V-6-2014 (Birleşik Devlet Sınavı bankasından 56 prototipin tümü)
En basitini inşa edip keşfedebilme matematiksel modeller(olasılık teorisi)
1. Rastgele bir deneyde iki tane atılıyor zar. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Zar atılması sonucunda 8 puanın çıkacağı sonuç sayısı 5'tir: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Her zarda altı olası atış vardır, dolayısıyla toplam sonuç sayısı 6 6 = 36'dır. Dolayısıyla toplam 8 atma olasılığı 5'tir: 36 = 0,138... = 0,14
2. Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun.Çözüm: Deneyin eşit derecede olası 4 sonucu vardır: tura-tura, tura-yazı, yazı-tura, yazı-yazı. Turalar iki durumda tam olarak bir kez ortaya çıkar: tura-yazı ve yazı-tura. Dolayısıyla turaların tam olarak 1 kez gelme olasılığı 2: 4 = 0,5'tir.
3. Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.Çözüm: Şampiyonaya katılıyorÇin'den sporcular. O halde birinci yarışan sporcunun Çin'den olma olasılığı 5: 20 = 0,25'tir.
4. Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 5'i sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.Çözüm: Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 1000 − 5 = 995'i sızıntı yapmaz. Bu, kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığının 995: 1000 = 0,995 olduğu anlamına gelir.
5. Fabrika çanta üretiyor. Ortalama olarak her 100 kaliteli poşete karşılık sekiz adet gizli kusurlu poşet bulunmaktadır. Satın alınan çantanın yüksek kalitede olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Koşula göre her 100 + 8 = 108 poşete karşılık 100 kalite poşet bulunmaktadır. Bu da satın alınan çantanın kaliteli olma ihtimalinin 100: 108 =0,925925...= 0,93 olduğu anlamına gelir.
6. Gülle atma yarışmasına Finlandiya'dan 4, Danimarka'dan 7, İsveç'ten 9 ve Norveç'ten 5 sporcu katılıyor. Sporcuların yarışacağı sıra kura ile belirlenir. Son yarışan sporcunun İsveçli olma olasılığını bulun. Çözüm: Yarışmaya toplamda 4+7+9+5=25 sporcu katılıyor. Bu da son yarışan sporcunun İsveç'ten olma ihtimalinin 9:25 = 0,36 olduğu anlamına geliyor.
7.Bilimsel konferans 5 günde gerçekleştirildi. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?Çözüm: İlk üç günde 51 rapor okunacak, son iki günde ise 24 rapor planlanacak. Bu nedenle son gün için 12 rapor planlanıyor. Bu, Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığının 12: 75 = 0,16 olduğu anlamına gelir.
8. Sanatçıların yarışması 5 gün boyunca yapılır. Her ülkeden birer tane olmak üzere toplam 80 performans açıklandı. İlk gün 8 gösteri var, geri kalanlar kalan günlere eşit olarak dağıtılıyor. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. Yarışmanın üçüncü gününde Rus temsilcisinin sahneye çıkma olasılığı nedir?Çözüm: Üçüncü gün için planlandıkonuşmalar. Bu, yarışmanın üçüncü gününde Rusya'dan bir temsilcinin sahne alma olasılığının 18: 80 = 0,225 olduğu anlamına geliyor.
9. Seminere Norveç'ten 3, Rusya'dan 3 ve İspanya'dan 4 bilim insanı geldi. Raporların sırası kura ile belirlenir. Sekizinci raporun Rusya'dan bir bilim adamının raporu olma olasılığını bulun.Çözüm: Toplamda 3 + 3 + 4 = 10 bilim insanının katıldığı seminerde, bu da sekizinci bilim insanının Rusya'dan olma ihtimalinin 3:10 = 0,3 olduğu anlamına geliyor.
10.Badminton şampiyonasının ilk turu başlamadan önce katılımcılar oyun çiftlerine ayrılır. rastgele kurayla. Şampiyonaya Ruslan Orlov'un da aralarında bulunduğu 10'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 badminton oyuncusu katılıyor. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun mu?Çözüm: İlk turda Ruslan Orlov 26 − 1 = 25 badminton oyuncusuyla oynayabilir, bunların 10 − 1 = 9'u Rusya'dandır. Bu, Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığının 9: 25 = 0,36 olduğu anlamına geliyor.
11. Biyoloji biletleri koleksiyonunda sadece 55 bilet var, bunların 11'inde botanikle ilgili bir soru var. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığını bulun.Çözüm: 11: 55 = 0,2
12. Dalış şampiyonasında 8'i Rusya'dan, 9'u Paraguay'dan olmak üzere 25 sporcu yarışıyor. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. Paraguaylı bir atlayıcının altıncı olma olasılığını bulun.
13. Araba farları için aynı camı iki fabrika üretiyor. İlk fabrika bu camların %30'unu, ikinci fabrika ise %70'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın% 3'ünü, ikinci fabrika ise% 4'ünü üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu çıkma olasılığını bulun.
Çözüm. %%'yi kesirlere dönüştürün.
Etkinlik A - "İlk fabrikadan cam satın alındı." P(A)=0,3
Olay B - "İkinci fabrikadan cam satın alındı." P(B)=0,7
Olay X - "Arızalı cam".
P(A ve X) = 0,3*0,03=0,009
P(B ve X) = 0,7*0,04=0,028 Formüle göre tam olasılık:P = 0,009+0,028 = 0.037
14.Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0.52 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır. Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun. Çözüm: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya ve Lyosha oyuna kimin başlayacağı konusunda kura çekiyor. Petya'nın oyuna başlamak zorunda kalma olasılığını bulun.
Çözüm: Rastgele deney - kura çekimi.
Bu deneyde temel olay, kurayı kazanan katılımcıdır.
Olası temel olayları listeleyelim:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Bunlardan 4 tane olacak, yani. N=4. Kura, tüm temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu ima eder.
A= olayı (Petya kurayı kazandı) yalnızca bir temel olay (Petya) tarafından tercih edilir. Bu nedenle N(A)=1.
O halde P(A)=0,25 Cevap: 0,25.
16. Dünya Şampiyonasına 16 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri dört takımdan oluşan dört gruba ayrılmaları gerekir. Kutunun içinde grup numaraları karışık olan kartlar vardır: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Takım kaptanları birer kart çeker. Rus takımının ikinci grupta yer alma olasılığı nedir?Çözüm: Toplam sonuçlar - 16. Bunlardan olumlu, yani. 2 sayısı 4 olacaktır. Yani 4: 16=0,25
17. Geometri sınavında öğrenci listeden bir soru alır sınav soruları. Bunun yazılı daire sorusu olma olasılığı 0,2'dir. Bunun “Paralelkenar” konulu bir soru olma olasılığı 0,15'tir. Bu iki konuyu aynı anda ilgilendiren soru bulunmamaktadır. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birinde soru alma olasılığını bulun.
= (“Yazılı daire” konulu soru),
= (“Paralelkenar” konulu soru).
Olaylar Ve listede bu iki konuyla ilgili sorular aynı anda bulunmadığından uyumsuzdur.
Etkinlik= (bu iki konudan biriyle ilgili soru) bunların birleşimidir:.
Uyumsuz olayların olasılıklarını toplamak için formülü uygulayalım:
.
18.B alışveriş merkezi iki özdeş makine kahve satıyor. Gün sonunda makinedeki kahvenin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0,12'dir. Günün sonunda her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun.
Olayları tanımlayalım
= (ilk makinede kahve bitecek),
= (ikinci makinede kahve bitecek).
Sorunun koşullarına göre Ve .
Olasılıkları toplama formülünü kullanarak bir olayın olasılığını buluruz
Ve = (makinelerden en az birinde kahve bitecek):
.
Dolayısıyla ters olayın (kahvenin her iki makinede de kalması) olasılığı şuna eşittir:
.
19. Bir biatloncu hedeflere beş kez atış yapar. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun ilk üç seferde hedefleri vurup son ikisini kaçırma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.
Bu problemde bir sonraki atışın sonucunun bir önceki atışa bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Dolayısıyla “ilk atışta vurmak”, “ikinci atışta vurmak” vb. olaylar. bağımsız.
Her vuruşun olasılığı eşittir. Bu, her bir kaçırma olasılığının eşit olduğu anlamına gelir. Bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için formülü kullanalım. Sıranın bu olduğunu görüyoruz
= (isabet, isabet, isabet, kaçırılan, kaçırılan) bir olasılığa sahiptir
=
= . Cevap: .
20. Mağazada iki adet ödeme makinesi bulunmaktadır. Her biri diğer makineden bağımsız olarak 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışma olasılığını bulun.
Bu problem aynı zamanda otomatların bağımsız olarak çalıştığını da varsayar.
Ters olayın olasılığını bulalım
= (her iki makine de arızalı).
Bunu yapmak için bağımsız olayların olasılıklarını çarpma formülünü kullanıyoruz:
.
Bu olayın olasılığı anlamına gelir= (en az bir makine çalışıyor) eşittir. Cevap: .
21. Oda iki lambalı bir fenerle aydınlatılmaktadır. Bir lambanın bir yıl içinde yanma olasılığı 0,3'tür. Yıl boyunca en az bir lambanın yanmama olasılığını bulun.Çözüm: İkisi de yanacak (olaylar bağımsızdır ve olasılıkların çarpımı formülünü kullanırız) p1=0,3⋅0,3=0,09 olasılıkla
Karşıt olay(İkisi de yanmaz = en az BİRİ yanmaz)
p=1-p1=1-0.09=0.91 olasılıkla gerçekleşecek
CEVAP: 0.91
22. Yeni bir elektrikli su ısıtıcısının bir yıldan fazla dayanma olasılığı 0,97'dir. İki yıldan fazla sürme olasılığı 0,89'dur. İki yıldan az, bir yıldan fazla sürmesi olasılığını bulun
Çözüm.
A = “su ısıtıcısı bir yıldan fazla ama iki yıldan az dayanacak”, B = “su ısıtıcısı iki yıldan fazla dayanacak”, bu durumda A + B = “su ısıtıcısı bir yıldan fazla dayanacak” olsun.
A ve B olayları ortaktır, toplamlarının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir, bunların meydana gelme olasılığı azaltılır. Su ısıtıcısının tam olarak iki yıl içinde - tam olarak aynı gün, saatte ve saniyede - arızalanması gerçeğinden oluşan bu olayların meydana gelme olasılığı sıfırdır. Daha sonra:
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = P(A) + P(B),
buradan, koşuldan elde edilen verileri kullanarak 0,97 = P(A) + 0,89 elde ederiz.
Böylece istenen olasılık için elimizde: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08 bulunur.
23. Bir tarım şirketi iki haneden tavuk yumurtası satın almaktadır. İlk çiftlikteki yumurtaların %40'ı en yüksek kategorideki yumurtalardır ve ikinci çiftlikteki yumurtaların %20'si en yüksek kategorideki yumurtalardır. Toplam en yüksek kategori Yumurtaların %35'ini alır. Bu tarım şirketinden satın alınan yumurtanın ilk çiftlikten gelme olasılığını bulunuz.Çözüm: Tarım firması ilk çiftlikten alsın yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar ve ikinci çiftlikte - yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar. Böylece tarımsal formların satın aldığı toplam miktar yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar. Bu duruma göre yumurtaların %35'i en yüksek kategoriye sahiptir, o zaman:
Dolayısıyla satın alınan yumurtanın ilk çiftlikten olma olasılığı şuna eşittir: =0,75
24. Telefonun tuş takımında 0'dan 9'a kadar 10 rakam vardır. Rastgele basılan rakamın çift sayı olma olasılığı nedir?
25.10'dan 19'a kadar rastgele seçilen bir doğal sayının üçe bölünebilme olasılığı nedir?
26.Kovboy John sıfırlanmış bir tabancadan ateş ederse 0,9 olasılıkla duvardaki sineğe çarpar. John ateşlenmemiş bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun. Çözüm: John Sıfırlanmış bir tabancayı alıp onunla vurursa veya atışsız bir tabancayı kapıp onunla vurursa bir sineği vurur. Formüle göre koşullu olasılık Bu olayların olasılıkları sırasıyla 0,4·0,9 = 0,36 ve 0,6·0,2 = 0,12'dir. Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: 0,36 + 0,12 = 0,48. John'un kaçırdığı olay tam tersidir. Olasılığı 1 − 0,48 = 0,52'dir.
27. Turist grubunda 5 kişi bulunmaktadır. Kura kullanarak yiyecek almak için köye gitmesi gereken iki kişiyi seçerler. Turist A. mağazaya gitmek istiyor ama kurala uyuyor. A.'nın mağazaya gitme olasılığı nedir?Çözüm: Toplamda beş turist var, bunlardan ikisi rastgele seçiliyor. Seçilme olasılığı 2: 5 = 0,4'tür. Cevap: 0.4.
28.Futbol maçı başlamadan önce hakem, topla oyuna hangi takımın başlayacağını belirlemek için yazı tura atar. Fizik takımı üç maç oynuyor farklı takımlar. Bu oyunlarda "Fizikçi"nin kurayı tam olarak iki kez kazanma olasılığını bulun.Çözüm: Madalyonun “Fizikçi”nin kurayı kazanmasından sorumlu olan yüzünü “1”, diğer yüzünü ise “0” ile gösterelim. Sonra üç uygun kombinasyon var: 110, 101, 011 ve toplamda 2 kombinasyon var 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Dolayısıyla gerekli olasılık şuna eşittir:
29. Zarlar iki kez atılıyor. Deneyin kaç temel sonucu “A = puanların toplamı 5” olayını destekliyor? Çözüm: Dört durumda puanların toplamı 5'e eşit olabilir: “3 + 2”, “2 + 3”, “1 + 4”, “4 + 1”. Cevap: 4.
30. Rastgele bir deneyde simetrik bir para iki kez atılıyor. OP sonucunun oluşma olasılığını bulun (ilk seferde tura, ikinci seferde yazı).Çözüm: Dört olası sonuç vardır: tura-tura, tura-yazı, yazı-tura, yazı-yazı. Bunlardan biri olumlu: yazı ve tura. Dolayısıyla istenilen olasılık 1:4 = 0,25'tir. Cevap: 0,25.
31. Rock festivalinde, beyan edilen ülkelerin her birinden bir grup sahne alıyor. Performans sırası kurayla belirlenir. Danimarka'dan bir grubun İsveç'ten ve Norveç'ten bir gruptan sonra konser verme olasılığı nedir? Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Festivalde performans sergileyen toplam grup sayısı bu soruyu yanıtlamak için önemli değil. Kaç tane olursa olsun bu ülkeler için 6 yol var göreceli konum konuşmacılar arasında (D - Danimarka, W - İsveç, K - Norveç):
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...G...D...
Danimarka iki durumda İsveç ve Norveç'in gerisinde yer alıyor. Dolayısıyla grupların bu şekilde rastgele dağılma olasılığı eşittir Cevap: 0,33.
32. Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,4, sonraki her atışta ise 0,6'dır. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,98 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek?Çözüm: Bir dizi ardışık ıskalamanın ardından hayatta kalma olasılığını hesaplayarak sorunu "eylem yoluyla" çözebilirsiniz: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. İkinci olasılık 0,02'den azdır, dolayısıyla hedefe beş atış yeterlidir.
33. Yarışmanın bir sonraki turuna geçmek için, futbol takımıİki maçta en az 4 puan almanız gerekiyor. Takım kazanırsa 3 puan, beraberlik olursa 1 puan, kaybederse 0 puan alır. Takımın yarışmanın bir sonraki turuna geçme olasılığını bulun. Her oyunda kazanma ve kaybetme olasılıklarının aynı ve 0,4'e eşit olduğunu düşünün.. Çözüm : Bir takım iki maçta en az 4 puanı üç şekilde alabilir: 3+1, 1+3, 3+3. Bu olaylar uyumsuzdur; toplamlarının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir. Bu olayların her biri iki bağımsız olayın ürünüdür; birinci ve ikinci oyunun sonucu. Buradan elimizde:
34. Belirli bir şehirde doğan 5.000 bebekten 2.512'si erkektir. Bu ildeki kız çocukların doğum sıklığını bulunuz. Sonucu en yakın binliğe yuvarlayın.Çözüm: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. Uçakta acil çıkışların yanında 12, kabinleri ayıran bölmelerin arkasında ise 18 koltuk bulunmaktadır. Kalan koltuklar yolcu için sakıncalıdır uzun. Yolcu V. uzun boyludur. Kayıt sırasında olasılığını bulun rastgele seçim yolcu V. koltuk alacak uygun yer Uçakta sadece 300 koltuk varsa.Çözüm : Uçakta B yolcusunun rahat edebileceği 12 + 18 = 30 koltuk bulunmaktadır ve uçakta toplam 300 koltuk bulunmaktadır. Buna göre B yolcusunun rahat bir koltuğa oturma olasılığı 30: 300 = 0,1'dir.
36. Bir üniversitedeki olimpiyatlarda katılımcılar üç sınıfta oturuyorlar. İlk ikisinde 120 kişi var, geri kalanlar başka bir binadaki yedek oditoryuma götürülüyor. Sayarken toplamda 250 katılımcının olduğu ortaya çıktı. Rastgele seçilen bir katılımcının yarışmayı boş bir sınıfta yazma olasılığını bulun.Çözüm: Toplamda 250 – 120 – 120 = 10 kişi yedek seyirciye gönderildi. Dolayısıyla rastgele seçilen bir katılımcının Olimpiyatı boş bir sınıfta yazma olasılığı 10: 250 = 0,04'tür. Cevap: 0,04.
37. Sınıfta 26 kişi var, aralarında iki ikiz var - Andrey ve Sergey. Sınıf rastgele 13'er kişilik iki gruba ayrılır. Andrey ve Sergey'in aynı grupta olma olasılığını bulun.Çözüm: İkizlerden birinin bir grupta olmasına izin verin. Onunla birlikte grupta kalan 25 sınıf arkadaşından 12 kişi yer alacak. İkinci ikizin bu 12 kişiden olma olasılığı 12:25=0,48'dir.
38. Bir taksi şirketinin 50 arabası vardır; Bunlardan 27'si siyah ve yanlarında sarı yazılar, geri kalanı ise sarı ve siyah yazılardır. Bir arabanın rastgele bir çağrıya yanıt verme olasılığını bulun sarı siyah yazıtlarla.Çözüm: 23:50=0,46
39.Turist grubunda 30 kişi bulunmaktadır. Her uçuşta 6 kişi olmak üzere birkaç aşamada helikopterle ulaşılması zor bir alana bırakılıyorlar. Helikopterin turistleri taşıma sırası rastgeledir. Turist P.'nin ilk helikopter uçuşunu yapma olasılığını bulun.Çözüm: İlk uçuşta 6 koltuk var, toplamda 30 koltuk var. Bu durumda turist P.'nin ilk helikopter uçuşunda uçma olasılığı: 6:30 = 0,2.
40. Yeni bir DVD oynatıcının bir yıl içinde garanti kapsamında onarılma olasılığı 0,045'tir. Belirli bir şehirde yıl içinde satılan 1.000 DVD oynatıcıdan 51 tanesi garanti atölyesine teslim edildi. Bu şehirdeki “garanti onarımı” olayının sıklığı, olasılığından ne kadar farklı?Çözüm: "Garanti onarımı" olayının sıklığı (bağıl sıklığı) 51: 1000 = 0,051'dir. Tahmin edilen olasılıktan 0,006 farklıdır.
41. 67 mm çapındaki rulmanların imalatında, çapın belirtilenden 0,01 mm'den fazla farklılık gösterme olasılığı 0,965'tir. Rastgele bir yatağın çapının 66,99 mm'den küçük veya 67,01 mm'den büyük olması olasılığını bulun.Çözüm. Koşula göre rulman çapı 0,965 olasılıkla 66,99 ila 67,01 mm aralığında olacaktır. Bu nedenle, ters olayın arzu edilen olasılığı 1 − 0,965 = 0,035'tir.
42. Öğrenci O.'nun bir biyoloji testinde 11'den fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,67'dir. O.'nun 10'dan fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,74'tür. O.'nun tam olarak 11 problemi doğru çözme olasılığını bulun.Çözüm: A = “Öğrenci 11 problem çözecek” ve B = “Öğrenci 11’den fazla problem çözecek” olaylarını düşünün. Toplamları olay A + B = "öğrenci 10'dan fazla problem çözecek." A ve B olayları uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(A + B) = P(A) + P(B). Daha sonra, bu problemleri kullanarak şunu elde ederiz: 0,74 = P(A) + 0,67, dolayısıyla P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
43. "Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibinin Birleşik Devlet Sınavından her birinde en az 70 puan alması gerekir. üç öğe- matematik, Rus dili ve yabancı dil. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler) en az 70 puan almanız gerekir. Başvuru sahibi Z.'nin matematikten en az 70 puan alma olasılığı 0,6, Rusça'dan - 0,8, yabancı dilde - 0,7 ve sosyal bilgilerden - 0,5'tir. Z.'nin en az birine kaydolabilme olasılığını bulun. Bahsedilen iki uzmanlıktan.Çözüm: Z.'nin herhangi bir yere kayıt olabilmesi için hem Rusça hem de matematik dersinden en az 70 puan alması, buna ek olarak yabancı dil veya sosyal bilgiler dersinden de en az 70 puan alması gerekiyor. İzin vermek A, B, C ve D - bunlar Z.'nin sırasıyla matematik, Rusça, yabancı ve sosyal bilimleri en az 70 puanla geçtiği etkinliklerdir. o zamandan beri
Geliş olasılığı için elimizde:
44. Bir seramik sofra fabrikasında üretilen tabakların %10'u hatalıdır. Ürün kalite kontrolü sırasında kusurlu plakaların %80'i tespit ediliyor. Kalan plakalar satışta. Satın alırken rastgele seçilen bir plakanın hiçbir kusurunun olmaması olasılığını bulun. Cevabınızı en yakın yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm : Fabrika üretsinplakalar. Tüm kaliteli plakalar ve tespit edilemeyen kusurlu plakaların %20'si satışa sunulacak:plakalar. Çünkü kaliteli olanlar, kaliteli bir levha alma olasılığı 0,9p:0,92p=0,978 Cevap: 0,978'dir.
45.Mağazada üç satıcı var. Her biri 0,3 olasılıkla bir müşteriyle meşgul. olasılığını bulun rastgele an Aynı anda üç satıcı da aynı anda meşgul (müşterilerin birbirinden bağımsız olarak geldiğini düşünün).Çözüm : Bağımsız olayların oluşma olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Bu nedenle üç satıcının da meşgul olma olasılığı eşittir
46.Müşteri incelemelerine dayanarak Ivan Ivanovich, iki çevrimiçi mağazanın güvenilirliğini değerlendirdi. İstenilen ürünün A mağazasından teslim edilme olasılığı 0,8'dir. Bu ürünün B mağazasından teslim edilme olasılığı 0,9'dur. Ivan Ivanovich her iki mağazadan da aynı anda mal sipariş etti. Çevrimiçi mağazaların birbirinden bağımsız çalıştığını varsayarak, hiçbir mağazanın ürünü teslim etmeme olasılığını bulun.Çözüm: İlk mağazanın malları teslim etmeme olasılığı 1 - 0,9 = 0,1'dir. İkinci mağazanın malları teslim etmeme olasılığı 1 - 0,8 = 0,2'dir. Bu olaylar bağımsız olduğundan, bunların gerçekleşme olasılığı (her iki mağaza da malı teslim etmeyecektir) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0,1 · 0,2 = 0,02
47.Gönderen ilçe merkezi Köye her gün otobüs vardır. Pazartesi günü otobüste 20'den az yolcu bulunma olasılığı 0,94'tür. Yolcu sayısının 15'ten az olması olasılığı 0,56'dır. Yolcu sayısının 15 ile 19 arasında olma olasılığını bulun.Çözüm: A = "otobüste 15'ten az yolcu var" ve B = "otobüste 15 ila 19 yolcu var" olaylarını düşünün. Toplamları A + B olayı = "otobüste 20'den az yolcu var." A ve B olayları uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(A + B) = P(A) + P(B). Daha sonra, bu problemleri kullanarak şunu elde ederiz: 0,94 = 0,56 + P(B), dolayısıyla P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Cevap: 0,38.
48. Voleybol maçı başlamadan önce takım kaptanları, oyuna hangi takımın topla başlayacağını belirlemek için kura çekerler. “Stator” takımı sırayla “Rotor”, “Motor” ve “Starter” takımlarıyla oynar. Stator'un yalnızca ilk ve son oyunlara başlama olasılığını bulun.Çözüm. Üç olayın gerçekleşme olasılığını bulmanız gerekiyor: “Stator” ilk oyunu başlatıyor, ikinci oyunu başlatmıyor ve üçüncü oyunu başlatıyor. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Her birinin olasılığı 0,5'tir ve buradan şunu buluruz: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Cevap: 0,125.
49. İÇİNDE Masallar ülkesiİki tür hava vardır: iyi ve mükemmel ve sabah bir kez oluşan hava bütün gün değişmeden kalır. Yarınki havanın bugünkü ile aynı olacağı 0,8 olasılıkla biliniyor. Bugün 3 Temmuz, Büyülü Diyar'da hava güzel. 6 Temmuz'da Periler Diyarı'nda havanın harika olma olasılığını bulun.Çözüm. 4, 5 ve 6 Temmuz hava durumu için 4 seçenek vardır: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (burada X iyidir, O mükemmel havadır). Böyle bir havanın meydana gelme olasılığını bulalım: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Belirtilen olaylar tutarsız, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.
50. Hepatit şüphesi olan tüm hastalara kan testi yapılır. Testte hepatit ortaya çıkarsa test sonucu çağrılır. olumlu . Hepatitli hastalarda analiz şunu verir: olumlu sonuç 0,9 olasılıkla. Hastada hepatit yoksa test 0,01 olasılıkla yanlış pozitif sonuç verebilir. Hepatit şüphesiyle başvuran hastaların %5'inin aslında hepatitli olduğu bilinmektedir. Hepatit şüphesiyle kliniğe başvuran bir hastanın testinin pozitif çıkma olasılığını bulun.Çözüm . Bir hastanın tahlili iki nedenden dolayı pozitif çıkabilir: A) Hastanın hepatiti var, tahlili doğru; B) Hastanın hepatiti yok, analizi yanlış. Bu uyumsuz olaylar Toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Elimizde: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.
51. Misha'nın cebinde dört şeker vardı: "Grilyazh", "Sincap", "Korovka" ve "Kırlangıç" ve dairenin anahtarları. Misha, anahtarları çıkarırken yanlışlıkla cebinden bir parça şeker düşürdü. “Izgara” şekerinin kaybolma olasılığını bulun.
52. On iki saatlik kadranı olan mekanik bir saat bir noktada bozuldu ve çalışmayı bıraktı. olasılığını bulun saat ibresi dondu, 10'a ulaştı, ancak 1 saate ulaşmadı. Çözüm: 3: 12=0,25
53. Pilin arızalı olma olasılığı 0,06'dır. Bir mağazadaki alıcı bu pillerden ikisini içeren rastgele bir paket seçiyor. Her iki pilin de iyi durumda olma olasılığını bulun.Çözüm: Pilin iyi olma olasılığı 0,94'tür. Bağımsız olayların meydana gelme olasılığı (her iki pil de iyi olacaktır) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0,94·0,94 = 0,8836 Cevap: 0,8836.
54. Otomatik bir hat pil üretiyor. Bitmiş bir pilin arızalı olma olasılığı 0,02'dir. Paketlemeden önce her pil bir kontrol sisteminden geçer. Sistemin arızalı bir pili reddetme olasılığı 0,99'dur. Sistemin yanlışlıkla çalışan bir pili reddetme olasılığı 0,01'dir. Rastgele seçilen bir pilin denetim sistemi tarafından reddedilme olasılığını bulun.Çözüm. Pilin reddedileceği bir durum aşağıdaki olayların sonucunda ortaya çıkabilir: A = pil gerçekten arızalı ve doğru şekilde reddedilmiş veya B = pil çalışıyor ancak yanlışlıkla reddedilmiş. Bunlar uyumsuz olaylardır, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Sahibiz:
55.Resim bir labirenti göstermektedir. Örümcek, Giriş noktasında labirentin içine doğru sürünür. Örümcek dönüp geriye doğru sürünemez, bu nedenle her dalda örümcek henüz emeklemediği yollardan birini seçer. Seçim olduğuna inanmak daha ileri yol tamamen rastgele, örümceğin çıkışa hangi olasılıkla geleceğini belirleyin.
Çözüm.
Örümcek, işaretli dört çatalın her birinde D çıkışına giden yolu veya 0,5 olasılıkla başka bir yolu seçebilir. Bu bağımsız olaylarÇarpımlarının olasılığı (örümceğin D çıkışına ulaşması) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Dolayısıyla D çıkışına ulaşma olasılığı (0,5) 4 = 0,0625.
Olasılık teorisindeki problemler ve çözümleri
1. Kombinatorik
Sorun 1 . Grupta 30 öğrenci bulunmaktadır. Bir muhtar, bir muhtar yardımcısı ve bir sendika örgütleyicisi seçmek gerekiyor. Bunu yapmanın kaç yolu var?
Çözüm. 30 öğrenciden herhangi biri muhtar, kalan 29 öğrenciden herhangi biri milletvekili ve geri kalan 28 öğrenciden herhangi biri sendika örgütleyicisi seçilebilir, yani n1=30, n2=29, n3=28. Çarpma kuralına göre muhtar, yardımcısı ve sendika liderini seçme yollarının toplam sayısı N'dir: N=n1'n2'n3=30'29'28=24360.
Sorun 2 . İki postacı 10 mektubu 10 adrese teslim etmelidir. İşi kaç farklı şekilde dağıtabilirler?
Çözüm.İlk mektubun n1=2 alternatifi vardır; ya birinci postacı tarafından ya da ikincisi tarafından muhatabına götürülür. İkinci harf için de n2=2 alternatifi vardır, yani n1=n2=…=n10=2. Bu nedenle çarpma kuralına göre, iki postacı arasında mektupları dağıtmanın toplam yolu sayısı eşittir:
Sorun 3. Kutu içerisinde 30 adet 1. sınıf, 50 adet 2. sınıf, geri kalan 3. sınıf olmak üzere 100 adet parça bulunmaktadır. Bir 1. veya 2. derece parçayı bir kutudan çıkarmanın kaç yolu vardır?
Çözüm. 1.sınıfın bir kısmı n1=30 yolla, 2.sınıfın bir kısmı n2=50 yolla çıkarılabilmektedir. Toplama kuralına göre 1. veya 2. sınıftan bir parça çıkarmanın N=n1+n2=30+50=80 yolu vardır.
Sorun 5 . Yarışmaya katılan 7 katılımcının performans sırası kura ile belirleniyor. Kaç tane çeşitli seçenekler Bu durumda kura çekmek mümkün mü?
Çözüm.Çekilişin her çeşidi yalnızca yarışmaya katılanların sırasına göre farklılık gösterir, yani. 7 unsurun bir permütasyonudur. Onların sayısı eşittir
Sorun 6 . Yarışmaya 5 adayla 10 film katılıyor. Aşağıdaki kurallar tüm kategoriler için geçerliyse ödül dağıtımı için kaç seçenek vardır? çeşitliödüller?
Çözüm.Ödül dağıtım seçeneklerinin her biri, hem kompozisyon hem de sıralama açısından diğer kombinasyonlardan farklı olarak 10 üzerinden 5 filmin birleşimidir. Her film bir veya birden fazla kategoride ödül alabildiği için aynı filmler tekrarlanabilmektedir. Bu nedenle, bu tür kombinasyonların sayısı, 5'in 10 öğesinin tekrarı olan yerleşim sayısına eşittir:
Sorun 7 . Satranç turnuvasına 16 kişi katılıyor. Herhangi iki katılımcı arasında bir oyun oynanması gerekiyorsa, bir turnuvada kaç oyun oynanmalıdır?
Çözüm. Her oyun, 16 kişiden iki katılımcı tarafından oynanır ve diğerlerinden yalnızca katılımcı çiftlerinin bileşimi bakımından farklılık gösterir, yani her biri 2 olan 16 unsurun birleşimidir. 
Sorun 8 . Görev 6 koşullarında, tüm adaylıklar için ödül dağıtımı için kaç seçeneğin mevcut olduğunu belirleyin birebir aynıödüller?
Çözüm. Her adaylık için aynı ödüller belirlenirse, 5 ödülden oluşan bir kombinasyondaki filmlerin sırası önemli değildir ve seçenek sayısı, formülle belirlenen 5'in 10 unsurunun tekrarı olan kombinasyon sayısıdır.
Görev 9. Bahçıvan üç gün içinde 6 ağaç dikmelidir. Her gün en az bir ağaç diktiğine göre işini günlere kaç farklı şekilde dağıtabilir?
Çözüm. Bir bahçıvanın art arda ağaçlar diktiğini ve çeşitli çözümler ilk gün hangi ağacın, ikinci gün hangi ağacın duracağıyla ilgili. Böylece ağaçların, her biri 5 yerden birinde (ağaçların arasında) durabilen iki bölmeyle ayrıldığını hayal edebiliriz. Bölmeler teker teker orada olmalı, yoksa bir gün tek bir ağaç bile dikilmeyecek. Bu nedenle 5 öğeden 2'sini seçmeniz gerekir (tekrarlama yok). Bu nedenle yol sayısı.
Sorun 10. Rakamlarının toplamı 5 olan kaç tane dört basamaklı (muhtemelen sıfırla başlayan) sayı vardır?
Çözüm. 5 sayısını, bölümlere göre gruplara ayrılmış ardışık sayıların toplamı olarak hayal edelim (toplamdaki her grup, sayının bir sonraki rakamını oluşturur). Bu tür 3 bölüme ihtiyaç duyulacağı açıktır. Bölümler için 6 yer vardır (tüm birimlerden önce, aralarında ve sonrasında). Her yer bir veya daha fazla bölüm tarafından işgal edilebilir (içinde ikinci durum aralarında birim yoktur ve karşılık gelen toplam sıfırdır). Bu yerleri bir kümenin elemanları olarak düşünelim. Bu nedenle 6 öğeden 3'ünü (tekrarlamalarla) seçmeniz gerekir. Bu nedenle gerekli sayıda sayı 
Sorun 11 . 25 kişilik bir grup sırasıyla 6, 9 ve 10 kişilik A, B ve C olmak üzere üç alt gruba kaç farklı şekilde ayrılabilir?
Çözüm. Burada n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width=160" height=41">
Sorun 1 . Bir kutuda 5 portakal ve 4 elma vardır. Rastgele 3 meyve seçiliyor. Üç meyvenin de portakal olma olasılığı nedir?
Çözüm. Buradaki temel sonuçlar 3 meyve içeren setlerdir. Meyvelerin sırası farklı olduğundan, seçimlerini sırasız (ve tekrarlanmayan) olarak kabul edeceğiz..gif" width="21" height="25 src=">. Olumlu sonuçların sayısı şuna eşittir: mevcut 5 portakal arasından 3 portakal seçmenin yollarının sayısı, yani. gif" width="161 height=83" height="83">.
Sorun 2 . Öğretmen üç öğrenciden 1'den 10'a kadar herhangi bir sayıyı düşünmelerini ister. Her öğrencinin verilen herhangi bir sayıyı seçmesinin eşit derecede mümkün olduğunu varsayarak, içlerinden birinin aynı sayıya sahip olma olasılığını bulun.
Çözüm.Öncelikle toplam sonuç sayısını hesaplayalım. Birinci öğrenci 10 sayıdan birini seçer ve n1=10 olasılığa sahiptir, ikinci öğrenci de n2=10 olasılığa sahiptir ve son olarak üçüncü öğrenci de n3=10 olasılığa sahiptir. Çarpma kuralına göre toplam yol sayısı şuna eşittir: n= n1'n2'n3=103 = 1000, yani tüm uzay 1000 temel sonuç içerir. A olayının olasılığını hesaplamak için karşıt olaya geçmek, yani üç öğrencinin de düşündüğü durumların sayısını saymak uygundur. farklı sayılar. İlkinde hala m1=10 sayı seçme yolu var. İkinci öğrencinin artık sadece m2=9 olasılığı vardır, çünkü kendi sayısının birinci öğrencinin amaçlanan sayısıyla örtüşmemesine dikkat etmesi gerekir. Üçüncü öğrencinin seçimi daha da sınırlıdır; yalnızca m3=8 olasılığı vardır. Dolayısıyla eşleşme olmayan sayıların toplam kombinasyon sayısı m=10×9×8=720 olur. Eşleşmelerin olduğu 280 durum vardır. Dolayısıyla istenen olasılık P = 280/1000 = 0,28'e eşittir.
Sorun 3 . 8 basamaklı bir sayının 4 rakamının aynı diğerlerinin farklı olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Olay A=(sekiz basamaklı bir sayı 4 içerir aynı sayılar). Sorunun koşullarından, sayıda beş farklı rakamın olduğu ve bunlardan birinin tekrarlandığı anlaşılmaktadır. Bunu seçmenin yollarının sayısı, 10 rakamdan bir rakamı seçmenin yollarının sayısına eşittir..gif" width="21" height="25 src="> Daha sonra olumlu sonuçların sayısı. Toplam sayı 8 basamaklı sayıları oluşturmanın yolları |W|=108'dir. Gerekli olasılık şudur:
Sorun 4 . Altı müşteri rastgele 5 firmayla iletişime geçiyor. Hiç kimsenin en az bir şirketle iletişime geçmeme olasılığını bulun.
Çözüm. Tam tersi olayı düşünün https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">. 6 müşteriyi 5 şirkete dağıtmanın toplam yolu. Dolayısıyla 
. Buradan, .
Sorun 5 . Bir torbada M'si beyaz ve N-M'si siyah olan N tane top olsun. Torbadan n top çekiliyor. Aralarında tam olarak m adet beyaz topun olma olasılığını bulun.
Çözüm. Burada elemanların sırası önemli olmadığından, N adet elementten oluşan n hacimli tüm olası kümelerin sayısı m beyaz top, n-m siyah top kombinasyonlarının sayısına eşittir ve bu nedenle gerekli olasılık şuna eşittir: P(A) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" genişlik = "167" yükseklik = "44">.
Sorun 7 (toplantı sorunu) . A ve B adlı iki kişi buluşmak üzere anlaştılar. belli yer 12 ile 13:00 arası İlk gelen kişi 20 dakika kadar diğer kişiyi bekleyip ayrılır. A ve B kişilerinden her birinin gelişi belirlenen saat içinde rastgele gerçekleşebiliyorsa ve varış anları bağımsızsa, A ve B kişilerinin karşılaşma olasılığı nedir?
Çözüm. A şahsının geliş anını x ile, B şahsının geliş anını y ile gösterelim. Toplantının gerçekleşebilmesi için 20 £ x-yô gerekli ve yeterlidir. Ölçek birimi olarak dakikayı seçerek x ve y'yi düzlem üzerinde koordinatlar olarak gösterelim. Olası tüm sonuçlar, kenarı 60 olan bir karenin noktalarıyla temsil edilir ve toplantıya uygun olanlar gölgeli alanda yer alır. Arzu edilen olasılık, taralı şeklin (Şekil 2.1) alanının tüm karenin alanına oranına eşittir: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
3. Olasılık teorisinin temel formülleri
Sorun 1 . Bir kutuda 10 adet kırmızı ve 5 adet mavi düğme bulunmaktadır. İki düğme rastgele çekilir. Düğmelerin aynı renkte olma olasılığı nedir? ?
Çözüm. A=(aynı renkteki düğmeler çıkarılır) olayı bir toplam olarak temsil edilebilir; burada olaylar ve kırmızı ve kırmızı düğmelerin seçimi anlamına gelir. mavi sırasıyla. İki kırmızı düğmeyi çıkarma olasılığı eşittir ve iki mavi düğmeyi çıkarma olasılığı https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" genişlik = "249" yükseklik = "83">
Sorun 2 . Şirket çalışanlarının %28'i İngilizce, %30'u Almanca, %42'si Fransızca konuşmaktadır; İngilizce ve Almanca – %8, İngilizce ve Fransızca – %10, Almanca ve Fransızca – %5, her üç dil – %3. Şirketten rastgele seçilen bir çalışanın: a) İngilizce veya Almanca bilmesi; b) İngilizce, Almanca veya Fransızca biliyor; c) listelenen dillerden hiçbirini bilmiyor.
Çözüm.Şirketin rastgele seçilmiş bir çalışanının İngilizce, Almanca veya Fransızca konuşmasını sırasıyla A, B ve C ile gösterelim. Açıkçası belirli dilleri konuşan şirket çalışanlarının oranı bu olayların olasılığını belirliyor. Şunu elde ederiz:
a) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;
b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0, 3+ 0.42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P(AÈBÈC)=0,2.
Sorun 3 . Ailenin iki çocuğu var. Ailenin her iki cinsiyetten de çocukları olduğu biliniyorsa, en büyük çocuğun erkek olma olasılığı nedir?
Çözüm. A=(en büyük çocuk erkek), B=(ailede her iki cinsiyetten de çocuk var) olsun. Bir erkek çocuğun doğumu ile bir kız çocuğunun doğumunun eşit olasılıklı olaylar olduğunu varsayalım. Bir erkek çocuğun doğumu M harfiyle ve bir kız çocuğunun doğumu D harfiyle gösteriliyorsa, o zaman tüm temel sonuçların uzayı dört çiftten oluşur: . Bu alanda yalnızca iki sonuç (MD ve DM) B olayına karşılık gelir. AB olayı, ailenin her iki cinsiyetten de çocukları olduğu anlamına gelir. En büyük çocuk erkek, dolayısıyla ikinci (en küçük) çocuk kızdır. Bu AB olayı tek bir sonuca karşılık gelir – MD. Böylece |AB|=1, |B|=2 ve
Sorun 4 . 3'ü standart olmayan 10 parçadan oluşan usta, standart bir parçayla karşılaşıncaya kadar parçaları tek tek kontrol ediyor. Tam olarak iki ayrıntıyı kontrol etme olasılığı nedir?
Çözüm. Olay A=(master tam olarak iki parçayı kontrol etti), böyle bir kontrol sırasında ilk parçanın standart olmadığı ve ikincisinin standart olduğu anlamına gelir. Bu, =(ilk kısmın standart olmadığı ortaya çıktı) ve =(ikinci kısmın standart olduğu) anlamına gelir. Açıkçası, A1 olayının olasılığı da şuna eşittir: 
çünkü ikinci kısmı almadan önce ustanın 9 parçası kalmıştı, bunlardan sadece 2'si standart dışı ve 7'si standarttı. Çarpma teoremine göre
Sorun 5 . Bir kutuda 3 beyaz ve 5 siyah top, diğer kutuda ise 6 beyaz ve 4 siyah top bulunmaktadır. Her kutudan bir top çekildiğinde en az bir kutudan beyaz bir top çekilme olasılığını bulun.
Çözüm. A=(beyaz bir topun en az bir kutudan çıkarılması) olayı bir toplam olarak gösterilebilir; burada olaylar görünüm anlamına gelir beyaz top sırasıyla birinci ve ikinci kutudan..gif" width = "91" height = "23">..gif" width = "20" height = "23 src = ">.gif" width = "480" yükseklik = "23">.
Sorun 6 . Üç sınav görevlisi, belirli bir konuda 30 kişilik bir gruptan sınava girer; ilki 6 öğrenciyi, ikincisi 3 öğrenciyi ve üçüncüsü 21 öğrenciyi (öğrenciler listeden rastgele seçilir) inceler. Üç sınav görevlisinin yetersiz hazırlıklı olanlara karşı tutumu farklıdır: Bu tür öğrencilerin ilk öğretmenle sınavı geçme şansı %40, ikinci öğretmenle sadece %10 ve üçüncü öğretmenle sınavı geçme şansı %70'tir. Yetersiz hazırlanmış bir öğrencinin sınavı geçme olasılığını bulun .
Çözüm. Yetersiz hazırlanmış öğrencinin sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü sınav görevlisine cevap verdiğini hipotezlerle belirtelim. Sorunun koşullarına göre
, 
, 
.
Olay A=(kötü hazırlanmış öğrenci sınavı geçti) olsun. Sonra tekrar, sorunun koşulları nedeniyle
, 
, 
.
Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Sorun 7 . Şirketin üç bileşen tedarik kaynağı vardır - A, B, C şirketleri. A şirketinin payı toplam tedarik hacminin% 50'sini, B -% 30 ve C -% 20'sini oluşturmaktadır. Uygulamadan A firmasının tedarik ettiği parçaların %10'unun, B firmasının %5'inin ve C firmasının %6'sının kusurlu olduğu bilinmektedir. Rastgele alınan bir parçanın uygun olma olasılığı nedir?
Çözüm. G olayı uygun bir parçanın görünümü olsun. Parçanın A, B, C şirketlerinden temin edildiğine ilişkin hipotezlerin olasılıkları sırasıyla P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2'dir. İyi bir parçanın ortaya çıkmasının koşullu olasılıkları P(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94'e eşittir (karşıt olayların ortaya çıkma olasılıkları olarak). Arızalı bir parça). Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.
Sorun 8 (bkz. görev 6). Öğrencinin sınavı geçemediği, yani “yetersiz” not aldığı bilinsin. Üç öğretmenden hangisine cevap verme olasılığı daha yüksekti? ?
Çözüm.“Başarısızlık” alma olasılığı eşittir. Koşullu olasılıkları hesaplamanız gerekir. Bayes'in formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width = "183" height = "44 src = ">, 
.
Bundan, büyük olasılıkla, kötü hazırlanmış öğrencinin sınava üçüncü bir sınav görevlisine gittiği sonucu çıkıyor.
4. Tekrarlanan bağımsız testler. Bernoulli teoremi
Sorun 1 . Zar 6 kez atılıyor. Altılının tam olarak 3 kez atılma olasılığını bulun.
Çözüm. Bir zarın altı kez atılması bir dizi olarak düşünülebilir bağımsız testler başarı olasılığı ("altılı") 1/6 ve başarısızlık olasılığı 5/6'dır. Formülü kullanarak gerekli olasılığı hesaplıyoruz 
.
Sorun 2 . Para 6 kez atılıyor. Armanın en fazla 2 kez görünme olasılığını bulun.
Çözüm. Gerekli olasılık, armanın bir, bir veya iki kez bile görünmeyeceği gerçeğinden oluşan üç olayın olasılıklarının toplamına eşittir:
P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24">.
Sorun 4 . Para 3 kez atılıyor. En olası başarı sayısını (arması) bulun.
Çözüm. Olası değerler söz konusu üç denemedeki başarı sayısı m = 0, 1, 2 veya 3'tür. Armanın üç yazı-tura atışında m kez ortaya çıkması olayı Am olsun. Bernoulli formülünü kullanarak Am olaylarının olasılıklarını bulmak kolaydır (tabloya bakınız):
Bu tablodan en olası değerlerin 1 ve 2 sayıları olduğu görülmektedir (olasılıkları 3/8'dir). Aynı sonuç Teorem 2'den de elde edilebilir. Aslında n=3, p=1/2, q=1/2. Daha sonra
yani .
Görev 5. Sigorta acentesinin her ziyareti sonucunda 0,1 olasılıkla sözleşme imzalanır. 25 ziyaretten sonra imzalanan sözleşmelerin en olası sayısını bulun.
Çözüm. Elimizde n=10, p=0,1, q=0,9 var. En olası başarı sayısına ilişkin eşitsizlik şu biçimi alır: 25×0,1–0,9£m*£25×0,1+0,1 veya 1,6£m*£2,6. Bu eşitsizliğin tek bir tamsayı çözümü vardır: m*=2.
Sorun 6 . Belirli bir parça için kusur oranının %0,5 olduğu bilinmektedir. Müfettiş 1000 parçayı kontrol eder. Tam olarak üç hatalı parça bulma olasılığı nedir? En az üç hatalı parça bulma olasılığı nedir?
Çözüm.“Başarı” olasılığı p=0,005 olan 1000 Bernoulli testimiz var. Poisson yaklaşımını λ=np=5 ile uygulayarak şunu elde ederiz:
2) P1000(m³3)=1-P1000(m)<3)=1-»1-,
ve P1000(3)"0,14; Р1000(m³3)»0,875.
Sorun 7 . Bir müşterinin mağazayı ziyaret ettiğinde satın alma olasılığı p=0,75'tir. Müşterinin 100 ziyaretle tam olarak 80 kez satın alma yapma olasılığını bulun.
Çözüm. İÇİNDE bu durumda n=100, m=80, p=0,75, q=0,25. Buluyoruz 
ve j(x)=0,2036'yı belirlerseniz, gerekli olasılık Р100(80)='ye eşittir. 
.
Görev 8. Sigorta şirketi 40.000 sözleşme imzaladı. Her biri için yıl içinde sigortalı bir olayın gerçekleşme olasılığı %2'dir. Bu tür vakaların sayısının 870'den fazla olmaması olasılığını bulun.
Çözüm. Görev koşullarına göre n=40000, p=0,02. np=800'ü buluyoruz. P(m £ 870)'i hesaplamak için Moivre-Laplace integral teoremini kullanırız:
P(0
Laplace fonksiyonunun değerler tablosundan buluyoruz:
P(0 Sorun 9
.
400 bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,8'dir. Bir olayın göreceli oluşma sıklığının olasılığından sapmasının mutlak değeri, 0,99 olasılıkla e'yi aşmayacak şekilde pozitif bir e sayısı bulun. Çözüm. Problemin koşullarına göre p=0,8, n=400. Moivre-Laplace integral teoreminden bir sonuç kullanıyoruz: 5.
Ayrık rastgele değişkenler Sorun 1
.
3 anahtardan oluşan sette kapıya yalnızca bir anahtar uyar. Uygun bir anahtar bulunana kadar anahtarlar aranır. için bir dağıtım kanunu oluşturun rastgele değişken x – test edilen anahtarların sayısı .
Çözüm. Denenen anahtar sayısı 1, 2 ya da 3 olabilir. Eğer tek bir anahtar denendiyse bu ilk anahtarın hemen kapıyla eşleştiği anlamına gelir ve böyle bir olayın gerçekleşme olasılığı 1/3'tür. Yani, eğer test edilen 2 anahtar varsa, yani x=2, bu, ilk anahtarın çalışmadığı, ancak ikincisinin çalıştığı anlamına gelir. Bu olayın olasılığı 2/3×1/2=1/3..gif" width=100" height=21">'dir. Sonuç aşağıdaki dağılım serisidir: Sorun 2
.
Problem 1'deki rastgele değişken x için Fx(x) dağılım fonksiyonunu oluşturun. Çözüm. Rastgele değişken x'in, tüm sayısal ekseni dört aralığa bölen üç değeri 1, 2, 3'tür: . eğer x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. 1£x ise<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. Eğer 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x Ve son olarak, x³3 durumunda x£x eşitsizliği rastgele değişken x'in tüm değerleri için geçerlidir, yani P(x) Böylece aşağıdaki fonksiyonu elde ettik: Sorun 3.
Rastgele değişkenler x ve h'nin ortak dağılım yasası tablo kullanılarak verilmiştir. x ve h bileşen miktarlarının özel dağılım yasalarını hesaplayın. Bağımlı olup olmadıklarını belirleyin..gif" width="423" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" genişlik = "376" yükseklik = "23 src = ">. h'nin kısmi dağılımı benzer şekilde elde edilir: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width = "229" height = "23 src = ">. Elde edilen olasılıklar, rastgele değişkenlerin karşılık gelen değerlerinin karşısına aynı tabloda yazılabilir: Şimdi bu hücrede x ve h..gif" width=108" height=25 src=> rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili soruyu cevaplayalım. Örneğin hücrede x=-1 değerleri için ve h=1'de 1/16 olasılık vardır ve buna karşılık gelen 1/4×1/4 kısmi olasılıklarının çarpımı 1/16'ya eşittir, yani şuna denk gelir: ortak olasılık. Bu durum geri kalan beş hücrede de test ediliyor ve hepsinde doğru çıkıyor. Bu nedenle rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır. Durumumuzun en az bir hücrede ihlal edilmesi durumunda miktarların bağımlı olarak tanınması gerektiğini unutmayın. Olasılığı hesaplamak için https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src="> koşulunun geçerli olduğu hücreleri işaretleyelim. Sorun 4
.
Rastgele değişken ξ'nin aşağıdaki dağıtım yasasına sahip olduğunu varsayalım: Hesaplamak matematiksel beklenti Mx, varyans Dx ve ortalama standart sapma S. Çözüm. Tanım gereği, x'in matematiksel beklentisi eşittir Standart sapma https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" genişlik = "51" yükseklik = "21">. Çözüm. Formülü kullanalım Sorun 6
.
Problem 3'teki bir çift rastgele değişken için cov(x, h) kovaryansını hesaplayın. Çözüm.Önceki problemde matematiksel beklenti zaten hesaplanmıştı .
Hesaplamak kalıyor Ve .
Problem 3'ün çözümünde elde edilen kısmi dağılım yasalarını kullanarak şunu elde ederiz: ; ;
ve bu şu anlama geliyor Rastgele değişkenlerin bağımsızlığından dolayı bu beklenen bir şeydi. Görev 7.
Rasgele vektör (x, h), eşit olasılıkla (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) ve (0,–1) değerlerini alır. Rasgele değişkenler x ve h'nin kovaryansını hesaplayın. Bağımlı olduklarını gösterin. Çözüm. P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5 olduğundan; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, ardından Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5'(–1)=0 ve Мh=0; М(xh)=0'0'1/5+1'0'1/5–1'0'1/5+0'1'1/5–0'1'1/5=0. cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0 elde ederiz ve rastgele değişkenler korelasyonsuzdur. Ancak bağımlıdırlar. X=1 olsun, o zaman (h=0) olayının koşullu olasılığı P(h=0|x=1)=1'e eşittir ve koşulsuz olasılık P(h=0)=3/5'e eşit değildir. , veya olasılık (ξ=0,η =0) olasılıkların çarpımına eşit değildir: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/ 25. Bu nedenle x ve h bağımlıdır. Sorun 8
. İki şirketin hisse senedi fiyatlarında x ve h günlerinde rastgele artışlar ortak dağıtım Tablo tarafından verilen: Korelasyon katsayısını bulun. Çözüm.Öncelikle Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4'ü hesaplıyoruz. Daha sonra, x ve h'nin özel dağılım yasalarını buluyoruz: Mx=0,5-0,5=0'ı tanımlarız; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,22=0,96; cov(x, h)=0,4. Aldık Görev 9.
İki şirketin hisse senedi fiyatlarındaki günlük rastgele artışların varyansı Dx=1 ve Dh=2 olup korelasyon katsayısı r=0,7'dir. Birinci şirketin 5 hissesi ve ikinci şirketin 3 hissesinden oluşan bir portföyün fiyat artışının varyansını bulun. Çözüm. Dağılımın özelliklerini, kovaryansı ve korelasyon katsayısının tanımını kullanarak şunu elde ederiz: Sorun 10
.
İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılımı aşağıdaki tabloda verilmektedir: x=1'de koşullu dağılımı ve koşullu beklenti h'yi bulun. Çözüm. Koşullu matematiksel beklenti Problemin koşullarından h ve x bileşenlerinin (son sütun ve son satır tablolar). Bugüne kadar getirildi açık kavanozÇözümü yalnızca bir formüle dayanan matematikte Birleşik Devlet Sınavı sorunları (mathege.ru), klasik çözünürlüklü olasılıklar. Formülü anlamanın en kolay yolu örneklerdir. Yorum. Olasılık teorisindeki problemlerde, farklı bir sonuç doğurabilecek bir şey olur (bu durumda, topu dışarı çekme eylemimiz). Sonucun farklı şekillerde görülebileceğini belirtmek gerekir. “Bir çeşit top çıkardık” da bir sonuçtur. "Mavi topu çıkardık" - sonuç. "Mümkün olan tüm toplardan tam olarak bu topu çıkardık" - sonucun bu en az genelleştirilmiş görünümüne temel sonuç denir. Olasılığı hesaplama formülünde kastedilen temel sonuçlardır. Çözüm.Şimdi mavi topun seçilme olasılığını hesaplayalım. Aynı problem için kırmızı topun seçilme olasılığını hesaplayalım. Herhangi bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır. İnceledik klasik örnek, olasılığın tanımını göstermektedir. Hepsi benzer Birleşik Devlet Sınavı görevleri Olasılık teorisine göre bu formül kullanılarak çözülürler. Belirli bir günde meydana gelen bir olayın olasılığını hesaplamanız gereken Birleşik Devlet Sınavı olasılık teorisi probleminin formülasyonunda biraz farklılık gösterirler. ( , ) Şu şekilde önceki görevler Temel sonucun ne olduğunu belirlemeniz ve ardından aynı formülü uygulamanız gerekir. Örnek 2. Konferans üç gün sürüyor. Birinci ve ikinci gün 15, üçüncü gün ise 20 konuşmacı vardır. Raporların sırası kura ile belirlenirse Profesör M.'nin raporunun üçüncü güne düşme olasılığı nedir? Buradaki temel sonuç nedir? – Bir profesörün raporuna mümkün olanlardan birini atamak seri numaraları bir performans için. Çekilişe 15+15+20=50 kişi katılıyor. Böylece Profesör M.'nin raporu 50 sayıdan birini alabilir. Bu, yalnızca 50 temel sonucun olduğu anlamına gelir. Buradaki kura çekimi, insanlar ve sıralı yerler arasında rastgele bir yazışmanın kurulmasını temsil etmektedir. Örnek 2'de yazışmaların kurulması hangi yerlerin alınabileceği açısından ele alınmıştır. belirli kişi. Aynı duruma diğer taraftan da yaklaşabilirsiniz: Hangi olasılığa sahip insanlardan hangisi yakalanabilir? özel yer(prototipler, , , ): Örnek 3.Çekilişte 5 Alman, 8 Fransız ve 3 Estonyalı yer alıyor. Birincinin (/ikinci/yedinci/sonuncu – fark etmez) Fransız olma olasılığı nedir? Temel sonuçların sayısı – tümünün sayısı olası insanlar kura çekilerek şuraya ulaşılabilir: burası. 5+8+3=16 kişi. Prototip biraz farklı. Biraz daha yaratıcı olan madeni paralar () ve zarlarla () ilgili hala sorunlar var. Bu sorunların çözümü prototip sayfalarında bulunabilir. İşte para veya zar atmanın birkaç örneği. Örnek 4. Bir parayı havaya attığımızda tura gelme olasılığı nedir? Örnek 5. Bir parayı iki kere atarsak ne olur? Her iki seferde de tura gelme olasılığı nedir? Bir madeni paranın iki kez atılmasının yazı gelme olasılığı nedir? Bu tür problemlerde başka bir formül yararlı olabilir. Yani 5 yazı-tura atışından 5'inin tura gelme olasılığını bulabilirsiniz. Aynı durum zar için de geçerlidir. Bir atışta 6 olası sonuç vardır, yani iki atışta: 6 6 = 36, üç atışta 6 6 = 216, vb. Örnek 6. Zarları atıyoruz. Çift sayı gelme olasılığı nedir? Toplam sonuçlar: Taraf sayısına göre 6. Örnek 7.İki zar atıyoruz. Toplamın 10 olma olasılığı nedir? (en yakın yüzlüğe yuvarlayın) Bir zar için 6 olası sonuç vardır. Bu, yukarıdaki kurala göre iki kişi için 6·6=36 anlamına gelir. Diğer B6 sorunları türleri gelecekteki Nasıl Çözülür makalesinde tartışılacaktır. Olasılık. Görevler profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Öğretmenin hazırladığı matematikçiler MBOU"Lise No. 4" Ruzaevka Ovchinnikova T.V. Olasılığın tanımı Olasılık
A olaylarına sayı oranı denir M
bu etkinlik için olumlu sonuçlar toplam sayı
N
bir test veya gözlem sonucunda meydana gelebilecek eşit derecede olası tüm uyumsuz olaylar: M
N
İzin vermek k
– yazı tura atma sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=2
k
.
İzin vermek k
– zar atışlarının sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=6
k
.
Rastgele bir deneyde simetrik bir para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun. Çözüm.
Yalnızca 4 seçenek var: O; o o; pp; pp; O .
Uygun 2: O; R Ve P; O .
Olasılık 2/4 = 1/2 = 0,5
.
Cevap: 0,5. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın. Çözüm.
Zarlar 6 tarafı olan küplerdir. İlk zar 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 puan atabilir. Her puanlama seçeneği, ikinci zardaki 6 puanlama seçeneğine karşılık gelir. Onlar. toplam farklı seçenekler 6×6 = 36. Seçenekler (deney sonuçları) aşağıdaki gibi olacaktır: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
vesaire. ................................. 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
İki zarın puanlarının toplamının 8 olduğu sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım. 2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Toplamda 5 seçenek var. Olasılığı bulalım: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14. Cevap: 0.14. Biyoloji bilet koleksiyonunda sadece 55 bilet var, 11 tanesi botanikle ilgili bir soru içeriyor. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığını bulun. Çözüm:
Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığı 11/55 = 1/5 = 0,2'dir. Cevap: 0.2. Jimnastik şampiyonasına 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den ve geri kalanı Çin'den olmak üzere 20 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun. Çözüm.
Toplam 20 sporcu katılıyor bunların 20 – 8 – 7'si = 5'i Çin'den sporcu. Birinci yarışan sporcunun Çin'den olma olasılığı 5/20 = 1/4 = 0,25'tir. Cevap: 0,25. Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir? Çözüm:
Konferansın son gününde yapılması planlanan (75 – 17 × 3) : 2 = 12 rapor. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığı 12/75 = 4/25 = 0,16'dır. Cevap: 0.16. Badminton şampiyonasının ilk turunun başlamasından önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya Ruslan Orlov'un da aralarında bulunduğu 10'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 badminton oyuncusu katılıyor. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun mu? Çözüm:
Ruslan Orlov'un Rusya'dan bir badminton oyuncusuyla oynaması gerektiği dikkate alınmalıdır. Ve Ruslan Orlov'un kendisi de Rusya'dan. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığı 9/25 = 36/100 = 0,36. Cevap: 0,36. Dasha zarları iki kez atar. Toplamda 8 puan aldı. İlk atışta 2 puan alma olasılığını bulun. Çözüm.
İki zarda toplam 8 puan görünmelidir. Aşağıdaki kombinasyonlar varsa bu mümkündür: Toplamda 5 seçenek var. İlk atışta 2 puanın alındığı sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım. Bu seçenek 1'dir. Olasılığı bulalım: 1/5 = 0,2. Cevap: 0.2. Dünya Şampiyonasına 20 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri dört takımdan oluşan beş gruba ayrılmaları gerekiyor. Kutuda grup numaralarının karışık olduğu kartlar var: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Takım kaptanlarının her biri bir kart çeker. Rus takımının üçüncü grupta yer alma olasılığı nedir? Çözüm:
Toplamda 20 takım, 5 grup var. Her grupta 4 takım var. Yani toplam 20 sonuç var, ihtiyacımız olan 4, yani istenen sonucu elde etme olasılığı 4/20 = 0,2. Cevap: 0.2. İki fabrika araba farları için aynı camları üretiyor. İlk fabrika bu camların %45'ini, ikinci fabrika ise %55'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın %3'ünü, ikinci fabrika ise %1'ini üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığını bulun. Çözüm:
Camın ilk fabrikadan satın alınmış ve kusurlu olma olasılığı: R 1
= 0,45 · 0,03 = 0,0135. Camın ikinci bir fabrikadan alınmış ve kusurlu olma olasılığı: R 2
=
0,55 · 0,01 = 0,0055. Dolayısıyla toplam olasılık formülüne göre bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığı şuna eşittir: p = p 1
+ p 2
= 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Cevap: 0,019. Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0,52 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır. Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun. Çözüm:
Birinci ve ikinci oyunları kazanma olasılığı birbirine bağlı değildir. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir: p = 0,52 · 0,3 = 0,156. Cevap: 0,156. Bir biatloncu hedeflere beş kez ateş eder. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun hedefleri ilk üç seferde vurması ve son ikisinde ıskalama olasılığını bulun. Sonucu en yakın yüzlüğe yuvarlayın. Çözüm:
Bir sonraki atışın sonucu öncekilere bağlı değildir. Dolayısıyla “ilk atışta vurmak”, “ikinci atışta vurmak” vb. olaylar. bağımsız. Her vuruşun olasılığı 0,8'dir. Bu, kaçırma olasılığının 1 – 0,8 = 0,2 olduğu anlamına gelir. 1 atış: 0,8 2 atış: 0,8 3 atış: 0,8 4 atış: 0,2 5 atış: 0,2 Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma formülünü kullanarak istenen olasılığın şuna eşit olduğunu buluruz: 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Cevap: 0,02. Mağazada iki ödeme makinesi var. Her biri diğer makineden bağımsız olarak 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışma olasılığını bulun. Çözüm:
Her iki makinenin de arızalı olma olasılığını bulalım. Bu olaylar bağımsızdır, gerçekleşme olasılıkları bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0,05 · 0,05 = 0,0025. En az bir makinenin, tam tersinin çalışıyor olmasıyla oluşan olay. Bu nedenle olasılığı eşittir 1 − 0,0025 = 0,9975.
Cevap: 0,9975. Kovboy John'un sıfırlanmış bir tabancayı ateşlerse duvardaki sineğe çarpma şansı 0,9'dur. John ateşlenmemiş bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun. Çözüm:
John'un sıfırlanmış bir tabancayı alması durumunda ıskalama olasılığı: 0,4 (1 – 0,9) = 0,04 Ateşlenmemiş bir tabancayı alırsa John'un ıskalama olasılığı: 0,6 · (1 − 0,2) = 0,48 Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: 0,04 + 0,48 = 0,52.
Cevap: 0,52. Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,4, sonraki her atışta ise 0,6'dır. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,98 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek? Çözüm:
Bir dizi ardışık hatadan sonra hayatta kalma olasılığını hesaplayarak sorunu "eylem yoluyla" çözebilirsiniz: P(1) = 0,6; P(2) = P(1) 0,4 = 0,24; P(3) = P(2) 0,4 = 0,096; P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. İkinci olasılık 0,02'den azdır, dolayısıyla hedefe beş atış yeterlidir. Cevap: 5. Sınıfta 26 kişi var, aralarında iki ikiz var - Andrey ve Sergey. Sınıf rastgele 13'er kişilik iki gruba ayrılır. Andrey ve Sergey'in aynı grupta olma olasılığını bulun. Çözüm:
İkizlerden birinin bir grupta olmasına izin verin. Onunla birlikte grupta kalan 25 sınıf arkadaşından 12 kişi yer alacak. İkinci ikizin bu 12 kişiden olma olasılığı P = 12: 25 = 0,48. Cevap: 0,48. Resimde bir labirent görülüyor. Örümcek, Giriş noktasında labirentin içine doğru sürünür. Örümcek dönüp geriye doğru sürünemez, bu nedenle her dalda örümcek henüz emeklemediği yollardan birini seçer. Diğer yolun seçiminin tamamen rastgele olduğunu varsayarak, örümceğin D'den hangi olasılıkla çıkacağını belirleyin. Çözüm:
Örümcek, işaretli dört çatalın her birinde D çıkışına giden yolu veya 0,5 olasılıkla başka bir yolu seçebilir. Bunlar bağımsız olaylardır, bunların gerçekleşme olasılığı (örümceğin D çıkışına ulaşması) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Dolayısıyla D çıkışına ulaşma olasılığı (0,5) 4
= 0,0625.
. Buradan, 
..gif" genişlik = "587" yükseklik = "41">
. Yani, tablonun her hücresinde karşılık gelen değerleri ve ile çarpıyoruz, sonucu pij olasılığıyla çarpıyoruz ve tablonun tüm hücrelerinde hepsini topluyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Örnek 1. Sepette 9 kırmızı ve 3 mavi top bulunmaktadır. Toplar yalnızca renk bakımından farklılık gösterir. Bunlardan birini rastgele (bakmadan) çıkarıyoruz. Bu şekilde seçilen topun mavi olma olasılığı nedir?
Olay A: “seçilen topun mavi olduğu ortaya çıktı”
Olası tüm sonuçların toplam sayısı: 9+3=12 (çekebildiğimiz tüm topların sayısı)
A olayı için olumlu sonuçların sayısı: 3 (A olayının gerçekleştiği sonuçların sayısı - yani mavi topların sayısı)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Cevap: 0,25
Olası sonuçların toplam sayısı aynı kalacak, 12. Olumlu sonuçların sayısı: 9. Aranan olasılık: 9/12=3/4=0,75
Bazen günlük konuşmada (ancak olasılık teorisinde değil!) olayların olasılığı yüzde olarak tahmin edilir. Matematik ve konuşma puanları arasındaki geçiş, %100 ile çarpılarak (veya bölünerek) gerçekleştirilir.
Bu yüzden,
Üstelik gerçekleşemeyecek olayların olasılığı sıfırdır - inanılmaz. Örneğin örneğimizde bu, sepetten yeşil bir top çekme olasılığı olacaktır. (Olumlu sonuçların sayısı 0'dır, P(A)=0/12=0, eğer formül kullanılarak hesaplanırsa)
Olasılık 1'de, seçenekler olmadan gerçekleşmesi kesinlikle kesin olan olaylar vardır. Örneğin “seçilen topun kırmızı ya da mavi olma olasılığı” bizim görevimiz içindir. (Olumlu sonuç sayısı: 12, P(A)=12/12=1)
Kırmızı ve mavi topların yerine elmalar ve armutlar, kız ve erkek çocuklar, öğrenilmiş ve öğrenilmemiş biletler, herhangi bir konuya ilişkin soru içeren ve içermeyen biletler (prototipler), arızalı ve kaliteli çantalar veya bahçe pompaları (prototipler) olabilir. ,) - prensip aynı kalır.
Olumlu sonuçlar nelerdir? - Profesörün üçüncü gün konuşacağı ortaya çıkanlar. Yani son 20 sayı.
Formüle göre olasılık P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Cevap: 0,4
Olumlu sonuçlar - Fransızca. 8 kişi.
Gerekli olasılık: 8/16=1/2=0,5
Cevap: 0,5
2 sonuç vardır; yazı veya tura. (Madalyonun asla kenarına düşmediğine inanılır) Olumlu bir sonuç yazıdır, 1.
Olasılık 1/2=0,5
Cevap: 0,5.
Önemli olan, iki parayı atarken hangi temel sonuçları dikkate alacağımızı belirlemektir. İki madeni para atıldıktan sonra aşağıdaki sonuçlardan biri ortaya çıkabilir:
1) PP – her iki seferde de sorun çıktı
2) PO – ilk kez tura, ikinci kez tura
3) OP – ilk seferde tura, ikinci seferde kuyruk
4) OO – iki kere de tura geldi
Başka seçenek yok. Bu, 4 temel sonucun olduğu anlamına gelir. Yalnızca ilki, yani 1, olumludur.
Olasılık: 1/4=0,25
Cevap: 0,25
Temel sonuçların sayısı aynı, 4. Olumlu sonuçlar, ikinci ve üçüncü, 2.
Bir yazı gelme olasılığı: 2/4=0,5
Eğer bir yazı tura atıldığında olası seçenekler 2 sonucumuz var, o zaman iki atış için sonuçlar 2 2 = 2 2 = 4 olacaktır (örnek 5'te olduğu gibi), üç atış için 2 2 2 = 2 3 = 8, dört atış için: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... N atış için olası sonuçlar 2·2·...·2=2 N olacaktır.
Temel sonuçların toplam sayısı: 2 5 =32.
Olumlu sonuçlar: 1. (RRRRRR – 5 kez hepsine kafa atar)
Olasılık: 1/32=0,03125
Olumlu: 3 sonuç. (2, 4, 6)
Olasılık: 3/6=0,5
Toplamın 10 atması için hangi sonuçlar olumlu olacaktır?
10, 1'den 6'ya kadar iki sayının toplamına ayrıştırılmalıdır. Bu iki şekilde yapılabilir: 10=6+4 ve 10=5+5. Bu, küpler için aşağıdaki seçeneklerin mümkün olduğu anlamına gelir:
(Birincide 6, ikincide 4)
(Birincide 4 ve ikincide 6)
(Birincide 5, ikincide 5)
Toplam, 3 seçenek. Gerekli olasılık: 3/36=1/12=0,08
Cevap: 0,08
