1) ఫంక్షన్ డొమైన్ మరియు ఫంక్షన్ పరిధి.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల సమితి x(వేరియబుల్ x), దీని కోసం ఫంక్షన్ y = f(x)నిర్ణయించారు. ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి అన్ని వాస్తవ విలువల సమితి వై, ఇది ఫంక్షన్ అంగీకరిస్తుంది.

ప్రాథమిక గణితంలో, విధులు వాస్తవ సంఖ్యల సమితిలో మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడతాయి.

2) ఫంక్షన్ సున్నాలు.

ఫంక్షన్ సున్నా అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువ, దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క విలువ సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది.

3) ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.

ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల సెట్లు, వీటిపై ఫంక్షన్ విలువలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా మాత్రమే ఉంటాయి.

4) ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ.

పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ (నిర్దిష్ట విరామంలో) అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీనిలో ఈ విరామం నుండి ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

5) సరి (బేసి) ఫంక్షన్.

ఈవెన్ ఫంక్షన్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మూలానికి సంబంధించి మరియు దేనికైనా సుష్టంగా ఉంటుంది. Xనిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి సమానత్వం f(-x) = f(x).

సరి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆర్డినేట్ గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. Xబేసి ఫంక్షన్ అనేది ఒక ఫంక్షన్, దీని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మూలానికి సంబంధించి మరియు దేనికైనా సుష్టంగా ఉంటుంది నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి సమానత్వం నిజం f(-x) = - f(x

).

బేసి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది.

6) పరిమిత మరియు అపరిమిత విధులు.

|f(x)| అనే ధనాత్మక సంఖ్య M ఉన్నట్లయితే ఒక ఫంక్షన్‌ని బౌండడ్ అంటారు x యొక్క అన్ని విలువలకు ≤ M. అటువంటి సంఖ్య లేనట్లయితే, అప్పుడు ఫంక్షన్ అపరిమితంగా ఉంటుంది.

7) ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తన

ప్రాథమిక ప్రాథమిక విధులు. వాటి లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లు

1. లీనియర్ ఫంక్షన్.

లీనియర్ ఫంక్షన్ ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ అంటారు, ఇక్కడ x ఒక వేరియబుల్, a మరియు b వాస్తవ సంఖ్యలు.

సంఖ్య ఎరేఖ యొక్క వాలు అని పిలుస్తారు, ఇది అబ్సిస్సా అక్షం యొక్క సానుకూల దిశకు ఈ రేఖ యొక్క వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానం. లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక సరళ రేఖ. ఇది రెండు పాయింట్ల ద్వారా నిర్వచించబడింది.

ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

1. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ - అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి: D(y)=R

2. విలువల సమితి అనేది అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి: E(y)=R

3. ఫంక్షన్ సున్నా విలువను ఎప్పుడు తీసుకుంటుంది లేదా.

4. నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది).

5. ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది, భేదం మరియు .

2. క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్.

ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్, ఇక్కడ x ఒక వేరియబుల్, గుణకాలు a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు, అంటారు చతుర్భుజం

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌పై సూచన డేటాను అందిస్తుంది - ప్రాథమిక లక్షణాలు, గ్రాఫ్‌లు మరియు సూత్రాలు. కింది అంశాలు పరిగణించబడతాయి: డొమైన్ ఆఫ్ డెఫినిషన్, సెట్ ఆఫ్ వాల్యూస్, మోనోటోనిసిటీ, ఇన్వర్స్ ఫంక్షన్, డెరివేటివ్, ఇంటెగ్రల్, పవర్ సిరీస్ ఎక్స్‌పాన్షన్ మరియు కాంప్లెక్స్ సంఖ్యల ద్వారా ప్రాతినిధ్యం.

నిర్వచనం

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ a కి సమానమైన n సంఖ్యల ఉత్పత్తి యొక్క సాధారణీకరణ:
వై (n) = a n = a·a·a··a,
వాస్తవ సంఖ్యల సమితికి x:
వై (x) = గొడ్డలి.
ఇక్కడ a అనేది స్థిరమైన వాస్తవ సంఖ్య, దీనిని అంటారు ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారం.
బేస్ aతో కూడిన ఘాతాంక విధిని కూడా అంటారు ఆధారం నుండి ఘాతాంకం a.

సాధారణీకరణ క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది.
సహజ x = కోసం 1, 2, 3,... , ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అనేది x కారకాల ఉత్పత్తి:
.
అంతేకాకుండా, ఇది లక్షణాలను కలిగి ఉంది (1.5-8) (), ఇది సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమాల నుండి అనుసరిస్తుంది. పూర్ణాంకాల యొక్క సున్నా మరియు ప్రతికూల విలువల కోసం, ఘాతాంక ఫంక్షన్ సూత్రాలను (1.9-10) ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది. పాక్షిక విలువలకు x = m/n హేతుబద్ధ సంఖ్యలు, , ఇది ఫార్ములా (1.11) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. వాస్తవం కోసం, ఘాతాంక ఫంక్షన్ క్రమం యొక్క పరిమితిగా నిర్వచించబడింది:
,
x:కి కలుస్తున్న హేతుబద్ధ సంఖ్యల యొక్క ఏకపక్ష క్రమం ఎక్కడ ఉంది.
ఈ నిర్వచనంతో, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అందరికీ నిర్వచించబడింది మరియు సహజ x కోసం లక్షణాలను (1.5-8) సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం మరియు దాని లక్షణాల రుజువు యొక్క కఠినమైన గణిత సూత్రీకరణ "ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాల నిర్వచనం మరియు రుజువు" పేజీలో ఇవ్వబడింది.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

ఘాతాంక ఫంక్షన్ y = a x వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది ():
(1.1) నిర్వచించబడిన మరియు నిరంతర, కోసం , అందరికీ ;
(1.2) ఒక ≠ కోసం 1 అనేక అర్ధాలు ఉన్నాయి;
(1.3) వద్ద ఖచ్చితంగా పెరుగుతుంది, వద్ద ఖచ్చితంగా తగ్గుతుంది,
వద్ద స్థిరంగా ఉంటుంది;
(1.4) వద్ద ;
వద్ద ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

ఇతర ఉపయోగకరమైన సూత్రాలు.
.
వేరే ఘాతాంకం బేస్‌తో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌కి మార్చడానికి ఫార్ములా:

b = e అయినప్పుడు, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క వ్యక్తీకరణను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ద్వారా పొందుతాము:

ప్రైవేట్ విలువలు

, , , , .

ఫిగర్ ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది
వై (x) = గొడ్డలి
నాలుగు విలువల కోసం డిగ్రీ స్థావరాలు: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 మరియు a = 1/8 . 1 ఇది ఒక > కోసం చూడవచ్చు 0 < a < 1 ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతుంది. డిగ్రీ a యొక్క పెద్ద పునాది, బలమైన పెరుగుదల. వద్ద

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మోనోటోనికల్‌గా తగ్గుతుంది. చిన్న ఘాతాంకం a, తగ్గుదల బలంగా ఉంటుంది.

ఆరోహణ, అవరోహణ

	ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ ఖచ్చితంగా మోనోటోనిక్ మరియు అందువల్ల ఎక్స్‌ట్రీమా లేదు. దీని ప్రధాన లక్షణాలు పట్టికలో ప్రదర్శించబడ్డాయి. 1	y = a x , a > 0 < a < 1
y = గొడ్డలి,	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
నిర్వచనం యొక్క డొమైన్	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
విలువల పరిధి	మోనోటోన్	ఏకధాటిగా పెరుగుతుంది
ఏకధాటిగా తగ్గుతుంది 0	సున్నాలు, y =	సున్నాలు, y =
నం 0	ఆర్డినేట్ అక్షంతో బిందువులను అడ్డగించు, x = 1	ఆర్డినేట్ అక్షంతో బిందువులను అడ్డగించు, x = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

y=

విలోమ ఫంక్షన్

బేస్ aతో ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క విలోమం a బేస్ చేయడానికి సంవర్గమానం.
.
ఉంటే, అప్పుడు
.

ఉంటే, అప్పుడు

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క భేదం

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి, దాని ఆధారాన్ని తప్పనిసరిగా సంఖ్య eకి తగ్గించాలి, డెరివేటివ్‌ల పట్టికను మరియు కాంప్లెక్స్ ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడానికి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి.
దీన్ని చేయడానికి మీరు లాగరిథమ్‌ల లక్షణాన్ని ఉపయోగించాలి
.

మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి సూత్రం:
.
ఘాతాంక విధిని ఇవ్వనివ్వండి:

మేము దానిని బేస్ ఇకి తీసుకువస్తాము:

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయండి

అప్పుడు
.
మేము కలిగి ఉన్న ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి (వేరియబుల్ xని zతో భర్తీ చేయండి):
.
స్థిరాంకం కనుక, xకి సంబంధించి z యొక్క ఉత్పన్నం సమానం
.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం:

.
ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం
.
n వ ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం:

సూత్రాలను పొందడం >>>

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను భేదించే ఉదాహరణ
ఆర్డినేట్ అక్షంతో బిందువులను అడ్డగించు, x = ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

3 5 x

పరిష్కారం
ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారాన్ని సంఖ్య e ద్వారా వ్యక్తపరుద్దాం.
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయండి
.
3 = ఇ ఎల్ఎన్ 3
.
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయండి

వేరియబుల్‌ని నమోదు చేయండి
.
ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి మనం కనుగొంటాము: నుండి 5ln 3
.
స్థిరంగా ఉంటుంది, అప్పుడు xకి సంబంధించి z యొక్క ఉత్పన్నం దీనికి సమానం:
.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

సమాధానం

సమగ్ర

సంక్లిష్ట సంఖ్యలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలు సంక్లిష్ట సంఖ్య ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి:
z f
(z) = a z 2 = - 1 .
ఇక్కడ z = x + iy;
i
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ల భేదం యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, వేరియబుల్‌ను పరిచయం చేయండి


.
మాడ్యులస్ r మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ φ పరంగా సంక్లిష్ట స్థిరాంకం aని వ్యక్తపరుస్తాము:
φ = φ 0 + 2 πn,
ఇక్కడ n అనేది పూర్ణాంకం. కాబట్టి ఫంక్షన్ f (z)అనేది కూడా స్పష్టంగా లేదు. దీని ప్రధాన ప్రాముఖ్యత తరచుగా పరిగణించబడుతుంది
.

సిరీస్ విస్తరణ

.

వాడిన సాహిత్యం:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.

నేషనల్ రీసెర్చ్ యూనివర్సిటీ

అప్లైడ్ జియాలజీ విభాగం

ఉన్నత గణితంపై సారాంశం

అంశంపై: “ప్రాథమిక ప్రాథమిక విధులు,

వాటి లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లు"

పూర్తయింది:

తనిఖీ చేయబడింది:

గురువు

నిర్వచనం. ఫార్ములా y=a x (ఇక్కడ a>0, a≠1) ద్వారా అందించబడిన ఫంక్షన్‌ను బేస్ aతో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అంటారు.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను రూపొందిద్దాం:

1. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అనేది అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి (R).

2. పరిధి - అన్ని సానుకూల వాస్తవ సంఖ్యల సమితి (R+).

3. a > 1 కోసం, ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్య రేఖ వెంట పెరుగుతుంది; 0 వద్ద<а<1 функция убывает.

4. సాధారణ రూపం యొక్క విధి.

, విరామంలో xО [-3;3]
, విరామంలో xО [-3;3]

y(x)=x n రూపం యొక్క ఫంక్షన్, ఇక్కడ n సంఖ్య ОR, దీనిని పవర్ ఫంక్షన్ అంటారు. సంఖ్య n వేర్వేరు విలువలను తీసుకోవచ్చు: పూర్ణాంకం మరియు భిన్నం రెండూ, సరి మరియు బేసి రెండూ. దీనిపై ఆధారపడి, పవర్ ఫంక్షన్ వేరే రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పవర్ ఫంక్షన్‌లు మరియు ఈ రకమైన కర్వ్ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను క్రింది క్రమంలో ప్రతిబింబించే ప్రత్యేక సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం: పవర్ ఫంక్షన్ y=x² (సరి ఘాతాంకంతో ఫంక్షన్ - ఒక పారాబొలా), పవర్ ఫంక్షన్ y=x³ (బేసి ఘాతాంకంతో ఫంక్షన్ - క్యూబిక్ పారాబొలా) మరియు ఫంక్షన్ y=√x (x to the power of ½) (ఒక పాక్షిక ఘాతాంకంతో ఫంక్షన్), ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకం (హైపర్బోలా)తో ఫంక్షన్.

పవర్ ఫంక్షన్ y=x²

1. D(x)=R – ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షంపై నిర్వచించబడింది;

2. E(y)= మరియు విరామంలో పెరుగుతుంది

పవర్ ఫంక్షన్ y=x³

1. y=x³ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను క్యూబిక్ పారాబొలా అంటారు. పవర్ ఫంక్షన్ y=x³ కింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

2. D(x)=R – ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్యా అక్షం మీద నిర్వచించబడింది;

3. E(y)=(-∞;∞) – ఫంక్షన్ దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లోని అన్ని విలువలను తీసుకుంటుంది;

4. x=0 y=0 అయినప్పుడు – ఫంక్షన్ O(0;0) అక్షాంశాల మూలం గుండా వెళుతుంది.

5. నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

6. ఫంక్షన్ బేసి (మూలం గురించి సుష్ట).

, విరామంలో xО [-3;3]

x³కి ముందు ఉన్న సంఖ్యా కారకంపై ఆధారపడి, ఫంక్షన్ నిటారుగా/చదునుగా మరియు పెరుగుతూ/తగ్గుతూ ఉండవచ్చు.

ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్:

ఘాతాంకం n బేసి అయితే, అటువంటి పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను హైపర్బోలా అంటారు. పూర్ణాంకం ప్రతికూల ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది:

1. ఏదైనా n కోసం D(x)=(-∞;0)U(0;∞);

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), n అనేది బేసి సంఖ్య అయితే; E(y)=(0;∞), n అనేది సరి సంఖ్య అయితే;

3. n అనేది బేసి సంఖ్య అయితే నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది; ఫంక్షన్ విరామం (-∞;0)పై పెరుగుతుంది మరియు n సరి సంఖ్య అయితే విరామం (0;∞)పై తగ్గుతుంది.

4. n అనేది బేసి సంఖ్య అయితే, ఫంక్షన్ బేసిగా ఉంటుంది (మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది); n సరి సంఖ్య అయితే కూడా ఒక ఫంక్షన్.

5. n అనేది బేసి సంఖ్య అయితే (1;1) మరియు (-1;-1) పాయింట్ల ద్వారా మరియు n సరి సంఖ్య అయితే (1;1) మరియు (-1;1) పాయింట్ల ద్వారా ఫంక్షన్ వెళుతుంది.

, విరామంలో xО [-3;3]

పాక్షిక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్

పాక్షిక ఘాతాంకం (చిత్రం)తో పవర్ ఫంక్షన్ చిత్రంలో చూపిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను కలిగి ఉంటుంది. పాక్షిక ఘాతాంకంతో కూడిన పవర్ ఫంక్షన్ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది: (చిత్రం)

1. D(x) ОR, n అనేది బేసి సంఖ్య మరియు D(x)= అయితే
, విరామంలో xО
, విరామంలో xО [-3;3]

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ y = log a x కింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

1. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ D(x)О (0; + ∞).

2. విలువల పరిధి E(y) О (- ∞; + ∞)

3. ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు (సాధారణ రూపం).

4. ఫంక్షన్ విరామంలో (0; + ∞) > 1కి పెరుగుతుంది, 0కి (0; + ∞) తగ్గుతుంది< а < 1.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = log a x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి y = a x సరళ రేఖ y = x గురించి సమరూప పరివర్తనను ఉపయోగించి పొందవచ్చు. మూర్తి 9 ఒక > 1 కోసం లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూపుతుంది మరియు 0 కోసం మూర్తి 10< a < 1.

; విరామంలో xO
; విరామంలో xO

y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x ఫంక్షన్లను త్రికోణమితి విధులు అంటారు.

y = sin x, y = tan x, y = ctg x ఫంక్షన్లు బేసి, మరియు ఫంక్షన్ y = cos x సరి.

ఫంక్షన్ y = sin(x).

1. డొమైన్ ఆఫ్ డెఫినిషన్ D(x) ఓఆర్.

2. విలువల పరిధి E(y) О [ - 1; 1].

3. ఫంక్షన్ ఆవర్తన; ప్రధాన కాలం 2π.

4. ఫంక్షన్ బేసి.

5. విరామాలలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] మరియు విరామాలలో తగ్గుతుంది [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

y = sin (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ మూర్తి 11లో చూపబడింది.

పవర్ ఫంక్షన్‌ను పరిగణలోకి తీసుకునే సౌలభ్యం కోసం, మేము 4 వేర్వేరు సందర్భాలను పరిశీలిస్తాము: సహజ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్, పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్, హేతుబద్ధ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ మరియు అహేతుక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్.

సహజ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్

మొదట, సహజ ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావనను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 1

సహజ ఘాతాంకం $n$తో కూడిన వాస్తవ సంఖ్య $a$ యొక్క శక్తి $n$ కారకాల ఉత్పత్తికి సమానమైన సంఖ్య, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి $a$ సంఖ్యకు సమానం.

మూర్తి 1.

$a$ అనేది డిగ్రీకి ఆధారం.

$n$ అనేది ఘాతాంకం.

సహజ ఘాతాంకం, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌తో పవర్ ఫంక్షన్‌ని ఇప్పుడు పరిశీలిద్దాం.

నిర్వచనం 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ని సహజ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ అంటారు.

మరింత సౌలభ్యం కోసం, మేము $f\left(x\right)=x^(2n)$ మరియు బేసి ఘాతాంకం కలిగిన $f\left(x\right)=x^తో పవర్ ఫంక్షన్‌ని విడిగా పరిశీలిస్తాము. (2n-1)$ ($n\in N)$.

సహజ సమాన ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- ఫంక్షన్ సమానంగా ఉంటుంది.

విలువ ప్రాంతం -- $\

ఫంక్షన్ $x\in (-\infty ,0)$గా తగ్గుతుంది మరియు $x\in (0,+\infty)$గా పెరుగుతుంది.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ మొత్తం డొమైన్‌పై కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

డొమైన్ చివరిలో ప్రవర్తన:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

గ్రాఫ్ (Fig. 2).

మూర్తి 2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\left(x\right)=x^(2n)$

సహజ బేసి ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- ఫంక్షన్ బేసి.

$f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది.

పరిధి మొత్తం వాస్తవ సంఖ్యలు.

$f"\left(x\ right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ కోసం.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \ఎడమ(2n-1\కుడి)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

ఫంక్షన్ $x\in (-\infty ,0)$కి పుటాకారంగా మరియు $x\in (0,+\infty)$కి కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

గ్రాఫ్ (Fig. 3).

మూర్తి 3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్

ముందుగా, పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ భావనను పరిచయం చేద్దాం.

నిర్వచనం 3

పూర్ణాంక ఘాతాంకం $n$తో వాస్తవ సంఖ్య $a$ యొక్క శక్తి సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

చిత్రం 4.

ఇప్పుడు మనం పూర్ణాంకం ఘాతాంకం, దాని లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌తో పవర్ ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం.

నిర్వచనం 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ని పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ అంటారు.

డిగ్రీ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, మేము సహజ ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ విషయంలోకి వస్తాము. మేము ఇప్పటికే పైన చర్చించాము. $n=0$ కోసం మేము $y=1$ సరళ ఫంక్షన్‌ని పొందుతాము. మేము దాని పరిశీలనను పాఠకులకు వదిలివేస్తాము. ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది

ప్రతికూల పూర్ణాంక ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

ఘాతాంకం సరి అయితే, ఫంక్షన్ సరి, అది బేసి అయితే, ఫంక్షన్ బేసి.

$f(x)$ నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో నిరంతరంగా ఉంటుంది.

పరిధి:

ఘాతాంకం సరి అయితే, $(0,+\infty) $;

బేసి ఘాతాంకం కోసం, ఫంక్షన్ $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$గా తగ్గుతుంది. ఘాతాంకం సమానంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ $x\in (0,+\infty)$గా తగ్గుతుంది. మరియు $x\in \left(-\infty ,0\right)$ గా పెరుగుతుంది.

నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో $f(x)\ge 0$

ఈ బోధనా సామగ్రి సూచన కోసం మాత్రమే మరియు విస్తృత శ్రేణి అంశాలకు సంబంధించినది. వ్యాసం ప్రాథమిక ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌ల యొక్క అవలోకనాన్ని అందిస్తుంది మరియు అతి ముఖ్యమైన సమస్యను పరిగణిస్తుంది - గ్రాఫ్‌ను సరిగ్గా మరియు త్వరగా ఎలా నిర్మించాలి. ప్రాథమిక ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల గురించి తెలియకుండా ఉన్నత గణితాన్ని అధ్యయనం చేసే క్రమంలో, అది కష్టంగా ఉంటుంది, కాబట్టి పారాబొలా, హైపర్బోలా, సైన్, కొసైన్ మొదలైన వాటి గ్రాఫ్‌లు ఎలా ఉంటాయో గుర్తుంచుకోవడం మరియు కొన్నింటిని గుర్తుంచుకోవడం చాలా ముఖ్యం. విధుల యొక్క అర్థాలు. మేము ప్రధాన విధుల యొక్క కొన్ని లక్షణాల గురించి కూడా మాట్లాడుతాము.

పదార్థాల సంపూర్ణత మరియు శాస్త్రీయ సంపూర్ణతను నేను క్లెయిమ్ చేయను, అన్నింటిలో మొదటిది, ఆచరణలో - ఆ విషయాలపైనే ఉన్నత గణితానికి సంబంధించిన ఏదైనా అంశంలో ప్రతి అడుగులోనూ అక్షరార్థంగా ఎదుర్కొంటారు. డమ్మీల కోసం చార్ట్‌లు? ఒకరు అలా అనవచ్చు.

పాఠకుల నుండి అనేక అభ్యర్థనల కారణంగా క్లిక్ చేయగల విషయాల పట్టిక:

అదనంగా, అంశంపై అల్ట్రా-షార్ట్ సారాంశం ఉంది
- SIX పేజీలను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా 16 రకాల చార్ట్‌లను నేర్చుకోండి!

తీవ్రంగా, ఆరు, నేను కూడా ఆశ్చర్యపోయాను. ఈ సారాంశం మెరుగైన గ్రాఫిక్‌లను కలిగి ఉంది మరియు నామమాత్రపు రుసుముతో అందుబాటులో ఉంటుంది; గ్రాఫ్‌లు ఎల్లప్పుడూ చేతిలో ఉండేలా ఫైల్‌ను ప్రింట్ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది. ప్రాజెక్ట్‌కు మద్దతు ఇచ్చినందుకు ధన్యవాదాలు!

మరియు వెంటనే ప్రారంభిద్దాం:

కోఆర్డినేట్ అక్షాలను సరిగ్గా ఎలా నిర్మించాలి?

ఆచరణలో, పరీక్షలు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ విద్యార్థులచే ప్రత్యేక నోట్‌బుక్‌లలో పూర్తి చేయబడతాయి, ఒక చతురస్రంలో ఉంటాయి. మీకు గీసిన గుర్తులు ఎందుకు అవసరం? అన్ని తరువాత, పని, సూత్రప్రాయంగా, A4 షీట్లలో చేయవచ్చు. మరియు డ్రాయింగ్ల యొక్క అధిక-నాణ్యత మరియు ఖచ్చితమైన రూపకల్పన కోసం పంజరం అవసరం.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఏదైనా డ్రాయింగ్ కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ప్రారంభమవుతుంది.

డ్రాయింగ్‌లు రెండు-డైమెన్షనల్ లేదా త్రిమితీయ కావచ్చు.

మొదట రెండు డైమెన్షనల్ కేసును పరిశీలిద్దాం కార్టేసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్:

1) కోఆర్డినేట్ అక్షాలను గీయండి. అక్షం అంటారు x-అక్షం , మరియు అక్షం y-అక్షం . మేము ఎల్లప్పుడూ వాటిని గీయడానికి ప్రయత్నిస్తాము చక్కగా మరియు వంకరగా లేదు. బాణాలు పాపా కార్లో గడ్డాన్ని కూడా పోలి ఉండకూడదు.

2) మేము "X" మరియు "Y" అనే పెద్ద అక్షరాలతో అక్షాలను సంతకం చేస్తాము. గొడ్డలిని లేబుల్ చేయడం మర్చిపోవద్దు.

3) అక్షాల వెంట స్కేల్‌ను సెట్ చేయండి: ఒక సున్నా మరియు రెండు వాటిని గీయండి. డ్రాయింగ్ చేసేటప్పుడు, అత్యంత అనుకూలమైన మరియు తరచుగా ఉపయోగించే స్కేల్: 1 యూనిట్ = 2 కణాలు (ఎడమవైపు డ్రాయింగ్) - వీలైతే, దానికి కట్టుబడి ఉండండి. అయితే, కాలానుగుణంగా అది నోట్బుక్ షీట్లో డ్రాయింగ్ సరిపోదని జరుగుతుంది - అప్పుడు మేము స్కేల్ను తగ్గిస్తాము: 1 యూనిట్ = 1 సెల్ (కుడివైపు డ్రాయింగ్). ఇది చాలా అరుదు, కానీ డ్రాయింగ్ యొక్క స్కేల్ మరింత తగ్గించబడాలి (లేదా పెంచాలి).

"మెషిన్ గన్" అవసరం లేదు ...-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....కోఆర్డినేట్ విమానం డెస్కార్టెస్‌కు స్మారక చిహ్నం కాదు మరియు విద్యార్థి పావురం కాదు. మేము పెట్టాము సున్నామరియు గొడ్డలి వెంట రెండు యూనిట్లు. కొన్నిసార్లు బదులుగాయూనిట్లు, ఇతర విలువలను "గుర్తించడం" సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, అబ్సిస్సా అక్షంపై "రెండు" మరియు ఆర్డినేట్ అక్షంపై "మూడు" - మరియు ఈ వ్యవస్థ (0, 2 మరియు 3) కూడా కోఆర్డినేట్ గ్రిడ్‌ను ప్రత్యేకంగా నిర్వచిస్తుంది.

డ్రాయింగ్‌ను నిర్మించే ముందు డ్రాయింగ్ యొక్క అంచనా కొలతలు అంచనా వేయడం మంచిది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, పనికి శీర్షాలతో త్రిభుజాన్ని గీయడం అవసరమైతే, , , 1 యూనిట్ = 2 కణాల యొక్క ప్రసిద్ధ స్కేల్ పనిచేయదని పూర్తిగా స్పష్టమవుతుంది. ఎందుకు? పాయింట్ చూద్దాం - ఇక్కడ మీరు పదిహేను సెంటీమీటర్ల క్రిందికి కొలవాలి మరియు, స్పష్టంగా, డ్రాయింగ్ నోట్‌బుక్ షీట్‌లో సరిపోదు (లేదా సరిపోదు). అందువల్ల, మేము వెంటనే చిన్న స్థాయిని ఎంచుకుంటాము: 1 యూనిట్ = 1 సెల్.

మార్గం ద్వారా, సెంటీమీటర్లు మరియు నోట్బుక్ కణాలు గురించి. 30 నోట్‌బుక్ సెల్‌లు 15 సెంటీమీటర్‌లను కలిగి ఉండటం నిజమేనా? వినోదం కోసం, రూలర్‌తో మీ నోట్‌బుక్‌లో 15 సెంటీమీటర్‌లను కొలవండి. USSRలో, ఇది నిజం కావచ్చు... మీరు ఇదే సెంటీమీటర్‌లను అడ్డంగా మరియు నిలువుగా కొలిస్తే, ఫలితాలు (సెల్‌లలో) భిన్నంగా ఉంటాయని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది! ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఆధునిక నోట్‌బుక్‌లు చెక్కర్లు కాదు, దీర్ఘచతురస్రాకారంలో ఉంటాయి. ఇది అర్ధంలేనిదిగా అనిపించవచ్చు, కానీ డ్రాయింగ్, ఉదాహరణకు, అటువంటి పరిస్థితులలో దిక్సూచితో ఉన్న సర్కిల్ చాలా అసౌకర్యంగా ఉంటుంది. నిజం చెప్పాలంటే, దేశీయ ఆటోమొబైల్ పరిశ్రమ, పడిపోతున్న విమానాలు లేదా పేలుతున్న పవర్ ప్లాంట్లు గురించి ప్రత్యేకంగా చెప్పనక్కర్లేదు, ఉత్పత్తిలో హాక్ వర్క్ కోసం శిబిరాలకు పంపబడిన కామ్రేడ్ స్టాలిన్ యొక్క ఖచ్చితత్వం గురించి మీరు అలాంటి సందర్భాలలో ఆలోచించడం ప్రారంభిస్తారు.

నాణ్యత గురించి మాట్లాడటం లేదా స్టేషనరీపై సంక్షిప్త సిఫార్సు. నేడు, అమ్మకానికి ఉన్న చాలా నోట్‌బుక్‌లు, కనీసం చెప్పాలంటే, పూర్తి చెత్తగా ఉన్నాయి. వారు తడిగా ఉండటానికి కారణం, మరియు జెల్ పెన్నుల నుండి మాత్రమే కాకుండా, బాల్ పాయింట్ పెన్నుల నుండి కూడా! వారు కాగితంపై డబ్బు ఆదా చేస్తారు. పరీక్షలను పూర్తి చేయడానికి, ఆర్ఖంగెల్స్క్ పల్ప్ మరియు పేపర్ మిల్ (18 షీట్లు, స్క్వేర్) లేదా "ప్యాటెరోచ్కా" నుండి నోట్‌బుక్‌లను ఉపయోగించమని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను, అయినప్పటికీ ఇది ఖరీదైనది. చౌకైన చైనీస్ జెల్ రీఫిల్ కూడా బాల్ పాయింట్ పెన్ను కంటే మెరుగ్గా ఉంటుంది, ఇది కాగితాన్ని స్మడ్జ్ చేస్తుంది లేదా చింపివేస్తుంది. ఎరిచ్ క్రాస్ మాత్రమే నాకు గుర్తున్న "పోటీ" బాల్ పాయింట్ పెన్. ఆమె స్పష్టంగా, అందంగా మరియు స్థిరంగా వ్రాస్తుంది - పూర్తి కోర్తో లేదా దాదాపు ఖాళీగా ఉంటుంది.

అదనంగా: విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క కళ్ళ ద్వారా దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క దృష్టి వ్యాసంలో కవర్ చేయబడింది వెక్టర్స్ యొక్క లీనియర్ (కాని) ఆధారపడటం. వెక్టర్స్ యొక్క ఆధారం, కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్స్ గురించి వివరణాత్మక సమాచారం పాఠం యొక్క రెండవ పేరాలో చూడవచ్చు సరళ అసమానతలు.

3D కేసు

ఇక్కడ కూడా దాదాపు అదే.

1) కోఆర్డినేట్ అక్షాలను గీయండి. ప్రమాణం: అక్షం వర్తిస్తుంది - పైకి దర్శకత్వం, అక్షం - కుడివైపుకి, అక్షం - ఎడమవైపుకి క్రిందికి దర్శకత్వం వహించబడింది కఠినంగా 45 డిగ్రీల కోణంలో.

2) అక్షాలను లేబుల్ చేయండి.

3) అక్షాల వెంట స్కేల్‌ను సెట్ చేయండి. అక్షం వెంట ఉన్న స్కేల్ ఇతర అక్షాలతో పాటు ఉన్న స్కేల్ కంటే రెండు రెట్లు చిన్నది. సరైన డ్రాయింగ్‌లో నేను అక్షం వెంట ప్రామాణికం కాని "నాచ్"ని ఉపయోగించానని కూడా గమనించండి (ఈ అవకాశం ఇప్పటికే పైన పేర్కొనబడింది). నా దృక్కోణం నుండి, ఇది మరింత ఖచ్చితమైనది, వేగవంతమైనది మరియు మరింత సౌందర్యంగా ఉంటుంది - సూక్ష్మదర్శిని క్రింద సెల్ మధ్యలో చూడవలసిన అవసరం లేదు మరియు కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి దగ్గరగా ఉన్న యూనిట్‌ను “శిల్పము” చేయవలసిన అవసరం లేదు.

3D డ్రాయింగ్ చేసేటప్పుడు, మళ్లీ, స్కేల్‌కు ప్రాధాన్యత ఇవ్వండి
1 యూనిట్ = 2 సెల్స్ (ఎడమవైపు డ్రాయింగ్).

ఈ నిబంధనలన్నీ దేనికి? నిబంధనలు ఉల్లంఘించేలా చేశారు. అదే ఇప్పుడు చేస్తాను. వాస్తవం ఏమిటంటే, వ్యాసం యొక్క తదుపరి డ్రాయింగ్‌లు నేను ఎక్సెల్‌లో రూపొందించాను మరియు సరైన డిజైన్ కోణం నుండి కోఆర్డినేట్ అక్షాలు తప్పుగా కనిపిస్తాయి. నేను అన్ని గ్రాఫ్‌లను చేతితో గీయగలను, కానీ ఎక్సెల్ వాటిని మరింత ఖచ్చితంగా గీయడానికి ఇష్టపడదు కాబట్టి వాటిని గీయడం చాలా భయంగా ఉంది.

ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు మరియు ప్రాథమిక లక్షణాలు

ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. లీనియర్ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్ ప్రత్యక్షంగా. సరళ రేఖను నిర్మించడానికి, రెండు పాయింట్లను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ 1

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి. రెండు పాయింట్లను కనుగొనండి. సున్నాను పాయింట్లలో ఒకటిగా ఎంచుకోవడం ప్రయోజనకరం.

ఉంటే, అప్పుడు

మరొక పాయింట్ తీసుకుందాం, ఉదాహరణకు, 1.

ఉంటే, అప్పుడు

పనులను పూర్తి చేస్తున్నప్పుడు, పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు సాధారణంగా పట్టికలో సంగ్రహించబడతాయి:

మరియు విలువలు మౌఖికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్, కాలిక్యులేటర్‌లో లెక్కించబడతాయి.

రెండు పాయింట్లు కనుగొనబడ్డాయి, డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

డ్రాయింగ్‌ను సిద్ధం చేసేటప్పుడు, మేము ఎల్లప్పుడూ గ్రాఫిక్స్‌పై సంతకం చేస్తాము.

లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది:

నేను సంతకాలను ఎలా ఉంచానో గమనించండి, డ్రాయింగ్‌ను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు సంతకాలు వ్యత్యాసాలను అనుమతించకూడదు. ఈ సందర్భంలో, పంక్తుల ఖండన బిందువు పక్కన లేదా గ్రాఫ్‌ల మధ్య దిగువ కుడి వైపున సంతకాన్ని ఉంచడం చాలా అవాంఛనీయమైనది.

1) రూపం () యొక్క సరళ విధిని ప్రత్యక్ష అనుపాతత అంటారు. ఉదాహరణకు, . ప్రత్యక్ష అనుపాత గ్రాఫ్ ఎల్లప్పుడూ మూలం గుండా వెళుతుంది. అందువలన, సరళ రేఖను నిర్మించడం సరళీకృతం చేయబడింది - ఇది కేవలం ఒక పాయింట్ను కనుగొనడానికి సరిపోతుంది.

2) రూపం యొక్క సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది, ప్రత్యేకించి, అక్షం కూడా సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఏ పాయింట్‌లను కనుగొనకుండా వెంటనే ప్లాట్ చేయబడింది. అంటే, ఎంట్రీని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: "x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం y ఎల్లప్పుడూ –4కి సమానం."

3) రూపం యొక్క సమీకరణం అక్షానికి సమాంతరంగా సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది, ప్రత్యేకించి, అక్షం కూడా సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కూడా వెంటనే ప్లాట్ చేయబడింది. ఎంట్రీని ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: "x ఎల్లప్పుడూ, y యొక్క ఏదైనా విలువకు, 1కి సమానం."

కొందరు అడుగుతారు, 6వ తరగతి గుర్తు ఎందుకు?! అది ఎలా ఉంది, బహుశా అది కావచ్చు, కానీ నేను ప్రాక్టీస్ సంవత్సరాలలో ఒక మంచి డజను మంది విద్యార్థులను కలుసుకున్నాను, వారు గ్రాఫ్‌ను నిర్మించే పనిలో లేదా.

డ్రాయింగ్లు చేసేటప్పుడు సరళ రేఖను నిర్మించడం అత్యంత సాధారణ చర్య.

సరళ రేఖ విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిలో వివరంగా చర్చించబడింది మరియు ఆసక్తి ఉన్నవారు కథనాన్ని చూడవచ్చు ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.

క్వాడ్రాటిక్, క్యూబిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, బహుపది యొక్క గ్రాఫ్

పరబోలా. క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ () పారాబొలాను సూచిస్తుంది. ప్రసిద్ధ కేసును పరిగణించండి:

ఫంక్షన్ యొక్క కొన్ని లక్షణాలను గుర్తుచేసుకుందాం.

కాబట్టి, మన సమీకరణానికి పరిష్కారం: - ఈ సమయంలోనే పారాబొలా యొక్క శీర్షం ఉంది. ఇది ఎందుకు జరిగిందో ఉత్పన్నంపై సైద్ధాంతిక కథనం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతపై పాఠం చూడవచ్చు. ఈ సమయంలో, సంబంధిత "Y" విలువను గణిద్దాం:

అందువలన, శీర్షం పాయింట్ వద్ద ఉంది

పారాబొలా యొక్క సమరూపతను నిస్సంకోచంగా ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ఇప్పుడు మనం ఇతర పాయింట్లను కనుగొంటాము. ఇది ఫంక్షన్ అని గమనించాలి – కూడా కాదు, అయితే, పారాబొలా యొక్క సమరూపతను ఎవరూ రద్దు చేయలేదు.

మిగిలిన పాయింట్లను ఏ క్రమంలో కనుగొనాలో, ఇది చివరి పట్టిక నుండి స్పష్టంగా ఉంటుందని నేను భావిస్తున్నాను:

ఈ నిర్మాణ అల్గోరిథంను అలంకారికంగా "షటిల్" లేదా అన్ఫిసా చెకోవాతో "ముందుకు మరియు వెనుకకు" సూత్రం అని పిలుస్తారు.

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

పరిశీలించిన గ్రాఫ్‌ల నుండి, మరొక ఉపయోగకరమైన లక్షణం గుర్తుకు వస్తుంది:

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ కోసం () కిందిది నిజం:

అయితే, పారాబొలా యొక్క శాఖలు పైకి మళ్ళించబడతాయి.

అయితే, పారాబొలా యొక్క శాఖలు క్రిందికి మళ్లించబడతాయి.

కర్వ్ గురించి లోతైన జ్ఞానాన్ని హైపర్బోలా మరియు పారాబోలా అనే పాఠంలో పొందవచ్చు.

ఫంక్షన్ ద్వారా క్యూబిక్ పారాబొలా ఇవ్వబడుతుంది. పాఠశాల నుండి తెలిసిన డ్రాయింగ్ ఇక్కడ ఉంది:

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను జాబితా చేద్దాం

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

ఇది పారాబొలా యొక్క శాఖలలో ఒకదానిని సూచిస్తుంది. డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

ఈ సందర్భంలో, అక్షం నిలువు లక్షణము వద్ద హైపర్బోలా యొక్క గ్రాఫ్ కోసం.

డ్రాయింగ్‌ను గీస్తున్నప్పుడు, మీరు గ్రాఫ్‌ను అజాగ్రత్తతో కలుస్తున్నప్పుడు అజాగ్రత్తగా అనుమతిస్తే అది స్థూల పొరపాటు అవుతుంది.

ఒక-వైపు పరిమితులు కూడా హైపర్బోలా అని మాకు తెలియజేస్తాయి పై నుండి పరిమితం కాదుమరియు దిగువ నుండి పరిమితం కాదు.

అనంతం వద్ద ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిద్దాం: , అంటే, మనం అక్షం వెంట ఎడమవైపు (లేదా కుడివైపు) అనంతానికి వెళ్లడం ప్రారంభిస్తే, “గేమ్స్” క్రమబద్ధమైన దశలో ఉంటుంది. అనంతంగా దగ్గరగాసున్నాకి చేరుకోండి మరియు, తదనుగుణంగా, హైపర్బోలా యొక్క శాఖలు అనంతంగా దగ్గరగాఅక్షాన్ని చేరుకోండి.

కాబట్టి అక్షం క్షితిజ సమాంతర లక్షణము ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోసం, "x" అనేది ప్లస్ లేదా మైనస్ అనంతం అయితే.

ఫంక్షన్ ఉంది బేసి, మరియు, అందువలన, హైపర్బోలా మూలం గురించి సుష్టంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ నుండి ఈ వాస్తవం స్పష్టంగా ఉంది, అదనంగా, ఇది సులభంగా విశ్లేషణాత్మకంగా ధృవీకరించబడుతుంది: .

ఫారమ్ () యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖలను సూచిస్తుంది.

ఒకవేళ , హైపర్బోలా మొదటి మరియు మూడవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్స్‌లో ఉంది(పై చిత్రాన్ని చూడండి).

ఒకవేళ , హైపర్బోలా రెండవ మరియు నాల్గవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్స్‌లో ఉంది.

హైపర్బోలా నివాసం యొక్క సూచించిన నమూనా గ్రాఫ్‌ల రేఖాగణిత పరివర్తనల కోణం నుండి విశ్లేషించడం సులభం.

ఉదాహరణ 3

హైపర్బోలా యొక్క కుడి శాఖను నిర్మించండి

మేము పాయింట్ల వారీగా నిర్మాణ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము మరియు విలువలను ఎంచుకోవడం ప్రయోజనకరంగా ఉంటుంది, తద్వారా అవి మొత్తంగా విభజించబడతాయి:

డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

హైపర్బోలా యొక్క ఎడమ శాఖను నిర్మించడం కష్టం కాదు; ఫంక్షన్ యొక్క అసమానత ఇక్కడ సహాయపడుతుంది. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, పాయింట్‌వైస్ నిర్మాణం యొక్క పట్టికలో, మేము ప్రతి సంఖ్యకు మానసికంగా మైనస్‌ని జోడిస్తాము, సంబంధిత పాయింట్లను ఉంచండి మరియు రెండవ శాఖను గీయండి.

పరిగణించబడిన లైన్ గురించి వివరణాత్మక రేఖాగణిత సమాచారం హైపర్బోలా మరియు పారాబొలా అనే వ్యాసంలో చూడవచ్చు.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

ఈ విభాగంలో, నేను వెంటనే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ను పరిశీలిస్తాను, ఎందుకంటే 95% కేసులలో అధిక గణితంలో ఇది ఘాతాంకమే కనిపిస్తుంది.

ఇది అహేతుక సంఖ్య అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: , గ్రాఫ్‌ను నిర్మించేటప్పుడు ఇది అవసరం అవుతుంది, వాస్తవానికి, నేను వేడుక లేకుండా నిర్మిస్తాను. మూడు పాయింట్లు బహుశా సరిపోతాయి:

ప్రస్తుతానికి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను మాత్రమే వదిలేద్దాం, దాని గురించి మరింత తర్వాత.

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లు మొదలైనవి ప్రాథమికంగా ఒకే విధంగా కనిపిస్తాయి.

రెండవ కేసు ఆచరణలో తక్కువ తరచుగా జరుగుతుందని నేను తప్పక చెప్పాలి, కానీ అది సంభవిస్తుంది, కాబట్టి ఈ వ్యాసంలో చేర్చడం అవసరం అని నేను భావించాను.

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్

సహజ సంవర్గమానంతో ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి.
పాయింట్-బై-పాయింట్ డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

సంవర్గమానం అంటే ఏమిటో మీరు మరచిపోయినట్లయితే, దయచేసి మీ పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలను చూడండి.

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్:

విలువల పరిధి: .

ఫంక్షన్ పై నుండి పరిమితం కాదు: , నెమ్మదిగా ఉన్నప్పటికీ, సంవర్గమానం యొక్క శాఖ అనంతం వరకు వెళుతుంది.
కుడి వైపున సున్నా దగ్గర ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను పరిశీలిద్దాం: . కాబట్టి అక్షం నిలువు లక్షణము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోసం “x” కుడివైపు నుండి సున్నాకి ఉంటుంది.

లాగరిథమ్ యొక్క సాధారణ విలువను తెలుసుకోవడం మరియు గుర్తుంచుకోవడం అత్యవసరం: .

సూత్రప్రాయంగా, ఆధారానికి సంవర్గమానం యొక్క గ్రాఫ్ ఒకేలా కనిపిస్తుంది: , , (దశాంశ సంవర్గమానం బేస్ 10) మొదలైనవి. అంతేకాకుండా, పెద్ద బేస్, గ్రాఫ్ ఫ్లాటర్గా ఉంటుంది.

మేము కేసును పరిగణించము; మరియు అధిక గణిత సమస్యలలో సంవర్గమానం చాలా అరుదైన అతిథిగా కనిపిస్తుంది.

ఈ పేరా చివరలో నేను మరొక వాస్తవాన్ని చెబుతాను: ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్- ఇవి రెండు పరస్పర విలోమ విధులు. మీరు లాగరిథమ్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిశితంగా పరిశీలిస్తే, ఇది అదే ఘాతాంకం అని మీరు చూడవచ్చు, ఇది కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంది.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు

పాఠశాలలో త్రికోణమితి హింస ఎక్కడ ప్రారంభమవుతుంది? కుడి. సైన్ నుండి

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

ఈ లైన్ అంటారు సైనసాయిడ్.

“పై” అనేది అహేతుక సంఖ్య అని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను: , మరియు త్రికోణమితిలో అది మీ కళ్ళు మిరుమిట్లు గొలిపేలా చేస్తుంది.

ఫంక్షన్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

ఈ ఫంక్షన్ ఆవర్తనకాలం తో. దాని అర్థం ఏమిటి? విభాగాన్ని చూద్దాం. దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపున, గ్రాఫ్ యొక్క సరిగ్గా అదే భాగం అనంతంగా పునరావృతమవుతుంది.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్: , అంటే, “x” యొక్క ఏదైనా విలువకు సైన్ విలువ ఉంటుంది.

విలువల పరిధి: . ఫంక్షన్ ఉంది పరిమితం: , అంటే, "ప్లేయర్స్" అందరూ ఖచ్చితంగా సెగ్మెంట్లో కూర్చుంటారు .
ఇది జరగదు: లేదా, మరింత ఖచ్చితంగా, ఇది జరుగుతుంది, కానీ ఈ సమీకరణాలకు పరిష్కారం లేదు.