సరళ రేఖ మధ్య కోణం యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి. సరళ రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణం: నిర్వచనం, కనుగొనే ఉదాహరణలు

రెండు తెలియని వాటితో నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలు

నిర్వచనం 1. A కొన్ని ఉండనివ్వండి సంఖ్యల జతల సమితి (x; వై) . ఎ సెట్ ఇచ్చారని అంటున్నారు సంఖ్యా విధి z రెండు వేరియబుల్స్ నుండి x మరియు y , సెట్ A నుండి ప్రతి జత సంఖ్యలు నిర్దిష్ట సంఖ్యతో అనుబంధించబడే సహాయంతో ఒక నియమం పేర్కొనబడితే.

వ్యాయామం సంఖ్యా విధి z రెండు వేరియబుల్స్ నుండి x మరియు y తరచుగా సూచిస్తాయికాబట్టి:

ఎక్కడ f (x , వై) - ఫంక్షన్ కాకుండా ఏదైనా ఫంక్షన్

f (x , వై) = గొడ్డలి+ద్వారా+సి ,

ఇక్కడ a, b, c - ఇచ్చిన సంఖ్యలు.

నిర్వచనం 3. పరిష్కార సమీకరణం (2)ఒక జత నంబర్లకు కాల్ చేయండి ( x; వై), దీనికి సూత్రం (2) నిజమైన సమానత్వం.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గము ప్రతికూలమైనది కానందున, ఫార్ములా (4) నుండి తెలియని x మరియు y సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

దీనికి పరిష్కారం ఒక జత సంఖ్యలు (6; 3).

సమాధానం: (6; 3)

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

కాబట్టి, సమీకరణం (6)కి పరిష్కారం అనంతమైన సెట్సంఖ్యల జతలరకం

(1 + వై ; వై) ,

ఇక్కడ y అనేది ఏదైనా సంఖ్య.

సరళ

నిర్వచనం 4. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం

ఒక జత నంబర్లకు కాల్ చేయండి ( x; వై) , ఈ వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి సమీకరణాలలో వాటిని భర్తీ చేసినప్పుడు, మేము పొందుతాము నిజమైన సమానత్వం.

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సరళమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

g(x , వై)

ఉదాహరణ 4. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం . మనకు తెలియని yని సిస్టమ్ (7) యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి తెలియని x ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మారుద్దాము:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

అందుకే,

వై 1 = 8 - x 1 = 9 ,
వై 2 = 8 - x 2 = - 1 .

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సజాతీయంగా ఉంటుంది

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సజాతీయమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఇక్కడ a, b, c లకు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు g(x , వై) – x మరియు y అనే రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ 6. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం . సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం

3x 2 + 2xy - వై 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10వై 2 = 0 ,

తెలియని xకి సంబంధించి దీనిని వర్గ సమీకరణంగా పరిగణించడం:

.

ఒక వేళ x = - 5వై, సిస్టమ్ (11) యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము

5వై 2 = - 20 ,

మూలాలు లేనిది.

ఒక వేళ

సిస్టమ్ (11) యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము

,

దీని మూలాలు సంఖ్యలు వై 1 = 3 , వై 2 = - 3 . ఈ ప్రతి విలువలకు y సంబంధిత విలువ xని కనుగొనడం, మేము సిస్టమ్‌కు రెండు పరిష్కారాలను పొందుతాము: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

సమాధానం: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

ఇతర రకాల సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 8. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి (MIPT)

పరిష్కారం . ఫార్ములాల ప్రకారం x మరియు y ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన కొత్త తెలియని u మరియు vలను పరిచయం చేద్దాం:

కొత్త తెలియని వాటి పరంగా సిస్టమ్ (12)ని తిరిగి వ్రాయడానికి, మేము ముందుగా తెలియని x మరియు y లను u మరియు v పరంగా వ్యక్తపరుస్తాము. సిస్టమ్ (13) నుండి అది అనుసరిస్తుంది

ఈ సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి వేరియబుల్ xని తొలగించడం ద్వారా లీనియర్ సిస్టమ్ (14)ని పరిష్కరిద్దాం. ఈ ప్రయోజనం కోసం, మేము సిస్టమ్‌లో క్రింది పరివర్తనలను చేస్తాము (14):

• మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చకుండా వదిలివేస్తాము;
• రెండవ సమీకరణం నుండి మేము మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేస్తాము మరియు ఫలిత వ్యత్యాసంతో సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని భర్తీ చేస్తాము.

ఫలితంగా, సిస్టమ్ (14) సమానమైన వ్యవస్థగా మార్చబడుతుంది

దాని నుండి మనం కనుగొంటాము

సూత్రాలు (13) మరియు (15) ఉపయోగించి, మేము అసలు సిస్టమ్ (12) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం (16) సరళంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మనం దాని నుండి తెలియని uని తెలియని v ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు ఈ వ్యక్తీకరణను సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చవచ్చు.

పాఠం అంశం: "సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు"

(10వ తరగతి)

లక్ష్యం: సజాతీయ భావనను పరిచయం చేయండి త్రికోణమితి సమీకరణాలు I మరియు II డిగ్రీలు; I మరియు II డిగ్రీల సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడం మరియు పని చేయడం; I మరియు II డిగ్రీల సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి విద్యార్థులకు బోధించడం; నమూనాలను గుర్తించే మరియు సాధారణీకరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి; విషయంపై ఆసక్తిని ప్రేరేపిస్తుంది, సంఘీభావం మరియు ఆరోగ్యకరమైన పోటీ యొక్క భావాన్ని పెంపొందించుకోండి.

పాఠం రకం: కొత్త జ్ఞానం ఏర్పడటానికి పాఠం.

ఫారమ్: బృందాలుగా పనిచెయ్యండి.

సామగ్రి: కంప్యూటర్, మల్టీమీడియా సంస్థాపన

తరగతుల సమయంలో

ఆర్గనైజింగ్ సమయం

విద్యార్థులను పలకరించడం, దృష్టిని సమీకరించడం.

పాఠం వద్ద రేటింగ్ వ్యవస్థనాలెడ్జ్ అసెస్‌మెంట్ (ఉపాధ్యాయుడు నాలెడ్జ్ అసెస్‌మెంట్ సిస్టమ్‌ను వివరిస్తాడు, విద్యార్థుల నుండి ఉపాధ్యాయుడు ఎంపిక చేసిన స్వతంత్ర నిపుణుడి ద్వారా అసెస్‌మెంట్ షీట్‌ను పూరిస్తాడు). పాఠం ప్రదర్శనతో కూడి ఉంటుంది. .

ప్రాథమిక పరిజ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది.

హోమ్‌వర్క్ తరగతికి ముందు స్వతంత్ర నిపుణుడు మరియు కన్సల్టెంట్‌లచే తనిఖీ చేయబడి, గ్రేడ్ చేయబడి పూర్తి చేయబడుతుంది మూల్యాంకన పత్రం.

ఉపాధ్యాయుడు పనితీరును సంగ్రహిస్తాడు ఇంటి పని.

ఉపాధ్యాయుడు: మేము "త్రికోణమితి సమీకరణాలు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ రోజు పాఠంలో మేము మరొక రకమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులను మీకు పరిచయం చేస్తాము మరియు అందువల్ల మేము నేర్చుకున్న వాటిని పునరావృతం చేస్తాము. అన్ని రకాల త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అవి సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడతాయి.

సమూహాలలో చేసిన వ్యక్తిగత హోంవర్క్ తనిఖీ చేయబడుతుంది. ప్రదర్శన యొక్క రక్షణ "సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల పరిష్కారాలు"

(సమూహం యొక్క పని స్వతంత్ర నిపుణుడిచే అంచనా వేయబడుతుంది)

నేర్చుకోవడానికి ప్రేరణ.

ఉపాధ్యాయుడు: క్రాస్‌వర్డ్ పజిల్‌ను పరిష్కరించడానికి మాకు పని ఉంది. దాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, ఈ రోజు తరగతిలో పరిష్కరించడం నేర్చుకునే కొత్త రకమైన సమీకరణాల పేరును మేము కనుగొంటాము.

ప్రశ్నలు బోర్డుపై అంచనా వేయబడ్డాయి. విద్యార్థులు ఊహిస్తారు మరియు స్కోర్ షీట్‌లో సమాధానం ఇచ్చే విద్యార్థుల స్కోర్‌లను స్వతంత్ర నిపుణుడు నమోదు చేస్తారు.

క్రాస్‌వర్డ్ పజిల్‌ను పరిష్కరించిన తరువాత, పిల్లలు “సజాతీయ” అనే పదాన్ని చదువుతారు.

కొత్త జ్ఞానం యొక్క సమీకరణ.

ఉపాధ్యాయుడు: పాఠం యొక్క అంశం "సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు."

పాఠ్యాంశాన్ని నోట్‌బుక్‌లో రాసుకుందాం. సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీలు.

మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాస్దాం. నేను ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను చూపుతాను; మీరు మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను సృష్టించారు.

రూపం యొక్క సమీకరణం ఎ sinx + బి cosx = 0 ను మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటారు.

గుణకాలు ఉన్నప్పుడు సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం ఎమరియు వి 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ: sinx + cosx = 0

ఆర్ సమీకరణ పదం యొక్క రెండు వైపులా cosx ద్వారా విభజించడం, మేము పొందుతాము

శ్రద్ధ! ఈ వ్యక్తీకరణ ఎక్కడైనా 0కి మారకపోతే మాత్రమే మీరు 0తో భాగించగలరు. విశ్లేషిద్దాం. కొసైన్ 0కి సమానం అయితే, గుణకాలు 0 నుండి భిన్నంగా ఉన్నందున, సైన్ కూడా 0కి సమానంగా ఉంటుంది, అయితే సైన్ మరియు కొసైన్ సున్నాకి వెళ్తాయని మనకు తెలుసు వివిధ పాయింట్లు. అందువల్ల, ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆపరేషన్ చేయవచ్చు.

మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cosx, cosx 0 ద్వారా విభజించడం

రూపం యొక్క సమీకరణం ఎ పాపం mx +బి cos mx = 0మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అని కూడా పిలుస్తారు మరియు కొసైన్ mx ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల విభజనను కూడా పరిష్కరిస్తుంది.

రూపం యొక్క సమీకరణం a పాపం 2 x+బి sinx cosx +సి cos2x = 0రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటారు.

ఉదాహరణ : పాపం 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

గుణకం a 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, మునుపటి సమీకరణం వలె, cosx 0కి సమానం కాదు, కాబట్టి మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos 2 x ద్వారా విభజించే పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

మనకు tg 2 x + 2tgx – 3 = 0 వస్తుంది

tgx = a అనే కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా మేము పరిష్కరిస్తాము, అప్పుడు మనకు సమీకరణం వస్తుంది

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

భర్తీకి తిరిగి వెళ్ళు

సమాధానం:

గుణకం a = 0 అయితే, సమీకరణం 2sinx cosx – 3cos2x = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, మేము తీసివేత పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిస్తాము సాధారణ గుణకంబ్రాకెట్ల నుండి cosx. గుణకం c = 0 అయితే, సమీకరణం sin2x +2sinx cosx = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటే, మేము బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం sinxని తీసుకోవడం ద్వారా దాన్ని పరిష్కరిస్తాము. మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:

సమీకరణం asin2 x పదాన్ని కలిగి ఉందో లేదో చూడండి.

asin2 x అనే పదం సమీకరణంలో ఉంటే (అంటే a 0), అప్పుడు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos2x ద్వారా విభజించి, ఆపై కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది.

సమీకరణంలో asin2 x అనే పదం లేకుంటే (అంటే a = 0), అప్పుడు సమీకరణం కారకం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది: cosx బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేయబడుతుంది. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 రూపం యొక్క సజాతీయ సమీకరణాలు అదే విధంగా పరిష్కరించబడతాయి

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం 102వ పేజీలోని పాఠ్యపుస్తకంలో వ్రాయబడింది.

శారీరక విద్య నిమిషం

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నైపుణ్యాల ఏర్పాటు

సమస్య పుస్తకాల పేజీ 53 తెరవడం

1వ మరియు 2వ సమూహాలు నం. 361-vని నిర్ణయిస్తాయి

3వ మరియు 4వ సమూహాలు నం. 363-vని నిర్ణయిస్తాయి

బోర్డులో పరిష్కారాన్ని చూపండి, వివరించండి, పూరించండి. స్వతంత్ర నిపుణుడు మూల్యాంకనం చేస్తాడు.

సమస్య పుస్తకం నం. 361-v నుండి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం
sinx – 3cosx = 0
మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cosx 0 ద్వారా విభజించాము, మనకు లభిస్తుంది

నం. 363-వి
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos2x ద్వారా విభజించండి, మనకు tg2x + tanx – 2 = 0 వస్తుంది

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా పరిష్కరించండి
tgx = a అని చెప్పండి, అప్పుడు మనకు సమీకరణం వస్తుంది
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
తిరిగి భర్తీకి

స్వతంత్ర పని.

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

స్వతంత్ర పని ముగింపులో, వారు ఉద్యోగాలను మార్చుకుంటారు మరియు పరస్పరం తనిఖీ చేస్తారు. సరైన సమాధానాలు బోర్డుపై అంచనా వేయబడతాయి.

అప్పుడు వారు దానిని స్వతంత్ర నిపుణుడికి అప్పగిస్తారు.

పరిష్కారం మీరే చేయండి

పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

తరగతిలో మనం ఏ రకమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల గురించి నేర్చుకున్నాము?

మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం.

ఇంటి పని: § 20.3 చదివారు. నం. 361(g), 363(b), పెరిగిన కష్టంఅదనంగా నం. 380(ఎ).

క్రాస్వర్డ్.

మీరు ప్రవేశిస్తే నిజమైన పదాలు, అప్పుడు మీరు త్రికోణమితి సమీకరణాల రకాల్లో ఒకదాని పేరును పొందుతారు.

సమీకరణాన్ని నిజం చేసే వేరియబుల్ విలువ? (రూట్)

కోణాల కొలత యూనిట్? (రేడియన్)

ఉత్పత్తిలో సంఖ్యా కారకం? (గుణకం)

త్రికోణమితి విధులను అధ్యయనం చేసే గణిత శాఖ? (త్రికోణమితి)

ఏది గణిత నమూనాచొప్పించడానికి అవసరం త్రికోణమితి విధులు? (వృత్తం)

ఏ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది? (కొసైన్)

నిజమైన సమానత్వాన్ని ఏమంటారు? (గుర్తింపు)

వేరియబుల్‌తో సమానత్వం? (సమీకరణం)

సమీకరణాలు ఉన్నాయి ఒకే మూలాలు? (సమానమైన)

సమీకరణం యొక్క మూలాల సమితి ? (పరిష్కారం)

మూల్యాంకన పత్రం

№
n\n

చివరి పేరు, ఉపాధ్యాయుని మొదటి పేరు

ఇంటి పని

ప్రెజెంటేషన్

అభిజ్ఞా కార్యకలాపాలు
అభ్యసించడం

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

స్వతంత్ర
ఉద్యోగం

హోంవర్క్ - 12 పాయింట్లు (3 సమీకరణాలు 4 x 3 = 12 హోంవర్క్ కోసం కేటాయించబడ్డాయి)

ప్రదర్శన - 1 పాయింట్

విద్యార్థి కార్యాచరణ – 1 సమాధానం – 1 పాయింట్ (గరిష్టంగా 4 పాయింట్లు)

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం 1 పాయింట్

స్వతంత్ర పని - 4 పాయింట్లు

గ్రూప్ రేటింగ్:

"5" - 22 పాయింట్లు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ
"4" - 18 - 21 పాయింట్లు
"3" - 12 - 17 పాయింట్లు

ఆపు! ఈ గజిబిజి సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

కొంత గుణకం ఉన్న శక్తిలో మొదటి వేరియబుల్ మొదట రావాలి. మా విషయంలో అది

మా విషయంలో అది. మేము కనుగొన్నట్లుగా, దీని అర్థం మొదటి వేరియబుల్ వద్ద డిగ్రీ కలుస్తుంది. మరియు మొదటి డిగ్రీకి రెండవ వేరియబుల్ స్థానంలో ఉంది. గుణకం.

మా దగ్గర ఉంది.

మొదటి వేరియబుల్ ఒక శక్తి, మరియు రెండవ వేరియబుల్ గుణకంతో స్క్వేర్ చేయబడింది. ఇది సమీకరణంలో చివరి పదం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మా సమీకరణం ఫార్ములా రూపంలో నిర్వచనానికి సరిపోతుంది.

నిర్వచనం యొక్క రెండవ (మౌఖిక) భాగాన్ని చూద్దాం.

మాకు ఇద్దరు తెలియని వారు ఉన్నారు మరియు. ఇది ఇక్కడ కలుస్తుంది.

అన్ని నిబంధనలను పరిశీలిద్దాం. వాటిలో, తెలియని వారి డిగ్రీల మొత్తం ఒకే విధంగా ఉండాలి.

డిగ్రీల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

శక్తుల మొత్తం (వద్ద మరియు వద్ద) సమానంగా ఉంటుంది.

డిగ్రీల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

మీరు గమనిస్తే, ప్రతిదీ సరిపోతుంది !!!

ఇప్పుడు సజాతీయ సమీకరణాలను నిర్వచించడం సాధన చేద్దాం.

ఏ సమీకరణాలు సజాతీయంగా ఉన్నాయో నిర్ణయించండి:

సజాతీయ సమీకరణాలు - సంఖ్యలతో సమీకరణాలు:

సమీకరణాన్ని విడిగా పరిశీలిద్దాం.

ఒక్కో పదాన్ని ఫ్యాక్టర్ చేయడం ద్వారా ఒక్కో పదాన్ని విభజిస్తే మనకు లభిస్తుంది

మరియు ఈ సమీకరణం పూర్తిగా సజాతీయ సమీకరణాల నిర్వచనం కిందకు వస్తుంది.

సజాతీయ సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలి?

ఉదాహరణ 2.

సమీకరణాన్ని ఇలా భాగిద్దాం.

మా పరిస్థితి ప్రకారం, y సమానంగా ఉండకూడదు. అందువల్ల మనం సురక్షితంగా విభజించవచ్చు

ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము ఒక సాధారణ వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఇది తగ్గిన వర్గ సమీకరణం కాబట్టి, మేము వియటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, మేము సమాధానం పొందుతాము

సమాధానం:

ఉదాహరణ 3.

(షరతు ద్వారా) సమీకరణాన్ని భాగిద్దాం.

సమాధానం:

ఉదాహరణ 4.

ఉంటే కనుగొనండి.

ఇక్కడ మీరు విభజించాల్సిన అవసరం లేదు, కానీ గుణించాలి. మొత్తం సమీకరణాన్ని దీని ద్వారా గుణిద్దాం:

భర్తీ చేద్దాం మరియు చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తర్వాత, మేము సమాధానం పొందుతాము:

సమాధానం:

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం పైన వివరించిన పరిష్కార పద్ధతుల నుండి భిన్నంగా లేదు. ఇక్కడ మాత్రమే, ఇతర విషయాలతోపాటు, మీరు కొద్దిగా త్రికోణమితి తెలుసుకోవాలి. మరియు త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించగలగాలి (దీని కోసం మీరు విభాగాన్ని చదవవచ్చు).

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి అటువంటి సమీకరణాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 5.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

మేము విలక్షణమైనదిగా చూస్తాము సజాతీయ సమీకరణం: మరియు తెలియని వారు, మరియు ప్రతి పదంలోని వారి అధికారాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

ఇటువంటి సజాతీయ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం కష్టం కాదు, అయితే సమీకరణాలను విభజించే ముందు, సందర్భాన్ని పరిగణించండి

ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది: , కాబట్టి. కానీ సైన్ మరియు కొసైన్ ఒకే సమయంలో సమానంగా ఉండకూడదు, ఎందుకంటే ప్రాథమికంగా త్రికోణమితి గుర్తింపు. కాబట్టి, మేము దానిని సురక్షితంగా విభజించవచ్చు:

సమీకరణం ఇవ్వబడినందున, వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం:

సమాధానం:

ఉదాహరణ 6.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఉదాహరణలో వలె, మీరు సమీకరణాన్ని విభజించాలి. కేసును ఎప్పుడు పరిశీలిద్దాం:

కానీ సైన్ మరియు కొసైన్ ఒకే సమయంలో సమానంగా ఉండకూడదు, ఎందుకంటే ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు ప్రకారం. అందుకే.

భర్తీ చేద్దాం మరియు చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు కనుగొనండి మరియు:

సమాధానం:

సజాతీయ ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

సజాతీయ సమీకరణాలు పైన చర్చించిన విధంగానే పరిష్కరించబడతాయి. మీరు ఎలా నిర్ణయించాలో మర్చిపోతే ఘాతాంక సమీకరణాలు- సంబంధిత విభాగాన్ని చూడండి ()!

కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 7.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

దీన్ని ఇలా ఊహించుకుందాం:

మేము రెండు వేరియబుల్స్ మరియు శక్తుల మొత్తంతో ఒక సాధారణ సజాతీయ సమీకరణాన్ని చూస్తాము. సమీకరణాన్ని ఇలా విభజిద్దాం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము దిగువ చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందుతాము (సున్నాతో విభజించడానికి భయపడాల్సిన అవసరం లేదు - ఇది ఎల్లప్పుడూ సున్నా కంటే ఖచ్చితంగా ఎక్కువగా ఉంటుంది):

వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం:

సమాధానం: .

ఉదాహరణ 8.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

దీన్ని ఇలా ఊహించుకుందాం:

సమీకరణాన్ని ఇలా విభజిద్దాం:

భర్తీ చేద్దాం మరియు చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

రూట్ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచదు. రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు కనుగొనండి:

సమాధానం:

సజాతీయ సమీకరణాలు. సగటు స్థాయి

ముందుగా, ఒక సమస్య యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి, నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను సజాతీయ సమీకరణాలు అంటే ఏమిటి మరియు సజాతీయ సమీకరణాల పరిష్కారం ఏమిటి.

సమస్యను పరిష్కరించండి:

ఉంటే కనుగొనండి.

ఇక్కడ మీరు ఒక ఆసక్తికరమైన విషయాన్ని గమనించవచ్చు: మేము ప్రతి పదాన్ని విభజించినట్లయితే, మనకు లభిస్తుంది:

అంటే, ఇప్పుడు విడివిడిగా లేవు మరియు, - ఇప్పుడు సమీకరణంలో వేరియబుల్ కావలసిన విలువ. మరియు ఇది ఒక సాధారణ వర్గ సమీకరణం, ఇది వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా పరిష్కరించబడుతుంది: మూలాల ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది మరియు మొత్తం సంఖ్యలు మరియు.

సమాధానం:

రూపం యొక్క సమీకరణాలు

సజాతీయత అంటారు. అంటే, ఇది రెండు తెలియని వాటితో కూడిన సమీకరణం, వీటిలో ప్రతి పదం ఈ తెలియని వాటి యొక్క ఒకే విధమైన శక్తులను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, పై ఉదాహరణలో ఈ మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది. సజాతీయ సమీకరణాలు ఈ స్థాయికి తెలియని వాటిలో ఒకదానితో విభజించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి:

మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క తదుపరి భర్తీ: . ఈ విధంగా మనం తెలియని ఒకదానితో శక్తి సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

చాలా తరచుగా మేము రెండవ డిగ్రీ (అంటే, చతుర్భుజం) యొక్క సమీకరణాలను ఎదుర్కొంటాము మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో మాకు తెలుసు:

ఈ వేరియబుల్ సున్నాకి సమానంగా ఉండదని మేము విశ్వసిస్తే, మనం మొత్తం సమీకరణాన్ని వేరియబుల్ ద్వారా మాత్రమే విభజించగలమని (మరియు గుణించగలము) గమనించండి! ఉదాహరణకు, మనం కనుగొనమని అడిగితే, విభజించడం అసాధ్యం కాబట్టి మేము వెంటనే అర్థం చేసుకుంటాము. ఇది అంత స్పష్టంగా కనిపించని సందర్భాల్లో, ఈ వేరియబుల్ సున్నాకి సమానమైనప్పుడు కేసును విడిగా తనిఖీ చేయడం అవసరం. ఉదాహరణకి:

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం:

మేము ఇక్కడ ఒక సాధారణ సజాతీయ సమీకరణాన్ని చూస్తాము: మరియు అవి తెలియనివి మరియు ప్రతి పదంలోని వారి శక్తుల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

కానీ, బంధువు ద్వారా విభజించి, చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పొందే ముందు, మనం సందర్భాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: , అంటే . కానీ సైన్ మరియు కొసైన్ ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు, ఎందుకంటే ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు ప్రకారం: . కాబట్టి, మేము దానిని సురక్షితంగా విభజించవచ్చు:

ఈ పరిష్కారం పూర్తిగా స్పష్టంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను? కాకపోతే, విభాగాన్ని చదవండి. ఇది ఎక్కడ నుండి వచ్చిందో స్పష్టంగా తెలియకపోతే, మీరు ఇంకా ముందుగానే తిరిగి రావాలి - విభాగానికి.

మీరే నిర్ణయించుకోండి:

1. ఉంటే కనుగొనండి.
2. ఉంటే కనుగొనండి.
3. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ఇక్కడ నేను సజాతీయ సమీకరణాలకు నేరుగా పరిష్కారాన్ని క్లుప్తంగా వ్రాస్తాను:

పరిష్కారాలు:

సమాధానం: .

కానీ ఇక్కడ మనం విభజించడం కంటే గుణించాలి:

సమాధానం:

మీరు ఇంకా త్రికోణమితి సమీకరణాలను తీసుకోకుంటే, మీరు ఈ ఉదాహరణను దాటవేయవచ్చు.

ఇక్కడ మనం విభజించాల్సిన అవసరం ఉంది కాబట్టి, ముందుగా అది వంద కాదని నిర్ధారించుకుందాం సున్నాకి సమానం:

మరియు ఇది అసాధ్యం.

సమాధానం: .

సజాతీయ సమీకరణాలు. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

అన్ని సజాతీయ సమీకరణాల పరిష్కారం శక్తికి తెలియని వాటిలో ఒకటి మరియు వేరియబుల్స్ యొక్క తదుపరి మార్పు ద్వారా విభజనకు తగ్గించబడుతుంది.

అల్గోరిథం:

"ఒక మనిషి యొక్క గొప్పతనం అతని ఆలోచనా సామర్థ్యంలో ఉంది."
బ్లేజ్ పాస్కల్.

పాఠ్య లక్ష్యాలు:

1) విద్యాపరమైన- విద్యార్థులను సజాతీయ సమీకరణాలకు పరిచయం చేయండి, వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులను పరిగణించండి మరియు గతంలో అధ్యయనం చేసిన త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో నైపుణ్యాల అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించండి.

2) అభివృద్ధి సంబంధమైనది- విద్యార్థుల సృజనాత్మక కార్యాచరణను అభివృద్ధి చేయండి, వారి అభిజ్ఞా కార్యకలాపాలు, తార్కిక ఆలోచన, జ్ఞాపకశక్తి, పని చేసే సామర్థ్యం సమస్యాత్మక పరిస్థితి, ఒకరి ఆలోచనలను సరిగ్గా, స్థిరంగా, హేతుబద్ధంగా వ్యక్తీకరించే సామర్థ్యాన్ని సాధించడం, విద్యార్థుల క్షితిజాలను విస్తృతం చేయడం మరియు వారి గణిత సంస్కృతి స్థాయిని పెంచడం.

3) విద్యాపరమైనస్వీయ-అభివృద్ధి కోసం కోరికను పెంపొందించడం, కష్టపడి పనిచేయడం, గణిత గమనికలను సమర్ధవంతంగా మరియు ఖచ్చితంగా నిర్వహించే సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించడం, కార్యాచరణను పెంపొందించడం, గణితంపై ఆసక్తిని ప్రేరేపించడంలో సహాయపడుతుంది.

పాఠం రకం:కలిపి.

సామగ్రి:

1. ఆరుగురు విద్యార్థులకు పంచ్ కార్డులు.
2. స్వతంత్ర మరియు కోసం కార్డులు వ్యక్తిగత పనివిద్యార్థులు.
3. "త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం", "సంఖ్యా యూనిట్ సర్కిల్" అని నిలుస్తుంది.
4. ఎలక్ట్రిఫైడ్ త్రికోణమితి పట్టికలు.
5. పాఠం కోసం ప్రదర్శన (అనుబంధం 1).

తరగతుల సమయంలో

1. సంస్థాగత దశ(2 నిమిషాలు)

పరస్పర శుభాకాంక్షలు; పాఠం కోసం విద్యార్థుల సంసిద్ధతను తనిఖీ చేయడం ( పని ప్రదేశం, ప్రదర్శన); శ్రద్ధ యొక్క సంస్థ.

ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులకు పాఠం యొక్క అంశం, లక్ష్యాలను చెబుతాడు (స్లయిడ్ 2)మరియు పాఠం సమయంలో ఒకటి ఉపయోగించబడుతుందని వివరిస్తుంది కరపత్రం, ఇది డెస్క్‌లపై ఉంది.

2. పునరావృతం సైద్ధాంతిక పదార్థం(15 నిమిషాల)

పంచ్ కార్డ్ పనులు(6 మంది) . పంచ్ కార్డులను ఉపయోగించి పని సమయం - 10 నిమిషాలు (అనుబంధం 2)

టాస్క్‌లను పరిష్కరించిన తర్వాత, విద్యార్థులు ఎక్కడ దరఖాస్తు చేస్తారో నేర్చుకుంటారు త్రికోణమితి లెక్కలు. కింది సమాధానాలు పొందబడ్డాయి: త్రిభుజం (ఖగోళ శాస్త్రంలో సమీపంలోని నక్షత్రాలకు దూరాలను కొలవడానికి అనుమతించే సాంకేతికత), ధ్వనిశాస్త్రం, అల్ట్రాసౌండ్, టోమోగ్రఫీ, జియోడెసీ, క్రిప్టోగ్రఫీ.

(స్లయిడ్ 5)

ఫ్రంటల్ సర్వే.

1. ఏ సమీకరణాలను త్రికోణమితి అంటారు?
2. మీకు ఏ రకాల త్రికోణమితి సమీకరణాలు తెలుసు?
3. ఏ సమీకరణాలను సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు అంటారు?
4. ఏ సమీకరణాలను క్వాడ్రాటిక్ త్రికోణమితి అంటారు?
5. a యొక్క ఆర్క్సైన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.
6. a యొక్క ఆర్క్ కొసైన్ యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.
7. a యొక్క ఆర్క్టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.
8. సంఖ్య a యొక్క ఆర్క్ కోటాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించండి.

గేమ్ "ఎన్క్రిప్టెడ్ పదాన్ని అంచనా వేయండి"

గణితశాస్త్రం చాలా తీవ్రమైన శాస్త్రం అని బ్లేజ్ పాస్కల్ ఒకసారి చెప్పాడు, దానిని కొంచెం వినోదభరితంగా మార్చే అవకాశాన్ని కోల్పోకూడదు. అందుకే ఆడమని సూచిస్తున్నాను. ఉదాహరణలను పరిష్కరించిన తర్వాత, గుప్తీకరించిన పదాన్ని కంపోజ్ చేయడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యల క్రమాన్ని నిర్ణయించండి. లాటిన్లో ఈ పదానికి "సైన్" అని అర్థం. (స్లయిడ్ 3)

2) ఆర్క్ tg (-√3)

4) tg (ఆర్క్ కాస్ (1/2))

5) tg (ఆర్క్ ctg √3)

సమాధానం: "వంగడం"

గేమ్ "నైరూప్య గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు"»

నోటి పని కోసం విధులు తెరపై అంచనా వేయబడతాయి:

సమీకరణాలు సరిగ్గా పరిష్కరించబడ్డాయో లేదో తనిఖీ చేయండి.(విద్యార్థి సమాధానం తర్వాత సరైన సమాధానం స్లైడ్‌లో కనిపిస్తుంది). (స్లయిడ్ 4)

	లోపాలతో సమాధానాలు	సరైన సమాధానాలు
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x = (-1)n ఆర్క్సిన్1/3+ 2πn	x = (-1)n ఆర్క్సిన్1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది.

ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులందరిచే హోంవర్క్ పూర్తి చేయడం యొక్క ఖచ్చితత్వం మరియు అవగాహనను ఏర్పాటు చేస్తాడు; జ్ఞానంలో అంతరాలను గుర్తిస్తుంది; సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్యార్థుల జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాలను మెరుగుపరుస్తుంది.

1 సమీకరణం. విద్యార్థి సమీకరణానికి పరిష్కారంపై వ్యాఖ్యానించాడు, వ్యాఖ్య క్రమంలో స్లయిడ్‌లో కనిపించే పంక్తులు). (స్లయిడ్ 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= ఆర్క్టాన్ 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 n, n ∈Z.

2 సమీకరణం. పరిష్కారం hబోర్డు మీద విద్యార్థులకు వ్రాయబడింది.

2 పాపం 2 x + 3 cosx = 0.

3. కొత్త జ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది (3 నిమిషాలు)

విద్యార్థులు, ఉపాధ్యాయుని అభ్యర్థన మేరకు, త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మార్గాలను గుర్తుచేస్తారు. వారు ఎలా పరిష్కరించాలో వారికి ఇప్పటికే తెలిసిన సమీకరణాలను ఎంచుకుంటారు, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించే పద్ధతి మరియు ఫలిత ఫలితాన్ని పేర్కొనండి. . సమాధానాలు స్లైడ్‌లో కనిపిస్తాయి. (స్లయిడ్ 7) .

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేస్తున్నాము:

నం. 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

sinx = t, ఆపై:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

కారకం:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 లేదా 3 sinx – 1 = 0; ...

నం. 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

సంఖ్య 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

ఉపాధ్యాయుడు:చివరి రెండు రకాల సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో మీకు ఇంకా తెలియదు. అవి రెండూ ఒకే జాతి. వాటిని సంబంధించిన సమీకరణానికి తగ్గించలేము విధులు sinxలేదా cosx. అంటారు సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు.కానీ మొదటిది మాత్రమే మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం, మరియు రెండవది రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం. ఈ రోజు పాఠంలో మనం అలాంటి సమీకరణాలతో పరిచయం పొందుతాము మరియు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము.

4. కొత్త మెటీరియల్ యొక్క వివరణ (25 నిమిషాలు)

ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులకు సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాల నిర్వచనాలను ఇస్తాడు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులను పరిచయం చేస్తాడు.

నిర్వచనం. a sinx + b cosx =0 రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ a ≠ 0, b ≠ 0 అంటారు మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం.(స్లయిడ్ 8)

అటువంటి సమీకరణానికి ఉదాహరణ సమీకరణం సంఖ్య 3. మేము దానిని వ్రాస్తాము సాధారణ రూపంసమీకరణం మరియు దానిని విశ్లేషించండి.

a sinx + b cosx = 0.

cosx = 0 అయితే, sinx = 0.

- అలాంటి పరిస్థితి ఏర్పడుతుందా?

- లేదు. మేము ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపుకు వైరుధ్యాన్ని పొందాము.

దీని అర్థం cosx ≠ 0. cosx ద్వారా పదం వారీగా విభజన చేద్దాం:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a- సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణం.

ముగింపు:మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cosx (sinx) ద్వారా విభజించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.

ఉదాహరణకి: 2 sinx – 3 cosx = 0,

ఎందుకంటే cosx ≠ 0, అప్పుడు

tgx = 3/2 ;

x = ఆర్క్టాన్ (3/2) +πn, n ∈Z.

నిర్వచనం.రూపం యొక్క సమీకరణం a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, ఇక్కడ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 అంటారు రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణమితి సమీకరణం. (స్లయిడ్ 8)

అటువంటి సమీకరణానికి ఉదాహరణ సమీకరణం సంఖ్య 4. సమీకరణం యొక్క సాధారణ రూపాన్ని వ్రాసి దానిని విశ్లేషిద్దాం.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

cosx = 0 అయితే, sinx = 0.

మళ్ళీ మనకు ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపుకు వైరుధ్యం వచ్చింది.

దీని అర్థం cosx ≠ 0. cos 2 x ద్వారా పదం వారీగా విభజన చేద్దాం:

మరియు tg 2 x + b tgx + c = 0 అనేది చతుర్భుజానికి తగ్గించే సమీకరణం.

ముగింపు: ఓరెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos 2 x (sin 2 x) ద్వారా విభజించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.

ఉదాహరణకి: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

ఎందుకంటే కాస్ 2 x ≠ 0, అప్పుడు

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (బోర్డ్‌కి వెళ్లి స్వతంత్రంగా సమీకరణాన్ని పూర్తి చేయమని విద్యార్థిని ఆహ్వానించండి).

ప్రత్యామ్నాయం: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 లేదా y 2 = 1/3

tgx = 1 లేదా tgx = 1/3

x = ఆర్క్టాన్ (1/3) + πn, n ∈Z.

x = ఆర్క్టాన్1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. కొత్త మెటీరియల్‌పై విద్యార్థుల అవగాహనను తనిఖీ చేసే దశ (1 నిమి.)

బేసిని ఎంచుకోండి:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(స్లయిడ్ 9)

6. కొత్త మెటీరియల్ యొక్క ఏకీకరణ (24 నిమిషాలు).

విద్యార్థులు, సమాధానకర్తలతో కలిసి, బోర్డుపై సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తారు కొత్త పదార్థం. టాస్క్‌లు టేబుల్ రూపంలో స్లయిడ్‌లో వ్రాయబడ్డాయి. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, స్లయిడ్‌లోని చిత్రం యొక్క సంబంధిత భాగం తెరవబడుతుంది. 4 సమీకరణాలను పూర్తి చేసిన ఫలితంగా, విద్యార్థులు త్రికోణమితి అభివృద్ధిపై గణనీయమైన ప్రభావాన్ని చూపిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి చిత్రపటాన్ని ప్రదర్శించారు. (విద్యార్థులు త్రికోణమితికి గొప్ప సహకారం అందించిన గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫ్రాంకోయిస్ వియెటా యొక్క చిత్రపటాన్ని గుర్తిస్తారు, అతను తగ్గించబడిన మూలాల ఆస్తిని కనుగొన్నాడు వర్గ సమీకరణంమరియు క్రిప్టోగ్రఫీలో పనిచేశారు) . (స్లయిడ్ 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

ఎందుకంటే cosx ≠ 0, అప్పుడు

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = ఆర్క్టాన్ (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

ఎందుకంటే cos 2 x ≠ 0, ఆపై tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

భర్తీ: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 లేదా y 2 = 3

tgx = 7 లేదా tgx = 3

x = arctan7 + πn, n ∈Z

x = ఆర్క్టాన్3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

ఎందుకంటే cos 2 2x ≠ 0, ఆపై 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

భర్తీ: tg2x = y.

3у 2 – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 లేదా y 2 = 1

tg2x = 5 లేదా tg2x = 1

2х = arctan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 ఆర్క్టాన్5 + π/2 n, n Z

2х = ఆర్క్టాన్1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

ఎందుకంటే cos 2 x ≠0, ఆపై 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

భర్తీ: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 లేదా y 2 = –1

tg x = 1/5 లేదా tg x = –1

x = ఆర్క్టాన్1/5 + πn, n ∈Z

x = ఆర్క్టాన్(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

అదనంగా (కార్డుపై):

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి మరియు ప్రతిపాదిత నాలుగు నుండి ఒక ఎంపికను ఎంచుకుని, తగ్గింపు సూత్రాలను రూపొందించిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి పేరును ఊహించండి:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

సాధ్యమైన సమాధానాలు:

x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. చెబిషెవ్

x = ఆర్క్టాన్ 12.5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – యూక్లిడ్

x = ఆర్క్టాన్ 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – సోఫియా కోవలేవ్స్కాయ

x = ఆర్క్టాన్2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్

సరైన సమాధానం: లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్.

7. విభిన్న స్వతంత్ర పని (8 నిమి.)

2500 సంవత్సరాల క్రితం గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు తత్వవేత్త ఆలోచనా సామర్థ్యాలను అభివృద్ధి చేయడానికి ఒక మార్గాన్ని సూచించారు. "ఆలోచన ఆశ్చర్యంతో ప్రారంభమవుతుంది," అని అతను చెప్పాడు. ఈ పదాలు సరైనవని మనం ఈ రోజు పదేపదే చూశాము. 2 ఎంపికలపై స్వతంత్ర పనిని పూర్తి చేసిన తర్వాత, మీరు పదార్థాన్ని ఎలా ప్రావీణ్యం పొందారో చూపించగలరు మరియు ఈ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడి పేరును కనుగొనగలరు. స్వతంత్ర పని కోసం, మీ టేబుల్‌పై ఉన్న హ్యాండ్‌అవుట్‌లను ఉపయోగించండి. మీరు ప్రతిపాదిత మూడు సమీకరణాలలో ఒకదాన్ని మీరే ఎంచుకోవచ్చు. కానీ దానికి సంబంధించిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా గుర్తుంచుకోండి పసుపు రంగు, మీరు ఆకుపచ్చ రంగు - "4", ఎరుపు రంగు - "5"కి సంబంధించిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా మాత్రమే "3" పొందవచ్చు. (అనుబంధం 3)

విద్యార్థులు ఏ స్థాయి కష్టాన్ని ఎంచుకున్నా, తర్వాత సరైన నిర్ణయంసమీకరణం యొక్క మొదటి సంస్కరణ "ARIST" అనే పదాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది, రెండవది - "HOTEL". స్లయిడ్‌లోని పదం: “ARIST-HOTEL.” (స్లయిడ్ 11)

తో ఆకులు స్వతంత్ర పనిధృవీకరణ కోసం సమర్పించబడతాయి. (అనుబంధం 4)

8. హోంవర్క్ రికార్డింగ్ (1 నిమి)

D/z: §7.17. మొదటి డిగ్రీ యొక్క 2 సజాతీయ సమీకరణాలను మరియు రెండవ డిగ్రీ యొక్క 1 సజాతీయ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయండి మరియు పరిష్కరించండి (కంపోజ్ చేయడానికి వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి). (స్లయిడ్ 12)

9. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం, గ్రేడింగ్ (2 నిమిషాలు)

ఉపాధ్యాయుడు మరోసారి ఆ రకమైన సమీకరణాలు మరియు పాఠంలో గుర్తుచేసుకున్న సైద్ధాంతిక వాస్తవాలపై దృష్టిని ఆకర్షిస్తాడు, వాటిని నేర్చుకోవాల్సిన అవసరం గురించి మాట్లాడతాడు.

విద్యార్థులు ప్రశ్నలకు సమాధానమిస్తారు:

1. మనకు ఏ రకమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు బాగా తెలుసు?
2. ఈ సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయి?

ఉపాధ్యాయుడు ఎక్కువగా గమనిస్తాడు విజయవంతమైన పనివ్యక్తిగత విద్యార్థుల పాఠంలో, మార్కులు ఇస్తుంది.

దీనర్థం ఈ రేఖ మరియు దాని ప్రొజెక్షన్ మధ్య కోణాన్ని అందించిన విమానంలో కనుగొనడం.

పనిని వివరించే ప్రాదేశిక నమూనా చిత్రంలో ప్రదర్శించబడింది.

సమస్య పరిష్కార ప్రణాళిక:
1. నుండి ఏకపక్ష పాయింట్ ఎ∈aవిమానానికి లంబంగా తగ్గించండి α ;
2. విమానంతో లంబంగా ఈ సమావేశ బిందువును నిర్ణయించండి α . చుక్క A α - ఆర్థోగ్రాఫిక్ ప్రొజెక్షన్ ఎవిమానానికి α ;
3. రేఖ యొక్క ఖండన బిందువును కనుగొనండి aవిమానంతో α . చుక్క ఒక α- నేరుగా కాలిబాట aఉపరితలంపై α ;
4. మేము నిర్వహిస్తాము ( A α a α) - సరళ రేఖ యొక్క ప్రొజెక్షన్ aవిమానానికి α ;
5. వాస్తవ విలువను నిర్ణయించండి ∠ Aa α A α, అనగా ∠ φ .

సమస్య పరిష్కారం రేఖ మరియు విమానం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండిమేము ∠ నిర్వచించకపోతే చాలా సరళీకృతం చేయవచ్చు φ ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విమానం మధ్య, మరియు 90° ∠కి పరిపూరకరమైనది γ . ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ని నిర్ణయించడం అవసరం లేదు ఎమరియు సరళ రేఖ అంచనాలు aవిమానానికి α . పరిమాణం తెలుసుకోవడం γ , సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

$ φ = 90° - γ $

aమరియు విమానం α , సమాంతర రేఖల ద్వారా నిర్వచించబడింది mమరియు n.

a α
క్షితిజ సమాంతరంగా తిరుగుతోంది పాయింట్ల ద్వారా ఇవ్వబడింది 5 మరియు 6 మేము వాస్తవ పరిమాణాన్ని నిర్ణయిస్తాము ∠ γ . పరిమాణం తెలుసుకోవడం γ , సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

$ φ = 90° - γ $

సరళ రేఖ మధ్య కోణాన్ని నిర్ణయించడం aమరియు విమానం α , త్రిభుజం ద్వారా ఇవ్వబడింది BCD.

ఒక లైన్‌లో ఏకపక్ష పాయింట్ నుండి aవిమానానికి లంబంగా తగ్గించండి α
పాయింట్లు 3 మరియు 4 ద్వారా పేర్కొన్న క్షితిజ సమాంతర రేఖ చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా, మేము సహజ పరిమాణాన్ని నిర్ణయిస్తాము ∠ γ . పరిమాణం తెలుసుకోవడం γ , సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.