Teorem. Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Kanıt. ABC üçgenini (Şekil 259) ve B açısının açıortayını düşünün. C tepe noktasından, BC açıortayına paralel, AB tarafının devamı ile M noktasında kesişene kadar düz bir CM çizgisi çizin. BK ABC açısının açıortayı olduğuna göre . Ayrıca paralel çizgiler için karşılık gelen açılar ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak. Dolayısıyla ve bu nedenle - ikizkenar, nereden . Bir açının kenarlarıyla kesişen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre, elde ederiz ve elde ederiz ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı (Şekil 260) benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri, orantılıdır. üçgenin kenarları:

Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: Şekil 2'de. Şekil 260'da BL açıortayına paralel bir yardımcı düz çizgi SM çizilmiştir. Okuyucunun kendisi, VMS ve VSM açılarının ve dolayısıyla VMS üçgeninin VM ve BC kenarlarının eşitliğine ikna olacak ve ardından gerekli oran hemen elde edilecektir.

Bir dış açının açıortayının karşı tarafı da bitişik kenarlarla orantılı parçalara böldüğünü söyleyebiliriz; segmentin "dış bölünmesine" izin vermeyi kabul etmeniz yeterlidir.

AC doğru parçasının (devamında) dışında yer alan L noktası, onu dışsal olarak aşağıdaki ilişkiye göre böler: Böylece, bir üçgenin açısının ortaortayları (iç ve dış), karşı tarafı (iç ve dış) orantılı parçalara böler. bitişik taraflar.

Problem 1. Yamuğun kenarları 12 ve 15'e, tabanları ise 24 ve 16'ya eşittir. Oluşan üçgenin kenarlarını bulun büyük taban yamuk ve uzatılmış kenarları.

Çözüm. Şekil 2'deki notasyonda. 261'de, yan tarafın devamı niteliğindeki doğru parçası için bir orantımız var, buradan da kolaylıkla bulabiliriz. Benzer şekilde, üçgenin ikinci kenarını da büyük tabana denk gelecek şekilde belirliyoruz.

Problem 2. Yamuğun tabanları 6 ve 15'tir. Tabanlara paralel ve bölen doğru parçasının uzunluğu nedir taraflar küçük tabanın köşelerinden sayarak 1:2 oranında mı?

Çözüm. Şekil 2'ye bakalım. 262, bir yamuğu tasvir ediyor. Küçük tabanın C köşesinden AB kenarına paralel bir çizgi çizerek paralelkenarı yamuktan kesiyoruz. O zamandan beri buradan buluyoruz. Bu nedenle, bilinmeyen KL doğru parçasının tamamı eşittir. Bu sorunu çözmek için yamuğun yan kenarlarını bilmemize gerek olmadığını unutmayın.

Problem 3. ABC üçgeninin B iç açısının açıortayı AC kenarını A ve C köşelerinden ne kadar uzakta parçalara ayırıyor? B dış açısının açıortayı AC uzantısıyla kesişecek mi?

Çözüm. B açısının açıortaylarının her biri AC'yi aynı oranda böler, ancak biri içten, diğeri dıştan. AC devamı ile B dış açısının açıortayının kesişme noktasını L ile gösterelim. AK'den beri Bilinmeyen AL uzaklığını gösterelim ve o zaman bir orantı elde etmiş oluruz. Bunun çözümü bize gerekli uzaklığı verir.

Çizimi kendiniz tamamlayın.

Egzersizler

1. Tabanları 8 ve 18 olan bir yamuk düz çizgilerle bölünmüştür, tabanlara paralel, eşit genişlikte altı şerit halinde. Yamuğu şeritlere bölen düz parçaların uzunluklarını bulun.

2. Üçgenin çevresi 32'dir. A açısının açıortayı BC kenarını 5 ve 3'e eşit parçalara böler. Üçgenin kenar uzunluklarını bulun.

3. Baz ikizkenar üçgen a'ya eşit, b tarafı. Tabanın köşelerinin açıortaylarının kenarlarla kesişme noktalarını birleştiren parçanın uzunluğunu bulun.

Talimatlar

Eğer verilen üçgen ikizkenar veya düzenli, yani
özelliğine göre iki veya üç kenarı, ardından açıortayı üçgen, aynı zamanda medyan olacaktır. Ve bu nedenle, tersi açıortay tarafından ikiye bölünecektir.

Cetvelle karşı tarafı ölçün üçgen, açıortayın yöneleceği yer. Bu tarafı ikiye bölüp ortasına bir nokta koyun.

Oluşturulan noktadan ve karşı köşeden geçen düz bir çizgi çizin. Bu açıortay olacak üçgen.

Kaynaklar:

• Bir üçgenin kenarortayları, açıortayları ve yükseklikleri

Bir açıyı ikiye bölerek, üst kısmından karşı tarafa çizilen çizginin uzunluğunu hesaplamak, kesicilerin, haritacıların, montajcıların ve diğer mesleklerden kişilerin yapması gereken bir iştir.

İhtiyacın olacak

• Araçlar Kalem Cetvel İletki Sinüs ve Kosinüs Tabloları Matematiksel formüller ve kavramlar: Açıortayın tanımı Sinüs ve kosinüs teoremleri Açıortay teoremi

Talimatlar

Size verilene bağlı olarak gerekli büyüklükte bir üçgen mi oluşturuyorsunuz? dfe kenarları ve aralarındaki açı, üç kenar veya iki açı ve bunların arasında bulunan kenar.

Köşelerin ve kenarların köşelerini geleneksel Latin harfleri A, B ve C ile etiketleyin. Köşelerin köşeleri ile gösterilir ve karşı taraflar küçük harflerle gösterilir. Köşeleri etiketleyin Yunan harfleri?,? Ve?

Sinüs ve kosinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları hesaplayın üçgen.

Bisektörleri hatırlayın. Açıortay - bir açıyı ikiye bölmek. Açıortay üçgen Zıt tarafı, bitişik iki kenarın oranına eşit iki parçaya böler üçgen.

Açıların açıortaylarını çizin. Ortaya çıkan parçaları yazılı açıların adlarıyla etiketleyin küçük harfler, alt simge l ile. c tarafı l endeksli a ve b segmentlerine bölünmüştür.

Sinüs yasasını kullanarak elde edilen parçaların uzunluklarını hesaplayın.

Konuyla ilgili video

lütfen aklınızda bulundurun

Orijinal üçgenin kenarlarından biri, açıortay ve parçanın kendisi tarafından oluşturulan üçgenin aynı anda kenarı olan parçanın uzunluğu sinüs kanunu kullanılarak hesaplanır. Aynı kenarın başka bir parçasının uzunluğunu hesaplamak için, elde edilen parçaların orijinal üçgenin bitişik kenarlarına oranını kullanın.

Faydalı tavsiyeler

Karışıklığı önlemek için açıortayları çizin farklı açılar farklı renkler.

Açıortay açı tepe noktasından başlayan ışına denir açı ve onu iki eşit parçaya bölüyoruz. Onlar. harcamak açıortay ortasını bulman lazım açı. Bunu yapmanın en kolay yolu pusula kullanmaktır. Bu durumda herhangi bir hesaplama yapmanıza gerek kalmaz ve sonuç, miktarın olup olmamasına bağlı olmayacaktır. açı bir tamsayı.

İhtiyacın olacak

• pusula, kalem, cetvel.

Talimatlar

Pusula açıklığının genişliğini aynı bırakarak iğneyi kenarlardan birindeki parçanın ucuna yerleştirin ve dairenin bir kısmını içeriye girecek şekilde çizin açı. Aynısını ikinciyle de yapın. İçinde kesişecek iki daire parçası elde edeceksiniz açı- yaklaşık olarak ortada. Çemberlerin parçaları bir veya iki noktada kesişebilir.

Konuyla ilgili video

Faydalı tavsiyeler

Bir açının açıortayını oluşturmak için iletki kullanabilirsiniz ancak bu yöntem için daha fazla doğruluk. Ayrıca açı değeri tam sayı değilse açıortay yapımında hata olasılığı artar.

Ev tasarımı projeleri inşa ederken veya geliştirirken genellikle köşe, halihazırda mevcut olana eşittir. Şablonlar kurtarmaya geliyor okul bilgisi geometri.

Talimatlar

Bir noktadan çıkan iki doğrunun oluşturduğu açıya açı denir. Bu noktaya açının tepe noktası adı verilecek ve çizgiler açının kenarları olacaktır.

Köşeleri belirtmek için üç tane kullanın: biri üstte, ikisi yanlarda. İsminde köşe, bir tarafta duran harften başlayarak, sonra üstte duran harfe, ardından diğer tarafta duran harfe denir. Aksini tercih ederseniz, açıları belirtmek için başkalarını kullanın. Bazen üstte olan yalnızca bir harf adlandırılır. Ve açıları Yunan harfleriyle, örneğin α, β, γ ile belirtebilirsiniz.

Gerekli olduğu durumlar vardır köşe verilen köşeden daha dar olacak şekilde. İnşaat sırasında iletki kullanmak mümkün değilse, yalnızca cetvel ve pusula ile idare edebilirsiniz. Diyelim ki, MN harfleriyle işaretlenmiş düz bir çizgi üzerinde inşa etmeniz gerekiyor köşe K noktasında, B açısına eşit olacak şekilde. Yani, K noktasından MN çizgisine sahip düz bir çizgi çizmek gerekir. köşe, B açısına eşit olacaktır.

Her iki tarafta bir nokta işaretleyerek başlayın. verilen açıörneğin A ve C noktalarını, ardından C ve A noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin. Tre'yi al köşe nik ABC.

Şimdi aynı treyi MN düz çizgisi üzerinde inşa edin köşe böylece B köşesi K noktasındaki doğru üzerinde olacaktır. Üçgen oluşturma kuralını kullanın köşe nnik üçte. KL doğru parçasını K noktasından ayırın. BC segmentine eşit olmalıdır. L noktasını alın.

K noktasından yarıçapı BA doğru parçasına eşit olan bir daire çizin. L'den CA yarıçaplı bir daire çizin. İki dairenin kesişme noktasını (P) K ile birleştirin. Üç tane alın köşeÜçe eşit olacak KPL köşe ABC'nin kitabı. Bu şekilde elde edilir köşe K. B açısına eşit olacaktır. Bunu daha rahat ve hızlı hale getirmek için B tepe noktasından bir kenara koyun. eşit segmentler Pusulanın bir açıklığını kullanarak, bacakları hareket ettirmeden, K noktasından itibaren aynı yarıçapa sahip bir daire çizin.

Konuyla ilgili video

İpucu 5: İki kenarı ve kenarortayını kullanarak bir üçgen nasıl oluşturulur?

Üçgen en basitidir geometrik şekil bu çokgenin kenarlarını oluşturan bölümlerle çiftler halinde bağlanan üç köşeye sahip. Köşeyi karşı kenarın ortasına bağlayan parçaya ortanca denir. İki kenarın uzunluğunu ve köşelerden birine bağlanan kenarortayı bilerek, üçüncü kenarın uzunluğu veya açıların boyutu hakkında bilgi sahibi olmadan bir üçgen oluşturabilirsiniz.

Talimatlar

A noktasından, uzunluğu üçgenin (a) bilinen kenarlarından biri olan bir doğru parçası çizin. Bu parçanın bitiş noktasını B harfiyle işaretleyin. Bundan sonra, istenilen üçgenin kenarlarından birinin (AB) zaten oluşturulmuş olduğu düşünülebilir.

Bir pusula kullanarak, yarıçapı kenarortay uzunluğunun iki katına (2∗m) eşit ve merkezi A noktasında olan bir daire çizin.

Pusula kullanarak yarıçapı olan ikinci bir daire çizin uzunluğa eşit bilinen taraf(b) ve merkezi B noktasında. Pusulayı bir süreliğine bir kenara koyun, ancak ölçülen olanı üzerinde bırakın - biraz sonra tekrar ihtiyacınız olacak.

A noktasını çizdiğiniz ikisinin kesişim noktasına bağlayan bir doğru parçası oluşturun. Bu parçanın yarısı, oluşturduğunuz parça olacaktır - bu yarıyı ölçün ve M noktasını koyun. Şu anda istediğiniz üçgenin (AB) bir kenarına ve onun kenarortayına (AM) sahipsiniz.

Bir pusula kullanarak, yarıçapı bilinen ikinci kenarın (b) uzunluğuna eşit ve merkezi A noktasında olan bir daire çizin.

B noktasından başlayıp M noktasından geçmesi ve önceki adımda çizdiğiniz daireyle düz çizginin kesiştiği noktada bitmesi gereken bir doğru parçası çizin. Kesişme noktasını C harfi ile belirtiniz. Artık problemin koşullarına göre bilinmeyen BC tarafı istenilen tarafta inşa edilmiştir.

Herhangi bir açıyı açıortay ile bölme yeteneği sadece matematikte “A” almak için gerekli değildir. Bu bilgi inşaatçılar, tasarımcılar, haritacılar ve terziler için çok faydalı olacaktır. Hayatta birçok şeyi ikiye bölebilmeniz gerekir.

Okuldaki herkes köşelerden koşan ve köşeyi ikiye bölen bir fareyle ilgili bir fıkra öğrenmişti. Bu çevik ve zeki kemirgenin adı Bisector'du. Farenin köşeyi nasıl böldüğü bilinmiyor ve matematikçiler okul ders kitabı"Geometri" için aşağıdaki yöntemler önerilebilir.

İletki kullanma

Bisektörü çalıştırmanın en kolay yolu bir cihaz kullanmaktır. İletkiyi açının bir tarafına, referans noktasını O ucuyla hizalayarak takmanız gerekir. Ardından açıyı derece veya radyan cinsinden ölçün ve ikiye bölün. Aynı iletkiyi kullanarak elde edilen dereceleri kenarlardan birinden ayırın ve O açısının başlangıç ​​noktasına açıortay olacak düz bir çizgi çizin.

Pusula kullanma

Bir pusula almanız ve onu herhangi bir boyuta (çizimin sınırları dahilinde) taşımanız gerekir. Ucu O açısının başlangıç ​​noktasına yerleştirdikten sonra, üzerlerinde iki nokta işaretleyerek ışınları kesen bir yay çizin. A1 ve A2 olarak adlandırılırlar. Daha sonra pusulayı dönüşümlü olarak bu noktalara yerleştirerek, aynı isteğe bağlı çapta (çizim ölçeğinde) iki daire çizmelisiniz. Kesişme noktaları C ve B olarak belirlenmiştir. Daha sonra, istenen açıortay olacak O, C ve B noktalarından düz bir çizgi çizmeniz gerekir.

Cetvel kullanma

Cetvel kullanarak bir açının açıortayını çizmek için, O noktasından itibaren ışınların (kenarların) üzerindeki bölümleri çizmeniz gerekir. aynı uzunluk ve bunları A ve B noktaları olarak belirtin. Daha sonra bunları düz bir çizgiyle birleştirmeli ve bir cetvel kullanarak elde edilen parçayı ikiye bölerek C noktasını belirtmelisiniz. C noktalarından düz bir çizgi çizerseniz ve bir açıortay elde edilecektir. O.

Alet yok

Değilse ölçüm aletleri, yaratıcılığınızı kullanabilirsiniz. Aydınger kağıdına veya sıradan ince kağıda basitçe bir açı çizmek ve kağıt parçasını açının ışınları hizalanacak şekilde dikkatlice katlamak yeterlidir. Çizimdeki katlama çizgisi istenen açıortay olacaktır.

Düz açı

Aynı yöntemler kullanılarak 180 dereceden büyük bir açı açıortay ile bölünebilir. Sadece onu değil, daireden kalan ona bitişik olan dar açıyı bölmek gerekli olacaktır. Bulunan açıortayın devamı, açılmamış açıyı ikiye bölerek istenen düz çizgi haline gelecektir.

Bir üçgendeki açılar

Eşkenar üçgende açıortayın aynı zamanda kenarortay ve yükseklik olduğu unutulmamalıdır. Bu nedenle içindeki açıortay, açının (yüksekliğin) karşısındaki tarafa dik olan kısmı basitçe indirerek veya bu tarafı ikiye bölüp orta noktayı birleştirerek bulunabilir. ters açı(medyan).

Konuyla ilgili video

Anımsatıcı kural"Bir açıortay, köşelerin etrafında koşan ve onları ikiye bölen bir faredir" kavramının özünü açıklıyor, ancak bir açıortay yapımına ilişkin öneriler vermiyor. Bunu çizmek için kurala ek olarak bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız olacak.

Talimatlar

Diyelim ki inşa etmeniz gerekiyor açıortay A açısı. Bir pusula alın, ucunu A noktasına (açı) yerleştirin ve herhangi bir daire çizin. Köşenin kenarlarıyla kesiştiği yere B ve C noktalarını yerleştirin.

İlk dairenin yarıçapını ölçün. B noktasına bir pusula yerleştirerek aynı yarıçapa sahip başka bir tane çizin.

Merkezi C noktasında olacak şekilde bir sonraki daireyi (öncekilere eşit büyüklükte) çizin.

Üç dairenin tümü bir noktada kesişmelidir - buna F diyelim. Bir cetvel kullanarak A ve F noktalarından geçen bir ışın çizin. Bu, A açısının istenen açıortayı olacaktır.

Bulmanıza yardımcı olacak birkaç kural vardır. Örneğin, bunun tam tersi, orana eşit iki bitişik taraf. İkizkenarlarda

Bugün çok olacak kolay ders. Sadece tek bir nesneyi (açıortay) ele alacağız ve onun gelecekte bizim için çok yararlı olacak en önemli özelliğini kanıtlayacağız.

Sadece rahatlamayın: bazen almak isteyen öğrenciler yüksek puan aynı OGE veya Birleşik Devlet Sınavında, ilk derste açıortay tanımını bile doğru bir şekilde formüle edemiyorlar.

Ve gerçekten yapmak yerine ilginç görevler, böyle basit şeylerle zaman harcıyoruz. O halde okuyun, izleyin ve benimseyin :)

İlk önce biraz garip soru: Açı nedir? Bu doğru: bir açı, aynı noktadan çıkan iki ışındır. Örneğin:

Açı örnekleri: dar, geniş ve sağ

Resimden de görebileceğiniz gibi açılar dar, geniş veya düz olabilir; artık bunun bir önemi yok. Çoğu zaman, kolaylık sağlamak için, her ışın üzerinde ek bir nokta işaretlenir ve önümüzde $AOB$ açısının ($\angle AOB$ olarak yazılır) olduğu söylenir.

Kaptan Açıklık, $OA$ ve $OB$ ışınlarına ek olarak, $O$ noktasından daha fazla ışın çekmenin her zaman mümkün olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Ancak aralarında özel bir tane olacak - ona açıortay deniyor.

Tanım. Bir açının açıortayı, o açının köşesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen ışındır.

Yukarıdaki açılar için açıortaylar şöyle görünecektir:

Dar, geniş ve dik açılar için açıortay örnekleri

Gerçek çizimlerde belirli bir ışının (bizim durumumuzda bu $OM$ ışınıdır) orijinal açıyı iki eşit parçaya böldüğü her zaman açık olmadığından, geometride eşit açıları aynı sayıda yay ile işaretlemek gelenekseldir ( çizimimizde bu, dar açı için 1 yay, geniş açı için iki, düz için üç yaydır).

Tamam, tanımı çözdük. Şimdi açıortayın hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız.

Açıortay'ın temel özelliği

Aslında açıortayın pek çok özelliği vardır. Ve bir sonraki derste kesinlikle onlara bakacağız. Ancak şu anda anlamanız gereken bir püf noktası var:

Teorem. Bir açının açıortayı, belirli bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

Matematikten Rusçaya çevrildiğinde bu aynı anda iki gerçek anlamına gelir:

1. Belirli bir açının açıortayı üzerinde bulunan herhangi bir nokta, bu açının kenarlarından aynı mesafededir.
2. Ve bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir nokta belirli bir açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunuyorsa, o zaman bu açının açıortayında yer alması garanti edilir.

Bu ifadeleri kanıtlamadan önce bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Bir noktadan bir açının kenarına olan mesafeye tam olarak ne denir? Burada bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin eski güzel tespiti bize yardımcı olacaktır:

Tanım. Bir noktadan bir doğruya olan mesafe, belirli bir noktadan bu doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Örneğin, bir $l$ doğrusunu ve bu doğrunun üzerinde olmayan bir $A$ noktasını düşünün. $AH$'a bir dik çizelim, burada $H\in l$. O zaman bu dikmenin uzunluğu $A$ noktasından $l$ düz çizgisine kadar olan mesafe olacaktır.

Grafik gösterimi bir noktadan bir çizgiye olan mesafe

Açı yalnızca iki ışın olduğundan ve her ışın düz bir çizginin parçası olduğundan, bir noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirlemek kolaydır. Bunlar sadece iki diktir:

Noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirleyin

İşte bu! Artık mesafenin ne olduğunu ve açıortayın ne olduğunu biliyoruz. Bu nedenle ana özelliği kanıtlayabiliriz.

Söz verdiğimiz gibi kanıtı iki kısma ayıracağız:

1. Açıortay üzerindeki noktadan açının kenarlarına olan mesafeler aynıdır

$O$ köşe noktası ve $OM$ açıortayıyla rastgele bir açı düşünün:

Aynı $M$ noktasının açının kenarlarından aynı uzaklıkta olduğunu kanıtlayalım.

Kanıt. $M$ noktasından açının kenarlarına dikler çizelim. Onlara $M((H)_(1))$ ve $M((H)_(2))$ diyelim:

Açının kenarlarına dik çizin

İki dik üçgen elde ettik: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ortak bir hipotenüse ($OM$) ve eşit açılara sahiptirler:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ koşula göre ($OM$ bir açıortay olduğundan);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ yapıya göre;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, çünkü toplam keskin köşeler Bir dik üçgenin açısı her zaman 90 derecedir.

Sonuç olarak, üçgenler yanlarda ve iki bitişik açıda eşittir (üçgenlerin eşitlik işaretlerine bakın). Bu nedenle, özellikle $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yani. $O$ noktasından açının kenarlarına olan mesafeler aslında eşittir. Q.E.D. :)

2. Uzaklıklar eşitse nokta açıortay üzerindedir

Şimdi ters durum. Bir $O$ açısı ve bu açının kenarlarından eşit uzaklıkta bir $M$ noktası verilsin:

$OM$ ışınının bir açıortay olduğunu kanıtlayalım; $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Kanıt. Öncelikle bu $OM$ ışınını çizelim, aksi halde kanıtlanacak hiçbir şey kalmayacak:

Köşenin içine $OM$ ışınını iletti

Yine iki dik üçgen elde ederiz: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Açıkçası eşittirler çünkü:

1. Hipotenüs $OM$ - genel;
2. Bacaklar $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ koşula göre (sonuçta, $M$ noktası açının kenarlarından eşit uzaklıkta);
3. Geriye kalan bacaklar da eşittir çünkü Pisagor teoremine göre $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Bu nedenle, üç tarafta $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$ üçgenleri vardır. Özellikle açıları eşittir: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ve bu sadece $OM$'ın bir açıortay olduğu anlamına gelir.

İspatı sonuçlandırmak için ortaya çıkan eşit açıları kırmızı yaylarla işaretliyoruz:

Açıortay $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ açısını iki eşit parçaya böler

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok. Bir açının açıortayının, bu açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu kanıtladık. :)

Artık terminolojiye az çok karar verdiğimize göre, şimdi konuya geçme zamanı. yeni seviye. Bir sonraki derste daha fazlasına bakacağız karmaşık özellikler açıortayları öğrenin ve bunları gerçek problemleri çözmek için nasıl kullanacağınızı öğrenin.

Orta seviye

Bir üçgenin ortaortayı. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Bir üçgenin açıortay ve özellikleri

Bir segmentin orta noktasının ne olduğunu biliyor musunuz? Tabii ki biliyorsun. Çemberin merkezi ne olacak? Aynı. Bir açının orta noktası nedir? Bunun olmayacağını söyleyebiliriz. Peki neden bir parça ikiye bölünebiliyor da bir açı bölünemiyor? Oldukça mümkün - sadece bir nokta değil, ama…. astar.

Şakayı hatırlıyor musunuz: Açıortay köşelerden koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir. Yani açıortayın gerçek tanımı şu şakaya çok benziyor:

Bir üçgenin açıortayı- bu, bu açının tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir üçgenin açıortay segmentidir.

Bir zamanlar eski gökbilimciler ve matematikçiler çok şey keşfettiler ilginç özellikler bisektörler. Bu bilgi insanların hayatlarını büyük ölçüde kolaylaştırdı. Topların inşa edilmesi, mesafelerin sayılması ve hatta ateşlenmesinin ayarlanması daha kolay hale geldi... Bu özelliklerin bilgisi, bazı GIA ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmemize yardımcı olacaktır!

Bu konuda yardımcı olacak ilk bilgi ikizkenar üçgenin ortaortayı.

Bu arada, tüm bu terimleri hatırlıyor musun? Birbirlerinden nasıl farklı olduklarını hatırlıyor musunuz? HAYIR? Korkutucu değil. Şimdi çözelim.

Bu yüzden, ikizkenar üçgenin tabanı- bu, diğerine eşit olmayan taraftır. Resme bakın, sizce hangi taraf? Bu doğru - bu taraf.

Medyan, bir üçgenin köşesinden çizilen ve bölen bir çizgidir karşı taraf(yine bu) yarı yarıya.

"İkizkenar üçgenin medyanı" demediğimize dikkat edin. Nedenini biliyor musun? Çünkü bir üçgenin köşesinden çizilen kenarortay HERHANGİ bir üçgende karşı kenarı ikiye böler.

Yani yükseklik, üstten çizilen ve tabana dik olan bir çizgidir. Fark ettin mi? Yine sadece ikizkenar üçgenden değil, herhangi bir üçgenden bahsediyoruz. HERHANGİ bir üçgende yükseklik her zaman tabana diktir.

Peki anladın mı? Neredeyse. Açıortay, medyan ve yüksekliğin ne olduğunu daha iyi anlamak ve sonsuza dek hatırlamak için, bunları birbirleriyle karşılaştırmanız ve bunların nasıl benzer olduklarını ve birbirlerinden nasıl farklı olduklarını anlamanız gerekir. Aynı zamanda daha iyi hatırlamak için her şeyi anlatmak daha iyidir” insan dili" O zaman matematik dilinde rahatlıkla işlem yapacaksınız ama ilk başta bu dili anlamıyorsunuz ve her şeyi kendi dilinizde kavramanız gerekiyor.

Peki nasıl benzerler? Açıortay, medyan ve yükseklik - hepsi üçgenin tepe noktasından "dışarı çıkar" ve karşı tarafta durur ve çıktıkları açıyla veya "bir şeyler yaparlar" karşı taraf. Bence çok basit, değil mi?

Nasıl farklılar?

• Açıortay çıktığı açıyı ikiye böler.
• Medyan karşı tarafı ikiye böler.
• Yükseklik her zaman karşı tarafa diktir.

İşte bu kadar. Anlaşılması kolaydır. Ve bir kez anladığınızda hatırlayabilirsiniz.

Şimdi sonraki soru. İkizkenar üçgen durumunda neden açıortay hem kenarortayı hem de yüksekliği gösteriyor?

Sadece şekle bakabilir ve medyanın mutlak olarak ikiye bölündüğünden emin olabilirsiniz. eşit üçgen. İşte bu! Ancak matematikçiler gözlerine inanmaktan hoşlanmazlar. Her şeyi kanıtlamaları gerekiyor. Korkunç kelime? Böyle bir şey yok - çok basit! Bakın: her ikisinin de kenarları eşit ve genellikle ortak bir kenarları var ve. (- açıortay!) Ve böylece iki üçgenin iki tane olduğu ortaya çıktı eşit taraflar ve aralarındaki açı. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlıyoruz (hatırlamıyorsanız konuya bakın) ve bu nedenle = ve olduğu sonucuna varıyoruz.

Bu zaten iyi - bu, medyan olduğu ortaya çıktığı anlamına geliyor.

Peki nedir bu?

Resme bakalım - . Ve aldık. O halde! Sonunda yaşasın! Ve.

Bu kanıtı biraz ağır mı buldunuz? Resme bakın; iki özdeş üçgen kendi adına konuşuyor.

Her durumda, şunu kesinlikle unutmayın:

Şimdi daha zor: sayacağız herhangi bir üçgende açıortaylar arasındaki açı! Korkmayın, o kadar da zor değil. Resme bakın:

Hadi sayalım. Bunu hatırlıyor musun? bir üçgenin açılarının toplamı?

Bu şaşırtıcı gerçeği uygulayalım.

Bir yandan:

Yani.

Şimdi şuna bakalım:

Ama açıortaylar, açıortaylar!

Şunu hatırlayalım:

Şimdi mektuplar arasında

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Şaşırtıcı değil mi? Görünüşe göre iki açının açıortayları arasındaki açı yalnızca üçüncü açıya bağlıdır!

İki açıortay'a baktık. Peki ya üç tane varsa??!! Hepsi bir noktada kesişecek mi?

Yoksa bu şekilde mi olacak?

Sizce nasıl? Böylece matematikçiler düşündüler, düşündüler ve kanıtladılar:

Harika değil mi?

Bunun neden olduğunu bilmek ister misiniz?

Yani...iki dik üçgen: ve. Onlar sahip:

• Genel hipotenüs.
• (çünkü bu bir açıortaydır!)

Bu, açı ve hipotenüs anlamına gelir. Dolayısıyla bu üçgenlerin karşılık gelen bacakları eşittir! Yani.

Noktanın açının kenarlarından eşit (veya eşit) uzaklıkta olduğunu kanıtladık. 1. nokta ele alınır. Şimdi 2. noktaya geçelim.

2 neden doğrudur?

Ve noktaları birleştirelim ve.

Bu, açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir!

İşte bu!

Sorunları çözerken tüm bunlar nasıl uygulanabilir? Örneğin problemlerde sıklıkla şu ifade bulunur: "Bir daire, bir açının kenarlarına dokunuyor...". Peki, bir şeyler bulmalısın.

O zaman bunu hemen anlarsın

Ve eşitliği kullanabilirsiniz.

3. Bir üçgende üç açıortay bir noktada kesişir

Bir açıortayın özelliğinden olmak yer Açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktalara göre aşağıdaki ifade şu şekildedir:

Tam olarak nasıl çıkıyor? Ama bakın: iki açıortay kesinlikle kesişecek, değil mi?

Ve üçüncü açıortay şu şekilde olabilir:

Ama gerçekte her şey çok daha iyi!

İki açıortayın kesişme noktasına bakalım. Hadi arayalım.

Her iki seferde de burada ne kullandık? Evet 1. nokta, Elbette! Bir nokta açıortay üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit derecede uzaktadır.

Ve böylece oldu.

Ama şu iki eşitliğe dikkatle bakın! Sonuçta, onlardan şu sonuç çıkıyor ve bu nedenle .

Ve şimdi devreye girecek 2. nokta: Bir açının kenarlarına olan uzaklıklar eşitse bu nokta açıortay üzerindedir...hangi açı? Resme tekrar bakın:

ve açının kenarlarına olan mesafelerdir ve eşittirler, bu da noktanın açının ortay üzerinde olduğu anlamına gelir. Üçüncü açıortay da aynı noktadan geçti! Üç açıortay da bir noktada kesişiyor! Ve ek bir hediye olarak -

Yarıçaplar yazılı daireler.

(Emin olmak için başka bir konuya bakın).

Artık asla unutmayacaksın:

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, içine yazılan dairenin merkezidir.

Hadi bir sonraki özelliğe geçelim... Vay be, açıortayın pek çok özelliği var değil mi? Ve bu harika, çünkü daha fazla özellik, açıortay problemlerini çözmek için daha fazla araç.

4. Açıortay ve paralellik, komşu açıların açıortayları

Açıortayın bazı durumlarda açıyı ikiye bölmesi, tamamen beklenmedik sonuçlara yol açmaktadır. Örneğin burada,

Durum 1

Harika, değil mi? Bunun neden böyle olduğunu anlayalım.

Bir yandan bir açıortay çiziyoruz!

Ancak öte yandan çapraz uzanan açılar da var (temayı hatırlayın).

Ve şimdi ortaya çıktı ki; ortasını atın: ! - ikizkenar!

Durum 2

Bir üçgen hayal edin (veya resme bakın)

Konunun ötesindeki tarafa devam edelim. Şimdi iki açımız var:

• - iç köşe
• - dış köşe dışarıda, değil mi?

Yani, şimdi birisi aynı anda bir değil iki açıortay çizmek istiyordu: hem için hem de için. Ne olacak?

İşe yarayacak mı? dikdörtgen!

Şaşırtıcı bir şekilde durum tam da bu.

Hadi çözelim.

Sizce miktar nedir?

Tabii ki - sonuçta hepsi birlikte öyle bir açı oluşturuyor ki düz bir çizgi ortaya çıkıyor.

Şimdi şunu hatırlayın ve bunlar açıortaydır ve açının içinde tam olarak var olduğunu görün. yarım dört açının toplamından: ve - - yani, tam olarak. Bunu bir denklem olarak da yazabilirsiniz:

Yani inanılmaz ama gerçek:

Üçgenin iç ve dış açılarının açıortayları arasındaki açı eşittir.

Durum 3

Burada her şeyin iç ve dış köşelerde olduğu gibi aynı olduğunu görüyor musunuz?

Veya bunun neden olduğunu tekrar düşünelim mi?

Yine konuya gelince bitişik köşeler,

(paralel bazlara karşılık geldiği gibi).

Ve yine barışıyorlar tam olarak yarısı miktardan

Çözüm: Sorun açıortaylar içeriyorsa bitişik açılar veya açıortaylar ilgili bir paralelkenarın veya yamuğun açıları, o zaman bu problemde kesinlikle katılır dik üçgen ve hatta belki tam bir dikdörtgen.

5. Açıortay ve karşı taraf

Bir üçgenin açıortayının karşı kenarı sadece bir şekilde değil, aynı zamanda özel ve çok ilginç bir şekilde böldüğü ortaya çıktı:

Yani:

İnanılmaz bir gerçek, değil mi?

Şimdi bu gerçeği kanıtlayacağız ama hazırlanın: eskisinden biraz daha zor olacak.

Tekrar - "uzay" a çıkış - ek oluşum!

Düz gidelim.

Ne için? Şimdi göreceğiz.

Açıortay çizgiyle kesişene kadar devam edelim.

Bu tanıdık bir resim mi? Evet, evet, evet, 4. maddedekiyle tamamen aynı, durum 1 - öyle görünüyor ki (- açıortay)

Çapraz yatma

Yani bu da.

Şimdi üçgenlere bakalım ve.

Onlar hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Onlar... benzer. Evet, açıları dikey olanlara eşittir. Yani iki köşede.

Artık ilgili tarafların ilişkilerini yazma hakkına sahibiz.

Ve şimdi kısa gösterimle:

Ah! Bana bir şeyi hatırlatıyor, değil mi? Kanıtlamak istediğimiz şey bu değil miydi? Evet, evet, tam olarak bu!

"Uzay yürüyüşünün" ne kadar harika olduğunu görüyorsunuz - ek bir düz çizginin inşası - o olmasaydı hiçbir şey olmazdı! Ve böylece bunu kanıtladık

Artık güvenle kullanabilirsiniz! Bir üçgenin açılarının açıortaylarının bir özelliğine daha bakalım - paniğe kapılmayın, şimdi en zor kısım bitti - daha kolay olacak.

Bunu anlıyoruz

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Üçgenin açıortayı üçgenin açısını ikiye bölen parçadır eşit açılar. Örneğin bir üçgenin açısı 120 0 ise, bir açıortay çizerek her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğundan üç açıortay çizilebilir. Hepsinin tek bir kesme noktası var. Bu nokta üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir. Başka bir deyişle bu kesişim noktasına üçgenin iç merkezi denir.

Bir iç ve dış açının iki açıortayı kesiştiğinde 90 0'lik bir açı elde edilir. Dış köşe bir üçgende komşu açı iç köşeüçgen.

Pirinç. 1. 3 açıortay içeren bir üçgen

Ortay, karşı tarafı, yanlara bağlanan iki parçaya böler:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, bu da açının kenarlarından aynı uzaklıkta oldukları anlamına gelir. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her bir kenarına dik açılar bırakırsak, bu dikmeler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun bölüm, yükseklik ise en kısa bölüm olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

İÇİNDE belirli türlerüçgenler, açıortay vardır özel özellikler. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu şeklin iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsüne taban denir.

Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizerseniz, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre, açıortayın uzunluğu ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

• Yükseklik- Bir üçgenin köşesinden karşı kenara çizilen dikme.
• Medyan– Bir üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın ortasını birleştiren doğru parçası.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgendeki açıortay

Bu aynı zamanda geçerlidir eşkenar üçgen yani üç tarafı da eşit olan bir üçgen.

Örnek ödev

ABC üçgeninde: BR bir açıortaydır; AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Üçgendeki açıortay

Çözüm:

Açıortay üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanıp AR'yi ifade edelim. Daha sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü parçaların toplamı olarak buluruz.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Daha sonra tüm segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Alınan toplam puan: 107.