ప్రధాన సంఖ్యలురెండు వేల సంవత్సరాలకు పైగా శాస్త్రవేత్తలు మరియు సాధారణ పౌరుల దృష్టిని ఆకర్షించిన అత్యంత ఆసక్తికరమైన గణిత దృగ్విషయాలలో ఒకటి. మేము ఇప్పుడు కంప్యూటర్లు మరియు అత్యంత ఆధునిక యుగంలో జీవిస్తున్నప్పటికీ సమాచార కార్యక్రమాలు, ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క అనేక చిక్కులు ఇంకా పరిష్కరించబడలేదు, శాస్త్రవేత్తలకు ఎలా చేరుకోవాలో తెలియని కొన్ని కూడా ఉన్నాయి.

ప్రధాన సంఖ్యలు, ప్రాథమిక అంకగణితం యొక్క కోర్సు నుండి తెలిసినట్లుగా, శేషం లేకుండా ఒకటి మరియు దానికదే భాగించబడేవి. మార్గం ద్వారా, ఒక సహజ సంఖ్య పైన జాబితా చేయబడిన వాటితో పాటు, ఏదైనా ఇతర సంఖ్యతో భాగించబడినట్లయితే, దానిని మిశ్రమ అంటారు. అత్యంత ప్రసిద్ధ సిద్ధాంతాలలో ఒకటి ఏదైనా మిశ్రమ సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క ఏకైక సాధ్యం ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చని పేర్కొంది.

కొన్ని ఆసక్తికరమైన వాస్తవాలు. మొదటగా, యూనిట్ ప్రత్యేకం, వాస్తవానికి ఇది ప్రధాన లేదా మిశ్రమ సంఖ్యలకు చెందినది కాదు. అదే సమయంలో లో శాస్త్రీయ సంఘంఅయినప్పటికీ, అధికారికంగా దాని అవసరాలను పూర్తిగా సంతృప్తిపరుస్తుంది కాబట్టి, దానిని మొదటి సమూహానికి ప్రత్యేకంగా ఆపాదించడం ఆచారం.

రెండవది, "ప్రధాన సంఖ్యలు" సమూహంలోకి పిండబడిన ఏకైక సరి సంఖ్య, సహజంగా, రెండు. ఏదైనా ఇతర సరి సంఖ్య ఇక్కడ పొందలేము, ఎందుకంటే నిర్వచనం ప్రకారం, దానికదే మరియు ఒకదానితో పాటు, అది కూడా రెండు ద్వారా భాగించబడుతుంది.

ప్రధాన సంఖ్యలు, వాటి జాబితా, పైన పేర్కొన్న విధంగా, ఒకదానితో ప్రారంభించవచ్చు, శ్రేణి వలె అనంతమైన శ్రేణిని సూచిస్తుంది సహజ సంఖ్యలు. అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ఆధారంగా, ప్రధాన సంఖ్యలు ఎప్పుడూ అంతరాయం కలిగించవు మరియు ఎప్పటికీ అంతం కావు అనే నిర్ధారణకు మనం రావచ్చు. లేకుంటేసహజ సంఖ్యల శ్రేణికి అనివార్యంగా అంతరాయం కలుగుతుంది.

సహజ శ్రేణిలో ప్రధాన సంఖ్యలు యాదృచ్ఛికంగా కనిపించవు, ఎందుకంటే అవి మొదటి చూపులో కనిపించవచ్చు. వాటిని జాగ్రత్తగా విశ్లేషించిన తరువాత, మీరు వెంటనే అనేక లక్షణాలను గమనించవచ్చు, వాటిలో చాలా ఆసక్తికరమైనవి "జంట" సంఖ్యలు అని పిలవబడే వాటితో అనుబంధించబడ్డాయి. కొన్ని అపారమయిన మార్గంలో అవి ఒకదానికొకటి ముగిసి, సరి డీలిమిటర్ (ఐదు మరియు ఏడు, పదిహేడు మరియు పంతొమ్మిది) ద్వారా మాత్రమే వేరు చేయబడ్డాయి కాబట్టి వాటిని అలా పిలుస్తారు.

మీరు వాటిని నిశితంగా పరిశీలిస్తే, ఈ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ మూడు యొక్క గుణకారంగా ఉంటుందని మీరు గమనించవచ్చు. అంతేకాకుండా, ఎడమవైపు ఒకదానిని మూడుగా విభజించినప్పుడు, మిగిలినవి ఎల్లప్పుడూ రెండుగా ఉంటాయి మరియు కుడివైపు ఎల్లప్పుడూ ఒకటిగా ఉంటుంది. అదనంగా, ఈ మొత్తం శ్రేణిని ఓసిలేటరీ సైనసాయిడ్ల రూపంలో ఊహించినట్లయితే సహజ శ్రేణిలో ఈ సంఖ్యల పంపిణీని అంచనా వేయవచ్చు, వీటిలో ప్రధాన పాయింట్లు సంఖ్యలను మూడు మరియు రెండుగా విభజించినప్పుడు ఏర్పడతాయి.

ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే నిశితంగా పరిగణించబడే వస్తువు మాత్రమే కాదు, చాలా కాలంగా కంపోజ్ చేయడంలో విజయవంతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి వివిధ వరుసలుసంఖ్యలు, ఇతర విషయాలతోపాటు, సైఫెరోగ్రఫీకి ఆధారం. ఈ అద్భుతమైన అంశాలతో ముడిపడి ఉన్న అనేక రహస్యాలు ఇప్పటికీ పరిష్కరించడానికి వేచి ఉన్నాయని గుర్తించాలి;

సంఖ్యలు విభిన్నంగా ఉంటాయి: సహజ, హేతుబద్ధమైన, హేతుబద్ధమైన, పూర్ణాంకం మరియు భిన్నం, సానుకూల మరియు ప్రతికూల, సంక్లిష్ట మరియు ప్రధాన, బేసి మరియు సరి, వాస్తవ, మొదలైనవి. ఈ కథనం నుండి మీరు ప్రధాన సంఖ్యలు ఏమిటో తెలుసుకోవచ్చు.

ఆంగ్లంలో "సింపుల్" అని ఏ సంఖ్యలను పిలుస్తారు?

చాలా తరచుగా, పాఠశాల పిల్లలకు మొదటి చూపులో గణితంలో అత్యంత సాధారణ ప్రశ్నలలో ఒకదానికి ఎలా సమాధానం ఇవ్వాలో తెలియదు, ప్రధాన సంఖ్య అంటే ఏమిటి. అవి తరచుగా సహజ సంఖ్యలతో ప్రధాన సంఖ్యలను గందరగోళానికి గురిచేస్తాయి (అనగా, వస్తువులను లెక్కించేటప్పుడు వ్యక్తులు ఉపయోగించే సంఖ్యలు, కొన్ని మూలాల్లో అవి సున్నాతో ప్రారంభమవుతాయి మరియు మరికొన్నింటిలో ఒకటి). కానీ అది పూర్తిగా రెండు విభిన్న భావనలు. ప్రధాన సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు, అంటే పూర్ణాంకాలు మరియు ధనాత్మక సంఖ్యలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ మరియు కేవలం 2 సహజ భాగహారాలు మాత్రమే ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, ఈ విభజనలలో ఒకటి ఇచ్చిన సంఖ్య, మరియు రెండవది ఒకటి. ఉదాహరణకు, మూడు అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, ఎందుకంటే దానిని శేషం లేకుండా నేనే మరియు ఒకటి కాకుండా వేరే సంఖ్యతో భాగించలేము.

మిశ్రమ సంఖ్యలు

ప్రధాన సంఖ్యలకు వ్యతిరేకం మిశ్రమ సంఖ్యలు. అవి కూడా సహజమైనవి ఒకటి కంటే ఎక్కువ, కానీ రెండు కాదు, కానీ పెద్ద పరిమాణండివైడర్లు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 4, 6, 8, 9 మొదలైన సంఖ్యలు సహజమైనవి, మిశ్రమమైనవి, కానీ ప్రధాన సంఖ్యలు కాదు. మీరు గమనిస్తే, ఇవి ఎక్కువగా సరి సంఖ్యలు, కానీ అన్నీ కాదు. కానీ "రెండు" అనేది ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణిలో సమాన సంఖ్య మరియు "మొదటి సంఖ్య".

తదనంతరము

ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణిని నిర్మించడానికి, అన్ని సహజ సంఖ్యల నుండి ఎంచుకోవడం అవసరం, వాటి నిర్వచనాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది, అంటే, మీరు వైరుధ్యం ద్వారా పని చేయాలి. ప్రతి సానుకూల సహజ సంఖ్యలు రెండు కంటే ఎక్కువ భాగాలను కలిగి ఉన్నాయో లేదో పరిశీలించడం అవసరం. ప్రధాన సంఖ్యలతో కూడిన శ్రేణిని (క్రమం) నిర్మించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. జాబితా రెండుతో మొదలవుతుంది, దాని తర్వాత మూడు, ఎందుకంటే ఇది దానికదే మరియు ఒకటి మాత్రమే భాగించబడుతుంది. నాలుగు సంఖ్యను పరిగణించండి. దీనికి నాలుగు మరియు ఒకటి కాకుండా ఇతర విభజనలు ఉన్నాయా? అవును, ఆ సంఖ్య 2. కాబట్టి నాలుగు ప్రధాన సంఖ్య కాదు. ఐదు కూడా ప్రధానం (ఇది 1 మరియు 5 మినహా మరే ఇతర సంఖ్యతో భాగించబడదు), కానీ ఆరు భాగించబడుతుంది. మరియు సాధారణంగా, మీరు అన్ని సరి సంఖ్యలను అనుసరిస్తే, “రెండు” తప్ప, వాటిలో ఏదీ ప్రధానం కాదని మీరు గమనించవచ్చు. దీని నుండి మనం సరి సంఖ్యలు, రెండు తప్ప, ప్రధానం కాదని నిర్ధారించాము. మరొక ఆవిష్కరణ: మూడుతో భాగించబడే అన్ని సంఖ్యలు, మూడు తప్ప, సరి లేదా బేసి, కూడా ప్రధానమైనవి కావు (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, మొదలైనవి). ఐదు మరియు ఏడుతో భాగించబడే సంఖ్యలకు కూడా ఇది వర్తిస్తుంది. వారి సమూహమంతా కూడా సాధారణమైనది కాదు. సారాంశం చేద్దాం. కాబట్టి, సాధారణ వాటికి ఒకే అంకెల సంఖ్యలుఒకటి మరియు తొమ్మిది మినహా అన్ని బేసి సంఖ్యలు చేర్చబడ్డాయి మరియు "రెండు" కూడా సరి సంఖ్యలు. పదులు (10, 20,... 40, మొదలైనవి) సాధారణమైనవి కావు. రెండు-అంకెలు, మూడు-అంకెలు, మొదలైన ప్రధాన సంఖ్యలను పై సూత్రాల ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు: అవి తమను తాము మరియు ఒకటి కాకుండా వేరే భాగాలను కలిగి ఉండకపోతే.

ప్రధాన సంఖ్యల లక్షణాల గురించి సిద్ధాంతాలు

ప్రధాన సంఖ్యలతో సహా పూర్ణాంకాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రం ఉంది. ఇది గణిత శాస్త్రానికి చెందిన ఒక విభాగం, దీనిని హైయర్ అని పిలుస్తారు. పూర్ణాంకాల లక్షణాలతో పాటు, ఆమె బీజగణితం, అతీంద్రియ సంఖ్యలు మరియు విధులతో కూడా వ్యవహరిస్తుంది వివిధ మూలాలుఈ సంఖ్యల అంకగణితానికి సంబంధించినది. ఈ అధ్యయనాలలో, ప్రాథమిక మరియు బీజగణిత పద్ధతులు, విశ్లేషణాత్మక మరియు రేఖాగణితం కూడా ఉపయోగించబడతాయి. ప్రత్యేకంగా, "సంఖ్య సిద్ధాంతం" ప్రధాన సంఖ్యల అధ్యయనంతో వ్యవహరిస్తుంది.

ప్రధాన సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యల "బిల్డింగ్ బ్లాక్స్"

అంకగణితంలో ఫండమెంటల్ థియరం అనే సిద్ధాంతం ఉంది. దాని ప్రకారం, ఒకటి తప్ప, ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు, వీటిలో కారకాలు ప్రధాన సంఖ్యలు మరియు కారకాల క్రమం ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది, అంటే ప్రాతినిధ్య పద్ధతి ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది. ఇది సహజ సంఖ్య యొక్క కుళ్ళిపోవడం అంటారు ప్రధాన కారకాలు. ఈ ప్రక్రియకు మరొక పేరు ఉంది - సంఖ్యల కారకం. దీని ఆధారంగా, ప్రధాన సంఖ్యలను "" అని పిలుస్తారు. నిర్మాణ సామగ్రి”, సహజ సంఖ్యలను నిర్మించడానికి “బ్లాక్స్”.

ప్రధాన సంఖ్యల కోసం శోధించండి. సరళత పరీక్షలు

వివిధ కాలాలకు చెందిన అనేక మంది శాస్త్రవేత్తలు ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాను కనుగొనడానికి కొన్ని సూత్రాలను (వ్యవస్థలు) కనుగొనడానికి ప్రయత్నించారు. అట్కిన్ జల్లెడ, సుందరం జల్లెడ మరియు ఎరాటోస్తేనెస్ జల్లెడ అని పిలవబడే వ్యవస్థలు సైన్స్‌కు తెలుసు. అయితే, వారు ఏదీ అందించరు ముఖ్యమైన ఫలితాలు, మరియు ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనడానికి ఒక సాధారణ పరీక్ష ఉపయోగించబడుతుంది. గణిత శాస్త్రవేత్తలు అల్గారిథమ్‌లను కూడా సృష్టించారు. వాటిని సాధారణంగా ప్రాథమిక పరీక్షలు అంటారు. ఉదాహరణకు, రాబిన్ మరియు మిల్లర్ అభివృద్ధి చేసిన పరీక్ష ఉంది. ఇది క్రిప్టోగ్రాఫర్‌లచే ఉపయోగించబడుతుంది. కయల్-అగర్వాల్-సాస్క్వెనా పరీక్ష కూడా ఉంది. అయినప్పటికీ, తగినంత ఖచ్చితత్వం ఉన్నప్పటికీ, లెక్కించడం చాలా కష్టం, ఇది దాని ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను తగ్గిస్తుంది.

ప్రధాన సంఖ్యల సమితికి పరిమితి ఉందా?

ప్రాచీన గ్రీకు శాస్త్రవేత్త యూక్లిడ్ తన పుస్తకం "ఎలిమెంట్స్" లో ప్రైమ్‌ల సమితి అనంతం అని రాశాడు. అతను ఇలా అన్నాడు: “ప్రధాన సంఖ్యలకు పరిమితి ఉందని ఒక్కసారి ఊహించుకుందాం. అప్పుడు వాటిని ఒకదానితో ఒకటి గుణించండి మరియు ఉత్పత్తికి ఒకదానిని జోడించండి. వీటి నుండి వచ్చే సంఖ్య సాధారణ చర్యలు, ప్రధాన సంఖ్యల శ్రేణిలో దేనితోనూ విభజించబడదు, ఎందుకంటే మిగిలినవి ఎల్లప్పుడూ ఒకటిగా ఉంటాయి. ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాలో ఇంకా చేర్చబడని ఇతర సంఖ్య ఉందని దీని అర్థం. కాబట్టి, మా ఊహ నిజం కాదు, మరియు ఈ సెట్ పరిమితిని కలిగి ఉండదు. యూక్లిడ్ యొక్క రుజువుతో పాటు, మరిన్ని ఉన్నాయి ఆధునిక సూత్రం, పద్దెనిమిదవ శతాబ్దపు స్విస్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు లియోన్‌హార్డ్ ఆయిలర్ అందించాడు. అతని ప్రకారం, మొత్తం మొత్తానికి పరస్పరం n సంఖ్య పెరిగే కొద్దీ మొదటి n సంఖ్యలు అపరిమితంగా పెరుగుతాయి. మరియు ప్రధాన సంఖ్యల పంపిణీకి సంబంధించి సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రం ఇక్కడ ఉంది: (n) n/ln (n)గా పెరుగుతుంది.

అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య ఏది?

అదే లియోనార్డ్ ఆయిలర్ తన కాలంలో అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనగలిగాడు. ఇది 2 31 - 1 = 2147483647. అయితే, 2013 నాటికి, ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాలో మరొక అత్యంత ఖచ్చితమైన అతిపెద్ద సంఖ్యను లెక్కించారు - 2 57885161 - 1. దీనిని మెర్సెన్ సంఖ్య అంటారు. ఇది దాదాపు 17 మిలియన్ల దశాంశ అంకెలను కలిగి ఉంది. మీరు గమనిస్తే, పద్దెనిమిదవ శతాబ్దపు శాస్త్రవేత్త కనుగొన్న సంఖ్య దీని కంటే చాలా రెట్లు చిన్నది. ఇది అలా ఉండాలి, ఎందుకంటే ఆయిలర్ ఈ గణనను మానవీయంగా నిర్వహించాడు, కానీ మన సమకాలీనుడు బహుశా సహాయం చేసి ఉండవచ్చు గణన యంత్రం. అంతేకాకుండా, ఈ సంఖ్య అమెరికన్ డిపార్ట్‌మెంట్లలో ఒకదానిలో గణిత ఫ్యాకల్టీలో పొందబడింది. ఈ శాస్త్రవేత్త పేరు మీద ఉన్న సంఖ్యలు Luc-Lemaire ప్రైమాలిటీ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించాయి. అయితే, సైన్స్ అక్కడితో ఆగిపోవాలని కోరుకోదు. యునైటెడ్ స్టేట్స్ ఆఫ్ అమెరికాలో (EFF) 1990లో స్థాపించబడిన ఎలక్ట్రానిక్ ఫ్రాంటియర్ ఫౌండేషన్, పెద్ద ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొన్నందుకు ద్రవ్య బహుమతిని అందించింది. మరియు 2013 వరకు 1 మరియు 10 మిలియన్ల నుండి వారిని కనుగొనే శాస్త్రవేత్తలకు బహుమతి ప్రదానం చేయబడితే దశాంశ సంఖ్యలు, నేడు ఈ సంఖ్య 100 మిలియన్ల నుండి 1 బిలియన్‌కు చేరుకుంది. బహుమతులు 150 నుండి 250 వేల US డాలర్ల వరకు ఉంటాయి.

ప్రత్యేక ప్రధాన సంఖ్యల పేర్లు

నిర్దిష్ట శాస్త్రవేత్తలు సృష్టించిన మరియు సరళత పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన అల్గోరిథంలకు ధన్యవాదాలు కనుగొనబడిన ఆ సంఖ్యలను ప్రత్యేకం అంటారు. వాటిలో కొన్ని ఇక్కడ ఉన్నాయి:

1. మెర్సెన్.

4. కల్లెన్.

6. మిల్స్ మరియు ఇతరులు.

ఈ సంఖ్యల సరళత, పై శాస్త్రవేత్తల పేరు పెట్టబడింది, ఈ క్రింది పరీక్షలను ఉపయోగించి స్థాపించబడింది:

1. లూక్-లెమైర్.

2. పెపినా.

3. రీసెల్.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge మరియు ఇతరులు.

ఆధునిక విజ్ఞానం అక్కడితో ఆగదు, మరియు బహుశా సమీప భవిష్యత్తులో ప్రపంచం అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనడం ద్వారా $250,000 బహుమతిని పొందగలిగిన వారి పేర్లను నేర్చుకుంటుంది.

ప్రాచీన గ్రీకుల కాలం నుండి, ప్రధాన సంఖ్యలు గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు చాలా ఆకర్షణీయంగా ఉన్నాయి. వారు నిరంతరం శోధిస్తున్నారు వివిధ మార్గాలువారి స్థానం, కానీ చాలా వరకు సమర్థవంతమైన మార్గంప్రధాన సంఖ్యలను "పట్టుకోవడం" అనేది అలెగ్జాండ్రియన్ ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఎరాటోస్తనీస్ కనుగొన్న పద్ధతిగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ పద్ధతి ఇప్పటికే 2000 సంవత్సరాల నాటిది.

ఏ సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి

ప్రధాన సంఖ్యను ఎలా నిర్ణయించాలి? చాలా సంఖ్యలు శేషం లేకుండా ఇతర సంఖ్యలతో భాగించబడతాయి. ఒక పూర్ణాంకం భాగించబడిన సంఖ్యను డివైజర్ అంటారు.

IN ఈ విషయంలోమేము మిగిలినవి లేకుండా విభజన గురించి మాట్లాడుతున్నాము. ఉదాహరణకు, 36 సంఖ్యను 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ద్వారా భాగించవచ్చు మరియు దానికదే, అంటే 36 ద్వారా భాగించవచ్చు. దీని అర్థం 36కి 9 భాగహారాలు ఉన్నాయి. సంఖ్య 23 దాని ద్వారా మాత్రమే భాగించబడుతుంది మరియు 1, అంటే, ఈ సంఖ్యకు 2 భాగహారాలు ఉన్నాయి - ఈ సంఖ్య ప్రధానం.

రెండు భాగహారాలు మాత్రమే ఉన్న సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. అంటే, శేషం లేకుండా భాగించబడే ఒక సంఖ్యను మాత్రమే ప్రధానం అంటారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు, పరికల్పనలను రూపొందించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యల శ్రేణిలో నమూనాలను కనుగొనడం చాలా లాభదాయకమైన అనుభవం. కానీ ప్రధాన సంఖ్యలు ఏ నమూనాకు కట్టుబడి ఉండవు. కానీ ప్రధాన సంఖ్యలను నిర్ణయించడానికి ఒక మార్గం ఉంది. ఈ పద్ధతిని ఎరాటోస్తేనెస్ కనుగొన్నారు, దీనిని "ఎరాటోస్తేనెస్ జల్లెడ" అని పిలుస్తారు. 48 వరకు సంఖ్యల పట్టిక రూపంలో సమర్పించబడిన అటువంటి “జల్లెడ” యొక్క సంస్కరణను చూద్దాం మరియు అది ఎలా సంకలనం చేయబడిందో అర్థం చేసుకోండి.

ఈ పట్టికలో, 48 కంటే తక్కువ అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు గుర్తించబడ్డాయి నారింజ . అవి ఇలా కనుగొనబడ్డాయి:

• 1 – ఒకే భాగహారాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఇది ప్రధాన సంఖ్య కాదు;
• 2 అనేది అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్య మరియు ఒకే ఒక సరి సంఖ్య, అన్ని ఇతర సరి సంఖ్యలు 2 ద్వారా భాగించబడతాయి, అంటే వాటికి కనీసం 3 భాగహారాలు ఉంటాయి, ఈ సంఖ్యలకు తగ్గించబడింది ఊదా రంగు కాలమ్;
• 3 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, రెండు భాగహారాలు ఉన్నాయి, 3 ద్వారా భాగించబడే అన్ని ఇతర సంఖ్యలు మినహాయించబడ్డాయి - ఈ సంఖ్యలు పసుపు కాలమ్‌లో సంగ్రహించబడ్డాయి. ఊదా మరియు పసుపు రంగులో గుర్తించబడిన నిలువు వరుస 2 మరియు 3 రెండింటితో భాగించబడే సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది;
• 5 అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, 5 ద్వారా భాగించబడే అన్ని సంఖ్యలు మినహాయించబడ్డాయి - ఈ సంఖ్యలు ఆకుపచ్చ ఓవల్‌లో చుట్టబడి ఉంటాయి;
• 7 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, 7 ద్వారా భాగించబడే అన్ని సంఖ్యలు ఎరుపు రంగు ఓవల్‌లో చుట్టబడి ఉంటాయి - అవి ప్రధానమైనవి కావు;

ప్రధానం కాని అన్ని సంఖ్యలు నీలం రంగులో గుర్తించబడతాయి. అప్పుడు మీరు ఈ పట్టికను చిత్రం మరియు పోలికలో మీరే కంపైల్ చేయవచ్చు.

• అనువాదం

ప్రధాన సంఖ్యల లక్షణాలను మొదట గణిత శాస్త్రవేత్తలు అధ్యయనం చేశారు పురాతన గ్రీసు. పైథాగరియన్ పాఠశాల (500 - 300 BC) గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క ఆధ్యాత్మిక మరియు సంఖ్యా శాస్త్ర లక్షణాలపై ప్రధానంగా ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారు. పరిపూర్ణమైన మరియు స్నేహపూర్వక సంఖ్యల గురించి ఆలోచనలతో వచ్చిన మొదటి వారు.

ఒక ఖచ్చితమైన సంఖ్య దాని స్వంత భాగహారాల మొత్తాన్ని దానితో సమానంగా కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 6 యొక్క సరైన భాగహారాలు 1, 2 మరియు 3. 1 + 2 + 3 = 6. సంఖ్య 28 యొక్క భాగహారాలు 1, 2, 4, 7 మరియు 14. అంతేకాకుండా, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

ఒక సంఖ్య యొక్క సరైన భాగహారాల మొత్తం మరొకదానికి సమానంగా ఉంటే సంఖ్యలను స్నేహపూర్వకంగా పిలుస్తారు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా - ఉదాహరణకు, 220 మరియు 284. ఒక ఖచ్చితమైన సంఖ్య దానితో స్నేహపూర్వకంగా ఉంటుందని మేము చెప్పగలం.

300 B.C లో యూక్లిడ్ యొక్క మూలకాల సమయానికి అనేక ఇప్పటికే నిరూపించబడ్డాయి ముఖ్యమైన వాస్తవాలుప్రధాన సంఖ్యలకు సంబంధించి. ఎలిమెంట్స్ పుస్తకం IXలో, యూక్లిడ్ ప్రధాన సంఖ్యలను నిరూపించాడు అనంతమైన సంఖ్య. ఇది, వైరుధ్యం ద్వారా రుజువును ఉపయోగించడం యొక్క మొదటి ఉదాహరణలలో ఒకటి. అతను అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని కూడా నిరూపించాడు - ప్రతి పూర్ణాంకాన్ని ప్రధాన సంఖ్యల ఉత్పత్తిగా ప్రత్యేకంగా సూచించవచ్చు.

2n-1 సంఖ్య ప్రధానమైతే, 2n-1 * (2n-1) సంఖ్య ఖచ్చితంగా ఉంటుందని కూడా అతను చూపించాడు. మరొక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఆయిలర్, 1747లో అన్నీ కూడా చూపించగలిగాడు ఖచ్చితమైన సంఖ్యలుఈ రూపంలో వ్రాయవచ్చు. ఈ రోజు వరకు బేసి ఖచ్చితమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయో లేదో తెలియదు.

క్రీ.పూ.200 సంవత్సరంలో. గ్రీకు ఎరాటోస్తనీస్ ప్రధాన సంఖ్యలను కనుగొనడానికి ఒక అల్గారిథమ్‌ను రూపొందించారు, దీనిని జల్లెడ ఆఫ్ ఎరాటోస్థెనీస్ అని పిలుస్తారు.

ఆపై మధ్య యుగాలతో ముడిపడి ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల అధ్యయన చరిత్రలో పెద్ద విరామం ఉంది.

గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫెర్మాట్ చేత 17వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ఈ క్రింది ఆవిష్కరణలు జరిగాయి. 4n+1 ఫారమ్‌లోని ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్యను రెండు చతురస్రాల మొత్తంగా ప్రత్యేకంగా వ్రాయవచ్చని ఆల్బర్ట్ గిరార్డ్ యొక్క ఊహను అతను నిరూపించాడు మరియు ఏ సంఖ్యనైనా నాలుగు చతురస్రాల మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు అనే సిద్ధాంతాన్ని కూడా రూపొందించాడు.

అభివృద్ధి చేశాడు కొత్త పద్ధతికారకం పెద్ద సంఖ్యలో, మరియు దానిని 2027651281 = 44021 × 46061 సంఖ్యపై ప్రదర్శించాడు. అతను ఫెర్మాట్ యొక్క లిటిల్ థియరమ్‌ను కూడా నిరూపించాడు: p అనేది ప్రధాన సంఖ్య అయితే, ఏదైనా పూర్ణాంకానికి a p = a మాడ్యులో p అని నిజం అవుతుంది.

ఈ ప్రకటన "అని తెలిసిన దానిలో సగం నిరూపిస్తుంది. చైనీస్ పరికల్పన", మరియు 2000 సంవత్సరాల నాటిది: 2 n -2 nతో భాగించబడినప్పుడు మాత్రమే పూర్ణాంకం n ప్రధానం. పరికల్పన యొక్క రెండవ భాగం తప్పు అని తేలింది - ఉదాహరణకు, 2,341 - 2 341 ద్వారా భాగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ 341 సంఖ్య మిశ్రమంగా ఉంటుంది: 341 = 31 × 11.

ఫెర్మాట్ యొక్క లిటిల్ థియరం అనేక ఇతర ఫలితాలకు సంఖ్యా సిద్ధాంతం మరియు సంఖ్యలు ప్రైమ్‌లు కాదా అని పరీక్షించే పద్ధతులకు ఆధారంగా పనిచేసింది - వీటిలో చాలా వరకు నేటికీ ఉపయోగించబడుతున్నాయి.

ఫెర్మాట్ తన సమకాలీనులతో, ముఖ్యంగా మారెన్ మెర్సేన్ అనే సన్యాసితో చాలా సంప్రదింపులు జరిపాడు. అతని లేఖలలో ఒకదానిలో, n అనేది రెండు యొక్క శక్తి అయితే 2 n +1 రూపం యొక్క సంఖ్యలు ఎల్లప్పుడూ ప్రైమ్‌గా ఉంటాయని అతను ఊహించాడు. అతను దీనిని n = 1, 2, 4, 8 మరియు 16 కోసం పరీక్షించాడు మరియు n అనేది రెండు యొక్క శక్తి కానట్లయితే, సంఖ్య తప్పనిసరిగా ప్రధానమైనది కాదనే నమ్మకంతో ఉన్నాడు. ఈ సంఖ్యలను ఫెర్మాట్ సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు మరియు కేవలం 100 సంవత్సరాల తర్వాత యూలర్ దానిని చూపించాడు తదుపరి సంఖ్య, 2 32 + 1 = 4294967297 641 ద్వారా భాగించబడుతుంది మరియు కనుక ఇది ప్రధానం కాదు.

ఫారమ్ 2 n - 1 యొక్క సంఖ్యలు కూడా పరిశోధనకు సంబంధించినవి, ఎందుకంటే n సమ్మేళనం అయితే, ఆ సంఖ్య కూడా మిశ్రమమే అని చూపడం సులభం. అతను వాటిని విస్తృతంగా అధ్యయనం చేసినందున ఈ సంఖ్యలను మెర్సేన్ సంఖ్యలు అంటారు.

కానీ n ప్రధానమైన 2 n - 1 రూపంలోని అన్ని సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి కావు. ఉదాహరణకు, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. ఇది మొదట 1536లో కనుగొనబడింది.

చాలా సంవత్సరాలుగా, ఈ రకమైన సంఖ్యలు గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు తెలిసిన అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యలను అందించాయి. ఆ M 19 1588లో కాటాల్డిచే నిరూపించబడింది మరియు 200 సంవత్సరాల పాటు M 31 కూడా ప్రధానమైనదని ఆయిలర్ నిరూపించే వరకు ఇది అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య. ఈ రికార్డు మరో వంద సంవత్సరాలు కొనసాగింది, ఆపై లూకాస్ M 127 ప్రధానమని చూపించాడు (మరియు ఇది ఇప్పటికే 39 అంకెల సంఖ్య), మరియు ఆ తర్వాత కంప్యూటర్ల ఆగమనంతో పరిశోధన కొనసాగింది.

1952లో M 521, M 607, M 1279, M 2203 మరియు M 2281 సంఖ్యల ప్రధానత్వం నిరూపించబడింది.

2005 నాటికి, 42 మెర్సెన్ ప్రైమ్‌లు కనుగొనబడ్డాయి. వాటిలో అతిపెద్దది, M 25964951, 7816230 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది.

ఐలర్ యొక్క పని ప్రధాన సంఖ్యలతో సహా సంఖ్యల సిద్ధాంతంపై భారీ ప్రభావాన్ని చూపింది. అతను ఫెర్మాట్ యొక్క లిటిల్ సిద్ధాంతాన్ని విస్తరించాడు మరియు φ-ఫంక్షన్‌ను ప్రవేశపెట్టాడు. 5వ ఫెర్మాట్ సంఖ్య 2 32 +1ని కారకం చేసి, 60 జతల స్నేహపూర్వక సంఖ్యలను కనుగొన్నారు మరియు చతుర్భుజ పరస్పర చట్టాన్ని రూపొందించారు (కానీ నిరూపించలేకపోయారు).

అతను పద్ధతులను ప్రవేశపెట్టిన మొదటి వ్యక్తి గణిత విశ్లేషణమరియు అభివృద్ధి చేయబడింది విశ్లేషణాత్మక సిద్ధాంతంసంఖ్యలు. అతను హార్మోనిక్ సిరీస్ ∑ (1/n) మాత్రమే కాకుండా, రూపం యొక్క శ్రేణిని కూడా నిరూపించాడు

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

ప్రధాన సంఖ్యల రెసిప్రోకల్స్ మొత్తం ద్వారా పొందిన ఫలితం కూడా వేరుగా ఉంటుంది. n నిబంధనల మొత్తం హార్మోనిక్ సిరీస్ఇంచుమించుగా లాగ్(n) వలె పెరుగుతుంది మరియు రెండవ వరుస లాగ్[లాగ్(n)] వలె మరింత నెమ్మదిగా మారుతుంది. దీనర్థం, ఉదాహరణకు, ఇప్పటి వరకు కనుగొనబడిన అన్ని ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క రెసిప్రొకల్స్ మొత్తం 4 మాత్రమే ఇస్తుంది, అయినప్పటికీ సిరీస్ ఇప్పటికీ భిన్నంగా ఉంటుంది.

మొదటి చూపులో, ప్రధాన సంఖ్యలు పూర్ణాంకాల మధ్య చాలా యాదృచ్ఛికంగా పంపిణీ చేయబడినట్లు అనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 10000000కి ముందు ఉన్న 100 సంఖ్యలలో 9 ప్రైమ్‌లు ఉన్నాయి మరియు ఈ విలువ తర్వాత వెంటనే 100 సంఖ్యలలో 2 మాత్రమే ఉన్నాయి. కానీ పెద్ద విభాగాలలో ప్రధాన సంఖ్యలు చాలా సమానంగా పంపిణీ చేయబడతాయి. లెజెండ్రే మరియు గౌస్ వారి పంపిణీ సమస్యలను పరిష్కరించారు. ఏదైనా ఉచిత 15 నిమిషాలలో అతను ఎల్లప్పుడూ తదుపరి 1000 సంఖ్యలలోని ప్రైమ్‌ల సంఖ్యను గణిస్తానని గౌస్ ఒకసారి స్నేహితుడికి చెప్పాడు. అతని జీవితాంతం నాటికి, అతను 3 మిలియన్ల వరకు ఉన్న అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను లెక్కించాడు. పెద్ద n కోసం ప్రధాన సాంద్రత 1/లాగ్(n) అని లెజెండ్రే మరియు గాస్ సమానంగా లెక్కించారు. లెజెండ్రే 1 నుండి n వరకు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్యను అంచనా వేశారు

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

మరియు గౌస్ సంవర్గమాన సమగ్రత వంటిది

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

2 నుండి n వరకు ఏకీకరణ విరామంతో.

ప్రైమ్స్ 1/లాగ్(n) సాంద్రత గురించిన ప్రకటనను ప్రైమ్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ థియరం అంటారు. వారు 19వ శతాబ్దం అంతటా దానిని నిరూపించడానికి ప్రయత్నించారు మరియు చెబిషెవ్ మరియు రీమాన్ ద్వారా పురోగతి సాధించబడింది. వారు దానిని రీమాన్ పరికల్పనతో అనుసంధానించారు, ఇది రీమాన్ జీటా ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాల పంపిణీ గురించి ఇప్పటికీ నిరూపించబడని పరికల్పన. ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత 1896లో హడమర్డ్ మరియు వల్లీ-పౌసిన్ చేత ఏకకాలంలో నిరూపించబడింది.

ప్రధాన సంఖ్య సిద్ధాంతంలో ఇప్పటికీ అనేక అపరిష్కృత ప్రశ్నలు ఉన్నాయి, వాటిలో కొన్ని వందల సంవత్సరాల నాటివి:

• జంట ప్రధాన పరికల్పన అనేది ఒకదానికొకటి 2 తేడాతో కూడిన అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యల జతల గురించి.
• గోల్డ్‌బాచ్ యొక్క పరికల్పన: ఏదైనా సరి సంఖ్య, 4తో మొదలై, రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా సూచించవచ్చు
• n 2 + 1 రూపంలోని ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా?
• n 2 మరియు (n + 1) 2 మధ్య ప్రధాన సంఖ్యను కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యమేనా? (n మరియు 2n మధ్య ఎల్లప్పుడూ ఒక ప్రధాన సంఖ్య ఉంటుందని చెబిషెవ్ నిరూపించాడు)
• ఫెర్మాట్ ప్రైమ్‌ల సంఖ్య అనంతమా? 4 తర్వాత ఏవైనా ఫెర్మాట్ ప్రైమ్‌లు ఉన్నాయా?
• అది ఉనికిలో ఉందా అంకగణిత పురోగతిదేనికైనా వరుస ప్రధాన సంఖ్యలు ఇచ్చిన పొడవు? ఉదాహరణకు, పొడవు 4: 251, 257, 263, 269. కనుగొనబడిన గరిష్ట పొడవు 26.
• అంకగణిత పురోగతిలో మూడు వరుస ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క అనంతమైన సంఖ్యలో సెట్లు ఉన్నాయా?
• n 2 - n + 41 అనేది 0 ≤ n ≤ 40కి ప్రధాన సంఖ్య. అటువంటి ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా? n 2 - 79 n + 1601 సూత్రానికి ఇదే ప్రశ్న. ఈ సంఖ్యలు 0 ≤ n ≤ 79కి ప్రధానమైనవి.
• n# + 1 రూపం యొక్క ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా? (n# అనేది అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలను n కంటే తక్కువ గుణించడం వల్ల వచ్చే ఫలితం)
• n# -1 రూపం యొక్క ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా?
• n రూపం యొక్క ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా? + 1?
• n రూపం యొక్క ప్రధాన సంఖ్యల అనంతమైన సంఖ్య ఉందా? - 1?
• p ప్రధానమైనట్లయితే, 2 p -1 ఎల్లప్పుడూ దాని కారకాలలో ప్రధాన వర్గాలను కలిగి ఉండదా?
• ఫైబొనాక్సీ సీక్వెన్స్ అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యలను కలిగి ఉందా?

అతిపెద్ద జంట ప్రధాన సంఖ్యలు 2003663613 × 2 195000 ± 1. అవి 58711 అంకెలను కలిగి ఉంటాయి మరియు 2007లో కనుగొనబడ్డాయి.

అతిపెద్ద కారకం ప్రధాన సంఖ్య (రకం n! ± 1) 147855! - 1. ఇది 142891 అంకెలను కలిగి ఉంటుంది మరియు 2002లో కనుగొనబడింది.

అతిపెద్ద ఆదిమ ప్రధాన సంఖ్య (రూపం n# ± 1) 1098133# + 1.

నిర్వచనం 1. ప్రధాన సంఖ్య− అనేది ఒకదాని కంటే ఎక్కువగా ఉండే సహజ సంఖ్య మరియు 1 ద్వారా మాత్రమే భాగించబడుతుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య రెండు విభిన్న సహజ కారకాలు మాత్రమే కలిగి ఉంటే అది ప్రధానమైనది.

నిర్వచనం 2. ఏదైనా సహజ సంఖ్య దానితో పాటు ఇతర భాగహారాలను కలిగి ఉన్న మరియు ఒకటి అంటారు ఒక మిశ్రమ సంఖ్య.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ప్రధాన సంఖ్యలు కాని సహజ సంఖ్యలను మిశ్రమ సంఖ్యలు అంటారు. డెఫినిషన్ 1 నుండి మిశ్రమ సంఖ్య రెండు కంటే ఎక్కువ కలిగి ఉంటుంది సహజ విభజనలు. సంఖ్య 1 ప్రధానం లేదా మిశ్రమం కాదు ఎందుకంటే ఒక డివైజర్ 1ని మాత్రమే కలిగి ఉంది మరియు అదనంగా, ప్రధాన సంఖ్యలకు సంబంధించిన అనేక సిద్ధాంతాలు ఏకత్వానికి పట్టవు.

నిర్వచనాలు 1 మరియు 2 నుండి ప్రతి పూర్ణాంకం అనుసరిస్తుంది సానుకూల సంఖ్య 1 కంటే ఎక్కువ అనేది ప్రధాన లేదా మిశ్రమ సంఖ్య.

5000 వరకు ప్రధాన సంఖ్యలను ప్రదర్శించే ప్రోగ్రామ్ క్రింద ఉంది. సెల్‌లను పూరించండి, "సృష్టించు" బటన్‌పై క్లిక్ చేసి, కొన్ని సెకన్లు వేచి ఉండండి.

ప్రధాన సంఖ్యల పట్టిక

ప్రకటన 1. ఉంటే p- ప్రధాన సంఖ్య మరియు aఏదైనా పూర్ణాంకం, అప్పుడు గాని aభాగించబడిన p, లేదా pమరియు aప్రధాన సంఖ్యలు.

నిజంగా. ఉంటే pఒక ప్రధాన సంఖ్య దాని ద్వారా మాత్రమే భాగించబడుతుంది మరియు 1 అయితే aద్వారా విభజించబడదు p, అప్పుడు గొప్పది సాధారణ విభజన aమరియు p 1కి సమానం. అప్పుడు pమరియు aప్రధాన సంఖ్యలు.

ప్రకటన 2. అనేక సంఖ్యల సంఖ్యల ఉత్పత్తి అయితే a 1 , a 2 , a 3, ... ప్రధాన సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది p, ఆపై సంఖ్యలలో కనీసం ఒకటి a 1 , a 2 , a 3, ...చే భాగించబడుతుంది p.

నిజంగా. సంఖ్యలు ఏవీ భాగించబడకపోతే p, తర్వాత సంఖ్యలు a 1 , a 2 , a 3, ...కి సంబంధించి కాప్రైమ్ నంబర్‌లు p. కానీ కరోలరీ 3 () నుండి అది వారి ఉత్పత్తిని అనుసరిస్తుంది a 1 , a 2 , a 3, ... సంబంధించి కూడా సాపేక్షంగా ప్రధానమైనది p, ఇది ప్రకటన యొక్క షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది. అందువల్ల సంఖ్యలలో కనీసం ఒకదాని ద్వారా భాగించబడుతుంది p.

సిద్ధాంతం 1. ఏదైనా సమ్మిళిత సంఖ్యను ఎల్లప్పుడూ సూచించవచ్చు మరియు అంతేకాకుండా, ఏకైక మార్గంప్రధాన సంఖ్యల పరిమిత సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తిగా.

రుజువు. వీలు కెమిశ్రమ సంఖ్య, మరియు వీలు a 1 అనేది 1 మరియు దానికదే భిన్నమైన దాని భాగహారాలలో ఒకటి. ఉంటే a 1 సమ్మేళనం, ఆపై 1కి అదనంగా ఉంటుంది మరియు a 1 మరియు మరొక డివైజర్ a 2. ఉంటే a 2 అనేది సమ్మిళిత సంఖ్య, అప్పుడు అది 1కి అదనంగా ఉంటుంది మరియు a 2 మరియు మరొక డివైజర్ a 3. ఈ విధంగా రీజనింగ్ చేసి ఆ సంఖ్యలను పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు a 1 , a 2 , a 3 , ... తగ్గుతున్నాయి మరియు ఈ శ్రేణిని కలిగి ఉంటుంది చివరి సంఖ్యసభ్యులు, మేము కొంత ప్రధాన సంఖ్యను చేరుకుంటాము p 1 . అప్పుడు కెరూపంలో సూచించవచ్చు

ఒక సంఖ్యకు రెండు వియోగాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం కె:

ఎందుకంటే k=p 1 p 2 p 3 ... ప్రధాన సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది q 1, ఆపై కనీసం ఒక కారకాలు, ఉదాహరణకు p 1 ద్వారా భాగించబడుతుంది q 1 . కానీ p 1 అనేది ప్రధాన సంఖ్య మరియు 1 మరియు దానితో మాత్రమే భాగించబడుతుంది. అందుకే p 1 =q 1 (ఎందుకంటే q 1 ≠1)

అప్పుడు (2) నుండి మనం మినహాయించవచ్చు p 1 మరియు q 1:

అందువల్ల, మొదటి విస్తరణలో ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సార్లు కారకంగా కనిపించే ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య రెండవ విస్తరణలో కనీసం అనేక సార్లు కనిపిస్తుంది మరియు రెండవ విస్తరణలో కారకంగా కనిపించే ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్య కూడా కనిపిస్తుంది. ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సార్లు మొదటి విస్తరణలో కనీసం అదే సంఖ్యలో కూడా కనిపిస్తుంది. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్య రెండు విస్తరణలలో కారకంగా చేర్చబడుతుంది అదే సంఖ్యసార్లు మరియు అందువలన ఈ రెండు విస్తరణలు ఒకటే.■

కుళ్ళిపోవడం సంయుక్త సంఖ్య కెకింది రూపంలో వ్రాయవచ్చు

(3)

ఎక్కడ p 1 , p 2, ... వివిధ ప్రధాన సంఖ్యలు, α, β, γ ... ధన పూర్ణాంకాలు.

విస్తరణ (3) అంటారు కానానికల్ విస్తరణసంఖ్యలు.

సహజ సంఖ్యల శ్రేణిలో ప్రధాన సంఖ్యలు అసమానంగా సంభవిస్తాయి. వరుసలోని కొన్ని భాగాలలో వాటిలో ఎక్కువ ఉన్నాయి, మరికొన్నింటిలో - తక్కువ. మేము మరింత ముందుకు వెళ్తాము సంఖ్య సిరీస్, తక్కువ సాధారణ ప్రధాన సంఖ్యలు. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్య ఉందా? ప్రాచీన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు యూక్లిడ్ అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని నిరూపించాడు. మేము ఈ రుజువును క్రింద అందిస్తున్నాము.

సిద్ధాంతం 2. ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య అనంతం.

రుజువు. ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క పరిమిత సంఖ్యలు ఉన్నాయని అనుకుందాం మరియు అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి p. అన్ని సంఖ్యలను ఎక్కువగా పరిశీలిద్దాం p. ప్రకటన యొక్క ఊహ ద్వారా, ఈ సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా మిశ్రమంగా ఉండాలి మరియు కనీసం ఒక ప్రధాన సంఖ్యతో భాగించబడాలి. ఈ అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు కలిపి 1 కలిపిన సంఖ్యను ఎంచుకుందాం:

సంఖ్య zమరింత pఎందుకంటే 2pఇప్పటికే ఎక్కువ p. pఈ ప్రధాన సంఖ్యల ద్వారా భాగించబడదు, ఎందుకంటే వాటిని ఒక్కొక్కటిగా విభజించినప్పుడు 1 యొక్క శేషాన్ని ఇస్తుంది. ఆ విధంగా మనం ఒక వైరుధ్యానికి వస్తాము. అందువల్ల అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.

ఈ సిద్ధాంతం మరింత సాధారణ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం:

సిద్ధాంతం 3. అంకగణిత పురోగతిని ఇవ్వనివ్వండి

అప్పుడు ఏదైనా ప్రధాన సంఖ్య చేర్చబడుతుంది n, లో చేర్చాలి m, అందువలన లో nచేర్చబడని ఇతర ప్రధాన కారకాలు mమరియు, అంతేకాకుండా, ఈ ప్రధాన కారకాలు nకంటే ఎక్కువ సార్లు చేర్చబడలేదు m.

వ్యతిరేకం కూడా నిజం. ఒక సంఖ్య యొక్క ప్రతి ప్రధాన కారకం అయితే nసంఖ్యలో కనీసం అనేక సార్లు చేర్చబడింది m, ఆ mభాగించబడిన n.

ప్రకటన 3. వీలు a 1 ,a 2 ,a 3,... వివిధ ప్రధాన సంఖ్యలు చేర్చబడ్డాయి mకాబట్టి

ఎక్కడ i=0,1,...α , జె=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . గమనించండి, అది α iఅంగీకరిస్తుంది α +1 విలువలు, β j అంగీకరిస్తుంది β +1 విలువలు, γ k అంగీకరిస్తుంది γ +1 విలువలు, ...