విభిన్న హారంతో సాధారణ భిన్నాలను గుణించే ఉదాహరణలు. భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం

చివరిసారి మేము భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ఎలాగో నేర్చుకున్నాము (“భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం” అనే పాఠాన్ని చూడండి). ఆ చర్యలలో అత్యంత క్లిష్టమైన భాగం భిన్నాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకురావడం.

ఇప్పుడు గుణకారం మరియు భాగహారంతో వ్యవహరించే సమయం వచ్చింది. శుభవార్త ఏమిటంటే, ఈ కార్యకలాపాలు కూడిక మరియు తీసివేత కంటే సరళమైనవి. మొదట, వేరు చేయబడిన పూర్ణాంక భాగం లేకుండా రెండు సానుకూల భిన్నాలు ఉన్నప్పుడు సరళమైన కేసును పరిశీలిద్దాం.

రెండు భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను విడిగా గుణించాలి. మొదటి సంఖ్య కొత్త భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్, మరియు రెండవది హారం.

రెండు భిన్నాలను విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నాన్ని "విలోమ" రెండవ భిన్నం ద్వారా గుణించాలి.

హోదా:

భిన్నాలను విభజించడం గుణకారానికి తగ్గుతుందని నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. భిన్నాన్ని "ఫ్లిప్" చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారంను మార్చుకోండి. అందువల్ల, పాఠం అంతటా మనం ప్రధానంగా గుణకారాన్ని పరిశీలిస్తాము.

గుణకారం ఫలితంగా, తగ్గించదగిన భిన్నం తలెత్తవచ్చు (మరియు తరచుగా తలెత్తుతుంది) - ఇది తప్పనిసరిగా తగ్గించబడాలి. అన్ని తగ్గింపుల తర్వాత భిన్నం తప్పు అని తేలితే, మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి. కానీ గుణకారంతో ఖచ్చితంగా జరగనిది సాధారణ హారంకు తగ్గింపు: క్రిస్-క్రాస్ పద్ధతులు లేవు, గొప్ప కారకాలు మరియు తక్కువ సాధారణ గుణిజాలు.

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

మొత్తం భాగాలు మరియు ప్రతికూల భిన్నాలతో భిన్నాలను గుణించడం

భిన్నాలు పూర్ణాంక భాగాన్ని కలిగి ఉంటే, అవి తప్పని సరిగా మార్చబడాలి - ఆపై మాత్రమే పైన పేర్కొన్న పథకాల ప్రకారం గుణించాలి.

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో, హారంలో లేదా దాని ముందు మైనస్ ఉన్నట్లయితే, దానిని క్రింది నియమాల ప్రకారం గుణకారం నుండి తీసివేయవచ్చు లేదా పూర్తిగా తీసివేయవచ్చు:

ప్లస్ బై మైనస్ మైనస్ ఇస్తుంది;
రెండు ప్రతికూలతలు ధృవీకరణను చేస్తాయి.

ఇప్పటి వరకు, మొత్తం భాగాన్ని వదిలించుకోవడానికి అవసరమైనప్పుడు, ప్రతికూల భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు మాత్రమే ఈ నియమాలు ఎదుర్కొంటారు. ఒక పని కోసం, ఒకేసారి అనేక ప్రతికూలతలను "బర్న్" చేయడానికి వాటిని సాధారణీకరించవచ్చు:

ప్రతికూలతలు పూర్తిగా అదృశ్యమయ్యే వరకు మేము జంటగా వాటిని దాటుతాము. విపరీతమైన సందర్భాల్లో, ఒక మైనస్ మనుగడ సాగించగలదు - దాని కోసం సహచరుడు లేడు;
మైనస్‌లు మిగిలి ఉండకపోతే, ఆపరేషన్ పూర్తయింది - మీరు గుణించడం ప్రారంభించవచ్చు. చివరి మైనస్ దాటకపోతే, దానికి జత లేనందున, మేము దానిని గుణకారం యొక్క పరిమితుల నుండి తీసుకుంటాము. ఫలితం ప్రతికూల భిన్నం.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

మేము అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మారుస్తాము, ఆపై గుణకారం నుండి మైనస్‌లను తీసుకుంటాము. మేము సాధారణ నియమాల ప్రకారం మిగిలి ఉన్న వాటిని గుణిస్తాము. మాకు దొరికింది:

హైలైట్ చేయబడిన మొత్తం భాగంతో భిన్నం ముందు కనిపించే మైనస్ మొత్తం భిన్నాన్ని ప్రత్యేకంగా సూచిస్తుంది మరియు దాని మొత్తం భాగానికి మాత్రమే కాకుండా (ఇది చివరి రెండు ఉదాహరణలకు వర్తిస్తుంది) అని నేను మీకు మరోసారి గుర్తు చేస్తాను.

ప్రతికూల సంఖ్యలకు కూడా శ్రద్ధ వహించండి: గుణించేటప్పుడు, అవి కుండలీకరణాల్లో జతచేయబడతాయి. గుణకార సంకేతాల నుండి మైనస్‌లను వేరు చేయడానికి మరియు మొత్తం సంజ్ఞామానాన్ని మరింత ఖచ్చితమైనదిగా చేయడానికి ఇది జరుగుతుంది.

ఫ్లైలో భిన్నాలను తగ్గించడం

గుణకారం అనేది చాలా శ్రమతో కూడుకున్న ఆపరేషన్. ఇక్కడ సంఖ్యలు చాలా పెద్దవిగా మారాయి మరియు సమస్యను సులభతరం చేయడానికి, మీరు భిన్నాన్ని మరింత తగ్గించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు గుణకారం ముందు. నిజానికి, సారాంశంలో, భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారం సాధారణ కారకాలు, అందువల్ల, వాటిని భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని ఉపయోగించి తగ్గించవచ్చు. ఉదాహరణలను పరిశీలించండి:

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

అన్ని ఉదాహరణలలో, తగ్గించబడిన సంఖ్యలు మరియు వాటిలో మిగిలి ఉన్నవి ఎరుపు రంగులో గుర్తించబడతాయి.

దయచేసి గమనించండి: మొదటి సందర్భంలో, గుణకాలు పూర్తిగా తగ్గించబడ్డాయి. వాటి స్థానంలో సాధారణంగా చెప్పాలంటే, వ్రాయవలసిన అవసరం లేని యూనిట్లు ఉన్నాయి. రెండవ ఉదాహరణలో, పూర్తి తగ్గింపును సాధించడం సాధ్యం కాదు, కానీ మొత్తం లెక్కలు ఇప్పటికీ తగ్గాయి.

అయితే, భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మరియు తీసివేసేటప్పుడు ఈ పద్ధతిని ఎప్పుడూ ఉపయోగించవద్దు! అవును, కొన్నిసార్లు మీరు తగ్గించాలనుకునే సారూప్య సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ఇక్కడ చూడండి:

మీరు అలా చేయలేరు!

లోపం సంభవిస్తుంది ఎందుకంటే జోడించేటప్పుడు, భిన్నం యొక్క లవం మొత్తంని ఉత్పత్తి చేస్తుంది, సంఖ్యల ఉత్పత్తి కాదు. పర్యవసానంగా, భిన్నం యొక్క ప్రాథమిక ఆస్తిని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం, ఎందుకంటే ఈ ఆస్తి ప్రత్యేకంగా సంఖ్యల గుణకారంతో వ్యవహరిస్తుంది.

భిన్నాలను తగ్గించడానికి ఇతర కారణాలు లేవు, కాబట్టి మునుపటి సమస్యకు సరైన పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

సరైన పరిష్కారం:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సరైన సమాధానం అంత అందంగా లేదని తేలింది. సాధారణంగా, జాగ్రత్తగా ఉండండి.

సాధారణ భిన్నాలతో చేయగలిగే మరొక ఆపరేషన్ గుణకారం. సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మేము దాని ప్రాథమిక నియమాలను వివరించడానికి ప్రయత్నిస్తాము, ఒక సాధారణ భిన్నం సహజ సంఖ్యతో ఎలా గుణించబడుతుందో మరియు మూడు సాధారణ భిన్నాలను లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సరిగ్గా ఎలా గుణించాలో చూపుతుంది.

మొదట ప్రాథమిక నియమాన్ని వ్రాస్దాం:

నిర్వచనం 1

మనం ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని గుణిస్తే, ఫలిత భిన్నం యొక్క లవం అసలైన భిన్నాల సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు హారం వాటి హారం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది. సాహిత్య రూపంలో, a / b మరియు c / d అనే రెండు భిన్నాలకు, ఇది b · c d = a · c b · d గా వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ఈ నియమాన్ని సరిగ్గా ఎలా వర్తింపజేయాలో ఉదాహరణను చూద్దాం. మనకు ఒక చతురస్రం ఉందని అనుకుందాం, దాని వైపు ఒక సంఖ్యా యూనిట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. అప్పుడు ఫిగర్ వైశాల్యం 1 చదరపు ఉంటుంది. యూనిట్. మేము చతురస్రాన్ని 1 4 మరియు 1 8 సంఖ్యా యూనిట్లకు సమానమైన భుజాలతో సమాన దీర్ఘ చతురస్రాలుగా విభజిస్తే, అది ఇప్పుడు 32 దీర్ఘచతురస్రాలను కలిగి ఉంటుంది (ఎందుకంటే 8 4 = 32). దీని ప్రకారం, వాటిలో ప్రతి వైశాల్యం మొత్తం ఫిగర్ వైశాల్యంలో 1 32కి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. 1 32 చ. యూనిట్లు.

మేము 5 8 సంఖ్యా యూనిట్లు మరియు 3 4 సంఖ్యా యూనిట్లకు సమానమైన భుజాలతో షేడెడ్ భాగాన్ని కలిగి ఉన్నాము. దీని ప్రకారం, దాని ప్రాంతాన్ని లెక్కించేందుకు, మీరు మొదటి భిన్నాన్ని రెండవదానితో గుణించాలి. ఇది 5 8 · 3 4 చ.కి సమానం అవుతుంది. యూనిట్లు. కానీ శకలంలో ఎన్ని దీర్ఘచతురస్రాలు చేర్చబడ్డాయో మనం లెక్కించవచ్చు: వాటిలో 15 ఉన్నాయి, అంటే మొత్తం వైశాల్యం 15 32 చదరపు యూనిట్లు.

5 3 = 15 మరియు 8 4 = 32 కాబట్టి, మనం ఈ క్రింది సమానత్వాన్ని వ్రాయవచ్చు:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం మేము రూపొందించిన నియమాన్ని ఇది నిర్ధారిస్తుంది, ఇది b · c d = a · c b · d గా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ఇది సరైన మరియు సరికాని భిన్నాలకు ఒకే విధంగా పనిచేస్తుంది; భిన్నమైన మరియు ఒకేలాంటి హారం రెండింటితో భిన్నాలను గుణించడానికి దీనిని ఉపయోగించవచ్చు.

సాధారణ భిన్నాల గుణకారంతో కూడిన అనేక సమస్యలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

7 11ని 9 8తో గుణించండి.

పరిష్కారం

ముందుగా, 7ని 9తో గుణించడం ద్వారా సూచించబడిన భిన్నాల సంఖ్యల ఉత్పత్తిని గణిద్దాం. మాకు 63 వచ్చింది. అప్పుడు మేము హారం యొక్క ఉత్పత్తిని లెక్కించి, పొందండి: 11 · 8 = 88. రెండు సంఖ్యలను కంపోజ్ చేద్దాం మరియు సమాధానం: 63 88.

మొత్తం పరిష్కారం ఇలా వ్రాయవచ్చు:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

సమాధానం: 7 11 · 9 8 = 63 88.

మన సమాధానంలో మనం తగ్గించదగిన భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, మనం గణనను పూర్తి చేసి, దాని తగ్గింపును నిర్వహించాలి. మనకు సరికాని భిన్నం వస్తే, దాని నుండి మొత్తం భాగాన్ని వేరు చేయాలి.

ఉదాహరణ 2

భిన్నాల ఉత్పత్తిని లెక్కించండి 4 15 మరియు 55 6 .

పరిష్కారం

పైన అధ్యయనం చేసిన నియమం ప్రకారం, మనం న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్ ద్వారా మరియు హారం హారం ద్వారా గుణించాలి. పరిష్కార రికార్డు ఇలా కనిపిస్తుంది:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

మేము తగ్గించగల భిన్నాన్ని పొందాము, అనగా. ఒకటి 10చే భాగించబడుతుంది.

భిన్నాన్ని తగ్గిద్దాం: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. ఫలితంగా, మనకు సరికాని భిన్నం వచ్చింది, దాని నుండి మేము మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుని మిశ్రమ సంఖ్యను పొందుతాము: 22 9 = 2 4 9.

సమాధానం: 4 15 55 6 = 2 4 9.

గణన సౌలభ్యం కోసం, మేము గుణకారం ఆపరేషన్ చేసే ముందు అసలు భిన్నాలను కూడా తగ్గించవచ్చు, దీని కోసం మేము భిన్నాన్ని a · c b · d రూపానికి తగ్గించాలి. వేరియబుల్స్ విలువలను సాధారణ కారకాలుగా విడదీసి, అదే వాటిని తగ్గిద్దాం.

నిర్దిష్ట టాస్క్ నుండి డేటాను ఉపయోగించడం ఎలా ఉంటుందో వివరిస్తాము.

ఉదాహరణ 3

ఉత్పత్తిని లెక్కించండి 4 15 55 6.

పరిష్కారం

గుణకార నియమం ఆధారంగా లెక్కలను వ్రాసుకుందాం. మేము పొందుతాము:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 మరియు 6 = 2 3 కాబట్టి, 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

సమాధానం: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

సాధారణ భిన్నాలు గుణించబడే ఒక సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ ఒక పరివర్తన లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే, అవసరమైతే, మేము కారకాల క్రమాన్ని మార్చవచ్చు:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని ఎలా గుణించాలి

ప్రాథమిక నియమాన్ని వెంటనే వ్రాసి, దానిని ఆచరణలో వివరించడానికి ప్రయత్నించండి.

నిర్వచనం 2

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఆ భిన్నం యొక్క లవంను ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి. ఈ సందర్భంలో, చివరి భిన్నం యొక్క హారం అసలు సాధారణ భిన్నం యొక్క హారంతో సమానంగా ఉంటుంది. సహజ సంఖ్య n ద్వారా నిర్దిష్ట భిన్నం a b యొక్క గుణకారం a b · n = a · n b సూత్రంగా వ్రాయబడుతుంది.

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఒకదానికి సమానమైన హారంతో సాధారణ భిన్నం వలె సూచించవచ్చని మీరు గుర్తుంచుకుంటే ఈ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సులభం, అంటే:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో మన ఆలోచనను వివరిద్దాం.

ఉదాహరణ 4

ఉత్పత్తిని 2 27 సార్లు 5 లెక్కించండి.

పరిష్కారం

అసలు భిన్నం యొక్క లవం రెండవ కారకం ద్వారా గుణించడం ఫలితంగా, మనకు 10 వస్తుంది. పైన పేర్కొన్న నియమం ప్రకారం, ఫలితంగా మనకు 10 27 వస్తుంది. పూర్తి పరిష్కారం ఈ పోస్ట్‌లో ఇవ్వబడింది:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

సమాధానం: 2 27 5 = 10 27

మనం సహజ సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించినప్పుడు, మనం తరచుగా ఫలితాన్ని సంక్షిప్తీకరించాలి లేదా మిశ్రమ సంఖ్యగా సూచించాలి.

ఉదాహరణ 5

షరతు: ఉత్పత్తి 8ని 5 12తో లెక్కించండి.

పరిష్కారం

పై నియమం ప్రకారం, మేము సహజ సంఖ్యను న్యూమరేటర్ ద్వారా గుణిస్తాము. ఫలితంగా, మనకు 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 వస్తుంది. చివరి భిన్నం 2 ద్వారా భాగించే సంకేతాలను కలిగి ఉంది, కాబట్టి మనం దానిని తగ్గించాలి:

LCM (40, 12) = 4, కాబట్టి 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

ఇప్పుడు మనం చేయాల్సిందల్లా మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుని, సిద్ధంగా ఉన్న సమాధానాన్ని వ్రాయండి: 10 3 = 3 1 3.

ఈ ఎంట్రీలో మీరు పూర్తి పరిష్కారాన్ని చూడవచ్చు: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారంను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం ద్వారా భిన్నాన్ని కూడా తగ్గించవచ్చు మరియు ఫలితం సరిగ్గా అదే విధంగా ఉంటుంది.

సమాధానం: 5 12 8 = 3 1 3.

సహజ సంఖ్య భిన్నంతో గుణించబడే సంఖ్యా వ్యక్తీకరణ కూడా స్థానభ్రంశం యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది, అనగా కారకాల క్రమం ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయదు:

a b · n = n · a b = a · n b

మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సాధారణ భిన్నాలను ఎలా గుణించాలి

సహజ సంఖ్యలను గుణించడం యొక్క లక్షణం అయిన అదే లక్షణాలను సాధారణ భిన్నాలను గుణించే చర్యకు మనం విస్తరించవచ్చు. ఈ భావనల నిర్వచనం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది.

కలయిక మరియు కమ్యుటేటివ్ లక్షణాల జ్ఞానానికి ధన్యవాదాలు, మీరు మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సాధారణ భిన్నాలను గుణించవచ్చు. ఎక్కువ సౌలభ్యం కోసం కారకాలను క్రమాన్ని మార్చడం లేదా లెక్కించడాన్ని సులభతరం చేసే విధంగా బ్రాకెట్లను అమర్చడం ఆమోదయోగ్యమైనది.

ఇది ఎలా జరుగుతుందో ఒక ఉదాహరణతో చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 6

నాలుగు సాధారణ భిన్నాలను 1 20, 12 5, 3 7 మరియు 5 8 గుణించండి.

పరిష్కారం: మొదట, పనిని రికార్డ్ చేద్దాం. మేము 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 పొందుతాము. మేము అన్ని న్యూమరేటర్లను మరియు అన్ని హారంలను కలిపి గుణించాలి: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

మేము గుణించడం ప్రారంభించే ముందు, మనం విషయాలను కొంచెం సులభతరం చేయవచ్చు మరియు తదుపరి తగ్గింపు కోసం కొన్ని సంఖ్యలను ప్రధాన కారకాలుగా మార్చవచ్చు. ఇప్పటికే సిద్ధంగా ఉన్న ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించడం కంటే ఇది సులభం అవుతుంది.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

సమాధానం: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

ఉదాహరణ 7

5 సంఖ్యలను 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 గుణించండి.

పరిష్కారం

సౌలభ్యం కోసం, భవిష్యత్తులో సంక్షిప్తాలు మనకు స్పష్టంగా కనిపిస్తాయి కాబట్టి, మేము 7 8 భిన్నాన్ని 8 సంఖ్యతో మరియు 12 సంఖ్యను 5 36 భిన్నంతో సమూహపరచవచ్చు. ఫలితంగా, మేము పొందుతాము:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 3 = 310 3 = 310 6 2 3

సమాధానం: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

ప్లేట్‌లో ఆపిల్‌లో $\frac(1)(3)$ భాగం ఉండనివ్వండి. మనం దానిలోని $\frac(1)(2)$ భాగాన్ని కనుగొనాలి. అవసరమైన భాగం $\frac(1)(3)$ మరియు $\frac(1)(2)$ భిన్నాలను గుణించడం వలన వస్తుంది. రెండు సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం సాధారణ భిన్నం.

రెండు సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమం:

భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా గుణించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం భిన్నం, దీని లవం గుణించబడే భిన్నాల సంఖ్యల ఉత్పత్తికి సమానం మరియు హారం హారం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:

ఉదాహరణ 1

సాధారణ భిన్నాలు $\frac(3)(7)$ మరియు $\frac(5)(11)$ల గుణకారాన్ని అమలు చేయండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

సమాధానం:$\frac(15)(77)$

భిన్నాలను గుణించడం వలన తగ్గించదగిన లేదా సరికాని భిన్నం ఏర్పడితే, మీరు దానిని సరళీకృతం చేయాలి.

ఉదాహరణ 2

$\frac(3)(8)$ మరియు $\frac(1)(9)$ భిన్నాలను గుణించండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం మేము నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

ఫలితంగా, మేము తగ్గించదగిన భిన్నాన్ని పొందాము (విభజన $3$ ద్వారా. భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను $3$తో భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

సంక్షిప్త పరిష్కారం:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

సమాధానం:$\frac(1)(24).$

భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, మీరు వాటి ఉత్పత్తిని కనుగొనే వరకు మీరు న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను తగ్గించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం సాధారణ కారకాలుగా కుళ్ళిపోతాయి, దాని తర్వాత పునరావృత కారకాలు రద్దు చేయబడతాయి మరియు ఫలితం కనుగొనబడుతుంది.

ఉదాహరణ 3

$\frac(6)(75)$ మరియు $\frac(15)(24)$ భిన్నాల ఉత్పత్తిని లెక్కించండి.

పరిష్కారం.

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

సహజంగానే, న్యూమరేటర్ మరియు హారం $2$, $3$ మరియు $5$లకు జంటగా తగ్గించబడే సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. న్యూమరేటర్ మరియు హారంను సాధారణ కారకాలుగా పరిశీలిద్దాం మరియు తగ్గింపు చేయండి:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

సమాధానం:$\frac(1)(20).$

భిన్నాలను గుణించేటప్పుడు, మీరు పరివర్తన చట్టాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు:

సహజ సంఖ్యతో సాధారణ భిన్నాన్ని గుణించడం

సహజ సంఖ్యతో సాధారణ భిన్నాన్ని గుణించే నియమం:

సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని గుణించడం యొక్క ఫలితం భిన్నం, దీనిలో గుణకం సహజ సంఖ్యతో గుణించిన భిన్నం యొక్క లవం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు హారం గుణించిన భిన్నం యొక్క హారంతో సమానంగా ఉంటుంది:

ఇక్కడ $\frac(a)(b)$ అనేది ఒక సాధారణ భిన్నం, $n$ అనేది సహజ సంఖ్య.

ఉదాహరణ 4

భిన్నం $\frac(3)(17)$ని $4$తో గుణించండి.

పరిష్కారం.

సహజ సంఖ్యతో సాధారణ భిన్నాన్ని గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

సమాధానం:$\frac(12)(17).$

భిన్నం యొక్క తగ్గింపు లేదా సరికాని భిన్నం ద్వారా గుణకారం యొక్క ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయడం మర్చిపోవద్దు.

ఉదాహరణ 5

$\frac(7)(15)$ భిన్నాన్ని $3$తో గుణించండి.

పరిష్కారం.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$ సంఖ్యతో భాగించడం ద్వారా) ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చని మేము గుర్తించగలము:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

ఫలితం తప్పు భిన్నం. మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుందాం:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

సంక్షిప్త పరిష్కారం:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని సంఖ్యలను వాటి కారకాలతో ప్రధాన కారకాలుగా మార్చడం ద్వారా కూడా భిన్నాలను తగ్గించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, పరిష్కారం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

సమాధానం:$1\frac(2)(5).$

సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని గుణించేటప్పుడు, మీరు పరివర్తన నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:

భిన్నాలను విభజించడం

విభజన యొక్క ఆపరేషన్ అనేది గుణకారం యొక్క విలోమం మరియు దాని ఫలితం రెండు భిన్నాల యొక్క తెలిసిన ఉత్పత్తిని పొందడానికి తెలిసిన భిన్నాన్ని గుణించాలి.

రెండు సాధారణ భిన్నాలను విభజించడం

సాధారణ భిన్నాలను విభజించే నియమం:సహజంగానే, ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం మరియు తగ్గించబడతాయి:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

ఫలితంగా, మేము సరికాని భిన్నాన్ని పొందుతాము, దాని నుండి మేము మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకుంటాము:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

సమాధానం:$1\frac(5)(9).$

§ 87. భిన్నాల జోడింపు.

భిన్నాలను జోడించడం పూర్ణ సంఖ్యలను జోడించడానికి అనేక సారూప్యతలను కలిగి ఉంటుంది. భిన్నాల జోడింపు అనేది అనేక ఇచ్చిన సంఖ్యలు (నిబంధనలు) ఒక సంఖ్యగా (మొత్తం) మిళితం చేయబడి, నిబంధనల యొక్క యూనిట్ల యొక్క అన్ని యూనిట్లు మరియు భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి.

మేము మూడు కేసులను వరుసగా పరిశీలిస్తాము:

1. వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
3. మిశ్రమ సంఖ్యల జోడింపు.

1. వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపు.

ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి: 1/5 + 2/5.

సెగ్మెంట్ AB (Fig. 17) తీసుకుందాం, దానిని ఒకటిగా తీసుకొని 5 సమాన భాగాలుగా విభజించండి, అప్పుడు ఈ విభాగంలోని AC భాగం AB సెగ్మెంట్లో 1/5కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు అదే సెగ్మెంట్ CDలో కొంత భాగం సమానంగా ఉంటుంది. 2/5 AB.

డ్రాయింగ్ నుండి మనం సెగ్మెంట్ ADని తీసుకుంటే, అది 3/5 ABకి సమానంగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది; కానీ సెగ్మెంట్ AD అనేది ఖచ్చితంగా AC మరియు CD విభాగాల మొత్తం. కాబట్టి మనం వ్రాయవచ్చు:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

ఈ నిబంధనలను మరియు ఫలిత మొత్తాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పదాల సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా మొత్తం యొక్క లవం పొందబడిందని మరియు హారం మారకుండా ఉందని మేము చూస్తాము.

దీని నుండి మనం ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందుతాము: ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించి, అదే హారంని వదిలివేయాలి.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

2. విభిన్న హారంతో భిన్నాల జోడింపు.

భిన్నాలను జోడిద్దాం: 3 / 4 + 3 / 8 మొదట వాటిని అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి:

ఇంటర్మీడియట్ లింక్ 6/8 + 3/8 వ్రాయడం సాధ్యం కాదు; మేము దానిని స్పష్టత కోసం ఇక్కడ వ్రాసాము.

కాబట్టి, విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు ముందుగా వాటిని అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించి, వాటి సంఖ్యలను జోడించి, సాధారణ హారంను లేబుల్ చేయాలి.

ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం (మేము సంబంధిత భిన్నాల పైన అదనపు కారకాలను వ్రాస్తాము):

3. మిశ్రమ సంఖ్యల జోడింపు.

సంఖ్యలను జోడిద్దాం: 2 3/8 + 3 5/6.

ముందుగా మన సంఖ్యల పాక్షిక భాగాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకుని, వాటిని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

ఇప్పుడు మనం పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక భాగాలను వరుసగా జోడిస్తాము:

§ 88. భిన్నాల వ్యవకలనం.

భిన్నాలను తీసివేయడం అనేది పూర్ణ సంఖ్యలను తీసివేసే విధంగానే నిర్వచించబడుతుంది. ఇది రెండు పదాల మొత్తం మరియు వాటిలో ఒకటి, మరొక పదం కనుగొనబడిన సహాయంతో ఒక చర్య. వరుసగా మూడు కేసులను పరిశీలిద్దాం:

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
3. మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం.

1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

13 / 15 - 4 / 15

సెగ్మెంట్ AB (Fig. 18) ను తీసుకుందాం, దానిని ఒక యూనిట్గా తీసుకొని 15 సమాన భాగాలుగా విభజించండి; అప్పుడు ఈ విభాగంలోని AC భాగం ABలో 1/15ని సూచిస్తుంది మరియు అదే విభాగంలోని AD భాగం 13/15 ABకి అనుగుణంగా ఉంటుంది. 4/15 ABకి సమానమైన మరో సెగ్మెంట్ EDని పక్కన పెడదాం.

మేము 13/15 నుండి 4/15 భిన్నాన్ని తీసివేయాలి. డ్రాయింగ్‌లో, సెగ్మెంట్ ED సెగ్మెంట్ AD నుండి తప్పనిసరిగా తీసివేయబడుతుందని దీని అర్థం. ఫలితంగా, సెగ్మెంట్ AE అలాగే ఉంటుంది, ఇది సెగ్మెంట్ ABలో 9/15. కాబట్టి మనం వ్రాయవచ్చు:

మేము చేసిన ఉదాహరణ సంఖ్యలను తీసివేయడం ద్వారా తేడా యొక్క లవం పొందిందని చూపిస్తుంది, కానీ హారం అలాగే ఉంది.

అందువల్ల, భిన్నాలను వంటి హారంతో తీసివేయడానికి, మీరు మైన్యూఎండ్ యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు అదే హారం వదిలివేయాలి.

2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.

ఉదాహరణ. 3/4 - 5/8

ముందుగా, ఈ భిన్నాలను అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గిద్దాం:

ఇంటర్మీడియట్ 6 / 8 - 5 / 8 స్పష్టత కోసం ఇక్కడ వ్రాయబడింది, కానీ తర్వాత దాటవేయవచ్చు.

అందువల్ల, భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదట వాటిని అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై మైన్యూఎండ్ యొక్క లవం నుండి మైన్యూఎండ్ యొక్క లవంను తీసివేసి, వాటి వ్యత్యాసం క్రింద సాధారణ హారంపై సంతకం చేయాలి.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

3. మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం.

ఉదాహరణ. 10 3/4 - 7 2/3.

మనం మైన్యూఎండ్ యొక్క పాక్షిక భాగాలను తగ్గించి, అత్యల్ప సాధారణ హారంకు సబ్‌ట్రాహెండ్ చేద్దాం:

మేము మొత్తం నుండి మొత్తం మరియు భిన్నం నుండి ఒక భాగాన్ని తీసివేసాము. కానీ సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క పాక్షిక భాగం మినియెండ్ యొక్క పాక్షిక భాగం కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు సందర్భాలు ఉన్నాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు మైనుఎండ్ యొక్క మొత్తం భాగం నుండి ఒక యూనిట్‌ను తీసుకోవాలి, పాక్షిక భాగం వ్యక్తీకరించబడిన ఆ భాగాలుగా విభజించి, దానిని మినుఎండ్ యొక్క పాక్షిక భాగానికి జోడించాలి. ఆపై వ్యవకలనం మునుపటి ఉదాహరణలో అదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది:

§ 89. భిన్నాల గుణకారం.

భిన్నం గుణకారాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ క్రింది ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము:

1. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో గుణించడం.
2. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం.
3. పూర్తి సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడం.
4. భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం.
5. మిశ్రమ సంఖ్యల గుణకారం.
6. ఆసక్తి భావన.
7. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడం. వాటిని వరుసగా పరిశీలిద్దాం.

1. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో గుణించడం.

భిన్నాన్ని పూర్ణసంఖ్యతో గుణించడం అంటే పూర్ణసంఖ్యను పూర్ణాంకంతో గుణించినట్లే. భిన్నాన్ని (గుణకం) పూర్ణాంకం (కారకం) ద్వారా గుణించడం అంటే ఒకే పదాల మొత్తాన్ని సృష్టించడం, దీనిలో ప్రతి పదం గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు పదాల సంఖ్య గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది.

అంటే మీరు 1/9ని 7తో గుణించవలసి వస్తే, అది ఇలా చేయవచ్చు:

మేము సులభంగా ఫలితాన్ని పొందాము, ఎందుకంటే అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి చర్య తగ్గించబడింది. అందుకే,

ఈ చర్యను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించడం అనేది ఈ భిన్నాన్ని మొత్తం సంఖ్యలో ఉన్న యూనిట్ల సంఖ్యకు అనేక రెట్లు పెంచడానికి సమానం. మరియు ఒక భిన్నాన్ని పెంచడం వలన దాని సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా సాధించవచ్చు

లేదా దాని హారం తగ్గించడం ద్వారా , అటువంటి విభజన సాధ్యమైతే మనం లవంను పూర్ణాంకంతో గుణించవచ్చు లేదా హారంతో భాగించవచ్చు.

ఇక్కడ నుండి మేము నియమాన్ని పొందుతాము:

భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఆ పూర్ణ సంఖ్యతో గుణకాన్ని గుణించి, హారంను అలాగే ఉంచాలి లేదా వీలైతే, ఆ సంఖ్యతో హారంను భాగించి, లవం మారకుండా వదిలివేయండి.

గుణించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:

2. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం.మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడానికి లేదా లెక్కించడానికి అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి. ఈ సమస్యలకు మరియు ఇతరులకు మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే అవి కొన్ని వస్తువుల సంఖ్యను లేదా కొలత యూనిట్లను అందిస్తాయి మరియు మీరు ఈ సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఇది ఇక్కడ కొంత భిన్నం ద్వారా కూడా సూచించబడుతుంది. అవగాహనను సులభతరం చేయడానికి, మేము మొదట అటువంటి సమస్యలకు ఉదాహరణలను ఇస్తాము, ఆపై వాటిని పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతిని పరిచయం చేస్తాము.

టాస్క్ 1.నా దగ్గర 60 రూబిళ్లు ఉన్నాయి; ఈ డబ్బులో 1/3 వంతు పుస్తకాలు కొనడానికి వెచ్చించాను. పుస్తకాల ధర ఎంత?

టాస్క్ 2. A మరియు B నగరాల మధ్య రైలు తప్పనిసరిగా 300 కి.మీ దూరం ప్రయాణించాలి. అతను ఇప్పటికే ఈ దూరాన్ని 2/3 పూర్తి చేశాడు. ఇది ఎన్ని కిలోమీటర్లు?

టాస్క్ 3.గ్రామంలో 400 ఇళ్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 3/4 ఇటుక, మిగిలినవి చెక్క. మొత్తం ఎన్ని ఇటుక ఇళ్ళు ఉన్నాయి?

ఇచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడంలో మనం ఎదుర్కొనే అనేక సమస్యలలో ఇవి కొన్ని. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడానికి వాటిని సాధారణంగా సమస్యలు అంటారు.

సమస్య 1కి పరిష్కారం. 60 రబ్ నుండి. నేను 1/3 పుస్తకాలపై ఖర్చు చేశాను; దీని అర్థం పుస్తకాల ధరను కనుగొనడానికి మీరు 60 సంఖ్యను 3 ద్వారా విభజించాలి:

సమస్యను పరిష్కరించడం 2.సమస్య యొక్క విషయం ఏమిటంటే మీరు 300 కి.మీలో 2/3ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ముందుగా 300లో 1/3ని లెక్కిద్దాం; ఇది 300 కిమీని 3 ద్వారా విభజించడం ద్వారా సాధించబడుతుంది:

300: 3 = 100 (అంటే 300లో 1/3).

300లో మూడింట రెండు వంతులను కనుగొనడానికి, మీరు ఫలితాన్ని రెట్టింపు చేయాలి, అనగా, 2తో గుణించాలి:

100 x 2 = 200 (అంటే 300లో 2/3).

సమస్యను పరిష్కరించడం 3.ఇక్కడ మీరు 400లో 3/4 ఉండే ఇటుక ఇళ్ళ సంఖ్యను గుర్తించాలి. ముందుగా 400లో 1/4ని కనుగొనండి,

400: 4 = 100 (అంటే 400లో 1/4).

400 యొక్క మూడు వంతులను గణించడానికి, ఫలిత గుణకం తప్పనిసరిగా మూడు రెట్లు ఉండాలి, అంటే 3తో గుణించాలి:

100 x 3 = 300 (అంటే 400లో 3/4).

ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం ఆధారంగా, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందవచ్చు:

ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు ఈ సంఖ్యను భిన్నం యొక్క హారంతో విభజించి, ఫలితాన్ని దాని సంఖ్యతో గుణించాలి.

3. పూర్తి సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడం.

అంతకుముందు (§ 26) పూర్ణాంకాల గుణకారాన్ని ఒకే విధమైన పదాల (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) జోడింపుగా అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ పేరాలో (పాయింట్ 1) భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో గుణించడం అంటే ఈ భిన్నానికి సమానమైన ఒకే విధమైన పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడం అని నిర్ధారించబడింది.

రెండు సందర్భాల్లో, గుణకారం అనేది ఒకే విధమైన పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడం.

ఇప్పుడు మనం పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం కొనసాగిస్తాము. ఇక్కడ మనం కలుస్తాము, ఉదాహరణకు, గుణకారం: 9 2/3. గుణకారం యొక్క మునుపటి నిర్వచనం ఈ కేసుకు వర్తించదని స్పష్టమైంది. సమాన సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా మనం అటువంటి గుణకారాన్ని భర్తీ చేయలేము అనే వాస్తవం నుండి ఇది స్పష్టమవుతుంది.

దీని కారణంగా, మనం గుణకారానికి కొత్త నిర్వచనం ఇవ్వవలసి ఉంటుంది, అనగా, భిన్నం ద్వారా గుణించడం ద్వారా ఏమి అర్థం చేసుకోవాలి, ఈ చర్యను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి.

పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం యొక్క అర్థం క్రింది నిర్వచనం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది: పూర్ణాంకాన్ని (మల్టిప్లికాండ్) భిన్నం (మల్టిప్లికాండ్)తో గుణించడం అంటే గుణకారంలోని ఈ భిన్నాన్ని కనుగొనడం.

అవి, 9ని 2/3తో గుణించడం అంటే తొమ్మిది యూనిట్లలో 2/3ని కనుగొనడం. మునుపటి పేరాలో, అటువంటి సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి; కాబట్టి మనం 6తో ముగుస్తామని గుర్తించడం సులభం.

కానీ ఇప్పుడు ఒక ఆసక్తికరమైన మరియు ముఖ్యమైన ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: సమాన సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడం మరియు సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం వంటి విభిన్నమైన ఆపరేషన్లను అంకగణితంలో అదే పదం "గుణకారం" అని ఎందుకు పిలుస్తారు?

మునుపటి చర్య (నిబంధనలతో సంఖ్యను అనేకసార్లు పునరావృతం చేయడం) మరియు కొత్త చర్య (సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం) సజాతీయ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వడం వలన ఇది జరుగుతుంది. సజాతీయ ప్రశ్నలు లేదా టాస్క్‌లు ఒకే చర్య ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి అనే పరిశీలనల నుండి మేము ఇక్కడ కొనసాగుతామని దీని అర్థం.

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి: “1 మీ వస్త్రం ధర 50 రూబిళ్లు. అటువంటి 4 మీటర్ల వస్త్రం ధర ఎంత?

ఈ సమస్య రూబిళ్లు (50) మీటర్ల సంఖ్య (4), అంటే 50 x 4 = 200 (రూబిళ్లు) ద్వారా గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

అదే సమస్యను తీసుకుందాం, కానీ అందులో వస్త్రం మొత్తం భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది: “1 మీ వస్త్రం ధర 50 రూబిళ్లు. అలాంటి 3/4 మీ గుడ్డ ధర ఎంత?"

ఈ సమస్య కూడా రూబిళ్లు (50) మీటర్ల సంఖ్య (3/4) ద్వారా గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది.

మీరు సమస్య యొక్క అర్థాన్ని మార్చకుండా, దానిలోని సంఖ్యలను అనేక సార్లు మార్చవచ్చు, ఉదాహరణకు, 9/10 మీ లేదా 2 3/10 మీ, మొదలైనవి తీసుకోండి.

ఈ సమస్యలు ఒకే కంటెంట్‌ను కలిగి ఉంటాయి మరియు సంఖ్యలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటిని పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే చర్యలను ఒకే పదం - గుణకారం అని పిలుస్తాము.

మీరు పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా ఎలా గుణించాలి?

చివరి సమస్యలో ఎదుర్కొన్న సంఖ్యలను తీసుకుందాం:

నిర్వచనం ప్రకారం, మనం తప్పనిసరిగా 50లో 3/4ని కనుగొనాలి. ముందుగా 50లో 1/4, ఆపై 3/4ని కనుగొనండి.

50లో 1/4 50/4;

50 సంఖ్యలో 3/4 .

అందుకే.

మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం: 12 5 / 8 =?

12 సంఖ్యలో 1/8 12/8,

12 సంఖ్యలో 5/8 .

అందుకే,

ఇక్కడ నుండి మేము నియమాన్ని పొందుతాము:

పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యను గుణించాలి మరియు ఈ ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా చేయాలి మరియు ఈ భిన్నం యొక్క హారంను హారంగా సంతకం చేయాలి.

అక్షరాలను ఉపయోగించి ఈ నియమాన్ని వ్రాద్దాం:

ఈ నియమాన్ని పూర్తిగా స్పష్టం చేయడానికి, ఒక భిన్నాన్ని గుణకంగా పరిగణించవచ్చని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, కనుగొనబడిన నియమాన్ని § 38లో నిర్దేశించిన ఒక సంఖ్యను గుణకారంతో గుణించే నియమంతో పోల్చడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

గుణకారం చేసే ముందు, మీరు (వీలైతే) చేయాలని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. తగ్గింపులు, ఉదాహరణకి:

4. భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం.భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా గుణించడం అనేది పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం వలెనే ఉంటుంది, అనగా, భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించినప్పుడు, మీరు మొదటి భిన్నం (గుణకం) నుండి కారకంలో ఉన్న భిన్నాన్ని కనుగొనాలి.

అవి, 3/4ని 1/2 (సగం)తో గుణించడం అంటే 3/4లో సగాన్ని కనుగొనడం.

మీరు భిన్నాన్ని భిన్నంతో ఎలా గుణించాలి?

ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం: 3/4ని 5/7తో గుణించాలి. అంటే మీరు 3/4లో 5/7ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ముందుగా 3/4లో 1/7, ఆపై 5/7ని కనుగొనండి

3/4 సంఖ్యలో 1/7 ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

5/7 సంఖ్యలు 3/4 క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి:

ఈ విధంగా,

మరొక ఉదాహరణ: 5/8ని 4/9తో గుణించాలి.

5/8లో 1/9,

5/8 సంఖ్యలో 4/9 .

ఈ విధంగా,

ఈ ఉదాహరణల నుండి క్రింది నియమాన్ని తీసివేయవచ్చు:

భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్‌తో గుణించాలి, మరియు హారంని హారం ద్వారా గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా మరియు రెండవ ఉత్పత్తిని ఉత్పత్తి యొక్క హారంగా చేయాలి.

ఈ నియమాన్ని సాధారణ రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

గుణించేటప్పుడు, (వీలైతే) తగ్గింపులను చేయడం అవసరం. ఉదాహరణలను చూద్దాం:

5. మిశ్రమ సంఖ్యల గుణకారం.మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాల ద్వారా సులభంగా భర్తీ చేయవచ్చు కాబట్టి, మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు ఈ పరిస్థితి సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది. గుణకం, లేదా గుణకం, లేదా రెండు కారకాలు మిశ్రమ సంఖ్యలుగా వ్యక్తీకరించబడిన సందర్భాల్లో, అవి సరికాని భిన్నాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణిద్దాం: 2 1/2 మరియు 3 1/5. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సరికాని భిన్నంగా మారుద్దాం మరియు భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించే నియమం ప్రకారం ఫలిత భిన్నాలను గుణిద్దాం:

నియమం.మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మీరు మొదట వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు భిన్నాలను భిన్నాలతో గుణించే నియమం ప్రకారం వాటిని గుణించాలి.

గమనిక.కారకాల్లో ఒకటి పూర్ణాంకం అయితే, పంపిణీ చట్టం ఆధారంగా గుణకారం క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది:

6. ఆసక్తి భావన.సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు వివిధ ఆచరణాత్మక గణనలను నిర్వహించేటప్పుడు, మేము అన్ని రకాల భిన్నాలను ఉపయోగిస్తాము. కానీ చాలా పరిమాణాలు వాటికి ఏవైనా సహజ విభజనలను మాత్రమే అనుమతిస్తాయని గుర్తుంచుకోవాలి. ఉదాహరణకు, మీరు రూబుల్‌లో వందవ వంతు (1/100) తీసుకోవచ్చు, అది ఒక కోపెక్, రెండు వందల వంతు 2 కోపెక్‌లు, మూడు వందల వంతు 3 కోపెక్‌లు. మీరు రూబుల్‌లో 1/10 తీసుకోవచ్చు, అది "10 కోపెక్‌లు లేదా పది-కోపెక్ ముక్క. మీరు రూబుల్‌లో పావు వంతు, అంటే 25 కోపెక్‌లు, సగం రూబుల్, అంటే 50 కోపెక్‌లు (యాభై కోపెక్‌లు) తీసుకోవచ్చు. వారు ఆచరణాత్మకంగా తీసుకోరు, ఉదాహరణకు, రూబుల్‌లో 2/7, ఎందుకంటే రూబుల్ ఏడవ వంతుగా విభజించబడలేదు.

బరువు యొక్క యూనిట్, అనగా కిలోగ్రాము, ప్రాథమికంగా దశాంశ విభజనలను అనుమతిస్తుంది, ఉదాహరణకు 1/10 కిలోలు లేదా 100 గ్రా. మరియు 1/6, 1/11, 1/13 వంటి కిలోగ్రాముల భిన్నాలు సాధారణం కాదు.

సాధారణంగా, మా (మెట్రిక్) కొలతలు దశాంశంగా ఉంటాయి మరియు దశాంశ విభజనలను అనుమతిస్తాయి.

అయినప్పటికీ, పరిమాణాలను ఉపవిభజన చేసే ఒకే (ఏకరీతి) పద్ధతిని ఉపయోగించడం అనేక రకాల సందర్భాలలో చాలా ఉపయోగకరంగా మరియు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని గమనించాలి. చాలా సంవత్సరాల అనుభవం అటువంటి బాగా సమర్థించబడిన విభజన "వందవ" విభజన అని చూపించింది. మానవ ఆచరణలో అత్యంత వైవిధ్యమైన రంగాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

1. పుస్తకాల ధర మునుపటి ధరలో 12/100 తగ్గింది.

ఉదాహరణ. పుస్తకం యొక్క మునుపటి ధర 10 రూబిళ్లు. ఇది 1 రూబుల్ తగ్గింది. 20 కోపెక్‌లు

2. సేవింగ్స్ బ్యాంకులు డిపాజిటర్లకు సంవత్సరంలో పొదుపు కోసం డిపాజిట్ చేసిన మొత్తంలో 2/100 చెల్లిస్తాయి.

ఉదాహరణ. 500 రూబిళ్లు నగదు రిజిస్టర్‌లో జమ చేయబడతాయి, సంవత్సరానికి ఈ మొత్తం నుండి వచ్చే ఆదాయం 10 రూబిళ్లు.

3. ఒక పాఠశాల నుండి పట్టభద్రుల సంఖ్య మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యలో 5/100.

ఉదాహరణ పాఠశాలలో 1,200 మంది విద్యార్థులు మాత్రమే ఉన్నారు, వారిలో 60 మంది పట్టభద్రులయ్యారు.

సంఖ్య యొక్క వందవ భాగాన్ని శాతం అంటారు.

"శాతం" అనే పదం లాటిన్ నుండి తీసుకోబడింది మరియు దాని మూలం "సెంట్" అంటే వంద. ప్రిపోజిషన్ (ప్రో సెంటమ్)తో కలిపి, ఈ పదానికి "వంద కోసం" అని అర్థం. ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం ప్రారంభంలో పురాతన రోమ్ వడ్డీలో రుణగ్రహీత "ప్రతి వందకు" రుణదాతకు చెల్లించిన డబ్బుకు పేరు పెట్టబడింది. "సెంటు" అనే పదం అటువంటి సుపరిచితమైన పదాలలో వినబడుతుంది: సెంటర్ (వంద కిలోగ్రాములు), సెంటీమీటర్ (సెంటీమీటర్ చెప్పండి).

ఉదాహరణకు, గత నెలలో ప్లాంట్ ఉత్పత్తి చేసిన అన్ని ఉత్పత్తులలో 1/100 లోపభూయిష్టంగా ఉందని చెప్పడానికి బదులుగా, మేము ఇలా చెబుతాము: గత నెలలో మొక్క ఒక శాతం లోపాలను ఉత్పత్తి చేసింది. చెప్పడానికి బదులుగా: ప్లాంట్ ఏర్పాటు చేసిన ప్రణాళిక కంటే 4/100 ఎక్కువ ఉత్పత్తులను ఉత్పత్తి చేసింది, మేము చెబుతాము: ప్లాంట్ ప్రణాళికను 4 శాతం మించిపోయింది.

పై ఉదాహరణలను విభిన్నంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:

1. పుస్తకాల ధర మునుపటి ధర కంటే 12 శాతం తగ్గింది.

2. సేవింగ్స్ బ్యాంకులు డిపాజిటర్లకు పొదుపులో డిపాజిట్ చేసిన మొత్తంపై సంవత్సరానికి 2 శాతం చెల్లిస్తాయి.

3. ఒక పాఠశాల నుండి పట్టభద్రుల సంఖ్య మొత్తం పాఠశాల విద్యార్థులలో 5 శాతం.

అక్షరాన్ని కుదించడానికి, "శాతం" అనే పదానికి బదులుగా % చిహ్నాన్ని వ్రాయడం ఆచారం.

అయినప్పటికీ, గణనలలో % గుర్తు సాధారణంగా వ్రాయబడదని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి; ఇది సమస్య ప్రకటనలో మరియు తుది ఫలితంలో వ్రాయబడుతుంది. గణనలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ గుర్తుతో మొత్తం సంఖ్యకు బదులుగా 100 హారంతో భిన్నాన్ని వ్రాయాలి.

మీరు పూర్ణాంకాన్ని సూచించిన చిహ్నంతో 100 హారంతో భిన్నంతో భర్తీ చేయగలగాలి:

దీనికి విరుద్ధంగా, మీరు 100 హారంతో భిన్నానికి బదులుగా సూచించిన గుర్తుతో పూర్ణాంకాన్ని వ్రాయడం అలవాటు చేసుకోవాలి:

7. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడం.

టాస్క్ 1.పాఠశాలకు 200 క్యూబిక్ మీటర్లు వచ్చాయి. m కట్టెలు, బిర్చ్ కట్టెలతో 30% ఉంటుంది. అక్కడ ఎంత బిర్చ్ కట్టెలు ఉన్నాయి?

ఈ సమస్య యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, బిర్చ్ కట్టెలు పాఠశాలకు పంపిణీ చేయబడిన కట్టెలలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి మరియు ఈ భాగం భిన్నం 30/100లో వ్యక్తీకరించబడింది. దీనర్థం, సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడానికి మనకు పని ఉంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మనం 200ని 30/100తో గుణించాలి (సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలు భిన్నం ద్వారా సంఖ్యను గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.).

అంటే 200లో 30% 60కి సమానం.

ఈ సమస్యలో ఎదురయ్యే భిన్నం 30/100ని 10 తగ్గించవచ్చు. ఈ తగ్గింపును మొదటి నుండే చేయడం సాధ్యమవుతుంది; సమస్యకు పరిష్కారం మారలేదు.

టాస్క్ 2.శిబిరంలో 300 మంది వివిధ వయసుల పిల్లలు ఉన్నారు. 11 ఏళ్ల పిల్లలు 21%, 12 ఏళ్ల పిల్లలు 61% మరియు చివరకు 13 ఏళ్ల పిల్లలు 18% ఉన్నారు. శిబిరంలో ప్రతి వయస్సులో ఎంత మంది పిల్లలు ఉన్నారు?

ఈ సమస్యలో మీరు మూడు గణనలను నిర్వహించాలి, అనగా 11 సంవత్సరాల వయస్సు, తరువాత 12 సంవత్సరాలు మరియు చివరకు 13 సంవత్సరాల వయస్సు గల పిల్లల సంఖ్యను వరుసగా కనుగొనండి.

అంటే ఇక్కడ మీరు సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని మూడు సార్లు కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మనం చేద్దాం:

1) 11 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?

2) 12 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?

3) 13 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?

సమస్యను పరిష్కరించిన తర్వాత, కనుగొన్న సంఖ్యలను జోడించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; వాటి మొత్తం 300 ఉండాలి:

63 + 183 + 54 = 300

సమస్య ప్రకటనలో ఇచ్చిన శాతాల మొత్తం 100 అని కూడా గమనించాలి:

21% + 61% + 18% = 100%

శిబిరంలో మొత్తం పిల్లల సంఖ్యను 100% తీసుకున్నట్లు ఇది సూచిస్తుంది.

3 a d a h a 3.కార్మికుడు నెలకు 1,200 రూబిళ్లు అందుకున్నాడు. ఇందులో, అతను ఆహారం కోసం 65%, అపార్ట్‌మెంట్లు మరియు తాపనపై 6%, గ్యాస్, విద్యుత్ మరియు రేడియోపై 4%, సాంస్కృతిక అవసరాల కోసం 10% మరియు 15% ఆదా చేశాడు. సమస్యలో సూచించిన అవసరాలకు ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేయబడింది?

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు 1,200 యొక్క భిన్నాన్ని 5 సార్లు కనుగొనాలి. దీన్ని చేద్దాం.

1) ఆహారం కోసం ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేశారు? ఈ ఖర్చు మొత్తం సంపాదనలో 65% అని సమస్య చెబుతోంది, అంటే 1,200 సంఖ్యలో 65/100. గణన చేద్దాం:

2) తాపనతో అపార్ట్మెంట్ కోసం మీరు ఎంత డబ్బు చెల్లించారు? మునుపటి మాదిరిగానే తర్కించి, మేము ఈ క్రింది గణనకు వస్తాము:

3) గ్యాస్, విద్యుత్ మరియు రేడియో కోసం మీరు ఎంత డబ్బు చెల్లించారు?

4) సాంస్కృతిక అవసరాల కోసం ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేశారు?

5) కార్మికుడు ఎంత డబ్బు ఆదా చేశాడు?

తనిఖీ చేయడానికి, ఈ 5 ప్రశ్నలలో ఉన్న సంఖ్యలను జోడించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మొత్తం 1,200 రూబిళ్లు ఉండాలి. అన్ని ఆదాయాలు 100%గా తీసుకోబడతాయి, సమస్య ప్రకటనలో ఇచ్చిన శాతాల సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా తనిఖీ చేయడం సులభం.

మేము మూడు సమస్యలను పరిష్కరించాము. ఈ సమస్యలు వేర్వేరు విషయాలతో వ్యవహరించినప్పటికీ (పాఠశాలకు కట్టెల పంపిణీ, వివిధ వయస్సుల పిల్లల సంఖ్య, కార్మికుల ఖర్చులు), అవి ఒకే విధంగా పరిష్కరించబడ్డాయి. ఇది జరిగింది ఎందుకంటే అన్ని సమస్యలలో ఇచ్చిన సంఖ్యలలో అనేక శాతాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

§ 90. భిన్నాల విభజన.

మేము భిన్నాల విభజనను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ క్రింది ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము:

1. పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించండి.
2. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో భాగించడం
3. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించడం.
4. భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.
5. మిశ్రమ సంఖ్యల విభజన.
6. ఇచ్చిన భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.
7. సంఖ్యను దాని శాతం ద్వారా కనుగొనడం.

వాటిని వరుసగా పరిశీలిద్దాం.

1. పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించండి.

పూర్ణాంకాల విభాగంలో సూచించినట్లుగా, విభజన అనేది రెండు కారకాల (డివిడెండ్) మరియు ఈ కారకాలలో ఒకదాని (డివైజర్) యొక్క ఉత్పత్తిని బట్టి మరొక కారకం కనుగొనబడే వాస్తవం కలిగి ఉంటుంది.

పూర్ణాంకాల విభాగంలో పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించడాన్ని మేము చూశాము. మేము అక్కడ రెండు విభజన సందర్భాలను ఎదుర్కొన్నాము: శేషం లేకుండా విభజన, లేదా "పూర్తిగా" (150: 10 = 15), మరియు మిగిలిన వాటితో విభజన (100: 9 = 11 మరియు 1 మిగిలినవి). అందువల్ల పూర్ణాంకాల రంగంలో, ఖచ్చితమైన విభజన ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని మనం చెప్పగలం, ఎందుకంటే డివిడెండ్ ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకం ద్వారా భాగించే ఉత్పత్తి కాదు. భిన్నం ద్వారా గుణకారాన్ని ప్రవేశపెట్టిన తర్వాత, పూర్ణాంకాల విభజన సాధ్యమయ్యే ఏదైనా సందర్భాన్ని మనం పరిగణించవచ్చు (సున్నా ద్వారా భాగహారం మాత్రమే మినహాయించబడుతుంది).

ఉదాహరణకు, 7ని 12తో భాగించడం అంటే 12తో ఉత్పత్తి 7కి సమానమైన సంఖ్యను కనుగొనడం. అటువంటి సంఖ్య భిన్నం 7/12 ఎందుకంటే 7/12 12 = 7. మరొక ఉదాహరణ: 14: 25 = 14 / 25, ఎందుకంటే 14 / 25 25 = 14.

ఈ విధంగా, పూర్ణ సంఖ్యను పూర్ణ సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు ఒక భిన్నాన్ని సృష్టించాలి, దీని లవం డివిడెండ్‌కు సమానంగా ఉంటుంది మరియు హారం భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

2. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో భాగించడం.

భిన్నం 6/7ని 3తో భాగించండి. పైన ఇవ్వబడిన విభజన నిర్వచనం ప్రకారం, మనకు ఇక్కడ ఉత్పత్తి (6/7) మరియు కారకాల్లో ఒకటి (3) ఉన్నాయి; 3తో గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన ఉత్పత్తికి 6/7 ఇచ్చే రెండవ కారకాన్ని కనుగొనడం అవసరం. సహజంగానే, ఇది ఈ ఉత్పత్తి కంటే మూడు రెట్లు చిన్నదిగా ఉండాలి. అంటే 6/7 భిన్నాన్ని 3 రెట్లు తగ్గించడం మన ముందు పెట్టబడిన పని.

భిన్నాన్ని తగ్గించడం దాని సంఖ్యను తగ్గించడం ద్వారా లేదా దాని హారం పెంచడం ద్వారా చేయవచ్చు అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. కాబట్టి మీరు వ్రాయవచ్చు:

ఈ సందర్భంలో, న్యూమరేటర్ 6 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి న్యూమరేటర్‌ను 3 రెట్లు తగ్గించాలి.

మరొక ఉదాహరణను తీసుకుందాం: 5/8ని 2తో భాగించండి. ఇక్కడ న్యూమరేటర్ 5ని 2తో భాగించలేము, అంటే హారం ఈ సంఖ్యతో గుణించబడాలి:

దీని ఆధారంగా, ఒక నియమం చేయవచ్చు: భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవంను ఆ మొత్తం సంఖ్యతో విభజించాలి.(ఒకవేళ కుదిరితే), అదే హారం వదిలి, లేదా భిన్నం యొక్క హారంను ఈ సంఖ్యతో గుణించి, అదే లవంను వదిలివేయండి.

3. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించడం.

5ని 1/2తో భాగించాల్సిన అవసరం ఉండనివ్వండి, అనగా, 1/2తో గుణించిన తర్వాత, ఉత్పత్తి 5ని అందించే సంఖ్యను కనుగొనండి. సహజంగానే, ఈ సంఖ్య తప్పనిసరిగా 5 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి, ఎందుకంటే 1/2 సరైన భిన్నం. , మరియు సంఖ్యను గుణించేటప్పుడు సరైన భిన్నం యొక్క ఉత్పత్తి గుణించబడే ఉత్పత్తి కంటే తక్కువగా ఉండాలి. దీన్ని మరింత స్పష్టంగా చేయడానికి, మన చర్యలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్దాం: 5: 1 / 2 = X , అంటే x 1/2 = 5.

మనం అలాంటి సంఖ్యను కనుగొనాలి X , 1/2తో గుణిస్తే, 5 వస్తుంది. నిర్దిష్ట సంఖ్యను 1/2తో గుణించడం అంటే ఈ సంఖ్యలో 1/2ని కనుగొనడం కాబట్టి, తెలియని సంఖ్యలో 1/2 X 5కి సమానం, మరియు మొత్తం సంఖ్య X రెండింతలు, అంటే 5 2 = 10.

కాబట్టి 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

తనిఖీ చేద్దాం:

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. మీరు 6ని 2/3తో భాగించాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. మొదట డ్రాయింగ్ (Fig. 19) ఉపయోగించి కావలసిన ఫలితాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

Fig.19

మనం 6 యూనిట్లకు సమానమైన AB విభాగాన్ని గీసి, ప్రతి యూనిట్‌ను 3 సమాన భాగాలుగా విభజిద్దాము. ప్రతి యూనిట్‌లో, మొత్తం సెగ్మెంట్ ABలో మూడింట మూడు వంతులు (3/3) 6 రెట్లు పెద్దది, అనగా. ఉ. 18/3. చిన్న బ్రాకెట్లను ఉపయోగించి, మేము 2 యొక్క 18 ఫలిత విభాగాలను కనెక్ట్ చేస్తాము; 9 సెగ్మెంట్లు మాత్రమే ఉంటాయి. దీనర్థం 2/3 భిన్నం 6 యూనిట్లలో 9 సార్లు ఉంటుంది, లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, 2/3 భిన్నం 6 మొత్తం యూనిట్ల కంటే 9 రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. అందుకే,

గణనలను మాత్రమే ఉపయోగించి డ్రాయింగ్ లేకుండా ఈ ఫలితాన్ని ఎలా పొందాలి? ఇలా తర్కించుకుందాం: మనం 6ని 2/3తో భాగించాలి, అంటే 6లో 2/3 ఎన్ని సార్లు ఉందో అనే ప్రశ్నకు సమాధానం చెప్పాలి. ముందుగా తెలుసుకుందాం: 6లో 1/3 ఎన్ని సార్లు ఉందో? మొత్తం యూనిట్‌లో 3 వంతులు, మరియు 6 యూనిట్లలో 6 రెట్లు ఎక్కువ, అంటే 18 వంతులు; ఈ సంఖ్యను కనుగొనడానికి మనం 6ని 3తో గుణించాలి. అంటే 1/3 అనేది b యూనిట్లలో 18 సార్లు ఉంటుంది మరియు 2/3 b యూనిట్లలో 18 సార్లు కాదు, కానీ సగం కంటే ఎక్కువ సార్లు ఉంటుంది, అంటే 18: 2 = 9 కాబట్టి, 6ని 2/3తో భాగించినప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:

ఇక్కడ నుండి మనం పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించే నియమాన్ని పొందుతాము. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు ఈ మొత్తం సంఖ్యను ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించాలి మరియు ఈ ఉత్పత్తిని లవంగా చేసి, ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క సంఖ్యతో భాగించాలి.

అక్షరాలను ఉపయోగించి నియమాన్ని వ్రాస్దాం:

ఈ నియమాన్ని పూర్తిగా స్పష్టం చేయడానికి, ఒక భిన్నాన్ని గుణకంగా పరిగణించవచ్చని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, కనుగొనబడిన నియమాన్ని § 38లో నిర్దేశించిన ఒక సంఖ్యను భాగస్వామ్యం చేసే నియమంతో పోల్చడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అదే ఫార్ములా అక్కడ లభించిందని దయచేసి గమనించండి.

విభజించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:

4. భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.

మనం 3/4ని 3/8తో భాగించవలసి ఉందని అనుకుందాం. విభజన ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య అర్థం ఏమిటి? భిన్నం 3/4లో 3/8 భిన్నం ఎన్నిసార్లు ఉంది అనే ప్రశ్నకు ఇది సమాధానం ఇస్తుంది. ఈ సమస్యను అర్థం చేసుకోవడానికి, డ్రాయింగ్ (Fig. 20) చేద్దాం.

AB విభాగాన్ని తీసుకుందాం, దానిని ఒకటిగా తీసుకుని, దానిని 4 సమాన భాగాలుగా విభజించి, అటువంటి 3 భాగాలను గుర్తించండి. సెగ్మెంట్ AC సెగ్మెంట్ ABలో 3/4కి సమానంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు మనం నాలుగు ఒరిజినల్ సెగ్మెంట్లలో ఒక్కొక్కటిని సగానికి విభజిద్దాము, అప్పుడు సెగ్మెంట్ AB 8 సమాన భాగాలుగా విభజించబడుతుంది మరియు అలాంటి ప్రతి భాగం AB విభాగంలో 1/8కి సమానంగా ఉంటుంది. అటువంటి 3 విభాగాలను ఆర్క్‌లతో కనెక్ట్ చేద్దాం, ఆపై ప్రతి AD మరియు DC సెగ్మెంట్ AB యొక్క 3/8కి సమానంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ 3/8కి సమానమైన సెగ్మెంట్ 3/4కి సరిగ్గా 2 సార్లు సమానమైన విభాగంలో ఉన్నట్లు చూపిస్తుంది; దీని అర్థం విభజన ఫలితాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

3 / 4: 3 / 8 = 2

మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. మనం 15/16ని 3/32తో విభజించాలని అనుకుందాం:

మనం ఇలా తర్కించవచ్చు: 3/32తో గుణించిన తర్వాత 15/16కి సమానమైన ఉత్పత్తిని అందించే సంఖ్యను మనం కనుగొనాలి. లెక్కలను ఇలా వ్రాద్దాం:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 తెలియని నంబర్ X 15/16 ఉన్నాయి

తెలియని నంబర్‌లో 1/32 X ఉంది,

32/32 సంఖ్యలు X తయారు .

అందుకే,

ఈ విధంగా, భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవణాన్ని రెండవ హారంతో గుణించాలి మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారంను రెండవ దానితో గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా చేయాలి, మరియు రెండవది హారం.

అక్షరాలను ఉపయోగించి నియమాన్ని వ్రాస్దాం:

విభజించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:

5. మిశ్రమ సంఖ్యల విభజన.

మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు, వాటిని మొదట సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి, ఆపై ఫలిత భిన్నాలను భిన్నాలను విభజించే నియమాల ప్రకారం విభజించాలి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:

మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:

ఇప్పుడు విభజించుదాం:

అందువల్ల, మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించడానికి, మీరు వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు భిన్నాలను విభజించే నియమాన్ని ఉపయోగించి విభజించాలి.

6. ఇచ్చిన భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.

వివిధ భిన్న సమస్యలలో, కొన్నిసార్లు తెలియని సంఖ్య యొక్క కొంత భిన్నం యొక్క విలువ ఇవ్వబడినవి మరియు మీరు ఈ సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఈ రకమైన సమస్య ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య యొక్క విలోమంగా ఉంటుంది; అక్కడ ఒక సంఖ్య ఇవ్వబడింది మరియు ఈ సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడం అవసరం, ఇక్కడ ఒక సంఖ్య యొక్క భిన్నం ఇవ్వబడింది మరియు ఈ సంఖ్యను కనుగొనడం అవసరం. మేము ఈ రకమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి మారితే ఈ ఆలోచన మరింత స్పష్టంగా మారుతుంది.

టాస్క్ 1.మొదటి రోజు, గ్లేజియర్లు 50 కిటికీలను మెరుస్తూ, నిర్మించిన ఇంటి అన్ని కిటికీలలో 1/3. ఈ ఇంట్లో ఎన్ని కిటికీలు ఉన్నాయి?

పరిష్కారం. 50 మెరుస్తున్న కిటికీలు ఇంటి కిటికీలన్నింటిలో 1/3ని కలిగి ఉన్నాయని సమస్య చెబుతుంది, అంటే మొత్తం 3 రెట్లు ఎక్కువ కిటికీలు ఉన్నాయి, అనగా.

ఇంటికి 150 కిటికీలు ఉండేవి.

టాస్క్ 2.స్టోర్ 1,500 కిలోల పిండిని విక్రయించింది, ఇది స్టోర్‌లో ఉన్న మొత్తం పిండి స్టాక్‌లో 3/8 వంతు. స్టోర్ యొక్క ప్రారంభ సరఫరా పిండి ఎంత?

పరిష్కారం.సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి, విక్రయించబడిన 1,500 కిలోల పిండి మొత్తం స్టాక్‌లో 3/8 వంతు అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది; దీని అర్థం ఈ రిజర్వ్‌లో 1/8 3 రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే దాన్ని లెక్కించడానికి మీరు 1500ని 3 రెట్లు తగ్గించాలి:

1,500: 3 = 500 (ఇది రిజర్వ్‌లో 1/8).

సహజంగానే, మొత్తం సరఫరా 8 రెట్లు పెద్దదిగా ఉంటుంది. అందుకే,

500 8 = 4,000 (కిలోలు).

దుకాణంలో పిండి ప్రారంభ స్టాక్ 4,000 కిలోలు.

ఈ సమస్య యొక్క పరిశీలన నుండి, క్రింది నియమాన్ని పొందవచ్చు.

దాని భిన్నం యొక్క ఇచ్చిన విలువ నుండి సంఖ్యను కనుగొనడానికి, ఈ విలువను భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా విభజించి, ఫలితాన్ని భిన్నం యొక్క హారంతో గుణిస్తే సరిపోతుంది.

మేము దాని భిన్నం ఇచ్చిన సంఖ్యను కనుగొనడంలో రెండు సమస్యలను పరిష్కరించాము. అటువంటి సమస్యలు, ముఖ్యంగా చివరి నుండి స్పష్టంగా కనిపించే విధంగా, రెండు చర్యల ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి: విభజన (ఒక భాగం కనుగొనబడినప్పుడు) మరియు గుణకారం (మొత్తం సంఖ్య కనుగొనబడినప్పుడు).

అయితే, మేము భిన్నాల విభజనను నేర్చుకున్న తర్వాత, పై సమస్యలను ఒక చర్యతో పరిష్కరించవచ్చు, అవి: భిన్నం ద్వారా విభజన.

ఉదాహరణకు, చివరి పనిని ఇలా ఒక చర్యలో పరిష్కరించవచ్చు:

భవిష్యత్తులో, మేము దాని భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడంలో సమస్యలను ఒక చర్యతో పరిష్కరిస్తాము - విభజన.

7. సంఖ్యను దాని శాతం ద్వారా కనుగొనడం.

ఈ సమస్యలలో మీరు ఆ సంఖ్యలో కొన్ని శాతాన్ని తెలుసుకునే సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది.

టాస్క్ 1.ఈ సంవత్సరం ప్రారంభంలో నేను పొదుపు బ్యాంకు నుండి 60 రూబిళ్లు అందుకున్నాను. ఒక సంవత్సరం క్రితం నేను పొదుపులో పెట్టిన మొత్తం నుండి ఆదాయం. నేను సేవింగ్స్ బ్యాంకులో ఎంత డబ్బు పెట్టాను? (నగదు డెస్క్‌లు డిపాజిటర్లకు సంవత్సరానికి 2% రాబడిని అందిస్తాయి.)

సమస్య యొక్క విషయం ఏమిటంటే, నేను కొంత మొత్తాన్ని సేవింగ్స్ బ్యాంక్‌లో వేసి ఒక సంవత్సరం పాటు అక్కడే ఉన్నాను. ఒక సంవత్సరం తరువాత, నేను ఆమె నుండి 60 రూబిళ్లు అందుకున్నాను. ఆదాయం, ఇది నేను డిపాజిట్ చేసిన డబ్బులో 2/100. నేను ఎంత డబ్బు పెట్టాను?

పర్యవసానంగా, ఈ డబ్బులో కొంత భాగాన్ని తెలుసుకోవడం, రెండు విధాలుగా (రూబిళ్లు మరియు భిన్నాలలో) వ్యక్తీకరించబడింది, మేము మొత్తం, ఇంకా తెలియని మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. ఇది భిన్నం ఇచ్చిన సంఖ్యను కనుగొనడంలో సాధారణ సమస్య. విభజన ద్వారా క్రింది సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి:

అంటే 3,000 రూబిళ్లు పొదుపు బ్యాంకులో జమ చేయబడ్డాయి.

టాస్క్ 2.మత్స్యకారులు నెలవారీ ప్రణాళికను రెండు వారాల్లో 64% పూర్తి చేసి, 512 టన్నుల చేపలను పండించారు. వారి ప్రణాళిక ఏమిటి?

మత్స్యకారులు ప్రణాళికలో కొంత భాగాన్ని పూర్తి చేసినట్లు సమస్య పరిస్థితుల నుండి తెలిసింది. ఈ భాగం 512 టన్నులకు సమానం, ఇది ప్రణాళికలో 64%. ప్రణాళిక ప్రకారం ఎన్ని టన్నుల చేపలను సిద్ధం చేయాలో మాకు తెలియదు. ఈ సంఖ్యను కనుగొనడం సమస్యకు పరిష్కారం అవుతుంది.

ఇటువంటి సమస్యలు విభజన ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి:

అంటే పథకం ప్రకారం 800 టన్నుల చేపలను సిద్ధం చేయాల్సి ఉంటుంది.

టాస్క్ 3.రైలు రిగా నుండి మాస్కోకు వెళ్ళింది. అతను 276వ కిలోమీటరు దాటినప్పుడు, ప్రయాణీకులలో ఒకరు ప్రయాణిస్తున్న కండక్టర్‌ను వారు ఇప్పటికే ఎంత ప్రయాణం చేసారని అడిగారు. దానికి కండక్టర్ ఇలా బదులిచ్చారు: "మేము ఇప్పటికే మొత్తం ప్రయాణంలో 30% కవర్ చేసాము." రిగా నుండి మాస్కోకు దూరం ఎంత?

సమస్య పరిస్థితుల నుండి రిగా నుండి మాస్కో వరకు 30% మార్గం 276 కిమీ అని స్పష్టమవుతుంది. మేము ఈ నగరాల మధ్య మొత్తం దూరాన్ని కనుగొనాలి, అంటే, ఈ భాగం కోసం, మొత్తం కనుగొనండి:

§ 91. పరస్పర సంఖ్యలు. విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడం.

2/3 భిన్నాన్ని తీసుకుందాం మరియు హారం స్థానంలో న్యూమరేటర్‌ను భర్తీ చేద్దాం, మనకు 3/2 వస్తుంది. మేము ఈ భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని పొందాము.

ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని పొందడానికి, మీరు హారం స్థానంలో దాని సంఖ్యను మరియు లవం స్థానంలో హారం ఉంచాలి. ఈ విధంగా మనం ఏదైనా భిన్నం యొక్క అన్యోన్యతను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకి:

3/4, రివర్స్ 4/3; 5/6, రివర్స్ 6/5

మొదటి దాని యొక్క లవం రెండవ యొక్క హారం మరియు మొదటి యొక్క హారం రెండవ యొక్క లవం అనే ఆస్తిని కలిగి ఉన్న రెండు భిన్నాలను అంటారు. పరస్పరం విలోమం.

ఇప్పుడు 1/2 యొక్క రెసిప్రొకల్ ఏ భిన్నం అని ఆలోచిద్దాం. సహజంగానే, ఇది 2/1 లేదా కేవలం 2 అవుతుంది. ఇచ్చిన దాని యొక్క విలోమ భిన్నం కోసం వెతకడం ద్వారా, మనకు పూర్ణాంకం వచ్చింది. మరియు ఈ కేసు ఒంటరిగా లేదు; దీనికి విరుద్ధంగా, 1 (ఒకటి) సంఖ్యతో ఉన్న అన్ని భిన్నాలకు, పరస్పరం పూర్ణాంకాలుగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు:

1/3, రివర్స్ 3; 1/5, రివర్స్ 5

పరస్పర భిన్నాలను కనుగొనడంలో మేము పూర్ణాంకాలను కూడా ఎదుర్కొన్నాము కాబట్టి, ఈ క్రింది వాటిలో పరస్పర భిన్నాల గురించి కాకుండా పరస్పర సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతాము.

పూర్ణాంకం యొక్క విలోమాన్ని ఎలా వ్రాయాలో తెలుసుకుందాం. భిన్నాల కోసం, ఇది సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది: మీరు న్యూమరేటర్ స్థానంలో హారం ఉంచాలి. అదే విధంగా, మీరు పూర్ణాంకం యొక్క విలోమాన్ని పొందవచ్చు, ఎందుకంటే ఏదైనా పూర్ణాంకం 1 యొక్క హారం కలిగి ఉంటుంది. దీని అర్థం 7 యొక్క విలోమం 1/7 అవుతుంది, ఎందుకంటే 7 = 7/1; 10 సంఖ్యకు విలోమం 1/10 అవుతుంది, ఎందుకంటే 10 = 10/1

ఈ ఆలోచనను విభిన్నంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు: ఇచ్చిన సంఖ్యతో ఒకదానిని విభజించడం ద్వారా ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క పరస్పరం పొందబడుతుంది. ఈ ప్రకటన పూర్ణ సంఖ్యలకు మాత్రమే కాదు, భిన్నాలకు కూడా వర్తిస్తుంది. వాస్తవానికి, మనం 5/9 భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని వ్రాయవలసి వస్తే, మనం 1ని తీసుకొని దానిని 5/9 ద్వారా విభజించవచ్చు, అనగా.

ఇప్పుడు ఒక విషయం ఎత్తి చూపుదాం ఆస్తిపరస్పర సంఖ్యలు, ఇది మాకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: పరస్పర సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం.నిజానికి:

ఈ లక్షణాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది విధంగా పరస్పర సంఖ్యలను కనుగొనవచ్చు. మనం 8 యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం.

దానిని అక్షరంతో సూచిస్తాం X , ఆపై 8 X = 1, అందుకే X = 1/8. 7/12 యొక్క విలోమ సంఖ్యను కనుగొని దానిని అక్షరంతో సూచిస్తాము X , తర్వాత 7/12 X = 1, అందుకే X = 1: 7 / 12 లేదా X = 12 / 7 .

భిన్నాలను విభజించడం గురించి సమాచారాన్ని కొద్దిగా భర్తీ చేయడానికి మేము పరస్పర సంఖ్యల భావనను ఇక్కడ పరిచయం చేసాము.

మేము 6 సంఖ్యను 3/5 ద్వారా విభజించినప్పుడు, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేస్తాము:

వ్యక్తీకరణపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించండి మరియు ఇచ్చిన దానితో పోల్చండి: .

మునుపటితో సంబంధం లేకుండా మేము వ్యక్తీకరణను విడిగా తీసుకుంటే, అది ఎక్కడ నుండి వచ్చింది అనే ప్రశ్నను పరిష్కరించడం అసాధ్యం: 6 ను 3/5 ద్వారా విభజించడం లేదా 6 ను 5/3 ద్వారా గుణించడం నుండి. రెండు సందర్భాల్లోనూ అదే జరుగుతుంది. కాబట్టి మనం చెప్పగలం ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో భాగించడం అనేది డివిడెండ్‌ను భాగహారం యొక్క విలోమంతో గుణించడం ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది.

మేము దిగువ ఇచ్చిన ఉదాహరణలు ఈ తీర్మానాన్ని పూర్తిగా నిర్ధారిస్తాయి.

ఇప్పటికే ఈ రేక్‌లను అధిగమించండి! 🙂

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం.

శ్రద్ధ!
అదనంగా ఉన్నాయి
ప్రత్యేక విభాగం 555లోని పదార్థాలు.
చాలా “చాలా కాదు. »
మరియు వారికి “చాలా చాలా. ")

ఈ ఆపరేషన్ కూడిక మరియు తీసివేత కంటే చాలా ఆహ్లాదకరంగా ఉంటుంది! ఎందుకంటే ఇది సులభం. రిమైండర్‌గా, భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌లను గుణించాలి (ఇది ఫలితం యొక్క న్యూమరేటర్ అవుతుంది) మరియు హారం (ఇది హారం అవుతుంది). అంటే:

ప్రతిదీ చాలా సులభం. మరియు దయచేసి సాధారణ హారం కోసం చూడకండి! ఇక్కడ అతని అవసరం లేదు...

భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు రివర్స్ చేయాలి రెండవ(ఇది ముఖ్యం!) భిన్నం మరియు వాటిని గుణించండి, అనగా:

మీరు పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలతో గుణకారం లేదా భాగహారాన్ని చూసినట్లయితే, అది సరే. అదనంగా, మేము హారంలో ఒకదానితో పూర్తి సంఖ్య నుండి భిన్నాన్ని తయారు చేస్తాము - మరియు ముందుకు సాగండి! ఉదాహరణకి:

ఉన్నత పాఠశాలలో, మీరు తరచుగా మూడు-అంతస్తుల (లేదా నాలుగు-అంతస్తుల!) భిన్నాలతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:

నేను ఈ భిన్నాన్ని మర్యాదగా ఎలా చూడగలను? అవును, చాలా సులభం! రెండు పాయింట్ల విభజనను ఉపయోగించండి:

కానీ విభజన క్రమం గురించి మర్చిపోవద్దు! గుణకారం కాకుండా, ఇది ఇక్కడ చాలా ముఖ్యమైనది! వాస్తవానికి, మేము 4:2 లేదా 2:4ని కంగారు పెట్టము. కానీ మూడు-అంతస్తుల భిన్నంలో తప్పు చేయడం సులభం. ఉదాహరణకు దయచేసి గమనించండి:

మొదటి సందర్భంలో (ఎడమవైపు వ్యక్తీకరణ):

రెండవది (కుడివైపున వ్యక్తీకరణ):

మీకు తేడా అనిపిస్తుందా? 4 మరియు 1/9!

విభజన క్రమాన్ని ఏది నిర్ణయిస్తుంది? బ్రాకెట్‌లతో లేదా (ఇక్కడ వలె) క్షితిజ సమాంతర రేఖల పొడవుతో. మీ కంటిని అభివృద్ధి చేయండి. మరియు బ్రాకెట్‌లు లేదా డాష్‌లు లేకుంటే, ఇలా:

అప్పుడు విభజించి గుణించాలి క్రమంలో, ఎడమ నుండి కుడికి!

మరియు మరొక చాలా సులభమైన మరియు ముఖ్యమైన టెక్నిక్. డిగ్రీలతో చర్యలలో, ఇది మీకు చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది! ఏదైనా భిన్నం ద్వారా ఒకదానిని భాగిద్దాం, ఉదాహరణకు, 13/15 ద్వారా:

షాట్ తిరగబడింది! మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ జరుగుతుంది. 1ని ఏదైనా భిన్నంతో భాగించినప్పుడు, ఫలితం అదే భిన్నం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే ఉంటుంది.

భిన్నాలతో కూడిన కార్యకలాపాలకు అంతే. విషయం చాలా సులభం, కానీ ఇది తగినంత లోపాలు కంటే ఎక్కువ ఇస్తుంది. ఆచరణాత్మక సలహాలను పరిగణనలోకి తీసుకోండి మరియు వాటిలో తక్కువ (తప్పులు) ఉంటాయి!

1. పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఖచ్చితత్వం మరియు శ్రద్ద! ఇవి సాధారణ పదాలు కాదు, శుభాకాంక్షలు కాదు! ఇది చాలా అవసరం! యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని అన్ని గణనలను పూర్తి స్థాయి టాస్క్‌గా, దృష్టి కేంద్రీకరించి మరియు స్పష్టంగా చేయండి. మానసిక గణనలను చేసేటప్పుడు గందరగోళానికి గురికావడం కంటే మీ డ్రాఫ్ట్‌లో రెండు అదనపు పంక్తులు రాయడం మంచిది.

2. వివిధ రకాల భిన్నాలతో ఉదాహరణలలో, మేము సాధారణ భిన్నాలకు వెళ్తాము.

3. అన్ని భిన్నాలు ఆగిపోయే వరకు మేము వాటిని తగ్గిస్తాము.

4. మేము రెండు పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించి సాధారణ వాటికి బహుళ-స్థాయి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను తగ్గిస్తాము (మేము విభజన క్రమాన్ని అనుసరిస్తాము!).

మీరు ఖచ్చితంగా పూర్తి చేయవలసిన పనులు ఇక్కడ ఉన్నాయి. అన్ని పనుల తర్వాత సమాధానాలు ఇవ్వబడతాయి. ఈ అంశంపై పదార్థాలు మరియు ఆచరణాత్మక చిట్కాలను ఉపయోగించండి. మీరు ఎన్ని ఉదాహరణలను సరిగ్గా పరిష్కరించగలిగారో అంచనా వేయండి. మొదటి సారి! కాలిక్యులేటర్ లేకుండా! మరియు సరైన తీర్మానాలు చేయండి.

గుర్తుంచుకోండి - సరైన సమాధానం రెండవ (ముఖ్యంగా మూడవ) సమయం నుండి అందుకున్న సమయం లెక్కించబడదు!కఠినమైన జీవితం అలాంటిది.

కాబట్టి, పరీక్ష మోడ్‌లో పరిష్కరించండి ! ఇది ఇప్పటికే యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు సన్నాహకంగా ఉంది. మేము ఉదాహరణను పరిష్కరిస్తాము, దాన్ని తనిఖీ చేయండి, తదుపరిదాన్ని పరిష్కరించండి. మేము ప్రతిదీ నిర్ణయించుకున్నాము - మొదటి నుండి చివరి వరకు మళ్లీ తనిఖీ చేసాము. కానీ మాత్రమే అప్పుడుసమాధానాలను చూడండి.

మేము మీకు సరిపోయే సమాధానాల కోసం వెతుకుతున్నాము. నేను ఉద్దేశపూర్వకంగా వాటిని గందరగోళంగా, టెంప్టేషన్‌కు దూరంగా, మాట్లాడటానికి వ్రాసాను. ఇక్కడ అవి, సమాధానాలు, సెమికోలన్లతో వేరు చేయబడ్డాయి.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

ఇప్పుడు మేము తీర్మానాలు చేస్తాము. ప్రతిదీ పని చేస్తే, నేను మీ కోసం సంతోషంగా ఉన్నాను! భిన్నాలతో కూడిన ప్రాథమిక లెక్కలు మీ సమస్య కాదు! మీరు మరింత తీవ్రమైన పనులు చేయవచ్చు. కాకపోతె.

కాబట్టి మీకు రెండు సమస్యలలో ఒకటి ఉంది. లేదా రెండూ ఒకేసారి.) జ్ఞానం లేకపోవడం మరియు (లేదా) అజాగ్రత్త. కానీ. ఈ పరిష్కరించగల సమస్యలు.

ఈ (మరియు మరిన్ని!) ఉదాహరణలు ప్రత్యేక విభాగం 555 “భిన్నాలు”లో చర్చించబడ్డాయి. ఏమి, ఎందుకు మరియు ఎలా అనే వివరణాత్మక వివరణలతో. జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల కొరతతో ఈ విశ్లేషణ చాలా సహాయపడుతుంది!

అవును, మరియు రెండవ సమస్య గురించి ఏదో ఉంది.) చాలా ఆచరణాత్మక సలహా, మరింత శ్రద్ధగా ఎలా మారాలి. అవును అవును! వర్తించే సలహా ప్రతి.

జ్ఞానం మరియు శ్రద్ధతో పాటు, విజయానికి ఒక నిర్దిష్ట స్వయంచాలకత్వం అవసరం. నేను ఎక్కడ పొందగలను? బరువైన నిట్టూర్పు వినబడుతోంది... అవును, ఆచరణలో మాత్రమే, మరెక్కడా లేదు.

మీరు శిక్షణ కోసం వెబ్‌సైట్ 321start.ruకి వెళ్లవచ్చు. అక్కడ "ప్రయత్నించండి" ఎంపికలో ప్రతి ఒక్కరికీ 10 ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. తక్షణ ధృవీకరణతో. నమోదిత వినియోగదారుల కోసం - సాధారణ నుండి తీవ్రమైన వరకు 34 ఉదాహరణలు. ఇది భిన్నాలలో మాత్రమే.

మీరు ఈ సైట్‌ను ఇష్టపడితే.

మార్గం ద్వారా, నేను మీ కోసం మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన సైట్‌లను కలిగి ఉన్నాను.)

ఇక్కడ మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం సాధన చేయవచ్చు మరియు మీ స్థాయిని కనుగొనవచ్చు. తక్షణ ధృవీకరణతో పరీక్షిస్తోంది. నేర్చుకుందాం - ఆసక్తితో!)

మరియు ఇక్కడ మీరు విధులు మరియు ఉత్పన్నాలతో పరిచయం పొందవచ్చు.

నియమం 1.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు దాని సంఖ్యను ఈ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి.

నియమం 2.

భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడానికి:

1. న్యూమరేటర్ల ఉత్పత్తిని మరియు ఈ భిన్నాల యొక్క హారం యొక్క ఉత్పత్తిని కనుగొనండి

2. మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా మరియు రెండవదాన్ని హారంగా వ్రాయండి.

నియమం 3.

మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మీరు వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా వ్రాయాలి, ఆపై భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

నియమం 4.

ఒక భిన్నాన్ని మరొకదానితో విభజించడానికి, మీరు డివిడెండ్‌ను డివైజర్ యొక్క పరస్పరం ద్వారా గుణించాలి.

ఉదాహరణ 1.

లెక్కించు

ఉదాహరణ 2.

లెక్కించు

ఉదాహరణ 3.

లెక్కించు

ఉదాహరణ 4.

లెక్కించు

గణితం. ఇతర పదార్థాలు

హేతుబద్ధమైన శక్తికి సంఖ్యను పెంచడం. (

సంఖ్యను సహజ శక్తికి పెంచడం. (

బీజగణిత అసమానతలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ విరామ పద్ధతి (రచయిత A.V. కొల్చనోవ్)

బీజగణిత అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు కారకాలను భర్తీ చేసే పద్ధతి (రచయిత కొల్చనోవ్ A.V.)

విభజన సంకేతాలు (లుంగు అలెనా)

'సాధారణ భిన్నాల గుణకారం మరియు విభజన' అనే అంశంపై మిమ్మల్ని మీరు పరీక్షించుకోండి

భిన్నాలను గుణించడం

మేము అనేక సాధ్యమైన ఎంపికలలో సాధారణ భిన్నాల గుణకారాన్ని పరిశీలిస్తాము.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం

మీరు ఈ క్రింది వాటిని ఉపయోగించాల్సిన సరళమైన సందర్భం ఇది భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాలు.

కు భిన్నం ద్వారా భిన్నాన్ని గుణించండి, అవసరం:

మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను రెండవ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ ద్వారా గుణించండి మరియు వాటి ఉత్పత్తిని కొత్త భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో వ్రాయండి;

మొదటి భిన్నం యొక్క హారంను రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి మరియు వాటి ఉత్పత్తిని కొత్త భిన్నం యొక్క హారంలో వ్రాయండి;

న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను గుణించే ముందు, భిన్నాలను తగ్గించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయండి. గణనలలో భిన్నాలను తగ్గించడం మీ గణనలను చాలా సులభతరం చేస్తుంది.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడం

ఒక భిన్నం చేయడానికి సహజ సంఖ్యతో గుణించండిమీరు భిన్నం యొక్క సంఖ్యను ఈ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు భిన్నం యొక్క హారం మారకుండా వదిలివేయాలి.

గుణకారం యొక్క ఫలితం సరికాని భిన్నం అయితే, దానిని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడం మర్చిపోవద్దు, అంటే మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయండి.

మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడం

మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మీరు మొదట వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు సాధారణ భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమం ప్రకారం గుణించాలి.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడానికి మరొక మార్గం

కొన్నిసార్లు గణనలను చేసేటప్పుడు సాధారణ భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించే మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క హారంను ఈ సంఖ్యతో విభజించి, లవంను అలాగే ఉంచాలి.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, భిన్నం యొక్క హారం శేషం లేకుండా సహజ సంఖ్యతో భాగించబడితే, నియమం యొక్క ఈ సంస్కరణ ఉపయోగించడానికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించడం

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి వేగవంతమైన మార్గం ఏమిటి? సిద్ధాంతాన్ని విశ్లేషించి, ఒక తీర్మానాన్ని చేద్దాం మరియు కొత్త చిన్న నియమాన్ని ఉపయోగించి భిన్నాన్ని సంఖ్యతో ఎలా విభజించవచ్చో చూడటానికి ఉదాహరణలను ఉపయోగించండి.

సాధారణంగా, భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడం భిన్నాలను విభజించే నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది. మేము మొదటి సంఖ్యను (భిన్నం) రెండవ విలోమంతో గుణిస్తాము. రెండవ సంఖ్య పూర్ణాంకం కాబట్టి, దాని విలోమం భిన్నం, దీని లవం ఒకదానికి సమానం మరియు హారం ఇచ్చిన సంఖ్యకు సమానం. క్రమపద్ధతిలో, సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని విభజించడం ఇలా కనిపిస్తుంది:

దీని నుండి మేము ముగించాము:

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు హారంను ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు లవంను అలాగే వదిలివేయాలి. నియమాన్ని మరింత క్లుప్తంగా రూపొందించవచ్చు:

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగిస్తే, ఆ సంఖ్య హారంలోకి వెళుతుంది.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించండి:

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి, మేము న్యూమరేటర్‌ను మార్చకుండా తిరిగి వ్రాస్తాము మరియు ఈ సంఖ్యతో హారంను గుణించండి. మేము 6 మరియు 3 ను 3 ద్వారా తగ్గిస్తాము.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు, మేము న్యూమరేటర్‌ను తిరిగి వ్రాసి, ఆ సంఖ్యతో హారంను గుణిస్తాము. మేము 16 మరియు 24 ను 8 ద్వారా తగ్గిస్తాము.

భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు, ఆ సంఖ్య హారంలోకి వెళుతుంది, కాబట్టి మనం న్యూమరేటర్‌ను అలాగే వదిలి, హారంను భాగహారంతో గుణించాలి. మేము 21 మరియు 35ని 7 తగ్గిస్తాము.

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం

రెండు భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను విడిగా గుణించాలి. మొదటి సంఖ్య కొత్త భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్, మరియు రెండవది హారం.

రెండు భిన్నాలను విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నాన్ని "విలోమ" రెండవ భిన్నం ద్వారా గుణించాలి.

టాస్క్. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:

నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

మొత్తం భాగాలు మరియు ప్రతికూల భిన్నాలతో భిన్నాలను గుణించడం

ప్లస్ బై మైనస్ మైనస్ ఇస్తుంది;
రెండు ప్రతికూలతలు ధృవీకరణను చేస్తాయి.

ప్రతికూలతలు పూర్తిగా అదృశ్యమయ్యే వరకు మేము జంటగా వాటిని దాటుతాము. విపరీతమైన సందర్భాల్లో, ఒక మైనస్ మనుగడ సాగించగలదు - దాని కోసం సహచరుడు లేడు;
మైనస్‌లు మిగిలి ఉండకపోతే, ఆపరేషన్ పూర్తయింది - మీరు గుణించడం ప్రారంభించవచ్చు. చివరి మైనస్ దాటకపోతే, దానికి జత లేనందున, మేము దానిని గుణకారం యొక్క పరిమితుల నుండి తీసుకుంటాము. ఫలితం ప్రతికూల భిన్నం.

ఫ్లైలో భిన్నాలను తగ్గించడం

మీరు అలా చేయలేరు!

భిన్నాలను విభజించడం.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో భాగించడం.

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో విభజించే ఉదాహరణలు

సహజ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించడం.

సహజ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా విభజించే ఉదాహరణలు

సాధారణ భిన్నాల విభజన.

సాధారణ భిన్నాలను విభజించే ఉదాహరణలు

మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించడం.

మిశ్రమ భిన్నాలను సరికాని భిన్నాలుగా మార్చండి;
మొదటి భిన్నాన్ని రెండవది పరస్పరం గుణించండి;
ఫలిత భిన్నాన్ని తగ్గించండి;
మీరు సరికాని భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మార్చండి.

మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించే ఉదాహరణలు

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

ఏవైనా అసభ్యకరమైన వ్యాఖ్యలు తొలగించబడతాయి మరియు వాటి రచయితలు బ్లాక్‌లిస్ట్ చేయబడతారు!

OnlineMSchoolకి స్వాగతం.
నా పేరు డోవ్జిక్ మిఖాయిల్ విక్టోరోవిచ్. నేను ఈ సైట్ యొక్క యజమాని మరియు రచయితను, నేను అన్ని సైద్ధాంతిక విషయాలను వ్రాసాను మరియు మీరు గణితాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగించే ఆన్‌లైన్ వ్యాయామాలు మరియు కాలిక్యులేటర్‌లను కూడా అభివృద్ధి చేసాను.

భిన్నాలు. భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం.

సాధారణ భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్‌తో గుణించాలి (మేము ఉత్పత్తి యొక్క న్యూమరేటర్‌ను పొందుతాము) మరియు హారం హారం ద్వారా (మేము ఉత్పత్తి యొక్క హారం పొందుతాము).

భిన్నాలను గుణించడం కోసం సూత్రం:

మీరు న్యూమరేటర్లు మరియు డినామినేటర్లను గుణించడం ప్రారంభించే ముందు, మీరు భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేయాలి. మీరు భిన్నాన్ని తగ్గించగలిగితే, మీరు తదుపరి గణనలను చేయడం సులభం అవుతుంది.

గమనిక! ఇక్కడ సాధారణ హారం కోసం వెతకాల్సిన అవసరం లేదు!!

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.

ఒక సాధారణ భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం ఇలా జరుగుతుంది: మీరు రెండవ భిన్నాన్ని తిప్పండి (అనగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారం మార్చండి) మరియు ఆ తర్వాత భిన్నాలు గుణించబడతాయి.

సాధారణ భిన్నాలను విభజించడానికి సూత్రం:

భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడం.

గమనిక!భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించినప్పుడు, భిన్నం యొక్క లవం మన సహజ సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది మరియు భిన్నం యొక్క హారం అలాగే ఉంటుంది. ఉత్పత్తి యొక్క ఫలితం సరికాని భిన్నం అయితే, మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయండి, సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మారుస్తుంది.

సహజ సంఖ్యలతో కూడిన భిన్నాలను విభజించడం.

ఇది కనిపించేంత భయానకంగా లేదు. అదనంగా, మేము మొత్తం సంఖ్యను హారంలో ఒకదానితో భిన్నంలోకి మారుస్తాము. ఉదాహరణకి:

మిశ్రమ భిన్నాలను గుణించడం.

భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాలు (మిశ్రమ):

మిశ్రమ భిన్నాలను సరికాని భిన్నాలుగా మార్చండి;
భిన్నాల సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించడం;
భిన్నాన్ని తగ్గించండి;
మీరు సరికాని భిన్నాన్ని పొందినట్లయితే, మేము సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మారుస్తాము.

గమనిక!మిశ్రమ భిన్నాన్ని మరొక మిశ్రమ భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు మొదట వాటిని సరికాని భిన్నాల రూపంలోకి మార్చాలి, ఆపై సాధారణ భిన్నాలను గుణించే నియమం ప్రకారం గుణించాలి.

సహజ సంఖ్యతో భిన్నాన్ని గుణించే రెండవ మార్గం.

సాధారణ భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించే రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండవచ్చు.

గమనిక!భిన్నాన్ని సహజ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క హారంను ఈ సంఖ్యతో విభజించాలి మరియు లవం మారకుండా వదిలివేయాలి.

పైన ఇచ్చిన ఉదాహరణ నుండి, భిన్నం యొక్క హారం సహజ సంఖ్యతో శేషం లేకుండా విభజించబడినప్పుడు ఈ ఎంపికను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది.

బహుళస్థాయి భిన్నాలు.

ఉన్నత పాఠశాలలో, మూడు-అంతస్తుల (లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) భిన్నాలు తరచుగా ఎదుర్కొంటారు. ఉదాహరణ:

అటువంటి భిన్నాన్ని దాని సాధారణ రూపానికి తీసుకురావడానికి, 2 పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించండి:

గమనిక!భిన్నాలను విభజించేటప్పుడు, విభజన క్రమం చాలా ముఖ్యం. జాగ్రత్తగా ఉండండి, ఇక్కడ గందరగోళం చెందడం సులభం.

గమనిక, ఉదాహరణకి:

ఏదైనా భిన్నం ద్వారా ఒకదానిని విభజించినప్పుడు, ఫలితం అదే భిన్నం అవుతుంది, విలోమం మాత్రమే:

భిన్నాలను గుణించడం మరియు విభజించడం కోసం ఆచరణాత్మక చిట్కాలు:

1. పాక్షిక వ్యక్తీకరణలతో పని చేస్తున్నప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం ఖచ్చితత్వం మరియు శ్రద్ద. అన్ని గణనలను జాగ్రత్తగా మరియు ఖచ్చితంగా, ఏకాగ్రతతో మరియు స్పష్టంగా చేయండి. మానసిక గణనల్లో చిక్కుకోవడం కంటే మీ డ్రాఫ్ట్‌లో కొన్ని అదనపు పంక్తులు రాయడం మంచిది.

2. వివిధ రకాల భిన్నాలతో కూడిన పనులలో, సాధారణ భిన్నాల రకానికి వెళ్లండి.

3. తగ్గించడం సాధ్యం కానంత వరకు మేము అన్ని భిన్నాలను తగ్గిస్తాము.

4. మేము 2 పాయింట్ల ద్వారా విభజనను ఉపయోగించి బహుళ-స్థాయి పాక్షిక వ్యక్తీకరణలను సాధారణమైనవిగా మారుస్తాము.

అండర్- మరియు అండర్-రీవర్క్డ్ సాంగ్ "స్ప్రింగ్ టాంగో" (సమయం వస్తుంది - పక్షులు దక్షిణం నుండి ఎగురుతాయి) - సంగీతం. వాలెరీ మిల్యేవ్ నేను తగినంతగా వినలేదు, నాకు అర్థం కాలేదు, నాకు అర్థం కాలేదు, నేను ఊహించని అర్థంలో, నేను అన్ని క్రియలను విడదీయరాని విధంగా వ్రాసాను, నెడో ఉపసర్గ గురించి నాకు తెలియదు. అది జరుగుతుంది, […]
పేజీ దొరకలేదు యూరోపియన్ యూనియన్ నుండి నిష్క్రమించిన ఫలితంగా, UK యూరోపియన్ VAT ప్రాంతంలో చేర్చబడదు మరియు […]
జాయింట్ ఇన్వెస్టిగేటివ్ కమిటీ పతనం లో కనిపిస్తుంది జాయింట్ ఇన్వెస్టిగేటివ్ కమిటీ పతనం లో కనిపిస్తుంది Izvestia, అధ్యక్షుడు వ్లాదిమిర్ పుతిన్ ప్రకారం, ఇప్పటికే 2014 చివరలో, నాల్గవ ప్రయత్నంలో అన్ని చట్ట అమలు సంస్థల దర్యాప్తు ఒకే పైకప్పు క్రిందకు తీసుకురాబడుతుంది. …]
ఒక అల్గారిథమ్ కోసం పేటెంట్ ఒక అల్గారిథమ్ కోసం పేటెంట్ ఎలా ఉంటుంది, ఒక అల్గోరిథం కోసం పేటెంట్ ఎలా తయారు చేయబడుతుంది మరియు […]
డిసెంబర్ 12, 1993 రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క రాజ్యాంగం (రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క రాజ్యాంగ సవరణలపై రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క చట్టాలు చేసిన సవరణలను పరిగణనలోకి తీసుకుని, డిసెంబర్ 20-30 తేదీ 20 30 తేదీ రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క రాజ్యాంగం యొక్క పెన్షన్లపై కొత్త బిల్లు గురించి తెలుసుకోవడం ముఖ్యం. FKZ, డిసెంబర్ 30, 2008 N 7-FKZ, […]
ఆనాటి హీరోకి స్త్రీ పెన్షన్ గురించి ఫన్నీ డిట్టీలు, ఆనాటి హీరో కోసం పురుషులు, పురుషులు - ఆనాటి హీరో కోసం కోరస్‌లో, మహిళలు - పెన్షనర్లకు అంకితభావం, మహిళలు, ఫన్నీ. పెన్షనర్లకు పోటీలు ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. ప్రెజెంటర్ : ప్రియమైన మిత్రులారా! ఒక్క క్షణం! సంచలనం! మాత్రమే […]