అసలైనవి మరియు చిత్రాల పూర్తి పట్టిక. లాప్లేస్ రూపాంతరం

మునుపు, మేము కెర్నల్ K(t, O = e)తో సమగ్ర ఫోరియర్ పరివర్తనను పరిగణించాము.ఫోరియర్ పరివర్తన అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మొత్తం t అక్షం మీద f(t) ఫంక్షన్ యొక్క సంపూర్ణ సమగ్రత యొక్క పరిస్థితి సంతృప్తి చెందాలి.ది లాప్లేస్ రూపాంతరం ఈ పరిమితి నుండి మనల్ని మనం విడిపించుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.నిర్వచనం 1. ఫంక్షన్ ఈ క్రింది షరతులను సంతృప్తిపరిచే నిజమైన ఆర్గ్యుమెంట్ t యొక్క అసలైన ఏదైనా సంక్లిష్ట-విలువ గల ఫంక్షన్‌ని f(t) అని పిలుస్తాము: 1. f(t) మొత్తం మీద నిరంతరాయంగా ఉంటుంది. t అక్షం, f(t) 1వ రకం యొక్క నిలిపివేతను కలిగి ఉన్న వ్యక్తిగత బిందువులు తప్ప, మరియు అక్షం యొక్క ప్రతి పరిమిత విరామంలో * అటువంటి పాయింట్లు మాత్రమే ఉంటాయి చివరి సంఖ్య; 2. t యొక్క ప్రతికూల విలువలకు f(t) ఫంక్షన్ సున్నాకి సమానం, 3కి f(t) = 0. t పెరిగినప్పుడు, మాడ్యూల్ f(t) వేగంగా పెరగదు ఘాతాంక విధి, అంటే, M > 0 మరియు s సంఖ్యలు ఉన్నాయి, అన్ని t కోసం అసమానత (1) కొన్ని s = aj లకు నిజమైతే, అది ఏదైనా 82 > 8]కి కూడా నిజం అవుతుంది. అన్ని సంఖ్యల యొక్క ఖచ్చితమైన ఇన్ఫిమమ్ s0 3, «o = infs, దీని కోసం అసమానత (1) కలిగి ఉంటుంది, దీనిని f(t) ఫంక్షన్ యొక్క వృద్ధి సూచిక అంటారు. వ్యాఖ్య. IN సాధారణ కేసుఅసమానత కలిగి ఉండదు, కానీ e > 0 ఏదైనా ఉన్న అంచనా చెల్లుబాటు అవుతుంది. అందువలన, ఫంక్షన్ పెరుగుదల ఘాతాంకం 0 = దాని కోసం, అసమానత \t\ ^ M V* ^ 0 కలిగి ఉండదు, కానీ అసమానత |f| ^ మెయి. షరతు (*) కంటే కండిషన్ (1) చాలా తక్కువ నిర్బంధం. ఉదాహరణ 1. ఫంక్షన్ షరతును సంతృప్తిపరచదు ("), కానీ షరతు (1) ఏదైనా s ^ I మరియు A/ ^ I; వృద్ధి రేటు 5o = కాబట్టి ఇది అసలు విధి. మరోవైపు, ఫంక్షన్ అసలు ఫంక్షన్ కాదు: ఇది అనంతమైన పెరుగుదల క్రమాన్ని కలిగి ఉంది, “o = +oo. సరళమైన ఫంక్షన్-ఒరిజినల్ అనేది యూనిట్ ఫంక్షన్ అని పిలవబడేది. ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ 1 యొక్క షరతులు 1 మరియు 3ని సంతృప్తిపరిచినా, షరతు 2ని సంతృప్తి పరచకపోతే, ఉత్పత్తి ఇప్పటికే అసలైన ఫంక్షన్. సంజ్ఞామానం యొక్క సరళత కోసం, మేము ఒక నియమం వలె, కారకం rj(t)ని వదిలివేస్తాము, మేము పరిగణించే అన్ని విధులు ప్రతికూల tకి సున్నాకి సమానం అని నిర్దేశిస్తాము, కనుక మేము మాట్లాడుతున్నాముకొన్ని ఫంక్షన్ f(t), ఉదాహరణకు, sin ty cos t, el, మొదలైన వాటి గురించి, అప్పుడు క్రింది విధులు ఎల్లప్పుడూ సూచించబడతాయి (Fig. 2): n=n(0 Fig. 1 నిర్వచనం 2. f(t)ని తెలియజేయండి ) అనేది అసలైన ఫంక్షన్, f(t) ఫంక్షన్ యొక్క లాప్లేస్ ఇమేజ్ అనేది కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ యొక్క F(p) ఫంక్షన్, ఇది సూత్రం ద్వారా నిర్వచించబడింది LAPLACE TRANSFORM ప్రాథమిక నిర్వచనాలు గుణాలు ఫంక్షన్ల కన్వల్యూషన్ గుణకార సిద్ధాంతం చిత్రం నుండి అసలైనదాన్ని కనుగొనడం ఆపరేషనల్ కాలిక్యులస్ యొక్క విలోమ సిద్ధాంతం డుహామెల్ సూత్రం సరళ వ్యవస్థల ఏకీకరణ అవకలన సమీకరణాలుతో స్థిరమైన గుణకాలుధనాత్మక సెమీ-యాక్సిస్ t వెంట సమగ్రతను తీసుకున్న సమగ్ర సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. ఫంక్షన్ F(p)ని ఫంక్షన్ /(/) యొక్క లాప్లేస్ పరివర్తన అని కూడా పిలుస్తారు; పరివర్తన కెర్నల్ K(t) p) = e~pt. ఫంక్షన్ F(p)ని దాని ఇమేజ్‌గా కలిగి ఉందనే వాస్తవాన్ని మేము వ్రాస్తాము ఉదాహరణ 2. యూనిట్ ఫంక్షన్ r)(t) యొక్క ఇమేజ్‌ను కనుగొనండి. ఫంక్షన్ అనేది గ్రోత్ ఎక్స్‌పోనెంట్ 0 - 0తో ఉన్న అసలైన ఫంక్షన్. ఫార్ములా (2) ద్వారా, ఫంక్షన్ rj(t) యొక్క ఇమేజ్ ఫంక్షన్‌గా ఉంటుంది, అప్పుడు చివరి సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సమగ్రం కన్వర్జెంట్ అయినప్పుడు , మరియు మేము rj(t) ఫంక్షన్ యొక్క ఇమేజ్ ఫంక్షన్ £గా ఉండేలా పొందుతాము. మేము అంగీకరించినట్లుగా, మేము rj(t) = 1 అని వ్రాస్తాము, ఆపై పొందిన ఫలితం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: సిద్ధాంతం 1. ఏదైనా అసలైన ఫంక్షన్ f(t) గ్రోత్ ఇండెక్స్ 30తో, చిత్రం F(p) నిర్వచించబడుతుంది హాఫ్-ప్లేన్‌లో R e = s > s0 మరియు ఈ హాఫ్-ప్లేన్‌లో ఒక విశ్లేషణాత్మక విధి (Fig. 3). సూచించిన హాఫ్-ప్లేన్‌లో చిత్రం F(p) ఉనికిని నిరూపించడానికి, దానిని స్థాపించడానికి సరిపోతుంది సరికాని సమగ్ర(2) పూర్తిగా ఒక కోసం కలుస్తుంది > (3) ఉపయోగించి, ఇది సమగ్ర (2) యొక్క సంపూర్ణ కలయికను రుజువు చేస్తుంది. అదే సమయంలో, మేము లాప్లేస్ పరివర్తన F(p) యొక్క అర్ధ-సమాధిలో ఒక అంచనాను పొందాము. p కి సంబంధించి సమగ్ర సంకేతం క్రింద అధికారికంగా వ్యక్తీకరణ (2) భేదం, మేము కనుగొన్నాము. సమగ్ర (5) ఉనికి సమగ్ర (2) ఉనికిని స్థాపించిన విధంగానే స్థాపించబడింది. F"(p) కోసం భాగాల ద్వారా ఏకీకరణను వర్తింపజేయడం ద్వారా, మేము దానిని అనుసరించే అంచనాను పొందుతాము సంపూర్ణ కలయికసమగ్ర (5). (ఇంటిగ్రల్ కాని పదం,0.,- t +oo వద్ద సున్నాకి సమానమైన పరిమితి ఉంటుంది). ఏదైనా హాఫ్-ప్లేన్ రెప్ ^ sj > o, సమగ్ర (5) p కి సంబంధించి ఏకరీతిగా కలుస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది p నుండి స్వతంత్రంగా ఒక కన్వర్జెంట్ ఇంటిగ్రల్‌తో మెజారిజ్ చేయబడింది. తత్ఫలితంగా, pకి సంబంధించి భేదం చట్టపరమైనది మరియు సమానత్వం (5) నిజం. ఉత్పన్నం F"(p) ఉనికిలో ఉన్నందున, లాప్లేస్ ప్రతిచోటా F(p)ని అర్ధ-విమానం Rep = 5 > 5о అనేది ఒక విశ్లేషణాత్మక విధి. అసమానత (4) పర్యవసానాన్ని సూచిస్తుంది. p అనంతం వైపు మొగ్గు చూపితే Re p = s పరిమితి లేకుండా పెరుగుతుంది , ఆపై ఉదాహరణ 3. ఏదైనా సంక్లిష్ట సంఖ్య, ఫంక్షన్ యొక్క ప్రాతినిధ్యాన్ని కూడా కనుగొనండి. ఫంక్షన్ /(()) యొక్క ఘాతాంకం a కి సమానం. 4 Rep = i > aని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ విధంగా పొందుతాము , a = 0 కోసం, మేము మళ్లీ ఫార్ములాని పొందుతాము, ఫంక్షన్ ఈట్ యొక్క చిత్రం ఆర్గ్యుమెంట్ p యొక్క విశ్లేషణాత్మక విధిగా పరిగణించబడుతుంది అనే విషయంపై దృష్టి పెడతాము. , పాయింట్ p = a మినహా, ఈ చిత్రం సాధారణ పోల్‌ను కలిగి ఉంటుంది. భవిష్యత్తులో, మేము దీనితో ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు కలుస్తాము. ఇదే పరిస్థితి, వివిక్త ఏకవచన బిందువులను మినహాయించి, సంక్లిష్ట వేరియబుల్ p యొక్క మొత్తం ప్లేన్‌లో చిత్రం F(p) విశ్లేషణాత్మక విధిగా ఉన్నప్పుడు. సిద్ధాంతం 1 తో ఎటువంటి వైరుధ్యం లేదు. రెండోది సగం-ప్లేన్ రెప్ > o ఫంక్షన్‌లో F(p)కి ఏకవచన పాయింట్లు లేవని మాత్రమే పేర్కొంది: అవన్నీ Rep = so అనే పంక్తికి ఎడమవైపు లేదా ఈ రేఖలోనే ఉంటాయి. గమనించవద్దు. కార్యాచరణ కాలిక్యులస్‌లో, ఫంక్షన్ f(f) యొక్క హెవీసైడ్ ప్రాతినిధ్యం కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది సమానత్వం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది మరియు కారకం p ద్వారా లాప్లేస్ ప్రాతినిధ్యం నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. §2. లాప్లేస్ రూపాంతరం యొక్క లక్షణాలు క్రింది వాటిలో, మేము అసలైన విధులు మరియు వాటి లాప్లేస్ చిత్రాలను సూచిస్తాము.ఒక చిత్రం యొక్క నిర్వచనం నుండి అది సిద్ధాంతం 2 (ఏకత్వం) అయితే. £biw డీ నిరంతర విధులు) ఒకే చిత్రాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అప్పుడు అవి ఒకేలా సమానంగా ఉంటాయి. Teopewa 3 (p'ieiost* లాప్లేస్ యొక్క రూపాంతరం). ఫంక్షన్‌లు అసలైనవి అయితే, ఏదైనా సంక్లిష్ట స్థిరాంకాల కోసం α ఇమేజ్‌ని నిర్వచించే ఇంటిగ్రల్ యొక్క లీనియరిటీ ప్రాపర్టీ నుండి స్టేట్‌మెంట్ యొక్క చెల్లుబాటు అనుసరించబడుతుంది: , ఫంక్షన్‌ల పెరుగుదల సూచికలు వరుసగా). ఈ ఆస్తి ఆధారంగా, మేము అదే విధంగా పొందుతాము, మేము దానిని కనుగొంటాము మరియు ఇంకా, సిద్ధాంతం 4 (సారూప్యతలు). f(t) అనేది అసలైన ఫంక్షన్ మరియు F(p) అనేది దాని లాప్లేస్ ఇమేజ్ అయితే, ఏదైనా స్థిరాంకం కోసం > O. = m వద్ద సెట్టింగ్, మేము ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము, సూత్రాల నుండి (5) మరియు (6) మేము సిద్ధాంతాన్ని పొందుతాము 5 (అసలు యొక్క భేదంపై). చిత్రం F(p)తో ఒరిజినల్ ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి మరియు అసలు ఫంక్షన్‌లు కూడా అయి ఉండనివ్వండి మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రోత్ ఇండెక్స్ ఎక్కడ ఉంది అప్పుడు మరియు సాధారణంగా ఇక్కడ మనం సరైన పరిమితి విలువ లెట్ అని అర్థం. మన దగ్గర ఉన్న ఇమేజ్‌ని పార్ట్‌ల వారీగా అనుసంధానం చేద్దాం, (10) యొక్క కుడి వైపున ఉన్న సమగ్ర పదాన్ని k వలె పొందుతాము. Rc р = s > з కోసం మనకు ప్రత్యామ్నాయం t = Odets -/(0) . (10)లో కుడివైపున ఉన్న రెండవ పదం pF(p)కి సమానం. అందువలన, సంబంధం (10) రూపాన్ని తీసుకుంటుంది మరియు సూత్రం (8) నిరూపించబడింది. ప్రత్యేకించి, f(n\t) చిత్రాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఎక్కడి నుండి వ్రాస్తామో, n సమయాలను భాగాల వారీగా ఏకీకృతం చేస్తే, మేము ఉదాహరణ 4ని పొందుతాము. అసలు యొక్క భేదంపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, f(t) = ఫంక్షన్ యొక్క చిత్రాన్ని కనుగొనండి. పాపం2 టి. కాబట్టి, సిద్ధాంతం 5 ఏర్పాటు చేస్తుంది అద్భుతమైన ఆస్తి సమగ్ర పరివర్తనలాప్లేస్: ఇది (ఫోరియర్ పరివర్తన వంటిది) భేదీకరణ ఆపరేషన్‌ను మారుస్తుంది బీజగణిత ఆపరేషన్ p ద్వారా గుణించడం. చేరిక సూత్రం. అవి అసలైన విధులు అయితే, వాస్తవానికి, సిద్ధాంతం 1కి పరస్పర సంబంధం కారణంగా, ప్రతి చిత్రం సున్నాకి ఉంటుంది. దీనర్థం చేరిక సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది (సిద్ధాంతము 6 (చిత్రం యొక్క భేదంపై) చిత్రం యొక్క భేదం అసలైనదానితో గుణకారంగా తగ్గించబడుతుంది. సగం-తలంలో F(p) ఫంక్షన్ విశ్లేషణాత్మకమైనది కాబట్టి, దానిని భేదీకరించవచ్చు. p కి సంబంధించి. మనకు రెండోది కేవలం అర్థం, ఉదాహరణ 5. సిద్ధాంతం 6ని ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ 4 యొక్క ఇమేజ్‌ని కనుగొనడం తెలిసినట్లుగా, అందుకే (సిద్ధాంతాన్ని మళ్లీ వర్తింపజేస్తే, సాధారణంగా, సిద్ధాంతం 7 (ఏకీకరణ) ఒరిజినల్ యొక్క ఏకీకరణ అనేది చిత్రాన్ని లెట్ ద్వారా విభజించడానికి తగ్గించబడింది, అసలు ఫంక్షన్ ఉంటే, అది అసలైన ఫంక్షన్ అని తనిఖీ చేయడం సులభం, మరియు వీలు. దీని కారణంగా మరోవైపు, ఎక్కడ నుండి F= రెండోది నిరూపించబడిన సంబంధానికి సమానం (13). ఉదాహరణ 6. M B ఫంక్షన్ యొక్క చిత్రాన్ని కనుగొనండి ఈ విషయంలో, కాబట్టి. అందువల్ల సిద్ధాంతం 8 (ఇమేజ్ ఇంటిగ్రేషన్). సమగ్రం కూడా కలిసినట్లయితే, అది ఫంక్షన్ యొక్క చిత్రంగా పనిచేస్తుంది ^: లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ ప్రాథమిక నిర్వచనాలు గుణాలు ఫంక్షన్ల కన్వల్యూషన్ గుణకార సిద్ధాంతం ఒక చిత్రం నుండి అసలైనదాన్ని కనుగొనడం కార్యాచరణ కాలిక్యులస్ యొక్క విలోమ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం డుహామెల్ యొక్క సూత్రం సరళ భేదాత్మక వ్యవస్థలతో స్థిరమైన వ్యవస్థలను సమగ్రపరచడం కోఎఫీషియంట్స్ సాల్వింగ్ ఇంటిగ్రల్ ఈక్వేషన్స్ నిజానికి, ఇంటిగ్రేషన్ యొక్క మార్గం సగం-ప్లేన్‌పై ఉందని ఊహిస్తే, మనం ఏకీకరణ క్రమాన్ని మార్చవచ్చు చివరి సమానత్వం అంటే ఇది ఫంక్షన్ యొక్క చిత్రం ఉదాహరణ 7. ఫంక్షన్ M యొక్క చిత్రాన్ని కనుగొనండి తెలిసినట్లుగా, . కాబట్టి, మనకు £ = 0 లభిస్తుందని భావించడం వలన, ఎప్పుడు. కాబట్టి, సంబంధం (16) ఉదాహరణ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. గ్రాఫికల్‌గా పేర్కొన్న ఫంక్షన్ f(t) యొక్క ఇమేజ్‌ను కనుగొనండి (Fig. 5). f(t) in ఫంక్షన్ కోసం వ్యక్తీకరణను వ్రాద్దాం క్రింది రూపం: ఈ వ్యక్తీకరణను ఇలా పొందవచ్చు. ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి మరియు దాని నుండి ఫంక్షన్‌ను తీసివేయండి. వ్యత్యాసం ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఫలిత వ్యత్యాసానికి మనం ఫంక్షన్‌ని జోడిస్తాము. ఫలితంగా, మేము ఫంక్షన్ f(t) (Fig. 6 c)ని పొందుతాము, తద్వారా ఇక్కడ నుండి, ఆలస్యం సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మేము సిద్ధాంతం 10 (స్థానభ్రంశం)ని కనుగొంటాము. అప్పుడు ఎవరికైనా సంక్లిష్ట సంఖ్య ro వాస్తవానికి, ఘాతాంక ఫంక్షన్‌తో గుణించబడిన అదే ఫంక్షన్‌ల చిత్రాలను కనుగొనడానికి ఫంక్షన్‌ల యొక్క తెలిసిన చిత్రాలను ఉపయోగించడం సిద్ధాంతం సాధ్యం చేస్తుంది, ఉదాహరణకు, 2.1. ఫంక్షన్ మడత. గుణకార సిద్ధాంతం f(t) ఫంక్షన్‌లను నిర్వచించనివ్వండి మరియు అన్ని t కోసం నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి. ఈ ఫంక్షన్ల కన్వల్యూషన్ అంటారు కొత్త కథనం t పై, సమానత్వం ద్వారా నిర్వచించబడింది (ఈ సమగ్రత ఉంటే). ఒరిజినల్ ఫంక్షన్‌ల కోసం, ఆపరేషన్ కన్వాల్వ్ ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది మరియు (17) 4 వాస్తవానికి, m యొక్క విధిగా అసలైన ఫంక్షన్‌ల ఉత్పత్తి పరిమిత ఫంక్షన్, అనగా. కొంత పరిమిత విరామం వెలుపల అదృశ్యమవుతుంది (ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ వెలుపల. పరిమిత నిరంతర విధుల కోసం, కన్వల్యూషన్ ఆపరేషన్ సాధ్యమవుతుంది, మరియు మేము సూత్రాన్ని పొందుతాము ఇది కన్వల్యూషన్ ఆపరేషన్ కమ్యుటేటివ్ అని ధృవీకరించడం కష్టం కాదు, సిద్ధాంతం 11 (గుణకారం). , అప్పుడు కన్వల్యూషన్ t) ఒక ఇమేజ్‌ని కలిగి ఉంది, కన్వల్యూషన్ (ఒరిజినల్ ఫంక్షన్‌ల యొక్క గ్రోత్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో ఉన్న అసలైన ఫంక్షన్ » ఇక్కడ, ఫంక్షన్‌ల గ్రోత్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌లు వరుసగా ఉంటాయి అని ధృవీకరించడం కష్టం కాదు. మనం ఇమేజ్‌ని కనుగొంటాము కన్వల్యూషన్ యొక్క. మన వద్ద ఉన్నదాన్ని ఉపయోగించడం. కుడి వైపున ఉన్న సమగ్రంలో ఏకీకరణ క్రమాన్ని మార్చడం (అటువంటి ఆపరేషన్ చట్టబద్ధమైనది) మరియు రిటార్డేషన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా, మేము ఈ విధంగా (18) మరియు (19) నుండి పొందుతాము ఇమేజ్‌ల గుణకారం అసలైన వాటి కన్వల్యూషన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, Prter 9. ఫంక్షన్ యొక్క ఇమేజ్‌ని కనుగొనండి A ఫంక్షన్ V(0) అనేది ఫంక్షన్‌ల కన్వల్యూషన్. గుణకార సిద్ధాంతం కారణంగా సమస్య. ఫంక్షన్ /(ξ) దీనితో ఆవర్తనంగా ఉండనివ్వండి కాలం T , అనేది అసలైన ఫంక్షన్. దాని లాప్లేస్ ఇమేజ్ F(p) ఫార్ములా 3 ద్వారా ఇవ్వబడిందని చూపండి. చిత్రం నుండి అసలైనదాన్ని కనుగొనడం సమస్య క్రింది విధంగా ఉంది: F(p) ఫంక్షన్‌ను బట్టి, మనం ఫంక్షన్‌ను కనుగొనాలి /(<)>దీని చిత్రం F(p). కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ p యొక్క ఫంక్షన్ F(p)కి ఇమేజ్‌గా పనిచేయడానికి సరిపడా షరతులను రూపొందిద్దాం. సిద్ధాంతం 12. హాఫ్-ప్లేన్‌లో ఒక ఫంక్షన్ F(p) విశ్లేషణాత్మకంగా ఉంటే 1) arg pకి సంబంధించి ఏదైనా సగం-ప్లేన్ R s0 ఏకరీతిలో సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది; 2) సమగ్రత ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది, అప్పుడు F(p) అనేది కొన్ని అసలైన ఫంక్షన్ సమస్య యొక్క చిత్రం. F(p) = ఫంక్షన్ కొంత అసలైన ఫంక్షన్‌కి ఇమేజ్‌గా ఉపయోగపడుతుందా? చిత్రం నుండి అసలైనదాన్ని కనుగొనడానికి మేము కొన్ని మార్గాలను సూచిస్తాము. 3.1 ఇమేజ్ టేబుల్‌లను ఉపయోగించి అసలైనదాన్ని కనుగొనడం అన్నింటిలో మొదటిది, F(p) ఫంక్షన్‌ను సరళమైన, “పట్టిక” ఫారమ్‌కు తీసుకురావడం విలువ. ఉదాహరణకు, సందర్భంలో F(p) - పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్వాదన p, ఇది ప్రాథమిక భిన్నాలుగా కుళ్ళిపోతుంది మరియు లాప్లేస్ రూపాంతరం యొక్క తగిన లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణ 1. కోసం అసలైనదాన్ని కనుగొనండి మేము F(p) ఫంక్షన్‌ను ఫారమ్‌లో వ్రాస్తాము స్థానభ్రంశం సిద్ధాంతం మరియు లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్ యొక్క లీనియరిటీ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి, మేము ఉదాహరణ 2ని పొందుతాము. ఫంక్షన్ కోసం అసలైనదాన్ని కనుగొనండి 4 మేము F(p)ని వ్రాస్తాము రూపం కాబట్టి 3.2. విలోమ సిద్ధాంతం మరియు దాని సహసంబంధమైన సిద్ధాంతం 13 (విలోమం) ఉపయోగించడం. ఫంక్షన్ ఫిట్) అనేది గ్రోత్ ఎక్స్‌పోనెంట్ s0తో ఉన్న అసలైన ఫంక్షన్ అయితే, F(p) అనేది దాని ఇమేజ్ అయితే, f(t) ఫంక్షన్ యొక్క ఏదైనా కొనసాగింపు పాయింట్‌లో ఏదైనా సరళ రేఖ వెంట సమగ్రతను తీసుకున్న చోట సంబంధం సంతృప్తి చెందుతుంది. ప్రధాన విలువ యొక్క అర్థంలో అర్థం, అనగా ఫార్ములా (1) లాప్లేస్ పరివర్తన విలోమ సూత్రం లేదా మెల్లిన్ సూత్రం అంటారు. నిజానికి, ఉదాహరణకు, f(t) ప్రతి పరిమిత విభాగంలో మెత్తగా ఉంటుంది.

ఫలితంగా, మేము అసలైనదాన్ని పొందుతాము:

y(t) = 0.85 – 0.18 e -2.54 t – 2 e -0.18 t .

నిర్వచనం. అసలైన ఫంక్షన్ అనేది షరతులను సంతృప్తిపరిచే నిజమైన ఆర్గ్యుమెంట్ t యొక్క ఏదైనా సంక్లిష్ట-విలువ గల ఫంక్షన్ f (t):

1 0 f (t) t అక్షం యొక్క ఏదైనా పరిమిత విరామంపై సమగ్రంగా ఉంటుంది;

అన్ని ప్రతికూల t కోసం 2 0: f (t)=0;

3 0 f (t) ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ కంటే వేగంగా పెరుగుతుంది, అనగా స్థిరాంకాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని t కోసం సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది

ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్ అసలు ఫంక్షన్ అని చూపించు.

నిజానికి, ఫంక్షన్ f (t) స్థానికంగా ఇంటిగ్రేబుల్, అంటే,

షరతు 2 0 కూడా సంతృప్తి చెందింది.

షరతు 3 0: .

సరళమైన ఫంక్షన్ - అసలైనది హెవీసైడ్ యూనిట్ ఫంక్షన్ అని పిలవబడేది

హెవీసైడ్ ఫంక్షన్ (యూనిట్ స్టెప్ ఫంక్షన్, యూనిట్ జంప్ ఫంక్షన్, చేర్చబడిన యూనిట్) అనేది పీస్‌వైస్ స్థిరమైన ఫంక్షన్, సున్నాకి సమానంకోసం ప్రతికూల విలువలువాదన మరియు యూనిట్ - సానుకూల వాటి కోసం. సున్నా వద్ద, ఈ ఫంక్షన్, సాధారణంగా చెప్పాలంటే, నిర్వచించబడలేదు, అయితే ఇది సాధారణంగా ఈ సమయంలో నిర్దిష్ట సంఖ్యతో అనుబంధించబడుతుంది, తద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నిజమైన అక్షం యొక్క అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది. చాలా తరచుగా ఫంక్షన్ సున్నా వద్ద ఏ విలువను తీసుకుంటుందో పట్టింపు లేదు, కాబట్టి వాటిని ఉపయోగించవచ్చు వివిధ నిర్వచనాలుహెవీసైడ్ ఫంక్షన్లు, ఒక కారణం లేదా మరొక కారణంగా అనుకూలమైనవి, ఉదాహరణకు:

హెవీసైడ్ ఫంక్షన్ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది గణిత ఉపకరణంనియంత్రణ సిద్ధాంతం మరియు సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్ సిద్ధాంతం ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో ఒక రాష్ట్రం నుండి మరొక స్థితికి కదులుతున్న సంకేతాలను సూచిస్తుంది. IN గణిత గణాంకాలుఈ ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడుతుంది, ఉదాహరణకు, రికార్డ్ చేయడానికి అనుభావిక పనితీరుపంపిణీలు. ఆలివర్ హెవిసైడ్ పేరు పెట్టారు.

నిర్వచనం. ఒక ఫంక్షన్ f (t) యొక్క లాప్లేస్ చిత్రం సమానత్వం ద్వారా నిర్వచించబడిన సంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ F(p)

F(p) అనేది f (t) ఫంక్షన్ యొక్క ఇమేజ్ అయితే, దానిని ఇలా వ్రాయండి:

దీని కోసం F(p)ని కనుగొనండి:

అలాగే

లాప్లేస్ పరివర్తన యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు

10 . లీనియారిటీ ప్రాపర్టీ.

ఏదైనా క్లిష్టమైన శాశ్వత మరియు

20. సారూప్యత సిద్ధాంతం.

ఫంక్షన్ f (at), ఇక్కడ a >0 యొక్క చిత్రాన్ని కనుగొనండి

ఉదాహరణకి,

అదేవిధంగా,

ముప్పై . అసలు యొక్క భేదం.

విధులు విధులు అయితే - అసలైనవి మరియు, అప్పుడు

అని నిరూపిద్దాం.

నిజానికి,

రుజువు మిగిలిన డెరివేటివ్‌లకు సమానంగా ఉంటుంది.

4 0 చిత్ర భేదం.

చిత్రం యొక్క భేదం అసలైనదాని (- t) ద్వారా గుణకారంగా తగ్గించబడుతుంది

విలోమ లాప్లేస్ రూపాంతరం

ఇచ్చిన చిత్రం F (p) నుండి అసలైన f (t)ని పునరుద్ధరించడానికి, సరళమైన సందర్భాల్లో, చిత్రాల పట్టిక ఉపయోగించబడుతుంది (టేబుల్ 1 చూడండి). అదనపు ఉపయోగాలుఇచ్చిన చిత్రం నుండి అసలైనదాన్ని పునరుద్ధరించే అవకాశాలను గణనీయంగా విస్తరించడానికి చిత్ర లక్షణాలు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

సిద్ధాంతం (రీమాన్-మెలిన్). గ్రోత్ ఇండెక్స్‌తో ఫంక్షన్ f (t) అసలైనదిగా ఉండనివ్వండి మరియు F (p) దాని చిత్రంగా ఉండనివ్వండి. ఏ సమయంలోనైనా t అసలు f (t) యొక్క కొనసాగింపు చెల్లుతుంది, రీమాన్-మెల్లిన్ సూత్రం సూత్రానికి విలోమంగా ఉంటుంది మరియు దీనిని విలోమ లాప్లేస్ పరివర్తన అంటారు.

ఫంక్షన్ f (t) అనేది 1వ రకానికి చెందిన డిస్‌కంటిన్యూటీ పాయింట్ అయిన పాయింట్ వద్ద, రీమాన్-మెల్లిన్ ఫార్ములా యొక్క కుడి వైపు సమానంగా ఉంటుంది

చిత్రం F (p) నుండి అసలైన f (t)ని పునరుద్ధరించడానికి విలోమ సూత్రాన్ని నేరుగా ఉపయోగించడం కష్టం. అసలైనదాన్ని కనుగొనడానికి, కుళ్ళిపోయే సిద్ధాంతాలను సాధారణంగా ఉపయోగిస్తారు.

సిద్ధాంతం (మొదటి కుళ్ళిన సిద్ధాంతం). ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో F (p) ఫంక్షన్ లారెంట్ సిరీస్‌గా సూచించబడితే

అప్పుడు ఫంక్షన్ F (p) చిత్రాన్ని కలిగి ఉన్న అసలైనది:

రెండవ విఘటన సిద్ధాంతాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు.

సిద్ధాంతం (రెండవ కుళ్ళిపోయే సిద్ధాంతం). హేతుబద్ధత సరైనది అయితే తగ్గించలేని భిన్నం, హారం Q (p) యొక్క ప్రధాన లేదా బహుళ సున్నాలు, ఆపై చిత్రం F (p)కి సంబంధించిన అసలైన f (t), సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

ప్రత్యేకించి, హారం సాధారణ పోల్స్ అయితే, అప్పుడు ఫంక్షన్

F(p) చిత్రాన్ని కలిగి ఉన్న అసలైనది.

సిద్ధాంతం. F (p) కింది లక్షణాలను కలిగి ఉన్న కాంప్లెక్స్ వేరియబుల్ p యొక్క ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి:

1) ఫంక్షన్ F (p), ప్రారంభంలో సగం-విమానంలో నిర్వచించబడింది మరియు దానిలోని పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తుంది:

ఎ) ఎఫ్ (పి) - విశ్లేషణాత్మక విధిసగం విమానంలో;

బి) ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ F (p) ఏకరీతి సాపేక్షంగా సున్నాకి ఉంటుంది;

సి) అన్నింటికీ, సరికాని సమగ్ర కలుస్తుంది;

d) మొత్తం సంక్లిష్ట సమతలానికి విశ్లేషణాత్మకంగా విస్తరించవచ్చు.

2) హాఫ్-ప్లేన్‌లో ఫంక్షన్ F (p) యొక్క విశ్లేషణాత్మక కొనసాగింపు జోర్డాన్ లెమ్మా యొక్క పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

అప్పుడు క్రింది సంబంధం కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ t >0 మరియు ఏక బిందువులు(పోల్స్, తప్పనిసరిగా ఏకవచన బిందువులు) ఫంక్షన్ యొక్క సగం-ప్లేన్‌లోకి F (p) యొక్క విశ్లేషణాత్మక కొనసాగింపు, .

f (t) ఫంక్షన్ గ్రోత్ ఎక్స్‌పోనెంట్‌తో అసలైనదిగా ఉండనివ్వండి మరియు అంతిమ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. అప్పుడు మనం దాని కోసం ఫోరియర్ సమగ్రతను వ్రాయవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, సూత్రం జరుగుతుంది:

లాప్లేస్ ఇంటిగ్రల్‌లో పరామితి మరియు సమగ్రం యొక్క కలయిక కోసం ఎంపిక చేయబడిందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మనం వ్రాయవచ్చు:

ఫలితంగా లాప్లేస్ సమగ్రతను ఫోరియర్ పరివర్తనతో పోల్చడం ద్వారా, చిత్రం ఫంక్షన్ కోసం ప్రత్యక్ష ఫోరియర్ రూపాంతరం అని స్పష్టమవుతుంది.

దరఖాస్తును ఉపయోగించినప్పుడు ASR యొక్క అధ్యయనం గణనీయంగా సరళీకృతం చేయబడింది గణిత పద్ధతులుకార్యాచరణ కాలిక్యులస్, ఇది మీరు అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నుండి బీజగణిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట వ్యవస్థ యొక్క పనితీరు రూపం యొక్క అవకలన సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది

ఇక్కడ x మరియు y ఇన్‌పుట్ మరియు అవుట్‌పుట్ పరిమాణాలు. లోపల ఉంటే ఇచ్చిన సమీకరణంసంక్లిష్ట వేరియబుల్ యొక్క x(t) మరియు y(t) ప్రత్యామ్నాయ విధులు X(s) మరియు Y(s) లకు బదులుగా

మరియు , (2.2)

అప్పుడు సున్నా వద్ద అసలు రిమోట్ కంట్రోల్ ప్రారంభ పరిస్థితులులీనియర్‌కు సమానం బీజగణిత సమీకరణం

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

ఒక అవకలన సమీకరణం నుండి బీజగణిత సమీకరణానికి ఇటువంటి పరివర్తన అంటారు లాప్లేస్ రూపాంతరం , సూత్రాలు (2.2) వరుసగా లాప్లేస్ పరివర్తన సూత్రాలు , మరియు ఫలిత సమీకరణం ఆపరేటర్ సమీకరణం .

కొత్త ఫంక్షన్లు X(లు) మరియు Y(లు) అంటారు చిత్రాలు x(t) మరియు y(t) లాప్లేస్ అయితే x(t) మరియు y(t) అసలైనవి X(లు) మరియు Y(లు)కి సంబంధించి

ఒక మోడల్ నుండి మరొక మోడల్‌కు మారడం చాలా సులభం మరియు వ్యత్యాసాల సంకేతాలను ఆపరేటర్లు s n, కారకాలతో సమగ్రాల సంకేతాలు మరియు x(t) మరియు y(t) చిత్రాలతో వాటిని X(లు) మరియు Y(లు)తో భర్తీ చేయడంలో ఉంటుంది. )

టేబుల్ 1.1 - లాప్లేస్ రూపాంతరం

అసలు x(t)	చిత్రం X(లు)
d-ఫంక్షన్
t
t 2
tn
ఇ - ఒక టి
a. x(t)	a. X(లు)
x(t - a)	X(లు) . e-a లు
	s n. X(లు)

టేబుల్ 1.2 - సూత్రాలు విలోమ మార్పిడిలాప్లేస్ (అదనంగా)

ఆపరేటర్ సమీకరణం నుండి సమయం యొక్క విధులకు రివర్స్ పరివర్తన కోసం, పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది విలోమ లాప్లేస్ రూపాంతరం . సాధారణ సూత్రంవిలోమ లాప్లేస్ పరివర్తన:

, (2.3)

ఇక్కడ f(t) అనేది అసలైనది, F(jw) అనేది s = jw వద్ద ఉన్న చిత్రం, j అనేది ఊహాత్మక యూనిట్, w అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ.

ఈ ఫార్ములా చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ప్రత్యేక పట్టికలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి (పట్టికలు 1.1 మరియు 1.2 చూడండి), ఇవి చాలా తరచుగా సంభవించే F(లు) ఫంక్షన్‌లు మరియు వాటి అసలైన f(t)లను సంగ్రహిస్తాయి. వారు తిరస్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తారు ప్రత్యక్ష ఉపయోగంసూత్రాలు (2.3). మరింత పూర్తి పట్టికలులాప్లేస్ రూపాంతరాలను కనుగొనవచ్చు, ఉదాహరణకు, లో.

అనేక లాప్లేస్ పరివర్తన సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి.

సిద్ధాంతం 1.లీనియారిటీ సిద్ధాంతం. ఫంక్షన్ల మొత్తం యొక్క ఇమేజ్ ఇమేజ్‌ల మొత్తానికి సమానం, అంటే, f 1లో F 1 (లు) ఇమేజ్ ఉంటే (లేదా మరింత క్లుప్తంగా f 1 "F 1 (s)), f 2 "F 2 (s) ), మొదలైనవి, అప్పుడు

ఒక 1. f 1 + a 2 . f 2 + … + a n. f n « a 1 . F 1 (లు) + a 2 . F 2 (లు) + … + a n . Fn(లు).

సిద్ధాంతం 2.భేద సిద్ధాంతం. f(t) F(s) ఇమేజ్‌ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు సున్నా ప్రారంభ పరిస్థితులలో (అంటే, f(0) = 0, f'(0) = 0, మొదలైనవి) f(t) యొక్క ఉత్పన్నాలు చిత్రాలను కలిగి ఉంటాయి :

f'(t) «లు . F(లు) – మొదటి ఉత్పన్నం కోసం,

f ”(t) “ లు 2. F(లు) – రెండవ ఉత్పన్నం కోసం,

f (n) (t) « s n . F(లు) - nవ ఉత్పన్నం కోసం.

సున్నా కాని ప్రారంభ పరిస్థితుల కోసం:

f'(t) «లు . F(లు) – f(0) – మొదటి ఉత్పన్నం కోసం,

f ”(t) “ లు 2. F(s) – s . f(0) – f’(0) – రెండవ ఉత్పన్నం కోసం,

f (n) (t) « s n. F(లు) – s n-1. f(0) - s n-2. f’(0) - … - f (n-1) (0) – nవ కోసం.

సిద్ధాంతం 3.స్థానభ్రంశం సిద్ధాంతం.

f(t) . e a × t « F(s - a).

ఉదాహరణకు, 1(t) « (టేబుల్ 1.1 చూడండి) అయితే 1 . ఇ ఎ × టి « .

సిద్ధాంతం 4.ఆలస్యం సిద్ధాంతం.

f(t - t) « F(లు) . e - t × s,

ఇక్కడ t అనేది సమయం ఆలస్యం.

ఉదాహరణకు, 1(t) « , అప్పుడు 1(t - t) « అయితే .

సిద్ధాంతం 5.ఏకీకరణ సిద్ధాంతం.

.

సిద్ధాంతం 6. ప్రారంభ మరియు చివరి విలువల గురించి.

,

,

ఇక్కడ f(0) అనేది ఫంక్షన్ యొక్క ప్రారంభ విలువ (t = 0 వద్ద),

f సెట్ - చివరి (స్థిరమైన స్థితిలో విలువ).

అవుట్‌పుట్ సిగ్నల్ యొక్క మార్పు యొక్క చట్టం సాధారణంగా కనుగొనవలసిన ఫంక్షన్, మరియు ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ సాధారణంగా తెలుసు. కొన్ని సాధారణ ఇన్‌పుట్ సంకేతాలు విభాగం 2.3లో చర్చించబడ్డాయి. వారి చిత్రాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

ఒకే దశ చర్యలో చిత్రం X(లు) = ,

డెల్టా ఫంక్షన్ X(లు) = 1,

సరళ ప్రభావం X(లు) = .

ఉదాహరణ. లాప్లేస్ ట్రాన్స్‌ఫార్మ్‌లను ఉపయోగించి DE ని పరిష్కరించడం.

ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ ఒకే దశ ప్రభావం యొక్క రూపాన్ని కలిగి ఉందని అనుకుందాం, అనగా. x(t) = 1. అప్పుడు ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఇమేజ్, టేబుల్ 1.1 ప్రకారం, X(s) = రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

మేము లాప్లేస్ మరియు ప్రత్యామ్నాయ X(లు) ప్రకారం అసలైన అవకలన సమీకరణాన్ని మారుస్తాము:

s 2 ×Y(లు) + 5×s×Y(లు) + 6×Y(లు) = 2×s×X(లు) + 12×X(లు),

s 2 ×Y(లు) + 5×s×Y(లు) + 6×Y(లు) = 2×s + 12 ,

Y(s)×(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2×s + 12.

Y కోసం వ్యక్తీకరణ నిర్వచించబడింది:

.

స్వీకరించిన ఫంక్షన్ యొక్క అసలైనది అసలైనవి మరియు చిత్రాల పట్టికలో లేదు. దానిని కనుగొనడంలో సమస్యను పరిష్కరించడానికి, భిన్నం మొత్తంగా విభజించబడింది సాధారణ భిన్నాలుహారంను s(s + 2)(s + 3)గా సూచించవచ్చు:

= = - + .

ఇప్పుడు ఉపయోగిస్తున్నారు పట్టిక విధులు(పట్టికలు 1.1 మరియు 1.2 చూడండి), అసలు అవుట్‌పుట్ ఫంక్షన్ నిర్ణయించబడుతుంది:

y(t) = 2 - 4 . ఇ -2 టి + 2 . ఇ -3 టి. ¨

లాప్లేస్ రూపాంతరాలను ఉపయోగించి అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా విభజించే మధ్యంతర సమస్య తరచుగా తలెత్తుతుంది. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:

న్యూమరేటర్ల గుణకాల కోసం సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా,

తెలిసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి న్యూమరేటర్ కోఎఫీషియంట్‌లను లెక్కించడం ద్వారా.

సాధారణ అల్గోరిథంభిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నాల మొత్తంగా విభజించడం:

దశ 1– హారం s i యొక్క మూలాలు నిర్ణయించబడతాయి (భిన్నం యొక్క హారం సున్నాకి సమానం మరియు ఫలిత సమీకరణం s కోసం పరిష్కరించబడుతుంది);

దశ 2– ప్రతి రూట్ రూపం యొక్క సాధారణ భిన్నంతో అనుబంధించబడుతుంది, ఇక్కడ M i అనేది తెలియని గుణకం; గుణకారం kతో బహుళ మూలం ఉన్నట్లయితే, అది రూపం యొక్క k భిన్నాలతో అనుబంధించబడుతుంది ;

దశ 3- గుణకాలు M i గణన ఎంపికలలో ఒకదానిని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడతాయి.

మొదటి ఎంపిక.సమీకరణాల వ్యవస్థను ఉపయోగించి M i యొక్క నిర్ధారణ.

అన్ని భిన్నాలు ఒకే హారంకు తగ్గించబడతాయి, తర్వాత గుణకాలను పోల్చడం ద్వారా సమాన డిగ్రీలుఫలిత భిన్నం యొక్క లవం మరియు అసలు భిన్నం యొక్క లవం n సమీకరణాల వ్యవస్థ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, ఇక్కడ n అనేది హారం యొక్క డిగ్రీ (మూలాల సంఖ్య s i మరియు కోఎఫీషియంట్స్ M i). M iకి సంబంధించి సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించడం అవసరమైన గుణకాలను ఇస్తుంది.

ఉదాహరణ.మునుపటి ఉదాహరణ నుండి భిన్నం కుళ్ళిపోవడం. అసలు భిన్నం n = 3లో, కాబట్టి s 3 + 5s 2 + 6s = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం 3 మూలాలను ఇస్తుంది: s 0 = 0, s 1 = -2 మరియు s 2 = -3, ఇది సాధారణ భిన్నాల హారంకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. రూపం యొక్క s, (s – s 1) = (s + 2) మరియు (s – s 2) = (s + 3). అసలు భిన్నం మూడు భిన్నాలుగా విభజించబడింది:

= = + + .

ఫలిత భిన్నాన్ని అసలు దానితో పోల్చడం ద్వారా, మీరు మూడు తెలియని వాటితో మూడు సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టించవచ్చు (అసలు భిన్నంలో 2వ శక్తి s వద్ద 0, 1వది 2, ఉచిత పదం 12):

M 0 + M 1 + M 2 = 0 M 0 = 2

5 . M 0 + 3. M 1 + 2. M 2 = 2 à M 1 = -4

6. M 0 = 12 M 2 = 2

కాబట్టి, ఒక భిన్నాన్ని మూడు భిన్నాల మొత్తంగా సూచించవచ్చు:

= - + .¨

రెండవ ఎంపిక. సూత్రాలను ఉపయోగించి M i గుణకాల నిర్ధారణ.

1వ ఎంపికలో వలె, రూపం యొక్క అసలు భిన్నం యొక్క హారం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం అవసరం. M iని నిర్ణయించడానికి, ప్రతి రకమైన మూలాలకు సూత్రాలు ఉన్నాయి:

సున్నా మూలం s i = 0 కోసం, అసలు భిన్నం యొక్క హారం A(s) = s గా వ్రాయబడుతుంది. A 1 (లు); అప్పుడు కోఎఫీషియంట్ M iని ఇలా నిర్వచించవచ్చు .

నాన్-జీరో నాన్-మల్టిపుల్ రూట్ కోసం (నిజమైన లేదా సంక్లిష్టమైన) s i.