Як виглядають правильні дроби. Рівні та нерівні звичайні дроби, порівняння дробів

З дробами ми стикаємося у житті набагато раніше, ніж починається їх вивчення у школі. Якщо розрізати ціле яблуко навпіл, ми отримаємо частину фрукта - ½. Розріжемо ще раз – буде ¼. Це і є дроби. І все, начебто, просто. Для дорослої людини. Для дитини ж (а цю тему починають вивчати наприкінці молодшої школи) абстрактні математичні поняття ще лякаюче незрозумілі, і викладач має доступно пояснити, що таке правильний дріб і неправильний, звичайний і десятковий, які операції можна з ними здійснювати і, головне, для чого все це потрібне.

Які бувають дроби

Знайомство з новою темою у школі починається із звичайних дробів. Їх легко впізнати по горизонтальній рисі, що розділяє два числа – зверху та знизу. Верхнє називається чисельником, нижнє – знаменником. Існує і малий варіант написання неправильних і правильних звичайних дробів - через косу межу, наприклад: ½, 4/9, 384/183. Такий варіант використовується, коли висота рядка обмежена і немає можливості застосувати двоповерхову форму запису. Чому? Та тому що вона зручніша. Трохи згодом ми в цьому переконаємося.

Крім звичайних, існують також десяткові дроби. Розрізнити їх дуже просто: якщо в одному випадку використовується горизонтальна або похила риса, то в іншому - кома, що розділяє послідовності цифр. Подивимося приклад: 2,9; 163,34; 1,953. Ми навмисно скористалися крапкою з комою як роздільник, щоб розмежувати числа. Перше буде читатися так: «дві цілих, дев'ять десятих».

Нові поняття

Повернемося до звичайних дробів. Вони бувають двох видів.

Визначення правильного дробу звучить наступним чином: це такий дріб, чисельник якого менший за знаменник. Чому це важливо? Зараз побачимо!

У вас є кілька яблук, поділених на половинки. Усього – 5 частин. Як ви скажете: у вас «два з половиною» чи «п'ять других» яблука? Звичайно, перший варіант звучить більш природно, і при розмові з друзями ми скористаємося ним. А ось якщо потрібно порахувати, скільки фруктів дістанеться кожному, якщо в компанії п'ять осіб, ми запишемо число 5/2 і розділимо його на 5 - з точки зору математики це буде наочніше.

Отже, для найменування правильних і неправильних дробів правило таке: якщо дроби можна виділити цілу частину (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), вона є неправильною. Якщо цього не можна зробити, як у випадку з ½, 13/16, 9/10, вона буде правильною.

Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу одночасно помножити чи розділити одне й те число, її величина не зміниться. Уявіть: торт нарізали на 4 рівні частини і дали вам одну. Такий самий торт порізали на вісім частин і дали вам дві. Чи не все одно? Адже ¼ і 2/8 - це одне й те саме!

Скорочення

Автори завдань та прикладів у підручниках з математики найчастіше прагнуть заплутати учнів, пропонуючи громіздкі в написанні дроби, які насправді можна скоротити. Ось приклад правильного дробу: 167/334, який, начебто, виглядає дуже «страшно». Але насправді ми можемо записати його як ½. Число 334 ділиться на 167 без залишку - зробивши таку операцію, ми отримаємо 2.

Змішані числа

Неправильний дріб можна подати у формі змішаного числа. Це коли ціла частина винесена вперед і записана лише на рівні горизонтальної межі. Фактично вираз набуває вигляду суми: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 тощо.

Щоб винести цілу частину, потрібно розділити чисельник на знаменник. Залишок від поділу записати зверху, над межею, а цілу частину - перед виразом. Таким чином, ми отримуємо дві структурні частини: цілі одиниці + правильний дріб.

Можна здійснити і зворотну операцію - при цьому потрібно цілу частину помножити на знаменник і додати отримане значення чисельнику. Нічого складного.

Множення та розподіл

Як не дивно, множити дроби простіше, ніж складати. Усього-то і потрібно - продовжити горизонтальну межу: (2/3) * (3/5) = 2 * 3 / 3 * 5 = 2 / 5.

З поділом теж все просто: потрібно перемножити дроби навхрест: (7/8) / (14/15) = 7 * 15 / 8 * 14 = 15 / 16.

Складання дробів

Що робити, якщо потрібно здійснити додавання або в знаменнику у них різні числа? Вчинити так само, як з множенням, не вийде - тут слід розуміти визначення правильного дробу та його сутність. Потрібно привести доданки до спільного знаменника, тобто в нижній частині обох дробів мають бути однакові числа.

Щоб це здійснити, слід скористатися основною властивістю дробу: помножити обидві частини на те саме число. Наприклад, 2/5 + 1/10 = (2 * 2) / (5 * 2) + 1 / 10 = 5 / 10 =?

Як вибрати, до якого знаменника приводити доданки? Це має бути мінімальне число, кратне обом числам, що стоять у знаменниках дробів: для 1/3 та 1/9 це буде 9; для ½ і 1/7 - 14, тому що меншого значення, що ділиться без залишку на 2 і 7, не існує.

Використання

Навіщо потрібні неправильні дроби? Адже набагато зручніше відразу виділити цілу частину, отримати змішане число - і кінець! Виявляється, якщо потрібно виконати множення або поділ двох дробів, вигідніше скористатися саме неправильними.

Візьмемо наступний приклад: (2+3/17)/(37/68).

Здавалося б, скоротити зовсім нічого. Але що, якщо записати результат додавання у перших дужках у вигляді неправильного дробу? Подивіться: (37/17) / (37/68)

Тепер все стає на свої місця! Запишемо приклад таким чином, щоб усе стало очевидним: (37*68) / (17*37).

Скоротимо 37 у чисельнику та знаменнику і, нарешті, розділимо верхню та нижню частини на 17. Ви ж пам'ятаєте основне правило для правильного та неправильного дробу? Ми можемо множити та ділити їх на будь-яке число, якщо робимо це одночасно для чисельника та знаменника.

Отже, отримуємо відповідь: 4. Приклад виглядав складним, а відповідь містить лише одну цифру. У математиці часто відбувається. Головне - не боятися і дотримуватися простих правил.

Поширені помилки

При здійсненні учень може легко зробити одну з найпопулярніших помилок. Зазвичай вони відбуваються через неуважність, а іноді через те, що вивчений матеріал ще не відклався в голові як слід.

Нерідко сума чисел, що стоїть у чисельнику, викликає бажання скоротити окремі її компоненти. Допустимо, у прикладі: (13 + 2) / 13, написаному без дужок (з горизонтальною рисою), багато учнів з недосвідченості закреслюють 13 зверху та знизу. Але так робити не можна в жодному разі, адже це груба помилка! Якби замість додавання стояв знак множення, ми отримали б у відповіді число 2. Але при здійсненні додавання жодні операції з одним із доданків не дозволені, тільки з усією сумою цілком.

Ще хлопці часто помиляються при розподілі дробів. Візьмемо два правильні нескоротні дроби і розділимо один на одного: (5/6)/(25/33). Учень може переплутати і записати результуючий вираз як (5*25)/(6*33). Але так вийшло б при множенні, а в нашому випадку все буде трохи інакше: (5*33) / (6*25). Скорочуємо те, що можливо, та у відповіді побачимо 11/10. Неправильний дріб, що вийшов, запишемо як десятковий - 1,1.

Дужки

Пам'ятайте, що у будь-яких математичних висловлюваннях порядок дій визначається пріоритетом знаків операцій та наявністю дужок. За інших рівних відлік черговості виконання дій відбувається зліва направо. Це актуально і для дробів - вираз у чисельнику чи знаменнику розраховується строго за цим правилом.

Адже це результат поділу одного числа на інше. Якщо вони не діляться націло, виходить дріб - от і все.

Як записати дріб на комп'ютері

Оскільки стандартні засоби не завжди дозволяють створити дріб, що складається з двох «ярусів», учні часом йдуть на різні хитрощі. Наприклад, копіюють чисельники та знаменники у графічний редактор «Пейнт» і склеюють їх воєдино, малюючи між ними горизонтальну лінію. Звичайно, є простіший варіант, який, до речі, надає і масу додаткових можливостей, які стануть корисними вам у майбутньому.

Відкрийте "Майкрософт Ворд". Одна з панелей у верхній частині екрана має назву «Вставка» - натисніть її. Справа, в тій стороні, де розташовані значки закриття та згортання вікна, є кнопка Формула. Це саме те, що нам потрібне!

Якщо ви скористаєтеся цією функцією, на екрані з'явиться прямокутна область, в якій можна використовувати будь-які математичні знаки, які відсутні на клавіатурі, а також писати дроби у класичному вигляді. Тобто розділяючи чисельник і знаменник горизонтальною межею. Ви навіть можете здивуватися, що такий правильний дріб настільки легко записати.

Вивчайте математику

Якщо ви навчаєтесь у 5-6 класі, то вже скоро знання математики (у тому числі - вміння працювати з дробами!) знадобиться у багатьох шкільних предметах. Практично у будь-якій задачі з фізики, при вимірюванні маси речовин у хімії, геометрії та тригонометрії без дробів ніяк не обійтися. Вже скоро ви навчитеся обчислювати все в умі, навіть не записуючи вирази на папері, але з'являтимуться все більш складні приклади. Тому вивчіть, що таке правильний дріб і як з ним працювати, не відставайте за навчальною програмою, своєчасно робіть домашні завдання, і тоді ви досягнете успіху.

Які види дробів існують?

Спершу про те, що це таке. Дроб - число, яке має деяку частину від одиниці. Її можна записати у двох видах. Перший зветься звичайним. Тобто така, яка має горизонтальну або похилу рису. Вона прирівнюється до знака поділу.

У такому записі число, що стоїть над рискою, називається чисельником, а під нею знаменником.

Серед звичайних виділяють правильні та неправильні дроби. У перших чисельник за модулем завжди менше знаменника. Неправильні тому так і називаються, що вони все навпаки. Значення правильного дробу завжди менше одиниці. Хоча неправильна завжди більше цього числа.

Є ще змішані числа, тобто такі, у яких є ціла і дробова частини.

Другий вид запису – десятковий дріб. Про неї окрема розмова.

Чим відрізняються неправильні дроби від змішаних чисел?

За своєю суттю, нічим. Це просто різна запис однієї й тієї числа. Неправильні дроби після нескладних дій легко стають змішаними числами. І навпаки.

Все залежить від конкретної ситуації. Іноді у завданнях зручніше використовувати неправильний дріб. А часом необхідно перевести її в змішане число, і тоді приклад вирішиться дуже легко. Тому, що використовувати: неправильні дроби, змішані числа, - залежить від спостережливості вирішального завдання.

Змішане число ще порівнюють із сумою цілої частини та дробової. Причому друга завжди менше одиниці.

Як уявити змішане число у вигляді неправильного дробу?

Якщо потрібно виконати будь-яку дію з кількома числами, які записані в різних видах, потрібно зробити їх однаковими. Один із методів — уявити числа у вигляді неправильних дробів.

Для цієї мети потрібно виконати дії за таким алгоритмом:

помножити знаменник на цілу частину;
додати до результату значення чисельника;
записати відповідь над межею;
знаменник залишити тим самим.

Ось приклади того, як записати неправильні дроби зі змішаних чисел:

17 ¼ = (17 х 4 + 1): 4 = 69/4;
39 ½ = (39 х 2 + 1): 2 = 79/2.

Як записати неправильний дріб у вигляді змішаного числа?

Наступний прийом протилежний розглянутому вище. Тобто, коли всі змішані числа замінюються на неправильні дроби. Алгоритм дій буде таким:

розділити чисельник на знаменник до одержання залишку;
записати приватне дома цілої частини змішаного;
залишок слід розмістити над межею;
дільник буде знаменником.

Приклади такого перетворення:

76/14; 76:14 = 5 із залишком 6; відповіддю буде 5 цілих та 6/14; дробову частину у цьому прикладі потрібно скоротити на 2, вийде 3/7; підсумкова відповідь - 5 цілих 3/7.

108/54; після поділу виходить приватне 2 без залишку; це означає, що не всі неправильні дроби вдається подати у вигляді змішаного числа; відповіддю буде ціле - 2.

Як ціле число перетворити на неправильний дріб?

Бувають ситуації, коли потрібна і така дія. Щоб отримати неправильні дроби із заздалегідь відомим знаменником, потрібно виконати такий алгоритм:

помножити ціле число на потрібний знаменник;
записати це значення над межею;
розмістити під нею знаменник.

Найпростіший варіант, коли знаменник дорівнює одиниці. Тоді нічого множити не треба. Досить просто написати ціле число, яке дано в прикладі, а під межею розташувати одиницю.

приклад: 5 зробити неправильним дробом зі знаменником 3. Після множення 5 на 3 виходить 15. Це число буде знаменником. Відповідь завдання дріб: 15/3.

Два підходи до вирішення завдань з різними числами

У прикладі потрібно обчислити суму і різницю, а також добуток і частки двох чисел: 2 цілих 3/5 і 14/11.

У першому підходізмішане число буде представлено у вигляді неправильного дробу.

Після виконання дій, описаних вище, вийде таке значення: 13/5.

Щоб дізнатися суму, потрібно привести дроби до однакового знаменника. 13/5 після множення на 11 стане 143/55. А 14/11 після множення на 5 набуде вигляду: 70/55. Для обчислення суми потрібно лише скласти чисельники: 143 та 70, а потім записати відповідь з одним знаменником. 213/55 - цей неправильний дріб відповідь задачі.

При знаходженні різниці ці числа віднімаються: 143 - 70 = 73. Відповіддю буде дріб: 73/55.

При множенні 13/5 та 14/11 не потрібно приводити до спільного знаменника. Достатньо перемножити попарно чисельники та знаменники. Вийде відповідь: 182/55.

Так само і при розподілі. Для правильного рішення потрібно замінити поділ на множення та перевернути дільник: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.

У другому підходінеправильний дріб перетворюється на змішане число.

Після виконання дій алгоритму 14/11 звернеться в змішане число з частиною 1 і дробовою 3/11.

Під час обчислення суми потрібно скласти цілі та дробові частини окремо. 2+1=3, 3/5+3/11=33/55+15/55=48/55. Підсумкова відповідь виходить 3 цілих 48/55. У першому підході був дріб 213/55. Перевірити правильність можна, перевівши його у змішане число. Після поділу 213 на 55 виходить приватне 3 і залишок 48. Неважко помітити, що відповідь правильна.

При відніманні знак "+" замінюється на "-". 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Для перевірки відповідь з попереднього підходу потрібно перевести в змішане число: 73 ділиться на 55 і виходить 1 приватне і залишок 18.

Для знаходження твору та приватного користуватися змішаними числами незручно. Тут завжди рекомендується переходити до неправильних дробів.

Звичайні дроби поділяються на \textit(правильні) та \textit(неправильні) дроби. Такий поділ заснований на порівнянні чисельника та знаменника.

Правильні дроби

Правильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник менший за знаменник, тобто. $m

Приклад 1

Наприклад, дроби $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ є правильними, так як у кожній з них чисельник менший за знаменник, що відповідає визначенню правильного дробу.

Існує визначення правильного дробу, що базується на порівнянні дробу з одиницею.

правильною, якщо вона менше одиниці:

Приклад 2

Наприклад, звичайний дріб $\frac(6)(13)$ є правильним, т.к. виконується умова $\frac(6)(13)

Неправильні дроби

Неправильним дробомназивається звичайна дріб $\frac(m)(n)$, у якої чисельник більший або дорівнює знаменнику, тобто. $m\ge n$.

Приклад 3

Наприклад, дроби $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ є неправильними, так як у кожній з них чисельник більший або дорівнює знаменнику, що відповідає визначенню неправильного дробу.

Дамо визначення неправильного дробу, що базується на його порівнянні з одиницею.

Звичайний дріб $\frac(m)(n)$ є неправильноюякщо вона дорівнює або більше одиниці:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Приклад 4

Наприклад, звичайний дріб $\frac(21)(4)$ є неправильним, т.к. виконується умова $\frac(21)(4) >1$;

звичайна дріб $\frac(8)(8)$ є неправильною, т.к. виконується умова $ frac (8) (8) = 1 $.

Розглянемо докладніше поняття неправильного дробу.

Візьмемо для прикладу неправильний дріб $\frac(7)(7)$. Значення цього дробу - взяли сім часток предмета, який поділений на сім однакових часток. Таким чином, із семи часток, які є в наявності, можна скласти весь предмет. Тобто. неправильний дріб $\frac(7)(7)$ описує цілий предмет і $\frac(7)(7)=1$. Отже, неправильні дроби, у яких чисельник дорівнює знаменнику, описують один цілий предмет і такий дріб може замінити на натуральне число $1$.

$\frac(5)(2)$ -- досить очевидно, що з цих п'яти других часток можна скласти $2$ цілих предмета (один цілий предмет будуть становити $2$ частки, а для складання двох цілих предметів потрібні $2+2=4$ частки) і залишається одна друга частка. Тобто, неправильний дріб $\frac(5)(2)$ описує $2$ предмета і $\frac(1)(2)$ частку цього предмета.

$\frac(21)(7)$ -- з двадцяти однієї сьомих часток можна скласти $3$ цілих предмета ($3$ предмета по $7$ часток у кожному). Тобто. дріб $\frac(21)(7)$ визначає $3$ цілих предмета.

З розглянутих прикладів можна зробити наступний висновок: неправильний дріб можна замінити на натуральне число, якщо чисельник націло ділиться на знаменник (наприклад, $\frac(7)(7)=1$ і $\frac(21)(7)=3$) , або сумою натурального числа і правильного дробу, якщо чисельник націло не ділиться на знаменник (наприклад, $ \ frac (5) (2) = 2 + frac (1) (2) $). Тому такі дроби і називаються неправильними.

Визначення 1

Процес представлення неправильного дробу у вигляді суми натурального числа та правильного дробу (наприклад, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) називається виділенням цілої частини з неправильного дробу.

Працюючи з неправильними дробами простежується тісний зв'язок з-поміж них і змішаними числами.

Неправильний дріб часто записується у вигляді змішаного числа - числа, що складається з цілої та дробової частини.

Щоб записати неправильний дріб як змішаного числа, необхідно розділити чисельник на знаменник із залишком. Приватне складатиме цілу частину змішаного числа, залишок - чисельник дробової частини, а дільник - знаменник дробової частини.

Приклад 5

Записати неправильний дріб $\frac(37)(12)$ у вигляді змішаного числа.

Рішення.

Розділимо чисельник на знаменник із залишком:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (залишок\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Відповідь.$ frac (37) (12) = 3 frac (1) (12) $.

Щоб записати змішане число у вигляді неправильного дробу, необхідно знаменник помножити на цілу частину числа, до твору, що вийшло, додати чисельник дробової частини та записати отриману суму в чисельник дробу. Знаменник неправильного дробу дорівнюватиме знаменнику дробової частини змішаного числа.

Приклад 6

Записати змішане число $5\frac(3)(7)$ у вигляді неправильного дробу.

Рішення.

Відповідь.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Складання змішаного числа та правильного дробу

Додавання змішаного числа$a\frac(b)(c)$ та правильного дробу$\frac(d)(e)$ виконує додаванням до даного дробу дробової частини даного змішаного числа:

Приклад 7

Виконати додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$.

Рішення.

Скористаємося формулою додавання змішаного числа та правильного дробу:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+frac(4)(15)right)=3+frac(6+4)(15)=3+frac(10)( 15) \]

За ознакою розподілу на число \ textit (5) можна визначити, що дріб $ \ frac (10) (15) $ - скоротний. Виконаємо скорочення та знайдемо результат додавання:

Отже, результатом додавання правильного дробу $\frac(4)(15)$ і змішаного числа $3\frac(2)(5)$ буде $3\frac(2)(3)$.

Відповідь:$3\frac(2)(3)$

Складання змішаного числа та неправильного дробу

Складання неправильного дробу та змішаного числазводять до додавання двох змішаних чисел, для чого достатньо виділити цілу частину з неправильного дробу.

Приклад 8

Обчислити суму змішаного числа $6\frac(2)(15)$ і неправильного дробу $\frac(13)(5)$.

Рішення.

Спочатку виділимо цілу частину з неправильного дробу $\frac(13)(5)$:

Відповідь:$8\frac(11)(15)$.

326. Заповніть перепустки.

1) Якщо чисельник дробу дорівнює знаменнику, то дріб дорівнює 1.
2) Дроби a/b (a і b - натуральні числа) називають правильним, якщо a< b
3) Дроби a/b (a і b - натуральні числа) називають неправильним, якщо a >b або a =b.
4) 9/14 - правильний дріб, оскільки 9< 14.
5) 7/5 – неправильний дріб, оскільки 7 > 5.
6) 16/16 - неправильний дріб, оскільки 16 = 16.

327. Випишіть із дробів 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2: 1) правильні дроби; 2) неправильні дроби.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Придумайте та запишіть: 1) 5 правильних дробів; 2) неправильних дробів.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2Ю 6/2, 7/2

329. Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Запишіть усі неправильні дроби з чисельником 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Дві однакові смужки розділили на 7 рівних частин. Зафарбуйте 4/7 однієї смужки та 6/7 іншої.

Порівняйте отримані дроби: 4/7< 6/7.

Сформулюйте правило порівняння дробів з однаковими знаменниками: із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший.

332. Дві однакові смужки розділили на частини. Одну смужку розділили на 7 рівних частин, а іншу - на 5 рівних частин. Зафарбуйте 3/7 першої смужки та 3/5 другої.

Порівняйте отримані дроби: 3/7< /5.

Сформулюйте правило порівняння дробів з однаковими чисельниками: із двох дробів з однаковими чисельниками більша та, у якої знаменник менший.

333. Заповніть перепустки.

1) Усі правильні дроби менше 1, а неправильні більше 1 або дорівнюють 1.

2) Кожен неправильний дріб більший за будь-який правильний дроб, а кожен правильний дріб менший за будь-який неправильний.

3) На координатному промені з двох дробів великий дріб розташований правіше від меншого.

334. Обведіть правильні твердження.

335. Порівняйте числа.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Які з дробів 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 більші за 1?

Відповідь: 16/4, 18/17, 310/303

337. Розташуйте дроби 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Відповідь: 29/29,17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Позначте на координатному промені всі числа, що є дробами зі знаменником 5, розташовані між числами 0 і 3. Які з зазначених чисел є правильними, а які неправильними?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Відповідь: 1) правильні дроби: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) неправильні дроби: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Знайдіть усі натуральні значення х, при яких дріб х/8 є правильним.

Відповідь: 1,2,3,4,5,6,7

340. Знайдіть натуральні вирази х, при яких дріб 11/х буде неправильним.

Відповідь: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Впишіть у порожні клітини цифри так, щоб утворився правильний дріб.

2) Впишіть у порожні клітини цифри так, щоб утворився неправильний дріб.

342. Побудуйте та позначте відрізок, довжина якого складає: 1) 9/8 довжини відрізка АВ; 2) 10/8 довжини відрізка АВ; 3) 7/4 довжини відрізка АВ; 4) довжини відрізка АВ.

Саша прочитав 42:6*7= 49 сторінок

Відповідь: 49 стор.

344. Знайдіть усі натуральні значення х, за яких виконується нерівність:

1) х/15<7/15;

2) 10/x> 10/9.

Відповідь: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Використовуючи цифри 1,4,5,7 і межу дробу, запишіть усі можливі правильні дроби.

Відповідь: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Знайдіть усі натуральні значення m, за яких 4m+5/17 буде правильною.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Відповідь: m = 1; 2.

347. Знайдіть усі натуральні значення а, при яких дріб 10/а буде неправильним, а дріб 7/а - правильним.

а?10 і а >7, тобто. 7
Відповідь: а = 8,9,10

348. Натуральні числа a, b, c і d такі, що a

При слові "дроби" у багатьох біжать мурашки. Тому що згадується школа та завдання, які вирішувалися на математиці. Це було обов'язком, який потрібно було виконати. А що якщо ставитись до завдань, що містять правильні та неправильні дроби, як до головоломки? Адже багато дорослих вирішують цифрові та японські кросворди. Розібралися у правилах, і все. Так само і тут. Варто тільки вникнути в теорію - і все стане на свої місця. А приклади перетворяться на спосіб потренувати мозок.
Які види дробів існують?
Спершу про те, що це таке. Дроб - число, яке має деяку частину від одиниці. Її можна записати у двох видах. Перший зветься звичайним. Тобто така, яка має горизонтальну або похилу рису. Вона прирівнюється до знака поділу.
У такому записі число, що стоїть над рискою, називається чисельником, а під нею знаменником.
Серед звичайних виділяють правильні та неправильні дроби. У перших чисельник за модулем завжди менше знаменника. Неправильні тому так і називаються, що вони все навпаки. Значення правильного дробу завжди менше одиниці. Хоча неправильна завжди більше цього числа.
Є ще змішані числа, тобто такі, у яких є ціла і дробова частини.
Другий вид запису – десятковий дріб. Про неї окрема розмова.
Чим відрізняються неправильні дроби від змішаних чисел?
За своєю суттю, нічим. Це просто різна запис однієї й тієї числа. Неправильні дроби після нескладних дій легко стають змішаними числами. І навпаки.
Все залежить від конкретної ситуації. Іноді у завданнях зручніше використовувати неправильний дріб. А часом необхідно перевести її в змішане число, і тоді приклад вирішиться дуже легко. Тому, що використовувати: неправильні дроби, змішані числа, - залежить від спостережливості вирішального завдання.
Змішане число ще порівнюють із сумою цілої частини та дробової. Причому друга завжди менше одиниці.
Як уявити змішане число у вигляді неправильного дробу?
Якщо потрібно виконати будь-яку дію з кількома числами, які записані в різних видах, потрібно зробити їх однаковими. Один із методів — уявити числа у вигляді неправильних дробів.
Для цієї мети потрібно виконати дії за таким алгоритмом:
помножити знаменник на цілу частину;
додати до результату значення чисельника;
записати відповідь над межею;
знаменник залишити тим самим.

Ось приклади того, як записати неправильні дроби зі змішаних чисел:
17 ¼ = (17 х 4 + 1): 4 = 69/4;
39 ½ = (39 х 2 + 1): 2 = 79/2.

Як записати неправильний дріб у вигляді змішаного числа?
Наступний прийом протилежний розглянутому вище. Тобто, коли всі змішані числа замінюються на неправильні дроби. Алгоритм дій буде таким:
розділити чисельник на знаменник до одержання залишку;
записати приватне дома цілої частини змішаного;
залишок слід розмістити над межею;
дільник буде знаменником.

Приклади такого перетворення:
76/14; 76:14 = 5 із залишком 6; відповіддю буде 5 цілих та 6/14; дробову частину у цьому прикладі потрібно скоротити на 2, вийде 3/7; підсумкова відповідь - 5 цілих 3/7.
108/54; після поділу виходить приватне 2 без залишку; це означає, що не всі неправильні дроби вдається подати у вигляді змішаного числа; відповіддю буде ціле - 2.
Як ціле число перетворити на неправильний дріб?
Бувають ситуації, коли потрібна і така дія. Щоб отримати неправильні дроби із заздалегідь відомим знаменником, потрібно виконати такий алгоритм:
помножити ціле число на потрібний знаменник;
записати це значення над межею;
розмістити під нею знаменник.

Найпростіший варіант, коли знаменник дорівнює одиниці. Тоді нічого множити не треба. Досить просто написати ціле число, яке дано в прикладі, а під межею розташувати одиницю.
приклад: 5 зробити неправильним дробом зі знаменником 3. Після множення 5 на 3 виходить 15. Це число буде знаменником. Відповідь завдання дріб: 15/3.
Два підходи до вирішення завдань з різними числами
У прикладі потрібно обчислити суму і різницю, а також добуток і частки двох чисел: 2 цілих 3/5 і 14/11.
У першому підходізмішане число буде представлено у вигляді неправильного дробу.
Після виконання дій, описаних вище, вийде таке значення: 13/5.
Щоб дізнатися суму, потрібно привести дроби до однакового знаменника. 13/5 після множення на 11 стане 143/55. А 14/11 після множення на 5 набуде вигляду: 70/55. Для обчислення суми потрібно лише скласти чисельники: 143 та 70, а потім записати відповідь з одним знаменником. 213/55 - цей неправильний дріб відповідь задачі.
При знаходженні різниці ці числа віднімаються: 143 - 70 = 73. Відповіддю буде дріб: 73/55.
При множенні 13/5 та 14/11 не потрібно приводити до спільного знаменника. Достатньо перемножити попарно чисельники та знаменники. Вийде відповідь: 182/55.
Так само і при розподілі. Для правильного рішення потрібно замінити поділ на множення та перевернути дільник: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.
У другому підходінеправильний дріб перетворюється на змішане число.
Після виконання дій алгоритму 14/11 звернеться в змішане число з частиною 1 і дробовою 3/11.
Під час обчислення суми потрібно скласти цілі та дробові частини окремо. 2+1=3, 3/5+3/11=33/55+15/55=48/55. Підсумкова відповідь виходить 3 цілих 48/55. У першому підході був дріб 213/55. Перевірити правильність можна, перевівши його у змішане число. Після поділу 213 на 55 виходить приватне 3 і залишок 48. Неважко помітити, що відповідь правильна.
При відніманні знак "+" замінюється на "-". 2 – 1 = 1, 33/55 – 15/55 = 18/55. Для перевірки відповідь з попереднього підходу потрібно перевести в змішане число: 73 ділиться на 55 і виходить 1 приватне і залишок 18.
Для знаходження твору та приватного користуватися змішаними числами незручно. Тут завжди рекомендується переходити до неправильних дробів.