కుంభాకార n త్రిభుజం యొక్క నిర్వచనం. రుజువు: వికర్ణ ACని గీయండి

ఒక విమానంలో బిందువుల కుంభాకార సమితి.

విమానంలో లేదా లోపల చాలా పాయింట్లు త్రిమితీయ స్థలంఅని పిలిచారు కుంభాకార, ఈ సెట్‌లోని ఏవైనా రెండు పాయింట్లు ఈ సెట్‌లో పూర్తిగా ఉండే లైన్ సెగ్మెంట్ ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడితే.

సిద్ధాంతం 1. కూడలి పరిమిత సంఖ్యకుంభాకార సమితులు ఒక కుంభాకార సమితి.

పర్యవసానం.పరిమిత సంఖ్యలో కుంభాకార సెట్ల ఖండన ఒక కుంభాకార సమితి.

కార్నర్ పాయింట్లు.

సరిహద్దు పాయింట్ కుంభాకార సెట్అని పిలిచారు కోణీయ, దాని ద్వారా ఒక విభాగాన్ని గీయడం సాధ్యమైతే, అన్ని పాయింట్లు ఇచ్చిన సెట్‌కు చెందినవి కావు.

విభిన్న ఆకృతుల సెట్లు పరిమిత లేదా కలిగి ఉంటాయి అనంతమైన సంఖ్యమూలలో పాయింట్లు.

కుంభాకార బహుభుజి.

బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, అది దాని పొరుగు శీర్షాలలో రెండు గుండా వెళుతున్న ప్రతి పంక్తికి ఒక వైపున ఉంటే.

సిద్ధాంతం: ఒక కుంభాకార n-gon కోణాల మొత్తం 180˚ *(n-2)

6) వ్యవస్థల పరిష్కారం m సరళ అసమానతలురెండు వేరియబుల్స్‌తో

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది

కొన్ని లేదా అన్ని అసమానతల సంకేతాలు ≥ కావచ్చు.

X1OX2 కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని మొదటి అసమానతను పరిశీలిద్దాం. సరళ రేఖను నిర్మిస్తాం

ఇది సరిహద్దు రేఖ.

ఈ సరళ రేఖ విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలు 1 మరియు 2గా విభజిస్తుంది (Fig. 19.4).

హాఫ్-ప్లేన్ 1 మూలాన్ని కలిగి ఉంది, సగం-విమానం 2 మూలాన్ని కలిగి ఉండదు.

ఇచ్చిన సగం-విమానం సరిహద్దు రేఖ యొక్క ఏ వైపున ఉందో నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసుకోవాలి ఏకపక్ష పాయింట్విమానంలో (ప్రాధాన్యంగా మూలం) మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. అసమానత నిజమైతే, సగం విమానం ఈ బిందువు వైపు ఉంటుంది; అది నిజం కాకపోతే, పాయింట్ వ్యతిరేక దిశలో.

సగం విమానం యొక్క దిశ బాణంతో బొమ్మలలో చూపబడింది.

నిర్వచనం 15. సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారం సరిహద్దు రేఖను కలిగి ఉన్న సగం-విమానం మరియు దాని యొక్క ఒక వైపున ఉంది.

నిర్వచనం 16. సగం-విమానాల ఖండన, ప్రతి ఒక్కటి సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, దీనిని సిస్టమ్ (SO) యొక్క పరిష్కార డొమైన్ అంటారు.

నిర్వచనం 17. ప్రతికూలత లేని పరిస్థితులను (xj ≥ 0, j =) సంతృప్తిపరిచే సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కార ప్రాంతాన్ని ప్రతికూల, లేదా ఆమోదయోగ్యమైన, పరిష్కారాల ప్రాంతం (ADS) అంటారు.

అసమానతల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు OR మరియు ODR ఒక పాలిహెడ్రాన్, అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం లేదా ఒకే పాయింట్ కావచ్చు.

అసమానతల వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంటే, OR మరియు ODR ఖాళీ సెట్.

ఉదాహరణ 1. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి మరియు ODE యొక్క మూల బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి

పరిష్కారం. మొదటి అసమానత యొక్క OR ను కనుగొనండి: x1 + 3x2 ≥ 3. సరిహద్దు రేఖ x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5)ను నిర్మిస్తాము. పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలోకి మారుద్దాం: 1∙0 + 3∙0 > 3; పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దానిని సంతృప్తిపరచవు కాబట్టి, అసమానతకు పరిష్కారం (19.1) అనేది పాయింట్ (0,0)ని కలిగి లేని సగం-విమానం.

అలాగే వ్యవస్థలోని మిగిలిన అసమానతలకు కూడా పరిష్కారాలను వెతుకుదాం. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODE అని మేము పొందుతాము కుంభాకార బహుభుజిఎ బి సి డి.

మేము కనుగొంటాము మూలలో పాయింట్లుబహుభుజి. మేము పాయింట్ A ని పంక్తుల ఖండన బిందువుగా నిర్వచించాము

వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము A (3/7, 6/7) పొందుతాము.

పంక్తుల ఖండన బిందువుగా మేము పాయింట్ Bని కనుగొంటాము

సిస్టమ్ నుండి మేము B (5/3, 10/3) పొందుతాము. అదేవిధంగా, C మరియు D పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మేము కనుగొంటాము: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

ఉదాహరణ 2. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మిస్తాము మరియు అసమానతలకు పరిష్కారాలను నిర్ణయిస్తాము (19.5)-(19.7). OR మరియు ODR వరుసగా ACFM మరియు ABDEKM అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతాలు (Fig. 19.6).

ఉదాహరణ 3. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. అసమానతలకు (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7) పరిష్కారాలను కనుగొనండి. OR అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం ABCని సూచిస్తుంది; ODR - పాయింట్ B.

ఉదాహరణ 4. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OP మరియు ODPని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మించడం ద్వారా, మేము వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలకు పరిష్కారాలను కనుగొంటాము. OR మరియు ODR అననుకూలమైనవి (Fig. 19.8).

వ్యాయామాలు

అసమానతల వ్యవస్థల యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, .

రుజువు. xn ® a నుండి అది అనుసరిస్తుంది. అదే సమయంలో:

, అనగా , అనగా . సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, సీక్వెన్స్ (xn) పరిమితం చేయబడింది.

సంభాషణ ప్రకటన నిజం కాదని గమనించాలి, అనగా. క్రమం యొక్క సరిహద్దు దాని కలయికను సూచించదు.

ఉదాహరణకు, క్రమం అయినప్పటికీ పరిమితి లేదు

పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ.

లో ఫంక్షన్ల విస్తరణ శక్తి సిరీస్ఇది కలిగి ఉంది గొప్ప ప్రాముఖ్యతపరిష్కారాల కోసం వివిధ పనులువిధుల పరిశోధన, భేదం, ఏకీకరణ, పరిష్కారాలు అవకలన సమీకరణాలు, పరిమితుల గణన, ఫంక్షన్ యొక్క సుమారు విలువల గణన.

ఈ పాఠంలో మనం ప్రారంభిస్తాము కొత్త అంశంమరియు మా కోసం ఒక కొత్త భావనను పరిచయం చేయండి: "బహుభుజి". మేము బహుభుజాలతో అనుబంధించబడిన ప్రాథమిక భావనలను పరిశీలిస్తాము: భుజాలు, శీర్ష కోణాలు, కుంభాకారం మరియు నాన్‌కన్వెక్సిటీ. అప్పుడు నిరూపిస్తాం అత్యంత ముఖ్యమైన వాస్తవాలుమొత్త సిద్ధాంతం వంటివి అంతర్గత మూలలుబహుభుజి, మొత్తం సిద్ధాంతం బాహ్య మూలలుబహుభుజి. ఫలితంగా, మేము బహుభుజాల ప్రత్యేక కేసులను అధ్యయనం చేయడానికి దగ్గరగా ఉంటాము, ఇది తదుపరి పాఠాలలో పరిగణించబడుతుంది.

అంశం: చతుర్భుజాలు

పాఠం: బహుభుజాలు

జ్యామితి కోర్సులో మేము లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తాము రేఖాగణిత ఆకారాలుమరియు ఇప్పటికే వాటిలో సరళమైనవిగా పరిగణించబడ్డాయి: త్రిభుజాలు మరియు వృత్తాలు. అదే సమయంలో, దీర్ఘచతురస్రాకారం, సమద్విబాహులు మరియు వంటి ఈ బొమ్మల యొక్క నిర్దిష్ట ప్రత్యేక సందర్భాలను కూడా మేము చర్చించాము. సాధారణ త్రిభుజాలు. ఇప్పుడు మరింత సాధారణ మరియు గురించి మాట్లాడే సమయం వచ్చింది క్లిష్టమైన బొమ్మలు - బహుభుజాలు.

ప్రత్యేక కేసుతో బహుభుజాలుమేము ఇప్పటికే తెలిసిన - ఇది ఒక త్రిభుజం (Fig. 1 చూడండి).

అన్నం. 1. త్రిభుజం

ఇది మూడు కోణాలతో కూడిన బొమ్మ అని పేరు ఇప్పటికే నొక్కి చెబుతుంది. అందువలన, లో బహుభుజివాటిలో చాలా ఉండవచ్చు, అనగా. మూడు కంటే ఎక్కువ. ఉదాహరణకు, పెంటగాన్ గీద్దాం (Fig. 2 చూడండి), అనగా. ఐదు మూలలతో బొమ్మ.

అన్నం. 2. పెంటగాన్. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం.బహుభుజి- అనేక పాయింట్లు (రెండు కంటే ఎక్కువ) మరియు వాటిని వరుసగా కనెక్ట్ చేసే సంబంధిత విభాగాల సంఖ్యను కలిగి ఉన్న బొమ్మ. ఈ పాయింట్లు అంటారు శిఖరాలుబహుభుజి, మరియు విభాగాలు పార్టీలు. ఈ సందర్భంలో, ప్రక్కనే ఉన్న రెండు భుజాలు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండవు మరియు ప్రక్కనే లేని రెండు భుజాలు కలుస్తాయి.

నిర్వచనం.సాధారణ బహుభుజిఅన్ని భుజాలు మరియు కోణాలు సమానంగా ఉండే కుంభాకార బహుభుజి.

ఏదైనా బహుభుజివిమానాన్ని రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది: అంతర్గత మరియు బాహ్య. అంతర్గత ప్రాంతాన్ని కూడా అంటారు బహుభుజి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఉదాహరణకు, వారు పెంటగాన్ గురించి మాట్లాడినప్పుడు, వారు దాని మొత్తం అంతర్గత ప్రాంతం మరియు దాని సరిహద్దు రెండింటినీ అర్థం చేసుకుంటారు. మరియు అంతర్గత ప్రాంతం బహుభుజి లోపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది, అనగా. పాయింట్ పెంటగాన్‌ను కూడా సూచిస్తుంది (Fig. 2 చూడండి).

పరిగణించబడుతున్న వాటిని నొక్కి చెప్పడానికి బహుభుజాలను కొన్నిసార్లు n-gons అని కూడా పిలుస్తారు సాధారణ కేసుకొన్ని తెలియని కోణాల ఉనికి (n ముక్కలు).

నిర్వచనం. బహుభుజి చుట్టుకొలత- బహుభుజి భుజాల పొడవు మొత్తం.

ఇప్పుడు మనం బహుభుజాల రకాలను తెలుసుకోవాలి. అవి విభజించబడ్డాయి కుంభాకారమరియు కాని కుంభాకార. ఉదాహరణకు, అంజీర్‌లో చూపిన బహుభుజి. 2 కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు అంజీర్‌లో ఉంటుంది. 3 కాని కుంభాకార.

అన్నం. 3. కాని కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 1. బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, దాని వైపులా ఏదైనా సరళ రేఖను గీసేటప్పుడు, మొత్తం బహుభుజిఈ సరళ రేఖకు ఒక వైపు మాత్రమే ఉంటుంది. కాని కుంభాకారఅందరూ ఉన్నారు బహుభుజాలు.

అంజీర్‌లో పెంటగాన్ యొక్క ఏదైనా వైపు విస్తరించేటప్పుడు ఊహించడం సులభం. 2 ఇవన్నీ ఈ సరళ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటాయి, అనగా. అది కుంభాకారంగా ఉంటుంది. కానీ అంజీర్‌లోని చతుర్భుజం ద్వారా సరళ రేఖను గీసేటప్పుడు. 3 ఇది రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుందని మేము ఇప్పటికే చూశాము, అనగా. అది కుంభాకారంగా లేదు.

కానీ బహుభుజి యొక్క కుంభాకారానికి మరొక నిర్వచనం ఉంది.

నిర్వచనం 2. బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, ఏదైనా రెండు ఇంటీరియర్ పాయింట్‌లను ఎంచుకుని, వాటిని సెగ్మెంట్‌తో కనెక్ట్ చేసినప్పుడు, సెగ్మెంట్‌లోని అన్ని పాయింట్లు కూడా బహుభుజి యొక్క అంతర్గత బిందువులు.

ఈ నిర్వచనం యొక్క ఉపయోగం యొక్క ప్రదర్శన అంజీర్‌లోని విభాగాలను నిర్మించే ఉదాహరణలో చూడవచ్చు. 2 మరియు 3.

నిర్వచనం. వికర్ణబహుభుజి అనేది రెండు ప్రక్కనే లేని శీర్షాలను కలిపే ఏదైనా విభాగం.

బహుభుజాల లక్షణాలను వివరించడానికి, రెండు ఉన్నాయి అత్యంత ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలువారి కోణాల గురించి: అంతర్గత కోణం మొత్తం సిద్ధాంతం కుంభాకార బహుభుజి మరియు ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం మీద సిద్ధాంతం. వాటిని చూద్దాం.

సిద్ధాంతం. ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం మీద (n-గోన్).

దాని కోణాల (వైపుల) సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది.

రుజువు 1. మనం అంజీర్‌లో చిత్రీకరిద్దాం. 4 కుంభాకార n-gon.

అన్నం. 4. కుంభాకార n-gon

శీర్షం నుండి మేము సాధ్యమయ్యే అన్ని వికర్ణాలను గీస్తాము. వారు n-gon ను త్రిభుజాలుగా విభజిస్తారు, ఎందుకంటే శీర్షానికి ప్రక్కనే ఉన్న భుజాలు మినహా బహుభుజి యొక్క ప్రతి భుజాలు ఒక త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ అన్ని త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి ఖచ్చితంగా సమానంగా ఉంటుందని బొమ్మ నుండి చూడటం సులభం. ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం , అప్పుడు n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం:

Q.E.D.

రుజువు 2. ఈ సిద్ధాంతానికి మరొక రుజువు సాధ్యమే. అంజీర్‌లో ఇదే విధమైన n-gon గీద్దాం. 5 మరియు దాని ఇంటీరియర్ పాయింట్‌లలో దేనినైనా అన్ని శీర్షాలతో కనెక్ట్ చేయండి.

అన్నం. 5.

మేము n-gon యొక్క విభజనను n త్రిభుజాలుగా పొందాము (త్రిభుజాలు ఉన్నన్ని వైపులా). వాటి అన్ని కోణాల మొత్తం బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి మరియు వద్ద ఉన్న కోణాల మొత్తానికి సమానం అంతర్గత పాయింట్, మరియు ఇది కోణం. మాకు ఉన్నాయి:

Q.E.D.

నిరూపించబడింది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం ప్రకారం, n-gon యొక్క కోణాల మొత్తం దాని భుజాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది (n పై). ఉదాహరణకు, ఒక త్రిభుజంలో, మరియు కోణాల మొత్తం . చతుర్భుజంలో, మరియు కోణాల మొత్తం, మొదలైనవి.

సిద్ధాంతం. ఒక కుంభాకార బహుభుజి బాహ్య కోణాల మొత్తం మీద (n-గోన్).

దాని కోణాల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది (భుజాలు), మరియు , ..., బాహ్య కోణాలు.

రుజువు. అంజీర్‌లో కుంభాకార n-gonని చిత్రీకరిద్దాం. 6 మరియు దాని అంతర్గత మరియు బాహ్య కోణాలను నిర్దేశించండి.

అన్నం. 6. నియమించబడిన బాహ్య కోణాలతో కుంభాకార n-gon

ఎందుకంటే బయటి మూలలో లోపలికి ప్రక్కనే కనెక్ట్ చేయబడింది మరియు అదేవిధంగా మిగిలిన బాహ్య మూలల కోసం. అప్పుడు:

పరివర్తన సమయంలో, మేము n-gon యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం గురించి ఇప్పటికే నిరూపించబడిన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాము.

నిరూపించబడింది.

నిరూపితమైన సిద్ధాంతం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది ఆసక్తికరమైన వాస్తవం, ఒక కుంభాకార n-gon యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది దాని కోణాల (భుజాల) సంఖ్యపై. మార్గం ద్వారా, అంతర్గత కోణాల మొత్తానికి విరుద్ధంగా.

గ్రంథ పట్టిక

1. అలెగ్జాండ్రోవ్ A.D. మరియు ఇతరులు. జ్యామితి, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2006.
2. బుతుజోవ్ V.F., కడోమ్ట్సేవ్ S.B., ప్రసోలోవ్ V.V. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: విద్య, 2011.
3. మెర్జ్లియాక్ A.G., పోలోన్స్కీ V.B., యాకిర్ S.M. జామెట్రీ, 8వ తరగతి. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

ఇంటి పని

బహుభుజి భావన

నిర్వచనం 1

బహుభుజిఅనేది ఒక విమానంలో ఒక రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇది జతలలో అనుసంధానించబడిన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది, ప్రక్కనే ఉన్నవి ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు.

ఈ సందర్భంలో, విభాగాలు అంటారు బహుభుజి వైపులా, మరియు వాటి చివరలు - బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు.

నిర్వచనం 2

$n$-gon అనేది $n$ శీర్షాలను కలిగిన బహుభుజి.

బహుభుజాల రకాలు

నిర్వచనం 3

ఒక బహుభుజి దాని ప్రక్కల గుండా వెళుతున్న ఏదైనా రేఖకు ఎల్లప్పుడూ ఒకే వైపు ఉంటే, దానిని బహుభుజి అంటారు కుంభాకార(చిత్రం 1).

మూర్తి 1. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 4

బహుభుజి వెంట ఉంటే వివిధ వైపులాకనీసం ఒక సరళ రేఖ దాని భుజాల గుండా వెళుతుంది, అప్పుడు బహుభుజి కాని కుంభాకారంగా పిలువబడుతుంది (Fig. 2).

మూర్తి 2. కాని కుంభాకార బహుభుజి

బహుభుజి కోణాల మొత్తం

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తంపై ఒక సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

సిద్ధాంతం 1

ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

రుజువు.

మాకు ఒక కుంభాకార బహుభుజి $A_1A_2A_3A_4A_5\చుక్కలు A_n$ ఇవ్వబడాలి. దాని శీర్షం $A_1$ని అన్ని ఇతర శీర్షాలతో కనెక్ట్ చేద్దాం బహుభుజి ఇచ్చారు(Fig. 3).

మూర్తి 3.

ఈ కనెక్షన్‌తో మనకు $n-2$ త్రిభుజాలు లభిస్తాయి. వాటి కోణాలను సంగ్రహించడం ద్వారా మనం ఇచ్చిన -గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తాన్ని పొందుతాము. త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(180)^0,$కి సమానం కనుక ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము పొందుతాము

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

చతుర్భుజం యొక్క భావన

$2$ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, చతుర్భుజం యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడం సులభం.

నిర్వచనం 5

చతుర్భుజం అనేది $4$ శీర్షాలతో కూడిన బహుభుజి (Fig. 4).

మూర్తి 4. చతుర్భుజం

చతుర్భుజం కోసం, భావనలు కుంభాకార చతుర్భుజంమరియు ఒక కాని కుంభాకార చతుర్భుజం. క్లాసిక్ ఉదాహరణలుకుంభాకార చతుర్భుజాలు చతురస్రం, దీర్ఘ చతురస్రం, ట్రాపజోయిడ్, రాంబస్, సమాంతర చతుర్భుజం (Fig. 5).

మూర్తి 5. కుంభాకార చతుర్భుజాలు

సిద్ధాంతం 2

కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(360)^0$

రుజువు.

$1$ సిద్ధాంతం ద్వారా, కుంభాకార-గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మనకు తెలుసు.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

కాబట్టి, ఒక కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

\[\ఎడమ(4-2\కుడి)\cdot (180)^0=(360)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

బహుభుజి భావన

నిర్వచనం 1

బహుభుజిఅనేది ఒక విమానంలో ఒక రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇది జతలలో అనుసంధానించబడిన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది, ప్రక్కనే ఉన్నవి ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు.

ఈ సందర్భంలో, విభాగాలు అంటారు బహుభుజి వైపులా, మరియు వాటి చివరలు - బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు.

నిర్వచనం 2

$n$-gon అనేది $n$ శీర్షాలను కలిగిన బహుభుజి.

బహుభుజాల రకాలు

నిర్వచనం 3

ఒక బహుభుజి దాని ప్రక్కల గుండా వెళుతున్న ఏదైనా రేఖకు ఎల్లప్పుడూ ఒకే వైపు ఉంటే, దానిని బహుభుజి అంటారు కుంభాకార(చిత్రం 1).

మూర్తి 1. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 4

ఒక బహుభుజి దాని భుజాల గుండా కనీసం ఒక సరళ రేఖకు ఎదురుగా ఉన్నట్లయితే, ఆ బహుభుజిని నాన్-కుంభాకార (Fig. 2) అంటారు.

మూర్తి 2. కాని కుంభాకార బహుభుజి

బహుభుజి కోణాల మొత్తం

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తంపై ఒక సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

సిద్ధాంతం 1

ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

రుజువు.

మాకు ఒక కుంభాకార బహుభుజి $A_1A_2A_3A_4A_5\చుక్కలు A_n$ ఇవ్వబడాలి. ఈ బహుభుజి యొక్క అన్ని ఇతర శీర్షాలతో దాని శీర్ష $A_1$ని కనెక్ట్ చేద్దాం (Fig. 3).

మూర్తి 3.

ఈ కనెక్షన్‌తో మనకు $n-2$ త్రిభుజాలు లభిస్తాయి. వాటి కోణాలను సంగ్రహించడం ద్వారా మనం ఇచ్చిన -గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తాన్ని పొందుతాము. త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(180)^0,$కి సమానం కనుక ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము పొందుతాము

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

చతుర్భుజం యొక్క భావన

$2$ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, చతుర్భుజం యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడం సులభం.

నిర్వచనం 5

చతుర్భుజం అనేది $4$ శీర్షాలతో కూడిన బహుభుజి (Fig. 4).

మూర్తి 4. చతుర్భుజం

చతుర్భుజం కోసం, కుంభాకార చతుర్భుజం మరియు కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క భావనలు అదేవిధంగా నిర్వచించబడ్డాయి. కుంభాకార చతుర్భుజాల యొక్క క్లాసిక్ ఉదాహరణలు చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రాపజోయిడ్, రాంబస్, సమాంతర చతుర్భుజం (Fig. 5).

మూర్తి 5. కుంభాకార చతుర్భుజాలు

సిద్ధాంతం 2

కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(360)^0$

రుజువు.

$1$ సిద్ధాంతం ద్వారా, కుంభాకార-గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మనకు తెలుసు.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

కాబట్టి, ఒక కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

\[\ఎడమ(4-2\కుడి)\cdot (180)^0=(360)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

నిర్వచనం 1.విరిగిన లైన్ అంటారు చివరి క్రమంవిభాగాలు, అంటే మొదటి సెగ్మెంట్ యొక్క చివరలలో ఒకటి రెండవ ముగింపుగా పనిచేస్తుంది, రెండవ సెగ్మెంట్ యొక్క మరొక చివర మూడవ ముగింపుగా పనిచేస్తుంది.

తయారు చేసే విభాగాలు విరిగిన లైన్, లింకులు అంటారు. ప్రక్కనే ఉన్న భాగాలు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండవు. విరిగిన పంక్తి చివరలు సమానంగా ఉంటే, దానిని అంటారు మూసివేయబడింది. ఒక పాలీలైన్ తనను తాను కలుస్తుంది, దానికదే తాకుతుంది మరియు దాని మీద విశ్రాంతి తీసుకోవచ్చు. విరిగిన లైన్ అటువంటి లక్షణాలను కలిగి ఉండకపోతే, అది అంటారు సాధారణ.

నిర్వచనం 2.ఒక సాధారణ మూసివేసిన విరిగిన రేఖను దానితో చుట్టబడిన విమానం యొక్క భాగంతో కలిపి బహుభుజి అంటారు.

విరిగిన రేఖను బహుభుజి యొక్క సరిహద్దు అని పిలుస్తారు, విరిగిన రేఖ యొక్క లింకులు అంటారు పార్టీలుబహుభుజి, లింక్‌ల చివరలు బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు. బహుభుజి యొక్క రెండు ప్రక్క ప్రక్కలు ఒక కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. బహుభుజిలోని కోణాల సంఖ్య భుజాల సంఖ్యకు సమానం. ప్రతి బహుభుజి 180° కంటే తక్కువ కోణాలను కలిగి ఉంటుంది. బహుభుజి యొక్క భుజాలు మరియు కోణాలను అంటారు అంశాలుబహుభుజి.

ఒక బహుభుజి యొక్క ప్రక్కనే లేని రెండు శీర్షాలను కలిపే రేఖ విభాగాన్ని వికర్ణం అంటారు. ఏదైనా n-gon n-2 వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 3.బహుభుజి అంటారు కుంభాకార, అది దాని ప్రక్కను కలిగి ఉన్న ప్రతి పంక్తికి ఒక వైపున ఉంటే. ఈ పరిస్థితిని అందుకోలేని బహుభుజాలను నాన్-కుంభాకార అంటారు.

కుంభాకార బహుభుజాల లక్షణాలు.

ఆస్తి 1.ఒక కుంభాకార బహుభుజి 180° కంటే తక్కువ అన్ని కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.

రుజువు: కుంభాకార బహుభుజి P యొక్క ఏదైనా కోణాన్ని తీసుకోండి మరియు దాని వైపు A శీర్షం నుండి వస్తుంది. l వైపు a ఉన్న సరళ రేఖగా ఉండనివ్వండి. బహుభుజి P కుంభాకారంగా ఉన్నందున, ఇది l రేఖకు ఒకవైపు ఉంటుంది. కాబట్టి, కోణం A సరళ రేఖ l యొక్క ఒక వైపు ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, కోణం A విప్పబడిన దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది, అనగా ÐA< 180°.

ఆస్తి 2.ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ఏదైనా రెండు బిందువులను కలిపే రేఖ విభాగం ఆ బహుభుజిలో ఉంటుంది.

రుజువు: కుంభాకార బహుభుజి P యొక్క ఏదైనా రెండు పాయింట్లు M మరియు N తీసుకోండి. బహుభుజి P అనేది అనేక అర్ధ-విమానాల ఖండన. సెగ్మెంట్ MN ఈ హాఫ్-ప్లేన్‌లలో ప్రతిదానిలో ఉంటుంది. కాబట్టి, ఇది బహుభుజి R లో కూడా ఉంటుంది.

ఆస్తి 3.కుంభాకార బహుభుజి కోణాల మొత్తం (n – 2)∙180°.

రుజువు: కుంభాకార బహుభుజి P లోపల ఏకపక్ష బిందువు Oని తీసుకోండి మరియు దానిని బహుభుజి యొక్క అన్ని శీర్షాలకు కనెక్ట్ చేయండి. N త్రిభుజాలు ఏర్పడతాయి, వీటిలో ప్రతి కోణాల మొత్తం 180°. శీర్షం O వద్ద ఉన్న కోణాలు 360° = 2∙180° వరకు జోడించబడతాయి. కాబట్టి, బహుభుజి కోణాల మొత్తం n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భావన. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క లక్షణాలు.

నిర్వచనం 1.చతుర్భుజం, ఎదురుగాజతవైపు సమాంతరంగా ఉండే వాటిని సమాంతర చతుర్భుజం అంటారు.

ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజానికి నాలుగు శీర్షాలు, నాలుగు వైపులా మరియు నాలుగు మూలలు ఉంటాయి. రెండు వైపులా ఉన్నాయి సాధారణ ముగింపులు, అంటారు ప్రక్కనే. ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం రెండు వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది - విభాగాలను కలుపుతుంది వ్యతిరేక శీర్షాలుసమాంతర చతుర్భుజం. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం 360°.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క లక్షణాలు.

ఆస్తి 1.సమాంతర చతుర్భుజం సమానమైన వ్యతిరేక భుజాలను కలిగి ఉంటుంది వ్యతిరేక కోణాలుజతగా సమానం.

రుజువు: వికర్ణ ACని గీయండి. AC - సాధారణ;

РВАС = РАСD (అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ AB II BC మరియు సెకెంట్ AC వద్ద ఉంది);

РВСА = РСАD (అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ AD II BC మరియు సెకెంట్ AC వద్ద ఉంది);

Þ DABC = DADC (2 లక్షణాల ఆధారంగా).

AB = CD; BC = AD; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.

ఆస్తి 2.సమాంతర చతుర్భుజంలో, ఒక వైపున ఉన్న కోణాలు 180° వరకు జోడించబడతాయి.

రుజువు:

РВ + РА =180° (BC II AD మరియు సెకాంట్ ABతో అంతర్గత ఏకపక్షం).

ÐB + ÐС =180° (AB II CD మరియు సెకాంట్ BCతో అంతర్గత ఏకపక్షం).

ÐD + ÐC =180° (BC II AD మరియు సెకాంట్ CDతో అంతర్గత ఏకపక్షం).

ÐA + ÐD =180° (AB II CD మరియు సెకంట్ ADతో అంతర్గత ఏకపక్షం).

ఆస్తి 3.సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వికర్ణాలు ఖండన బిందువు ద్వారా సగానికి విభజించబడ్డాయి.

రుజువు: పాయింట్ O వద్ద ఖండన AC మరియు BD వికర్ణాలను గీయండి.

AB = CD (మొదటి సమాంతర చతుర్భుజం ప్రకారం);

ÐABO = ÐODC (AB II CD మరియు secant BD వద్ద అంతర్గత క్రాస్‌వైస్ లైయింగ్);

РБАО = РОСD (AB II CD మరియు సెకెంట్ AC వద్ద అంతర్భాగం అడ్డంగా ఉంటుంది);

Þ DABO = DODC (2 లక్షణాల ఆధారంగా).

BO = OD; AO = OC.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క చిహ్నాలు.

సైన్ 1.చతుర్భుజం యొక్క రెండు భుజాలు సమానంగా మరియు సమాంతరంగా ఉంటే, చతుర్భుజం సమాంతర చతుర్భుజం.

ఇవ్వబడింది: ABCD - చతుర్భుజం; AD II BC,