కుంభాకార బహుభుజిని నిర్వచించండి. సమాంతర చతుర్భుజం భావన

బహుభుజి యొక్క కుంభాకారాన్ని నిర్ణయించడం.

కిరస్-బ్యాక్ అల్గోరిథం విండోగా ఉపయోగించే కుంభాకార బహుభుజి ఉనికిని ఊహిస్తుంది.

ఏదేమైనా, ఆచరణలో, బహుభుజిని కత్తిరించే పని చాలా తరచుగా తలెత్తుతుంది మరియు అది కుంభాకారంగా ఉందా లేదా అనే దాని గురించి సమాచారం ప్రారంభంలో ఇవ్వబడలేదు. ఈ సందర్భంలో, కట్టింగ్ విధానాన్ని ప్రారంభించే ముందు, ఏ బహుభుజి ఇవ్వబడిందో నిర్ణయించడం అవసరం - కుంభాకార లేదా కాదు.

బహుభుజి యొక్క కుంభాకారానికి కొన్ని నిర్వచనాలు ఇద్దాం

కింది షరతుల్లో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటే బహుభుజి కుంభాకారంగా పరిగణించబడుతుంది:

1) కుంభాకార బహుభుజిలో, అన్ని శీర్షాలు రేఖకు ఒక వైపున ఏదైనా అంచుని (వెంట లోపలి వైపుఇచ్చిన అంచుకు సంబంధించి);

2) బహుభుజి యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాలు 180° కంటే తక్కువగా ఉంటాయి;

3) బహుభుజి యొక్క శీర్షాలను అనుసంధానించే అన్ని వికర్ణాలు ఈ బహుభుజి లోపల ఉంటాయి;

4) బహుభుజి యొక్క అన్ని మూలలు ఒకే దిశలో ప్రయాణించబడతాయి (Fig. 3.3-1).

చివరి కుంభాకార ప్రమాణం యొక్క విశ్లేషణాత్మక ప్రాతినిధ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి, మేము వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగిస్తాము.

వెక్టర్ కళాకృతి W రెండు వెక్టర్స్ a మరియు బి (Fig. 3.3-2 a) ఇలా నిర్వచించబడింది:

A x ,a y ,a z మరియు b x ,b y ,b z అనేవి వరుసగా కారకం వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్ అక్షాలు X ,Y ,Z లపై అంచనాలు aమరియు బి,

- i, జె, కె– X, Y, Z కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో పాటు యూనిట్ వెక్టర్స్.

అన్నం.3.3 ‑ 1

అన్నం.3.3 ‑ 2

మనం బహుభుజి యొక్క ద్విమితీయ ప్రాతినిధ్యాన్ని దాని ప్రాతినిధ్యంగా పరిగణించినట్లయితే సమన్వయ విమానం XY త్రీ-డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ X,Y,Z (Fig. 3.3-2 b), తర్వాత ఏర్పడటానికి వ్యక్తీకరణ వెక్టర్ ఉత్పత్తివెక్టర్స్ యుమరియు వి, ఎక్కడ వెక్టర్స్ యుమరియు విప్రక్కనే ఉన్న అంచులు బహుభుజి యొక్క మూలను ఏర్పరుస్తాయి, వీటిని నిర్ణయాత్మకంగా వ్రాయవచ్చు:

క్రాస్ ఉత్పత్తి యొక్క వెక్టర్ కారకం వెక్టర్స్ ఉన్న సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది. ఉత్పత్తి వెక్టార్ యొక్క దిశ జిమ్లెట్ నియమం లేదా కుడి చేతి స్క్రూ నియమం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

అంజీర్లో సమర్పించబడిన కేసు కోసం. 3.3-2 బి ), వెక్టర్ W, వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తికి అనుగుణంగా వి, యు, దిశలో అదే దిశను కలిగి ఉంటుంది కోఆర్డినేట్ అక్షం Z.

ఈ సందర్భంలో ఫ్యాక్టర్ వెక్టర్స్ యొక్క Z అక్షంపై అంచనాలు సున్నాకి సమానం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఇలా సూచించవచ్చు:

(3.3-1)

యూనిట్ వెక్టర్ కెఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అందుకే వెక్టర్ యొక్క సంకేతం wవెక్టార్ ఉత్పత్తి పై వ్యక్తీకరణలో డిటర్మినెంట్ D గుర్తు ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది. కారకం వెక్టర్‌లను పరస్పరం మార్చుకునేటప్పుడు వెక్టార్ ఉత్పత్తి యొక్క ప్రాపర్టీ ఆధారంగా గమనించండి యుమరియు వివెక్టర్ గుర్తు wఎదురుగా మారుతుంది.

వెక్టర్స్‌గా ఉంటే అది అనుసరిస్తుంది విమరియు యుబహుభుజి యొక్క రెండు ప్రక్కనే ఉన్న అంచులను పరిగణించండి, అప్పుడు వెక్టర్ ఉత్పత్తిలోని వెక్టర్‌లను జాబితా చేసే క్రమాన్ని పరిశీలనలో ఉన్న బహుభుజి యొక్క మూలలో లేదా ఈ కోణాన్ని ఏర్పరిచే అంచుల ట్రావెర్సల్‌కు అనుగుణంగా ఉంచవచ్చు. బహుభుజి యొక్క కుంభాకారాన్ని నిర్ణయించడానికి క్రింది నియమాన్ని ప్రమాణంగా ఉపయోగించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

బహుభుజి యొక్క అన్ని జతల అంచుల కోసం క్రింది షరతు సంతృప్తి చెందితే:

వ్యక్తిగత కోణాల కోసం వెక్టార్ ఉత్పత్తుల సంకేతాలు ఏకీభవించకపోతే, బహుభుజి కుంభాకారంగా ఉండదు.

బహుభుజి యొక్క అంచులు వాటి ముగింపు బిందువుల కోఆర్డినేట్‌ల రూపంలో పేర్కొనబడినందున, వెక్టార్ ఉత్పత్తి యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడానికి డిటర్‌మినెంట్‌ను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఈ పాఠంలో మనం ప్రారంభిస్తాము కొత్త అంశంమరియు మా కోసం కొత్త భావనను పరిచయం చేయండి: "బహుభుజి". మేము బహుభుజాలతో అనుబంధించబడిన ప్రాథమిక భావనలను పరిశీలిస్తాము: భుజాలు, శీర్ష కోణాలు, కుంభాకారం మరియు నాన్‌కన్వెక్సిటీ. అప్పుడు నిరూపిస్తాం అత్యంత ముఖ్యమైన వాస్తవాలుమొత్త సిద్ధాంతం వంటివి అంతర్గత మూలలుబహుభుజి, మొత్తం సిద్ధాంతం బాహ్య మూలలుబహుభుజి. ఫలితంగా, మేము బహుభుజాల ప్రత్యేక కేసులను అధ్యయనం చేయడానికి దగ్గరగా ఉంటాము, ఇది తదుపరి పాఠాలలో పరిగణించబడుతుంది.

అంశం: చతుర్భుజాలు

పాఠం: బహుభుజాలు

జ్యామితి కోర్సులో, మేము రేఖాగణిత బొమ్మల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తాము మరియు వాటిలో సరళమైన వాటిని ఇప్పటికే పరిశీలించాము: త్రిభుజాలు మరియు వృత్తాలు. అదే సమయంలో, కుడి, సమద్విబాహులు మరియు సాధారణ త్రిభుజాలు వంటి ఈ బొమ్మల నిర్దిష్ట ప్రత్యేక సందర్భాలను కూడా మేము చర్చించాము. ఇప్పుడు మరింత సాధారణ మరియు గురించి మాట్లాడే సమయం వచ్చింది క్లిష్టమైన బొమ్మలు - బహుభుజాలు.

ప్రత్యేక కేసుతో బహుభుజాలుమేము ఇప్పటికే తెలిసిన - ఇది ఒక త్రిభుజం (Fig. 1 చూడండి).

అన్నం. 1. త్రిభుజం

ఇది మూడు కోణాలతో కూడిన బొమ్మ అని పేరు ఇప్పటికే నొక్కి చెబుతుంది. అందువలన, లో బహుభుజివాటిలో చాలా ఉండవచ్చు, అనగా. మూడు కంటే ఎక్కువ. ఉదాహరణకు, పెంటగాన్ గీద్దాం (Fig. 2 చూడండి), అనగా. ఐదు మూలలతో బొమ్మ.

అన్నం. 2. పెంటగాన్. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం.బహుభుజి- అనేక పాయింట్లు (రెండు కంటే ఎక్కువ) మరియు వాటిని వరుసగా కనెక్ట్ చేసే సంబంధిత విభాగాల సంఖ్యను కలిగి ఉన్న బొమ్మ. ఈ పాయింట్లు అంటారు శిఖరాలుబహుభుజి, మరియు విభాగాలు పార్టీలు. ఈ సందర్భంలో, ప్రక్కనే ఉన్న రెండు భుజాలు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండవు మరియు ప్రక్కనే లేని రెండు భుజాలు కలుస్తాయి.

నిర్వచనం.సాధారణ బహుభుజి- ఇది కుంభాకార బహుభుజి, దీనిలో అన్ని భుజాలు మరియు కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.

ఏదైనా బహుభుజివిమానాన్ని రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది: అంతర్గత మరియు బాహ్య. అంతర్గత ప్రాంతాన్ని కూడా అంటారు బహుభుజి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉదాహరణకు, వారు పెంటగాన్ గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, వారు దాని మొత్తం అంతర్గత ప్రాంతం మరియు దాని సరిహద్దు రెండింటినీ అర్థం చేసుకుంటారు. మరియు అంతర్గత ప్రాంతం బహుభుజి లోపల ఉండే అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది, అనగా. పాయింట్ పెంటగాన్‌ను కూడా సూచిస్తుంది (Fig. 2 చూడండి).

కొన్ని తెలియని కోణాల (n ముక్కలు) ఉనికి యొక్క సాధారణ సందర్భం పరిగణించబడుతుందని నొక్కిచెప్పడానికి బహుభుజాలను కొన్నిసార్లు n-gons అని కూడా పిలుస్తారు.

నిర్వచనం. బహుభుజి చుట్టుకొలత- బహుభుజి భుజాల పొడవు మొత్తం.

ఇప్పుడు మనం బహుభుజాల రకాలను తెలుసుకోవాలి. అవి విభజించబడ్డాయి కుంభాకారమరియు కాని కుంభాకార. ఉదాహరణకు, అంజీర్‌లో చూపిన బహుభుజి. 2 కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు అంజీర్‌లో ఉంటుంది. 3 కాని కుంభాకార.

అన్నం. 3. కాని కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 1. బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, దాని వైపులా ఏదైనా ఒక సరళ రేఖను గీసేటప్పుడు, మొత్తం బహుభుజిఈ సరళ రేఖకు ఒక వైపు మాత్రమే ఉంటుంది. కాని కుంభాకారఅందరూ ఉన్నారు బహుభుజాలు.

అంజీర్‌లో పెంటగాన్ యొక్క ఏదైనా వైపు విస్తరించేటప్పుడు ఊహించడం సులభం. 2 ఇవన్నీ ఈ సరళ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటాయి, అనగా. అది కుంభాకారంగా ఉంటుంది. కానీ అంజీర్‌లోని చతుర్భుజం ద్వారా సరళ రేఖను గీసేటప్పుడు. 3 ఇది రెండు భాగాలుగా విభజించబడిందని మనం ఇప్పటికే చూశాము, అనగా. అది కుంభాకారంగా లేదు.

కానీ బహుభుజి యొక్క కుంభాకారానికి మరొక నిర్వచనం ఉంది.

నిర్వచనం 2. బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, ఏదైనా రెండు ఇంటీరియర్ పాయింట్‌లను ఎంచుకుని, వాటిని సెగ్మెంట్‌తో కనెక్ట్ చేసినప్పుడు, సెగ్మెంట్‌లోని అన్ని పాయింట్‌లు కూడా బహుభుజి యొక్క అంతర్గత బిందువులు.

ఈ నిర్వచనం యొక్క ఉపయోగం యొక్క ప్రదర్శన అంజీర్‌లోని విభాగాలను నిర్మించే ఉదాహరణలో చూడవచ్చు. 2 మరియు 3.

నిర్వచనం. వికర్ణబహుభుజి అనేది రెండు ప్రక్కనే లేని శీర్షాలను కలిపే ఏదైనా విభాగం.

బహుభుజాల లక్షణాలను వివరించడానికి, రెండు ఉన్నాయి అత్యంత ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలువాటి కోణాల గురించి: ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం మీద సిద్ధాంతంమరియు ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం మీద సిద్ధాంతం. వాటిని చూద్దాం.

సిద్ధాంతం. ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం మీద (n-గోన్).

దాని కోణాల (భుజాల) సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

రుజువు 1. మనం అంజీర్‌లో చిత్రీకరిద్దాం. 4 కుంభాకార n-gon.

అన్నం. 4. కుంభాకార n-gon

శీర్షం నుండి మేము సాధ్యమయ్యే అన్ని వికర్ణాలను గీస్తాము. వారు n-gon ను త్రిభుజాలుగా విభజిస్తారు, ఎందుకంటే శీర్షానికి ప్రక్కనే ఉన్న భుజాలు మినహా బహుభుజి యొక్క ప్రతి భుజాలు ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ అన్ని త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటుందని బొమ్మ నుండి చూడటం సులభం. ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం , అప్పుడు n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం:

Q.E.D.

రుజువు 2. ఈ సిద్ధాంతానికి మరొక రుజువు సాధ్యమే. అంజీర్‌లో ఇలాంటి n-gon గీద్దాం. 5 మరియు దాని ఇంటీరియర్ పాయింట్‌లలో దేనినైనా అన్ని శీర్షాలతో కనెక్ట్ చేయండి.

అన్నం. 5.

మేము n-gon యొక్క విభజనను n త్రిభుజాలుగా పొందాము (త్రిభుజాలు ఉన్నన్ని వైపులా). వాటి అన్ని కోణాల మొత్తం బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి మరియు వద్ద ఉన్న కోణాల మొత్తానికి సమానం అంతర్గత పాయింట్, మరియు ఇది కోణం. మాకు ఉన్నాయి:

Q.E.D.

నిరూపించబడింది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం ప్రకారం, n-gon యొక్క కోణాల మొత్తం దాని భుజాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది (n పై). ఉదాహరణకు, ఒక త్రిభుజంలో, మరియు కోణాల మొత్తం . చతుర్భుజంలో, మరియు కోణాల మొత్తం, మొదలైనవి.

సిద్ధాంతం. ఒక కుంభాకార బహుభుజి బాహ్య కోణాల మొత్తం మీద (n-గోన్).

దాని కోణాల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది (భుజాలు), మరియు , ..., బాహ్య కోణాలు.

రుజువు. అంజీర్‌లో కుంభాకార n-gonని చిత్రీకరిద్దాం. 6 మరియు దాని అంతర్గత మరియు బాహ్య కోణాలను నిర్దేశించండి.

అన్నం. 6. నియమించబడిన బాహ్య కోణాలతో కుంభాకార n-gon

ఎందుకంటే బయటి మూలలో లోపలికి ప్రక్కనే కనెక్ట్ చేయబడింది మరియు అదేవిధంగా మిగిలిన బాహ్య మూలల కోసం. అప్పుడు:

పరివర్తన సమయంలో, మేము n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం గురించి ఇప్పటికే నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాము.

నిరూపించబడింది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది ఆసక్తికరమైన వాస్తవం, బాహ్య కోణాల మొత్తం కుంభాకార n-gonసమానంగా దాని కోణాల (భుజాల) సంఖ్యపై. మార్గం ద్వారా, అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి విరుద్ధంగా.

గ్రంథ పట్టిక

1. అలెగ్జాండ్రోవ్ A.D. మరియు ఇతర జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2006.
2. బుతుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B., ప్రసోలోవ్ V.V. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2011.
3. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ S.M. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

ఇంటి పని

ఈ రేఖాగణిత ఆకారాలు ప్రతిచోటా మన చుట్టూ ఉన్నాయి. కుంభాకార బహుభుజాలు తేనెగూడు లేదా కృత్రిమ (మానవ నిర్మిత) వంటి సహజమైనవి కావచ్చు. ఈ గణాంకాలు ఉత్పత్తిలో ఉపయోగించబడతాయి వివిధ రకాలపూతలు, పెయింటింగ్, ఆర్కిటెక్చర్, అలంకరణలు మొదలైనవి. కుంభాకార బహుభుజాలకు వాటి పాయింట్లన్నీ ఒక రేఖకు ఒక వైపున ఉండే ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి, ఇది ఒక జత ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాల గుండా వెళుతుంది. రేఖాగణిత బొమ్మ. ఇతర నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. ఒక కుంభాకార బహుభుజి అనేది దాని భుజాలలో ఒకదానిని కలిగి ఉన్న ఏదైనా సరళ రేఖకు సంబంధించి ఒకే అర్ధ-విమానంలో ఉంటుంది.

నాకు తెలుసు ప్రాథమిక జ్యామితిఎల్లప్పుడూ ప్రత్యేకంగా పరిగణించబడతాయి సాధారణ బహుభుజాలు. అటువంటి అన్ని లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడానికి, వాటి స్వభావాన్ని అర్థం చేసుకోవడం అవసరం. మొదట, చివరలు ఏకీభవించే ఏదైనా పంక్తిని మూసివేయడం అని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. అంతేకాకుండా, దాని ద్వారా ఏర్పడిన ఫిగర్ వివిధ కాన్ఫిగరేషన్లను కలిగి ఉంటుంది. ఒక బహుభుజి అనేది ఒక సాధారణ క్లోజ్డ్ విరిగిన లైన్, దీనిలో పొరుగు లింక్‌లు ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు. దాని లింకులు మరియు శీర్షాలు వరుసగా, ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క భుజాలు మరియు శీర్షాలు. ఒక సాధారణ పాలీలైన్ స్వీయ-ఖండనలను కలిగి ఉండకూడదు.

బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు దాని భుజాలలో ఒకదాని చివరలను సూచిస్తే వాటిని ప్రక్కనే అంటారు. కలిగి ఉన్న రేఖాగణిత బొమ్మ n వ సంఖ్యశిఖరాలు, అందువలన nవ పరిమాణంభుజాలను n-gon అంటారు. విరిగిన రేఖను ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క సరిహద్దు లేదా ఆకృతి అంటారు. బహుభుజి సమతలం లేదా ఫ్లాట్ బహుభుజి అనేది దానితో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఏదైనా విమానం యొక్క పరిమిత భాగం. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క పొరుగు భుజాలు ఒక శీర్షం నుండి వెలువడే విరిగిన రేఖ యొక్క భాగాలు. బహుభుజి యొక్క వివిధ శీర్షాల నుండి వచ్చినట్లయితే అవి ప్రక్కనే ఉండవు.

కుంభాకార బహుభుజాల ఇతర నిర్వచనాలు

ప్రాథమిక జ్యామితిలో, అర్థంతో సమానమైన అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నాయి, ఏ బహుభుజిని కుంభాకారంగా పిలుస్తారు. అంతేకాకుండా, ఈ సూత్రీకరణలన్నీ అదే స్థాయికినిజమే. ఒక బహుభుజి కుంభాకారంగా పరిగణించబడుతుంది:

దాని లోపల ఏదైనా రెండు పాయింట్లను కలిపే ప్రతి విభాగం పూర్తిగా దానిలోనే ఉంటుంది;

దాని అన్ని వికర్ణాలు దాని లోపల ఉన్నాయి;

ఏదైనా అంతర్గత కోణం 180° మించదు.

ఒక బహుభుజి ఎల్లప్పుడూ ఒక విమానాన్ని 2 భాగాలుగా విభజిస్తుంది. వాటిలో ఒకటి పరిమితంగా ఉంటుంది (ఇది సర్కిల్‌లో మూసివేయబడుతుంది), మరియు మరొకటి అపరిమితంగా ఉంటుంది. మొదటిది అంతర్గత ప్రాంతం అని పిలుస్తారు మరియు రెండవది ఈ రేఖాగణిత వ్యక్తి యొక్క బాహ్య ప్రాంతం. ఈ బహుభుజి అనేక అర్ధ-విమానాల ఖండన (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ భాగం). అంతేకాకుండా, బహుభుజికి చెందిన బిందువుల వద్ద ముగిసే ప్రతి విభాగం పూర్తిగా దానికి చెందినది.

కుంభాకార బహుభుజాల రకాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క నిర్వచనం అనేక రకాలు ఉన్నాయని సూచించదు. అంతేకాక, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట ప్రమాణాలను కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, 180°కి సమానమైన అంతర్గత కోణాన్ని కలిగి ఉండే కుంభాకార బహుభుజాలను బలహీనంగా కుంభాకారంగా పిలుస్తారు. మూడు శీర్షాలను కలిగి ఉండే ఒక కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మను త్రిభుజం అని పిలుస్తారు, నాలుగు - ఒక చతుర్భుజం, ఐదు - ఒక పెంటగాన్, మొదలైనవి. కుంభాకార n-గాన్‌లలో ప్రతి ఒక్కటి క్రింది అత్యంత ముఖ్యమైన అవసరాలను తీరుస్తుంది: n తప్పనిసరిగా 3కి సమానంగా లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉండాలి. త్రిభుజాలు కుంభాకారంగా ఉంటాయి. రేఖాగణిత బొమ్మ ఈ రకం, ఒకే సర్కిల్‌లో ఉన్న అన్ని శీర్షాలను సర్కిల్‌లో లిఖించబడినవి అంటారు. ఒక కుంభాకార బహుభుజి వృత్తానికి సమీపంలో ఉన్న అన్ని వైపులా తాకినట్లయితే దానిని చుట్టుకొలత అంటారు. రెండు బహుభుజాలను సూపర్‌పొజిషన్ ద్వారా ఒకచోట చేర్చగలిగితేనే అవి సర్వసమానంగా ఉంటాయి. ప్లేన్ బహుభుజి అనేది ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన బహుభుజి విమానం (విమానం యొక్క భాగం).

సాధారణ కుంభాకార బహుభుజాలు

సాధారణ బహుభుజాలు రేఖాగణిత బొమ్మలు సమాన కోణాలుమరియు పార్టీలు. వాటి లోపల ఒక పాయింట్ 0 ఉంది, ఇది దాని ప్రతి శీర్షాల నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటుంది. దీనిని ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క కేంద్రం అంటారు. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాలతో కేంద్రాన్ని కలిపే విభాగాలను అపోథెమ్స్ అని పిలుస్తారు మరియు పాయింట్ 0ని భుజాలతో అనుసంధానించేవి రేడియాలు.

ఒక సాధారణ చతుర్భుజం ఒక చతురస్రం. సాధారణ త్రిభుజంసమబాహు అంటారు. అటువంటి బొమ్మల కోసం, క్రింది నియమం ఉంది: కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం 180° * (n-2)/ n,

ఇక్కడ n అనేది ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాల సంఖ్య.

ఏదైనా ప్రాంతం సాధారణ బహుభుజిసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ p అనేది ఇచ్చిన బహుభుజి యొక్క అన్ని భుజాల మొత్తానికి సగానికి సమానం మరియు h అనేది అపోథెమ్ యొక్క పొడవుకు సమానం.

కుంభాకార బహుభుజాల లక్షణాలు

కుంభాకార బహుభుజాలు ఉన్నాయి కొన్ని లక్షణాలు. అందువల్ల, అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క ఏదైనా 2 పాయింట్లను కలిపే సెగ్మెంట్ తప్పనిసరిగా అందులో ఉంటుంది. రుజువు:

P ఇచ్చిన కుంభాకార బహుభుజి అని అనుకుందాం. 2 తీసుకోండి ఏకపక్ష పాయింట్లు, ఉదాహరణకు, A, B, ఇది R. Poకి చెందినది ఇప్పటికే ఉన్న నిర్వచనంఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క, ఈ బిందువులు రేఖకు ఒక వైపున ఉంటాయి, దీనిలో ఏదైనా వైపు P ఉంటుంది. తత్ఫలితంగా, AB కూడా ఈ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు Pలో ఉంటుంది. ఒక కుంభాకార బహుభుజి ఎల్లప్పుడూ అన్ని వికర్ణాల ద్వారా అనేక త్రిభుజాలుగా విభజించబడుతుంది. దాని శీర్షాలలో ఒకదాని నుండి తీసుకోబడ్డాయి.

కుంభాకార రేఖాగణిత ఆకృతుల కోణాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క కోణాలు దాని భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాలు. ఇచ్చిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అంతర్గత ప్రాంతంలో అంతర్గత కోణాలు ఉన్నాయి. ఒక శీర్షంలో కలిసే దాని భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాన్ని కుంభాకార బహుభుజి కోణం అంటారు. ఇచ్చిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అంతర్గత కోణాలను బాహ్యంగా పిలుస్తారు. దాని లోపల ఉన్న కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం దీనికి సమానం:

ఇక్కడ x అనేది బాహ్య కోణం యొక్క పరిమాణం. ఈ సాధారణ సూత్రంఈ రకమైన ఏదైనా రేఖాగణిత బొమ్మలకు వర్తిస్తుంది.

IN సాధారణ కేసు, బాహ్య కోణాల కోసం ఉంది క్రింది నియమం: ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం 180° మరియు అంతర్గత కోణం పరిమాణం మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం. ఇది -180° నుండి 180° వరకు విలువలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, అంతర్గత కోణం 120° ఉన్నప్పుడు, బాహ్య కోణం 60° అవుతుంది.

కుంభాకార బహుభుజాల కోణాల మొత్తం

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ n అనేది n-gon యొక్క శీర్షాల సంఖ్య.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క కోణాల మొత్తం చాలా సరళంగా లెక్కించబడుతుంది. అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మను పరిగణించండి. ఒక కుంభాకార బహుభుజి లోపల కోణాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు దాని శీర్షాలలో ఒకదానిని ఇతర శీర్షాలకు కనెక్ట్ చేయాలి. ఈ చర్య ఫలితంగా, (n-2) త్రిభుజాలు పొందబడతాయి. ఏదైనా త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180°కి సమానం అని తెలుసు. ఏదైనా బహుభుజిలో వాటి సంఖ్య (n-2) కాబట్టి, అటువంటి బొమ్మ యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180° x (n-2)కి సమానం.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క కోణాల మొత్తం, అవి ఏదైనా రెండు అంతర్గత మరియు ప్రక్కనే ఉన్న బాహ్య కోణాలు, ఇచ్చిన కుంభాకార రేఖాగణిత ఆకృతికి ఎల్లప్పుడూ 180°కి సమానంగా ఉంటుంది. దీని ఆధారంగా, మేము దాని అన్ని కోణాల మొత్తాన్ని గుర్తించవచ్చు:

అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180° * (n-2). దీని ఆధారంగా, ఇచ్చిన బొమ్మ యొక్క అన్ని బాహ్య కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

ఏదైనా కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 360° (భుజాల సంఖ్యతో సంబంధం లేకుండా) ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణం సాధారణంగా 180° మరియు అంతర్గత కోణం విలువ మధ్య వ్యత్యాసంతో సూచించబడుతుంది.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ఇతర లక్షణాలు

ఈ రేఖాగణిత ఆకృతుల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలతో పాటు, వాటిని తారుమారు చేసేటప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే ఇతరులను కూడా కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, బహుభుజాలలో దేనినైనా అనేక కుంభాకార n-గాన్‌లుగా విభజించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు దాని ప్రతి వైపును కొనసాగించాలి మరియు ఈ సరళ రేఖల వెంట ఈ రేఖాగణిత బొమ్మను కత్తిరించాలి. ఏదైనా బహుభుజిని అనేక కుంభాకార భాగాలుగా విభజించడం కూడా సాధ్యమే, తద్వారా ప్రతి ముక్క యొక్క శీర్షాలు దాని అన్ని శీర్షాలతో సమానంగా ఉంటాయి. అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మ నుండి, మీరు ఒక శీర్షం నుండి అన్ని వికర్ణాలను గీయడం ద్వారా చాలా సరళంగా త్రిభుజాలను తయారు చేయవచ్చు. అందువల్ల, ఏదైనా బహుభుజిని చివరికి నిర్దిష్ట సంఖ్యలో త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు, ఇది పరిష్కరించడంలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది వివిధ పనులుఅటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మలతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి చుట్టుకొలత

విరిగిన పంక్తి విభాగాలు, బహుభుజి యొక్క భుజాలు అని పిలుస్తారు, ఇవి చాలా తరచుగా క్రింది అక్షరాలతో సూచించబడతాయి: ab, bc, cd, de, ea. ఇవి a, b, c, d, e శీర్షాలతో కూడిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క భుజాలు. ఈ కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అన్ని భుజాల పొడవుల మొత్తాన్ని దాని చుట్టుకొలత అంటారు.

బహుభుజి యొక్క వృత్తం

కుంభాకార బహుభుజాలను చెక్కవచ్చు లేదా చుట్టుముట్టవచ్చు. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అన్ని వైపులా తాకిన ఒక వృత్తాన్ని దానిలో లిఖించినట్లు పిలుస్తారు. అటువంటి బహుభుజిని చుట్టుకొలత అంటారు. బహుభుజిలో లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం, ఇచ్చిన రేఖాగణిత చిత్రంలో అన్ని కోణాల ద్విభాగాల ఖండన బిందువు. అటువంటి బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం దీనికి సమానం:

ఇక్కడ r అనేది లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, మరియు p అనేది ఇచ్చిన బహుభుజి యొక్క అర్ధ-పరిధి.

బహుభుజి యొక్క శీర్షాలను కలిగి ఉన్న వృత్తాన్ని దాని గురించి చుట్టుముట్టబడినది అంటారు. ఈ సందర్భంలో, ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మను చెక్కబడినది అని పిలుస్తారు. అటువంటి బహుభుజి చుట్టూ వివరించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం, అన్ని వైపులా లంబంగా పిలవబడే ద్విభాగాల ఖండన స్థానం.

కుంభాకార రేఖాగణిత ఆకృతుల వికర్ణాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క వికర్ణాలు అనుసంధానించే విభాగాలు పొరుగు శిఖరాలు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ లోపల ఉంటుంది. అటువంటి n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

N = n (n - 3)/ 2.

కుంభాకార బహుభుజి ప్లేస్ యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య ముఖ్యమైన పాత్రప్రాథమిక జ్యామితిలో. ప్రతి కుంభాకార బహుభుజిని విభజించగల త్రిభుజాల సంఖ్య (K) క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ దాని శీర్షాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి విభజన

కొన్ని సందర్భాల్లో, పరిష్కరించడానికి రేఖాగణిత సమస్యలుఒక కుంభాకార బహుభుజిని అనేక త్రిభుజాలుగా అవ్యక్త వికర్ణాలతో విభజించడం అవసరం. ఈ సమస్య ఒక నిర్దిష్ట సూత్రాన్ని పొందడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమస్య యొక్క నిర్వచనం: ఒక కుంభాకార n-gon యొక్క నిర్దిష్ట విభజనను ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాల వద్ద మాత్రమే వికర్ణాలు కలుస్తూ అనేక త్రిభుజాలుగా సరిచేద్దాం.

పరిష్కారం: P1, P2, P3..., Pn ఈ n-gon యొక్క శీర్షాలు అని అనుకుందాం. సంఖ్య Xn దాని విభజనల సంఖ్య. రేఖాగణిత ఫిగర్ Pi Pn యొక్క ఫలిత వికర్ణాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలిద్దాం. దేనిలోనైనా సరైన విభజనలుР1 Pn అనేది ఒక నిర్దిష్ట త్రిభుజం Р1 Pi Pnకి చెందినది, ఇందులో 1 ఉంటుంది

i = 2 సాధారణ విభజనల సమూహంగా ఉండనివ్వండి, ఎల్లప్పుడూ వికర్ణ P2 Pn ఉంటుంది. దానిలో చేర్చబడిన విభజనల సంఖ్య (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn యొక్క విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది Xn-1కి సమానం.

i = 3 అయితే, ఈ ఇతర విభజనల సమూహం ఎల్లప్పుడూ P3 P1 మరియు P3 Pn అనే వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఈ సమూహంలో ఉన్న సాధారణ విభజనల సంఖ్య (n-2)-gon P3 P4... Pn యొక్క విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది Xn-2కి సమానంగా ఉంటుంది.

i = 4 లెట్, అప్పుడు త్రిభుజాలలో సరైన విభజన ఖచ్చితంగా P1 P4 Pn అనే త్రిభుజాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది చతుర్భుజ P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn ప్రక్కనే ఉంటుంది. అటువంటి చతుర్భుజం యొక్క సాధారణ విభజనల సంఖ్య X4, మరియు (n-3)-gon యొక్క విభజనల సంఖ్య Xn-3. పైన పేర్కొన్న అన్నింటి ఆధారంగా, ఈ సమూహంలో ఉన్న సాధారణ విభజనల మొత్తం సంఖ్య Xn-3 X4కి సమానం అని మేము చెప్పగలం. ఇతర సమూహాలు i = 4, 5, 6, 7... Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... సాధారణ విభజనలను కలిగి ఉంటాయి.

i = n-2 లెట్, అప్పుడు ఈ సమూహంలోని సరైన విభజనల సంఖ్య i=2 (ఇతర మాటలలో, Xn-1కి సమానం) సమూహంలోని విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... కాబట్టి, కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అన్ని విభజనల సంఖ్య దీనికి సమానం:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

లోపల ఒక వికర్ణాన్ని కలుస్తున్న సాధారణ విభజనల సంఖ్య

ప్రత్యేక సందర్భాలను తనిఖీ చేస్తున్నప్పుడు, కుంభాకార n-gons యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య (n-3)లోని ఈ సంఖ్య యొక్క అన్ని విభజనల ఉత్పత్తికి సమానం అనే ఊహకు రావచ్చు.

ఈ ఊహ యొక్క రుజువు: P1n = Xn * (n-3) అని ఊహించుకోండి, అప్పుడు ఏదైనా n-gon (n-2) -త్రిభుజాలుగా విభజించబడవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, వాటి నుండి (n-3) -చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది. దీనితో పాటు, ప్రతి చతుర్భుజం ఒక వికర్ణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత చిత్రంలో రెండు వికర్ణాలను గీయవచ్చు కాబట్టి, అదనపు (n-3) వికర్ణాలను ఏదైనా (n-3)-చతుర్భుజాలలో గీయవచ్చు. దీని ఆధారంగా, ఏదైనా సాధారణ విభజనలో ఈ సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా (n-3) - వికర్ణాలను గీయడం సాధ్యమవుతుందని మేము నిర్ధారించగలము.

కుంభాకార బహుభుజాల ప్రాంతం

తరచుగా, ప్రాథమిక జ్యామితి యొక్క వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. (Xi. Yi), i = 1,2,3... n అనేది స్వీయ-ఖండనలు లేని బహుభుజి యొక్క అన్ని పొరుగు శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌ల క్రమం అని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, దాని ప్రాంతం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

ఎక్కడ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

ఒక విమానంలో బిందువుల కుంభాకార సమితి.

ఒక విమానంలో లేదా త్రిమితీయ స్థలంలో ఉన్న పాయింట్ల సమితిని అంటారు కుంభాకార, ఈ సెట్‌లోని ఏవైనా రెండు పాయింట్లు ఈ సెట్‌లో పూర్తిగా ఉండే లైన్ సెగ్మెంట్ ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడితే.

సిద్ధాంతం 1. పరిమిత సంఖ్యలో కుంభాకార సెట్ల ఖండన ఒక కుంభాకార సమితి.

పర్యవసానం.పరిమిత సంఖ్యలో కుంభాకార సెట్ల ఖండన ఒక కుంభాకార సమితి.

కార్నర్ పాయింట్లు.

కుంభాకార సమితి యొక్క సరిహద్దు బిందువు అంటారు కోణీయ, దాని ద్వారా ఒక విభాగాన్ని గీయడం సాధ్యమైతే, అన్ని పాయింట్లు ఇచ్చిన సెట్‌కు చెందినవి కావు.

విభిన్న ఆకృతుల సెట్‌లు పరిమిత లేదా అనంతమైన మూల పాయింట్‌లను కలిగి ఉంటాయి.

కుంభాకార బహుభుజి.

బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, అది దాని పొరుగు శీర్షాలలో రెండు గుండా వెళుతున్న ప్రతి పంక్తికి ఒక వైపున ఉంటే.

సిద్ధాంతం: ఒక కుంభాకార n-gon కోణాల మొత్తం 180˚ *(n-2)

6) రెండు వేరియబుల్స్‌తో m లీనియర్ అసమానతలను పరిష్కరించే వ్యవస్థలు

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది

కొన్ని లేదా అన్ని అసమానతల సంకేతాలు ≥ కావచ్చు.

X1OX2 కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని మొదటి అసమానతను పరిశీలిద్దాం. సరళ రేఖను నిర్మిస్తాం

ఇది సరిహద్దు రేఖ.

ఈ సరళ రేఖ విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలు 1 మరియు 2గా విభజిస్తుంది (Fig. 19.4).

హాఫ్-ప్లేన్ 1 మూలాన్ని కలిగి ఉంది, సగం-విమానం 2 మూలాన్ని కలిగి ఉండదు.

ఇచ్చిన సగం-విమానం ఉన్న సరిహద్దు రేఖ యొక్క ఏ వైపున ఉన్నదో నిర్ణయించడానికి, మీరు విమానంలో ఏకపక్ష బిందువును తీసుకోవాలి (ప్రాధాన్యంగా మూలం) మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి. అసమానత నిజమైతే, అది నిజం కాకపోతే, ఆ బిందువుకు వ్యతిరేక దిశలో సగం విమానం ఉంటుంది.

సగం విమానం యొక్క దిశ బాణంతో బొమ్మలలో చూపబడింది.

నిర్వచనం 15. సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారం సరిహద్దు రేఖను కలిగి ఉన్న సగం-విమానం మరియు దాని యొక్క ఒక వైపున ఉంది.

నిర్వచనం 16. సగం-విమానాల ఖండన, ప్రతి ఒక్కటి సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, దీనిని సిస్టమ్ (SO) యొక్క పరిష్కార డొమైన్ అంటారు.

నిర్వచనం 17. ప్రతికూలత లేని పరిస్థితులను (xj ≥ 0, j =) సంతృప్తిపరిచే సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కార ప్రాంతాన్ని ప్రతికూల, లేదా ఆమోదయోగ్యమైన, పరిష్కారాల ప్రాంతం (ADS) అంటారు.

అసమానతల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు OR మరియు ODR ఒక పాలిహెడ్రాన్, అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం లేదా ఒకే పాయింట్ కావచ్చు.

అసమానతల వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంటే, OR మరియు ODR ఒక ఖాళీ సెట్.

ఉదాహరణ 1. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి మరియు ODE యొక్క మూల బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి

పరిష్కారం. మొదటి అసమానత యొక్క OR ను కనుగొనండి: x1 + 3x2 ≥ 3. సరిహద్దు రేఖ x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5)ను నిర్మిస్తాము. పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలోకి మారుద్దాం: 1∙0 + 3∙0 > 3; పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దానిని సంతృప్తిపరచవు కాబట్టి, అసమానతకు పరిష్కారం (19.1) అనేది పాయింట్ (0,0)ని కలిగి లేని సగం-విమానం.

అలాగే వ్యవస్థలోని మిగిలిన అసమానతలకు కూడా పరిష్కారాలను వెతుకుదాం. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODE ఒక కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్ ABCD అని మేము పొందుతాము.

పాలిహెడ్రాన్ యొక్క మూల బిందువులను కనుగొనండి. మేము పాయింట్ A ని పంక్తుల ఖండన బిందువుగా నిర్వచించాము

వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము A (3/7, 6/7) పొందుతాము.

పంక్తుల ఖండన బిందువుగా మేము పాయింట్ Bని కనుగొంటాము

సిస్టమ్ నుండి మేము B (5/3, 10/3) పొందుతాము. అదేవిధంగా, C మరియు D పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మేము కనుగొంటాము: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

ఉదాహరణ 2. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మిస్తాము మరియు అసమానతలకు పరిష్కారాలను నిర్ణయిస్తాము (19.5)-(19.7). OR మరియు ODR వరుసగా అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతాలు ACFM మరియు ABDEKM (Fig. 19.6).

ఉదాహరణ 3. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. అసమానతలకు (19.8)-(19.10) పరిష్కారాలను కనుగొనండి (Fig. 19.7). OR అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం ABCని సూచిస్తుంది; ODR - పాయింట్ B.

ఉదాహరణ 4. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OP మరియు ODPని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మించడం ద్వారా, వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలకు మేము పరిష్కారాలను కనుగొంటాము. OR మరియు ODR అననుకూలమైనవి (Fig. 19.8).

వ్యాయామాలు

అసమానతల వ్యవస్థల యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, .

రుజువు. xn ® a నుండి అది అనుసరిస్తుంది. అదే సమయంలో:

, అనగా , అనగా . సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, సీక్వెన్స్ (xn) కట్టుబడి ఉంటుంది.

సంభాషణ ప్రకటన నిజం కాదని గమనించాలి, అనగా. క్రమం యొక్క సరిహద్దు దాని కలయికను సూచించదు.

ఉదాహరణకు, క్రమం అయినప్పటికీ పరిమితి లేదు

పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ.

విధులను అధ్యయనం చేయడం, భేదం, ఏకీకరణ, అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, పరిమితులను లెక్కించడం, ఫంక్షన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువలను లెక్కించడం వంటి వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ చాలా ముఖ్యమైనది.

బహుభుజి భావన

నిర్వచనం 1

బహుభుజిఅనేది ఒక విమానంలో ఒక రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇది జతలలో అనుసంధానించబడిన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది, ప్రక్కనే ఉన్నవి ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు.

ఈ సందర్భంలో, విభాగాలు అంటారు బహుభుజి వైపులా, మరియు వాటి చివరలు - బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు.

నిర్వచనం 2

$n$-gon అనేది $n$ శీర్షాలతో కూడిన బహుభుజి.

బహుభుజాల రకాలు

నిర్వచనం 3

ఒక బహుభుజి దాని ప్రక్కల గుండా వెళుతున్న ఏదైనా రేఖకు ఎల్లప్పుడూ ఒకే వైపున ఉంటే, దానిని బహుభుజి అంటారు కుంభాకార(చిత్రం 1).

మూర్తి 1. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 4

ఒక బహుభుజి దాని భుజాల గుండా కనీసం ఒక సరళ రేఖకు ఎదురుగా ఉన్నట్లయితే, ఆ బహుభుజిని నాన్-కుంభాకార (Fig. 2) అంటారు.

మూర్తి 2. కాని కుంభాకార బహుభుజి

బహుభుజి కోణాల మొత్తం

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తంపై ఒక సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

సిద్ధాంతం 1

ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

రుజువు.

మాకు ఒక కుంభాకార బహుభుజి $A_1A_2A_3A_4A_5\చుక్కలు A_n$ ఇవ్వబడాలి. ఈ బహుభుజి యొక్క అన్ని ఇతర శీర్షాలతో దాని శీర్ష $A_1$ని కనెక్ట్ చేద్దాం (Fig. 3).

మూర్తి 3.

ఈ కనెక్షన్‌తో మనకు $n-2$ త్రిభుజాలు లభిస్తాయి. వాటి కోణాలను సంగ్రహించడం ద్వారా మనం ఇచ్చిన -గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తాన్ని పొందుతాము. త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(180)^0,$కి సమానం కనుక ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము పొందుతాము

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

చతుర్భుజం యొక్క భావన

$2$ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, చతుర్భుజం యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడం సులభం.

నిర్వచనం 5

చతుర్భుజం అనేది $4$ శీర్షాలతో కూడిన బహుభుజి (Fig. 4).

మూర్తి 4. చతుర్భుజం

చతుర్భుజం కోసం, కుంభాకార చతుర్భుజం మరియు కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క భావనలు అదేవిధంగా నిర్వచించబడ్డాయి. కుంభాకార చతుర్భుజాల యొక్క క్లాసిక్ ఉదాహరణలు చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రాపజోయిడ్, రాంబస్, సమాంతర చతుర్భుజం (Fig. 5).

మూర్తి 5. కుంభాకార చతుర్భుజాలు

సిద్ధాంతం 2

కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(360)^0$

రుజువు.

సిద్ధాంతం $1$ ద్వారా, కుంభాకార-గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మనకు తెలుసు

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

కాబట్టి, కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

\[\ఎడమ(4-2\కుడి)\cdot (180)^0=(360)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.