Matematikte daire en önemli ve önemli figürlerden biridir. Birçok hesaplama için gereklidir. Bu şeklin özelliklerinin bilinmesi okul müfredatı hayatta kesinlikle işe yarayacaktır. Dairesel kesitli birçok malzeme hesaplanırken çevre gereklidir. Çizimler üzerinde çalışmak, çiçek yatağının yanına bir çit inşa etmek - bu, geometrik şekil ve özellikleri hakkında bilgi gerektirecektir.
Çember kavramı ve ana unsurları
Çok sayıda noktadan oluşan bir düzlem üzerindeki şekil eşit mesafe merkezden olana daire denir. Merkezden uzanan ve onu daireyi oluşturan noktalardan birine bağlayan doğru parçasına yarıçap denir. Akor, bir dairenin çevresi boyunca yer alan bir çift noktayı birbirine bağlayan bir segmenttir. Eğer merkez noktadan geçecek şekilde konumlandırılmışsa o da bir çaptır.
Bir dairenin yarıçapının uzunluğu, çapının uzunluğunun yarısına eşittir. Bir daire üzerinde bulunan bir çift farklı nokta, onu iki yaya böler. Bu noktalarda uçları olan bir parça merkez noktadan geçerse (dolayısıyla çap olur), o zaman oluşan yaylar yarım daire olacaktır.
Çevre
Bir dairenin çevresinin hesaplanması çeşitli şekillerde belirlenir: çap veya yarıçap aracılığıyla. Uygulamada, bir dairenin çevresinin (l) çapına (d) bölündüğünde her zaman bir sayı verdiği keşfedildi. Bu, 3.141692666'ya eşit olan π sayısıdır... Hesaplama şu formül kullanılarak yapılır: π= l/ d. Bunu dönüştürerek çevreyi elde ederiz. Formül şu şekildedir: l=πd.
Kullandığımız yarıçapı bulmak için aşağıdaki formül: d=2r. Bu, bölünme sayesinde mümkün oldu. Sonuçta yarıçap çapın yarısı kadardır. Yukarıdaki değerleri aldıktan sonra aşağıdaki formülü kullanarak çevrenin neye eşit olduğunu hesaplayabilirsiniz. aşağıdaki tür: l=2πr.
Temel özellikler
Bir dairenin alanı, diğer kapalı eğrilerin alanlarıyla karşılaştırıldığında her zaman daha büyüktür. Teğet, çembere yalnızca bir noktada değen bir çizgidir. Bir doğru onu iki noktada kesiyorsa bu bir sekanttır. 2 farklı dairenin birbirine değdiği nokta her zaman merkez noktalarından geçen bir doğru üzerindedir. Bir düzlem üzerinde kesişen çemberler 2 olan çemberlerdir ortak noktalar. Aralarındaki açı, teğetlerin temas noktalarına oluşturduğu açı olarak hesaplanır.
Bir daire üzerinde nokta olmayan bir noktadan ona kesen iki düz çizgi çizilirse, bunların oluşturduğu açı, yayların uzunlukları arasındaki farkın yarıya eşit olacaktır. Bu kural tam tersi durumda da geçerlidir: hakkında konuşuyoruz yaklaşık iki akor. Kesişen iki akor bir açı oluşturur toplamına eşit yay uzunlukları yarı yarıya azaltıldı. Böyle bir durumdaki yaylar şu şekilde seçilir: verilen köşe ve karşı köşe. Optik özellik daire şunu söylüyor: dairenin çevresine yerleştirilen aynalardan yansıyan ışık ışınları tekrar merkeze toplanıyor. İÇİNDE bu durumdaışık kaynağı dairenin merkez noktasına kurulmalıdır.
\[(\Large(\text(Merkez ve yazılı açılar))))\]
Tanımlar
Merkezi açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.
Yazılı açı, tepe noktası daire üzerinde bulunan açıdır.
Bir daire yayının derece ölçüsü derece ölçüsüdür merkez açı bu da ona dayanıyor.
Teorem
Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: İlk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin çap içermesi durumu için ifadenin geçerliliğini ispatlayacağız. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:
\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştır, o halde \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), Neresi \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Şimdi keyfi bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Dairenin çapını \(BD\) yazılı açının tepe noktasından çizelim. İki olası durum vardır:
1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) ikidir ve dolayısıyla dayandıkları yayların toplamının yarısına eşittir, yani yarıya eşit dayandığı yay). Pirinç. 1.
2) çap, açıyı iki açıya bölmediyse, kenarları çapı içeren iki yeni yazılı açımız daha var \(\angle ABD, \angle CBD\), bu nedenle teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (ki bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların yarı farkına eşittir, yani yaslandığı yayın yarısına eşittir) . Pirinç. 2.
Sonuçlar
1. Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.
2. Yarım dairenin çevrelediği yazılı açı dik açıdır.
3. Yazılı açı, aynı yayın gördüğü merkez açının yarısına eşittir.
\[(\Large(\text(Çembere teğet))))\]
Tanımlar
Üç tip var göreceli konum düz çizgi ve daire:
1) \(a\) düz çizgisi daireyi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant çizgisi denir. Bu durumda dairenin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık \(d\), dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).
2) \(b\) düz çizgisi daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir doğruya teğet denir ve bunların ortak noktası \(B\)'ye teğet noktası denir. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).
Teorem
1. Bir daireye çizilen teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.
2. Bir doğru bir dairenin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dikse, o zaman daireye teğettir.
Sonuçlar
Bir noktadan çembere çizilen teğet doğru parçaları eşittir.
Kanıt
\(K\) noktasından çembere iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizelim:
Bu, \(OA\perp KA, OB\perp KB\)'nin yarıçaplara benzediği anlamına gelir. Sağ Üçgenler\(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) kenar ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .
Sonuçlar
\(O\) dairesinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının ortaortasında yer alır.
\[(\Large(\text(Açılarla ilgili Teoremler))))\]
Sekantlar arasındaki açıya ilişkin teorem
Aynı noktadan çizilen iki kesant arasındaki açı, kestikleri büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.
Kanıt
Şekilde gösterildiği gibi iki kesanın çizildiği nokta \(M\) olsun:
Hadi bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\açı DAB\) – dış köşeüçgen \(MAD\) , sonra \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Neresi \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılıdır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\) Kanıtlanması gereken şey buydu.
Kesişen akorlar arasındaki açı ile ilgili teorem
Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Kanıt
\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.
\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ancak \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) bundan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzerine(CD)).\]
Akor ve teğet arasındaki açıya ilişkin teorem
Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kirişin gördüğü yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
\(a\) düz çizgisinin \(A\) noktasında daireye değmesine izin verin, \(AB\) bu dairenin kirişi, \(O\) onun merkezidir. \(OB\)'yi içeren doğrunun \(a\)'yı \(M\) noktasında kesmesine izin verin. Hadi bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\angle OAB = \alpha\) olarak gösterelim. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA\) teğet noktaya çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\), yani \(\angle OAM = 90^\circ\), dolayısıyla, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Eşit akorlarla çevrelenen yaylar üzerine teorem
Eşit akorlar eşit yaylar, daha küçük yarım daireler.
Ve bunun tersi de geçerlidir: eşit yaylar, eşit akorlarla desteklenir.
Kanıt
1) \(AB=CD\) olsun. Yayın yarım dairelerinin daha küçük olduğunu kanıtlayalım.
Bu nedenle üç tarafta \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama çünkü \(\angle AOB, \angle COD\) - yaylar tarafından desteklenen merkezi açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) buna göre, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki tarafta \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle ve \(AB=CD\) .
Teorem
Yarıçap akoru ikiye bölüyorsa, o zaman ona diktir.
Bunun tersi de doğrudur: eğer yarıçap akora dikse, o zaman kesişme noktasında onu ikiye böler.
Kanıt
1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.
\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – dairenin yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen ortancadır, bu durumda aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .
2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.
Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Doğru parçaların uzunluklarıyla ilgili teoremler))))\]
Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem
Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.
Kanıt
\(AB\) ve \(CD\) akorlarının \(E\) noktasında kesişmesine izin verin.
\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yay üzerinde \(BD\) dururlar ve \(3\) ve \(4\) açıları eşittir dikey olarak. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre).
Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), buradan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teğet ve sekant teoremi
Teğet segmentin karesi ürüne eşit dış kısmına sekant.
Kanıt
Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve daireye \(A\) noktasında değsin. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmesine izin verin, böylece \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) ortaktır, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ile bir sekant arasındaki açı hakkındaki teoreme göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Dolayısıyla \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), \(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.
Sonuçlar
\(O\) noktasından dış kısmı tarafından çizilen bir kesenin çarpımı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.
“Ben de bu çevreye aşık oldum ve ona yerleştim.”
Bilgi ve eğitim projesi.
Konu: daire
Proje hedefi: Özellikleri, türleri incelemek farklı çevreler ve bunlarla ilgili teoremler.
Çalışmama A.V. Pogorelov'un "Geometri 7-9" ders kitabını ve ötesindeki materyalleri kullanarak bir okul geometri dersinde dairenin özelliklerini inceleyerek başladım. okul kursu. Bilgi toplarken çeşitli kaynaklar ve proje üzerinde çalışırken bilgilerimi genişlettim ve bu konuyu incelemeye ve bilgileri sınıf arkadaşlarımla ve ilgilenen herkesle paylaşmaya devam edeceğim.
Daire - yer düzlemin, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıkta ve yarıçap adı verilen sıfırdan farklı bir mesafedeki noktaları. kısır döngü iç alanı olmayan. 
Diğer tanımlar
AB çapında bir daire, A, B noktalarından ve AB segmentinin dik açılarla görülebildiği düzlemin tüm noktalarından oluşan bir şekildir.
Daire, düzlemin tüm noktalarından oluşan ve her biri için mesafelerin verilen iki noktaya oranı eşit olan bir şekildir. verilen numara, birlikten farklıdır. (bkz. Apollonius'un Çemberi)
Ayrıca, her biri için belirli iki noktaya olan uzaklıkların karelerinin toplamının eşit olduğu tüm bu noktalardan oluşan bir şekil verilen değer, yarıdan fazlası Bu noktalar arasındaki mesafenin karesi.
Yarıçap- sadece mesafe değil, aynı zamanda dairenin merkezini noktalarından birine bağlayan bir bölüm.
Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına denir akor. Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap.
Çember denir Bekar yarıçapı ise bire eşit. Birim çember trigonometrinin ana nesnelerinden biridir.
Bir daire üzerindeki herhangi iki farklı nokta onu iki parçaya böler. Bu parçaların her birine denir bir dairenin yayı. Ark denir yarım daire uçlarını birleştiren segment bir çap ise.
Ptolemy'nin teoremi.
Claudius Ptolemy MS birinci yüzyılın sonu - ikinci yüzyılın başında yaşayan, eski bir Yunan gökbilimci, matematikçi, astrolog, coğrafyacı, gözlükçü ve müzik teorisyeniydi. Öklid yorumcusu olarak tanınır. Ptolemy ünlü Beşinci Postüla'yı kanıtlamaya çalıştı. Ptolemy'nin ana eseri astronomi hakkında bilgi sunduğu "Almagest"tir. Almagest'i ve yıldızlı gökyüzünün bir kataloğunu içeriyordu.
Ptolemy'nin teoremi. Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak ve ancak köşegenlerinin çarpımının çarpımlarının toplamına eşit olması durumunda tanımlanabilir. zıt taraflar.
Gereklilik Kanıtı. Bir dairenin içine bir dörtgen yazıldığına göre, o zaman
Kosinüs teoremini kullanarak üçgenden şunu buluruz:
Benzer şekilde bir üçgenden:
Bu kosinüslerin toplamı sıfırdır:
Buradan şunu ifade ediyoruz:
Üçgenlere bakalım ve bulalım:
Q.E.D.
Bu arada bir ifadeyi daha kanıtladık. Bir daire içine yazılan bir dörtgen için,
Yeterlilik kanıtı. Eşitlik geçerli olsun
Bir dairenin bir dörtgen etrafında çevrelenebileceğini kanıtlayalım.
Etrafında tanımlanan dairenin yarıçapını gösterelim. Bir noktadan doğrulara dik noktalar bırakıyoruz ve ve bu doğruların ve onlara dik olanların kesişme noktalarını sırasıyla ve ile gösteriyoruz. Bir üçgen için Sins teoremini kullanarak şunu elde ederiz (bu üçgen için çevrelenen dairenin çapı eşittir):
Bir üçgen için sinüs kanununa göre elimizdeki
Buradan,
Aynı şekilde üçgenleri dikkate alarak ilişkileri elde ederiz.
Dolayısıyla, bu ifadeleri orijinal eşitlikte yerine koyarsak,
buradan noktaların aynı düz çizgi üzerinde olduğu sonucu çıkar.
Şimdi bundan, bir dörtgenin etrafında bir dairenin tanımlanabileceği sonucunun çıktığını kanıtlayalım ( yeterli koşul Simson teoremi).
Parçalar üzerinde ve çaplarda olduğu gibi daireler oluşturalım. Bunlardan ilki noktalardan ve (açılardan ve düz çizgiler) ve ikincisi ise noktalardan ve ( 
). Açılar ve dikey açılara eşittir, yani , ve dolayısıyla . Buradan dörtgenin etrafına bir daire çizilebilir.
Euler'in formülü Adını onu tanıtan ve karmaşık üssü trigonometrik fonksiyonlarla ilişkilendiren Leonhard Euler'den almıştır. 
Euler formülü şunu belirtir: herhangi bir gerçek sayı için X aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
Nerede e- temel doğal logaritma,
Ben- hayali birim.
Uzunluğu yarıçapa eşit olan bir daire yayının oluşturduğu açı şu şekilde alınır: 1 radyan
Birim yarım dairenin uzunluğu π ile gösterilir.
Düzlemdeki belirli bir noktaya olan uzaklığı sıfırdan farklı bir mesafeden büyük olmayan noktaların geometrik yeri denir. her yerde .
Bir çemberle tam olarak bir ortak noktası olan doğruya ne denir teğet bir çembere bağlanır ve bunların ortak noktasına doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.
İki noktadan geçen düz bir çizgi çeşitli noktalar bir daire üzerinde denir sekant
.
Merkezi açı - Tepe noktası çemberin merkezinde olan bir açı. Merkez açı, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.
Bu durumda AOB açısı merkezidir. 
Yazılı açı
- Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları bu daireyle kesişen açı. Yazılı açı, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir. Bu durumda ABC açısı yazılıdır. 
İki daireye sahip ortak merkez, denir eşmerkezli
.
Yarıçapları dik açıyla kesişen iki çembere denir
ortogonal.
Çevre: C = 2∙π∙R = π∙D
Daire yarıçapı: R = C/(2∙π) = D/2
Daire çapı: D = C/π = 2∙R
İki daire denklemlerle verilir:
eşmerkezlidir (yani ortak bir merkeze sahiptirler) ancak ve ancak A1 = A2 ve B1 = B2 ise.
İki daire diktir (yani dik açılarda kesişir), ancak ve ancak koşul sağlanırsa
Yazılı daire
Bir daire, açının içinde yer alıyorsa ve kenarlarına değiyorsa, açıyla yazılmış olarak adlandırılır. Bir açıyla çizilen dairenin merkezi, o açının ortaortasında yer alır.
Bir dairenin yazılı olduğu söyleniyor dışbükey çokgen eğer içeride yatıyorsa verilen çokgen ve içinden geçen tüm düz çizgilere dokunuyor taraflar.
Bir üçgende
Yazılı dairenin özellikleri:
T'nin ortaortayları T'nin dik ortaortaylarıdır 1
T olsun 2 - dik üçgen T 1 . Daha sonra kenarları orijinal T üçgeninin kenarlarına paraleldir.
T olsun 3 - orta üçgen T 1 . O zaman T'nin açıortayları T'nin yükseklikleridir. 3 .
Her üçgen bir daireye sığabilir ve yalnızca bir tanesi.
O noktasından AB kenarına paralel geçen bir doğru BC ve CA kenarlarını A noktalarında kesiyorsa 1 ve B 1 , O A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Bir T üçgeninin içine yazılan bir dairenin teğet noktaları bölümlerle bağlanır - bir T üçgeni elde edilir 1
İç çemberin merkezi O'ya iç merkez denir; tüm kenarlardan eşit uzaklıktadır ve üçgenin açıortaylarının kesişme noktasıdır.
Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı eşittir
Bir çokgende
Belirli bir dışbükey çokgene bir daire yazılabilirse, bu çokgenin tüm açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.
Bir çokgenin içine yazılmış bir dairenin yarıçapı orana eşit alanı yarı çevre
Sınırlandırılmış daire.
Dairesel daire
- bir çokgenin tüm köşelerini içeren bir daire. Merkez bir noktadır (genellikle
O
) çokgenin kenarlarına dik açıortayların kesişimi.
Özellikler
Çevre merkezi dışbükey n-gon kenarlarına dik açıortayların kesişme noktasında yer alır. Sonuç olarak: eğer bir daire bir n-gon'un yanında çevrelenmişse, o zaman onun kenarlarına dik olan tüm açıortaylar bir noktada (dairenin merkezi) kesişir.
Herkesin etrafında düzenli çokgen Bir daireyi tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tanesini.
Bir üçgen için
:
Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Merkezi kesişme noktası olacak dik açıortaylar.
sen dar üçgenÇevrel çemberin merkezi üçgenin içinde, geniş açılı üçgende üçgenin dışında, dikdörtgen çemberde ise hipotenüsün ortasında yer alır.
Medial üçgenlerin etrafında çevrelenen 4 daireden 3'ü (oluşturulmuş üçgenin orta çizgileri) üçgenin içinde bir noktada kesişir. Bu nokta ana üçgenin çevrel merkezidir.
Üçgenin çevrelediği dairenin merkezi şu görevi görür: ortomerkez Verilen üçgenin kenarlarının orta noktalarında köşeleri olan üçgen.
Üçgenin köşe noktasından uzaklığı ortomerkez merkeze olan mesafenin iki katı çevrel çember karşı tarafa.
Yarıçap
Çevrel dairenin yarıçapı formüller kullanılarak bulunabilir.
Nerede:
A , B , C - üçgenin kenarları,
α - tarafın karşısındaki açı A ,
S - üçgenin alanı.
Çevrel daire merkezinin konumu
Üçgenin köşelerinin yarıçap vektörleri, çevrelenen dairenin merkezinin yarıçap vektörü olsun. Daha sonra
Nerede
Sünnet denklemi
Bazı noktalarda üçgenin köşelerinin koordinatları olsun Kartezyen sistem düzlemdeki koordinatlar, 
- çevrelenen dairenin merkezinin koordinatları. Daha sonra
ve çevrel çemberin denklemi şu şekildedir
Çemberin içinde yer alan noktalar için determinant negatif, dışındaki noktalar için ise pozitiftir.
Euler formülü: Eğer D - yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri arasındaki mesafe ve yarıçapları eşittir R Ve R buna göre, o zaman D 2 = R 2 − 2 RR .
Bir dörtgen için.
Yazılı basit (kendisiyle kesişmeyen) bir dörtgen zorunlu olarak dışbükeydir.
Bir dışbükey dörtgenin etrafında bir daire ancak ve ancak iç kısımlarının toplamı ile tanımlanabilir. zıt köşeler 180°'ye (π radyan) eşittir.
Etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz:
herhangi bir dikdörtgen ( özel durum kare)
herhangi bir ikizkenar yamuk
Bir daire içine yazılan bir dörtgen için köşegenlerin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenar çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir:
|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Apollonius'un Çemberi - Düzlemdeki noktaların geometrik yeri, belirli iki noktaya olan uzaklıkların oranı birliğe eşit olmayan sabit bir değerdir.
İki kutuplu koordinatlar - ortogonal sistem Apollonius çemberlerine dayalı bir düzlemdeki koordinatlar.
Düzlemde iki nokta verilsin A Ve B . Tüm noktaları göz önünde bulunduralım P bu düzlemin her biri için
,
Nerede
k
- sabit pozitif sayı. Şu tarihte:
k
= 1 bu noktalar segmente dik medyanı doldurur
AB
; diğer durumlarda belirtilen geometrik konum, adı verilen bir dairedir.
Apollonius çemberi
.
Apollonius'un çevreleri. Her mavi daire, her kırmızı daireyi dik açıyla kesiyor. Her kırmızı daire iki noktadan (C ve D) geçer ve her mavi daire bu noktalardan yalnızca birini çevreler
Apollonius'un dairelerinin yarıçapı
:
Birim çember yarıçapı 1 ve orijinde merkezi olan bir dairedir. Birim çember kavramı kolaylıkla n boyutlu uzaya genelleştirilebilir ( N 2). Bu durumda “birim küre” terimi kullanılır.
Çember üzerindeki tüm noktalar için Pisagor teoremine katılmak geçerlidir: X 2 + sen 2 = 1.
“Daire” ve “daire” terimlerini karıştırmayın!
Daire Açık verilen mesafe belirli bir noktadan, bir düzlemde - bir eğri.
Daire - Bulunan noktaların geometrik yeri bir daireden başka bir şey değil , bir düzlemde - bir figür.
Ayrıca trigonometri gibi cebirin bir bölümü birim çembere atfedilebilir.
Trigonometri.
Sinüs ve kosinüs tanımlanabilir aşağıdaki gibi: herhangi bir noktayı bağlamak (
X
,
sen
) orijini (0,0) olan birim çember üzerinde, apsisin pozitif yarı eksenine göre α açısında bulunan bir parça elde ederiz. O zaman gerçekten:
çünkü α = X
günah α = sen
Bu değerleri yukarıdaki denklemde yerine koyarsak X 2 + sen 2 = 1, şunu elde ederiz:
çünkü 2 α + günah 2 a = 1
Yaygın yazım kurallarına dikkat edin çünkü 2 X = (çünkü X ) 2 .
Sıklık da burada açıkça açıklanmıştır. trigonometrik fonksiyonlar, segmentin açısı " sayısına bağlı olmadığından tam devrimler»:
günah( X + 2 π k ) = günah( X )
çünkü( X + 2 π k ) = çünkü( X )
tüm tamsayılar için k başka bir deyişle, k ait Z .
Karmaşık düzlem.
Karmaşık düzlemde birim çember seti anlatıyor:
Birçok G çarpımsal bir grubun koşullarını karşılar (nötr bir elemanla) e Ben 0 = 1).
Sekant teoremi - planimetri teoremi. Aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:
Çemberin dışında kalan bir noktadan iki kesen çizilirse, o zaman bir kesenin ve onun dış kısmının çarpımı, diğer kesenin ve onun dış kısmının çarpımına eşittir.
Bu ifadeyi harf diline çevirirsek (sağdaki şekle göre) şunu elde ederiz:
Sekant teoreminin özel bir durumu Teğet ve sekant teoremi:
Bir daireye bir noktadan bir teğet ve bir kesen çizilirse, o zaman kesenin tamamının ve dış kısmının çarpımı teğetin karesine eşittir.
Kullanılan internet kaynakları:
www.wikipedia.org
Ve ayrıca literatür: Geometri 7-11. Sınıflar Tablolardaki problemlerin tanımları, özellikleri, çözüm yöntemleri E.P.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Tarafımızca toplandı kişisel bilgiler sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak hükümet organları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Öncelikle daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bunlar düzlem üzerinde tek bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. merkez noktası. Ancak daire aynı zamanda iç uzaydan oluşuyorsa daireye ait değildir. Bir dairenin hem onu sınırlayan bir daire (daire(r)) hem de dairenin içinde bulunan sayısız sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.
Çember üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği uygulanır. (OL segmentinin uzunluğu dairenin yarıçapına eşittir).
Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? akor.
Çemberin merkezinden doğrudan geçen akor çap bu daire (D). Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R
Çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R
Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)
Bir dairenin yayı iki noktası arasında kalan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yayı destekler: CMD ve CLD. Aynı akorlar eşit yaylara karşılık gelir.
Merkezi açıİki yarıçap arasında kalan açıya denir.
Yay uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
- Kullanma derece ölçüsü: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Radyan ölçüsünü kullanma: CD = \alpha R
Akora dik olan çap, akoru ve onun daralttığı yayları ikiye böler.
Çemberin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişiyorsa, N noktasıyla ayrılan kiriş parçalarının çarpımları birbirine eşittir.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Bir daireye teğet
Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.
Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.
Yarıçapı teğet noktasına çizerseniz, daireye teğete dik olacaktır.
Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğet bölümlerin birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktasıyla açının ortaortasında yer alacağı ortaya çıktı.
AC = CB
Şimdi çembere bulunduğumuz noktadan bir teğet ve bir sekant çizelim. Teğet bölümünün uzunluğunun karesinin, tüm sekant bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşit olacağını elde ederiz.
AC^(2) = CD \cdot BC
Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının ürünü, ikinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşittir.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Bir daire içindeki açılar
Merkez açının ve dayandığı yayın derece ölçüleri eşittir.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Yazılı açı köşesi daire üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıdır.
Bu yayın yarısına eşit olduğundan yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Çapa, yazılı açıya, dik açıya göre.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Aynı yayı gören yazılı açılar aynıdır.
Bir kirişe dayanan yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Aynı daire üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.
Tepe noktası bir daire içinde olan ve iki kiriş arasında bulunan açı, toplamın yarısına eşittir açısal değerler Belirli bir dikey açı içinde yer alan bir dairenin yayları.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Tepe noktası dairenin dışında olan ve iki kesen arasında bulunan bir açı, açının içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerindeki farkın yarısı kadardır.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Yazılı daire
Yazılı daire bir çokgenin kenarlarına teğet olan bir dairedir.
Bir çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.
Her çokgene bir daire yazılamaz.
Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:
S = pr,
p çokgenin yarı çevresidir,
r yazılı dairenin yarıçapıdır.
Yazılı dairenin yarıçapının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:
r = \frac(S)(p)
Daire içine yazılırsa karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı aynı olacaktır. dışbükey dörtgen. Ve bunun tersi de geçerlidir: Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa, bir daire dışbükey bir dörtgen içine sığar.
AB + DC = AD + BC
Üçgenlerden herhangi birine daire çizmek mümkündür. Yalnızca tek bir tane. Açıortayların kesiştiği noktada iç köşelerŞekilde bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.
Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:
r = \frac(S)(p) ,
burada p = \frac(a + b + c)(2)
Dairesel daire
Bir daire bir çokgenin her köşesinden geçiyorsa, o zaman böyle bir daireye genellikle denir bir çokgen hakkında anlatılan.
Bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında çevrel çemberin merkezi olacaktır.
Yarıçap, çokgenin herhangi 3 köşesi tarafından tanımlanan üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.
Yemek yemek sonraki koşul: Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak karşıt açılarının toplamı 180^( \circ)'e eşitse tanımlanabilir.
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.
Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır,
S üçgenin alanıdır.
Ptolemy'nin teoremi
Son olarak Ptolemy'nin teoremini düşünün.
Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının, döngüsel bir dörtgenin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)