క్రమం యొక్క పరిమిత పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ఇవ్వబడింది. సంబంధిత లక్షణాలు మరియు సమానమైన నిర్వచనం చర్చించబడ్డాయి. పాయింట్ a అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి కాదని నిర్వచనం ఇవ్వబడింది. నిర్వచనం ఉపయోగించి పరిమితి ఉనికి నిరూపించబడిన ఉదాహరణలు పరిగణించబడతాయి.
ఇక్కడ మనం క్రమం యొక్క పరిమిత పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిశీలిస్తాము. "అనంతమైన పెద్ద శ్రేణి యొక్క నిర్వచనం" పేజీలో అనంతంగా మారుతున్న క్రమం యొక్క సందర్భం చర్చించబడింది.
నిర్వచనం .
(xn), ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య ε కోసం అయితే > 0
εపై ఆధారపడి సహజ సంఖ్య N ε ఉంది అంటే అన్ని సహజ సంఖ్యలకు n > N ε అసమానత
| x n - a|< ε
.
క్రమం పరిమితి క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది:
.
లేదా వద్ద.
అసమానతను మారుద్దాం:
;
;
.
బహిరంగ విరామం (a - ε, a + ε) అంటారు ε - పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం a.
పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని అంటారు కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్. ఆ క్రమం అని కూడా అంటున్నారు కలుస్తుంది a కు. పరిమితి లేని క్రమాన్ని అంటారు భిన్న.
నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక శ్రేణికి పరిమితి a ఉంటే, మనం ఎంచుకున్న పాయింట్ a యొక్క ε-పరిసరం ఏమైనప్పటికీ, దాని వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలు మాత్రమే ఉండవచ్చు లేదా ఏవీ ఉండవు (ఖాళీ సెట్) . మరియు ఏదైనా ε-పరిసరం అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య ε ఇచ్చిన తర్వాత, మనకు ఆ సంఖ్య వస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్యలతో సీక్వెన్స్ యొక్క అన్ని మూలకాలు నిర్వచనం ప్రకారం, పాయింట్ a యొక్క ε - పరిసరాల్లో ఉన్నాయి. మొదటి మూలకాలు ఎక్కడైనా ఉంటాయి. అంటే, ε-పరిసరం వెలుపల మూలకాలు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు - అంటే, పరిమిత సంఖ్య.
మేము వ్యత్యాసం మార్పు లేకుండా సున్నాకి మొగ్గు చూపాల్సిన అవసరం లేదని, అంటే, అన్ని సమయాలలో తగ్గుతుందని కూడా మేము గమనించాము. ఇది మోనోటోనికల్‌గా సున్నాకి మారవచ్చు: ఇది స్థానిక మాగ్జిమాతో పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు. అయితే, ఈ మాగ్జిమా, n పెరిగేకొద్దీ, సున్నాకి మొగ్గు చూపాలి (బహుశా ఏకస్వరంగా కూడా కాదు).
ఉనికి మరియు సార్వత్రికత యొక్క తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి, పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
(1)
.
a అనేది పరిమితి కాదని నిర్ణయించడం
ఇప్పుడు a సంఖ్య శ్రేణి యొక్క పరిమితి కాదు అనే సంభాషణ ప్రకటనను పరిగణించండి.
సంఖ్య a క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి అలాంటి సహజమైన m ఉంటే > n, ఏమిటి
.
తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి ఈ ప్రకటనను వ్రాస్దాం.
(2)
.
అని ప్రకటన సంఖ్య a అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు, దాని అర్ధము
మీరు అటువంటి ε - పాయింట్ a యొక్క పొరుగును ఎంచుకోవచ్చు, దాని వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. ఒక సాధారణ మూలకంతో ఒక క్రమాన్ని ఇవ్వనివ్వండి
(3)
ఒక బిందువు యొక్క ఏదైనా పరిసరాలు అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటాయి. అయితే, ఈ పాయింట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి కాదు, ఎందుకంటే పాయింట్ యొక్క ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతం కూడా అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. ε = తో ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతాన్ని తీసుకుందాం 1
. ఇది ఇంటర్వెల్ అవుతుంది (-1, +1)
. సరి n తో మొదటిది మినహా అన్ని మూలకాలు ఈ విరామానికి చెందినవి. కానీ బేసి n ఉన్న అన్ని మూలకాలు ఈ విరామానికి వెలుపల ఉన్నాయి, ఎందుకంటే అవి అసమానత x nని సంతృప్తిపరుస్తాయి > 2
. బేసి మూలకాల సంఖ్య అనంతం కాబట్టి, ఎంచుకున్న పరిసరాల వెలుపల అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి. కాబట్టి, పాయింట్ అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు.
ఇప్పుడు మనం దీన్ని చూపుతాము, స్టేట్‌మెంట్ (2)కి ఖచ్చితంగా కట్టుబడి ఉంటాము. పాయింట్ సీక్వెన్స్ (3) యొక్క పరిమితి కాదు, ఎందుకంటే ఏదైనా సహజ n కోసం, అసమానత కలిగి ఉండే బేసి ఒకటి ఉంది
.
ఏదైనా పాయింట్ a ఈ క్రమంలో పరిమితిగా ఉండదని కూడా చూపవచ్చు. మేము ఎల్లప్పుడూ పాయింట్ 0 లేదా పాయింట్ 2ని కలిగి ఉండని పాయింట్ a యొక్క ε - పొరుగు ప్రాంతాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఆపై ఎంచుకున్న పొరుగు ప్రాంతం వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి.
సమానమైన నిర్వచనం
మేము ε - పొరుగు భావనను విస్తరింపజేస్తే, శ్రేణి యొక్క పరిమితికి సమానమైన నిర్వచనం ఇవ్వవచ్చు. ε-పరిసరానికి బదులుగా, అది పాయింట్ a యొక్క ఏదైనా పొరుగును కలిగి ఉంటే మేము సమానమైన నిర్వచనాన్ని పొందుతాము.
పాయింట్ యొక్క పొరుగును నిర్ణయించడం
పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం aఈ పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా ఓపెన్ విరామం అంటారు. గణితశాస్త్రపరంగా, పొరుగు ప్రాంతం క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది: , ఇక్కడ ε 1
మరియు ε 2
- ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్యలు.
అప్పుడు పరిమితి యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.
సీక్వెన్స్ పరిమితికి సమానమైన నిర్వచనం
a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితి అంటారు, ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతానికి సహజ సంఖ్య N ఉంటే, సంఖ్యలతో కూడిన శ్రేణిలోని అన్ని మూలకాలు ఈ పొరుగు ప్రాంతానికి చెందినవి.
ఈ నిర్వచనాన్ని విస్తరించిన రూపంలో కూడా అందించవచ్చు.
a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితి అంటారు, ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యల కోసం మరియు అన్ని సహజ సంఖ్యలకు అసమానతలు ఉండేలా సహజ సంఖ్య N ఉన్నట్లయితే
.
నిర్వచనాల సమానత్వానికి రుజువు
పైన అందించిన సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క రెండు నిర్వచనాలు సమానమైనవని నిరూపిద్దాం.
మొదటి నిర్వచనం ప్రకారం a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితిగా ఉండనివ్వండి. దీనర్థం ఒక ఫంక్షన్ ఉంది, తద్వారా ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య ε కోసం క్రింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి:
(4)
వద్ద.
రెండవ నిర్వచనం ద్వారా a సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి అని చూపిద్దాం. అంటే, ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యలకు ε అటువంటి ఫంక్షన్ ఉందని మనం చూపించాలి 1
మరియు ε 2
కింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి:
(5)
వద్ద.
మనకు రెండు సానుకూల సంఖ్యలు ఉన్నాయి: ε 1
మరియు ε 2
. మరియు వాటిలో ε చిన్నదిగా ఉండనివ్వండి: . అప్పుడు ; ; . దీన్ని (5)లో ఉపయోగించుకుందాం:
.
కానీ అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి. అప్పుడు అసమానతలు (5) కోసం కూడా సంతృప్తి చెందుతాయి.
అంటే, ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యల కోసం అసమానతలు (5) సంతృప్తి చెందే ఫంక్షన్‌ను మేము కనుగొన్నాము. 1
మరియు ε 2
.
మొదటి భాగం నిరూపించబడింది.
ఇప్పుడు రెండవ నిర్వచనం ప్రకారం a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితిగా ఉండనివ్వండి. ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యలకు ε వంటి ఫంక్షన్ ఉందని దీని అర్థం 1
మరియు ε 2
కింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి:
(5)
వద్ద.
మొదటి నిర్వచనం ప్రకారం a అనే సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి అని చూపిద్దాం. ఇది చేయటానికి మీరు ఉంచాలి. అప్పుడు కింది అసమానతలు ఉన్నప్పుడు:
.
ఇది తో మొదటి నిర్వచనానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
నిర్వచనాల సమానత్వం నిరూపించబడింది.
ఉదాహరణలు
ఇచ్చిన సంఖ్య a అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి అని నిరూపించాల్సిన అనేక ఉదాహరణలను ఇక్కడ చూద్దాం. ఈ సందర్భంలో, మీరు ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్య εని పేర్కొనాలి మరియు అసమానత ε యొక్క ఫంక్షన్ Nని నిర్వచించాలి.
ఉదాహరణ 1
నిరూపించు .
(1)
.
మా విషయంలో;
.
.
అసమానతల లక్షణాలను ఉపయోగించుకుందాం. అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.
.
అప్పుడు
వద్ద.
దీనర్థం, అందించిన క్రమం యొక్క పరిమితి సంఖ్య:
.
ఉదాహరణ 2
క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి
.
సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1)
.
మా విషయంలో, ;
.
సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అసమానతల లక్షణాలను ఉపయోగించుకుందాం. అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.
అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
అప్పుడు
వద్ద.
.
ఉదాహరణ 3
.
మేము సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తున్నాము, .
వ్యత్యాసాన్ని మారుద్దాం:
.
సహజ n కోసం = 1, 2, 3, ...
మాకు ఉన్నాయి:
.
సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1)
.
సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.
అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
ఇందులో
వద్ద.
దీనర్థం సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి:
.
ఉదాహరణ 4
క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి
.
సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1)
.
మా విషయంలో, ;
.
సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.
అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
అప్పుడు
వద్ద.
దీనర్థం సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి:
.
ప్రస్తావనలు:
ఎల్.డి. కుద్రియవ్ట్సేవ్. గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సు. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 2003.
సీఎం. నికోల్స్కీ. గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సు. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 1983.
ఈ రోజు మనం తరగతిలో చూస్తాము కఠినమైన క్రమంమరియు ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్వచనం, మరియు సైద్ధాంతిక స్వభావం యొక్క సంబంధిత సమస్యలను పరిష్కరించడం కూడా నేర్చుకోండి. గణిత విశ్లేషణ సిద్ధాంతాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించిన మరియు ఉన్నత గణిత శాస్త్రంలోని ఈ విభాగాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో ఇబ్బందులను ఎదుర్కొన్న సహజ శాస్త్రాలు మరియు ఇంజనీరింగ్ స్పెషాలిటీల మొదటి-సంవత్సరం విద్యార్థుల కోసం ఈ వ్యాసం ప్రధానంగా ఉద్దేశించబడింది. అదనంగా, పదార్థం హైస్కూల్ విద్యార్థులకు చాలా అందుబాటులో ఉంటుంది.
సైట్ ఉనికిలో ఉన్న సంవత్సరాలలో, నేను సుమారుగా క్రింది కంటెంట్‌తో డజను లేఖలను అందుకున్నాను: “నాకు గణిత విశ్లేషణ బాగా అర్థం కాలేదు, నేను ఏమి చేయాలి?”, “నాకు గణితమేమీ అర్థం కాలేదు, నేను నా చదువు మానేయాలని ఆలోచిస్తున్నాను,” మొదలైనవి. మరియు నిజానికి, మొదటి సెషన్ తర్వాత విద్యార్థి సమూహాన్ని తరచుగా పలచబరిచేవాడు మతాన్. ఈ పరిస్థితి ఎందుకు? విషయం ఊహించలేనంత క్లిష్టంగా ఉన్నందున? అస్సలు కుదరదు! గణిత విశ్లేషణ సిద్ధాంతం విచిత్రమైనందున చాలా కష్టం కాదు. మరియు మీరు ఆమెను అంగీకరించాలి మరియు ప్రేమించాలి =)
అత్యంత క్లిష్టమైన కేసుతో ప్రారంభిద్దాం. మొదటి మరియు అతి ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే మీరు మీ చదువులను వదులుకోవాల్సిన అవసరం లేదు. సరిగ్గా అర్థం చేసుకోండి, మీరు ఎప్పుడైనా నిష్క్రమించవచ్చు;-) వాస్తవానికి, మీరు ఎంచుకున్న స్పెషాలిటీ నుండి ఒక సంవత్సరం లేదా రెండు సంవత్సరాల తర్వాత మీరు అనారోగ్యంతో బాధపడుతుంటే, అవును, మీరు దాని గురించి ఆలోచించాలి (మరియు కోపం తెచ్చుకోకండి!)కార్యాచరణ మార్పు గురించి. కానీ ప్రస్తుతానికి ఇది కొనసాగించడం విలువ. మరియు "నాకు ఏమీ అర్థం కాలేదు" అనే పదబంధాన్ని దయచేసి మర్చిపోండి - మీకు ఏమీ అర్థం కాకపోవడం జరగదు.
సిద్ధాంతం చెడ్డది అయితే ఏమి చేయాలి? ఇది, మార్గం ద్వారా, గణిత విశ్లేషణకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. సిద్ధాంతం చెడ్డది అయితే, మొదట మీరు అభ్యాసంపై తీవ్రంగా దృష్టి పెట్టాలి. ఈ సందర్భంలో, రెండు వ్యూహాత్మక పనులు ఒకేసారి పరిష్కరించబడతాయి:
- ముందుగా, సైద్ధాంతిక జ్ఞానం యొక్క గణనీయమైన వాటా అభ్యాసం ద్వారా ఉద్భవించింది. మరియు అందుకే చాలామంది సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకుంటారు ... - అది నిజం! లేదు, లేదు, మీరు దాని గురించి ఆలోచించడం లేదు =)
- మరియు, రెండవది, ఆచరణాత్మక నైపుణ్యాలు పరీక్ష ద్వారా మిమ్మల్ని "లాగుతాయి", అయినప్పటికీ... కానీ మనం అంత ఉత్సాహంగా ఉండకూడదు! ప్రతిదీ వాస్తవమైనది మరియు ప్రతిదీ చాలా తక్కువ సమయంలో "పెంచవచ్చు". గణిత విశ్లేషణ అనేది ఉన్నత గణితంలో నాకు ఇష్టమైన విభాగం, అందువల్ల నేను మీకు సహాయం చేయలేకపోయాను:
1వ సెమిస్టర్ ప్రారంభంలో, సీక్వెన్స్ పరిమితులు మరియు ఫంక్షన్ పరిమితులు సాధారణంగా కవర్ చేయబడతాయి. ఇవి ఏమిటో అర్థం కావడం లేదా వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో తెలియదా? వ్యాసంతో ప్రారంభించండి ఫంక్షన్ పరిమితులు, దీనిలో భావన "వేళ్లపై" పరిశీలించబడుతుంది మరియు సరళమైన ఉదాహరణలు విశ్లేషించబడతాయి. తర్వాత, అంశంపై పాఠంతో సహా ఇతర పాఠాల ద్వారా పని చేయండి వరుసక్రమాలలో, దానిపై నేను ఇప్పటికే ఖచ్చితమైన నిర్వచనాన్ని రూపొందించాను.
అసమానత సంకేతాలు మరియు మాడ్యులస్‌తో పాటు మీకు ఏ చిహ్నాలు తెలుసు?
- పొడవైన నిలువు కర్ర ఇలా ఉంటుంది: “అటువంటిది”, “అటువంటిది”, “అటువంటిది” లేదా “అటువంటిది”, మా విషయంలో, స్పష్టంగా, మేము ఒక సంఖ్య గురించి మాట్లాడుతున్నాము - కాబట్టి “అలాంటిది”;
– అన్నింటికీ “en” కంటే ఎక్కువ;
– మాడ్యులస్ గుర్తు అంటే దూరం, అనగా విలువల మధ్య దూరం ఎప్సిలాన్ కంటే తక్కువగా ఉందని ఈ ఎంట్రీ చెబుతుంది.
సరే, ఇది ఘోరమైన కష్టమా? =)
అభ్యాసంలో ప్రావీణ్యం పొందిన తర్వాత, తదుపరి పేరాలో మిమ్మల్ని చూడాలని నేను ఎదురు చూస్తున్నాను:
మరియు వాస్తవానికి, కొంచెం ఆలోచిద్దాం - క్రమం యొక్క ఖచ్చితమైన నిర్వచనాన్ని ఎలా రూపొందించాలి? ...ప్రపంచంలో ముందుగా గుర్తుకు వచ్చేది ఆచరణాత్మక పాఠం: "క్రమం యొక్క పరిమితి అనేది సీక్వెన్స్ సభ్యులు అనంతంగా దగ్గరగా ఉండే సంఖ్య."
సరే, రాసుకుందాం తదుపరి :
అని అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు తదుపరి 
సంఖ్య –1 మరియు సరి-సంఖ్య నిబంధనలకు అనంతంగా దగ్గరగా చేరుకోండి 
- "ఒకటి" కు.
లేదా రెండు పరిమితులు ఉన్నాయా? అయితే ఏ సీక్వెన్స్‌లో పది లేదా ఇరవై ఎందుకు ఉండకూడదు? మీరు ఈ మార్గంలో చాలా దూరం వెళ్ళవచ్చు. ఈ విషయంలో, అది ఊహించడం తార్కికం ఒక క్రమానికి పరిమితి ఉంటే, అది ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.
గమనిక : శ్రేణికి పరిమితి లేదు, కానీ దాని నుండి రెండు ఉపక్రమాలను వేరు చేయవచ్చు (పైన చూడండి), వీటిలో ప్రతి దాని స్వంత పరిమితి ఉంటుంది.
అందువల్ల, పై నిర్వచనం అసంబద్ధమైనదిగా మారుతుంది. అవును, ఇది వంటి సందర్భాలలో పని చేస్తుంది (ప్రాక్టికల్ ఉదాహరణల యొక్క సరళీకృత వివరణలలో నేను సరిగ్గా ఉపయోగించలేదు), కానీ ఇప్పుడు మనం ఖచ్చితమైన నిర్వచనాన్ని కనుగొనాలి.
ప్రయత్నం రెండు: “క్రమం యొక్క పరిమితి అనేది సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ చేరుకునే సంఖ్య, బహుశా వారిది తప్ప చివరిపరిమాణంలో." ఇది సత్యానికి దగ్గరగా ఉంది, కానీ ఇప్పటికీ పూర్తిగా ఖచ్చితమైనది కాదు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, క్రమం 
నిబంధనలలో సగం సున్నాకి చేరుకోలేదు - అవి దానికి సమానంగా ఉంటాయి =) మార్గం ద్వారా, “ఫ్లాషింగ్ లైట్” సాధారణంగా రెండు స్థిర విలువలను తీసుకుంటుంది.
సూత్రీకరణను స్పష్టం చేయడం కష్టం కాదు, కానీ మరొక ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: గణిత చిహ్నాలలో నిర్వచనాన్ని ఎలా వ్రాయాలి? పరిస్థితి పరిష్కరించబడే వరకు శాస్త్రీయ ప్రపంచం చాలా కాలం పాటు ఈ సమస్యతో పోరాడింది ప్రసిద్ధ మాస్ట్రో, ఇది సారాంశంలో, శాస్త్రీయ గణిత విశ్లేషణను దాని అన్ని కఠినంగా అధికారికీకరించింది. కౌచీ శస్త్రచికిత్సను సూచించారు పరిసరాలు , ఇది సిద్ధాంతాన్ని గణనీయంగా అభివృద్ధి చేసింది.
కొంత పాయింట్ మరియు దాని గురించి ఆలోచించండి ఏకపక్ష- పరిసరాలు:
"ఎప్సిలాన్" విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అంతేకాకుండా, దానిని మనమే ఎంచుకునే హక్కు మనకు ఉంది. ఈ పరిసరాల్లో చాలా మంది సభ్యులు ఉన్నారని అనుకుందాం (అన్నీ అవసరం లేదు)కొంత క్రమం. ఉదాహరణకు, పదవ పదం పొరుగున ఉన్న వాస్తవాన్ని ఎలా వ్రాయాలి? దాని కుడి వైపున ఉండనివ్వండి. అప్పుడు పాయింట్ల మధ్య దూరం మరియు "ఎప్సిలాన్" కంటే తక్కువగా ఉండాలి: . అయితే, "x పదవ" పాయింట్ "a" యొక్క ఎడమవైపు ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు వ్యత్యాసం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది మరియు అందువల్ల దానికి గుర్తును జోడించాలి మాడ్యూల్: .
నిర్వచనం: సంఖ్యను సీక్వెన్స్ పరిమితి అంటారు దేనికైనాదాని పరిసరాలు (ముందుగా ఎంపిక చేయబడింది)అటువంటి సహజ సంఖ్య ఉంది అన్నిఅధిక సంఖ్యలో ఉన్న సీక్వెన్స్ సభ్యులు పొరుగు ప్రాంతంలో ఉంటారు:
లేదా సంక్షిప్తంగా: ఉంటే
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం తీసుకునే “ఎప్సిలాన్” విలువ ఎంత చిన్నదైనా, త్వరగా లేదా తరువాత క్రమం యొక్క “అనంతమైన తోక” పూర్తిగా ఈ పరిసరాల్లోనే ఉంటుంది.
ఉదాహరణకు, క్రమం యొక్క "అనంతమైన తోక" పాయింట్ యొక్క ఏదైనా ఏకపక్ష చిన్న పొరుగు ప్రాంతంలో పూర్తిగా ప్రవేశిస్తుంది. కాబట్టి ఈ విలువ నిర్వచనం ప్రకారం క్రమం యొక్క పరిమితి. సున్నా పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని పిలుస్తారని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను అనంతమైన.
సీక్వెన్స్ కోసం "అంతులేని తోక" అని చెప్పడం ఇకపై సాధ్యం కాదని గమనించాలి. లోపలికి వస్తారు“- బేసి సంఖ్యలు ఉన్న సభ్యులు నిజానికి సున్నాకి సమానం మరియు “ఎక్కడికి వెళ్లవద్దు” =) అందుకే నిర్వచనంలో “కనిపిస్తుంది” అనే క్రియ ఉపయోగించబడుతుంది. మరియు, వాస్తవానికి, ఇలాంటి సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులు కూడా "ఎక్కడికీ వెళ్ళరు." మార్గం ద్వారా, సంఖ్య దాని పరిమితి ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి.
ఇప్పుడు మేము సీక్వెన్స్‌కు పరిమితి లేదని చూపుతాము. ఉదాహరణకు, పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతాన్ని పరిగణించండి. అటువంటి సంఖ్య ఏదీ లేదని, ఆ తర్వాత అన్ని నిబంధనలు ఇచ్చిన పరిసరాల్లో ముగుస్తాయి - బేసి నిబంధనలు ఎల్లప్పుడూ "మైనస్ వన్"కి "జంప్ అవుట్" అవుతాయి. ఇదే కారణంతో, పాయింట్ వద్ద పరిమితి లేదు.
అభ్యాసంతో పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేద్దాం:
ఉదాహరణ 1
క్రమం యొక్క పరిమితి సున్నా అని నిరూపించండి. సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ పాయింట్ యొక్క ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న పొరుగు ప్రాంతంలో ఉండేలా హామీ ఇవ్వబడిన సంఖ్యను పేర్కొనండి.
గమనిక : అనేక శ్రేణులకు, అవసరమైన సహజ సంఖ్య విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది - అందుకే సంజ్ఞామానం .
పరిష్కారం: పరిగణించండి ఏకపక్ష ఇంకా ఏమైనాసంఖ్య - అధిక సంఖ్యలో ఉన్న సభ్యులందరూ ఈ పరిసరాల్లోనే ఉంటారు:
అవసరమైన సంఖ్య ఉనికిని చూపించడానికి, మేము దానిని ద్వారా వ్యక్తపరుస్తాము.
“en” యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, మాడ్యులస్ గుర్తును తీసివేయవచ్చు:
నేను తరగతిలో పునరావృతం చేసిన అసమానతలతో "పాఠశాల" చర్యలను ఉపయోగిస్తాము సరళ అసమానతలుమరియు ఫంక్షన్ డొమైన్. ఈ సందర్భంలో, ఒక ముఖ్యమైన పరిస్థితి ఏమిటంటే “ఎప్సిలాన్” మరియు “ఎన్” సానుకూలంగా ఉంటాయి:
మేము ఎడమ వైపున ఉన్న సహజ సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతున్నాము మరియు కుడి వైపు సాధారణంగా భిన్నమైనది కాబట్టి, ఇది గుండ్రంగా ఉండాలి:
గమనిక : కొన్నిసార్లు ఒక యూనిట్ సురక్షితంగా ఉండటానికి కుడి వైపున జోడించబడుతుంది, కానీ వాస్తవానికి ఇది ఓవర్ కిల్. సాపేక్షంగా చెప్పాలంటే, మేము రౌండ్ డౌన్ చేయడం ద్వారా ఫలితాన్ని బలహీనపరిచినట్లయితే, సమీప సరిఅయిన సంఖ్య ("మూడు") ఇప్పటికీ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది.
ఇప్పుడు మనం అసమానతలను చూస్తాము మరియు మేము మొదట్లో పరిగణించిన వాటిని గుర్తుంచుకుంటాము ఏకపక్ష-పొరుగు, అనగా. "epsilon" సమానంగా ఉంటుంది ఎవరైనాసానుకూల సంఖ్య.
ముగింపు: ఒక పాయింట్ యొక్క ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న-పరిసరం కోసం, విలువ కనుగొనబడింది 
. అందువలన, ఒక సంఖ్య అనేది నిర్వచనం ప్రకారం క్రమం యొక్క పరిమితి. Q.E.D.
మార్గం ద్వారా, పొందిన ఫలితం నుండి 
ఒక సహజ నమూనా స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది: పొరుగు ప్రాంతం చిన్నది, పెద్ద సంఖ్య, ఆ తర్వాత సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ ఈ పరిసరాల్లో ఉంటారు. కానీ "ఎప్సిలాన్" ఎంత చిన్నదైనా, లోపల మరియు వెలుపల ఎల్లప్పుడూ "అనంతమైన తోక" ఉంటుంది - అది పెద్దది అయినప్పటికీ చివరిసభ్యుల సంఖ్య.
మీ ముద్రలు ఎలా ఉన్నాయి? =) ఇది కొంచెం వింతగా ఉందని నేను అంగీకరిస్తున్నాను. కానీ ఖచ్చితంగా!దయచేసి మళ్లీ చదవండి మరియు ప్రతిదీ గురించి మళ్లీ ఆలోచించండి.
ఇదే ఉదాహరణను చూద్దాం మరియు ఇతర సాంకేతిక పద్ధతులతో పరిచయం పొందండి:
ఉదాహరణ 2
పరిష్కారం: ఒక క్రమం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం దానిని నిరూపించడం అవసరం (బిగ్గరగా చెప్పు!!!).
పరిగణలోకి తీసుకుందాం ఏకపక్షపాయింట్ యొక్క పొరుగు మరియు తనిఖీ, అది ఉనికిలో ఉందాసహజ సంఖ్య - అన్ని పెద్ద సంఖ్యల కోసం క్రింది అసమానతలను కలిగి ఉంటుంది: 
అటువంటి ఉనికిని చూపించడానికి, మీరు "en"ని "epsilon" ద్వారా వ్యక్తపరచాలి. మేము మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేస్తాము: 
మాడ్యూల్ మైనస్ గుర్తును నాశనం చేస్తుంది: 
హారం ఏదైనా “en”కి సానుకూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, కర్రలను తీసివేయవచ్చు:
షఫుల్: 
ఇప్పుడు మనం వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించాలి, కానీ క్యాచ్ ఏమిటంటే కొన్ని "ఎప్సిలాన్" కోసం కుడి వైపు ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఈ ఇబ్బందిని నివారించడానికి బలోపేతం చేద్దాంమాడ్యులస్ ద్వారా అసమానత: 
ఇది ఎందుకు చేయవచ్చు? సాపేక్షంగా చెప్పాలంటే, అది మారుతుంది , అప్పుడు పరిస్థితి కూడా సంతృప్తి చెందుతుంది. మాడ్యూల్ చెయ్యవచ్చు కేవలం పెంచండికావలసిన సంఖ్య, మరియు అది మాకు కూడా సరిపోతుంది! స్థూలంగా చెప్పాలంటే, వందవది సరిపోతే, రెండు వందలది కూడా సరిపోతుంది! నిర్వచనం ప్రకారం, మీరు చూపించాలి సంఖ్య యొక్క ఉనికి యొక్క వాస్తవం(కనీసం కొంతమంది), ఆ తర్వాత సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ -ఇరుగుపొరుగులో ఉంటారు. మార్గం ద్వారా, మేము కుడి వైపు పైకి చివరి రౌండ్ భయపడ్డారు కాదు ఎందుకు.
మూలాన్ని సంగ్రహించడం: 
మరియు ఫలితాన్ని చుట్టుముట్టండి: 
ముగింపు: ఎందుకంటే "ఎప్సిలాన్" విలువ ఏకపక్షంగా ఎంపిక చేయబడింది, ఆపై పాయింట్ యొక్క ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న పరిసరాలకు విలువ కనుగొనబడింది 
, అన్ని పెద్ద సంఖ్యలకు అసమానత కలిగి ఉంటుంది 
. ఈ విధంగా, 
a-priory. Q.E.D.
నేను సలహా ఇస్తున్నాను ముఖ్యంగాఅసమానతలను బలోపేతం చేయడం మరియు బలహీనపరచడం అనేది గణిత విశ్లేషణలో ఒక విలక్షణమైన మరియు చాలా సాధారణమైన సాంకేతికత. మీరు పర్యవేక్షించాల్సిన ఏకైక విషయం ఈ లేదా ఆ చర్య యొక్క ఖచ్చితత్వం. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, అసమానత 
ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ అది సాధ్యం కాదు విప్పు, తీసివేయడం, చెప్పండి, ఒకటి: 
మళ్ళీ, షరతులతో: సంఖ్య సరిగ్గా సరిపోతుంటే, మునుపటిది ఇకపై సరిపోకపోవచ్చు.
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం క్రింది ఉదాహరణ:
ఉదాహరణ 3
క్రమం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి 
పాఠం చివరిలో ఒక చిన్న పరిష్కారం మరియు సమాధానం.
క్రమం ఉంటే అనంతంగా పెద్దది, అప్పుడు పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ఇదే విధంగా రూపొందించబడింది: ఏదైనా ఒక పాయింట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితిగా పిలువబడుతుంది, మీకు నచ్చినంత పెద్దదిసంఖ్య, అన్ని పెద్ద సంఖ్యలకు, అసమానత సంతృప్తి చెందే విధంగా ఒక సంఖ్య ఉంది. నంబర్ అంటారు "ప్లస్ ఇన్ఫినిటీ" పాయింట్ సమీపంలో:
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం ఎంత పెద్ద విలువను తీసుకున్నా, క్రమం యొక్క “అనంతమైన తోక” తప్పనిసరిగా పాయింట్ యొక్క-నైబర్‌హుడ్‌లోకి వెళ్లి, ఎడమ వైపున పరిమిత సంఖ్యలో పదాలను మాత్రమే వదిలివేస్తుంది.
ప్రామాణిక ఉదాహరణ:
మరియు సంక్షిప్త సంజ్ఞామానం: , అయితే
కేసు కోసం, నిర్వచనాన్ని మీరే వ్రాయండి. సరైన సంస్కరణ పాఠం చివరిలో ఉంది.
మీరు ఆచరణాత్మక ఉదాహరణల చుట్టూ మీ తలని సంపాదించిన తర్వాత మరియు క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, మీరు కాలిక్యులస్ మరియు/లేదా మీ లెక్చర్ నోట్‌బుక్‌పై సాహిత్యాన్ని ఆశ్రయించవచ్చు. బోహన్ వాల్యూమ్ 1ని డౌన్‌లోడ్ చేయమని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను (సరళమైన - కరస్పాండెన్స్ విద్యార్థులకు)మరియు ఫిచ్టెన్హోల్ట్జ్ (మరింత వివరంగా మరియు వివరంగా). ఇతర రచయితలలో, నేను పిస్కునోవ్‌ను సిఫార్సు చేస్తున్నాను, దీని కోర్సు సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయాలను లక్ష్యంగా చేసుకుంది.
క్రమం యొక్క పరిమితి, వాటి రుజువులు, పరిణామాలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాలను మనస్సాక్షిగా అధ్యయనం చేయడానికి ప్రయత్నించండి. మొదట, సిద్ధాంతం “మేఘావృతం” అనిపించవచ్చు, కానీ ఇది సాధారణం - మీరు దీన్ని అలవాటు చేసుకోవాలి. మరియు చాలామంది దాని కోసం రుచిని కూడా పొందుతారు!
ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క కఠినమైన నిర్వచనం
అదే విషయంతో ప్రారంభిద్దాం - ఈ భావనను ఎలా రూపొందించాలి? ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క మౌఖిక నిర్వచనం చాలా సరళంగా రూపొందించబడింది: "x" తో ఉంటే ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి. (ఎడమ మరియు కుడి రెండూ), సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు » (డ్రాయింగ్ చూడండి). ప్రతిదీ సాధారణమైనదిగా అనిపిస్తుంది, కానీ పదాలు పదాలు, అర్థం అర్థం, చిహ్నం చిహ్నం, మరియు తగినంత కఠినమైన గణిత సంకేతాలు లేవు. మరియు రెండవ పేరాలో మేము ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి రెండు విధానాలతో పరిచయం చేస్తాము.
పాయింట్‌ను మినహాయించి, ఫంక్షన్‌ని నిర్దిష్ట వ్యవధిలో నిర్వచించనివ్వండి. విద్యా సాహిత్యంలో ఇది సాధారణంగా అక్కడ ఫంక్షన్ అని అంగీకరించబడింది కాదునిర్వచించబడింది: 
ఈ ఎంపిక నొక్కి చెబుతుంది ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క సారాంశం: "x" అనంతంగా దగ్గరగావిధానాలు , మరియు సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు అనంతంగా దగ్గరగాకు . మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పరిమితి అనే భావన పాయింట్లకు "ఖచ్చితమైన విధానం"ని సూచించదు, కానీ అవి అనంతమైన దగ్గరి ఉజ్జాయింపు, ఫంక్షన్ పాయింట్ వద్ద నిర్వచించబడిందా లేదా అనేది పట్టింపు లేదు.
ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క మొదటి నిర్వచనం, ఆశ్చర్యకరం కాదు, రెండు సీక్వెన్స్‌లను ఉపయోగించి రూపొందించబడింది. మొదట, భావనలు సంబంధితంగా ఉంటాయి మరియు రెండవది, ఫంక్షన్ల పరిమితులు సాధారణంగా శ్రేణుల పరిమితుల తర్వాత అధ్యయనం చేయబడతాయి.
క్రమాన్ని పరిగణించండి 
పాయింట్లు (డ్రాయింగ్ మీద కాదు), విరామానికి చెందినది మరియు వేరొక నుండి, ఏది కలుస్తుందికు . అప్పుడు సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు సంఖ్యా క్రమాన్ని కూడా ఏర్పరుస్తాయి, వీటిలో సభ్యులు ఆర్డినేట్ అక్షం మీద ఉన్నాయి.
హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి దేనికైనాపాయింట్ల క్రమాలు 
(చెందినది మరియు భిన్నమైనది), ఇది పాయింట్‌కి కలుస్తుంది, ఫంక్షన్ విలువల సంబంధిత క్రమం కలుస్తుంది.
ఎడ్వర్డ్ హెయిన్ ఒక జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు. ... మరియు అలాంటిదేమీ ఆలోచించాల్సిన అవసరం లేదు, యూరప్‌లో ఒకే ఒక గే ఉంది - గే-లుసాక్ =)
పరిమితి యొక్క రెండవ నిర్వచనం సృష్టించబడింది... అవును, అవును, మీరు చెప్పింది నిజమే. అయితే మొదట, దాని రూపకల్పనను అర్థం చేసుకుందాం. పాయింట్ యొక్క ఏకపక్ష పొరుగును పరిగణించండి ("నలుపు" పొరుగు ప్రాంతం). మునుపటి పేరా ఆధారంగా, ఎంట్రీ అంటే అర్థం కొంత విలువఫంక్షన్ "ఎప్సిలాన్" పరిసరాల్లో ఉంది.
ఇప్పుడు మనం ఇచ్చిన -నైబర్‌హుడ్‌కి అనుగుణంగా ఉండే -నైబర్‌హుడ్‌ని కనుగొంటాము (మానసికంగా ఎడమ నుండి కుడికి ఆపై పై నుండి క్రిందికి నల్ల చుక్కల గీతలు గీయండి). విలువ ఎంపిక చేయబడిందని గమనించండి చిన్న సెగ్మెంట్ పొడవుతో పాటు, ఈ సందర్భంలో - చిన్న ఎడమ సెగ్మెంట్ పొడవుతో పాటు. అంతేకాకుండా, కింది నిర్వచనంలో ఉన్నందున, “కోరిందకాయ” -ఒక బిందువు యొక్క పొరుగును కూడా తగ్గించవచ్చు ఉనికి యొక్క వాస్తవం చాలా ముఖ్యంఈ పొరుగు. మరియు, అదేవిధంగా, సంజ్ఞామానం అంటే కొంత విలువ "డెల్టా" పరిసరాల్లోనే ఉంటుంది.
Cauchy ఫంక్షన్ పరిమితి: ఒక పాయింట్‌లో ఉంటే ఒక సంఖ్యను ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి అంటారు దేనికైనా ముందుగా ఎంపిక చేయబడిందిపొరుగు (మీకు నచ్చినంత చిన్నది), ఉంది- పాయింట్ యొక్క పొరుగు, అటువంటి, అది: విలువలు మాత్రమే (చెందినది)ఈ ప్రాంతంలో చేర్చబడింది: (ఎరుపు బాణాలు)– కాబట్టి తక్షణమే సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు -ఇరుగుపొరుగులోకి ప్రవేశించడానికి హామీ ఇవ్వబడ్డాయి: (నీలం బాణాలు).
నేను మిమ్మల్ని హెచ్చరించాలి, స్పష్టత కోసం, నేను కొంచెం మెరుగుపరిచాను, కాబట్టి అతిగా ఉపయోగించవద్దు =)
సంక్షిప్త ప్రవేశం: , అయితే
నిర్వచనం యొక్క సారాంశం ఏమిటి? అలంకారికంగా చెప్పాలంటే, -నైబర్‌హుడ్‌ని అనంతంగా తగ్గించడం ద్వారా, మేము ఫంక్షన్ విలువలను వాటి పరిమితికి "తోడు" చేస్తాము, వాటిని వేరే చోటికి చేరుకోవడానికి ప్రత్యామ్నాయం లేదు. చాలా అసాధారణమైనది, కానీ మళ్ళీ కఠినమైనది! ఆలోచనను పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి, పదాలను మళ్లీ చదవండి.
! శ్రద్ధ: మీరు సూత్రీకరించవలసి ఉంటే హీన్ నిర్వచనంలేదా కేవలం కౌచీ నిర్వచనందయచేసి గురించి మర్చిపోవద్దు ముఖ్యమైనదిప్రాథమిక వ్యాఖ్యలు: "ఒక పాయింట్ మినహా ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి". నేను దీన్ని మొదట్లో ఒకసారి చెప్పాను మరియు ప్రతిసారీ పునరావృతం చేయలేదు.
గణిత విశ్లేషణ యొక్క సంబంధిత సిద్ధాంతం ప్రకారం, హీన్ మరియు కౌచీ నిర్వచనాలు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ రెండవ ఎంపిక అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది (ఇప్పటికీ ఉంటుంది!), దీనిని "భాషా పరిమితి" అని కూడా అంటారు:
ఉదాహరణ 4
పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి 
పరిష్కారం: పాయింట్ మినహా మొత్తం సంఖ్య రేఖపై ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది. నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద పరిమితి ఉనికిని నిరూపిస్తాము.
గమనిక : "డెల్టా" పరిసరాల విలువ "ఎప్సిలాన్"పై ఆధారపడి ఉంటుంది, అందుకే హోదా
పరిగణలోకి తీసుకుందాం ఏకపక్ష- పరిసరాలు. లేదో తనిఖీ చేయడానికి ఈ విలువను ఉపయోగించడం పని అది ఉనికిలో ఉందా- పరిసరాలు, అటువంటి, ఇది అసమానత నుండి 
అసమానత అనుసరిస్తుంది 
.
మేము చివరి అసమానతను మారుస్తాము: 
(చతుర్భుజ త్రికోణాన్ని విస్తరించింది)
స్థిర సంఖ్య ఎఅని పిలిచారు పరిమితి సీక్వెన్సులు(x n ), ఏదైనా ఏకపక్షంగా చిన్న ధనాత్మక సంఖ్య కోసంε > 0 అన్ని విలువలను కలిగి ఉన్న సంఖ్య N ఉంది x n, దీని కోసం n>N, అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది
|x n - a|< ε. (6.1)
దానిని క్రింది విధంగా వ్రాయండి: లేదా x n → a.
అసమానత (6.1) డబుల్ అసమానతతో సమానం
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
అంటే పాయింట్లు x n, కొంత సంఖ్య n>N నుండి ప్రారంభించి, విరామం లోపల పడుకోండి (a-ε, a+ ε ), అనగా. ఏ చిన్న పతనంε -ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ఎ.
పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని అంటారు కలుస్తాయి, లేకపోతే - భిన్న.
ఫంక్షన్ పరిమితి యొక్క భావన అనేది శ్రేణి పరిమితి యొక్క భావన యొక్క సాధారణీకరణ, ఎందుకంటే ఒక శ్రేణి యొక్క పరిమితిని పూర్ణాంక ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఫంక్షన్ x n = f(n) యొక్క పరిమితిగా పరిగణించవచ్చు. n.
f(x) ఫంక్షన్ ఇవ్వబడనివ్వండి మరియు లెట్ a - పరిమితి పాయింట్ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ D(f), i.e. అటువంటి పాయింట్, ఏ పరిసర ప్రాంతం అయినా కాకుండా సెట్ D(f) యొక్క పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది a. చుక్క a D(f) సమితికి చెందినది కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.
నిర్వచనం 1.స్థిర సంఖ్య A అంటారు పరిమితి విధులు f(x) వద్ద x→a, ఏదైనా శ్రేణి (x n ) ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు ఉంటే ఎ, సంబంధిత సీక్వెన్సులు (f(x n)) ఒకే పరిమితి Aని కలిగి ఉంటాయి.
ఈ నిర్వచనం అంటారు హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని నిర్వచించడం ద్వారా,లేదా " వరుస భాషలో”.
నిర్వచనం 2. స్థిర సంఖ్య A అంటారు పరిమితి విధులు f(x) వద్ద x→a, అయితే, ఏకపక్ష ఏకపక్షంగా చిన్న ధనాత్మక సంఖ్య εని పేర్కొనడం ద్వారా, అటువంటి δని కనుగొనవచ్చు>0 (εపై ఆధారపడి), ఇది అందరి కోసం x, పడుకోవడంసంఖ్య యొక్క ε-పరిసరాలు ఎ, అనగా కోసం x, అసమానతను సంతృప్తి పరచడం
0 <
x-a< ε
, f(x) ఫంక్షన్ విలువలు ఉంటాయిసంఖ్య A యొక్క ε-పరిసరం, అనగా.|f(x)-A|<
ε.
ఈ నిర్వచనం అంటారు కౌచీ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని నిర్వచించడం ద్వారా,లేదా “ε-δ భాషలో “.
నిర్వచనాలు 1 మరియు 2 సమానమైనవి. f(x) ఫంక్షన్ x →గా ఉంటేఒక ఉంది పరిమితి, A కి సమానం, ఇది రూపంలో వ్రాయబడింది
. (6.3)
ఏదైనా ఉజ్జాయింపు పద్ధతికి పరిమితి లేకుండా క్రమం (f(x n)) పెరుగుతుంది (లేదా తగ్గుతుంది) xమీ పరిమితికి ఎ, అప్పుడు f(x) ఫంక్షన్ ఉందని మనం చెబుతాము అనంతమైన పరిమితి,మరియు దానిని రూపంలో వ్రాయండి:
పరిమితి సున్నా అయిన వేరియబుల్ (అనగా ఒక క్రమం లేదా ఫంక్షన్) అంటారు అనంతమైన చిన్నది.
పరిమితి అనంతానికి సమానమైన వేరియబుల్ అంటారు అనంతంగా పెద్దది.
ఆచరణలో పరిమితిని కనుగొనడానికి, క్రింది సిద్ధాంతాలు ఉపయోగించబడతాయి.
సిద్ధాంతం 1 . ప్రతి పరిమితి ఉంటే
(6.4)
(6.5)
(6.6)
వ్యాఖ్య. 0/0 వంటి వ్యక్తీకరణలు, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - అనిశ్చితంగా ఉన్నాయి, ఉదాహరణకు, రెండు అనంతమైన చిన్న లేదా అనంతమైన పెద్ద పరిమాణాల నిష్పత్తి, మరియు ఈ రకమైన పరిమితిని కనుగొనడాన్ని "అనిశ్చితులను వెలికితీయడం" అంటారు.
సిద్ధాంతం 2. (6.7)
ఆ. స్థిరమైన ఘాతాంకంతో శక్తి ఆధారంగా పరిమితికి వెళ్లవచ్చు, ప్రత్యేకించి, 
;
(6.8)
(6.9)
సిద్ధాంతం 3.
(6.10)
(6.11)
ఎక్కడ ఇ » 2.7 - సహజ సంవర్గమానం యొక్క ఆధారం. సూత్రాలు (6.10) మరియు (6.11) మొదటివి అంటారు అద్భుతమైన పరిమితిమరియు రెండవ గొప్ప పరిమితి.
ఫార్ములా (6.11) యొక్క పరిణామాలు కూడా ఆచరణలో ఉపయోగించబడతాయి:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ముఖ్యంగా పరిమితి,
x అయితే → a మరియు అదే సమయంలో x > a, ఆపై x అని వ్రాయండి→a + 0. ప్రత్యేకించి, a = 0 అయితే, 0+0 గుర్తుకు బదులుగా +0 అని వ్రాయండి. అదేవిధంగా x→a మరియు అదే సమయంలో x 
మరియు తదనుగుణంగా పిలుస్తారు కుడి పరిమితిమరియు ఎడమ పరిమితి విధులు f(x) పాయింట్ వద్ద ఎ. ఫంక్షన్ f(x)కి x→గా పరిమితి ఉండాలిa అవసరం మరియు సరిపోతుంది కాబట్టి 
. ఫంక్షన్ f(x) అంటారు నిరంతర పాయింట్ వద్ద x 0 అయితే పరిమితి
. (6.15)
పరిస్థితి (6.15) ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
,
అంటే, ఇచ్చిన పాయింట్‌లో అది నిరంతరంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ యొక్క సైన్ కింద పరిమితికి వెళ్లడం సాధ్యమవుతుంది.
సమానత్వం (6.15) ఉల్లంఘించబడితే, మేము అలా అంటాము వద్ద x = xo ఫంక్షన్ f(x) ఇది కలిగి ఉంది అంతరం y = 1/x ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సెట్ ఆర్, x = 0 మినహా. పాయింట్ x = 0 అనేది సెట్ D(f) యొక్క పరిమితి బిందువు, ఎందుకంటే దాని యొక్క ఏదైనా పరిసరాల్లో, అనగా. పాయింట్ 0ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా ఓపెన్ ఇంటర్వెల్‌లో, D(f) నుండి పాయింట్లు ఉంటాయి, కానీ అది ఈ సెట్‌కు చెందినది కాదు. విలువ f(x o)= f(0) నిర్వచించబడలేదు, కాబట్టి x o = 0 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్‌కు నిలిపివేత ఉంటుంది.
ఫంక్షన్ f(x) అంటారు పాయింట్ వద్ద కుడి వైపున నిరంతరంగాపరిమితి ఉంటే x o
,
మరియు పాయింట్ వద్ద ఎడమవైపు నిరంతరాయంగా x o, పరిమితి అయితే
.
ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు xoఈ సమయంలో కుడి మరియు ఎడమ రెండింటికి దాని కొనసాగింపుకు సమానం.
పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండటానికి xo, ఉదాహరణకు, కుడివైపున, ముందుగా, పరిమిత పరిమితి ఉండాలి మరియు రెండవది, ఈ పరిమితి f(x o)కి సమానంగా ఉండాలి. అందువల్ల, ఈ రెండు షరతులలో కనీసం ఒకదానిని నెరవేర్చకపోతే, అప్పుడు ఫంక్షన్ నిలిపివేయబడుతుంది.
1. పరిమితి ఉనికిలో ఉండి, f(x o)కి సమానం కాకపోతే, వారు అలా అంటారు ఫంక్షన్ f(x) పాయింట్ వద్ద x o ఉంది మొదటి రకమైన చీలిక,లేదా అల్లరి.
2. పరిమితి ఉంటే+∞ లేదా -∞ లేదా ఉనికిలో లేదు, అప్పుడు వారు లో అని చెప్పారు పాయింట్ xo ఫంక్షన్ నిలిపివేత ఉంది రెండవ రకం.
ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ y = cot x వద్ద x→ +0కి +∞కి సమానమైన పరిమితి ఉంది, అంటే x=0 బిందువు వద్ద ఇది రెండవ రకమైన నిలిపివేతను కలిగి ఉంటుంది. ఫంక్షన్ y = E(x) (పూర్ణాంకం భాగం x) మొత్తం అబ్సిస్సాస్‌తో ఉన్న పాయింట్‌లలో మొదటి రకం లేదా జంప్‌ల నిలిపివేత ఉంటుంది.
విరామంలో ప్రతి పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉండే ఫంక్షన్ అంటారు నిరంతరవి. ఒక నిరంతర ఫంక్షన్ ఘన వక్రత ద్వారా సూచించబడుతుంది.
కొంత పరిమాణం యొక్క నిరంతర పెరుగుదలతో సంబంధం ఉన్న అనేక సమస్యలు రెండవ గొప్ప పరిమితికి దారితీస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఇటువంటి పనులు: సమ్మేళనం వడ్డీ చట్టం ప్రకారం డిపాజిట్ల పెరుగుదల, దేశ జనాభా పెరుగుదల, రేడియోధార్మిక పదార్ధాల క్షయం, బ్యాక్టీరియా విస్తరణ మొదలైనవి.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం Ya. I. పెరెల్మాన్ యొక్క ఉదాహరణ, సంఖ్య యొక్క వివరణను ఇవ్వడం ఇచక్రవడ్డీ సమస్యలో. సంఖ్య ఇఒక పరిమితి ఉంది 
. పొదుపు బ్యాంకులలో, వడ్డీ డబ్బు ఏటా స్థిర మూలధనానికి జోడించబడుతుంది. ప్రవేశం తరచుగా జరిగితే, పెద్ద మొత్తంలో వడ్డీ ఏర్పడటం వలన మూలధనం వేగంగా పెరుగుతుంది. పూర్తిగా సైద్ధాంతిక, చాలా సరళమైన ఉదాహరణను తీసుకుందాం. 100 మంది నిరాకరించిన వారిని బ్యాంకులో డిపాజిట్ చేయనివ్వండి. యూనిట్లు సంవత్సరానికి 100% ఆధారంగా. ఒక సంవత్సరం తర్వాత మాత్రమే వడ్డీ డబ్బును స్థిర మూలధనానికి జోడించినట్లయితే, ఈ కాలానికి 100 డెన్. యూనిట్లు 200 ద్రవ్య యూనిట్లుగా మారుతుంది. ఇప్పుడు 100 డెనైజ్ ఎలా మారుతుందో చూద్దాం. యూనిట్లు, వడ్డీ డబ్బు ప్రతి ఆరు నెలలకు స్థిర మూలధనానికి జోడించబడితే. ఆరు నెలల తర్వాత, 100 డెన్. యూనిట్లు 100 వరకు పెరగనుంది×
1.5 = 150, మరియు మరో ఆరు నెలల తర్వాత - 150 వద్ద×
1.5 = 225 (డెన్. యూనిట్లు). ప్రవేశం సంవత్సరంలో ప్రతి 1/3 జరిగితే, ఒక సంవత్సరం తర్వాత 100 డెన్. యూనిట్లు 100గా మారుతుంది× (1 +1/3) 3 " 237 (డెన్. యూనిట్లు). మేము వడ్డీ డబ్బును 0.1 సంవత్సరానికి, 0.01 సంవత్సరానికి, 0.001 సంవత్సరానికి, మొదలైన వాటికి జోడించే నిబంధనలను పెంచుతాము. అప్పుడు 100 డెన్ నుండి. యూనిట్లు ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఇది ఉంటుంది:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/100) 100 »270 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (డెన్. యూనిట్లు).
వడ్డీని జోడించే నిబంధనలలో అపరిమిత తగ్గింపుతో, సంచిత మూలధనం నిరవధికంగా పెరగదు, కానీ సుమారుగా 271కి సమానమైన నిర్దిష్ట పరిమితిని చేరుకుంటుంది. సంవత్సరానికి 100% చొప్పున డిపాజిట్ చేయబడిన మూలధనం 2.71 రెట్లు ఎక్కువ పెరగదు, వడ్డీ పెరిగినప్పటికీ. పరిమితి కారణంగా ప్రతి సెకను రాజధానికి జోడించబడ్డాయి
ఉదాహరణ 3.1.సంఖ్యా శ్రేణి యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, క్రమం x n =(n-1)/n 1కి సమానమైన పరిమితిని కలిగి ఉందని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.ఏది ఏమైనా మనం నిరూపించుకోవాలిε > 0, మనం దేనిని తీసుకున్నా, దానికి సహజ సంఖ్య N ఉంది అంటే అన్ని n Nకి అసమానత ఉంటుంది|x n -1|< ε.
ఏదైనా ఇ > 0 తీసుకుందాం. నుండి ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, అప్పుడు N ను కనుగొనడానికి ఇది అసమానత 1/nని పరిష్కరించడానికి సరిపోతుంది< ఇ. అందువల్ల n>1/ ఇ అందువలన, N 1/ యొక్క పూర్ణాంకం భాగంగా తీసుకోవచ్చు e , N = E(1/ e ) పరిమితి అని మేము తద్వారా నిరూపించాము.
ఉదాహరణ 3.2
. సాధారణ పదం ద్వారా ఇవ్వబడిన క్రమం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి 
.
పరిష్కారం.మొత్తం సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేద్దాం మరియు ప్రతి పదం యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి. ఎప్పుడు n→ ∞ ప్రతి పదం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారం అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతాయి మరియు మేము నేరుగా భాగస్వామ్య పరిమితి సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయలేము. అందువల్ల, మొదట మనం రూపాంతరం చెందుతాము x n, మొదటి పదం యొక్క లవం మరియు హారం ద్వారా విభజించడం n 2, మరియు రెండవది n. అప్పుడు, గుణకం యొక్క పరిమితి మరియు మొత్తం సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేస్తే, మేము కనుగొంటాము:
.
ఉదాహరణ 3.3. 
. కనుగొనండి.
పరిష్కారం. 
.
ఇక్కడ మేము డిగ్రీ సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని ఉపయోగించాము: డిగ్రీ యొక్క పరిమితి బేస్ యొక్క పరిమితి యొక్క డిగ్రీకి సమానం.
ఉదాహరణ 3.4
. కనుగొను ( 
).
పరిష్కారం.మేము రూపం యొక్క అనిశ్చితిని కలిగి ఉన్నందున, వ్యత్యాస సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితిని వర్తింపజేయడం అసాధ్యం ∞-∞ . సాధారణ పద సూత్రాన్ని మారుద్దాం:
.
ఉదాహరణ 3.5 . f(x)=2 1/x ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. పరిమితి లేదని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.ఒక క్రమం ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనం 1ని ఉపయోగిస్తాము. మనం 0కి మారుతున్న (x n) క్రమాన్ని తీసుకుందాం, అనగా. f(x n)= విలువ వేర్వేరు శ్రేణులకు భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుందని చూపిద్దాం. x n = 1/n లెట్. సహజంగానే, అప్పుడు పరిమితి 
ఇప్పుడు ఇలా ఎంచుకుందాం x n x n = -1/n అనే సాధారణ పదంతో కూడిన క్రమం, సున్నాకి కూడా ఉంటుంది. 
అందువల్ల పరిమితి లేదు.
ఉదాహరణ 3.6 . పరిమితి లేదని నిరూపించండి.
పరిష్కారం.x 1 , x 2 ,..., x n ,... అనేవి సీక్వెన్స్‌గా ఉండనివ్వండి
. వివిధ x n → ∞ కోసం క్రమం (f(x n)) = (sin x n) ఎలా ప్రవర్తిస్తుంది
x n = p n అయితే, sin x n = sin p అందరికీ n = 0 nమరియు పరిమితి ఉంటే
x n =2 p n+ p /2, అప్పుడు sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p అందరికీ /2 = 1 nఅందువలన పరిమితి. కనుక ఇది ఉనికిలో లేదు.
ఆన్‌లైన్‌లో పరిమితులను లెక్కించడానికి విడ్జెట్
ఎగువ విండోలో, sin(x)/x బదులుగా, మీరు కనుగొనాలనుకుంటున్న పరిమితిని నమోదు చేయండి. దిగువ విండోలో, x ఉండే సంఖ్యను నమోదు చేయండి మరియు కాలిక్యులర్ బటన్‌ను క్లిక్ చేయండి, కావలసిన పరిమితిని పొందండి. మరియు ఫలిత విండోలో మీరు ఎగువ కుడి మూలలో చూపు దశలను క్లిక్ చేస్తే, మీరు వివరణాత్మక పరిష్కారం పొందుతారు.
ఫంక్షన్లను నమోదు చేయడానికి నియమాలు: sqrt(x) - వర్గమూలం, cbrt(x) - క్యూబ్ రూట్, exp(x) - ఘాతాంకం, ln(x) - సహజ సంవర్గమానం, sin(x) - సైన్, cos(x) - కొసైన్, tan (x) - టాంజెంట్, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. సంకేతాలు: * గుణకారం, / భాగహారం, ^ ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్, బదులుగా అనంతంఅనంతం. ఉదాహరణ: ఫంక్షన్ sqrt(tan(x/2))గా నమోదు చేయబడింది.
గణితం ప్రపంచాన్ని నిర్మించే శాస్త్రం. శాస్త్రవేత్త మరియు సామాన్యుడు ఇద్దరూ - ఇది లేకుండా ఎవరూ చేయలేరు. మొదట, చిన్న పిల్లలకు లెక్కించడం, ఆపై జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం మరియు విభజించడం నేర్పిస్తారు; మధ్య పాఠశాలలో, అక్షరాల చిహ్నాలు అమలులోకి వస్తాయి మరియు ఉన్నత పాఠశాలలో వాటిని ఇకపై నివారించలేము.
కానీ ఈ రోజు మనం అన్ని తెలిసిన గణితశాస్త్రం ఆధారంగా ఏమి మాట్లాడతాము. "క్రమ పరిమితులు" అని పిలువబడే సంఖ్యల సంఘం గురించి.
సీక్వెన్సులు అంటే ఏమిటి మరియు వాటి పరిమితి ఎక్కడ ఉంది?
"క్రమం" అనే పదం యొక్క అర్థం అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు. ఇది ఎవరైనా లేదా ఏదైనా ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో లేదా క్యూలో ఉన్న వస్తువుల అమరిక. ఉదాహరణకు, జూకి టిక్కెట్ల కోసం క్యూ ఒక క్రమం. మరియు ఒకటి మాత్రమే ఉంటుంది! ఉదాహరణకు, మీరు స్టోర్ వద్ద క్యూలో చూస్తే, ఇది ఒక క్రమం. మరియు ఈ క్యూ నుండి ఒక వ్యక్తి అకస్మాత్తుగా వెళ్లిపోతే, ఇది వేరే క్యూ, వేరే ఆర్డర్.
"పరిమితి" అనే పదాన్ని కూడా సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు - ఇది ఏదో ముగింపు. అయితే, గణితంలో, శ్రేణుల పరిమితులు సంఖ్యల శ్రేణికి ఉండే సంఖ్య రేఖపై ఉన్న విలువలు. అది ఎందుకు కష్టపడుతుంది మరియు అంతం కాదు? ఇది చాలా సులభం, సంఖ్య రేఖకు ముగింపు లేదు మరియు కిరణాల వంటి చాలా శ్రేణులు ప్రారంభాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి మరియు ఇలా కనిపిస్తాయి:
x 1, x 2, x 3,...x n...
అందువల్ల క్రమం యొక్క నిర్వచనం సహజ వాదన యొక్క విధి. సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇది నిర్దిష్ట సెట్‌లోని సభ్యుల శ్రేణి.
సంఖ్య క్రమం ఎలా నిర్మించబడింది?
సంఖ్యా శ్రేణికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఇలా ఉండవచ్చు: 1, 2, 3, 4, …n...
చాలా సందర్భాలలో, ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం, సీక్వెన్సులు సంఖ్యల నుండి నిర్మించబడ్డాయి మరియు సిరీస్‌లోని ప్రతి తదుపరి సభ్యుడు, దానిని X అని సూచిస్తాము, దాని స్వంత పేరు ఉంది. ఉదాహరణకి:
x 1 క్రమం యొక్క మొదటి సభ్యుడు;
x 2 అనేది క్రమం యొక్క రెండవ పదం;
x 3 అనేది మూడవ పదం;
x n అనేది nవ పదం.
ఆచరణాత్మక పద్ధతులలో, క్రమం ఒక నిర్దిష్ట వేరియబుల్ ఉన్న సాధారణ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఉదాహరణకి:
X n =3n, అప్పుడు సంఖ్యల శ్రేణి ఇలా కనిపిస్తుంది:
సాధారణంగా సీక్వెన్స్‌లను వ్రాసేటప్పుడు, మీరు X మాత్రమే కాకుండా ఏదైనా లాటిన్ అక్షరాలను ఉపయోగించవచ్చని గుర్తుంచుకోవడం విలువ. ఉదాహరణకు: y, z, k, మొదలైనవి.
సీక్వెన్స్‌లలో భాగంగా అంకగణిత పురోగతి
సీక్వెన్స్‌ల పరిమితుల కోసం వెతకడానికి ముందు, ప్రతి ఒక్కరూ మిడిల్ స్కూల్‌లో ఉన్నప్పుడు ఎదుర్కొన్న అటువంటి నంబర్ సిరీస్ అనే భావనలోకి లోతుగా మునిగిపోవడం మంచిది. అంకగణిత పురోగతి అనేది ప్రక్కనే ఉన్న పదాల మధ్య వ్యత్యాసం స్థిరంగా ఉండే సంఖ్యల శ్రేణి.
సమస్య: “a 1 = 15, మరియు సంఖ్య సిరీస్ d = 4 యొక్క పురోగతి దశ. ఈ సిరీస్‌లోని మొదటి 4 నిబంధనలను రూపొందించండి"
పరిష్కారం: a 1 = 15 (షరతు ప్రకారం) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం (సంఖ్య సిరీస్).
మరియు 2 = 15+4=19 అనేది పురోగతి యొక్క రెండవ పదం.
మరియు 3 =19+4=23 అనేది మూడవ పదం.
మరియు 4 =23+4=27 అనేది నాల్గవ పదం.
అయితే, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి పెద్ద విలువలను చేరుకోవడం కష్టం, ఉదాహరణకు 125. . ప్రత్యేకించి అటువంటి సందర్భాలలో, అభ్యాసానికి అనుకూలమైన ఫార్ములా తీసుకోబడింది: a n =a 1 +d(n-1). ఈ సందర్భంలో, 125 =15+4(125-1)=511.
సీక్వెన్సుల రకాలు
చాలా సన్నివేశాలు అంతులేనివి, ఇది మీ జీవితాంతం గుర్తుంచుకోవాలి. సంఖ్యల శ్రేణిలో రెండు ఆసక్తికరమైన రకాలు ఉన్నాయి. మొదటిది a n =(-1) n సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది. గణిత శాస్త్రవేత్తలు తరచుగా ఈ క్రమాన్ని ఫ్లాషర్ అని పిలుస్తారు. ఎందుకు? దాని సంఖ్య శ్రేణిని తనిఖీ చేద్దాం.
1, 1, -1, 1, -1, 1, మొదలైనవి. ఇలాంటి ఉదాహరణతో, సీక్వెన్స్‌లలోని సంఖ్యలను సులభంగా పునరావృతం చేయవచ్చని స్పష్టమవుతుంది.
ఫాక్టోరియల్ సీక్వెన్స్. ఇది ఊహించడం సులభం - క్రమాన్ని నిర్వచించే ఫార్ములా కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు: a n = (n+1)!
అప్పుడు క్రమం ఇలా కనిపిస్తుంది:
a 2 = 1x2x3 = 6;
మరియు 3 = 1x2x3x4 = 24, మొదలైనవి.
అంకగణిత పురోగతి ద్వారా నిర్వచించబడిన క్రమాన్ని అసమానత -1 దాని అన్ని నిబంధనలకు సంతృప్తి చెందితే అనంతంగా తగ్గడం అంటారు. మరియు 3 = - 1/8, మొదలైనవి. అదే సంఖ్యతో కూడిన క్రమం కూడా ఉంది. కాబట్టి, n =6 అనంతమైన సిక్స్‌లను కలిగి ఉంటుంది. గణితంలో సీక్వెన్స్ పరిమితులు చాలా కాలంగా ఉన్నాయి. వాస్తవానికి, వారు వారి స్వంత సమర్థ రూపకల్పనకు అర్హులు. కాబట్టి, సీక్వెన్స్ పరిమితుల నిర్వచనాన్ని తెలుసుకోవడానికి సమయం. ముందుగా, లీనియర్ ఫంక్షన్ కోసం పరిమితిని వివరంగా చూద్దాం: సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చని అర్థం చేసుకోవడం సులభం: ఇది క్రమం యొక్క సభ్యులందరూ అనంతంగా చేరుకునే నిర్దిష్ట సంఖ్య. ఒక సాధారణ ఉదాహరణ: a x = 4x+1. అప్పుడు సీక్వెన్స్ ఇలా కనిపిస్తుంది. 5, 9, 13, 17, 21…x… అందువలన, ఈ క్రమం నిరవధికంగా పెరుగుతుంది, అంటే దాని పరిమితి x→∞ వలె అనంతానికి సమానం, మరియు దీనిని ఇలా వ్రాయాలి: మనం ఇదే క్రమాన్ని తీసుకుంటే, కానీ x 1కి మొగ్గు చూపితే, మనకు లభిస్తుంది: మరియు సంఖ్యల శ్రేణి ఇలా ఉంటుంది: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, మొదలైనవి. ప్రతిసారీ మీరు ఒకదానికి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ఈ సిరీస్ నుండి ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఐదు అని స్పష్టమవుతుంది. ఈ భాగం నుండి సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి ఏమిటో గుర్తుంచుకోవడం విలువ, సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి నిర్వచనం మరియు పద్ధతి. సంఖ్యా క్రమం, దాని నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణల పరిమితిని పరిశీలించిన తర్వాత, మీరు మరింత క్లిష్టమైన అంశానికి వెళ్లవచ్చు. ఖచ్చితంగా సీక్వెన్స్‌ల యొక్క అన్ని పరిమితులను ఒక సూత్రం ద్వారా రూపొందించవచ్చు, ఇది సాధారణంగా మొదటి సెమిస్టర్‌లో విశ్లేషించబడుతుంది. కాబట్టి, ఈ అక్షరాలు, మాడ్యూల్స్ మరియు అసమానత సంకేతాల సమితి అంటే ఏమిటి? ∀ అనేది యూనివర్సల్ క్వాంటిఫైయర్, "అందరికీ", "అన్నిటికీ" మొదలైన పదబంధాలను భర్తీ చేస్తుంది. ∃ అనేది ఒక అస్తిత్వ క్వాంటిఫైయర్, ఈ సందర్భంలో సహజ సంఖ్యల సమితికి చెందిన కొంత విలువ N ఉందని అర్థం. Nని అనుసరించే పొడవైన నిలువు కర్ర అంటే ఇచ్చిన సెట్ N "అటువంటిది" అని అర్థం. ఆచరణలో, ఇది "అటువంటిది", "అటువంటిది", మొదలైనవి. పదార్థాన్ని బలోపేతం చేయడానికి, సూత్రాన్ని బిగ్గరగా చదవండి. సీక్వెన్స్‌ల పరిమితిని కనుగొనే పద్ధతి, పైన చర్చించబడినది, ఉపయోగించడానికి సులభమైనది అయినప్పటికీ, ఆచరణలో అంత హేతుబద్ధమైనది కాదు. ఈ ఫంక్షన్ కోసం పరిమితిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి: మేము "x" యొక్క విభిన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే (ప్రతిసారీ పెరుగుతుంది: 10, 100, 1000, మొదలైనవి), అప్పుడు మనకు న్యూమరేటర్‌లో ∞ వస్తుంది, కానీ హారంలో కూడా ∞ వస్తుంది. ఇది చాలా విచిత్రమైన భిన్నానికి దారితీస్తుంది: అయితే ఇది నిజంగా అలా ఉందా? ఈ సందర్భంలో సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం చాలా సులభం. ప్రతిదీ అలాగే ఉంచడం సాధ్యమవుతుంది, ఎందుకంటే సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది మరియు ఇది సహేతుకమైన పరిస్థితులలో స్వీకరించబడింది, అయితే అలాంటి సందర్భాలలో ప్రత్యేకంగా మరొక మార్గం ఉంది. ముందుగా, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొనండి - ఇది 1, ఎందుకంటే xని x 1గా సూచించవచ్చు. ఇప్పుడు హారంలో అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొనండి. అలాగే 1. న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ వేరియబుల్ ద్వారా అత్యధిక స్థాయికి భాగిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, భిన్నాన్ని x 1 ద్వారా విభజించండి. తరువాత, వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న ప్రతి పదం ఏ విలువను కలిగి ఉందో మనం కనుగొంటాము. ఈ సందర్భంలో, భిన్నాలు పరిగణించబడతాయి. x→∞ వలె, ప్రతి భిన్నం యొక్క విలువ సున్నాకి ఉంటుంది. మీ పనిని వ్రాతపూర్వకంగా సమర్పించేటప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది ఫుట్‌నోట్‌లను తయారు చేయాలి: ఇది క్రింది వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది: వాస్తవానికి, xని కలిగి ఉన్న భిన్నాలు సున్నాలుగా మారలేదు! కానీ వాటి విలువ చాలా చిన్నది, ఇది గణనలలో పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా పూర్తిగా అనుమతించబడుతుంది. వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో x ఎప్పటికీ 0కి సమానంగా ఉండదు, ఎందుకంటే మీరు సున్నాతో భాగించలేరు. ప్రొఫెసర్ తన వద్ద సంక్లిష్టమైన క్రమాన్ని కలిగి ఉన్నాడని అనుకుందాం, స్పష్టంగా, సమానంగా సంక్లిష్టమైన సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది. ప్రొఫెసర్ సమాధానం కనుగొన్నాడు, అయితే ఇది సరైనదేనా? అన్ని తరువాత, ప్రజలందరూ తప్పులు చేస్తారు. అగస్టే కౌచీ ఒకసారి సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులను నిరూపించడానికి అద్భుతమైన మార్గంతో ముందుకు వచ్చారు. అతని పద్ధతిని పొరుగు మానిప్యులేషన్ అంటారు. ఒక నిర్దిష్ట బిందువు a ఉందని అనుకుందాం, సంఖ్య రేఖపై రెండు దిశలలో దాని పొరుగు ప్రాంతం ε ("ఎప్సిలాన్")కి సమానం. చివరి వేరియబుల్ దూరం కాబట్టి, దాని విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు కొంత క్రమాన్ని x n నిర్వచిద్దాం మరియు సీక్వెన్స్ యొక్క పదవ పదం (x 10) a యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో ఉందని అనుకుందాం. ఈ వాస్తవాన్ని మనం గణిత భాషలో ఎలా వ్రాయగలం? x 10 అనేది పాయింట్ a యొక్క కుడి వైపున, ఆపై దూరం x 10 -a అని అనుకుందాం<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. ఇప్పుడు పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఆచరణలో వివరించడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యను సీక్వెన్స్ యొక్క ముగింపు బిందువుగా పిలవడం న్యాయంగా ఉంటుంది, ఒకవేళ దాని పరిమితుల్లో ఏదైనా అసమానత ε>0 సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు మొత్తం పొరుగు వారి స్వంత సహజ సంఖ్య N కలిగి ఉంటుంది, అంటే సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ అధిక సంఖ్యలు కలిగి ఉంటారు. సీక్వెన్స్ లోపల ఉంటుంది |x n - a|< ε. అటువంటి జ్ఞానంతో సీక్వెన్స్ పరిమితులను పరిష్కరించడం, సిద్ధంగా ఉన్న సమాధానాన్ని నిరూపించడం లేదా తిరస్కరించడం సులభం. సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులపై సిద్ధాంతాలు సిద్ధాంతం యొక్క ముఖ్యమైన భాగం, ఇది లేకుండా అభ్యాసం అసాధ్యం. కేవలం నాలుగు ప్రధాన సిద్ధాంతాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, వీటిని గుర్తుంచుకోవడం ద్వారా పరిష్కారం లేదా రుజువు చాలా సులభం అవుతుంది: కొన్నిసార్లు మీరు ఒక విలోమ సమస్యను పరిష్కరించాలి, సంఖ్యా క్రమం యొక్క ఇచ్చిన పరిమితిని నిరూపించాలి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. సూత్రం ద్వారా అందించబడిన క్రమం యొక్క పరిమితి సున్నా అని నిరూపించండి. పైన చర్చించిన నియమం ప్రకారం, ఏదైనా క్రమానికి అసమానత |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క ఉనికిని చూపించడానికి మరియు క్రమం యొక్క పరిమితి ఉనికిని నిరూపించడానికి "ఎప్సిలాన్" ద్వారా nని వ్యక్తపరుస్తాము. ఈ సమయంలో, "ఎప్సిలాన్" మరియు "ఎన్" సానుకూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి సమానం కాదని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. ఇప్పుడు ఉన్నత పాఠశాలలో పొందిన అసమానతల గురించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి మరింత పరివర్తనలను కొనసాగించడం సాధ్యమవుతుంది. n > -3 + 1/ε అని ఎలా మారుతుంది. మేము సహజ సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతున్నామని గుర్తుంచుకోవడం విలువ కాబట్టి, ఫలితాన్ని చదరపు బ్రాకెట్లలో ఉంచడం ద్వారా గుండ్రంగా ఉంటుంది. ఈ విధంగా, పాయింట్ a = 0 యొక్క “ఎప్సిలాన్” పొరుగు యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, ప్రారంభ అసమానత సంతృప్తి చెందే విలువ కనుగొనబడిందని నిరూపించబడింది. ఇక్కడ నుండి మనం సురక్షితంగా చెప్పగలము, సంఖ్య a అనేది ఇచ్చిన క్రమం యొక్క పరిమితి. Q.E.D. మొదటి చూపులో ఎంత క్లిష్టంగా ఉన్నా, సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితిని నిరూపించడానికి ఈ అనుకూలమైన పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే మీరు పనిని చూసినప్పుడు భయపడకూడదు. స్థిరత్వ పరిమితి ఉనికి ఆచరణలో అవసరం లేదు. మీరు నిజంగా ముగింపు లేని సంఖ్యల శ్రేణిని సులభంగా చూడవచ్చు. ఉదాహరణకు, అదే "ఫ్లాషింగ్ లైట్" x n = (-1) n. చక్రీయంగా పునరావృతమయ్యే రెండు అంకెలతో కూడిన క్రమం పరిమితిని కలిగి ఉండదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. గణనల సమయంలో ఏదైనా క్రమంలో అనిశ్చితి (0/0, ∞/∞, ∞/0, మొదలైనవి) కలిగి ఉన్న ఒక సంఖ్య, భిన్నమైన వాటిని కలిగి ఉన్న సీక్వెన్స్‌లతో అదే కథ పునరావృతమవుతుంది. అయితే, తప్పు లెక్కలు కూడా జరుగుతాయని గుర్తుంచుకోవాలి. కొన్నిసార్లు మీ స్వంత పరిష్కారాన్ని ఒకటికి రెండుసార్లు సరిచూసుకోవడం మీకు సీక్వెన్స్ పరిమితిని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. సీక్వెన్సులు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతుల యొక్క అనేక ఉదాహరణలు పైన చర్చించబడ్డాయి మరియు ఇప్పుడు మరింత నిర్దిష్టమైన కేసును తీసుకొని దానిని "మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్" అని పిలుద్దాం. నిర్వచనం: కఠినమైన అసమానత x n కలిగి ఉన్నట్లయితే ఏదైనా క్రమాన్ని మోనోటోనికల్‌గా పెంచడం అని పిలుస్తారు.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. ఈ రెండు షరతులతో పాటు, ఇలాంటి కఠినమైన అసమానతలు కూడా ఉన్నాయి. దీని ప్రకారం, x n ≤ x n +1 (తగ్గని క్రమం) మరియు x n ≥ x n +1 (పెరుగని క్రమం). కానీ ఉదాహరణలతో దీన్ని అర్థం చేసుకోవడం సులభం. ఫార్ములా x n = 2+n ద్వారా ఇవ్వబడిన క్రమం క్రింది సంఖ్యల శ్రేణిని ఏర్పరుస్తుంది: 4, 5, 6, మొదలైనవి. ఇది మార్పు లేకుండా పెరుగుతున్న క్రమం. మరియు మనం x n =1/n తీసుకుంటే, మనకు శ్రేణి వస్తుంది: 1/3, ¼, 1/5, మొదలైనవి. ఇది మార్పులేని విధంగా తగ్గుతున్న క్రమం. బౌండెడ్ సీక్వెన్స్ అనేది పరిమితిని కలిగి ఉండే క్రమం. కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ అనేది అనంతమైన పరిమితిని కలిగి ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి. కాబట్టి, సరిహద్దుల క్రమం యొక్క పరిమితి ఏదైనా వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్య. ఒక పరిమితి మాత్రమే ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి. కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి అనంతమైన (వాస్తవమైన లేదా సంక్లిష్టమైన) పరిమాణం. మీరు సీక్వెన్స్ రేఖాచిత్రాన్ని గీస్తే, ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో అది కలుస్తున్నట్లు కనిపిస్తుంది, నిర్దిష్ట విలువగా మారుతుంది. అందుకే పేరు - కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్. అటువంటి క్రమానికి పరిమితి ఉండవచ్చు లేదా ఉండకపోవచ్చు. మొదట, అది ఉనికిలో ఉన్నప్పుడు అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; ఇక్కడ నుండి మీరు పరిమితి లేకపోవడాన్ని రుజువు చేసినప్పుడు ప్రారంభించవచ్చు. మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్‌లలో, కన్వర్జెంట్ మరియు డైవర్జెంట్ వేరుగా ఉంటాయి. కన్వర్జెంట్ అనేది x సెట్ ద్వారా ఏర్పడిన క్రమం మరియు ఈ సెట్‌లో నిజమైన లేదా సంక్లిష్ట పరిమితిని కలిగి ఉంటుంది. డైవర్జెంట్ అనేది దాని సెట్‌లో పరిమితి లేని క్రమం (నిజమైన లేదా సంక్లిష్టమైనది కాదు). అంతేకాకుండా, రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యంలో, దాని ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితులు కలిసినట్లయితే, క్రమం కలుస్తుంది. ఏదైనా అనంతమైన శ్రేణికి తెలిసిన పరిమితి (సున్నా) ఉన్నందున, కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి చాలా సందర్భాలలో సున్నాగా ఉంటుంది. మీరు ఏ కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ తీసుకున్నా, అవన్నీ సరిహద్దులుగా ఉంటాయి, కానీ అన్ని పరిమిత శ్రేణులు కలుస్తాయి. రెండు కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్‌ల మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి కూడా ఒక కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్. అయితే, అది నిర్వచించబడితే గుణకం కూడా కన్వర్జెంట్ కావచ్చు! సీక్వెన్స్ పరిమితులు అంకెలు మరియు సంఖ్యల వలె ముఖ్యమైనవి (చాలా సందర్భాలలో): 1, 2, 15, 24, 362, మొదలైనవి. కొన్ని కార్యకలాపాలను పరిమితులతో నిర్వహించవచ్చని తేలింది. ముందుగా, అంకెలు మరియు సంఖ్యల వలె, ఏదైనా క్రమం యొక్క పరిమితులను జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు. శ్రేణుల పరిమితులపై మూడవ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, కింది సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: శ్రేణుల మొత్తం పరిమితి వాటి పరిమితుల మొత్తానికి సమానం. రెండవది, సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులపై నాల్గవ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, కింది సమానత్వం నిజం: nవ సంఖ్య శ్రేణుల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి వాటి పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం. విభజనకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది: రెండు సీక్వెన్స్‌ల గుణకం యొక్క పరిమితి, పరిమితి సున్నా కానట్లయితే, వాటి పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది. అన్నింటికంటే, శ్రేణుల పరిమితి సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సున్నా ద్వారా విభజన ఫలితంగా ఉంటుంది, ఇది అసాధ్యం. సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి ఇప్పటికే కొంత వివరంగా చర్చించబడినట్లు అనిపిస్తుంది, అయితే “అనంత చిన్నది” మరియు “అనంత పెద్దది” వంటి పదబంధాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు ప్రస్తావించబడ్డాయి. సహజంగానే, 1/x శ్రేణి ఉంటే, ఇక్కడ x→∞, అటువంటి భిన్నం అనంతం, మరియు అదే క్రమం, కానీ పరిమితి సున్నాకి (x→0) ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం అనంతమైన పెద్ద విలువ అవుతుంది. మరియు అటువంటి పరిమాణాలు వాటి స్వంత లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. ఏదైనా చిన్న లేదా పెద్ద విలువలను కలిగి ఉన్న క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క లక్షణాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి: వాస్తవానికి, మీకు సాధారణ అల్గోరిథం తెలిస్తే, క్రమం యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం అంత కష్టమైన పని కాదు. కానీ స్థిరత్వం యొక్క పరిమితులు గరిష్ట శ్రద్ధ మరియు పట్టుదల అవసరమయ్యే అంశం. వాస్తవానికి, అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు పరిష్కారం యొక్క సారాంశాన్ని గ్రహించడం సరిపోతుంది. చిన్నగా ప్రారంభించి, మీరు కాలక్రమేణా గొప్ప ఎత్తులను సాధించవచ్చు.సీక్వెన్స్ పరిమితిని నిర్ణయించడం
సీక్వెన్స్‌ల పరిమితి కోసం సాధారణ హోదా
పరిమితి యొక్క అనిశ్చితి మరియు నిశ్చయత
పొరుగు ప్రాంతం అంటే ఏమిటి?
సిద్ధాంతాలు
క్రమం యొక్క రుజువు
లేదా బహుశా అతను అక్కడ లేడా?
మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్
కన్వర్జెంట్ మరియు బౌండెడ్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి
మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి
పరిమితులతో కూడిన వివిధ చర్యలు
సీక్వెన్స్ పరిమాణాల లక్షణాలు