1వ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ సమీకరణం. పాఠం "సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు"

పాఠం అంశం: "సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు"

(10వ తరగతి)

లక్ష్యం: డిగ్రీ I మరియు II యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాల భావనను పరిచయం చేయండి; I మరియు II డిగ్రీల సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించడం మరియు పని చేయడం; I మరియు II డిగ్రీల సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి విద్యార్థులకు బోధించడం; నమూనాలను గుర్తించే మరియు సాధారణీకరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి; విషయంపై ఆసక్తిని ప్రేరేపిస్తుంది, సంఘీభావం మరియు ఆరోగ్యకరమైన పోటీ యొక్క భావాన్ని పెంపొందించుకోండి.

పాఠం రకం: కొత్త జ్ఞానం ఏర్పడటానికి పాఠం.

ఫారమ్: సమూహాలలో పని.

సామగ్రి: కంప్యూటర్, మల్టీమీడియా సంస్థాపన

పాఠం పురోగతి

సంస్థాగత క్షణం

విద్యార్థులను పలకరించడం, దృష్టిని సమీకరించడం.

తరగతిలో రేటింగ్ వ్యవస్థనాలెడ్జ్ అసెస్‌మెంట్ (ఉపాధ్యాయుడు నాలెడ్జ్ అసెస్‌మెంట్ సిస్టమ్‌ను వివరిస్తాడు, విద్యార్థుల నుండి ఉపాధ్యాయుడు ఎంపిక చేసిన స్వతంత్ర నిపుణుడి ద్వారా అసెస్‌మెంట్ షీట్‌ను పూరిస్తాడు). పాఠం ప్రదర్శనతో కూడి ఉంటుంది. .

ప్రాథమిక పరిజ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది.

హోమ్‌వర్క్ తరగతికి ముందు స్వతంత్ర నిపుణుడు మరియు కన్సల్టెంట్‌లచే తనిఖీ చేయబడి, గ్రేడ్ చేయబడి పూర్తి చేయబడుతుంది స్కోర్ షీట్.

ఉపాధ్యాయుడు ఇంటి పనిని సంగ్రహిస్తాడు.

ఉపాధ్యాయుడు: మేము "త్రికోణమితి సమీకరణాలు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ రోజు పాఠంలో మేము మరొక రకమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులను మీకు పరిచయం చేస్తాము మరియు అందువల్ల మేము నేర్చుకున్న వాటిని పునరావృతం చేస్తాము. అన్ని రకాల త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, అవి సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడతాయి.

సమూహాలలో చేసిన వ్యక్తిగత హోంవర్క్ తనిఖీ చేయబడుతుంది. ప్రదర్శన యొక్క రక్షణ "సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల పరిష్కారాలు"

(సమూహం యొక్క పని స్వతంత్ర నిపుణుడిచే అంచనా వేయబడుతుంది)

నేర్చుకోవడానికి ప్రేరణ.

ఉపాధ్యాయుడు: క్రాస్‌వర్డ్ పజిల్‌ను పరిష్కరించడానికి మాకు పని ఉంది. దాన్ని పరిష్కరించిన తరువాత, ఈ రోజు తరగతిలో పరిష్కరించడం నేర్చుకునే కొత్త రకమైన సమీకరణాల పేరును మేము కనుగొంటాము.

ప్రశ్నలు బోర్డుపై అంచనా వేయబడ్డాయి. విద్యార్థులు ఊహిస్తారు మరియు స్కోర్ షీట్‌లో సమాధానం ఇచ్చే విద్యార్థుల స్కోర్‌లను స్వతంత్ర నిపుణుడు నమోదు చేస్తారు.

క్రాస్‌వర్డ్ పజిల్‌ను పరిష్కరించిన తరువాత, పిల్లలు “సజాతీయ” అనే పదాన్ని చదువుతారు.

కొత్త జ్ఞానం యొక్క సమీకరణ.

ఉపాధ్యాయుడు: పాఠం యొక్క అంశం "సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు."

పాఠ్యాంశాన్ని నోట్‌బుక్‌లో రాసుకుందాం. సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీలు.

నిర్వచనాన్ని వ్రాసుకుందాం సజాతీయ సమీకరణంమొదటి డిగ్రీ. నేను ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ఒక ఉదాహరణను చూపుతాను;

రూపం యొక్క సమీకరణం ఎ sinx + బి cosx = 0 ను మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటారు.

గుణకాలు ఉన్నప్పుడు సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని పరిశీలిద్దాం ఎమరియు వి 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ: sinx + cosx = 0

ఆర్ సమీకరణ పదం యొక్క రెండు వైపులా cosx ద్వారా విభజించడం, మేము పొందుతాము

శ్రద్ధ! ఈ వ్యక్తీకరణ ఎక్కడైనా 0కి మారకపోతే మాత్రమే మీరు 0 ద్వారా విభజించవచ్చు. కొసైన్ 0కి సమానం అయితే, గుణకాలు 0 నుండి భిన్నంగా ఉన్నందున, సైన్ కూడా 0కి సమానంగా ఉంటుంది, అయితే సైన్ మరియు కొసైన్ సున్నాకి వెళ్తాయని మనకు తెలుసు వివిధ పాయింట్లు. అందువల్ల, ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ ఆపరేషన్ చేయవచ్చు.

మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cosx, cosx 0 ద్వారా విభజించడం

రూపం యొక్క సమీకరణం ఎ పాపం mx +బి cos mx = 0మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అని కూడా పిలుస్తారు మరియు కొసైన్ mx ద్వారా సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల విభజనను కూడా పరిష్కరిస్తుంది.

రూపం యొక్క సమీకరణం a పాపం 2 x+బి sinx cosx +సి cos2x = 0రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటారు.

ఉదాహరణ : పాపం 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

గుణకం a 0 నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల, మునుపటి సమీకరణం వలె, cosx 0కి సమానం కాదు, కాబట్టి మీరు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos 2 x ద్వారా విభజించే పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

మనకు tg 2 x + 2tgx – 3 = 0 వస్తుంది

tgx = a అనే కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా మేము పరిష్కరిస్తాము, అప్పుడు మనకు సమీకరణం వస్తుంది

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

భర్తీకి తిరిగి వెళ్ళు

సమాధానం:

గుణకం a = 0 అయితే, సమీకరణం 2sinx cosx – 3cos2x = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది, మేము తీసివేత పద్ధతిని ఉపయోగించి దాన్ని పరిష్కరిస్తాము సాధారణ గుణకంబ్రాకెట్ల నుండి cosx. గుణకం c = 0 అయితే, సమీకరణం sin2x +2sinx cosx = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటే, మేము బ్రాకెట్ల నుండి సాధారణ కారకం sinxని తీసుకోవడం ద్వారా దాన్ని పరిష్కరిస్తాము. మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం:

సమీకరణం asin2 x పదాన్ని కలిగి ఉందో లేదో చూడండి.

asin2 x అనే పదం సమీకరణంలో ఉంటే (అంటే a 0), అప్పుడు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos2x ద్వారా విభజించి, ఆపై కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా సమీకరణం పరిష్కరించబడుతుంది.

సమీకరణంలో asin2 x అనే పదం లేకుంటే (అంటే a = 0), అప్పుడు సమీకరణం కారకం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది: cosx బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేయబడుతుంది. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 రూపం యొక్క సజాతీయ సమీకరణాలు అదే విధంగా పరిష్కరించబడతాయి

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం 102వ పేజీలోని పాఠ్యపుస్తకంలో వ్రాయబడింది.

శారీరక విద్య నిమిషం

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి నైపుణ్యాల ఏర్పాటు

సమస్య పుస్తకాల పేజీ 53 తెరవడం

1వ మరియు 2వ సమూహాలు నం. 361-vని నిర్ణయిస్తాయి

3వ మరియు 4వ సమూహాలు నం. 363-vని నిర్ణయిస్తాయి

బోర్డులో పరిష్కారాన్ని చూపండి, వివరించండి, పూరించండి. స్వతంత్ర నిపుణుడు మూల్యాంకనం చేస్తాడు.

సమస్య పుస్తకం నం. 361-v నుండి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం
sinx – 3cosx = 0
మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cosx 0 ద్వారా విభజించాము, మనకు లభిస్తుంది

నం. 363-వి
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా cos2x ద్వారా విభజించండి, మనకు tg2x + tanx – 2 = 0 వస్తుంది

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేయడం ద్వారా పరిష్కరించండి
tgx = a అని చెప్పండి, అప్పుడు మనకు సమీకరణం వస్తుంది
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
తిరిగి భర్తీకి

స్వతంత్ర పని.

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

పూర్తయిన తర్వాత స్వతంత్ర పనిఉద్యోగాలను మార్చండి మరియు పరస్పరం తనిఖీ చేయండి. సరైన సమాధానాలు బోర్డుపై అంచనా వేయబడతాయి.

అప్పుడు వారు దానిని స్వతంత్ర నిపుణుడికి అప్పగిస్తారు.

పరిష్కారం మీరే చేయండి

పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.

తరగతిలో మనం ఏ రకమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల గురించి నేర్చుకున్నాము?

మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం.

హోంవర్క్: § 20.3 చదివారు. నం. 361(g), 363(b), పెరిగిన కష్టంఅదనంగా నం. 380(ఎ).

క్రాస్వర్డ్.

మీరు ప్రవేశిస్తే నిజమైన పదాలు, అప్పుడు మీరు త్రికోణమితి సమీకరణాల రకాల్లో ఒకదాని పేరును పొందుతారు.

సమీకరణాన్ని మార్చే వేరియబుల్ విలువ నిజమైన సమానత్వం? (రూట్)

కోణాల కొలత యూనిట్? (రేడియన్)

ఉత్పత్తిలో సంఖ్యా కారకం? (గుణకం)

గణిత శాస్త్ర విభాగం త్రికోణమితి విధులు? (త్రికోణమితి)

ఏది గణిత నమూనాత్రికోణమితి ఫంక్షన్లను పరిచయం చేయడానికి అవసరమా? (సర్కిల్)

ఏ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది? (కొసైన్)

నిజమైన సమానత్వాన్ని ఏమంటారు? (గుర్తింపు)

వేరియబుల్‌తో సమానత్వం? (సమీకరణం)

సమీకరణాలు ఉన్నాయి ఒకే మూలాలు? (సమానమైన)

సమీకరణం యొక్క మూలాల సమితి ? (పరిష్కారం)

స్కోర్ షీట్

№
n\n

చివరి పేరు, ఉపాధ్యాయుని మొదటి పేరు

హోంవర్క్

ప్రెజెంటేషన్

అభిజ్ఞా కార్యకలాపాలు
చదువుతున్నారు

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

స్వతంత్రుడు
ఉద్యోగం

హోంవర్క్ - 12 పాయింట్లు (3 సమీకరణాలు 4 x 3 = 12 హోంవర్క్ కోసం కేటాయించబడ్డాయి)

ప్రదర్శన - 1 పాయింట్

విద్యార్థి కార్యాచరణ – 1 సమాధానం – 1 పాయింట్ (గరిష్టంగా 4 పాయింట్లు)

సమీకరణాలను పరిష్కరించడం 1 పాయింట్

స్వతంత్ర పని - 4 పాయింట్లు

గ్రూప్ రేటింగ్:

"5" - 22 పాయింట్లు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ
"4" - 18 - 21 పాయింట్లు
"3" - 12 - 17 పాయింట్లు

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

రెండు తెలియని వాటితో నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలు

నిర్వచనం 1. A కొన్ని ఉండనివ్వండి సంఖ్యల జతల సమితి (x; వై) . ఎ సెట్ ఇచ్చారని అంటున్నారుసంఖ్యా విధి zరెండు వేరియబుల్స్ నుండి

x మరియు y , సెట్ A నుండి ప్రతి జత సంఖ్యలు నిర్దిష్ట సంఖ్యతో అనుబంధించబడే సహాయంతో ఒక నియమం పేర్కొనబడితే. వ్యాయామంసంఖ్యా విధి z రెండు వేరియబుల్స్ నుండి x మరియు y తరచుగాసూచిస్తాయి

కాబట్టి: ఎక్కడ (x , వై) f

ఎక్కడ (x , వై) = - ఫంక్షన్ కాకుండా ఏదైనా ఫంక్షన్ ,

గొడ్డలి+ద్వారా+సి ఇక్కడ a, b, c -.

ఇచ్చిన సంఖ్యలు నిర్వచనం 3.పరిష్కార సమీకరణం (2) x; వైఒక జత నంబర్లకు కాల్ చేయండి (

), దీనికి సూత్రం (2) నిజమైన సమానత్వం.

ఉదాహరణ 1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

ఏదైనా సంఖ్య యొక్క వర్గము ప్రతికూలమైనది కానందున, ఫార్ములా (4) నుండి తెలియని x మరియు y సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

దీనికి పరిష్కారం ఒక జత సంఖ్యలు (6; 3).

సమాధానం: (6; 3)

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి కాబట్టి, సమీకరణం (6)కి పరిష్కారంఅనంతమైన సెట్సంఖ్యల జతల

(1 + వై ; వై) ,

రకమైన

ఇక్కడ y అనేది ఏదైనా సంఖ్య.

సరళ నిర్వచనం 4.

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం x; వైఒక జత నంబర్లకు కాల్ చేయండి (

) , ఈ వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి సమీకరణాలలో వాటిని భర్తీ చేసినప్పుడు, సరైన సమానత్వం పొందబడుతుంది.

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సరళమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది(x , వై)

g

ఉదాహరణ 4. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం . మనకు తెలియని yని సిస్టమ్ (7) యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి తెలియని x ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మారుద్దాము:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

వై 1 = 8 - x 1 = 9 ,
వై 2 = 8 - x 2 = - 1 .

అందుకే,

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సజాతీయంగా ఉంటుంది

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సజాతీయమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సరళమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది(x , వై) ఇక్కడ a, b, c లకు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు

– x మరియు y అనే రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ 6. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

3x 2 + 2పరిష్కారం . సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం - వై 2 = 0 ,

3x 2 + 17పరిష్కారం . సజాతీయ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం + 10వై 2 = 0 ,

xy

.

తెలియని xకి సంబంధించి దీనిని వర్గ సమీకరణంగా పరిగణించడం: x = - 5వైసందర్భంలో

5వై 2 = - 20 ,

, సిస్టమ్ (11) యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము

మూలాలు లేనిది.

సందర్భంలో

,

సిస్టమ్ (11) యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి మనం సమీకరణాన్ని పొందుతాము వై 1 = 3 , వై 2 = - 3 . దీని మూలాలు సంఖ్యలు

ఈ ప్రతి విలువలకు y సంబంధిత విలువ xని కనుగొనడం, మేము సిస్టమ్‌కు రెండు పరిష్కారాలను పొందుతాము: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

సమాధానం: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

ఇతర రకాల సమీకరణాల పరిష్కార వ్యవస్థల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 8. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి (MIPT)

కొత్త తెలియని వాటి పరంగా సిస్టమ్ (12)ని తిరిగి వ్రాయడానికి, మేము ముందుగా తెలియని x మరియు y లను u మరియు v పరంగా వ్యక్తపరుస్తాము. సిస్టమ్ (13) నుండి అది అనుసరిస్తుంది

ఈ సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం నుండి వేరియబుల్ xని తొలగించడం ద్వారా లీనియర్ సిస్టమ్ (14)ని పరిష్కరిద్దాం.

• ఈ ప్రయోజనం కోసం, మేము సిస్టమ్‌లో క్రింది పరివర్తనలను చేస్తాము (14):
• మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చకుండా వదిలివేస్తాము;

రెండవ సమీకరణం నుండి మేము మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేస్తాము మరియు ఫలిత వ్యత్యాసంతో సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని భర్తీ చేస్తాము.

ఫలితంగా, సిస్టమ్ (14) సమానమైన వ్యవస్థగా మార్చబడుతుంది

దాని నుండి మనం కనుగొంటాము

సూత్రాలు (13) మరియు (15) ఉపయోగించి, మేము అసలు సిస్టమ్ (12) రూపంలో తిరిగి వ్రాస్తాము

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం (16) సరళంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మనం దాని నుండి తెలియని uని తెలియని v ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు ఈ వ్యక్తీకరణను సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలోకి మార్చవచ్చు.

1. ఈ రోజు మనం సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తాము. ముందుగా, పరిభాషను చూద్దాం: సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటే ఏమిటి. ఇది క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:
2. ఇది తప్పనిసరిగా అనేక నిబంధనలను కలిగి ఉండాలి;
3. అన్ని నిబంధనలు ఒకే డిగ్రీని కలిగి ఉండాలి;

సజాతీయ త్రికోణమితి గుర్తింపులో చేర్చబడిన అన్ని విధులు తప్పనిసరిగా ఒకే వాదనను కలిగి ఉండాలి.

పరిష్కార అల్గోరిథం

నిబంధనలను ఎంచుకుందాం మరియు మొదటి పాయింట్‌తో ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉంటే, రెండవదాని గురించి మరింత వివరంగా మాట్లాడటం విలువ. దాని అర్థం ఏమిటిఅదే డిగ్రీ

నిబంధనలు? మొదటి సమస్యను చూద్దాం:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0 ఈ సమీకరణంలో మొదటి పదం 3cosx 3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి - cosx \cos x - మరియు ఇతర త్రికోణమితి విధులు ఇక్కడ లేవు, కాబట్టి ఈ పదం యొక్క డిగ్రీ 1. రెండవది - 5sinx

5\sin x - ఇక్కడ సైన్ మాత్రమే ఉంది, అంటే ఈ పదం యొక్క డిగ్రీ కూడా ఒకదానికి సమానం. కాబట్టి, మన ముందు రెండు మూలకాలతో కూడిన గుర్తింపు ఉంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ కలిగి ఉంటుంది మరియు ఒకటి మాత్రమే. ఇది మొదటి డిగ్రీ సమీకరణం.

4రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 పాపం

x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0 4రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xఈ నిర్మాణంలో మొదటి సభ్యుడు

4((\ పాపం )^(2))x.

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 ఇప్పుడు మనం ఈ క్రింది పరిష్కారాన్ని వ్రాయవచ్చు:

x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మొదటి పదం రెండు త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది, అంటే దాని డిగ్రీ రెండు. రెండవ అంశంతో వ్యవహరిస్తాము - sin2x \sin 2x. ఈ ఫార్ములా - ఫార్ములా గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం:

డబుల్ కోణం

sin2x=2sinx⋅cosx

మళ్ళీ, ఫలిత సూత్రంలో మనకు రెండు త్రికోణమితి ఫంక్షన్లు ఉన్నాయి - సైన్ మరియు కొసైన్. అందువలన, ఈ నిర్మాణ పదం యొక్క శక్తి విలువ కూడా రెండుకి సమానం.

మూడవ అంశానికి వెళ్దాం - 3. గణితం కోర్సు నుండి ఉన్నత పాఠశాలఏదైనా సంఖ్యను 1తో గుణించవచ్చని మేము గుర్తుంచుకోవాలి, కాబట్టి మేము దానిని వ్రాస్తాము:

˜ 3=3⋅1

మరియు యూనిట్ కింది రూపంలో ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు:

1=రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x⋅ కాస్2 x

1=((\ sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

కాబట్టి, మనం 3ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

3=3(రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x⋅ కాస్2 x)=3రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x+3 కాస్2 x

3=3\ఎడమ((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

ఈ విధంగా, మా పదం 3 రెండు మూలకాలుగా విభజించబడింది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సజాతీయంగా ఉంటుంది మరియు రెండవ డిగ్రీని కలిగి ఉంటుంది. మొదటి పదంలోని సైన్ రెండుసార్లు సంభవిస్తుంది, రెండవదానిలోని కొసైన్ కూడా రెండుసార్లు సంభవిస్తుంది. అందువల్ల, 3ని రెండు శక్తి ఘాతాంకంతో పదంగా కూడా సూచించవచ్చు.

మూడవ వ్యక్తీకరణతో అదే విషయం:

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:3 x+ రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xcosx=2 కాస్3 x

చూద్దాం. మొదటి పదం రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:3 x((\ sin )^(3))x అనేది మూడవ డిగ్రీ యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్. రెండవ మూలకం - రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xcosx((\ sin )^(2))x\cos x.

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 ((\sin )^(2)) అనేది పవర్ విలువ రెండు గుణించబడిన లింక్ 3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -\cos x అనేది మొదటి పదం. మొత్తంగా, మూడవ పదం కూడా మూడు శక్తి విలువను కలిగి ఉంటుంది. చివరగా, కుడి వైపున మరొక లింక్ ఉంది - 2కాస్3 x 2((\cos )^(3))x అనేది మూడవ డిగ్రీ యొక్క మూలకం. ఈ విధంగా, మన ముందు మూడవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం ఉంది.

మాకు మూడు గుర్తింపులు వ్రాయబడ్డాయి వివిధ డిగ్రీలు. రెండవ వ్యక్తీకరణకు మళ్లీ శ్రద్ధ వహించండి. అసలు రికార్డులో, సభ్యుల్లో ఒకరికి వాదన ఉంది 2x 2x. డబుల్ యాంగిల్ సైన్ ఫార్ములాని ఉపయోగించి ఈ ఆర్గ్యుమెంట్‌ని మార్చడం ద్వారా మేము దానిని వదిలించుకోవలసి వస్తుంది, ఎందుకంటే మా గుర్తింపులో చేర్చబడిన అన్ని ఫంక్షన్‌లు తప్పనిసరిగా ఒకే వాదనను కలిగి ఉండాలి. మరియు ఇది సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలకు అవసరం.

మేము ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపు సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు తుది పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము

మేము నిబంధనలను క్రమబద్ధీకరించాము, పరిష్కారానికి వెళ్దాం. శక్తి ఘాతాంకంతో సంబంధం లేకుండా, ఈ రకమైన సమానతలను పరిష్కరించడం ఎల్లప్పుడూ రెండు దశల్లో నిర్వహించబడుతుంది:

1) నిరూపించండి

cosx≠0

\cos x\ne 0. దీన్ని చేయడానికి, ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపు సూత్రాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకుంటే సరిపోతుంది (రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x⋅ కాస్2 x=1)\left((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \కుడి) మరియు ఈ ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి cosx=0\cos x=0. మేము ఈ క్రింది వ్యక్తీకరణను పొందుతాము:

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\ end(align)

పొందిన విలువలను భర్తీ చేయడం, అంటే బదులుగా 3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -\cos x సున్నా, మరియు బదులుగా సింక్స్\sin x - 1 లేదా -1, అసలు వ్యక్తీకరణలో, మేము తప్పుగా అర్థం చేసుకుంటాము సంఖ్యా సమానత్వం. ఇదే సమర్థన

cosx≠0

2) రెండవ దశ తార్కికంగా మొదటి నుండి అనుసరిస్తుంది. ఎందుకంటే

cosx≠0

\cos x\ne 0, మేము నిర్మాణం యొక్క రెండు వైపులా విభజిస్తాము కాస్n x((\cos )^(n))x, ఎక్కడ n n - అంతే శక్తి ఘాతాంకంసజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం. ఇది మనకు ఏమి ఇస్తుంది:

\[\begin(array)(·(35)(l))

సింక్స్3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -= tgx3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\ end(align) \\() \\ \end(శ్రేణి)\]

దీనికి ధన్యవాదాలు, మా గజిబిజి ప్రారంభ నిర్మాణం సమీకరణానికి తగ్గించబడింది nటాంజెంట్‌కు సంబంధించి n-డిగ్రీ, దీని పరిష్కారం వేరియబుల్ మార్పును ఉపయోగించి సులభంగా వ్రాయవచ్చు. అది మొత్తం అల్గోరిథం. ఆచరణలో ఇది ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం.

మేము నిజమైన సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము

టాస్క్ నంబర్ 1

నిబంధనలు? మొదటి సమస్యను చూద్దాం:

3cosx+5sinx=0

ఇది ఒక శక్తి ఘాతాంకంతో సమానమైన సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అని మేము ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. అందువల్ల, మొదట, దానిని తెలుసుకుందాం cosx≠0\cos x\ne 0. వ్యతిరేకం అనుకుందాం, అది

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\ to \sin x=\pm 1.

మేము ఫలిత విలువను మా వ్యక్తీకరణలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\ end(align)

దీని ఆధారంగా మనం చెప్పగలం cosx≠0\cos x\ne 0. మన సమీకరణాన్ని భాగించండి 3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -\cos x, ఎందుకంటే మా మొత్తం వ్యక్తీకరణ శక్తి విలువను కలిగి ఉంటుంది, ఒకరికి సమానం. మేము పొందుతాము:

3(3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -) +5(సింక్స్3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -) =0 3+5tgx=0tgx=- 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\ end(align)

ఇది పట్టిక విలువ కాదు, కాబట్టి సమాధానం చేర్చబడుతుంది arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\!\text( )n,n\in Z

ఎందుకంటే arctg arctg arctg అనేది బేసి ఫంక్షన్, మనం ఆర్గ్యుమెంట్ నుండి “మైనస్” ను తీసి arctg ముందు ఉంచవచ్చు. మేము చివరి సమాధానం పొందుతాము:

x=-arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

పని సంఖ్య 2

4రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 పాపం

x+sin2x−3=0

మీకు గుర్తున్నట్లుగా, మీరు దాన్ని పరిష్కరించడం ప్రారంభించడానికి ముందు, మీరు కొన్ని పరివర్తనలను నిర్వహించాలి. మేము పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము:

4రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x+2sinxcosx−3 (రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x+ కాస్2 x)=0 4రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x+2sinxcosx−3 రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x−3 కాస్2 x=0రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 x+2sinxcosx−3 కాస్2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\ ముగింపు (సమలేఖనం)

మేము మూడు అంశాలతో కూడిన నిర్మాణాన్ని అందుకున్నాము. మొదటి పదంలో మనం చూస్తాము రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 ((\ sin )^(2)), అనగా దాని శక్తి విలువ రెండు. రెండవ పదంలో మనం చూస్తాము సింక్స్\sin x మరియు 3\cos x. ఇక్కడ ఒక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ మాత్రమే ఉందని దయచేసి గమనించండి -\cos x - మళ్లీ రెండు విధులు ఉన్నాయి, అవి గుణించబడతాయి, కాబట్టి మొత్తం డిగ్రీ మళ్లీ రెండు. మూడవ లింక్‌లో మనం చూస్తాము కాస్2 x((\cos )^(2))x - మొదటి విలువను పోలి ఉంటుంది.

అని నిరూపిద్దాం cosx=0\cos x=0 ఈ నిర్మాణానికి పరిష్కారం కాదు. దీన్ని చేయడానికి, వ్యతిరేకం అనుకుందాం:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\ ముగింపు(శ్రేణి)\]

అని నిరూపించుకున్నాం cosx=0\cos x=0 ఒక పరిష్కారం కాదు. రెండవ దశకు వెళ్దాం - మన మొత్తం వ్యక్తీకరణను దీని ద్వారా విభజించండి కాస్2 x((\cos )^(2))x. స్క్వేర్డ్ ఎందుకు? ఎందుకంటే ఈ సజాతీయ సమీకరణం యొక్క శక్తి ఘాతాంకం రెండుకి సమానం:

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xకాస్2 x+2sinxcosxకాస్2 x−3=0 t g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\ end(align)

నిర్ణయించడం సాధ్యమేనా ఈ వ్యక్తీకరణవివక్షను ఉపయోగిస్తున్నారా? అయితే మీరు చెయ్యగలరు. కానీ నేను వియటా సిద్ధాంతానికి సంభాషించిన సిద్ధాంతాన్ని గుర్తుకు తెచ్చుకోవాలని ప్రతిపాదించాను మరియు మేము దానిని పొందుతాము బహుపది ఇచ్చారుమనం దానిని రెండు సాధారణ బహుపదిల రూపంలో అందజేద్దాం, అవి:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\ end(align)

చాలా మంది విద్యార్థులు గుర్తింపులకు పరిష్కారాల యొక్క ప్రతి సమూహానికి వేర్వేరు గుణకాలను వ్రాయడం విలువైనదేనా లేదా ఇబ్బంది పెట్టకుండా మరియు ప్రతిచోటా ఒకే విధంగా వ్రాయడం విలువైనదేనా అని అడుగుతారు. వ్యక్తిగతంగా, ఇది ఉపయోగించడానికి ఉత్తమం మరియు మరింత నమ్మదగినదని నేను భావిస్తున్నాను వివిధ అక్షరాలుతద్వారా మీరు సీరియస్‌లోకి ప్రవేశించిన సందర్భంలో సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయంగణితంలో అదనపు పరీక్షలతో, పరీక్షకులు సమాధానంలో తప్పును కనుగొనలేదు.

పని సంఖ్య 3

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:3 x+ రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xcosx=2 కాస్3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ఇది థర్డ్ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు, ప్రత్యేక సూత్రాలు అవసరం లేదు మరియు మాకు కావలసింది పదాన్ని తరలించడమే 2కాస్3 x 2((\cos )^(3))x ఎడమవైపు. తిరిగి రాద్దాం:

రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:3 x+ రెండవ వ్యక్తీకరణకు వెళ్దాం:2 xcosx−2 కాస్3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

ప్రతి మూలకం మూడు త్రికోణమితి విధులను కలిగి ఉందని మేము చూస్తాము, కాబట్టి ఈ సమీకరణం మూడు శక్తి విలువను కలిగి ఉంటుంది. దాన్ని పరిష్కరించుకుందాం. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము దానిని నిరూపించాలి cosx=0\cos x=0 రూట్ కాదు:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\ sin x=\pm 1 \\\ end(array)\]

మన అసలు నిర్మాణంలో ఈ సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0± 1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\ end(align)

అందుకే, cosx=0\cos x=0 పరిష్కారం కాదు. అని నిరూపించుకున్నాం cosx≠0\cos x\ne 0. ఇప్పుడు మనం దీనిని నిరూపించాము, మన అసలు సమీకరణాన్ని దీనితో భాగిద్దాం కాస్3 x((\cos )^(3))x. క్యూబ్‌లో ఎందుకు? ఎందుకంటే మా అసలు సమీకరణానికి మూడవ శక్తి ఉందని మేము ఇప్పుడే నిరూపించాము:

పాపం3 xకాస్3 x+పాపం2 xcosxకాస్3 x−2=0 t రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సరళమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది3 x+t రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలు, వాటిలో ఒకటి సరళమైనది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\ sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac((\sin )^(2))x\ cos x)((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\ ముగింపు (సమలేఖనం)

కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం:

tgx=t

నిర్మాణాన్ని మళ్లీ వ్రాద్దాం:

t3 +t2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

మా ముందు క్యూబిక్ సమీకరణం. దాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? మొదట్లో, నేను ఈ వీడియో ట్యుటోరియల్‌ని పెడుతున్నప్పుడు, ముందుగా ఫ్యాక్టరింగ్ బహుపదాలు మరియు ఇతర టెక్నిక్‌ల గురించి మాట్లాడాలని అనుకున్నాను. కానీ లో ఈ సందర్భంలోప్రతిదీ చాలా సులభం. చూడండి, దీనితో పదంతో మా గుర్తింపు ఇవ్వబడింది చాలా వరకుఖర్చులు 1. అదనంగా, అన్ని గుణకాలు పూర్ణాంకాలు. దీనర్థం మనం బెజౌట్ సిద్ధాంతం నుండి ఒక పరిణామాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, ఇది అన్ని మూలాలు సంఖ్య -2 యొక్క భాగహారాలు అని పేర్కొంది, అంటే ఉచిత పదం.

ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: -2 అంటే ఏమిటి? 2 ప్రధాన సంఖ్య కాబట్టి, చాలా ఎంపికలు లేవు. ఇది కావచ్చు క్రింది సంఖ్యలు: 1; 2; -1; -2. ప్రతికూల మూలాలువెంటనే అదృశ్యం. ఎందుకు? ఎందుకంటే అవి రెండూ సంపూర్ణ విలువలో 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి t3 ((t)^(3)) కంటే మాడ్యులస్‌లో ఎక్కువగా ఉంటుంది t2 ((t)^(2)). మరియు క్యూబ్ బేసి ఫంక్షన్ కాబట్టి, క్యూబ్‌లోని సంఖ్య ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు t2 ((t)^(2)) - పాజిటివ్, మరియు ఈ మొత్తం నిర్మాణం, దీనితో t=-1 t=-1 మరియు t=-2 t=-2, 0 కంటే ఎక్కువ కాదు. దాని నుండి -2 తీసివేసి, ఖచ్చితంగా 0 కంటే తక్కువ ఉండే సంఖ్యను పొందండి. ఈ సంఖ్యలలో ప్రతిదానిని 1 మరియు 2 మాత్రమే ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\ to \text( )1+1-2=0\ to 0=0

మేము సరైన సంఖ్యా సమానత్వాన్ని పొందాము. అందుకే, t=1 t=1 అనేది రూట్.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\ to 8+4-2=0\ to 10\ne 0

t=2 t=2 అనేది రూట్ కాదు.

కరోలరీ మరియు అదే బెజౌట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఏదైనా బహుపది మూలం x0 ((x)_(0)), దీన్ని రూపంలో సూచించండి:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

మా విషయంలో, పాత్రలో x x వేరియబుల్‌గా పనిచేస్తుంది t t, మరియు పాత్రలో x0 ((x)_(0)) అనేది 1కి సమానమైన రూట్. మనకు లభిస్తుంది:

t3 +t2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

బహుపదిని ఎలా కనుగొనాలి పి (టి)పి\ఎడమ(టి\కుడి)? సహజంగానే, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి:

P(t)= t3 +t2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

t3 +t2 +0⋅t−2t−1=t2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

కాబట్టి, మన అసలు బహుపది శేషం లేకుండా విభజించబడింది. కాబట్టి, మన అసలు సమానత్వాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

(t−1)( t2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

కనీసం ఒక కారకం అయినప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం సున్నాకి సమానం. మేము ఇప్పటికే మొదటి గుణకం పరిగణించాము. రెండవదాన్ని చూద్దాం:

t2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

అనుభవజ్ఞులైన విద్యార్థులు బహుశా ఈ నిర్మాణానికి మూలాలు లేవని ఇప్పటికే గ్రహించారు, కానీ ఇప్పటికీ వివక్షను లెక్కిద్దాం.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

వివక్షత 0 కంటే తక్కువ, కాబట్టి వ్యక్తీకరణకు మూలాలు లేవు. మొత్తంగా, భారీ నిర్మాణం సాధారణ సమానత్వానికి తగ్గించబడింది:

\[\begin(array)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\ end(array)\]

ముగింపులో, నేను చివరి పనిపై కొన్ని వ్యాఖ్యలను జోడించాలనుకుంటున్నాను:

1. పరిస్థితి ఎల్లప్పుడూ సంతృప్తికరంగా ఉంటుందా? cosx≠0\cos x\ne 0, మరియు ఈ తనిఖీని నిర్వహించడం విలువైనదేనా? వాస్తవానికి, ఎల్లప్పుడూ కాదు. సందర్భాలలో cosx=0\cos x=0 అనేది మన సమానత్వానికి ఒక పరిష్కారం; మేము దానిని బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయాలి, ఆపై పూర్తి స్థాయి సజాతీయ సమీకరణం బ్రాకెట్లలో ఉంటుంది.
2. బహుపదిని బహుపది ద్వారా విభజించడం అంటే ఏమిటి. వాస్తవానికి, చాలా పాఠశాలలు దీనిని అధ్యయనం చేయవు మరియు విద్యార్థులు మొదటిసారిగా అలాంటి డిజైన్‌ను చూసినప్పుడు, వారు స్వల్ప షాక్‌ను అనుభవిస్తారు. కానీ, నిజానికి, ఇది సరళమైన మరియు అందమైన టెక్నిక్, ఇది సమీకరణాలను చాలా సులభతరం చేస్తుంది అధిక డిగ్రీలు. వాస్తవానికి, ప్రత్యేక వీడియో ట్యుటోరియల్ దీనికి అంకితం చేయబడుతుంది, నేను సమీప భవిష్యత్తులో ప్రచురిస్తాను.

కీ పాయింట్లు

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలు అన్ని రకాల్లో ఇష్టమైన అంశం పరీక్షలు. వాటిని చాలా సరళంగా పరిష్కరించవచ్చు - ఒక్కసారి సాధన చేయండి. మనం దేని గురించి మాట్లాడుతున్నామో స్పష్టం చేయడానికి, కొత్త నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటే ప్రతి సున్నా కాని పదం ఒకే సంఖ్యలో త్రికోణమితి కారకాలను కలిగి ఉంటుంది. ఇవి సైన్‌లు, కొసైన్‌లు లేదా వాటి కలయికలు కావచ్చు - పరిష్కార పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క డిగ్రీ అనేది సున్నా కాని పదాలలో చేర్చబడిన త్రికోణమితి కారకాల సంఖ్య:

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1వ డిగ్రీ గుర్తింపు;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2nd డిగ్రీ;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3వ డిగ్రీ;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - మరియు ఈ సమీకరణం సజాతీయమైనది కాదు, ఎందుకంటే కుడి వైపున ఒక యూనిట్ ఉంది - త్రికోణమితి కారకాలు లేని సున్నా కాని పదం;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 - కూడా అసమాన సమీకరణం. మూలకం sin2x\sin 2x రెండవ డిగ్రీకి చెందినది (ఇది సూచించబడవచ్చు కాబట్టి

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x మొదటిది, మరియు 3 అనే పదం సాధారణంగా సున్నా, ఎందుకంటే ఇందులో సైన్స్ లేదా కొసైన్‌లు లేవు.

సాధారణ పరిష్కార పథకం

పరిష్కార పథకం ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది:

అని అనుకుందాం cosx=0\cos x=0. అప్పుడు sinx=±1\sin x=\pm 1 - ఇది ప్రధాన గుర్తింపు నుండి అనుసరిస్తుంది. ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం సింక్స్\sin x మరియు cosxఅసలు వ్యక్తీకరణలోకి \cos x, మరియు ఫలితం అర్ధంలేనిది అయితే (ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ 5=0 5=0), రెండవ పాయింట్‌కి వెళ్లండి;

మేము కొసైన్ యొక్క శక్తితో ప్రతిదీ విభజిస్తాము: cosx, cos2x, cos3x... - సమీకరణం యొక్క శక్తి విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మేము టాంజెంట్‌లతో సాధారణ సమానత్వాన్ని పొందుతాము, ఇది tgx=tని భర్తీ చేసిన తర్వాత సురక్షితంగా పరిష్కరించబడుతుంది.

tgx=t కనుగొనబడిన మూలాలు అసలు వ్యక్తీకరణకు సమాధానంగా ఉంటాయి.

చివరి వివరాలు, గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ నుండి C1 పనులను ఎలా పరిష్కరించాలి - సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.ఈ చివరి పాఠంలో వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో మేము మీకు చెప్తాము.

ఈ సమీకరణాలు ఏమిటి? వాటిని రాసుకుందాం సాధారణ వీక్షణ.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

ఇక్కడ `a` మరియు `b` కొన్ని స్థిరాంకాలు. ఈ సమీకరణాన్ని మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం అంటారు.

మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం

అటువంటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు దానిని `\cos x`తో విభజించాలి. అప్పుడు అది రూపం తీసుకుంటుంది

$$\nన్యూకమాండ్(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

అటువంటి సమీకరణానికి సమాధానం ఆర్క్టాంజెంట్ ఉపయోగించి సులభంగా వ్రాయబడుతుంది.

`\cos x ≠0` అని గమనించండి. దీన్ని ధృవీకరించడానికి, మేము కొసైన్‌కు బదులుగా సమీకరణంలో సున్నాని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము మరియు సైన్ కూడా తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలని మేము కనుగొన్నాము. అయితే, అవి ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండకూడదు, అంటే కొసైన్ సున్నా కాదు.

ఈ సంవత్సరం నిజమైన పరీక్షలో కొన్ని ప్రశ్నలు సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. లింక్‌ని అనుసరించండి. మేము సమస్య యొక్క కొద్దిగా సరళీకృత సంస్కరణను తీసుకుంటాము.

మొదటి ఉదాహరణ. మొదటి డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

$$\sin x + \cos x = 0.$$

`\cos x`తో భాగించండి.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇదే విధమైన పని ఉంది :) వాస్తవానికి, మీరు ఇంకా మూలాలను ఎంచుకోవాలి, కానీ ఇది కూడా ప్రత్యేక ఇబ్బందులను కలిగించకూడదు.

ఇప్పుడు ముందుకు వెళ్దాం తదుపరి రకంసమీకరణాలు.

రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం

సాధారణంగా ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

ఇక్కడ `a, b, c` కొన్ని స్థిరాంకాలు.

ఇటువంటి సమీకరణాలు `\cos^2 x` (మళ్లీ సున్నా కాదు) ద్వారా విభజించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి. వెంటనే ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

రెండవ ఉదాహరణ. రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x`తో భాగించండి.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

`t = \tg x`ని భర్తీ చేద్దాం.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

రివర్స్ భర్తీ

$$\tg x = 3, \text(లేదా ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text(లేదా ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

సమాధానం లభించింది.

మూడవ ఉదాహరణ. రెండవ డిగ్రీ యొక్క సజాతీయ త్రికోణమితి సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

అంతా బాగానే ఉంటుంది, కానీ ఈ సమీకరణం సజాతీయంగా లేదు - కుడి వైపున ఉన్న `-2` మనతో జోక్యం చేసుకుంటుంది. ఏం చేయాలి? ప్రాథమికంగా వాడుకుందాం త్రికోణమితి గుర్తింపుమరియు `-2` అని వ్రాయడానికి దాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x`తో భాగించండి.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

భర్తీ `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(లేదా ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

ఈ చివరి ఉదాహరణఈ పాఠంలో.

ఎప్పటిలాగే, నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: శిక్షణ మాకు ప్రతిదీ. ఎంత తెలివైన వ్యక్తి అయినా శిక్షణ లేకుండా నైపుణ్యాలు అభివృద్ధి చెందవు. పరీక్ష సమయంలో, ఇది ఆందోళన, తప్పులు మరియు సమయం కోల్పోవడం (ఈ జాబితాను మీరే కొనసాగించండి)తో నిండి ఉంటుంది. తప్పకుండా చదువుకో!

శిక్షణ పనులు

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. ఈ అప్పగించినది నిజమైన ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష 2013. డిగ్రీల లక్షణాల జ్ఞానాన్ని ఎవరూ రద్దు చేయలేదు, కానీ మీరు మర్చిపోయినట్లయితే, ఒకసారి చూడండి;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. ఏడవ పాఠం నుండి సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

అంతే. మరియు ఎప్పటిలాగే, చివరకు: వ్యాఖ్యలలో ప్రశ్నలు అడగండి, ఇష్టం, వీడియోలను చూడండి, ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలుసుకోండి.