Завдання №1.26

Номер автомобіля містить чотири цифри, кожна з яких рівноможливо набуває значень від 0 до 9 (можливий номер 0000). Визначити ймовірність того, що друга цифра номера дорівнює чотирьом.

Знайдемо число всіх можливих комбінацій номера автомобіля:

2-а цифра номера дорівнює 4, якщо його комбінація представляє набір виду: X 4 XX , де X – будь-яка цифра від 0 до 9.

Отже, число таких номерів дорівнює:

Імовірність того, що друга цифра номера дорівнює чотирьом.

Відповідь:

Завдання № 2.11

Дана схема з'єднання елементів, що утворюють ланцюг з одним входом та одним виходом (рисунок 1). Передбачається, що відмови елементів є незалежними у сукупності подіями. Відмова будь-якого з елементів призводить до переривання сигналу в тій галузі ланцюга, де знаходиться даний елемент. Імовірності відмови елементів 1, 2, 3, 4, 5 відповідно дорівнюють q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Знайти ймовірність, що сигнал пройде з входу на вихід.

Малюнок 1

Згідно з малюнком 1 елементи 1, 2, 3 з'єднані паралельно між собою і послідовно з елементом 4.

Введемо події: A­ 1 - Елемент 1 справний, A­ 2 - Елемент 2 справний, A­ 3 - Елемент 3 справний, A­ 4 – елемент 4 справний, B- сигнал проходить від точки aдо точки b, C- сигнал проходить від точки aдо точки c(З входу на вихід).

Подія Bвідбудеться, якщо працюватимуть або елемент 1, або елемент 2, або елемент 3:

B :

Подія Cстанеться, якщо станеться подія Bта подія A 4 :

Ймовірність настання події C :

Відповідь:

Завдання №3.28

Прилади однієї назви виготовляються на трьох заводах. Перший завод постачає 45% всіх виробів, що надходять на виробництво, другий – 30% та третій – 25%. Імовірність безвідмовної роботи приладу, виготовленого першому заводі, дорівнює 0,8 , другому - 0,85 і третьому - 0,9. Прилад, що надійшов на виробництво, виявився справним. Визначити ймовірність того, що його виготовлено на другому заводі.

Позначимо через А подію – прилад, що надійшов на виробництво справний.

Зробимо низку припущень:

Прилад надійшов з першого заводу:

Прилад надійшов з другого заводу:

Прилад надійшов із 3-го заводу:

Відповідні умовні ймовірності кожної з гіпотез:

За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність події A:

Обчислимо ймовірність того, що справний прилад надійшов з другого заводу:

Відповідь:

Завдання №4.26

Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що вона жодного разу не впаде гербом нагору?

Подія - монета жодного разу зі 100 підкидань не впала гербом нагору.

Імовірність того, що монета не впала гербом нагору p=0,5 і отже, ймовірність того, що монета впала гербом вгору q=0,5 :

Визначимо ймовірність події Aза формулою Бернуллі ( n = 100; k =100 )

Відповідь:

Завдання № 5.21

Дискретна випадкова величина Х може приймати одне із п'яти фіксованих значень x1, x2, x3, x4, x5 з ймовірностями p1, p2, p3, p4, p5 відповідно. Обчислити математичне очікування та дисперсію величини Х. Розрахувати та побудувати графік функції розподілу.

Таблиця 1 - Вихідні дані

Математичне очікування та дисперсію величини Х:

Побудуємо ряд розподілу СВ X:

Таблиця 2 - Ряд розподілу СВ X

Побудуємо графік функції розподілу (рисунок 2):

Рисунок 2 – графік функції розподілу F(X i)

Завдання № 6.3

Випадкова величина Хзадана щільністю ймовірності:

Визначити константу З, математичне очікування, дисперсію, функцію розподілу величини Х, а також можливість її потрапляння в інтервал.

Звідси константа:

Визначимо математичне очікування СВ Х:

Визначимо дисперсію СВ Х:

Визначимо функцію розподілу величини Х:

Відповідь:

Завдання № 7.15

Випадкова величина Хрозподілена рівномірно на інтервалі [ a,b]. Побудувати графік випадкової величини Y= (X)і визначити густину ймовірності g(y).

зворотних функцій немає

Малюнок 3 – графік функції

Оскільки випадкова величина Хрозподілена рівномірно на інтервалі, то її щільність ймовірності дорівнює:

Визначимо щільність ймовірності величини:

Завдання № 8.30

Двовимірний випадковий вектор ( Х, У) рівномірно розподілений усередині виділеної жирними прямими лініями на рисунок 4 області B. Двовимірна щільність ймовірності f(x, y)однакова для будь-якої точки цієї області B:

Обчислити коефіцієнт кореляції між величинами X та Y.

Таблиця 3 - Вихідні дані

Малюнок 4

Побудуємо область Bзгідно з координатами з таблиці 5 та малюнку 4.

Малюнок 5

Проаналізуємо рисунок 5: область Bна проміжку обмежена зліва прямої, праворуч, на проміжку обмежена зліва прямої, праворуч

Отже, спільна щільність ймовірності набуде вигляду:

Таким чином:

Перевіримо отриманий результат геометрично. Об'єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу Уі площиною xOy дорівнює 1, тобто:

Отже, константа розрахована правильно.

Обчислимо математичні очікування:

Обчислимо дисперсії:

Обчислимо кореляційний момент:

Обчислимо коефіцієнт кореляції між величинами X та Y:

Відповідь:

Завдання № 9

За вибіркою одновимірної випадкової величини:

Отримати варіаційний ряд;

Побудувати графік емпіричної функції розподілу F * (x) ;

Побудувати гістограму рівноінтервальним способом;

Побудувати гістограму рівноймовірним способом;

Обчислити точкові оцінки математичного очікування та дисперсії;

Обчислити інтервальні оцінки математичного очікування та дисперсії (γ = 0,95);

Висунути гіпотезу про закон розподілу випадкової величини та перевірити її за допомогою критерію згоди  2 та критерію Колмогорова (  = 0,05).

Одновимірна вибірка:

Розмір вибірки

Рішення

1. Отримаємо варіаційний ряд із вихідного:

Побудуємо гістограму рівноінтервальним способом (рисунок 7).

Для побудови гістограми складемо інтервальний статистичний ряд, враховуючи, що довжина у всіх інтервалів має бути однакова.

Кількість інтервалів;

- ширина інтервалу;

Частота влучення СВ X в j-ий інтервал;

Статистична щільність у j-му інтервалі.

Таблиця 4 – Інтервальний статистичний ряд

f * (x)

Малюнок 7

Побудуємо гістограму рівноймовірним способом (рисунок 8).

Для побудови гістограми складемо інтервальний статистичний ряд, враховуючи що частота влучення СВ X в кожен j-ий інтервал повинна бути однакова (Таблиця 5).

Таблиця 5 – Інтервальний статистичний ряд

f * (x)

Малюнок 8

Обчислимо точкові оцінки математичного очікування та дисперсії:

Обчислимо інтервальні оцінки математичного очікування та дисперсії (γ = 0,95):

H 0 – величина X розподілена за експоненційним законом:

H 1 – величина X не розподілена за експоненційним законом

Таким чином отримуємо цілком певну гіпотетичну функцію розподілу:

Перевіримо гіпотезу про нормальний закон за критерієм Пірсона. Обчислимо значення критерію на основі рівноінтервального статистичного ряду:

Теоретичні ймовірності потрапляння в інтервали обчислимо за такою формулою:

Таблиця 6 - Результати розрахунків

Перевіримо правильність обчислень:

Обчислимо критерій Пірсона:

Визначимо кількість ступенів свободи:

Вибираємо критичне значення критерію Пірсона з таблиці для ступеня свободи та заданого рівня значущості:

Оскільки умова виконується, то гіпотеза H 0 про експоненційний закон розподілу приймається (немає підстав її відхилити).

8) Перевіримо гіпотезу з допомогою критерію Колмогорова. Для цього збудуємо графік гіпотетичної функції розподілу в одній системі координат з емпіричною функцією (рисунок 6). Як опорні точки використовуємо 10 значень з таблиці 6. За графіком визначимо максимальне по модулю відхилення між функціями і :

Обчислимо значення критерію Колмогорова:

З таблиці Колмогорова за заданим рівнем значущості вибираємо критичне значення критерію:

Оскільки умова виконується, гіпотеза H 0 про експоненційний закон розподілу приймається (немає підстав її відхилити).

Коли кидається монета, можна сказати, що вона впаде орлом нагору, або ймовірність цього становить 1/2. Звичайно, це не означає, що якщо монета підкидається 10 разів, вона обов'язково впаде вгору орлом 5 разів. Якщо монета є "чесною" і якщо вона підкидається багато разів, то орел випаде дуже близько половини випадків. Таким чином, існує два види ймовірностей: експериментальна і теоретична .

Експериментальна та теоретична ймовірність

Якщо кинути монетку багато разів - скажімо, 1000 - і порахувати, скільки разів випаде орел, ми можемо визначити ймовірність того, що випаде орел. Якщо орел випаде 503 рази, ми можемо вважати ймовірність його випадання:
503/1000, або 0,503.

Це експериментальне визначення ймовірності. Таке визначення ймовірності випливає із спостереження та вивчення даних і є досить поширеним та дуже корисним. Ось, наприклад, деякі ймовірності, які були визначені експериментально:

1. Імовірність того, що у жінки розвинеться рак молочної залози становить 1/11.

2. Якщо ви цілуєтеся, з кимось, хто хворий на застуду, то ймовірність того, що ви теж захворієте на застуду, становить 0,07.

3. Людина, яка щойно була звільнена з в'язниці, має 80% ймовірності повернення назад до в'язниці.

Якщо ми розглядаємо кидання монети і враховуючи те, що так само ймовірно, що випаде орел або решка, ми можемо обчислити ймовірність випадання орла: 1/2. Це теоретичне визначення ймовірності. Ось деякі інші ймовірності, які були визначені теоретично за допомогою математики:

1. Якщо знаходиться 30 осіб у кімнаті, ймовірність того, що двоє мають однаковий день народження (виключаючи рік), становить 0,706.

2. Під час поїздки, Ви зустрічаєте когось і протягом розмови виявляєте, що у вас є спільний знайомий. Типова реакція: "Цього не може бути!" Насправді ця фраза не підходить, тому що ймовірність такої події досить висока – трохи більше ніж 22%.

Таким чином, експериментальна ймовірність визначаються шляхом спостереження та збору даних. Теоретичні ймовірності визначаються шляхом математичних міркувань. Приклади експериментальних і теоретичних ймовірностей, як, наприклад, розглянутих вище, і особливо тих, які ми не очікуємо, призводять нас до ваеності вивчення ймовірності. Ви можете запитати: "Що таке вірогідність?" Насправді такої немає. Експериментально можна визначити ймовірності у певних межах. Вони можуть збігатися або не збігатися з ймовірностями, які ми маємо теоретично. Є ситуації, у яких набагато легше визначити один із типів ймовірності, ніж інший. Наприклад, було б досить знайти можливість застудитися, використовуючи теоретичну можливість.

Обчислення експериментальних ймовірностей

Розглянемо спочатку експериментальне визначення ймовірності. Основний принцип, який ми використовуємо для обчислення таких ймовірностей, є таким.

Принцип P (експериментальний)

Якщо досвіді, у якому проводиться n спостережень, ситуація чи подія Е відбувається m разів за n спостережень, то кажуть, що експериментальна ймовірність події дорівнює P (E) = m/n.

Приклад 1 Соціологічне опитування. Було проведено експериментальне дослідження, щоб визначити кількість шульг, правшів та людей, у яких обидві руки розвинені однаково. Результати показані на графіку.

a) Визначте ймовірність того, що людина – правша.

b) Визначте ймовірність того, що людина – шульга.

c) Визначте можливість, що людина однаково вільно володіє обома руками.

d) У більшості турнірів, що проводяться Професійною Асоціацією Боулінгу, беруть участь 120 гравців. На підставі даних цього експерименту, скільки гравців можуть бути лівшою?

Рішення

a)Кількість людей, які є правшами, становить 82, кількість шульг становить 17, а число тих, хто однаково вільно володіє двома руками - 1. Загальна кількість спостережень - 100. Таким чином, ймовірність того, що людина правша, є Р
P = 82/100, або 0,82, або 82%.

b) Імовірність того, що людина шульга є Р, де
P = 17/100, чи 0,17, чи 17%.

c) Імовірність того, що людина однаково вільно володіє двома руками складає P де
P = 1/100, або 0,01 або 1%.

d) 120 гравців у боулінг, і з (b) ми можемо очікувати, що 17% - шульги. Звідси
17% від 120 = 0,17.120 = 20,4,
тобто ми можемо очікувати, що близько 20 гравців є шульгами.

Приклад 2 Контроль якості . Для виробника дуже важливо тримати якість своєї продукції на найвищому рівні. Насправді компанії наймають інспекторів контролю якості для забезпечення цього процесу. Метою є випуск мінімально можливої ​​кількості дефектних виробів. Але оскільки компанія виробляє тисячі виробів щодня, вона може дозволити собі перевіряти кожен виріб, щоб визначити, браковане воно чи ні. Щоб з'ясувати, який відсоток продукції дефектний, компанія перевіряє набагато менше виробів.
Міністерство сільського господарства США вимагає, щоб 80% насіння, яке продають виробники, проростало. Для визначення якості насіння, яке виробляє сільгоспкомпанія, висаджується 500 насіння з тих, що були вироблені. Після цього підрахували, що 417 насінин проросло.

a) Яка ймовірність того, що насіння проросте?

b) Чи відповідає насіння державним стандартам?

Рішення a) Ми знаємо, що з 500 насіння, яке було висаджено, 417 проросли. Імовірність проростання насіння Р, та
P = 417/500 = 0,834, чи 83.4%.

b) Оскільки відсоток пророслого насіння перевищив 80% на вимогу, насіння відповідає державним стандартам.

Приклад 3 Телевізійні рейтинги Відповідно до статистичних даних, у Сполучених Штатах 105,5 млн домогосподарств з телевізорами. Щотижня, інформація про перегляд передач збирається та обробляється. Протягом одного тижня 7815 000 домогосподарств були налаштовані на популярний комедійний серіал "Всі люблять Реймонда" на CBS і 8302 000 домогосподарств були налаштовані на популярний серіал "Закон і порядок" на NBC (Джерело: Nielsen Media Research). Яка ймовірність того, що телевізор одного будинку налаштований на Everybody Loves Raymond протягом цього тижня? на Закон і порядок?

РішенняnІмовірність того, що телевізор в одному домогосподарстві налаштований на "Всі люблять Реймонда" дорівнює Р, та
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Можливість, що телевізор домогосподарства був налаштований на «Закон і порядок» складає P, та
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Ці відсотки називають рейтингами.

Теоретична ймовірність

Припустимо, що ми проводимо експеримент, такі як кидання монетки чи дротиків, витягування карти з колоди, або перевірка виробів на якість на складальній лінії. Кожен можливий результат такого експерименту називається результат . Безліч всіх можливих наслідків називається простором наслідків . Подія це безліч наслідків, тобто підмножина простору наслідків.

Приклад 4 Кидання дротиків. Припустимо, що у експерименті «метання дротиків» дротик потрапляє у мета. Знайдіть кожне з наступних:

b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи це: потрапляння до чорного (Ч), потрапляння до червоного (К) та потрапляння до білого (Б).

b) Простір результатів є (попадання у чорне, попадання у червоне, попадання у біле), яке може бути записане просто як (Ч, К, Б).

Приклад 5 Кидання гральних кісток. Гральна кістка це куб із шістьма гранями, на кожній з яких намальовано від однієї до шести крапок.


Припустимо, що ми кидаємо гральну кістку. Знайдіть
a) Виходи
b) Простір результатів

Рішення
a) Виходи: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Простір результатів (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Ми позначаємо ймовірність того, що подія Е трапляється як Р(Е). Наприклад, "монета впаде решкою" можна позначати H. Тоді Р (Н) є ймовірністю того, монета впаде решкою. Коли всі результати експерименту мають однакову ймовірність появи, кажуть, що вони є рівноймовірними. Щоб побачити різницю між подіями, які рівноймовірні, і нерівноймовірними подіями, розглянемо мету, зображену нижче.

Для мішені A, події потрапляння до чорного, червоного та білого рівноймовірні, оскільки чорні, червоні та білі сектори – однакові. Однак, для мішені B зони з цими квітами не однакові, тобто попадання в них не є рівноймовірним.

Принцип P (теоретичний)

Якщо подія E може статися m шляхами з n можливих рівноймовірних наслідків із простору наслідків S, тоді теоретична ймовірність події, P(E) складає
P(E) = m/n.

Приклад 6Яка можливість викинути 3, кинувши гральний кубик?

РішенняНа гральному кубику 6 рівноймовірних результатів існує лише одна можливість викидання цифри 3. Тоді ймовірність P складе P(3) = 1/6.

Приклад 7Яка можливість викидання парної цифри на гральному кубику?

РішенняПодія – це викидання парної цифри. Це може статися 3 способами (якщо випаде 2, 4 чи 6). Число рівноймовірних результатів дорівнює 6. Тоді ймовірність P(парне) = 3/6, або 1/2.

Ми будемо використовувати низку прикладів, пов'язаних зі стандартною колодою із 52 карт. Така колода складається з карток, показаних на малюнку нижче.

Приклад 8Яка можливість витягнути туза з добре перемішаної колоди карт?

РішенняІснує 52 результати (кількість карт у колоді), вони рівноймовірні (якщо колода добре перемішана), і є 4 способи витягнути туза, тому згідно з принципом P, ймовірність
P(витягування туза) = 4/52, або 1/13.

Приклад 9Припустимо, що ми вибираємо не дивлячись, одну кульку з мішка з трьома червоними кульками і чотирма зеленими кульками. Яка ймовірність вибору червоної кульки?

РішенняІснує 7 рівноймовірних результатів дістати будь-яку кульку, і так як число способів витягнути червону кульку дорівнює 3, отримаємо
P(вибору червоної кульки) = 3/7.

Наступні твердження – це результати з принципу P.

Властивості ймовірності

a) Якщо подія E може статися, тоді P(E) = 0.
b) Якщо подія E станеться неодмінно тоді P(E) = 1.
c) Імовірність того, що подія Е станеться від 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Наприклад, у киданні монети подія, коли монета впаде на ребро має нульову ймовірність. Імовірність того, що монета або на орел або решку має можливість 1.

Приклад 10Припустимо, що витягуються 2 карти з колоди з 52 картами. Яка ймовірність того, що обидві піки?

РішенняЧисло шляхів n витягування 2 карт із добре перемішаної колоди з 52 картами є 52 C 2 . Так як 13 з 52 карт є піками, число способів m витягування 2 пік є 13 C 2 . Тоді,
P(витягування 2-х пік) = m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Приклад 11Припустимо, що 3 людини вибираються випадково з групи, що складається з 6 чоловіків і 4 жінок. Яка ймовірність того, що будуть обрані 1 чоловік та 2 жінки?

РішенняЧисло способів вибору трьох осіб із групи 10 осіб 10 C 3 . Один чоловік може бути обраний 6 C 1 способами, і 2 жінки можуть бути обрані 4 C 2 способами. Згідно з фундаментальним принципом підрахунку, число способів вибору 1-го чоловіка та 2-х жінок 6 C 1 . 4 C 2 . Тоді, ймовірність що буде обрано 1-го чоловіка та 2-х жінок є
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Приклад 12 Кидання гральних кубиків. Яка ймовірність викидання у сумі 8 на двох гральних кубиках?

РішенняНа кожному гральному кубику є 6 можливих наслідків. Виходи подвоюються, тобто існує 6.6 або 36 можливих способів, в якому можуть випасти цифри на двох кубиках. (Краще, якщо кубики різні, скажімо один червоний, а другий блакитний - це допоможе візуалізувати результат.)

Пари цифр, у сумі 8, показані на малюнку внизу. Є 5 можливих способів отримання суми, що дорівнює 8, звідси ймовірність дорівнює 5/36.

Нехай в результаті випробування можуть з'явитися п подій, незалежних у сукупності, або деякі з них (зокрема, тільки одна або жодна), причому ймовірності появи кожної з подій відомі.

Як знайти ймовірність того, що настане хоча б одна з цих подій? Наприклад, якщо в результаті випробування можуть з'явитися три події, то поява хоча б однієї з цих подій означає наступ одного або двох або трьох подій. Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема.Імовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2, Ап, незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і твором, ймовірностей протилежних подій A1А2, Ап:

Р(А) = 1 - q 1 , q n

Окремий випадок.Якщо події A 1 А 2 , А„ мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій Р (Л) = 1 - q п (**)

приклад 1.Імовірності влучення в ціль при стрільбі з трьох знарядь такі: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7;

р 3 = 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх знарядь.

Рішення.Імовірність влучення в ціль кожній з гармат не залежить від результатів стрільби з інших знарядь, тому події A 1 (попадання першої зброї), А 2 (попадання другої зброї) і А 3 (потрапляння третьої зброї) незалежні в сукупності.

Імовірності подій, протилежних подіям А 1 А 2 та А 3 (тобто ймовірності промахів), відповідно рівні:

q 1 = 1 - p 1 = 1-0,8 = 0,2; q 2 = 1 - p 2 == 1-0,7 = 0,3; q 3 = 1 - p 3 = 1-0,9 = 0,1.

Шукана ймовірність

Р(А) = 1 - q 1 q 2 q 3 = 1 -0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.

приклад 2.У друкарні є 4 плоскодрукарські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює зараз, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що зараз працює хоча б одна машина (подія А).

Рішення.Події «машина працює» та «машина не працює» (в даний момент) — протилежні, тому сума їх ймовірностей дорівнює одиниці: p + q = 1

Звідси ймовірність того, що машина зараз не працює, дорівнює q = 1-p = 1-0,9 = 0,1.

Шукана ймовірність

Р(A) = 1 - q 4 = 1 - 0,1 4 = 0,9999.

Так як отримана ймовірність дуже близька до одиниці, то на підставі слідства з принципу практичної неможливості малоймовірних подій ми маємо право укласти, що зараз працює хоча б одна з машин.

приклад 3.Імовірність того, що подія з'явиться хоча б один раз на три незалежні в сукупності випробування, дорівнює 0,936. Знайти ймовірність появи події в одному випробуванні (передбачається, що у всіх випробуваннях ймовірність появи події одна й та сама).

Рішення.Оскільки події, що розглядаються, незалежні в сукупності, то застосовна формула (**)

За умовою, Р(А) = 0,936; п = 3. Отже,

0,936 = 1 - q 3 або q 3 = 1-0,936 = 0,064.

Звідси q = 0,4.

Шукана ймовірність р = 1 - q = 1 - 0,4 = 0,6.

Дмитро Житомирський*

Мерфі був оптимістом. У житті кожного є періоди, коли все вдається. Але не хвилюйтеся – це скоро минеться! Адже за законом Мерфі утворення негативного результату аж ніяк не залежить від наших сподівань, отже, розхльобувати все це нам все одно доведеться. Яким чином? У разі умови завдання можна вибрати самостійно.

Якщо до подібної проблеми ставитися як до звичайної практики – треба міняти всю систему; розхлябаність персоналу - шукати нових співробітників; містика - означає йти до шаманів. Візьмемо приклад із найближчого минулого: усі супутники, запущені до космосу з метою досліджень, упали назад на Землю. Адже в таких складних подіях підготовка триває роками. Логічно, що задуматися про це варто, коли перші три супутники нікуди не відлетіли. Але нічого не зробивши, ми здобули ще одну трагедію.

Як до цього ставитися? Шукати технічні проблеми чи збільшувати фінансування космічного приладобудування? Правильно вирішувати проблему комплексно. А значить, і шукати технічні недоробки, і виділяти більше грошей, і звільняти несумлінних співробітників, і ставити складніші завдання – одразу. Однак, знову ж таки, виходячи із закону Мерфі, навіть це, можливо, не дасть стовідсоткового результату.

Згадати хоча б перше наслідок закону Мерфі: «Все не так легко, як здається» або «Будь-яка робота потребує більше часу, ніж ви думаєте». Народження нової ідеї, як правило, завжди супроводжується уявною очевидністю її реалізації. Достатньо лише дати поштовх – знайти менеджера, додати грошей шляхом взяття кредиту чи розкрутити сайт в Інтернеті. Однак варто все провернути – і виявляється, що нічого не працює. У своїй ейфорії ми втрачаємо щось найважливіше. З іншого боку, як тільки ми починаємо замислюватися про майбутні проблеми, моментально втрачаємо «почуття польоту», своє натхнення - і все зупиняється махом. Тому добиватися свого завжди слід – будучи одержимою ідеєю власного незаперечного успіху, вирішуючи проблеми у міру їхнього надходження. Пам'ятаючи при цьому, що однієї лопати може виявитися недостатньо навіть для найменшої ями, якщо саме тут лежить камінь. Адже згідно з другим слідством «З усіх можливих неприємностей станеться саме та, шкода від якої більша». А тому готуватися завжди слід до найгіршого. Звичайно, починаючи бізнес, треба вірити у свої сили, але розуміти, що це величезний ризик. І кожен 20-й випадок практично завжди закінчується невдачею, адже щось купуючи, ти обов'язково щось втрачаєш. Важливо не втратити все. Тому не треба розпочинати бізнес на останні гроші. Це дуже ризиковано. У будь-якому випадку потрібно залишити на їжу та комунальні платежі. Щоб, коли все закінчиться, ти міг намастити хліб олією. Трагедії трапляються всюди, і набагато серйознішого масштабу, ніж просто невдалий бізнес. Як цього уникнути? Чи не розслаблятися! Вчасно прокидатися вранці і відразу вмикатися в роботу. Уникнути спонтанних неприємностей все одно не вийде, але знизити рівень їхнього прояву - можна.

Роби все, що завгодно – тільки не сиди на місці! Адже третій наслідок закону Мерфі говорить: «Надані самі собі події мають тенденцію розвиватися від поганого до гіршого». Якщо ти перестав керувати подіями, на які можеш впливати, - тенденція до погіршення не забариться. Ти організував бізнес, і кого б ти наймав – це твій бізнес, твоя ідея. Якщо ж ти від нього відсторонишся, всі блискавично пустять за вітром. З іншого боку, «будь-яке рішення плодить нові проблеми». Як тільки ми починаємо щось робити – ми створюємо щось матеріальне, яке має властивість жити своїм життям. А значить, як маленька дитина, воно неодмінно раптово стане дорослим і запалить. Хоча все дитинство ти намагався пояснити, що куріння - це шкода. Рішення тут тільки щодо Тараса Бульби: «Я тебе породив, я тебе й уб'ю». Часом смерть бізнесу краща, ніж усі спроби його збереження. І справа може полягати аж ніяк не тільки в тобі, але в тому, що конкуренти виявилися серйознішими і спритнішими. Зараз ми спостерігаємо цілковиту аварію компанії Nokia, щось подібне вже сталося з іншими фірмами, що займаються комунікаційним обладнанням. Одного разу вони прогаяли, як корейські фірми зайнялися цим впритул, вклали багато грошей і відразу налагодили виробництво нових продуктів. А ті думали, що все життя їздитимуть на власному бренді. Такого не буває. Зазналися та отримали належне. Зараз Nokia нарешті випустила нові мобільні телефони, проте фахівці стверджують, що це вже надто пізно. І навіть низька ціна разом із брендом не врятують компанію. То був крок назад, а не вперед. Подібних прикладів можна навести чимало.

Слід розглянути й іншу крайність - японську Toyota з філософією Кайдзен, що передбачає безперервне вдосконалення процесів виробництва та управління. Чи ця практика є панацеєю? Найімовірніше, ні. Адже, як відомо, найкраще – ворог хорошого. Кожна нова запчастина автомобіля вимагає встановлення ще двох запчастин, які її контролюватимуть. Те саме й у бізнесі. Удосконалення системи передбачає її нескінченне зростання та збільшення кількості коштів на обслуговування. Чим більша корпорація, тим вищі її шанси на загибель. Саме тому в момент кризи ми побачили, що першими на дно пішли найбільші титаніки. Ті, хто вважався непорушним. Все тому, що наймогутніше і найдосконаліше вже не зовсім тим, що воно могутнє.

У всіх нас досі лежать бабусині м'ясорубки і досі працюють. Тоді як, віддаючи данину технічному прогресу, через їх постійні поломки нам постійно доводиться змінювати електричні комбайни. Виходить, що менше механізм - то менш ймовірним стає прояв законів Мерфі. Адже якщо весь конвеєр складається з двох узбеків, що тягають пісок з одного кінця двору в інший, - ймовірність його поломки знижується в сотні разів, ніж якщо ті функції виконувало б кілька екскаваторів.

Закони Мерфі проявляються всюди. Зайві болтики та гвинтики при складанні космічного корабля? Звичайно ж да! Звідки – питання інше. Очевидно, що твій твір потрапив або до рук Кулібіна, або до рук розгильдяя. Але будемо об'єктивними: другий варіант трапляється частіше. Проте зайві запчастини залишаються в обох. І в цьому є основа закону Мерфі. Передаючи план кожній наступній людині, ти щоразу втрачаєш частину накопиченого капіталу. Адже нова людина не зможе взяти твою думку в тому вигляді, в якому вона існує в твоїй голові, хоч би як ти старався. Це вже не його знання, а твої – передані йому. Він все одно почув їх по-своєму, і реалізовувати почуте теж буде по-своєму - звідси зайві деталі. Другий варіант – це Кулібіни.

Намірно порушують правила на власний розсуд. З розряду: «Я ж не робитиму того, що я не хочу». Суто людський фактор. Адже правила, як відомо, є, щоб їх порушувати. І якщо є можливість, то це неодмінно станеться. У будь-якому разі такі вчинки здійснюються від протестності. І навіть якщо ти розумієш, що з ймовірністю 300% після свого вчинку ти вилетиш з роботи - ти все одно так зробиш, отримавши при цьому неймовірний кайф. Скандал буде недаремно. А отримати за справу – завжди величезне задоволення. Нехай навіть твоя ракета й упала, але як вона летіла... як гарно... як по-новому... Якщо ж розглядати бізнес, очевидно, що це є конфлікт жорсткої організації та побудови. Адже люди не можуть працювати як механізми. Люди – це люди. І чим більше співробітників у тебе працює, тим частіше це буде. Молись, щоб ти цього не помічав, але рано чи пізно хтось все одно увійде до тебе до кабінету та скаже, як його дістала система. Правду кажучи, навіть карати таких людей марно, але треба. Для них будь-яке покарання ніколи не перекриє задоволення, яке вони отримали під час дії. Однак грамотно розробивши тактику його піару як поганий приклад, ти зможеш зробити це неналежним для інших. Але тільки доти, доки в системі знову не з'явиться незгодний. А це неодмінно станеться, вкотре послуживши доказом закону Мерфі. А тому співробітники, які обіймають керівні посади, мають бути імпульсивними розгильдяями, але водночас відповідальними та дисциплінованими. Адже саме керівні посади найчастіше стикаються з дією законів Мерфі, де без уміння «злетіти над ситуацією» та проявити творчий підхід – викрутитися без жертв не вийде. Людина має бути неймовірно креативною. Вміти знайти найнестандартніше рішення і одразу ж його здійснити, не упираючись і не заглиблюючись у складності ситуації, відкинути звичні рішення одразу та запропонувати свій новаторський та найбільш ефективний підхід. Найчастіше організація має на увазі дисципліну, але абсолютно дисциплінована людина - просто гвинтик. А тому, підбираючи людину на керівну посаду, дивіться не лише на тих кандидатів, які ідеально пройшли всі ваші тести, а й на тих, хто не пройшов, але мислить оригінальніше за багатьох. Адже це не навчають у школі менеджменту, це дано від Бога.

Не доводьте ситуацію до абсурду, якщо ви відчуваєте, що двигун почав барахлити, то «насилуйте» його ще тиждень, але потім все одно з'явитеся у майстра. Не намагайтеся поставити віз перед паровозом. Якщо ситуація вже почала розвиватися в невигідному для вас напрямку, придумайте не як різко зупинити поїзд, а як плавно скинути оберти, щоб зупинка була максимально м'якою. Адже різка зупинка, як правило, завжди призводить до краху та обвалу. І нарешті, якщо «буря» досягла неймовірного масштабу, майте на собі сміливість відмовитися від бізнесу. Знайти сили продати його не за половину, і навіть не за чверть, а за одну десяту всієї вартості, щоб була можливість зайнятися чимось іншим, якщо тут у вас нічого не вийшло. Ви ж творча людина – у вас гроші у руках. А гроші – це не журавель у небі, і навіть не синиця, це гроші. Візьміть і вкладіть їх у щось інше! Якщо ж ви будете нескінченно довго тягнути гуму, залишитеся взагалі без усього. Закони Мерфі лише наголошують, що складні ситуації були, є і будуть. І здатність людини викручуватися зі складних ситуацій – це не підготовка в бізнес-школі, а винятково креативність її власного розуму. Зустрічайте бурю усміхаючись!

* Дмитро Житомирський, генеральний директор засновник «Артком СПБ».

Спочатку, будучи лише зібранням відомостей та емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма та Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей завдячує багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує успіх своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна гра з її виграшами та програшами — це лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мере, який однаково був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність здобути 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва питання де Мере, який став мимовільним основоположником розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в цій галузі, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише вороже рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою статистики і широко застосовується у сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченну кількість разів, можна дати визначення випадковому події. Це один із можливих результатів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій у постійних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е…

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складникам.

Імовірність події - це виражена в числовій формі міра можливості появи певної події (А або B) у результаті досвіду. Позначається ймовірність як P(A) або P(B).

Теоретично ймовірностей відрізняють:

• достовірнеподія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р(?) = 1;
• неможливеподія будь-коли може статися Р(Ø) = 0;
• випадковеподія лежить між достовірною та неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0≤Р(А)≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В або обох - А і В.

Стосовно одна до одної події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, вони рівноможливі.

Якщо поява події А не зводить до нуля ймовірність появи події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в тому самому досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети – гарний приклад: поява решки – це автоматично непоява орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається із суми ймовірностей кожної з подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Якщо наступ однієї події унеможливлює наступ іншого, їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше - (читається як «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу із сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи чи збільшуючи ймовірність одне одного.

Відносини між подіями. Приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей та комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результат кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один із можливих результатів досвіду - червона куля, синя куля, куля з номером шість і т.д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких забарвлені у синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 кульок синього кольору з цифрами від однієї до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія.У вик. №2 подія «дістати синю кулю» достовірну, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, оскільки всі кулі сині і промахи бути не може. Тоді як подія «дістати кулю з цифрою 1» – випадкова.
• Неможлива подія.У вик. №1 з синіми і червоними кулями подія «дістати фіолетовий шар» неможлива, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівні події.У вик. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливі, а події «дістати кулю з парним числом» та «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події.Двічі поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
• Несумісні події.У тому ж вик. №1 події «дістати червону кулю» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути поєднані в тому самому досвіді.
• Протилежні події.Найяскравіший приклад цього – підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей – це завжди 1 (повна група).
• Залежні події. Так, у вик. №1 можна поставити за мету витягти двічі поспіль червону кулю. Його вилучення чи невитяг уперше впливає можливість вилучення вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другої (40% та 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від ворожих роздумів до точних даних відбувається у вигляді перекладу теми в математичну площину. Тобто міркування про випадкову подію на зразок "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перекласти до конкретних числових даних. Такий матеріал вже припустимо оцінювати, порівнювати та вводити у складніші розрахунки.

З погляду розрахунку, визначення ймовірності події - це ставлення кількості елементарних позитивних наслідків до кількості всіх можливих наслідків досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р(А), де Р означає слово "probabilite", що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо вик. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 сині кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоні з цифрами 2/4/6.

На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а лише варіантів 6. Це найпростіший приклад, у якому ймовірність події дорівнює Р(А)=3/6=0,5.
• B – випадання парного числа. Усього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р(B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Усього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події З дорівнює Р(С)=4/6=0,67.

Як очевидно з розрахунків, подія має велику ймовірність, оскільки кількість можливих позитивних результатів вище, ніж у А і У.

Несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в тому самому досвіді. Як у вик. №1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Так само в гральній кістці не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій сприймається як ймовірність їхньої суми чи твори. Сумою таких подій А+В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а добуток їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу принаймні одного з них. Твір кількох подій – це спільна поява їх усіх.

Теоретично ймовірності, зазвичай, вживання союзу " і " означає суму, союзу " чи " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання та множення теоретично ймовірностей.

Ймовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, у такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих наслідків. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Імовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифри 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Тож якщо у досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад, у досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р(А) + Р(?) = 1

Імовірність твору несумісних подій

Примноження ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р(А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб двічі з'явиться синя куля, що дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб із вилученням куль буде вилучено лише сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко зробити практичні експерименти цього завдання і побачити, чи це так насправді.

Спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те, що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні одна від одної - могла випасти лише одна шістка, друга кістка на неї не має впливу.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їхньої суми.

Ймовірність суми подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):

Р сум. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Припустимо, що можливість попадання на мету одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - попадання в ціль у першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки цілком можливо, що можна вразити мету і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Якою є ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на запитання наступна: "Ймовірність потрапити в ціль із двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісних подій, де ймовірність спільної появи події Р(АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена ​​у вигляді двох областей А та В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їхнього об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їхнього перетину. Це геометричне пояснення роблять зрозумілішою нелогічну здавалося б формулу. Зазначимо, що геометричні рішення - не рідкість теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми множини (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб вирахувати її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Залежні події

Залежними події називаються у разі, якщо наступ одного (А) їх впливає ймовірність наступу іншого (В). Причому враховується вплив як події А, і його непоява. Хоча події називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р(В) чи ймовірність незалежних подій. У випадку із залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В) , яка є ймовірністю залежної події У за умови події А (гіпотези), від якої воно залежить.

Але ж подія А теж випадкова, тому в неї також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в розрахунках, що здійснюються. Далі на прикладі буде показано, як працювати із залежними подіями та гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом до розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карток розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубнової масті, якщо перша вилучена:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і, як і раніше, збереглося повне число бубон (9), тоді ймовірність наступної події:

Р A (В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А умовлена ​​в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події зменшується, і навпаки.

Розмноження залежних подій

Керуючись попереднім розділом, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але, якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме вилучення бубни з колоди карт, дорівнює:

Р(А) = 9/36=1/4

Оскільки теорія немає як така, а покликана служити у практичних цілях, то справедливо відзначити, що найчастіше потрібна ймовірність твори залежних подій.

Відповідно до теореми про добуток ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):

Р(АВ) = Р(А) *Р A(В)

Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з мастиною бубни дорівнює:

9/36*8/35=0,0571, чи 5,7%

І ймовірність вилучення спочатку не бубни, та був бубни, дорівнює:

27/36*9/35=0,19, чи 19%

Видно, що ймовірність появи події більша за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний та зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методами його обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, саме А1,А2,…,А n , ..утворює повну групу подій за умови:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна у багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. буд. Деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана у будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки чи несправності.

Можна сміливо сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок у майбутнє, розглядаючи його через призму формул.