; 705,3 та 707,5;
2) трьох чисел: 46,5; 37,8 та 36; 0,84; 0,69 та 0,81;
3) чотирьох чисел: 5,48; 1,36; 3,24 та 2,04.
798. 1) Вранці температура була 13,6 °, опівдні 25,5 °, а ввечері 15,2 °. Обчислити середню температуру цього дня.
2) Яка середня температурапротягом тижня, якщо протягом тижня термометр показав: 21°; 20,3 °; 22,2 °; 23,5 °; 21,1 °; 22,1 °; 20,8 °?
799. 1) Шкільна бригада першого дня прополола 4,2 га буряків, другого дня 3,9 га, а третій 4,5 га. Визначати середній виробіток бригади за день.
2) Для встановлення норми часу виготовлення нової деталібули поставлені 3 токарі. Перший виготовив деталь за 3,2 хв, другий за 3,8 хв, а третій за 4,1 хв. Обчислити норму часу, встановленої виготовлення деталі.
800. 1) Середнє арифметичне двох чисел 36,4. Одне із цих чисел 36,8. Знайти інше.
2) Температуру повітря вимірювали тричі на день: вранці, опівдні та ввечері. Знайти температуру повітря вранці, якщо опівдні було 28,4 °, увечері 18,2 ° тепла, а середня температура дня 20,4 °.
801. 1) Автомобіль проїхав за перші дві години 98,5 км, а за наступні три години 138 км. Скільки кілометрів у середньому проїжджав автомобіль за годину?
2) Пробний улов і зважування коропів-річників показав, що з 10 коропів 4 мали вагу по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг і 1 важив 0,8 кг. Яка в середньому вага коропа-річника?
802. 1) До 2 л сиропу вартістю 1,05 руб. за 1 л додали 8 л води. Скільки коштує 1 л одержаної води з сиропом?
2) Господиня купила банку консервованого борщу об'ємом 0,5 л за 36 коп. та прокип'ятила з 1,5 л води. У що обійшлася тарілка борщу, якщо її об'єм дорівнює 0,5 л?
803. Лабораторна робота«Вимір відстані між двома точками»,
1-й прийом. Вимірювання рулеткою (мірною стрічкою). Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Приладдя: 5-6 віх та 8-10 бирок.
Хід виконання роботи: 1) відзначаються точки А та Б і між ними провішують пряму (див. задачу 178); 2) укладають рулетку, вздовж провішеної прямої і щоразу відзначають биркою кінець рулетки. 2-й прийом. Вимірювання, кроками. Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Кожен учень проходить відстань від А до Б, рахуючи кількість своїх кроків. Помноживши середню довжинусвого кроку на отримане число кроків знаходять відстань від А до Б.
3-й прийом. Вимір "на око". Кожен із учнів витягує ліву рукуз піднятим великим пальцем(рис. 37) та спрямовує великий палецьна віху в точку Б (на малюнку - дерево) так, щоб ліве око (точка А), великий палець і точка Б знаходилися на одній прямій. Не змінюючи положення, заплющують ліве око і дивляться правим на великий палець. Вимірюють на око отримане усунення і збільшують його в 10 разів. Це і є відстань від А до Б.
_________________
804. 1) За переписом 1959 р. населення СРСР становило 208,8 млн. чоловік, причому сільського населеннябуло на 9,2 млн осіб більше, ніж міського. Скільки було міського та скільки сільського населення в СРСР у 1959 р.?
2) За переписом 1913 р. населення Росії становило 159,2 млн. чоловік, причому міського населення було на 103,0 млн. осіб менше, ніж сільського. Скільки було міського і сільського населення Росії у 1913 р.?
805. 1) Довжина дроту 24,5 м. Цей дріт розрізали на дві частини так, що перша частина вийшла на 6,8 м довша, ніж друга. Скільки метрів завдовжки має кожна частина?
2) Сума двох чисел 100,05. Одне число на 97,06 більше за інше. Знайти ці цифри.
806. 1) На трьох вугільних складах 8656,2 т вугілля, на другому складі на 247,3 т вугілля більше ніж на першому, а на третьому на 50,8 т більше, ніж на другому. Скільки тонн на кожному складі?
2) Сума трьох чисел 446,73. Перше число менше другого на 73,17 та більше третього на 32,22. Знайти ці цифри.
807. 1) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 14,5 км на годину, а проти течії зі швидкістю 9,5 км на годину. Яка швидкість катера у стоячій воді та яка швидкість течії річки?
2) Пароплав пройшов за 4 години протягом річки 85,6 км, а проти течії за 3 години 46,2 км. Яка швидкість пароплава у стоячій воді та яка швидкість течії річки?
_________
808. 1) Два пароплави доставили 3500 т вантажу, причому один пароплав доставив в 1,5 рази вантажу більше, ніж інший. Скільки вантажу доставив кожний пароплав?
2) Площа двох кімнат 37,2 кв. м. Площа однієї кімнати в 2 рази більша за іншу. Чому дорівнює площа кожної кімнати?
809. 1) Із двох населених пунктом, відстань між якими 32,4 км одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист. Скільки кілометрів проїде кожен із них до зустрічі, якщо швидкість мотоцикліста в 4 рази більша за швидкість велосипедиста?
2) Знайти два числа, сума яких 26,35, а частка від розподілу одного числа на інше дорівнює 7,5.
810. 1) Завод відправив три види вантажу загальною вагою в 19,2 т. Вага вантажу першого виду була втричі більша за вагу вантажу другого виду, а вага вантажу третього виду була вдвічі менша, ніж вага вантажу першого і другого видів разом. Яка вага вантажу кожного виду?
2) За три місяці бригада гірників видобула 52,5 тис. т залізняку. За березень видобуто у 1,3, за лютий у 1,2 рази більше, ніж за січень. Скільки руди добувала бригада щомісяця?
811. 1) Газопровід Саратов - Москва на 672 км довше каналу імені Москви. Знайти довжину тієї та іншої споруди, якщо довжина газопроводу в 6,25 рази більша за довжину каналу імені Москви.
2) Довжина річки Дону в 3,934 рази більша за довжину річки Москви. Знайти довжину кожної річки, якщо довжина річки Дону більша за довжину річки Москви на 1 467 км.
812. 1) Різниця двох чисел 5,2, а частка від розподілу одного числа на інше 5. Знайти ці числа.
2) Різниця двох чисел 0,96, які приватне 1,2. Знайти ці цифри.
813. 1) Одне число на 0,3 менше за інше і становить 0,75 його. Знайти ці цифри.
2) Одне число на 3,9 більше від іншого числа. Якщо менша кількістьзбільшити в 2 рази, воно становитиме 0,5 від більшого. Знайти ці цифри.
814. 1) Колгосп засіяв пшеницею та житом 2600 га землі. Скільки гектарів землі було засіяно пшеницею і скільки житом, якщо 0,8 площі, засіяною пшеницею, дорівнюють 0,5 площі, засіяною житом?
2) Колекція двох хлопчиків разом складає 660 марок. Зі скількох марок складається колекція кожного хлопчика, якщо 0,5 числа марок першого хлопчика дорівнюють 0,6 числа марок колекції другого хлопчика?
815. Два учні разом мали 5,4 руб. Після того, як перший витратив 0,75 своїх грошей, а другий 0,8 своїх грошей, у них залишилося порівну. Скільки грошей було у кожного учня?
816. 1) Два пароплави вийшли назустріч один одному з двох портів, відстань між якими 501,9 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо швидкість першого пароплава 25,5 км за годину, а швидкість другого 22,3 км за годину?
2) Два поїзди вийшли назустріч один одному із двох пунктів, відстань між якими 382,2 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо середня швидкість першого поїзда була 52,8 км/год, а другого 56,4 км/год?
817. 1) З двох міст, відстань між якими 462 км, одночасно виїхали два автомобілі та зустрілися через 3,5 години. Знайти швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першого була на 12 км на годину більша за швидкість другого автомобіля.
2) З двох населених пунктів, відстань між якими 63 км, одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист та зустрілися через 1,2 години. Знайти швидкість мотоцикліста, якщо велосипедист їхав зі швидкістю на 27,5 км/год меншої швидкості мотоцикліста.
818. Учень зауважив, що потяг, що складається з паровоза та 40 вагонів, проходив повз нього 35 сек. Визначити швидкість поїзда за годину, якщо довжина паровоза 18,5 м, а довжина вагона 6,2 м. (Відповідь дати з точністю до 1 км за годину.)
819. 1) З А до Б виїхав велосипедист із середньою швидкістю 12,4 км на годину. Через 3 години 15 хв. з Б назустріч йому виїхав інший велосипедист із середньою швидкістю 10,8 км на годину. Через скільки годин та на якій відстані від А вони зустрінуться, якщо 0,32 відстані між А та Б дорівнюють 76 км?
2) З міст А та Б, відстань між якими 164,7 км, виїхали назустріч один одному вантажна машина з міста А та легкова – з міста Б. Швидкість вантажної машини 36 км, а легкова у 1,25 рази більша. Легкова машина вийшла на 1,2 години пізніше за вантажну. Через скільки часу та на якій відстані від міста Б легкова машина зустріне вантажну?
820. Два пароплави вийшли одночасно з одного порту та йдуть в одному напрямку. Перший пароплав кожні 1,5 години проходить 37,5 км, а другий кожні 2 години проходить 45 км. Через скільки часу перший пароплав перебуватиме від другого на відстані 10 км?
821. З одного пункту спочатку вийшов пішохід, а за 1,5 години після його виходу виїхав у тому ж напрямку велосипедист. На якій відстані від пункту велосипедист наздогнав пішохода, якщо пішохід йшов зі швидкістю 4,25 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю 17 км/год?
822. Потяг вийшов із Москви до Ленінграда о 6 годині. 10 хв. ранку і йшов із середньою швидкістю 50 км за годину. Пізніше з Москви до Ленінграда вилетів пасажирський літак і прилетів до Ленінграда одночасно з прибуттям поїзда. Середня швидкістьлітака була 325 км на годину, а відстань між Москвою та Ленінградом 650 км. Коли літак вилетів із Москви?
823. Пароплав по течії річки йшов 5 годин, а проти течії 3 години і пройшов лише 165 км. Скільки кілометрів він пройшов за течією та скільки проти течії, якщо швидкість течії річки 2,5 км на годину?
824. Поїзд вийшов з А і повинен прибути до Б в певний час; пройшовши половину колії та роблячи по 0,8 км за 1 хв., поїзд був зупинений на 0,25 години; збільшивши далі швидкість на 100 м-коду в 1 млн., поїзд прибув до Б вчасно. Знайти відстань між А та Б.
825. Від колгоспу до міста 23 км. З міста до колгоспу виїхав велосипедом листоноша зі швидкістю 12,5 км на годину. Через 0,4 години після цього ІВ колгоспу до міста виїхав на коні колгоспник зі швидкістю, ранньою 0,6 швидкості листоноші. Через скільки часу після свого виїзду колгоспник зустріне листоношу?
826. З міста А до міста Б, що віддаляється від А на 234 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 32 км на годину. Через 1,75 години після цього з міста Б виїхав назустріч першому другий автомобіль, швидкість якого в 1,225 рази більша за швидкість першого. Через скільки годин після свого виїзду другий автомобіль зустріне перші
827. 1) Одна друкарка може передрукувати рукопис за 1,6 години, а інша за 2,5 години. За скільки часу обидві друкарки передрукують цей рукопис, працюючи спільно? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)
2) Басейн заповнюється двома насосами різної потужності. Перший насос, працюючи один, може заповнити басейн за 3,2 години, а другий за 4 години. За скільки часу наповниться басейн за одночасної роботи цих насосів? (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)
828. 1) Одна бригада може виконати замовлення за 8 днів. Інший виконання цього замовлення потрібно 0,5 часу першої. Третя бригада може виконати це замовлення протягом 5 днів. За скільки днів буде виконано все замовлення при спільної роботитрьох бригад? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 дня.)
2) Перший робітник може виконати замовлення за 4 години, другий у 1,25 рази швидше, а третій за 5 год. За скільки годин буде виконано замовлення при спільній роботі трьох робітників? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)
829. На прибиранні вулиці працюють дві машини. Перша з них може прибрати всю вулицю за 40 хв., Друга для цього потрібно 75% часу першої. Обидві машини розпочали роботу одночасно. Після спільної роботи протягом 0,25 години друга машина припинила роботу. О котрій годині після цього перша машина закінчила роботу з прибирання вулиці?
830. 1) Одна зі сторін трикутника 2,25 см, друга на 3,5 см більша за першу, а третя на 1,25 см менша за другу. Знайти периметр трикутника.
2) Одна зі сторін трикутника 4,5 см, друга на 1,4 см менша за першу, а третя сторона дорівнює напівсумі двох перших сторін. Чому дорівнює периметртрикутника?
831 . 1) Основа трикутника 4,5 см, а висота його на 1,5 см менша. Знайти площу трикутника.
2) Висота трикутника 4,25 см, а його основа в 3 рази більша. Знайти площу трикутника. (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)
832. Знайти площі заштрихованих фігур (рис. 38).
833. Яка площа більша: прямокутника зі сторонами 5 см і 4 см, квадрата зі стороною 4,5 см або трикутника, основа та висота якого дорівнюють по 6 см?
834. Кімната має довжину 8,5 м, ширину 5,6 м та висоту 2,75 м. Площа вікон, дверей та печей становить 0,1 загальної площістіни кімнати. Скільки шматків шпалер знадобиться для обклеювання цієї кімнати, якщо шмат шпалер має довжину 7 м і ширину 0,75 м? (Відповідь округлити з точністю до 1 шматка.)
835. Треба зовні оштукатурити та побілити одноповерховий будинок, розміри якого: довжина 12 м, ширина 8 м та висота 4,5 м. У будинку 7 вікон розміром кожне 0,75 м х 1,2 м та 2 двері кожні розміром 0,75 м х 2,5 м. Скільки коштуватиме вся робота, якщо побілка та штукатурка 1 кв. м коштує 24 коп.? (Відповідь округлити а точністю до 1 руб.)
836. Обчисліть поверхню та об'єм вашої кімнати. Розміри кімнати знайдіть заміром.
837. Город має форму прямокутника, довжина якого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всієї площі городу засіяно морквою, а решта городу засаджена картоплею і цибулею, причому картоплею засаджена площа в 7 разів більша, ніж цибулею. Скільки землі окремо засаджено картоплею, цибулею та морквою?
838. Город має форму прямокутника, довжина якого 30 м і ширина 12 м. 0,65 всієї площі городу засаджено картоплею, а решта - морквою та буряком, причому буряком засаджено на 84 кв. м більше, ніж морквою. Скільки землі окремо під картоплею, буряком та морквою?
839. 1) Ящик, що має форму куба, обшили з усіх боків фанерою. Скільки фанери витрачено, якщо ребро куба 8,2 дм? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. Дм.)
2) Скільки фарби потрібно для фарбування куба з ребром 28 см, якщо на 1 кв. см буде витрачено 0,4 г фарби? (Відповідь, округлити з точністю до 0,1 кг.)
840. Довжина чавунної заготовки, що має форму прямокутного паралелепіпеда, Дорівнює 24,5 см, ширина 4,2 см і висота 3,8 см. Скільки важать 200 чавунних заготовок, якщо 1 куб. дм чавуну важить 7,8 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 кг.)
841. 1) Довжина ящика (з кришкою), що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 62,4 см, ширина 40,5 см, висота 30 см. Скільки квадратних метрів дощок пішло на виготовлення ящика, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка повинна бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. м)
2) Дно та бічні стінки ями, що має форму прямокутного паралелепіпеда, повинні бути обшиті дошками. Довжина ями 72,5 м, ширина 4,6 м та висота 2,2 м. Скільки квадратних метрів дощок пішло на обшивку, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка має бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 1 кв. м)
842. 1) Довжина підвалу, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 20,5 м, ширина 0,6 його довжини, а висота 3,2 м. Підвал заповнили картоплею на 0,8 його об'єму. Скільки тонн картоплі помістилося у підвалі, якщо 1 куб. м картоплі важить 1,5 т? (Відповідь округлити з точністю до 1 т.)
2) Довжина бака, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 2,5 м, ширина 0,4 його довжини, а висота 1,4 м. Бак наповнений гасом на 0,6 його об'єму. Скільки тонн гасу налито в бак, якщо вага гасу обсягом 1 куб. м дорівнює 0,9 т? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 т.)
843. 1) У скільки часу можна оновити повітря в кімнаті, що має 8,5 м довжини, 6 м ширини та 3,2 м висоти, якщо через кватирку в 1 сек. проходить 0,1 куб. м повітря?
2) Зробіть підрахунок часу, необхідного для оновлення повітря у вашій кімнаті.
844. Розміри бетонного блоку для будівництва стін такі: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Порожнеча складає 30% обсягу блоку. Скільки кубометрів бетону знадобиться на виготовлення 100 таких блоків?
845. Грейдер-елеватор (машина для копання канав) за 8 год. роботи робить канаву шириною 30 см, глибиною 34 см та завдовжки 15 км. Скільки землекопів замінює така машина, якщо один землекоп може вийняти 0,8 куб. м на годину? (Результат округлити.)
846. Засік у формі прямокутного паралелепіпеда має завдовжки 12 м і завширшки 8 ж. У цьому засіку насипане зерно до висоти 1,5 м. Щоб дізнатися, скільки важить все зерно, взяли ящик довжиною 0,5 м, шириною 0,5 м і висотою 0,4 м, наповнили його зерном і зважили. Скільки важило зерно в засіку, якщо зерно в ящику важило 80 кг?
849. Побудувати лінійну діаграму зростання міського населення в СРСР, якщо в 1913 р. міського населення було 28,1 млн осіб, в 1926 р.-24,7 млн., в 1939 р.-56,1 млн. і в 1959 р-99, 8 млн. Чоловік.
850. 1) Скласти кошторис на ремонт приміщення вашого класу, якщо потрібно побілити стіни та стелю, а також пофарбувати підлогу. Дані для складання кошторису (розміри класу, вартість побілки 1 кв. м, вартість фарбування підлоги 1 кв. м) з'ясувати у завгоспу школи.
2) Для посадки у саду школа купила саджанці: 30 яблунь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишень по 0,4 руб. за штуку, 40 кущів аґрусу по 0,2 руб. та 100 кущів малини по 0,03 руб. за кущ. Напишіть рахунок на цю покупку за зразком:
ВІДПОВІДІ
У цій статті ми з Вами розберемося, що таке десятковий дріб, які має особливості та властивості. Поїхали! 🙂
Десятковий дріб є окремим випадком звичайних дробів (у якої знаменник кратний 10).
Визначення
Десятичними називають дроби, знаменники яких є числа, що складаються з одиниці і деякої кількості наступних за нею нулів. Тобто це дроби із знаменником 10, 100, 1000 і т.д. Інакше десятковий дріб можна охарактеризувати як дріб зі знаменником 10 або одним із ступенів десятки.
Приклади дробів:
, ,
Десятковий дріб записується інакше, ніж звичайний. Операції з цими дробами також відмінні від операцій із звичайними. Правила дій над ними значною мірою наближені до правил дій над цілими числами. Цим, зокрема, обумовлена їхня затребуваність при вирішенні практичних завдань.
Подання дробу в десятковому записі
У записі десяткового дробу немає знаменника, у ньому відображено число чисельника. У загальному виглядізапис десяткового дробу здійснюється за такою схемою:
де Х – ціла частина дробу, Y – її дробова частина, «,» – десяткова кома.
Для правильного уявлення звичайного дробу у вигляді десяткового потрібно, щоб він був правильним, тобто з виділеною цілою частиною (якщо це можливо) і чисельником, який менше знаменника. Тоді в десяткового записуціла частина записується до десяткової коми (Х), а чисельник звичайного дробу – після десяткової коми (Y).
Якщо в чисельнику представлено число з кількістю знаків, меншим, ніж кількість нулів у знаменнику, то в частині Y недостатня кількість знаків у десятковому записі заповнюється нулями попереду цифр чисельника.
Приклад: 
Якщо звичайна дріб менше 1, тобто. не має цілої частини, то для Х в десятковому виглядізаписують 0.
У дробовій частині (Y), після останнього значущого (відмінного від нуля) розряду, може бути вписана довільна кількість нулів. На значення дробу це впливає. І навпаки: всі нулі наприкінці дробової частини десяткового дробу можна опустити.
Прочитання десяткових дробів
Частина Х читається в загальному випадкутак: "Х цілих".
Частина Y прочитується відповідно до числа в знаменнику. Для знаменника 10 слід читати: Y десятих, для знаменника 100: Y сотих, для знаменника 1000: Y тисячних і так далі ... 😉
Коректнішим вважається інший підхід до прочитання, заснований на підрахунку кількості розрядів дробової частини. Для цього потрібно розуміти, що дробові розряди розташовані в дзеркальне відображенняпо відношенню до розрядів цілої частини дробу.
Найменування для правильного прочитання наведено в таблиці:
Виходячи з цього, прочитання має спиратися на відповідність найменуванню розряду останньої цифри дробової частини.
- 3,5 читається як «три цілих п'ять десятих»
- 0,016 читається як «нуль цілих шістнадцять тисячних»
Переведення довільного звичайного дробу до десяткового
Якщо в знаменнику звичайного дробу коштує 10 або якийсь ступінь десятки, то переклад дробу виконується як описано вище. В інших ситуаціях потрібні додаткові перетворення.
Існує 2 способи перекладу.
Перший спосіб перекладу
Чисельник і знаменник необхідно примножити на таке ціле число, щоб у знаменнику було отримано число 10 або один із ступенів десятки. А далі дріб подається в десятковому записі.
Цей спосіб застосовується для дробів, знаменник яких розкладається тільки на 2 і 5. Так, у попередньому прикладі 
. Якщо ж у розкладанні присутні інші прості множники (наприклад, ), то доведеться вдатися до 2 способу.
Другий спосіб перекладу
2-й спосіб полягає в розподілі чисельника на знаменник у стовпчик або на калькуляторі. Ціла частинаякщо така є, у перетворенні не бере участі.
Правило розподілу в стовпчик, що веде в результаті до десяткового дробу, описано нижче (див. Розділ десяткових дробів).
Переведення десяткового дробу у звичайний
Для цього слід її дробову частину (праворуч від коми) записати у вигляді чисельника, а результат прочитання дробової частини – у вигляді відповідного числау знаменнику. Далі, якщо це можливо, потрібно скоротити отриманий дріб.
Кінцевий і нескінченний десятковий дріб
Кінцевим називають десятковий дріб, дробова частина якого складається з кінцевої кількості цифр.
Вище всі наведені приклади містять саме кінцеві десяткові дроби. Однак не будь-яку звичайний дрібможливо уявити як кінцевої десяткової. Якщо 1-й спосіб перекладу для даного дробу не застосовується, а 2-й спосіб демонструє, що розподіл неможливо завершити, значить, отриманий може бути тільки нескінченний десятковий дріб.
В повному вигляді нескінченний дрібзаписати неможливо. У неповному вигляді такі дроби можна представить:
- як результат скорочення до бажаної кількості розрядів після коми;
- у вигляді періодичного дробу.
Періодичним називається дріб, у якого після коми можна виділити послідовність цифр, що повторюється нескінченно.
Інші дроби називаються неперіодичними. Для неперіодичних дробівдопустимо лише 1-й спосіб подання (округлення).
Приклад періодичного дробу: 0,8888888… Тут є повторювана цифра 8, яка, очевидно, повторюватиметься до нескінченності, оскільки немає підстав припускати інше. Ця цифра називається періодом дробу.
Періодичні дроби бувають чистими та змішаними. Чистим є десятковий дріб, у якого період починається безпосередньо після коми. У змішаного дробудо періоду після коми є 1 чи більше цифр.
54,33333… – періодичний чистий десят.дробь
2,5621212121… – періодичний змішаний дріб
Приклади запису нескінченних десяткових дробів:
У 2-му прикладі показано, як правильно оформляти період запису періодичної дробу.
Переведення періодичних десяткових дробів у звичайні
Для переведення чистого періодичного дробу в звичайний період записують у чисельник, а в знаменник пишуть число, що складається з дев'яток в кількості, що дорівнює кількості цифр в періоді.
Змішаний періодичний десятковий дріб перекладається таким чином:
- потрібно сформувати число, що складається з числа, що стоїть після коми до періоду, та першого періоду;
- від отриманого числа відняти число, що стоїть після коми до періоду. Підсумок складе чисельник звичайного дробу;
- в знаменнику потрібно вписати число, що складається з кількості дев'яток, рівних кількості цифр періоду, а за ними нулів, кількість яких дорівнює кількості цифр числа, що стоїть після коми до 1-го періоду.
Порівняння десяткових дробів
Десяткові дроби порівнюють спочатку за цілими частинами. Більше той дріб, у якого більша її ціла частина.
Якщо цілі частини однакові, порівнюють цифри відповідних розрядів дробової частини, починаючи з першого (з десятих). Тут діє той самий принцип: більше той із дробів, у якого більший розряд десятих; за рівності цифр розряду десятих порівнюють розряди сотих тощо.
Оскільки
, оскільки при рівних цілих частинах і рівних десятих у дробовій частині у 2-го дробу більше цифра сотих.
Додавання та віднімання десяткових дробів
Десяткові дроби складають і віднімають так само, як і цілі числа, записавши відповідні цифри один під одним. Для цього потрібно, щоб один під одним знаходилися десяткові коми. Тоді одиниці (десятки тощо) цілої частини, і навіть десяті (соті тощо.) дробової виявляться відповідно. Розряди дробової частини, що бракують, заповнюють нулями. Безпосередньо процес складання та віднімання здійснюється так само, як і для цілих чисел.
Розмноження десяткових дробів
Для множення десяткових дробів потрібно записати їх один під одним, вирівнявши за останньою цифрою і не звертаючи уваги на місце розташування десяткових ком. Потім потрібно перемножити числа так само, як і при множенні цілих чисел. Після отримання результату слід перерахувати кількість цифр після коми в обох дробах і відокремити комою в результаті сумарну кількість дробових розрядів. Якщо розрядів не вистачає, вони замінюються нулями.
Розмноження та розподіл десяткових дробів на 10 n
Ці дії прості та зводяться до перенесення десяткової коми. П при множенні кома переноситься вправо (дроб збільшується) на кількість знаків, рівних кількостінулів 10 n , де n – довільна ціла ступінь. Тобто кілька цифр переноситься з дробової частини в цілу. При розподілі, відповідно, кома переноситься вліво (кількість зменшується), і деяка частина цифр переноситься з цілої частини в дробову. Якщо цифр для перенесення виявляється недостатньо, то розряди, що відсутні, заповнюються нулями.
Розподіл десяткового дробу та цілого числа на ціле число та на десятковий дріб
Розподіл у стовпчик десяткового дробу на ціле число виконується аналогічно поділу двох цілих чисел. Додатково потрібен лише облік положення десяткової коми: при знесенні цифри розряду, за яким слід кома, необхідно поставити кому після поточної цифриформується відповіді. Далі потрібно продовжувати ділити до одержання нуля. Якщо знаків у ділимому повного розподілу бракує, у ролі слід використовувати нулі.
Аналогічно поділяються на стовпчик 2 цілих числа, якщо знесені всі цифри поділеного, а повне розподіл ще завершено. У цьому випадку після зносу останньої цифри ділимого ставиться 10. кома у відповіді, що формується, а як зносні цифри використовують нулі. Тобто. ділене тут, по суті, представляють як десятковий дріб з нульовою дробовою частиною.
Для поділу десят.дробі (або цілого числа) на десят.число необхідно примножити поділюване і дільник на число 10 n, в якому кількість нулів дорівнює кількості цифр після десятої коми в дільнику. У такий спосіб позбавляються від десятої коми в дробі, на яку потрібно ділити. Далі процес поділу збігається з описаним вище.
Графічне уявлення десяткових дробів
Графічно десяткові дроби зображуються за допомогою координатної прямої. Для цього поодинокі відрізки ділять додатково на 10 рівних частокподібно до того, як на лінійці відкладаються одночасно сантиметри та міліметри. Це забезпечує точне відображення десяткових дробів та можливість об'єктивного їх порівняння.
Щоб подільні поділки на одиничних відрізках були однаковими, слід ретельно продумувати довжину самого одиничного відрізка. Вона має бути такою, щоб можна було забезпечити зручність додаткового розподілу.