Bu makale trigonometrik indirgeme formüllerinin ayrıntılı bir çalışmasına ayrılmıştır. İndirgeme formüllerinin tam listesi verilmiş, kullanım örnekleri gösterilmiş ve formüllerin doğruluğunun kanıtı verilmiştir. Makale ayrıca, her formülü ezberlemeden indirgeme formülleri türetmenize olanak tanıyan bir anımsatıcı kural da sağlar.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Azaltma formülleri. Liste
İndirgeme formülleri, keyfi büyüklükteki açıların temel trigonometrik fonksiyonlarını 0 ila 90 derece (0 ila π 2 radyan) aralığındaki açıların fonksiyonlarına azaltmanıza olanak tanır. 0'dan 90 dereceye kadar açılarla çalışmak, keyfi olarak büyük değerlerle çalışmaktan çok daha uygundur, bu nedenle trigonometri problemlerinin çözümünde indirgeme formülleri yaygın olarak kullanılır.
Formüllerin kendisini yazmadan önce, anlamanız için birkaç önemli noktayı açıklığa kavuşturalım.
- İndirgeme formüllerindeki trigonometrik fonksiyonların argümanları ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z biçimindeki açılardır. Burada z herhangi bir tam sayıdır ve α isteğe bağlı bir dönüş açısıdır.
- Sayıları oldukça etkileyici olan tüm indirgeme formüllerini öğrenmek gerekli değildir. İstenilen formülün elde edilmesini kolaylaştıran anımsatıcı bir kural vardır. Anımsatıcı kural hakkında daha sonra konuşacağız.
Şimdi doğrudan indirgeme formüllerine geçelim.
Azaltma formülleri, keyfi ve keyfi olarak büyük açılarla çalışmaktan 0 ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçmenize olanak tanır. Tüm formülleri tablo halinde yazalım.
Azaltma formülleri
sin α + 2 π z = sin α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Bu durumda formüller radyan cinsinden yazılır. Ancak bunları derece kullanarak da yazabilirsiniz. Radyanı dereceye dönüştürmek, π'yi 180 dereceyle değiştirmek yeterlidir.
İndirgeme formüllerini kullanma örnekleri
İndirgeme formüllerinin nasıl kullanılacağını ve bu formüllerin pratik örneklerle çözmek için nasıl kullanıldığını göstereceğiz.
Trigonometrik fonksiyonun işaretinin altındaki açı bir değil birçok şekilde temsil edilebilir. Örneğin, bir trigonometrik fonksiyonun argümanı ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z biçiminde temsil edilebilir. Bunu gösterelim.
α = 16 π 3 açısını alalım. Bu açı şu şekilde yazılabilir:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Açının temsiline bağlı olarak uygun indirgeme formülü kullanılır.
Aynı açıyı α = 16 π 3 alalım ve tanjantını hesaplayalım
Örnek 1: İndirgeme formüllerini kullanma
α = 16 π 3 , t g α = ?
α = 16 π 3 açısını α = π + π 3 + 2 π 2 olarak temsil edelim.
Açının bu temsili indirgeme formülüne karşılık gelecektir
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Tabloyu kullanarak teğetin değerini belirtiyoruz
Şimdi α = 16 π 3 açısının başka bir gösterimini kullanıyoruz.
Örnek 2: İndirgeme formüllerini kullanma
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Son olarak yazdığımız açının üçüncü gösterimi için
Örnek 3. İndirgeme formüllerinin kullanılması
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Şimdi daha karmaşık indirgeme formüllerinin kullanımına bir örnek verelim
Örnek 4: İndirgeme formüllerini kullanma
Bir dar açının sinüs ve kosinüsü boyunca 197°'lik bir günah hayal edelim.
İndirgeme formüllerini uygulayabilmek için α = 197 ° açısını formlardan birinde temsil etmeniz gerekir.
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Sorunun koşullarına göre açının dar olması gerekir. Buna göre onu temsil etmenin iki yolu var:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Aldık
sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)
Şimdi sinüsleri azaltma formüllerine bakalım ve uygun olanları seçelim.
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270° - 73° + 360°z) = - cos 73°
Anımsatıcı kural
Pek çok indirgeme formülü vardır ve neyse ki bunları ezberlemeye gerek yoktur. Farklı açılar ve trigonometrik fonksiyonlar için indirgeme formüllerinin türetilebileceği düzenlilikler vardır. Bu kalıplara anımsatıcı kurallar denir. Anımsatıcılar ezberleme sanatıdır. Anımsatıcı kural üç bölümden oluşur veya üç aşamadan oluşur.
Anımsatıcı kural
1. Orijinal fonksiyonun argümanı aşağıdaki formlardan biriyle temsil edilir:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
α açısı 0 ile 90 derece arasında olmalıdır.
2. Orijinal trigonometrik fonksiyonun işareti belirlenir. Formülün sağ tarafında yazılan fonksiyon aynı işarete sahip olacaktır.
3. ± α + 2 πz ve π ± α + 2 πz açıları için orijinal fonksiyonun adı değişmeden kalır ve π 2 ± α + 2 πz ve 3 π 2 ± α + 2 πz açıları için sırasıyla şu şekilde değişir: "ortak işlev". Sinüs - kosinüs. Teğet - kotanjant.
İndirgeme formülleri için anımsatıcı kılavuzu kullanmak için, birim çemberin çeyreğine göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleyebilmeniz gerekir. Anımsatıcı kuralı kullanma örneklerine bakalım.
Örnek 1: Anımsatıcı kural kullanma
cos π 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz için indirgeme formüllerini yazalım. α ilk çeyreğin logudur.
1. α koşulu ilk çeyreğin logu olduğundan kuralın ilk noktasını atlıyoruz.
2. cos π 2 - α + 2 πz ve t g π - α + 2 πz fonksiyonlarının işaretlerini belirleyin. π 2 - α + 2 πz açısı aynı zamanda ilk çeyreğin açısıdır ve π - α + 2 πz açısı ikinci çeyrektedir. İlk çeyrekte kosinüs fonksiyonu pozitiftir ve ikinci çeyrekteki teğet eksi işaretine sahiptir. Bu aşamada gerekli formüllerin nasıl görüneceğini yazalım.
çünkü π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Üçüncü noktaya göre π 2 - α + 2 π açısı için fonksiyonun adı Konfüçyüs olarak değişir, π - α + 2 πz açısı için ise fonksiyonun adı aynı kalır. Hadi yazalım:
çünkü π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Şimdi yukarıda verilen formüllere bakalım ve anımsatıcı kuralın çalıştığından emin olalım.
Belirli bir açı olan α = 777° olan bir örneğe bakalım. Sinüs alfayı dar açının trigonometrik fonksiyonuna indirgeyelim.
Örnek 2: Anımsatıcı kural kullanma
1. α = 777 ° açısını gerekli biçimde hayal edin
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Orijinal açı ilk çeyreğin açısıdır. Bu, açının sinüsünün pozitif işaretli olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak elimizde:
3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Şimdi anımsatıcı kuralı kullanırken trigonometrik fonksiyonun işaretini doğru belirlemenin ve açıyı doğru şekilde temsil etmenin ne kadar önemli olduğunu gösteren bir örneğe bakalım. Bir kez daha tekrarlayalım.
Önemli!
α açısı dar olmalı!
5 π 3 açısının tanjantını hesaplayalım. Ana trigonometrik fonksiyonların değer tablosundan hemen t g 5 π 3 = - 3 değerini alabilirsiniz, ancak anımsatıcı kuralı uygulayacağız.
Örnek 3: Anımsatıcı kural kullanma
α = 5 π 3 açısını gerekli formda hayal edelim ve kuralı kullanalım
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Alfa açısını 5 π 3 = π + 2 π 3 biçiminde temsil edersek, anımsatıcı kuralın uygulanmasının sonucu yanlış olacaktır.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Yanlış sonuç, 2 π 3 açısının dar olmamasından kaynaklanmaktadır.
İndirgeme formüllerinin kanıtı, trigonometrik fonksiyonların periyodiklik ve simetri özelliklerine ve ayrıca π 2 ve 3 π 2 açılarına göre kayma özelliğine dayanmaktadır. Tüm indirgeme formüllerinin geçerliliğinin kanıtı, 2 πz terimi dikkate alınmadan gerçekleştirilebilir, çünkü bu, açıdaki bir tam dönüş sayısı kadar bir değişikliği belirtir ve periyodiklik özelliğini tam olarak yansıtır.
İlk 16 formül doğrudan temel trigonometrik fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant.
İşte sinüsler ve kosinüsler için indirgeme formüllerinin bir kanıtı
sin π 2 + α = cos α ve cos π 2 + α = - sin α
Başlangıç noktası, α açısı boyunca bir dönüşten sonra A 1 x, y noktasına ve π 2 + α açısı boyunca bir dönüşten sonra A 2 noktasına giden bir birim daireye bakalım. Her iki noktadan da apsis eksenine dikler çiziyoruz.
İki dik üçgen O A 1 H 1 ve O A 2 H 2 hipotenüs ve komşu açılar açısından eşittir. Daire üzerindeki noktaların konumundan ve üçgenlerin eşitliğinden A 2 noktasının A 2 - y, x koordinatlarına sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Sinüs ve kosinüs tanımlarını kullanarak şunu yazıyoruz:
sin α = y, çünkü α = x, sin π 2 + α = x, çünkü π 2 + α = y
günah π 2 + α = çünkü α, çünkü π 2 + α = - sin α
Trigonometrinin temel özdeşliklerini ve henüz kanıtlanmış olanları dikkate alarak şunu yazabiliriz:
t g π 2 + α = sin π 2 + α çünkü π 2 + α = çünkü α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = çünkü π 2 + α sin π 2 + α = - sin α çünkü α = - tgα
İndirgeme formüllerini π 2 - α argümanıyla kanıtlamak için π 2 + (- α) biçiminde sunulması gerekir. Örneğin:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
İspat, zıt işaretli argümanlarla trigonometrik fonksiyonların özelliklerini kullanır.
Diğer tüm indirgeme formülleri yukarıda yazılanlara dayanarak kanıtlanabilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Problemlerin çözümünde indirgeme formüllerinin uygulanması"
Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
1C: Okul. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
1C: Okul. Geometri problemlerini çözüyoruz. 10-11. Sınıflar için uzayda inşa etmeye ilişkin etkileşimli görevler
Neyi inceleyeceğiz:
1. Biraz tekrarlayalım.
2. İndirgeme formüllerine ilişkin kurallar.
3. İndirgeme formülleri için dönüşüm tablosu.
4. Örnekler.
Trigonometrik fonksiyonların gözden geçirilmesi
Arkadaşlar, hayalet formülleriyle zaten karşılaştınız ama henüz onlara bu adı vermediniz. Ne düşünüyorsun: nerede?
Çizimlerimize bakın. Doğru, trigonometrik fonksiyonların tanımları tanıtıldığında.
Azaltma formülleri kuralı
Temel kuralı tanıtalım: Trigonometrik fonksiyonun işareti altında n'nin herhangi bir tam sayı olduğu π×n/2 + t formunda bir sayı varsa, o zaman trigonometrik fonksiyonumuz daha basit bir forma indirgenebilir. sadece t argümanı. Bu tür formüllere hayalet formüller denir.
Bazı formülleri hatırlayalım:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- günah(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- günah(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
bir sürü hayalet formül var, hadi kullanırken trigonometrik fonksiyonlarımızı belirleyeceğimiz bir kural oluşturalım. hayalet formülleri:
- Trigonometrik bir fonksiyonun işareti şu formdaki sayıları içeriyorsa: π + t, π - t, 2π + t ve 2π - t, o zaman fonksiyon değişmeyecektir, yani örneğin sinüs sinüs olarak kalacaktır, kotanjant kotanjant olarak kalacaktır.
- Trigonometrik fonksiyonun işareti şu formdaki sayıları içeriyorsa: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t ve 3π/2 - t, o zaman fonksiyon ilgili fonksiyona dönüşecektir, yani sinüs kosinüs olacak, kotanjant teğet olacaktır. - Ortaya çıkan fonksiyondan önce, dönüştürülen fonksiyonun 0 koşulu altında sahip olacağı işareti koymanız gerekir.
Bu kurallar, fonksiyon argümanı derece cinsinden verildiğinde de geçerlidir!
Ayrıca trigonometrik fonksiyonların dönüşüm tablosunu da oluşturabiliriz:
İndirgeme formüllerini kullanma örnekleri
1. cos(π + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı kalır, yani. cos(t) elde ederiz. Ayrıca π/2 olduğunu varsayalım. 
2. Sin(π/2 + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı değişir, yani. cos(t) elde ederiz. Sonra, 0 sin(t + π/2) = cos(t) olduğunu varsayalım.
3. tg(π + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı kalır, yani. tan(t) elde ederiz. Ayrıca 0 olduğunu varsayalım. 
4. ctg(270 0 + t)'yi dönüştürün. Fonksiyonun adı değişir, yani tg(t) elde ederiz. Ayrıca 0 olduğunu varsayalım. 
Bağımsız çözüm için indirgeme formülleriyle ilgili problemler
Beyler, kurallarımızı kullanarak bunu kendiniz dönüştürün:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) bebek karyolası(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) günah(2π + t),
7) günah(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) günah(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
Ve aynı konuyla ilgili başka bir B11 problemi - matematikteki gerçek Birleşik Devlet Sınavından.
Görev. İfadenin anlamını bulun:
Bu kısa video eğitiminde nasıl başvuracağımızı öğreneceğiz azaltma formülleri Matematikte Birleşik Devlet Sınavından B11 gerçek problemlerini çözmek için. Gördüğünüz gibi, her biri sinüs ve kosinüs içeren iki trigonometrik ifademiz ve oldukça acımasız sayısal argümanlarımız var.
Bu problemleri çözmeden önce indirgeme formüllerinin ne olduğunu hatırlayalım. Yani, eğer şöyle ifadelerimiz varsa:
Daha sonra özel kurallara göre ilk terimden (k · π/2 formundaki) kurtulabiliriz. Trigonometrik bir daire çizelim ve üzerindeki ana noktaları işaretleyelim: 0, π/2; π; 3π/2 ve 2π. Daha sonra trigonometrik fonksiyonun işareti altındaki ilk terime bakıyoruz. Sahibiz:
- İlgilendiğimiz terim trigonometrik dairenin dikey ekseninde yer alıyorsa (örneğin: 3π/2; π/2, vb.), o zaman orijinal fonksiyonun yerini bir ortak fonksiyon alır: sinüsün yerini bir a alır. kosinüs ve kosinüs, tersine, sinüs ile.
- Terimimiz yatay eksende yer alıyorsa orijinal fonksiyon değişmez. İfadedeki ilk terimi kaldırıyoruz, hepsi bu.
Böylece k · π/2 formundaki terimleri içermeyen bir trigonometrik fonksiyon elde ederiz. Ancak indirgeme formülleriyle yapılan çalışmalar burada bitmiyor. Gerçek şu ki, ilk terimi "attıktan" sonra elde ettiğimiz yeni fonksiyonumuzun önünde artı veya eksi işareti olabilir. Bu işaret nasıl belirlenir? Şimdi öğreneceğiz.
Dönüşümler sonrasında trigonometrik fonksiyonun içinde kalan α açısının derece ölçüsünün çok küçük olduğunu düşünelim. Peki “küçük ölçü” ne anlama geliyor? Diyelim ki α ∈ (0; 30°) - bu oldukça yeterli. Fonksiyonun bir örneğini ele alalım:
Daha sonra, α ∈ (0; 30°) varsayımlarımızı takip ederek, 3π/2 − α açısının üçüncü koordinat çeyreğinde olduğu sonucuna varırız, yani. 3π/2 - α ∈ (π; 3π/2). Orijinal fonksiyonun işaretini hatırlayalım, yani. y = sin x bu aralıkta. Açıkçası, üçüncü koordinat çeyreğindeki sinüs negatiftir, çünkü tanım gereği sinüs, hareket eden yarıçapın sonunun ordinatıdır (kısacası sinüs, y koordinatıdır). Alt yarı düzlemdeki y koordinatı her zaman negatif değerler alır. Bu, üçüncü çeyrekte y'nin de negatif olduğu anlamına gelir.
Bu yansımalara dayanarak son ifadeyi yazabiliriz:
Problem B11 - Seçenek 1
Aynı teknikler matematikte Birleşik Devlet Sınavından B11 problemini çözmek için oldukça uygundur. Tek fark, birçok gerçek B11 probleminde radyan ölçüsü yerine (yani π, π/2, 2π sayıları vb.) bir derece ölçüsünün (yani 90°, 180°, 270° vb.) kullanılmasıdır. İlk göreve bakalım:
Önce paya bakalım. çünkü 41° tablo dışı bir değer olduğundan onunla hiçbir şey yapamayız. Şimdilik böyle bırakalım.
Şimdi paydaya bakalım:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Açıkçası, bu bir indirgeme formülüdür, dolayısıyla sinüsün yerini kosinüs alır. Ek olarak 41°'lik açı segmentin (0°; 90°) üzerinde yer alır, yani. birinci koordinat çeyreğinde - tam olarak indirgeme formüllerini uygulamak için gerektiği gibi. Ancak 90° + 41° ikinci koordinat çeyreğidir. Orijinal fonksiyon y = sin x burada pozitif olduğundan son adımda kosinüsün önüne artı işareti koyduk (yani hiçbir şey koymadık).
Son unsurla ilgilenmeye devam ediyor:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5
Burada 180°'nin yatay eksen olduğunu görüyoruz. Sonuç olarak, fonksiyonun kendisi değişmeyecek: bir kosinüs vardı - ve kosinüs de kalacak. Ancak soru yeniden ortaya çıkıyor: Sonuçta ortaya çıkan cos 60° ifadesinden önce artı mı yoksa eksi mi görünecek? 180°'nin üçüncü koordinat çeyreği olduğuna dikkat edin. Buradaki kosinüs negatiftir, dolayısıyla kosinüsün önünde eninde sonunda eksi işareti olacaktır. Toplamda −cos 60° = −0,5 yapısını elde ederiz - bu tablo halinde bir değerdir, dolayısıyla her şeyin hesaplanması kolaydır.
Şimdi ortaya çıkan sayıları orijinal formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:
Gördüğünüz gibi kesrin pay ve paydasındaki cos 41° sayısı kolayca azaltılır ve -10'a eşit olan olağan ifade kalır. Bu durumda eksi çıkarılıp kesir işaretinin önüne yerleştirilebilir veya hesaplamaların son adımına kadar ikinci faktörün yanında "tutulabilir". Her durumda cevap -10 olacaktır. İşte bu, B11 sorunu çözüldü!
Sorun B14 - seçenek 2
İkinci göreve geçelim. Önümüzde yine bir kesit var:
27° ilk koordinat çeyreğinde yer aldığından burada hiçbir şeyi değiştirmeyeceğiz. Ancak sin 117°'nin yazılması gerekiyor (şimdilik kare olmadan):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Belli ki yine önümüzde azaltma formülü: 90° dikey eksendir, dolayısıyla sinüs kosinüse dönüşecektir. Ayrıca α = 117° = 90° + 27° açısı ikinci koordinat çeyreğinde yer alır. Orijinal y = sin x fonksiyonu burada pozitiftir, bu nedenle tüm dönüşümlerden sonra kosinüsün önünde hala bir artı işareti kalır. Başka bir deyişle, oraya hiçbir şey eklenmiyor - bu şekilde bırakıyoruz: çünkü 27°.
Hesaplanması gereken orijinal ifadeye dönüyoruz:
Gördüğümüz gibi, dönüşümlerden sonra paydada ana trigonometrik özdeşlik ortaya çıktı: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Toplam −4: 1 = −4 - böylece ikinci problem B11'in cevabını bulduk.
Gördüğünüz gibi indirgeme formüllerinin yardımıyla matematikte Birleşik Devlet Sınavından kaynaklanan bu tür problemler tam anlamıyla birkaç satırda çözülüyor. Toplamın sinüsü ve farkın kosinüsü yok. Hatırlamamız gereken tek şey trigonometrik çemberdir.
Matematiğin trigonometri bölümüne aittirler. Bunların özü, açıların trigonometrik fonksiyonlarını daha “basit” bir forma indirgemektir. Bunları bilmenin önemi hakkında çok şey yazılabilir. Bu formüllerden zaten 32 tane var!
Paniğe kapılmayın, matematik dersindeki diğer birçok formül gibi bunları öğrenmenize gerek yok. Kafanızı gereksiz bilgilerle doldurmanıza gerek yok, “anahtarları” veya yasaları hatırlamanız gerekiyor ve gerekli formülü hatırlamak veya türetmek sorun olmayacak. Bu arada, makalelerde yazdığımda “... öğrenmen gerekiyor!!!” - bu gerçekten de onu öğrenmenin gerekli olduğu anlamına gelir.
İndirgeme formüllerine aşina değilseniz, bunların türetilmesinin basitliği sizi hoş bir şekilde şaşırtacaktır - bunun yardımıyla bunun kolayca yapılabileceği bir "yasa" vardır. Ve 32 formülden herhangi birini 5 saniyede yazabilirsiniz.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkacak sorunlardan yalnızca bazılarını listeleyeceğim; burada bu formüller hakkında bilgi sahibi olmadan bunları çözmede başarısız olma olasılığı yüksektir. Örneğin:
– dış açıdan bahsettiğimiz dik üçgenin çözümüne yönelik problemler ve iç açılara ilişkin problemler, bu formüllerden bazıları da gereklidir.
– trigonometrik ifadelerin değerlerinin hesaplanmasına ilişkin görevler; sayısal trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi; Gerçek trigonometrik ifadelerin dönüştürülmesi.
– teğet ve teğetin geometrik anlamı ile ilgili problemler, teğet için bir indirgeme formülü ve diğer problemler gereklidir.
– stereometrik problemler, çözme sırasında genellikle 90 ila 180 derece aralığında yer alan bir açının sinüsünü veya kosinüsünü belirlemek gerekir.
Ve bunlar sadece Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili noktalardır. Ve cebir dersinin kendisinde, indirgeme formülleri bilgisi olmadan çözümü basitçe yapılamayan birçok problem vardır.
Peki bu neye yol açıyor ve belirtilen formüller sorunları çözmemizi nasıl kolaylaştırıyor?
Örneğin, 0'dan 450 dereceye kadar herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını veya kotanjantını belirlemeniz gerekir:
alfa açısı 0 ile 90 derece arasında değişir
* * *
O halde burada işleyen “yasayı” anlamak gerekir:
1. İlgili çeyrekte fonksiyonun işaretini belirleyin.
Hatırlatmama izin ver:
2. Aşağıdakileri unutmayın:
işlev ortak işleve dönüşür
işlev ortak işleve değişmez
Bir fonksiyonun ortak fonksiyona dönüşmesi kavramı ne anlama geliyor?
Cevap: sinüs kosinüse dönüşür veya tersi, kotanjanta teğet veya tam tersi.
Bu kadar!
Şimdi sunulan yasaya göre birkaç indirgeme formülünü kendimiz yazacağız:
Bu açı üçüncü çeyrekte yatıyor, üçüncü çeyrekte kosinüs negatif. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:
Açı ilk çeyrekte yer alır, ilk çeyrekteki sinüs pozitiftir. 360 derecemiz olduğundan, fonksiyonu bir ortak fonksiyona değiştirmiyoruz, bu şu anlama geliyor:
Bitişik açıların sinüslerinin eşit olduğuna dair başka bir kanıt:
Açı ikinci çeyrekte yer alır, ikinci çeyrekteki sinüs ise pozitiftir. 180 derecemiz olduğundan fonksiyonu ortak fonksiyona çevirmiyoruz, bunun anlamı:
Gelecekte, periyodiklik, düzgünlük (teklik) özelliğini kullanarak herhangi bir açının değerini kolayca belirleyebilirsiniz: 1050 0, -750 0, 2370 0 ve diğerleri. İlerleyen zamanlarda bu konuyla ilgili mutlaka bir yazımız olacak, sakın kaçırmayın!
Problemleri çözmek için indirgeme formüllerini kullandığımda, yukarıda sunulan teoriye dair hafızanızı her zaman tazeleyebilmeniz için mutlaka bu makaleye başvuracağım. Bu kadar. Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.
Makale materyalini PDF formatında alın
Saygılarımla, İskender.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.