స్లయిడ్ 1

పేర్కొన్న ఉపరితలం మరియు దాని ద్వారా పరిమితం చేయబడిన స్థలం యొక్క రెండు భాగాలలో ఒకదానితో ఏర్పడిన బొమ్మను పాలిహెడ్రల్ కోణం అంటారు. సాధారణ శీర్షం S ను పాలిహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు. SA1, ..., SA కిరణాలను బహుభుజి కోణం యొక్క అంచులు అని పిలుస్తారు మరియు విమాన కోణాలను A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు అంటారు. పాలిహెడ్రల్ కోణం SA1...An అనే అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది, ఇది దాని అంచులలోని శీర్షం మరియు బిందువులను సూచిస్తుంది. A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 అనే ఒక సాధారణ శీర్షంతో కూడిన సమతల కోణాల యొక్క పరిమిత సమితితో ఏర్పడిన ఉపరితలం, దీనిలో ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలకు సాధారణ బిందువులు ఉండవు, ఒక సాధారణ కిరణ బిందువులు మరియు ప్రక్కనే లేని కోణాలు లేదు సాధారణ పాయింట్లు, ఒక సాధారణ శీర్షంతో పాటు, పాలిహెడ్రల్ ఉపరితలం అని పిలుస్తారు.

స్లయిడ్ 2


ముఖాల సంఖ్యపై ఆధారపడి, బహుభుజి కోణాలు త్రిభుజం, చతుర్భుజం, పెంటగోనల్ మొదలైనవి.

స్లయిడ్ 3

త్రిహేడల్ కోణాలు

సిద్ధాంతం. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి సమతల కోణం దాని రెండు ఇతర సమతల కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. రుజువు: ట్రైహెడ్రల్ కోణం SABCని పరిగణించండి. దాని సమతల కోణాలలో అతిపెద్దది కోణం ASCగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు అసమానతలు ASB ASC సంతృప్తి చెందుతాయి

స్లయిడ్ 4


ఆస్తి. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాల మొత్తం 360° కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, B మరియు C శీర్షాలతో కూడిన ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం, క్రింది అసమానతలు కలిగి ఉంటాయి: ABC

స్లయిడ్ 5

కన్వెక్స్ పాలిహెడల్ కోణాలు

పాలీహెడ్రల్ కోణం ఉంటే దానిని కుంభాకారం అంటారు కుంభాకార బొమ్మ, అంటే, దానిలోని ఏదైనా రెండు పాయింట్లతో కలిపి, అది పూర్తిగా వాటిని కలిపే విభాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఆస్తి: కుంభాకార బహుభుజి కోణం యొక్క అన్ని సమతల కోణాల మొత్తం 360° కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. రుజువు ట్రైహెడ్రల్ కోణం కోసం సంబంధిత ఆస్తి యొక్క రుజువును పోలి ఉంటుంది.

స్లయిడ్ 6

నిలువు పాలిహెడ్రల్ కోణాలు

బొమ్మలు ట్రైహెడ్రల్, టెట్రాహెడ్రల్ మరియు పెంటాహెడ్రల్ నిలువు కోణాల ఉదాహరణలను చూపుతాయి. లంబ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

స్లయిడ్ 7

పాలిహెడ్రల్ కోణాలను కొలవడం

అభివృద్ధి చెందిన డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డిగ్రీ విలువ సంబంధిత రేఖీయ కోణం యొక్క డిగ్రీ విలువతో కొలవబడుతుంది మరియు 180°కి సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, రెండు అభివృద్ధి చెందిన డైహెడ్రల్ కోణాలను కలిగి ఉన్న మొత్తం స్థలం యొక్క డిగ్రీ విలువ సమానంగా ఉంటుందని మేము ఊహిస్తాము. 360°. పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క పరిమాణం, డిగ్రీలలో వ్యక్తీకరించబడింది, ఇచ్చిన పాలీహెడ్రల్ కోణం ఎంత స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తుందో చూపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక క్యూబ్ యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణం స్థలంలో ఎనిమిదవ వంతును ఆక్రమిస్తుంది మరియు అందువలన, దాని డిగ్రీ విలువ 360°: 8 = 45°. త్రిభుజాకార కోణంకుడివైపున n-గోనల్ ప్రిజం సగానికి సమానంప్రక్క అంచు వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం. ఈ డైహెడ్రల్ కోణం సమానంగా ఉందని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ప్రిజం యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణం సమానంగా ఉందని మేము పొందుతాము.

స్లయిడ్ 8

త్రిభుజాకార కోణాలను కొలవడం*

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క పరిమాణాన్ని దాని డైహెడ్రల్ కోణాల పరంగా వ్యక్తీకరించే సూత్రాన్ని మనం పొందుదాం. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం S సమీపంలోని యూనిట్ గోళాన్ని వివరిస్తాము మరియు ఈ గోళంతో ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచుల ఖండన బిందువులను A, B, C గా సూచిస్తాము. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాల విమానాలు ఈ గోళాన్ని విభజిస్తాయి. ఈ ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాలకు అనుగుణంగా ఉన్న ఆరు జంటల సమాన గోళాకార డిగన్‌లు. గోళాకారం త్రిభుజం ABCమరియు సుష్ట గోళాకార త్రిభుజం A"B"C" అనేది మూడు డిగన్‌ల ఖండన. కాబట్టి, డైహెడ్రల్ కోణాల యొక్క రెండు రెట్లు మొత్తం 360o ప్లస్ ట్రైహెడ్రల్ కోణానికి సమానం, లేదా SA +SB + SC = 180o + 2 SABC.

స్లయిడ్ 9

పాలిహెడ్రల్ కోణాలను కొలవడం*

SA1...ఒక కుంభాకార n-ముఖ కోణంగా ఉండనివ్వండి. దానిని ట్రైహెడ్రల్ కోణాలుగా విభజించడం, A1A3, ..., A1An-1 వికర్ణాలను గీయడం మరియు వాటికి ఫలిత సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం, మనకు ఇవి ఉంటాయి:  SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1... ఒక పాలిహెడ్రల్ కోణాలుసంఖ్యల ద్వారా కూడా కొలవవచ్చు. వాస్తవానికి, మొత్తం స్థలంలో మూడు వందల అరవై డిగ్రీలు 2π సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ఫలిత ఫార్ములాలో డిగ్రీల నుండి సంఖ్యలకు తరలిస్తే, మనకు ఇవి ఉంటాయి: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

స్లయిడ్ 10

వ్యాయామం 1

ఫ్లాట్ కోణాలతో ట్రైహెడ్రల్ కోణం ఉండవచ్చా: a) 30°, 60°, 20°; బి) 45°, 45°, 90°; సి) 30°, 45°, 60°? జవాబు లేదు; బి) లేదు; సి) అవును

స్లయిడ్ 11

వ్యాయామం 2

ముఖాలు, శీర్షాల వద్ద కలుస్తూ, రూపాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉండే పాలిహెడ్రా యొక్క ఉదాహరణలను ఇవ్వండి: a) ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు; బి) టెట్రాహెడ్రల్ కోణాలు; సి) పెంటగోనల్ కోణాలు. జవాబు: ఎ) టెట్రాహెడ్రాన్, క్యూబ్, డోడెకాహెడ్రాన్; బి) అష్టాహెడ్రాన్; సి) ఐకోసాహెడ్రాన్.

స్లయిడ్ 12

వ్యాయామం 3

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క రెండు సమతల కోణాలు 70° మరియు 80°. మూడవ విమానం కోణం యొక్క సరిహద్దులు ఏమిటి? సమాధానం: 10o

స్లయిడ్ 13

వ్యాయామం 4

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాలు 45°, 45° మరియు 60°. 45° సమతల కోణాల విమానాల మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90o.

స్లయిడ్ 14

వ్యాయామం 5

ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, రెండు ప్లేన్ కోణాలు 45°కి సమానం; వాటి మధ్య డైహెడ్రల్ కోణం సరైనది. మూడవ విమానం కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 60o.

స్లయిడ్ 15

వ్యాయామం 6

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాలు 60°, 60° మరియు 90°. పై నుండి దాని పక్కటెముకల మీద జమ చేయబడతాయి సమాన విభాగాలు OA, OB, OC. 90° యాంగిల్ ప్లేన్ మరియు ABC ప్లేన్ మధ్య డైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: 90o.

స్లయిడ్ 16

వ్యాయామం 7

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి సమతల కోణం 60°. దాని అంచులలో ఒకదానిలో 3 సెం.మీ.కు సమానమైన సెగ్మెంట్ పై నుండి వేయబడుతుంది మరియు దాని చివర నుండి వ్యతిరేక ముఖానికి లంబంగా వేయబడుతుంది. ఈ లంబ పొడవును కనుగొనండి. సమాధానం: చూడండి

స్లయిడ్ 17

వ్యాయామం 8

కనుగొనండి లోకస్ అంతర్గత పాయింట్లుదాని ముఖాల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న త్రిభుజ కోణం. జవాబు: ఒక కిరణం దీని శీర్షం ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం, ఇది డైహెడ్రల్ కోణాలను సగానికి విభజించే విమానాల ఖండన రేఖపై ఉంటుంది.

స్లయిడ్ 18

వ్యాయామం 9

దాని అంచుల నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంతర్గత బిందువుల స్థానాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: ఒక కిరణం దీని శీర్షం ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం, ఇది సమతల కోణాల మరియు ద్విభాగాల గుండా వెళుతున్న విమానాల ఖండన రేఖపై ఉంటుంది. విమానాలకు లంబంగాఈ కోణాలు.

స్లయిడ్ 19

వ్యాయామం 10

టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనకు: , ఎక్కడి నుండి 70o30". టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనం కలిగి ఉంటాము: 15o45". సమాధానం: 15o45". టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణాల యొక్క సుమారు విలువలను కనుగొనండి.

స్లయిడ్ 20

వ్యాయామం 11

అష్టాహెడ్రాన్ యొక్క టెట్రాహెడ్రల్ కోణాల యొక్క సుమారు విలువలను కనుగొనండి. అష్టాహెడ్రాన్ యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనం కలిగి ఉన్నాము: , ఎక్కడ నుండి 109о30". అష్టాహెడ్రాన్ యొక్క టెట్రాహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనకు: 38о56". సమాధానం: 38o56".

స్లయిడ్ 21

వ్యాయామం 12

ఐకోసాహెడ్రాన్ యొక్క పెంటాహెడ్రల్ కోణాల యొక్క సుమారు విలువలను కనుగొనండి. ఐకోసాహెడ్రాన్ యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనం కలిగి ఉన్నాము: , ఎక్కడి నుండి 138о11". ఐకోసాహెడ్రాన్ యొక్క పెంటాహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనము: 75о28". సమాధానం: 75o28".

స్లయిడ్ 22

వ్యాయామం 13

డోడెకాహెడ్రాన్ యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనకు: , ఎక్కడి నుండి 116o34". డోడెకాహెడ్రాన్ యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం మనము: 84o51". సమాధానం: 84o51". డోడెకాహెడ్రాన్ యొక్క ట్రైహెడ్రల్ కోణాల యొక్క సుమారు విలువలను కనుగొనండి.

స్లయిడ్ 23

వ్యాయామం 14

సాధారణ చతుర్భుజాకార పిరమిడ్ SABCDలో, ఆధారం వైపు 2 సెం.మీ. ఎత్తు 1 సెం.మీ. ఈ పిరమిడ్ యొక్క శిఖరాగ్రంలో టెట్రాహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: ఇచ్చిన పిరమిడ్‌లు క్యూబ్‌ను క్యూబ్ మధ్యలో ఉన్న శీర్షాలతో ఆరు సమాన పిరమిడ్‌లుగా విభజిస్తాయి. తత్ఫలితంగా, పిరమిడ్ ఎగువన ఉన్న 4-వైపుల కోణం 360° కోణంలో ఆరవ వంతు, అనగా. 60oకి సమానం. సమాధానం: 60o.

స్లయిడ్ 24

వ్యాయామం 15

కుడివైపున త్రిభుజాకార పిరమిడ్ పార్శ్వ పక్కటెముకలు 1కి సమానం, శీర్ష కోణాలు 90°. ఈ పిరమిడ్ యొక్క శీర్షంలో ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: సూచించిన పిరమిడ్‌లు అష్టాహెడ్రాన్‌ను ఎనిమిది సమాన పిరమిడ్‌లుగా విభజిస్తాయి, అష్టాహెడ్రాన్ మధ్యలో O మధ్యలో ఉన్న శీర్షాలతో. కాబట్టి, పిరమిడ్ పైభాగంలో ఉన్న 3-వైపుల కోణం 360° కోణంలో ఎనిమిదో వంతు ఉంటుంది, అనగా. 45oకి సమానం. సమాధానం: 45o.

స్లయిడ్ 25

వ్యాయామం 16

సాధారణ త్రిభుజాకార పిరమిడ్‌లో, పార్శ్వ అంచులు 1కి సమానంగా ఉంటాయి మరియు ఎత్తు ఈ పిరమిడ్ యొక్క శీర్షంలో ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: సూచించిన పిరమిడ్లు విరిగిపోయాయి సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్నలుగురి ద్వారా సమాన పిరమిడ్లుఓటెట్రాహెడ్రాన్ మధ్యలో శీర్షాలతో. పర్యవసానంగా, పిరమిడ్ పైభాగంలో ఉన్న 3-వైపుల కోణం 360° కోణంలో నాలుగో వంతు ఉంటుంది, అనగా. 90oకి సమానం. సమాధానం: 90o.

అన్ని స్లయిడ్‌లను వీక్షించండి

ఒకే బిందువు నుండి ఉద్భవించే మరియు ఒకే విమానంలో పడుకోని మూడు కిరణాలు a, b, c ని పరిశీలిద్దాం. ట్రైహెడ్రల్ యాంగిల్ (abc) అనేది మూడు ఫ్లాట్ యాంగిల్స్ (ab), (bc) మరియు (ac) (Fig. 2)తో రూపొందించబడిన ఒక బొమ్మ. ఫ్లాట్ కోణాల యొక్క సాధారణ శీర్షాన్ని ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు. డైహెడ్రల్ కోణాలుత్రిభుజ కోణం.

పాలిహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన అదేవిధంగా నిర్వచించబడింది (Fig. 3).

పాలీహెడ్రాన్

స్టీరియోమెట్రీలో, శరీరాలు అని పిలువబడే అంతరిక్షంలోని బొమ్మలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. దృశ్య (జ్యామితీయ) శరీరాన్ని తప్పనిసరిగా ఆక్రమించిన స్థలంలో భాగంగా ఊహించాలి భౌతిక శరీరంమరియు ఉపరితలం ద్వారా పరిమితం చేయబడింది.

పాలిహెడ్రాన్ అనేది ఒక శరీరం, దీని ఉపరితలం ఉంటుంది పరిమిత సంఖ్యఫ్లాట్ బహుభుజాలు (Fig. 4). పాలీహెడ్రాన్ దాని ఉపరితలంపై ప్రతి సమతల బహుభుజి యొక్క విమానం యొక్క ఒక వైపున ఉన్నట్లయితే దానిని కుంభాకారం అంటారు. ఒక సాధారణ భాగంఅటువంటి విమానం మరియు కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఉపరితలం ముఖం అంటారు. కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్ ముఖాలు చదునుగా ఉంటాయి కుంభాకార బహుభుజాలు. ముఖాల భుజాలను పాలిహెడ్రాన్ యొక్క అంచులు అని పిలుస్తారు మరియు శీర్షాలను పాలిహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాలు అంటారు.

మనకు తెలిసిన క్యూబ్ (Fig. 5) ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీనిని వివరిస్తాము. క్యూబ్ అనేది ఒక కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్. దీని ఉపరితలం ఆరు చతురస్రాలను కలిగి ఉంటుంది: ABCD, BEFC, .... ఇవి దాని ముఖాలు. క్యూబ్ అంచులు ఈ చతురస్రాల వైపులా ఉంటాయి: AB, BC, BE,.... క్యూబ్ యొక్క శీర్షాలు చతురస్రాల శీర్షాలు: A, B, C, D, E, .... క్యూబ్‌లో ఆరు ముఖాలు, పన్నెండు అంచులు మరియు ఎనిమిది శీర్షాలు ఉంటాయి.

సరళమైన పాలిహెడ్రా కోసం - ప్రిజమ్‌లు మరియు పిరమిడ్‌లు, ఇది మా అధ్యయనం యొక్క ప్రధాన వస్తువుగా ఉంటుంది - మేము సారాంశంలో, శరీరం యొక్క భావనను ఉపయోగించని నిర్వచనాలను ఇస్తాము. అవి అంతరిక్షంలో ఉన్న అన్ని బిందువులను సూచించే రేఖాగణిత బొమ్మలుగా నిర్వచించబడతాయి. భావన రేఖాగణిత శరీరంమరియు దాని ఉపరితలం లోపల సాధారణ కేసుతర్వాత ఇస్తారు.

20. పాలీహెడ్రల్ కోణాల యొక్క బహుళ-స్థాయి అధ్యయనం, ట్రైహెడ్రల్ కోణం మరియు బహుభుజి కోణం యొక్క సమతల కోణాల లక్షణాలు.

ప్రాథమిక స్థాయి:

అతనస్యాన్

డైహెడ్రల్ కోణాన్ని మాత్రమే పరిగణిస్తుంది.

పోగోరెలోవ్

మొదట, అతను డైహెడ్రల్ కోణాన్ని మరియు వెంటనే ట్రైహెడ్రల్ మరియు పాలిహెడ్రల్ కోణాలను పరిగణిస్తాడు.

మూడు కిరణాలు a, b, c, ఒకే బిందువు నుండి ఉద్భవించి ఒకే విమానంలో పడి ఉండడాన్ని పరిశీలిద్దాం. ట్రైహెడ్రల్ యాంగిల్ (abc) అనేది మూడు ఫ్లాట్ కోణాలు (ab), (bc) మరియు (ac) (Fig. 400)తో రూపొందించబడిన బొమ్మ. ఈ కోణాలను ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలు అని పిలుస్తారు మరియు వాటి వైపులా అంచులు అంటారు. సమతల కోణాల యొక్క సాధారణ శీర్షాన్ని ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాలను ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాలు అంటారు.

పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన అదేవిధంగా పరిచయం చేయబడింది (Fig. 401).

Fig. 400 మరియు Fig. 401

పి ప్రొఫైల్ స్థాయి(A.D. అలెక్స్‌ండ్రోవ్, A.L. వెర్నర్, V.I. రిజిఖ్):

§ 31 వరకు ఏకపక్ష పాలిహెడ్రల్ కోణాల నిర్వచనం మరియు అధ్యయనాన్ని వదిలివేసి, ఇప్పుడు మనం వాటిలో సరళమైన వాటిని పరిశీలిస్తాము - ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు. స్టీరియోమెట్రీలో డైహెడ్రల్ కోణాలను సమతల కోణాల అనలాగ్‌లుగా పరిగణించగలిగితే, ట్రైహెడ్రల్ కోణాలను సమతల త్రిభుజాల అనలాగ్‌లుగా పరిగణించవచ్చు మరియు కింది పేరాల్లో అవి గోళాకార త్రిభుజాలకు సహజంగా ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయో చూద్దాం.

మీరు ఇలాంటి ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని నిర్మించవచ్చు (అందువలన నిర్మాణాత్మకంగా నిర్వచించవచ్చు). ఎ, బి, సి, కలిగి ఉన్న ఏవైనా మూడు కిరణాలను తీసుకోండి సాధారణ ప్రారంభం O మరియు అదే విమానంలో పడుకోవడం లేదు (Fig. 150). ఈ కిరణాలు మూడు కుంభాకార సమతల కోణాల వైపులా ఉంటాయి: కోణం α వైపులా b, c, కోణం β వైపులా a, c, మరియు కోణం γ వైపులా a, b. α, β, γ ఈ మూడు కోణాల కలయికను ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc (లేదా, క్లుప్తంగా, ట్రైహెడ్రల్ కోణం O) అంటారు. కిరణాలు a, b, c లను ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క అంచులు అని పిలుస్తారు మరియు α, β, γ అనే విమాన కోణాలు దాని ముఖాలు. పాయింట్ Oని ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు.

3 వ్యాఖ్య ఒక నాన్-కుంభాకార ముఖంతో (Fig. 151) ఒక త్రిభుజాకార కోణాన్ని నిర్వచించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే మేము అలాంటి త్రిభుజాకార కోణాలను పరిగణించము.

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి అంచు కోసం, సంబంధిత డైహెడ్రల్ కోణం నిర్ణయించబడుతుంది, దీని అంచు ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సంబంధిత అంచుని కలిగి ఉంటుంది మరియు దీని ముఖాలు ఈ అంచుకు ప్రక్కనే ఉన్న ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలను కలిగి ఉంటాయి.

a, b, c అంచుల వద్ద ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల విలువలు వరుసగా a^, b^, c^ (అక్షరాల పైన నేరుగా క్యాప్స్) ద్వారా సూచించబడతాయి.

ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క మూడు ముఖాలు α, β, γ మరియు దాని మూడు డైహెడ్రల్ కోణాలు పక్కటెముకలు a, b, с, అలాగే పరిమాణాలు α, β, γ మరియు а^, b^, с^ మేము ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క మూలకాలను పిలుస్తాము. (ఒక సమతల త్రిభుజం యొక్క మూలకాలు దాని భుజాలు మరియు కోణాలు అని గుర్తుంచుకోండి.)

ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కొన్ని మూలకాలను దాని ఇతర మూలకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించడం, అంటే ట్రైహెడ్రల్ కోణాల "త్రికోణమితి"ని నిర్మించడం మా పని.

1) కొసైన్ సిద్ధాంతం యొక్క అనలాగ్‌ని పొందడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. ముందుగా, ట్రైహెడ్రల్ యాంగిల్ Oabcని పరిగణించండి, ఇది కనీసం రెండు ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు α మరియు β, పదునైన మూలలు. దాని అంచు c పై పాయింట్ C ని తీసుకుని, దాని నుండి α మరియు β లంబంగా CB మరియు CA నుండి అంచు వరకు c నుండి అంచులు A మరియు B పాయింట్ల వద్ద a మరియు b పాయింట్‌లతో కలుస్తుంది (Fig. 152). కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి OAB మరియు CAB త్రిభుజాల నుండి AB దూరాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) మరియు AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

రెండవ సమానత్వం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). ఎందుకంటే త్రిభుజాలు OSV మరియు OCA లంబకోణం, తర్వాత AC 2 -AC 2 =OS 2 మరియు OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

కాబట్టి, (1) మరియు (2) నుండి OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

ఆ.

కానీ
,
,
,
. అందుకే

(3) – ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం కొసైన్ సిద్ధాంతం యొక్క అనలాగ్ - కొసైన్ ఫార్ములా.

α మరియు β రెండు ముఖాలు మందమైన కోణాలు.

α మరియు β కోణాలలో ఒకటి, ఉదాహరణకు α, తీవ్రమైనది మరియు మరొకటి, β, మందంగా ఉంటుంది.

α లేదా β కోణాల్లో కనీసం 1 నేరుగా ఉంటుంది.

ట్రైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలుత్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలను పోలి ఉంటుంది. కానీ ఒక తేడా ఉంది: ఉదాహరణకు, రెండు ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు వాటి డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి. రెండు సమతల త్రిభుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. మరియు ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం, ఇదే పరిస్థితి సారూప్యతకు కాదు, సమానత్వానికి దారితీస్తుంది.

ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు విశేషమైనవి ఆస్తిద్వంద్వత్వం అంటారు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc గురించి ఏదైనా సిద్ధాంతంలో ఉంటే మేము భర్తీ చేస్తాము విలువలు a, b, నుండి π-α, π-β, π-γమరియు, దీనికి విరుద్ధంగా, α, β, γని π-a^, π-b^, π-c^తో భర్తీ చేయండి, ఆపై మేము మళ్లీ ట్రైహెడ్రల్ కోణాల గురించి నిజమైన ప్రకటనను పొందుతాము, అసలు ఒక సిద్ధాంతానికి ద్వంద్వ. నిజమే, సైన్స్ సిద్ధాంతంలో అటువంటి ప్రత్యామ్నాయం జరిగితే, మనం మళ్లీ సైన్స్ సిద్ధాంతానికి వస్తాము (ఇది స్వయంగా ద్వంద్వమైనది). కానీ మనం దీనిని కొసైన్ సిద్ధాంతం (3)లో చేస్తే, మనకు కొత్త ఫార్ములా వస్తుంది

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

ట్రైహెడ్రల్ కోణం కోసం మనం ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని ద్వంద్వంగా నిర్మిస్తే అటువంటి ద్వంద్వత్వం ఎందుకు సంభవిస్తుందో స్పష్టమవుతుంది, దీని అంచులు అసలు కోణం యొక్క ముఖాలకు లంబంగా ఉంటాయి (విభాగం 33.3 మరియు అంజీర్ 356 చూడండి).

కొన్ని సరళమైన ఉపరితలాలు పాలీహెడ్రల్ కోణాలు. అవి సాధారణ కోణాలతో రూపొందించబడ్డాయి (ఇప్పుడు మనం తరచుగా అలాంటి కోణాలను ఫ్లాట్ యాంగిల్స్ అని పిలుస్తాము), అలాగే క్లోజ్డ్ బ్రోకెన్ లైన్ విభాగాలతో రూపొందించబడింది. అవి, కింది నిర్వచనం ఇవ్వబడింది:

పాలిహెడ్రల్ కోణం అంటారువిమానం కోణాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ క్రింది షరతులు నెరవేరుతాయి:

1) వాటి ఉమ్మడి శీర్షం లేదా మొత్తం వైపు మినహా ఏ రెండు కోణాలకు సాధారణ పాయింట్లు లేవు.

2) ఈ ప్రతి కోణానికి, దాని ప్రతి భుజాలు ఒకదానితో ఒకటి మరియు అలాంటి మరొక కోణంతో సాధారణం.

3) ప్రతి మూలలో నుండి మీరు సాధారణ వైపులా ఉన్న మూలల వెంట ప్రతి మూలకు వెళ్లవచ్చు.

4) ఒకే విమానంలో సాధారణ వైపు ఉన్న రెండు కోణాలు లేవు (Fig. 324).

ఈ పరిస్థితిలో, పాలీహెడ్రల్ కోణాన్ని ఏర్పరుచుకునే సమతల కోణాలను దాని ముఖాలు అని పిలుస్తారు మరియు వాటి వైపులా దాని అంచులు అంటారు.

కింద ఈ నిర్వచనండైహెడ్రల్ కోణం కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు విప్పబడిన ఫ్లాట్ కోణాలతో కూడి ఉంటుంది. దాని శీర్షాన్ని దాని అంచున ఉన్న ఏదైనా బిందువుగా పరిగణించవచ్చు మరియు ఈ బిందువు అంచుని శీర్షంలో కలిసే రెండు అంచులుగా విభజిస్తుంది. కానీ శీర్షం యొక్క స్థానం లో ఈ అనిశ్చితి కారణంగా, డైహెడ్రల్ కోణం బహుభుజి కోణాల సంఖ్య నుండి మినహాయించబడుతుంది.

పి

బహుభుజి కోణం యొక్క భావన ముఖ్యమైనది, ప్రత్యేకించి, పాలిహెడ్రా అధ్యయనంలో - పాలీహెడ్రా సిద్ధాంతంలో. పాలీహెడ్రాన్ యొక్క నిర్మాణం అది ఏ ముఖాలతో తయారు చేయబడింది మరియు అవి శీర్షాల వద్ద ఎలా కలుస్తాయి, అంటే, ఏ పాలిహెడ్రల్ కోణాలు ఉన్నాయి అనే దాని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.

విభిన్న పాలిహెడ్రా యొక్క పాలిహెడ్రల్ కోణాలను పరిగణించండి.

పాలీహెడ్రల్ కోణాల ముఖాలు కుంభాకార కోణాలు కూడా కావచ్చని గమనించండి.

పాలిహెడ్రల్ కోణం

ఒక పాలిహెడ్రల్ కుహరం ద్వారా పరిమితం చేయబడిన స్థలంలో కొంత భాగం శంఖాకార ఉపరితలం, దీని దిశ స్వీయ-ఖండనలు లేని ఫ్లాట్ బహుభుజి. ఈ ఉపరితలం యొక్క ముఖాలను మొజాయిక్ యొక్క ముఖాలు అని పిలుస్తారు మరియు పైభాగాన్ని మొజాయిక్ యొక్క పైభాగం అని పిలుస్తారు. ఎం. యు. అన్నీ సమానంగా ఉంటే సరి అంటారు సరళ కోణాలుమరియు దాని అన్ని డైహెడ్రల్ కోణాలు. మెరోయ్ M. యు. వ్యాసార్థం కలిగిన గోళమైన బహుభుజి ముఖాల ఖండన ద్వారా పొందిన గోళాకార బహుభుజిచే పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం ఒకరికి సమానం, మరియు M. y యొక్క శీర్షంలో కేంద్రంతో. ఘన కోణం కూడా చూడండి.

పెద్దది సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. - M.: సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా. 1969-1978 .

ఇతర నిఘంటువులలో "పాలిహెడ్రల్ కోణం" ఏమిటో చూడండి:

ఘన కోణాన్ని చూడండి... పెద్దది ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

ఘన కోణాన్ని చూడండి. * * * పాలిహెడల్ యాంగిల్ పాలిహెడల్ యాంగిల్, సాలిడ్ యాంగిల్ చూడండి (ఘన కోణం చూడండి) ... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

పాలీహెడ్రల్ కోనిక్ యొక్క ఒక కుహరం ద్వారా పరిమితం చేయబడిన స్థలంలో కొంత భాగం. స్వీయ-ఖండనలు లేకుండా ఫ్లాట్ బహుభుజి సమూహానికి దర్శకత్వం వహించే ఉపరితలం. ఈ ఉపరితలం యొక్క ముఖాలను అంటారు. M. u. యొక్క అంచులు, M. u యొక్క శిఖరం పైభాగం. పాలిహెడ్రల్ కోణం అంటారు సరైన... మ్యాథమెటికల్ ఎన్‌సైక్లోపీడియా

ఘన కోణాన్ని చూడండి... సహజ శాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

బహుభుజి కోణం- గణితం. ఒక బిందువు (కోణం యొక్క శీర్షం) గుండా వెళుతున్న అనేక విమానాల ద్వారా పరిమితమైన స్థలంలో కొంత భాగం ... అనేక వ్యక్తీకరణల నిఘంటువు

MULTIFACETED, బహుముఖ, బహుముఖ (పుస్తకం). 1. అనేక ముఖాలు లేదా వైపులా ఉండటం. బహుముఖ రాయి. పాలీహెడ్రల్ కోణం (ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తున్న అనేక విమానాల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన స్థలం; మత్.). 2. బదిలీ...... నిఘంటువుఉషకోవా

- (మత్.). మేము ఇచ్చిన విమానంలో పాయింట్ O నుండి OA మరియు 0B సరళ రేఖలను గీసినట్లయితే, మనకు AOB కోణం లభిస్తుంది (Fig. 1). చెత్త. 1. పాయింట్ 0 అని పిలుస్తారు కోణం యొక్క శీర్షం మరియు కోణం యొక్క భుజాల వలె OA మరియు 0B సరళ రేఖలు. ΒΟΑ మరియు Β 1 Ο 1 Α 1 అనే రెండు కోణాలు ఇవ్వబడ్డాయి అనుకుందాం...

- (మత్.). మేము ఇచ్చిన విమానంలో పాయింట్ O నుండి OA మరియు 0B సరళ రేఖలను గీసినట్లయితే, మనకు AOB కోణం లభిస్తుంది (Fig. 1). చెత్త. 1. పాయింట్ 0 అని పిలుస్తారు కోణం యొక్క శీర్షం మరియు కోణం యొక్క భుజాల వలె OA మరియు 0B సరళ రేఖలు. ΒΟΑ మరియు Β1Ο1Α1 అనే రెండు కోణాలు ఇవ్వబడ్డాయి అనుకుందాం. శీర్షాలు O... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు F.A. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్

ఈ పదానికి ఇతర అర్థాలు ఉన్నాయి, కోణం (అర్థాలు) చూడండి. కోణం ∠ డైమెన్షన్ ° SI యూనిట్లు రేడియన్ ... వికీపీడియా

ఫ్లాట్, రేఖాగణిత బొమ్మ, ఒక బిందువు (ఉపరితల శీర్షం) నుండి వెలువడే రెండు కిరణాల (ఉపరితల భుజాల) ద్వారా ఏర్పడుతుంది. ప్రతి U. ఏదో ఒక వృత్తం (సెంట్రల్ U.) మధ్యలో O వద్ద శీర్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది, వృత్తంపై ఒక ఆర్క్ ABని నిర్వచిస్తుంది... ... గ్రేట్ సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

నిర్వచనాలు. అనేక కోణాలను తీసుకుందాం (Fig. 37): ASB, BSC, CSD, ఇవి ఒకదానికొకటి వరుసగా ప్రక్కనే ఉంటాయి, సాధారణ శీర్షం S చుట్టూ ఒకే విమానంలో ఉన్నాయి.

ASB కోణం యొక్క విమానం చుట్టూ తిప్పుదాం సాధారణ వైపు SB తద్వారా ఈ విమానం BSC విమానంతో ఒక నిర్దిష్ట డైహెడ్రల్ కోణాన్ని చేస్తుంది. అప్పుడు, ఫలిత డైహెడ్రల్ కోణాన్ని మార్చకుండా, మేము దానిని సరళ రేఖ SC చుట్టూ తిప్పుతాము, తద్వారా BSC విమానం CSD విమానంతో నిర్దిష్ట డైహెడ్రల్ కోణాన్ని చేస్తుంది. ప్రతి సాధారణ వైపు చుట్టూ ఈ వరుస భ్రమణాన్ని కొనసాగిద్దాం. చివరి వైపు SF మొదటి వైపు SA తో సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు ఒక ఫిగర్ ఏర్పడుతుంది (Fig. 38), దీనిని అంటారు. బహుభుజి కోణం. కోణాలను ASB, BSC,... అంటారు ఫ్లాట్ కోణాలులేదా అంచులు, వారి వైపులా SA, SB, ... అంటారు పక్కటెముకలు, మరియు సాధారణ శీర్షం S- టాప్బహుభుజి కోణం.

ప్రతి అంచు కూడా ఒక నిర్దిష్ట డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచు; కాబట్టి, ఒక బహుభుజి కోణంలో అనేక డైహెడ్రల్ కోణాలు మరియు దానిలోని అన్ని అంచులు ఉన్నన్ని సమతల కోణాలు ఉంటాయి. అతి చిన్న సంఖ్యపాలీహెడ్రల్ కోణంలో మూడు ముఖాలు ఉన్నాయి; ఈ కోణం అంటారు త్రిభుజాకార. టెట్రాహెడ్రల్, పెంటగోనల్ మొదలైన కోణాలు ఉండవచ్చు.

శీర్షం వద్ద ఉంచబడిన ఒకే అక్షరం S ద్వారా లేదా SABCDE అనే అక్షరాల శ్రేణి ద్వారా ఒక బహుభుజి కోణం సూచించబడుతుంది, వీటిలో మొదటిది శీర్షాన్ని సూచిస్తుంది మరియు ఇతరులు - వాటి స్థానం యొక్క క్రమంలో అంచులు.

పాలిహెడ్రల్ కోణాన్ని కుంభాకారంగా పిలుస్తారు, అది నిరవధికంగా విస్తరించబడిన దాని ప్రతి ముఖాల యొక్క విమానం యొక్క ఒక వైపు పూర్తిగా ఉంటే. ఇది, ఉదాహరణకు, డ్రాయింగ్ 38లో చూపబడిన కోణం. దీనికి విరుద్ధంగా, డ్రాయింగ్ 39లోని కోణాన్ని కుంభాకారంగా పిలవలేము, ఎందుకంటే ఇది ASB అంచు లేదా BCC అంచుకు రెండు వైపులా ఉంటుంది.

మేము ఒక పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని ముఖాలను ఒక విమానంతో కలుస్తే, విభాగంలో ఒక బహుభుజి ఏర్పడుతుంది ( ఎ బి సి డి ఇ ) కుంభాకార బహుభుజి కోణంలో, ఈ బహుభుజి కూడా కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

మేము కుంభాకార పాలిహెడ్రల్ కోణాలను మాత్రమే పరిశీలిస్తాము.

సిద్ధాంతం. ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి సమతల కోణం ఇతర రెండు సమతల కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ట్రైహెడ్రల్ కోణం SABC (Fig. 40)లోని సమతల కోణాలలో అతిపెద్దది ASC కోణంగా ఉండనివ్వండి.

ఈ కోణంలో ASB కోణంతో సమానమైన ASD కోణాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం మరియు ఏదో ఒక పాయింట్ D వద్ద AC ఖండన SDని సరళ రేఖను గీయండి. SB = SD ప్లాట్ చేద్దాం. A మరియు Cతో Bని కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మేము \(\Delta\)ABCని పొందుతాము, దీనిలో

AD+DC< АВ + ВС.

ASD మరియు ASB త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే అవి ప్రతి ఒక్కటి మధ్య సమాన కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి సమాన వైపులా: కాబట్టి AD = AB. కాబట్టి, ఉత్పన్నమైన అసమానతలో మనం AD మరియు AB సమాన పదాలను విస్మరిస్తే, మేము ఆ DCని పొందుతాము< ВС.

ఇప్పుడు మనం SCD మరియు SCB అనే త్రిభుజాలలో, ఒకదాని యొక్క రెండు భుజాలు ఒకదానికొకటి రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి, కానీ మూడవ భుజాలు సమానంగా ఉండవు; ఈ సందర్భంలో, పెద్ద కోణం ఈ వైపులా పెద్దదానికి ఎదురుగా ఉంటుంది; అంటే,

∠CSD< ∠ CSВ.

ఈ అసమానత యొక్క ఎడమ వైపున ASD కోణాన్ని జోడించడం ద్వారా మరియు దానికి సమానమైన కోణం ASBని కుడి వైపున చేర్చడం ద్వారా, మేము నిరూపించాల్సిన అసమానతను పొందుతాము:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

అతిపెద్ద విమానం కోణం కూడా మిగిలిన రెండు కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని మేము నిరూపించాము. దీని అర్థం సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

పర్యవసానం. ASB లేదా కోణం CSB ద్వారా చివరి అసమానత యొక్క రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి; మాకు దొరికింది:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

ఈ అసమానతలను కుడి నుండి ఎడమకు పరిగణించడం మరియు ఆ కోణం ASCని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మూడు మూలలుఇతర రెండు కోణాల వ్యత్యాసం కంటే ఎక్కువ, మేము నిర్ధారణకు వస్తాము ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి విమానం కోణం ఇతర రెండు కోణాల వ్యత్యాసం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం. కుంభాకార పాలీహెడ్రల్ కోణంలో, అన్ని సమతల కోణాల మొత్తం 4d (360°) కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. .

అంచులను దాటుదాం (Fig. 41) కుంభాకార కోణంకొంత విమానం ద్వారా SABCDE; దీని నుండి మనకు కుంభాకార క్రాస్ సెక్షన్ లభిస్తుంది n-Gon ABCDE.

A, B, C, D మరియు E పాయింట్ల వద్ద శీర్షాలు ఉన్న ప్రతి ట్రైహెడ్రల్ కోణాలకు ముందుగా నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం, మేము పాచోలిమ్:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

ఈ అసమానతలను పదం వారీగా చేర్చుదాం. అప్పుడు ఎడమ వైపున మనం బహుభుజి ABCDE యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తాన్ని పొందుతాము, ఇది 2కి సమానం. dn - 4డి , మరియు కుడి వైపున - ABS, SBC మొదలైన త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం, S శీర్షం వద్ద ఉండే కోణాలను మినహాయించి, ఈ చివరి కోణాల మొత్తాన్ని అక్షరంతో సూచిస్తుంది. X , మేము అదనంగా పొందుతాము:

2dn - 4డి < 2dn - x .

తేడాలు ఉన్నందున 2 dn - 4డి మరియు 2 dn - x minuends ఒకే విధంగా ఉంటాయి, అప్పుడు మొదటి వ్యత్యాసం రెండవదాని కంటే తక్కువగా ఉండాలంటే, subtrahend 4 అవసరం డి తగ్గింపు కంటే ఎక్కువ X ; అంటే 4 డి > X , అనగా X < 4డి .

ట్రైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం యొక్క సరళమైన సందర్భాలు

సిద్ధాంతాలు. ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు ఉంటే అవి సమానంగా ఉంటాయి:

1) రెండు తదనుగుణంగా సమానమైన మరియు ఒకేలా అంతరం ఉన్న సమతల కోణాల మధ్య సమానమైన డైహెడ్రల్ కోణంతో పాటు, లేదా

2) సమాన సమతల కోణంతో పాటు రెండు సమానమైన మరియు ఒకేలా అంతరం ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాల మధ్య ఉంటుంది.

1) S మరియు S 1 రెండు ట్రైహెడ్రల్ కోణాలుగా ఉండనివ్వండి (Fig. 42), దీని కోసం ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (మరియు ఇవి సమాన కోణాలుఒకేలా ఉంది) మరియు డైహెడ్రల్ కోణం AS డైహెడ్రల్ కోణం A 1 S 1కి సమానం.

S 1 కోణాన్ని S కోణంలోకి చొప్పిద్దాం, తద్వారా వాటి పాయింట్లు S 1 మరియు S, సరళ రేఖలు S 1 A 1 మరియు SA మరియు విమానాలు A 1 S 1 B 1 మరియు ASB సమానంగా ఉంటాయి. అప్పుడు S 1 B 1 అంచు SB వెంట వెళుతుంది (A 1 S 1 B 1 మరియు ASB కోణాల సమానత్వం కారణంగా), A 1 S 1 C 1 విమానం ASC వెంట వెళుతుంది (డైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం కారణంగా ) మరియు అంచు S 1 C 1 అంచు SC వెంట వెళుతుంది (A 1 S 1 C 1 మరియు ASC కోణాల సమానత్వం కారణంగా). అందువలన, ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు వాటి అన్ని అంచులతో సమానంగా ఉంటాయి, అనగా. వారు సమానంగా ఉంటారు.

2) రెండవ సంకేతం, మొదటిది వలె, పొందుపరచడం ద్వారా నిరూపించబడింది.

సిమెట్రిక్ పాలిహెడ్రల్ కోణాలు

తెలిసినట్లుగా, నిలువు కోణాలుమేము సరళ రేఖలు లేదా విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాల గురించి మాట్లాడుతున్నప్పుడు సమానంగా ఉంటాయి. పాలిహెడ్రల్ కోణాలకు సంబంధించి ఈ ప్రకటన నిజమో కాదో చూద్దాం.

మనం కొనసాగుదాం (Fig. 43) SABCDE కోణం యొక్క అన్ని అంచులు శీర్షం S దాటి, తర్వాత మరొక పాలిహెడ్రల్ కోణం SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ఏర్పడుతుంది, దీనిని పిలవవచ్చు నిలువుగామొదటి కోణానికి సంబంధించి. రెండు కోణాలు వరుసగా సమాన ఫ్లాట్ మరియు డైహెడ్రల్ కోణాలను కలిగి ఉన్నాయని చూడటం సులభం, కానీ రెండూ ఉన్నాయి రివర్స్ ఆర్డర్. నిజానికి, ఒక పరిశీలకుడు దాని శీర్షం వద్ద ఒక బహుముఖ కోణాన్ని వెలుపల నుండి చూస్తున్నట్లు ఊహించినట్లయితే, అప్పుడు SA, SB, SC, SD, SE అంచులు అతనికి అపసవ్య దిశలో ఉన్నట్లు అనిపించవచ్చు, అయితే SA 1 B కోణాన్ని చూస్తే 1 C 1 D 1 E 1, అతను సవ్య దిశలో ఉన్న SA 1, SB 1, ... అంచులను చూస్తాడు.

తదనుగుణంగా సమానమైన ప్లేన్ మరియు డైహెడ్రల్ కోణాలతో కూడిన బహుభుజి కోణాలు, కానీ వ్యతిరేక క్రమంలో ఉంటాయి, సాధారణంగా గూడు కట్టినప్పుడు కలపడం సాధ్యం కాదు; అంటే వారు సమానం కాదు. అటువంటి కోణాలను అంటారు సుష్టమైన(శీర్షం Sకి సంబంధించి). అంతరిక్షంలో ఉన్న బొమ్మల సమరూపత క్రింద మరింత వివరంగా చర్చించబడుతుంది.

ఇతర పదార్థాలు