ఆన్‌లైన్‌లో టేలర్ సిరీస్‌లోకి విధులను విస్తరించండి. పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ

విద్యార్థుల కోసం ఉన్నత గణితంఇది ఒక నిర్దిష్ట మొత్తం అని తెలుసుకోవాలి శక్తి సిరీస్, మాకు అందించిన శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ విరామానికి చెందినది, నిరంతర మరియు అపరిమిత సంఖ్యలో సార్లు మారుతుంది విభిన్నమైన ఫంక్షన్. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: ఇవ్వబడింది అని చెప్పవచ్చు ఏకపక్ష ఫంక్షన్ f(x) అనేది కొన్ని పవర్ సిరీస్‌ల మొత్తం? అంటే, f(x) ఫంక్షన్‌ని ఏ పరిస్థితులలో వర్ణించవచ్చు? శక్తి సిరీస్? ఈ ప్రశ్న యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే, ఫంక్షన్ f(x)ని పవర్ సిరీస్‌లోని మొదటి కొన్ని పదాల మొత్తంతో భర్తీ చేయడం సాధ్యమవుతుంది, అంటే బహుపది. ఈ ఫంక్షన్ భర్తీ చాలా ఉంది సాధారణ వ్యక్తీకరణ- బహుపది - కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు కూడా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది, అవి: సమగ్రాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, లెక్కించేటప్పుడు మొదలైనవి.

(α - R; x 0 + R) యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో చివరిదానితో సహా (n+1)వ క్రమం వరకు ఉత్పన్నాలను లెక్కించడం సాధ్యమయ్యే నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ f(x) కోసం ఇది నిరూపించబడింది. ) కొంత పాయింట్ x = α, సూత్రం నిజం:

ఈ సూత్రానికి ప్రసిద్ధ శాస్త్రవేత్త బ్రూక్ టేలర్ పేరు పెట్టారు. మునుపటి సిరీస్ నుండి పొందిన సిరీస్‌ను మాక్లారిన్ సిరీస్ అంటారు:

మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో విస్తరణ చేయడం సాధ్యమయ్యే నియమం:

1. మొదటి, రెండవ, మూడవ... ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను నిర్ణయించండి.
2. x=0 వద్ద ఉత్పన్నాలు దేనికి సమానమో లెక్కించండి.
3. ఈ ఫంక్షన్ కోసం మాక్లారిన్ సిరీస్‌ను వ్రాసి, ఆపై దాని కలయిక యొక్క విరామాన్ని నిర్ణయించండి.
4. విరామాన్ని (-R;R) నిర్ణయించండి, ఇక్కడ మాక్లారిన్ ఫార్ములా యొక్క శేషం

R n (x) -> 0 వద్ద n -> అనంతం. ఒకటి ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే, దానిలోని ఫంక్షన్ f(x) తప్పనిసరిగా మాక్లారిన్ సిరీస్ మొత్తంతో సమానంగా ఉండాలి.

ఇప్పుడు వ్యక్తిగత ఫంక్షన్ల కోసం మాక్లారిన్ సిరీస్‌ని పరిశీలిద్దాం.

1. కాబట్టి, మొదటిది f(x) = e x. వాస్తవానికి, దాని లక్షణాల ప్రకారం, అటువంటి ఫంక్షన్ చాలా భిన్నమైన ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు f (k) (x) = e x , ఇక్కడ k అన్నింటికీ సమానం. ప్రత్యామ్నాయం x = 0. మనకు f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 వస్తుంది... పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, సిరీస్ e x ఇలా కనిపిస్తుంది:

2. f(x) = sin x ఫంక్షన్ కోసం మాక్లారిన్ సిరీస్. అన్ని తెలియని వాటి కోసం ఫంక్షన్ డెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉంటుందని వెంటనే స్పష్టం చేద్దాం, అదనంగా, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), ఇక్కడ k ఏదైనా సమానం సహజ సంఖ్య. అంటే, సాధారణ గణనలను చేసిన తర్వాత, f(x) = sin x కోసం సిరీస్ క్రింది రూపంలో ఉంటుందని మేము నిర్ధారణకు రావచ్చు:

3. ఇప్పుడు f(x) = cos x ఫంక్షన్‌ని పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. తెలియని అందరికీ ఇది ఏకపక్ష క్రమం యొక్క ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంది మరియు |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

కాబట్టి, మేము మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో విస్తరించగల అత్యంత ముఖ్యమైన ఫంక్షన్‌లను జాబితా చేసాము, అయితే అవి కొన్ని ఫంక్షన్‌ల కోసం టేలర్ సిరీస్‌తో అనుబంధించబడ్డాయి. ఇప్పుడు మేము వాటిని జాబితా చేస్తాము. టేలర్ మరియు మాక్లారిన్ సిరీస్‌లు ఉన్నత గణితంలో సిరీస్‌లను పరిష్కరించడంలో ఆచరణాత్మక పనిలో ముఖ్యమైన భాగం అని కూడా గమనించాలి. కాబట్టి, టేలర్ సిరీస్.

1. మొదటిది f(x) = ln(1+x) ఫంక్షన్ కోసం సిరీస్ అవుతుంది. మునుపటి ఉదాహరణలలో వలె, ఇచ్చిన f(x) = ln(1+x) కోసం మేము మాక్లారిన్ సిరీస్ యొక్క సాధారణ రూపాన్ని ఉపయోగించి సిరీస్‌ని జోడించవచ్చు. అయితే, ఈ ఫంక్షన్ కోసం మాక్లారిన్ సిరీస్‌ను చాలా సరళంగా పొందవచ్చు. నిర్దిష్ట రేఖాగణిత శ్రేణిని ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, అటువంటి నమూనా యొక్క f(x) = ln(1+x) కోసం మేము శ్రేణిని పొందుతాము:

2. మరియు రెండవది, మా కథనంలో చివరిది, f(x) = ఆర్క్టాన్ x కోసం సిరీస్ అవుతుంది. విరామానికి చెందిన x కోసం [-1;1] విస్తరణ చెల్లుతుంది:

అంతే. ఈ కథనం ఉన్నత గణితంలో, ముఖ్యంగా ఆర్థిక శాస్త్రం మరియు సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయాలలో ఎక్కువగా ఉపయోగించే టేలర్ మరియు మాక్లారిన్ సిరీస్‌లను పరిశీలించింది.

16.1 ప్రాథమిక విధులను టేలర్ సిరీస్‌లోకి విస్తరించడం మరియు

మాక్లారిన్

ఒక సెట్‌లో ఏకపక్ష ఫంక్షన్ నిర్వచించబడితే చూపుదాం
, పాయింట్ సమీపంలో
అనేక ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంది మరియు ఇది పవర్ సిరీస్ మొత్తం:

అప్పుడు మీరు ఈ శ్రేణి యొక్క గుణకాలను కనుగొనవచ్చు.

పవర్ సిరీస్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
. అప్పుడు
.

ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి
:

వద్ద
:
.

రెండవ ఉత్పన్నం కోసం మనం పొందుతాము:

వద్ద
:
.

ఈ విధానాన్ని కొనసాగిస్తున్నారు nఒకసారి మనం పొందుతాము:
.

ఈ విధంగా, మేము ఫారమ్ యొక్క పవర్ సిరీస్‌ని పొందాము:

,

అంటారు టేలర్ పక్కనఫంక్షన్ కోసం
పాయింట్ సమీపంలో
.

టేలర్ సిరీస్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం మాక్లారిన్ సిరీస్వద్ద
:

ప్రధాన శ్రేణిని విస్మరించడం ద్వారా టేలర్ (మాక్లారిన్) సిరీస్‌లో మిగిలిన భాగం పొందబడుతుంది nమొదటి సభ్యులు మరియు గా సూచిస్తారు
. అప్పుడు ఫంక్షన్
మొత్తంగా వ్రాయవచ్చు nసిరీస్ యొక్క మొదటి సభ్యులు
మరియు మిగిలినవి
:,

.

మిగిలినవి సాధారణంగా ఉంటాయి
వివిధ సూత్రాలలో వ్యక్తీకరించబడింది.

వాటిలో ఒకటి Lagrange రూపంలో ఉంది:

, ఎక్కడ
.
.

ఆచరణలో మాక్లారిన్ సిరీస్ ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుందని గమనించండి. అందువలన, ఫంక్షన్ వ్రాయడానికి
పవర్ సిరీస్ మొత్తం రూపంలో ఇది అవసరం:

1) మాక్లారిన్ (టేలర్) సిరీస్ యొక్క గుణకాలను కనుగొనండి;

2) ఫలితంగా పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి;

3) ఈ సిరీస్ ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుందని నిరూపించండి
.

సిద్ధాంతం1 (మాక్లారిన్ శ్రేణి యొక్క కలయికకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు). సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని తెలియజేయండి
. ఈ సిరీస్ విరామంలో కలిసే క్రమంలో
పని చేయడానికి
, పరిస్థితి సంతృప్తి చెందడానికి ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది:
పేర్కొన్న విరామంలో.

సిద్ధాంతం 2.ఫంక్షన్ యొక్క ఏదైనా క్రమం యొక్క ఉత్పన్నాలు అయితే
కొంత విరామంలో
సంపూర్ణ విలువలో అదే సంఖ్యకు పరిమితం చేయబడింది ఎం, అంటే
, ఈ విరామంలో ఫంక్షన్
మాక్లారిన్ సిరీస్‌గా విస్తరించవచ్చు.

ఉదాహరణ1 . పాయింట్ చుట్టూ టేలర్ సిరీస్‌లో విస్తరించండి
ఫంక్షన్.

పరిష్కారం.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం
.

ఉదాహరణ2 . ఫంక్షన్‌ని విస్తరించండి ఒక పాయింట్ చుట్టూ టేలర్ సిరీస్‌లో
.

పరిష్కారం:

వద్ద ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాల విలువను కనుగొనండి
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

ఈ విలువలను వరుసగా ఉంచుదాం. మాకు దొరికింది:

లేదా
.

ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి. డి'అలెంబర్ట్ యొక్క పరీక్ష ప్రకారం, ఒక సిరీస్ కలుస్తుంది

.

అందువలన, ఏదైనా కోసం ఈ పరిమితి 1 కంటే తక్కువ, అందువల్ల సిరీస్ యొక్క కలయిక పరిధి ఇలా ఉంటుంది:
.

ప్రాథమిక ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణ యొక్క అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం. మాక్లారిన్ సిరీస్ గుర్తుకు తెచ్చుకోండి:

.

విరామంలో కలుస్తుంది
పని చేయడానికి
.

ఫంక్షన్‌ను సిరీస్‌గా విస్తరించడానికి ఇది అవసరం అని గమనించండి:

ఎ) ఈ ఫంక్షన్ కోసం మాక్లారిన్ సిరీస్ యొక్క గుణకాలను కనుగొనండి;

బి) ఫలిత శ్రేణి కోసం కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని లెక్కించండి;

c) ఫలిత శ్రేణి ఫంక్షన్‌కి కలుస్తుందని నిరూపించండి
.

ఉదాహరణ 3.ఫంక్షన్ పరిగణించండి
.

పరిష్కారం.

వద్ద ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాల విలువను గణిద్దాం
.

అప్పుడు శ్రేణి యొక్క సంఖ్యా గుణకాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

ఎవరికైనా n.కనుగొనబడిన గుణకాలను మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు పొందండి:

ఫలిత శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి, అవి:

.

అందువల్ల, సిరీస్ విరామంలో కలుస్తుంది
.

ఈ సిరీస్ ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది ఏదైనా విలువల కోసం , ఎందుకంటే ఏదైనా విరామంలో
ఫంక్షన్ మరియు దాని సంపూర్ణ విలువ ఉత్పన్నాలు సంఖ్యలో పరిమితం చేయబడ్డాయి .

ఉదాహరణ4 . ఫంక్షన్ పరిగణించండి
.

పరిష్కారం.

:

సమాన క్రమం యొక్క ఉత్పన్నాలను చూడటం సులభం
, మరియు ఉత్పన్నాలు బేసి క్రమంలో ఉంటాయి. కనుగొనబడిన గుణకాలను మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేసి, విస్తరణను పొందండి:

ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ విరామాన్ని కనుగొనండి. డి'అలెంబర్ట్ గుర్తు ప్రకారం:

ఎవరికైనా . అందువల్ల, సిరీస్ విరామంలో కలుస్తుంది
.

ఈ సిరీస్ ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది
, ఎందుకంటే దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు ఏకత్వానికి పరిమితం చేయబడ్డాయి.

ఉదాహరణ5 .
.

పరిష్కారం.

వద్ద ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాల విలువను కనుగొనండి
:

అందువలన, ఈ శ్రేణి యొక్క గుణకాలు:
మరియు
, అందుకే:

మునుపటి వరుస మాదిరిగానే, కలయిక ప్రాంతం
. సిరీస్ ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది
, ఎందుకంటే దాని అన్ని ఉత్పన్నాలు ఏకత్వానికి పరిమితం చేయబడ్డాయి.

దయచేసి ఫంక్షన్ గమనించండి
బేసి శక్తులలో బేసి మరియు శ్రేణి విస్తరణ, ఫంక్షన్
- సరి మరియు సమాన శక్తులలో శ్రేణికి విస్తరణ.

ఉదాహరణ6 . ద్విపద శ్రేణి:
.

పరిష్కారం.

వద్ద ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాల విలువను కనుగొనండి
:

దీని నుండి ఇది చూడవచ్చు:

మేము ఈ గుణకం విలువలను మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం మరియు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క విస్తరణను పవర్ సిరీస్‌గా పొందండి:

ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి:

అందువల్ల, సిరీస్ విరామంలో కలుస్తుంది
. వద్ద పరిమితి పాయింట్ల వద్ద
మరియు
ఘాతాంకంపై ఆధారపడి శ్రేణి కలుస్తుంది లేదా కలుస్తుంది
.

అధ్యయనం చేసిన సిరీస్ విరామంలో కలుస్తుంది
పని చేయడానికి
, అంటే, సిరీస్ మొత్తం
వద్ద
.

ఉదాహరణ7 . మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్‌ను విస్తరింపజేద్దాం
.

పరిష్కారం.

ఈ ఫంక్షన్‌ను సిరీస్‌గా విస్తరించడానికి, మేము ద్విపద శ్రేణిని ఇక్కడ ఉపయోగిస్తాము
. మాకు దొరికింది:

పవర్ సిరీస్ ఆస్తి ఆధారంగా (ఒక పవర్ సిరీస్‌ని దాని కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంలో విలీనం చేయవచ్చు), ఈ సిరీస్‌లోని ఎడమ మరియు కుడి వైపుల సమగ్రతను మేము కనుగొంటాము:

ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి:
,

అంటే, ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక ప్రాంతం విరామం
. విరామం చివరిలో సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్‌ని నిర్ధారిద్దాం. వద్ద

. ఈ సిరీస్ ఒక శ్రావ్యమైన సిరీస్, అంటే, ఇది విభేదిస్తుంది. వద్ద
మేము సాధారణ పదంతో సంఖ్యల శ్రేణిని పొందుతాము
.

లీబ్నిజ్ పరీక్ష ప్రకారం సిరీస్ కలుస్తుంది. అందువలన, ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక ప్రాంతం విరామం
.

16.2 ఇంచుమించు లెక్కల్లో పవర్ సిరీస్ యొక్క అప్లికేషన్

ఉజ్జాయింపు గణనలలో, పవర్ సిరీస్ చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది. వారి సహాయంతో, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పట్టికలు, లాగరిథమ్‌ల పట్టికలు, ఇతర ఫంక్షన్ల విలువల పట్టికలు సంకలనం చేయబడ్డాయి, ఇవి వివిధ జ్ఞాన రంగాలలో ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాలలో. అదనంగా, విధులను పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించడం వారి సైద్ధాంతిక అధ్యయనానికి ఉపయోగపడుతుంది. ఇంచుమించు లెక్కల్లో పవర్ సిరీస్‌ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు ప్రధాన సమస్య ఏమిటంటే, సిరీస్ మొత్తాన్ని దాని మొదటి మొత్తంతో భర్తీ చేసేటప్పుడు లోపాన్ని అంచనా వేయడం. nసభ్యులు.

రెండు సందర్భాలను పరిశీలిద్దాం:

ఫంక్షన్ సైన్-ఆల్టర్నేటింగ్ సిరీస్‌గా విస్తరించబడింది;

ఫంక్షన్ స్థిరమైన సంకేతం యొక్క శ్రేణిగా విస్తరించబడింది.

ఆల్టర్నేటింగ్ సిరీస్‌ని ఉపయోగించి గణన

ఫంక్షన్ లెట్
ఆల్టర్నేటింగ్ పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించింది. నిర్దిష్ట విలువ కోసం ఈ ఫంక్షన్‌ను లెక్కించేటప్పుడు మేము లైబ్నిజ్ ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేయగల సంఖ్యల శ్రేణిని పొందుతాము. ఈ ప్రమాణానికి అనుగుణంగా, శ్రేణి మొత్తం దాని మొదటి మొత్తంతో భర్తీ చేయబడితే nనిబంధనలు, అప్పుడు సంపూర్ణ లోపం ఈ శ్రేణిలో మిగిలిన మొదటి పదాన్ని మించదు, అంటే:
.

ఉదాహరణ8 . లెక్కించు
0.0001 ఖచ్చితత్వంతో.

పరిష్కారం.

మేము మాక్లారిన్ సిరీస్‌ని ఉపయోగిస్తాము
, కోణ విలువను రేడియన్లలో భర్తీ చేయడం:

మేము సిరీస్‌లోని మొదటి మరియు రెండవ నిబంధనలను ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో పోల్చినట్లయితే, అప్పుడు: .

మూడవ టర్మ్ విస్తరణ:

పేర్కొన్న గణన ఖచ్చితత్వం కంటే తక్కువ. అందువలన, లెక్కించేందుకు
సిరీస్ యొక్క రెండు పదాలను వదిలివేస్తే సరిపోతుంది, అంటే

.

ఈ విధంగా
.

ఉదాహరణ9 . లెక్కించు
0.001 ఖచ్చితత్వంతో.

పరిష్కారం.

మేము ద్విపద సిరీస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, వ్రాస్తాము
ఇలా:
.

ఈ వ్యక్తీకరణలో
,

సిరీస్‌లోని ప్రతి నిబంధనలను పేర్కొన్న ఖచ్చితత్వంతో పోల్చి చూద్దాం. అన్నది స్పష్టం
. అందువలన, లెక్కించేందుకు
సిరీస్ యొక్క మూడు పదాలను వదిలివేస్తే సరిపోతుంది.

లేదా
.

సానుకూల శ్రేణిని ఉపయోగించి గణన

ఉదాహరణ10 . సంఖ్యను లెక్కించండి 0.001 ఖచ్చితత్వంతో.

పరిష్కారం.

ఒక ఫంక్షన్ కోసం వరుసగా
ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
. మాకు దొరికింది:

శ్రేణి మొత్తాన్ని మొదటి మొత్తంతో భర్తీ చేసినప్పుడు తలెత్తే లోపాన్ని అంచనా వేద్దాం సభ్యులు. స్పష్టమైన అసమానతలను వ్రాద్దాం:

అంటే 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

సమస్య ప్రకారం, మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుంది nకింది అసమానతలను కలిగి ఉంటుంది:
లేదా
.

ఎప్పుడు అని తనిఖీ చేయడం సులభం n= 6:
.

అందుకే,
.

ఉదాహరణ11 . లెక్కించు
0.0001 ఖచ్చితత్వంతో.

పరిష్కారం.

సంవర్గమానాలను లెక్కించడానికి ఫంక్షన్ కోసం ఒక శ్రేణిని ఉపయోగించవచ్చని గమనించండి
, కానీ ఈ సిరీస్ చాలా నెమ్మదిగా కలుస్తుంది మరియు ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వాన్ని సాధించడానికి 9999 నిబంధనలను తీసుకోవడం అవసరం! అందువల్ల, లాగరిథమ్‌లను లెక్కించడానికి, ఒక నియమం వలె, ఫంక్షన్ కోసం ఒక సిరీస్ ఉపయోగించబడుతుంది
, ఇది విరామంలో కలుస్తుంది
.

లెక్క తీసుకుందాం
ఈ సిరీస్ ఉపయోగించి. వీలు
, అప్పుడు .

అందుకే,
,

లెక్కించేందుకు
ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో, మొదటి నాలుగు పదాల మొత్తాన్ని తీసుకోండి:
.

మిగిలిన సిరీస్
దానిని విస్మరిద్దాం. లోపాన్ని అంచనా వేద్దాం. అన్నది సుస్పష్టం

లేదా
.

కాబట్టి, గణన కోసం ఉపయోగించిన సిరీస్‌లో, ఫంక్షన్ కోసం సిరీస్‌లో 9999కి బదులుగా మొదటి నాలుగు పదాలను మాత్రమే తీసుకుంటే సరిపోతుంది.
.

స్వీయ నిర్ధారణ ప్రశ్నలు

1. టేలర్ సిరీస్ అంటే ఏమిటి?

2. మాక్లారిన్ సిరీస్ ఏ రూపాన్ని కలిగి ఉంది?

3. టేలర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ విస్తరణపై సిద్ధాంతాన్ని రూపొందించండి.

4. ప్రధాన విధుల యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణను వ్రాయండి.

5. పరిగణించబడిన సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాలను సూచించండి.

6. పవర్ శ్రేణిని ఉపయోగించి సుమారు గణనలలో లోపాన్ని ఎలా అంచనా వేయాలి?

ఫంక్షనల్ సిరీస్ సిద్ధాంతంలో, ఒక ఫంక్షన్‌ను సిరీస్‌గా విస్తరించడానికి కేటాయించిన విభాగం ద్వారా కేంద్ర స్థానం ఆక్రమించబడుతుంది.

అందువలన, పని సెట్ చేయబడింది: ఇచ్చిన ఫంక్షన్ కోసం అటువంటి శక్తి శ్రేణిని మనం కనుగొనాలి

ఇది ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో కలుస్తుంది మరియు దాని మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది
, ఆ.

= ..

ఈ పని అంటారు ఒక ఫంక్షన్‌ను పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించే సమస్య.

పవర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క కుళ్ళిపోవడానికి అవసరమైన షరతుదాని భేదం అనంతమైన సార్లు - ఇది కన్వర్జెంట్ పవర్ సిరీస్ యొక్క లక్షణాల నుండి అనుసరిస్తుంది. ఈ షరతు వారి నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లోని ప్రాథమిక విధుల కోసం ఒక నియమం వలె సంతృప్తి చెందుతుంది.

కాబట్టి ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం
ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించడం సాధ్యమేనా? అలా అయితే, ఈ సిరీస్‌ను మనం ఎలా కనుగొనగలం? సమస్య యొక్క రెండవ భాగాన్ని పరిష్కరించడం సులభం, కాబట్టి దానితో ప్రారంభిద్దాం.

ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం
పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న విరామంలో కలుస్తున్న పవర్ సిరీస్ మొత్తంగా సూచించబడుతుంది X 0 :

= .. (*)

ఎక్కడ ఎ 0 ,ఎ 1 ,ఎ 2 ,...,ఎ పి ,... - తెలియని (ఇంకా) గుణకాలు.

సమానత్వం (*) విలువలో ఉంచుదాం x = x 0 , అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

.

పదం ద్వారా పవర్ సిరీస్ (*) పదాన్ని వేరు చేద్దాం

= ..

మరియు ఇక్కడ నమ్మకం x = x 0 , మాకు దొరికింది

.

తదుపరి భేదంతో మేము సిరీస్‌ని పొందుతాము

= ..

నమ్ముతున్నారు x = x 0 , మాకు దొరికింది
, ఎక్కడ
.

తర్వాత పి- మనకు లభించే బహుళ భేదం

చివరి సమానత్వంలో ఊహిస్తూ x = x 0 , మాకు దొరికింది
, ఎక్కడ

కాబట్టి, గుణకాలు కనుగొనబడ్డాయి

,
,
, …,
,….,

శ్రేణికి (*) ప్రత్యామ్నాయంగా, మనకు లభిస్తుంది

ఫలితంగా సిరీస్ అంటారు టేలర్ పక్కన ఫంక్షన్ కోసం
.

అందువలన, మేము దానిని స్థాపించాము ఫంక్షన్‌ను పవర్‌లలో పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించగలిగితే (x - x 0 ), అప్పుడు ఈ విస్తరణ ప్రత్యేకమైనది మరియు ఫలితంగా వచ్చే సిరీస్ తప్పనిసరిగా టేలర్ సిరీస్.

పాయింట్ వద్ద ఏదైనా ఆర్డర్ యొక్క డెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉన్న ఏదైనా ఫంక్షన్ కోసం టేలర్ సిరీస్‌ను పొందవచ్చని గమనించండి x = x 0 . కానీ ఫంక్షన్ మరియు ఫలిత శ్రేణి మధ్య సమాన గుర్తును ఉంచవచ్చని దీని అర్థం కాదు, అనగా. శ్రేణి మొత్తం అసలు ఫంక్షన్‌కి సమానం. మొదటిది, అటువంటి సమానత్వం కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంలో మాత్రమే అర్ధవంతం అవుతుంది మరియు ఫంక్షన్ కోసం పొందిన టేలర్ సిరీస్ వేరుగా ఉండవచ్చు మరియు రెండవది, టేలర్ సిరీస్ కలిసినట్లయితే, దాని మొత్తం అసలు ఫంక్షన్‌తో ఏకీభవించకపోవచ్చు.

3.2 టేలర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క కుళ్ళిపోవడానికి తగిన పరిస్థితులు

పని పరిష్కరించబడే సహాయంతో ఒక ప్రకటనను రూపొందిద్దాం.

ఫంక్షన్ అయితే
పాయింట్ x యొక్క కొన్ని పరిసరాల్లో 0 వరకు ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంది (n+ 1) క్రమాన్ని కలుపుకొని, ఈ పరిసరాల్లో మేము కలిగి ఉన్నాముసూత్రం టేలర్

ఎక్కడఆర్ n (X)-టేలర్ ఫార్ములా యొక్క మిగిలిన పదం - రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది (లాగ్రాంజ్ రూపం)

ఎక్కడ చుక్కξ x మరియు x మధ్య ఉంటుంది 0 .

టేలర్ సిరీస్ మరియు టేలర్ ఫార్ములా మధ్య వ్యత్యాసం ఉందని గమనించండి: టేలర్ ఫార్ములా అనేది పరిమిత మొత్తం, అనగా. పి -స్థిర సంఖ్య.

సిరీస్ మొత్తం గుర్తుకు తెచ్చుకోండి ఎస్(x) పాక్షిక మొత్తాల ఫంక్షనల్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితిగా నిర్వచించవచ్చు ఎస్ పి (x) కొంత విరామంలో X:

.

దీని ప్రకారం, ఒక ఫంక్షన్‌ను టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరించడం అంటే ఏదైనా సిరీస్‌ని కనుగొనడం XX

మనం టేలర్ సూత్రాన్ని ఎక్కడ రూపంలో వ్రాస్తాము

గమనించండి, అది
మేము పొందే లోపాన్ని నిర్వచిస్తుంది, ఫంక్షన్‌ను భర్తీ చేస్తుంది f(x) బహుపది ఎస్ n (x).

ఉంటే
, ఆ
,అవి. ఫంక్షన్ టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరించబడింది. వైస్ వెర్సా, అయితే
, ఆ
.

అలా నిరూపించుకున్నాం టేలర్ సిరీస్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క కుళ్ళిపోవడానికి ప్రమాణం.

ఫంక్షన్ కోసంf(x) టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరిస్తుంది, ఈ విరామంలో ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది
, ఎక్కడఆర్ n (x) అనేది టేలర్ సిరీస్ యొక్క మిగిలిన పదం.

సూత్రీకరించిన ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి, ఒకరు పొందవచ్చు తగినంతటేలర్ శ్రేణిలో ఫంక్షన్ యొక్క కుళ్ళిపోయే పరిస్థితులు.

లోపల ఉంటేపాయింట్ x యొక్క కొంత పొరుగు ప్రాంతం 0 ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని ఉత్పన్నాల యొక్క సంపూర్ణ విలువలు ఒకే సంఖ్య Mకి పరిమితం చేయబడ్డాయి≥ 0, అనగా

, టిo ఈ పరిసరాల్లో ఫంక్షన్ టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరిస్తుంది.

పై నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది అల్గోరిథంఫంక్షన్ విస్తరణ f(x) టేలర్ సిరీస్‌లోఒక పాయింట్ సమీపంలో X 0 :

1. ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ మరియు దాని ఉత్పన్నాల విలువలను లెక్కించండి X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), ఎఫ్ (n) (x 0 ),…

3. మేము అధికారికంగా టేలర్ సిరీస్‌ని వ్రాస్తాము మరియు ఫలితంగా వచ్చే పవర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని కనుగొంటాము.

4. మేము తగినంత షరతుల నెరవేర్పును తనిఖీ చేస్తాము, అనగా. మేము దాని కోసం ఏర్పాటు చేస్తాము Xకన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం నుండి, మిగిలిన పదం ఆర్ n (x) వంటి సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది
లేదా
.

ఈ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి టేలర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ అంటారు నిర్వచనం ప్రకారం టేలర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్‌ని విస్తరించడంలేదా ప్రత్యక్ష కుళ్ళిపోవడం.

"ఫంక్షన్ f(x) యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణను కనుగొనండి"- ఉన్నత గణితంలో పని సరిగ్గా ఇదే అనిపిస్తుంది, కొంతమంది విద్యార్థులు దీన్ని చేయగలరు, మరికొందరు ఉదాహరణలను ఎదుర్కోలేరు. పవర్‌లలో సిరీస్‌ని విస్తరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి; ఇక్కడ మేము మాక్లారిన్ సిరీస్‌గా ఫంక్షన్‌లను విస్తరించడానికి ఒక సాంకేతికతను ఇస్తాము. సిరీస్‌లో ఫంక్షన్‌ను అభివృద్ధి చేస్తున్నప్పుడు, మీరు ఉత్పన్నాలను గణించడంలో మంచిగా ఉండాలి.

ఉదాహరణ 4.7 x యొక్క శక్తులలో ఒక ఫంక్షన్‌ను విస్తరించండి

లెక్కలు: మేము మాక్లారిన్ ఫార్ములా ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క విస్తరణను చేస్తాము. ముందుగా, ఫంక్షన్ యొక్క హారంను సిరీస్‌గా విస్తరిద్దాము

చివరగా, న్యూమరేటర్ ద్వారా విస్తరణను గుణించండి.
మొదటి పదం సున్నా f (0) = 1/3 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ.
మొదటి మరియు అధిక ఆర్డర్లు f (x) యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలను మరియు x=0 పాయింట్ వద్ద ఈ ఉత్పన్నాల విలువను కనుగొనండి




తరువాత, 0 వద్ద ఉత్పన్నాల విలువలో మార్పుల నమూనా ఆధారంగా, మేము n వ ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని వ్రాస్తాము

కాబట్టి, మేము మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో విస్తరణ రూపంలో హారంను సూచిస్తాము

మేము న్యూమరేటర్ ద్వారా గుణిస్తాము మరియు x యొక్క శక్తులలో సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ యొక్క కావలసిన విస్తరణను పొందుతాము

మీరు గమనిస్తే, ఇక్కడ సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు.
అన్ని కీలక పాయింట్లు ఉత్పన్నాలను లెక్కించే సామర్థ్యంపై ఆధారపడి ఉంటాయి మరియు సున్నా వద్ద అధిక ఆర్డర్ ఉత్పన్నం యొక్క విలువను త్వరగా సాధారణీకరిస్తాయి. శ్రేణిలో ఫంక్షన్‌ను త్వరగా ఎలా ఏర్పాటు చేయాలో తెలుసుకోవడానికి క్రింది ఉదాహరణలు మీకు సహాయపడతాయి.

ఉదాహరణ 4.10 ఫంక్షన్ యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణను కనుగొనండి

లెక్కలు: మీరు ఊహించినట్లుగా, మేము కొసైన్‌ను న్యూమరేటర్‌లో సిరీస్‌లో ఉంచుతాము. దీన్ని చేయడానికి, మీరు అనంతమైన పరిమాణాల కోసం సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు లేదా ఉత్పన్నాల ద్వారా కొసైన్ విస్తరణను పొందవచ్చు. ఫలితంగా, మేము x శక్తులలో క్రింది శ్రేణికి చేరుకుంటాము

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము సిరీస్ విస్తరణ యొక్క కనీస గణనలను మరియు కాంపాక్ట్ ప్రాతినిధ్యం కలిగి ఉన్నాము.

ఉదాహరణ 4.16 x యొక్క శక్తులలో ఫంక్షన్‌ను విస్తరించండి:
7/(12-x-x^2)
లెక్కలు: ఈ రకమైన ఉదాహరణలలో, సాధారణ భిన్నాల మొత్తం ద్వారా భిన్నాన్ని విస్తరించడం అవసరం.
దీన్ని ఎలా చేయాలో ఇప్పుడు మేము చూపించము, కానీ నిరవధిక గుణకాల సహాయంతో మేము భిన్నాల మొత్తానికి చేరుకుంటాము.
తరువాత మనం హారంలను ఘాతాంక రూపంలో వ్రాస్తాము

మాక్లారిన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిబంధనలను విస్తరించడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. “x” యొక్క అదే శక్తులతో నిబంధనలను సంగ్రహించడం, మేము సిరీస్‌లోని ఫంక్షన్ విస్తరణ యొక్క సాధారణ పదం కోసం సూత్రాన్ని కంపోజ్ చేస్తాము



ప్రారంభంలో సిరీస్‌కి పరివర్తన యొక్క చివరి భాగం అమలు చేయడం కష్టం, ఎందుకంటే జత చేసిన మరియు జత చేయని సూచికల (డిగ్రీలు) సూత్రాలను కలపడం కష్టం, కానీ అభ్యాసంతో మీరు దాన్ని మెరుగుపరుస్తారు.

ఉదాహరణ 4.18 ఫంక్షన్ యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణను కనుగొనండి

లెక్కలు: ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

మెక్‌లారెన్ సూత్రాలలో ఒకదాన్ని ఉపయోగించి ఫంక్షన్‌ను సిరీస్‌గా విస్తరింపజేద్దాం:

రెండూ ఖచ్చితంగా ఒకేలా ఉంటాయి అనే వాస్తవం ఆధారంగా మేము సిరీస్ పదాన్ని పదం వారీగా సంగ్రహిస్తాము. మొత్తం శ్రేణి పదాన్ని టర్మ్ వారీగా ఏకీకృతం చేసిన తర్వాత, మేము ఫంక్షన్ యొక్క విస్తరణను x అధికారాలలో శ్రేణిగా పొందుతాము

విస్తరణ యొక్క చివరి రెండు పంక్తుల మధ్య మార్పు ఉంది, ఇది ప్రారంభంలో మీకు చాలా సమయం పడుతుంది. శ్రేణి ఫార్ములాను సాధారణీకరించడం అందరికీ సులభం కాదు, కాబట్టి చక్కని, కాంపాక్ట్ ఫార్ములాను పొందలేకపోవడం గురించి చింతించకండి.

ఉదాహరణ 4.28 ఫంక్షన్ యొక్క మాక్లారిన్ సిరీస్ విస్తరణను కనుగొనండి:

సంవర్గమానాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్దాం

మాక్లారిన్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము లాగరిథమ్ ఫంక్షన్‌ను x యొక్క శక్తులలో సిరీస్‌లో విస్తరిస్తాము

చివరి కన్వల్యూషన్ మొదటి చూపులో సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది, కానీ సంకేతాలను ప్రత్యామ్నాయంగా మార్చినప్పుడు మీరు ఎల్లప్పుడూ ఇలాంటిదే పొందుతారు. వరుసగా ఫంక్షన్‌లను షెడ్యూల్ చేసే అంశంపై ఇన్‌పుట్ పాఠం పూర్తయింది. ఇతర సమానమైన ఆసక్తికరమైన కుళ్ళిపోయే పథకాలు క్రింది పదార్థాలలో వివరంగా చర్చించబడతాయి.

ఫంక్షన్ f(x) ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న అన్ని ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు టేలర్ ఫార్ములా దానికి వర్తించవచ్చు:
,
ఎక్కడ ఆర్ ఎన్- సిరీస్ యొక్క మిగిలిన పదం లేదా శేషం అని పిలవబడేది, దీనిని లాగ్రాంజ్ ఫార్ములా ఉపయోగించి అంచనా వేయవచ్చు:
, ఇక్కడ x సంఖ్య x మరియు a మధ్య ఉంటుంది.

f(x)=

పాయింట్ x 0 = వద్ద
అడ్డు వరుస మూలకాల సంఖ్య 3 4 5 6 7
ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల విస్తరణను ఉపయోగించండి e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

విధులను నమోదు చేయడానికి నియమాలు:

కొంత విలువ కోసం ఉంటే X ఆర్ ఎన్→0 వద్ద n→∞, అప్పుడు పరిమితిలో టేలర్ ఫార్ములా ఈ విలువకు కన్వర్జెంట్ అవుతుంది టేలర్ సిరీస్:
,
అందువల్ల, f(x) ఫంక్షన్‌ని టేలర్ సిరీస్‌గా x అనే పాయింట్ వద్ద విస్తరింపజేయవచ్చు:
1) ఇది అన్ని ఆర్డర్‌ల ఉత్పన్నాలను కలిగి ఉంది;
2) నిర్మించిన సిరీస్ ఈ సమయంలో కలుస్తుంది.

a = 0 అయినప్పుడు మనకు అనే శ్రేణి వస్తుంది మాక్లారిన్ సమీపంలో:
,
మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో సరళమైన (ప్రాథమిక) ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ:
ఘాతాంక విధులు
, R=∞
త్రికోణమితి విధులు
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx ఫంక్షన్ x శక్తులలో విస్తరించదు, ఎందుకంటే ctg0=∞
హైపర్బోలిక్ విధులు


లాగరిథమిక్ విధులు
, -1
ద్విపద శ్రేణి
.

ఉదాహరణ సంఖ్య 1. ఫంక్షన్‌ను పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించండి f(x)= 2x.
పరిష్కారం. ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు మరియు దాని ఉత్పన్నాలను ఇక్కడ కనుగొనండి X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
టేలర్ సిరీస్ ఫార్ములాలో ఉత్పన్నాల యొక్క పొందిన విలువలను భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:

ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ వ్యాసార్థం అనంతానికి సమానం, కాబట్టి ఈ విస్తరణ -∞కి చెల్లుతుంది<x<+∞.

ఉదాహరణ సంఖ్య 2. టేలర్ సిరీస్‌ను అధికారాలలో వ్రాయండి ( X+4) ఫంక్షన్ కోసం f(x)=ఇ x.
పరిష్కారం. ఫంక్షన్ ఇ యొక్క ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం xమరియు పాయింట్ వద్ద వారి విలువలు X=-4.
f(x)= ఇ x, f(-4) = ఇ -4 ;
f"(x)= ఇ x, f"(-4) = ఇ -4 ;
f""(x)= ఇ x, f""(-4) = ఇ -4 ;
…
f(n)(x)= ఇ x, f(n)( -4) = ఇ -4 .
కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క అవసరమైన టేలర్ సిరీస్ రూపం కలిగి ఉంది:

ఈ విస్తరణ -∞కి కూడా చెల్లుతుంది<x<+∞.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3. ఫంక్షన్‌ని విస్తరించండి f(x)= ln xఅధికారాలలో వరుసలో ( X- 1),
(అంటే పాయింట్ సమీపంలోని టేలర్ సిరీస్‌లో X=1).
పరిష్కారం. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలను కనుగొనండి.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
ఈ విలువలను సూత్రంలోకి మార్చడం ద్వారా, మేము కోరుకున్న టేలర్ సిరీస్‌ను పొందుతాము:

డి'అలెంబర్ట్ పరీక్షను ఉపయోగించి, మీరు సిరీస్ ½x-1½ వద్ద కలుస్తుందని ధృవీకరించవచ్చు<1 . Действительно,

½ ఉంటే సిరీస్ కలుస్తుంది X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 మేము లీబ్నిజ్ ప్రమాణం యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరిచే ప్రత్యామ్నాయ శ్రేణిని పొందుతాము. x=0 ఉన్నప్పుడు ఫంక్షన్ నిర్వచించబడదు. అందువలన, టేలర్ సిరీస్ యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతం సగం-ఓపెన్ విరామం (0;2].

ఉదాహరణ సంఖ్య 4. ఫంక్షన్‌ను పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించండి.
పరిష్కారం. విస్తరణలో (1) మేము xని -x 2తో భర్తీ చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:
, -∞

ఉదాహరణ సంఖ్య 5. ఫంక్షన్‌ను మాక్లారిన్ సిరీస్‌గా విస్తరించండి.
పరిష్కారం. మన దగ్గర ఉంది
ఫార్ములా (4) ఉపయోగించి, మనం వ్రాయవచ్చు:

ఫార్ములాలో xకి బదులుగా –xని భర్తీ చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

ఇక్కడ నుండి మనం కనుగొంటాము: ln(1+x)-ln(1-x) = -
బ్రాకెట్లను తెరవడం, సిరీస్ యొక్క నిబంధనలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం మరియు సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం, మేము పొందుతాము
. ఈ శ్రేణి విరామం (-1;1)లో కలుస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది రెండు సిరీస్‌ల నుండి పొందబడింది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈ విరామంలో కలుస్తుంది.

వ్యాఖ్య .
ఫార్ములాలు (1)-(5) సంబంధిత ఫంక్షన్‌లను టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరించడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు, అనగా. సానుకూల పూర్ణాంక శక్తులలో విధులను విస్తరించడం కోసం ( హా) దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్‌లలో ఒకదానిని (1)-(5) పొందేందుకు, ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌లో అటువంటి ఒకే విధమైన పరివర్తనలను నిర్వహించడం అవసరం, దానికి బదులుగా Xఖర్చులు k( హా) m , ఇక్కడ k అనేది స్థిరమైన సంఖ్య, m అనేది ధన పూర్ణాంకం. వేరియబుల్ యొక్క మార్పు చేయడానికి ఇది తరచుగా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది t=హామరియు మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో tకి సంబంధించి ఫలిత ఫంక్షన్‌ను విస్తరించండి.

ఈ పద్ధతి పవర్ సిరీస్‌లోని ఫంక్షన్ యొక్క విస్తరణ యొక్క ప్రత్యేకతపై సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, అదే పాయింట్ యొక్క పొరుగున దాని విస్తరణ ఎలా జరిగినప్పటికీ, ఒకే ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది రెండు వేర్వేరు పవర్ సిరీస్‌లను పొందలేము.

ఉదాహరణ సంఖ్య 5a. మాక్లారిన్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్‌ను విస్తరించండి మరియు కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతాన్ని సూచించండి.
పరిష్కారం. ముందుగా మనం 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ప్రాథమిక స్థాయికి:

భిన్నం 3/(1-3x) 3x హారంతో అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తంగా పరిగణించబడుతుంది, అయితే |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతంతో |x|< 1/3.

ఉదాహరణ సంఖ్య 6. x = 3 పాయింట్‌కి సమీపంలో ఫంక్షన్‌ను టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరించండి.
పరిష్కారం. ఈ సమస్య మునుపటిలాగా, టేలర్ సిరీస్ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కరించబడుతుంది, దీని కోసం మనం ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలు మరియు వాటి విలువలను కనుగొనాలి X=3. అయితే, ఇప్పటికే ఉన్న విస్తరణ (5)ని ఉపయోగించడం సులభం అవుతుంది:
=
ఫలితంగా సిరీస్ లేదా -3 వద్ద కలుస్తుంది

ఉదాహరణ సంఖ్య 7. ln(x+2) ఫంక్షన్ యొక్క పవర్స్ (x -1)లో టేలర్ శ్రేణిని వ్రాయండి.
పరిష్కారం.


సిరీస్ , లేదా -2 వద్ద కలుస్తుంది< x < 5.

ఉదాహరణ సంఖ్య 8. f(x)=sin(πx/4) ఫంక్షన్‌ని x =2 పాయింట్‌కి సమీపంలో టేలర్ సిరీస్‌గా విస్తరించండి.
పరిష్కారం. భర్తీ t=x-2 చేద్దాం:

విస్తరణ (3)ని ఉపయోగించి, దీనిలో x స్థానంలో π / 4 tని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనం పొందుతాము:

ఫలిత శ్రేణి -∞ వద్ద ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ఈ విధంగా,
, (-∞

పవర్ సిరీస్ ఉపయోగించి సుమారు లెక్కలు

పవర్ సిరీస్‌లు ఉజ్జాయింపు గణనలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. వారి సహాయంతో, మీరు మూలాల విలువలు, త్రికోణమితి విధులు, సంఖ్యల సంవర్గమానాలు మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్రాలను ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో లెక్కించవచ్చు. అవకలన సమీకరణాలను ఏకీకృతం చేసేటప్పుడు కూడా సిరీస్‌లు ఉపయోగించబడతాయి.
పవర్ సిరీస్‌లో ఫంక్షన్ విస్తరణను పరిగణించండి:

ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క సుమారు విలువను లెక్కించేందుకు X, సూచించిన శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ ప్రాంతానికి చెందినది, మొదటివి దాని విస్తరణలో మిగిలి ఉన్నాయి nసభ్యులు ( n- పరిమిత సంఖ్య), మరియు మిగిలిన నిబంధనలు విస్మరించబడతాయి:

పొందిన ఉజ్జాయింపు విలువ యొక్క లోపాన్ని అంచనా వేయడానికి, విస్మరించబడిన మిగిలిన rn (x) ను అంచనా వేయడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, కింది పద్ధతులను ఉపయోగించండి:

• ఫలిత శ్రేణి ఏకాంతరంగా ఉంటే, ఈ క్రింది ఆస్తి ఉపయోగించబడుతుంది: లీబ్నిజ్ షరతులను సంతృప్తిపరిచే ప్రత్యామ్నాయ శ్రేణి కోసం, సంపూర్ణ విలువలో శ్రేణి యొక్క మిగిలిన భాగం మొదటి విస్మరించిన పదాన్ని మించదు.
• ఇచ్చిన శ్రేణి స్థిరమైన సంకేతం అయితే, విస్మరించిన పదాలతో కూడిన సిరీస్ అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతితో పోల్చబడుతుంది.
• సాధారణ సందర్భంలో, మిగిలిన టేలర్ సిరీస్‌ను అంచనా వేయడానికి, మీరు లాగ్రాంజ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు: a x ).

ఉదాహరణ సంఖ్య 1. ln(3)ని సమీప 0.01కి లెక్కించండి.
పరిష్కారం. x=1/2 (మునుపటి అంశంలో ఉదాహరణ 5 చూడండి):

విస్తరణ యొక్క మొదటి మూడు నిబంధనల తర్వాత మిగిలిన వాటిని విస్మరించవచ్చో లేదో తనిఖీ చేద్దాం; దీన్ని చేయడానికి, మేము అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని మూల్యాంకనం చేస్తాము:

కాబట్టి మనం ఈ శేషాన్ని విస్మరించి పొందవచ్చు

ఉదాహరణ సంఖ్య 2. సమీప 0.0001కి లెక్కించండి.
పరిష్కారం. ద్విపద శ్రేణిని ఉపయోగించుకుందాం. 5 3 అనేది 130కి దగ్గరగా ఉండే పూర్ణాంకం యొక్క ఘనం కాబట్టి, 130 సంఖ్యను 130 = 5 3 +5గా సూచించడం మంచిది.



లీబ్నిజ్ ప్రమాణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఫలితంగా ఆల్టర్నేటింగ్ సిరీస్‌లో ఇప్పటికే నాల్గవ పదం అవసరమైన ఖచ్చితత్వం కంటే తక్కువగా ఉంది:
, కనుక ఇది మరియు దానిని అనుసరించే నిబంధనలను విస్మరించవచ్చు.
న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఆచరణాత్మకంగా అవసరమైన అనేక ఖచ్చితమైన లేదా సరికాని సమగ్రాలను లెక్కించడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే దాని అప్లికేషన్ యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడంతో ముడిపడి ఉంటుంది, ఇది తరచుగా ప్రాథమిక విధుల్లో వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉండదు. యాంటీడెరివేటివ్‌ను కనుగొనడం సాధ్యమవుతుందని కూడా ఇది జరుగుతుంది, అయితే ఇది అనవసరంగా శ్రమతో కూడుకున్నది. ఏదేమైనప్పటికీ, సమీకృత ఫంక్షన్ పవర్ సిరీస్‌గా విస్తరించబడితే మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు ఈ శ్రేణి యొక్క కన్వర్జెన్స్ విరామానికి చెందినవి అయితే, ముందుగా నిర్ణయించిన ఖచ్చితత్వంతో సమగ్రత యొక్క ఉజ్జాయింపు గణన సాధ్యమవుతుంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3. సమగ్ర ∫ 0 1 4 sin (x) x నుండి 10 -5 వరకు లెక్కించండి.
పరిష్కారం. సంబంధిత నిరవధిక సమగ్రతను ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్లలో వ్యక్తీకరించలేము, అనగా. "శాశ్వత సమగ్రం"ని సూచిస్తుంది. న్యూటన్-లీబ్నిజ్ ఫార్ములా ఇక్కడ వర్తించదు. సమగ్రతను సుమారుగా లెక్కిద్దాం.
పాపం కోసం శ్రేణిని పదం ద్వారా విభజించడం xపై x, మాకు దొరికింది:

ఈ శ్రేణి పదాన్ని పదం ద్వారా ఏకీకృతం చేయడం (ఇది సాధ్యమవుతుంది, ఎందుకంటే ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులు ఈ శ్రేణి యొక్క కలయిక యొక్క విరామానికి చెందినవి కాబట్టి), మేము పొందుతాము:

ఫలిత శ్రేణి లీబ్నిజ్ యొక్క షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది మరియు ఇచ్చిన ఖచ్చితత్వంతో కావలసిన విలువను పొందడానికి మొదటి రెండు పదాల మొత్తాన్ని తీసుకుంటే సరిపోతుంది.
అందువలన, మేము కనుగొంటాము
.

ఉదాహరణ సంఖ్య 4. సమగ్ర ∫ 0 1 4 e x 2ని 0.001 ఖచ్చితత్వంతో లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
. ఫలితంగా వచ్చే సిరీస్‌లో రెండవ టర్మ్ తర్వాత మిగిలిన వాటిని విస్మరించవచ్చో లేదో చూద్దాం.
0.0001<0.001. Следовательно, .