సరళ అసమానతల వ్యవస్థలు మరియు పాయింట్ల కుంభాకార సెట్లు. రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతకు గ్రాఫికల్ పరిష్కారం

"X"లు మాత్రమే ఉన్నాయి మరియు x-యాక్సిస్ మాత్రమే ఉన్నాయి, కానీ ఇప్పుడు "Y"లు జోడించబడ్డాయి మరియు కార్యాచరణ యొక్క ఫీల్డ్ మొత్తం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌కు విస్తరిస్తుంది. వచనంలో ఇంకా, "సరళ అసమానత" అనే పదబంధాన్ని ద్విమితీయ అర్థంలో అర్థం చేసుకోవచ్చు, ఇది సెకన్ల వ్యవధిలో స్పష్టమవుతుంది.

విశ్లేషణాత్మక జ్యామితితో పాటు, గణిత విశ్లేషణ మరియు ఆర్థిక మరియు గణిత మోడలింగ్‌లోని అనేక సమస్యలకు పదార్థం సంబంధితంగా ఉంటుంది, కాబట్టి ఈ ఉపన్యాసాన్ని అన్ని తీవ్రతతో అధ్యయనం చేయాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

సరళ అసమానతలు

సరళ అసమానతలు రెండు రకాలు:

1) స్ట్రిక్ట్అసమానతలు: .

2) లక్స్అసమానతలు: .

ఈ అసమానతల యొక్క రేఖాగణిత అర్థం ఏమిటి?ఒక సరళ సమీకరణం ఒక రేఖను నిర్వచిస్తే, అప్పుడు ఒక సరళ అసమానత నిర్వచిస్తుంది సగం విమానం.

కింది సమాచారాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు విమానంలోని పంక్తుల రకాలను తెలుసుకోవాలి మరియు సరళ రేఖలను నిర్మించగలగాలి. ఈ భాగంలో మీకు ఏవైనా ఇబ్బందులు ఉంటే, సహాయాన్ని చదవండి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు- లీనియర్ ఫంక్షన్ గురించి పేరా.

సరళమైన సరళ అసమానతలతో ప్రారంభిద్దాం. ప్రతి పేద విద్యార్థి కల ఏదీ లేని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్:

మీకు తెలిసినట్లుగా, x-అక్షం సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది - “y” ఎల్లప్పుడూ (“x” యొక్క ఏదైనా విలువకు) సున్నాకి సమానం

అసమానతను పరిశీలిద్దాం. అనధికారికంగా ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? "Y" ఎల్లప్పుడూ ("x" యొక్క ఏదైనా విలువకు) సానుకూలంగా ఉంటుంది. సహజంగానే, ఈ అసమానత ఎగువ సగం-విమానాన్ని నిర్వచిస్తుంది - అన్నింటికంటే, సానుకూల “గేమ్‌లు” ఉన్న అన్ని పాయింట్లు అక్కడ ఉన్నాయి.

అసమానత కఠినంగా లేని సందర్భంలో, ఎగువ సగం-విమానానికి అదనంగాఅక్షం కూడా జోడించబడింది.

అదేవిధంగా: అసమానత దిగువ సగం-విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది;

అదే గద్య కథ y-యాక్సిస్‌తో ఉంది:

- అసమానత సరైన సగం-విమానాన్ని నిర్దేశిస్తుంది;
- అసమానత ఆర్డినేట్ అక్షంతో సహా కుడి సగం-విమానాన్ని నిర్దేశిస్తుంది;
- అసమానత ఎడమ సగం విమానం నిర్దేశిస్తుంది;
- అసమానత అనేది ఆర్డినేట్ అక్షంతో సహా ఎడమ సగం-విమానాన్ని నిర్దేశిస్తుంది.

రెండవ దశలో, వేరియబుల్స్‌లో ఒకటి తప్పిపోయిన అసమానతలను మేము పరిశీలిస్తాము.

"Y" లేదు:

లేదా "x" లేదు:

ఈ అసమానతలను రెండు విధాలుగా పరిష్కరించవచ్చు: దయచేసి రెండు విధానాలను పరిగణించండి. అలాగే, తరగతిలో ఇప్పటికే చర్చించబడిన అసమానతలతో పాఠశాల చర్యలను గుర్తుంచుకోండి మరియు ఏకీకృతం చేద్దాం ఫంక్షన్ డొమైన్.

ఉదాహరణ 1

సరళ అసమానతలను పరిష్కరించండి:

సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

సరళ అసమానతను పరిష్కరించడం అంటే సగం విమానం కనుగొనడం, దీని పాయింట్లు ఈ అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తాయి (అసమానత్వం కఠినంగా లేకుంటే పంక్తితో పాటు). పరిష్కారం, ఒక నియమం వలె, గ్రాఫిక్.

డ్రాయింగ్‌ను వెంటనే అమలు చేసి, ఆపై ప్రతిదీ వ్యాఖ్యానించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

ఎ) అసమానతను పరిష్కరించండి

విధానం ఒకటి

మేము పైన చర్చించిన కోఆర్డినేట్ గొడ్డలితో కూడిన కథను ఈ పద్ధతి చాలా గుర్తు చేస్తుంది. అసమానతను మార్చడం అనేది ఆలోచన - ఏ స్థిరాంకాలు లేకుండా ఎడమ వైపున ఒక వేరియబుల్ వదిలివేయడం, ఈ సందర్భంలో వేరియబుల్ “x”.

నియమం: అసమానతలో, సంకేతాల మార్పుతో నిబంధనలు భాగం నుండి భాగానికి బదిలీ చేయబడతాయి, అయితే అసమానత యొక్క సంకేతం ITSELF మారదు(ఉదాహరణకు, "తక్కువ" గుర్తు ఉంటే, అది "తక్కువ"గా ఉంటుంది).

మేము గుర్తు మార్పుతో "ఐదు"ని కుడి వైపుకు తరలిస్తాము:

నియమం సానుకూల మారదు.

ఇప్పుడు సరళ రేఖను గీయండి (నీలం చుక్కల రేఖ). అసమానత కారణంగా సరళ రేఖ చుక్కల రేఖగా గీస్తారు కఠినమైన, మరియు ఈ రేఖకు చెందిన పాయింట్లు ఖచ్చితంగా పరిష్కారంలో చేర్చబడవు.

అసమానత అంటే ఏమిటి? "X" ఎల్లప్పుడూ ("Y" యొక్క ఏదైనా విలువకు) కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. సహజంగానే, ఈ ప్రకటన ఎడమ సగం-విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్ల ద్వారా సంతృప్తి చెందింది. ఈ సగం-విమానం, సూత్రప్రాయంగా, షేడ్ చేయబడవచ్చు, కానీ డ్రాయింగ్‌ను కళాత్మక పాలెట్‌గా మార్చకుండా ఉండటానికి నేను చిన్న నీలి బాణాలకు పరిమితం చేస్తాను.

విధానం రెండు

ఇది సార్వత్రిక పద్ధతి. చాలా జాగ్రత్తగా చదవండి!

మొదట మేము సరళ రేఖను గీస్తాము. స్పష్టత కోసం, సమీకరణాన్ని రూపంలో ప్రదర్శించడం మంచిది.

ఇప్పుడు విమానంలో ఏదైనా పాయింట్ ఎంచుకోండి, డైరెక్ట్‌కి చెందినది కాదు. చాలా సందర్భాలలో, స్వీట్ స్పాట్, కోర్సు. ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

అందుకుంది తప్పుడు అసమానత(సాధారణ పదాలలో, ఇది సాధ్యం కాదు), దీని అర్థం పాయింట్ అసమానతను సంతృప్తి పరచదు.

మా పని యొక్క ప్రధాన నియమం:
సంతృప్తి చెందదుఅసమానత, అప్పుడు అన్నిఇచ్చిన అర్ధ-విమానం యొక్క పాయింట్లు సంతృప్తి చెందవుఈ అసమానత.
- సగం విమానం యొక్క ఏదైనా బిందువు (రేఖకు చెందినది కాదు) సంతృప్తినిస్తుందిఅసమానత, అప్పుడు అన్నిఇచ్చిన అర్ధ-విమానం యొక్క పాయింట్లు సంతృప్తి చెందుతాయిఈ అసమానత.

మీరు పరీక్షించవచ్చు: రేఖకు కుడి వైపున ఉన్న ఏదైనా పాయింట్ అసమానతను సంతృప్తిపరచదు.

పాయింట్‌తో చేసిన ప్రయోగం నుండి ముగింపు ఏమిటి? వెళ్ళడానికి ఎక్కడా లేదు, అసమానత ఇతర అన్ని పాయింట్ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది - ఎడమ సగం విమానం (మీరు కూడా తనిఖీ చేయవచ్చు).

బి) అసమానతను పరిష్కరించండి

విధానం ఒకటి

అసమానతను మారుద్దాం:

నియమం: అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది). ప్రతికూలఅసమానత గుర్తుతో సంఖ్య మారుతోందివ్యతిరేకం (ఉదాహరణకు, "కంటే ఎక్కువ లేదా సమానం" గుర్తు ఉంటే, అది "తక్కువ లేదా సమానం" అవుతుంది).

మేము అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణిస్తాము:

మనకు అసమానత ఉన్నందున, సరళ రేఖను (ఎరుపు) గీయండి మరియు ఘన రేఖను గీయండి కాని కఠినమైన, మరియు సరళ రేఖ స్పష్టంగా పరిష్కారానికి చెందినది.

ఫలిత అసమానతను విశ్లేషించిన తరువాత, దాని పరిష్కారం దిగువ సగం-విమానం (+ సరళ రేఖ కూడా) అని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము.

మేము బాణాలతో తగిన సగం-విమానం నీడ లేదా గుర్తించండి.

విధానం రెండు

సరళ రేఖను గీయండి. విమానంలో ఒక ఏకపక్ష బిందువును ఎంచుకుందాం (ఒక లైన్‌కు చెందినది కాదు), ఉదాహరణకు, మరియు దాని కోఆర్డినేట్‌లను మన అసమానతలో భర్తీ చేయండి:

అందుకుంది నిజమైన అసమానత, అంటే పాయింట్ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది మరియు సాధారణంగా, దిగువ సగం-విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్లు ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ఇక్కడ, ప్రయోగాత్మక పాయింట్‌తో, మేము కావలసిన సగం-విమానాన్ని "కొట్టాము".

సమస్యకు పరిష్కారం ఎరుపు గీత మరియు ఎరుపు బాణాల ద్వారా సూచించబడుతుంది.

వ్యక్తిగతంగా, నేను మొదటి పరిష్కారాన్ని ఇష్టపడతాను, ఎందుకంటే రెండవది మరింత అధికారికమైనది.

ఉదాహరణ 2

సరళ అసమానతలను పరిష్కరించండి:

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. సమస్యను రెండు విధాలుగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి (మార్గం ద్వారా, పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడానికి ఇది మంచి మార్గం). పాఠం చివరిలో ఉన్న సమాధానం చివరి డ్రాయింగ్‌ను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణలలో చేసిన అన్ని చర్యల తర్వాత, మీరు వారిని వివాహం చేసుకోవలసి ఉంటుందని నేను భావిస్తున్నాను, ఇది వంటి సరళమైన అసమానతలను పరిష్కరించడం కష్టం కాదు.

రెండు వేరియబుల్స్ అసమానతలో ఉన్నప్పుడు మూడవ, సాధారణ కేసును పరిగణలోకి తీసుకుంటాము:

ప్రత్యామ్నాయంగా, "ce" అనే ఉచిత పదం సున్నా కావచ్చు.

ఉదాహరణ 3

కింది అసమానతలకు అనుగుణంగా సగం-విమానాలను కనుగొనండి:

పరిష్కారం: పాయింట్ ప్రత్యామ్నాయంతో సార్వత్రిక పరిష్కార పద్ధతి ఇక్కడ ఉపయోగించబడుతుంది.

ఎ) సరళ రేఖకు సమీకరణాన్ని రూపొందిద్దాం మరియు అసమానత కఠినమైనది మరియు సరళ రేఖ కూడా పరిష్కారంలో చేర్చబడదు కాబట్టి, రేఖను చుక్కల రేఖగా గీయాలి.

మేము ఇచ్చిన రేఖకు చెందని విమానం యొక్క ప్రయోగాత్మక బిందువును ఎంచుకుంటాము, ఉదాహరణకు, మరియు దాని కోఆర్డినేట్‌లను మా అసమానతలో భర్తీ చేస్తాము:

అందుకుంది తప్పుడు అసమానత, అంటే ఇచ్చిన అర్ధ-విమానం యొక్క పాయింట్ మరియు అన్ని పాయింట్లు అసమానతను సంతృప్తిపరచవు. అసమానతకు పరిష్కారం మరొక సగం విమానం అవుతుంది, నీలి మెరుపును ఆరాధిద్దాం:

బి) అసమానతను పరిష్కరిద్దాం. మొదట, సరళ రేఖను నిర్మిస్తాము. దీన్ని చేయడం కష్టం కాదు; అసమానత కఠినంగా లేనందున మేము నిరంతరం గీతను గీస్తాము.

సరళ రేఖకు చెందని విమానం యొక్క ఏకపక్ష బిందువును ఎంచుకుందాం. నేను మూలాన్ని మళ్లీ ఉపయోగించాలనుకుంటున్నాను, కానీ, అయ్యో, అది ఇప్పుడు సరిపోదు. అందువల్ల, మీరు మరొక స్నేహితుడితో కలిసి పని చేయాల్సి ఉంటుంది. చిన్న కోఆర్డినేట్ విలువలతో పాయింట్ తీసుకోవడం మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, . దాని కోఆర్డినేట్‌లను మన అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

అందుకుంది నిజమైన అసమానత, అంటే పాయింట్ మరియు ఇచ్చిన హాఫ్-ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తాయి. కావలసిన సగం విమానం ఎరుపు బాణాలతో గుర్తించబడింది. అదనంగా, పరిష్కారం సరళ రేఖను కలిగి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 4

అసమానతలకు అనుగుణంగా ఉండే అర్ధ-విమానాలను కనుగొనండి:

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పూర్తి పరిష్కారం, తుది రూపకల్పన యొక్క ఉజ్జాయింపు నమూనా మరియు పాఠం చివరిలో సమాధానం.

విలోమ సమస్యను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 5

ఎ) సరళ రేఖ ఇవ్వబడింది. నిర్వచించండి పాయింట్ ఉన్న సగం-విమానం, అయితే సరళ రేఖ కూడా పరిష్కారంలో చేర్చబడాలి.

బి) సరళ రేఖ ఇవ్వబడింది. నిర్వచించండి పాయింట్ ఉన్న సగం విమానం. సరళ రేఖ కూడా పరిష్కారంలో చేర్చబడలేదు.

పరిష్కారం: ఇక్కడ డ్రాయింగ్ అవసరం లేదు మరియు పరిష్కారం విశ్లేషణాత్మకంగా ఉంటుంది. కష్టం ఏమీ లేదు:

ఎ) సహాయక బహుపదిని సృష్టిద్దాం మరియు పాయింట్ వద్ద దాని విలువను లెక్కించండి:
. అందువలన, కావలసిన అసమానత "తక్కువ" గుర్తును కలిగి ఉంటుంది. షరతు ప్రకారం, సరళ రేఖ పరిష్కారంలో చేర్చబడింది, కాబట్టి అసమానత కఠినంగా ఉండదు:

బి) బహుపదిని కంపోజ్ చేద్దాం మరియు పాయింట్ వద్ద దాని విలువను గణిద్దాం:
. అందువలన, కావలసిన అసమానత "కంటే ఎక్కువ" గుర్తును కలిగి ఉంటుంది. షరతు ప్రకారం, సరళ రేఖ పరిష్కారంలో చేర్చబడలేదు, కాబట్టి అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది: .

సమాధానం:

స్వీయ అధ్యయనం కోసం సృజనాత్మక ఉదాహరణ:

ఉదాహరణ 6

ఇచ్చిన పాయింట్లు మరియు సరళ రేఖ. జాబితా చేయబడిన పాయింట్లలో, కోఆర్డినేట్‌ల మూలంతో పాటు, ఇచ్చిన పంక్తికి ఒకే వైపు ఉన్న వాటిని కనుగొనండి.

ఒక చిన్న సూచన: మొదట మీరు కోఆర్డినేట్‌ల మూలం ఉన్న సగం-విమానాన్ని నిర్ణయించే అసమానతను సృష్టించాలి. పాఠం చివరిలో విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

సరళ అసమానతల వ్యవస్థలు

సరళ అసమానతల వ్యవస్థ, మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, అనేక అసమానతలతో కూడిన వ్యవస్థ. Lol, బాగా, నేను నిర్వచనం ఇచ్చాను =) ఒక ముళ్ల పంది ఒక ముళ్ల పంది, ఒక కత్తి ఒక కత్తి. కానీ ఇది నిజం - ఇది సరళమైనది మరియు ప్రాప్యత చేయగలదు! లేదు, గంభీరంగా, నేను సాధారణ ఉదాహరణలేవీ ఇవ్వదలచుకోలేదు, కాబట్టి మనం నేరుగా ముఖ్యమైన సమస్యలకు వెళ్దాం:

సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి- దీని అర్థం విమానంలో పాయింట్ల సమితిని కనుగొనండి, ఇది సంతృప్తినిస్తుంది అందరికీవ్యవస్థ యొక్క అసమానత.

సరళమైన ఉదాహరణలుగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్లను నిర్ణయించే అసమానతల వ్యవస్థలను పరిగణించండి ("పేద విద్యార్థుల చిత్రం" పాఠం ప్రారంభంలో ఉంది):

అసమానతల వ్యవస్థ మొదటి కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (ఎగువ కుడి) నిర్వచిస్తుంది. మొదటి త్రైమాసికంలో ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు, ఉదాహరణకు, మొదలైనవి సంతృప్తి చెందుతాయి అందరికీఈ వ్యవస్థ యొక్క అసమానత.

అదేవిధంగా:
- అసమానతల వ్యవస్థ రెండవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (ఎగువ ఎడమ) నిర్దేశిస్తుంది;
- అసమానతల వ్యవస్థ మూడవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (దిగువ ఎడమ) నిర్వచిస్తుంది;
- అసమానతల వ్యవస్థ నాల్గవ కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్ (దిగువ కుడి) నిర్వచిస్తుంది.

సరళ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు ఉండకపోవచ్చు, అంటే, ఉండాలి కాని ఉమ్మడి. మళ్ళీ సరళమైన ఉదాహరణ: . "x" ఏకకాలంలో మూడు కంటే ఎక్కువ మరియు రెండు కంటే తక్కువగా ఉండకూడదు అనేది చాలా స్పష్టంగా ఉంది.

అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం సరళ రేఖగా ఉంటుంది, ఉదాహరణకు: . ఒక హంస, ఒక క్రేఫిష్, పైక్ లేకుండా, రెండు వేర్వేరు దిశల్లో బండిని లాగడం. అవును, విషయాలు ఇప్పటికీ ఉన్నాయి - ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం సరళ రేఖ.

కానీ వ్యవస్థకు పరిష్కారం కొన్ని ఉన్నప్పుడు అత్యంత సాధారణ కేసు విమానం ప్రాంతం. పరిష్కార ప్రాంతంకావచ్చు పరిమితం కాదు(ఉదాహరణకు, కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్స్) లేదా పరిమితం. పరిమిత పరిష్కార ప్రాంతం అంటారు బహుభుజి పరిష్కార వ్యవస్థ.

ఉదాహరణ 7

సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

ఆచరణలో, చాలా సందర్భాలలో మనం బలహీనమైన అసమానతలను ఎదుర్కోవలసి ఉంటుంది, కాబట్టి వారు మిగిలిన పాఠం కోసం రౌండ్ నృత్యాలకు నాయకత్వం వహిస్తారు.

పరిష్కారం: చాలా అసమానతలు ఉన్నాయి వాస్తవం భయానకంగా ఉండకూడదు. వ్యవస్థలో ఎన్ని అసమానతలు ఉండవచ్చు?అవును, మీకు నచ్చినంత. పరిష్కార ప్రాంతాన్ని నిర్మించడానికి హేతుబద్ధమైన అల్గోరిథంకు కట్టుబడి ఉండటం ప్రధాన విషయం:

1) మొదట మేము సరళమైన అసమానతలతో వ్యవహరిస్తాము. అసమానతలు కోఆర్డినేట్ అక్షాల సరిహద్దుతో సహా మొదటి కోఆర్డినేట్ క్వార్టర్‌ను నిర్వచిస్తాయి. శోధన ప్రాంతం గణనీయంగా తగ్గిపోయినందున ఇది ఇప్పటికే చాలా సులభం. డ్రాయింగ్‌లో, మేము వెంటనే సంబంధిత సగం-విమానాలను బాణాలతో (ఎరుపు మరియు నీలం బాణాలు) గుర్తించాము.

2) రెండవ సరళమైన అసమానత ఇక్కడ "Y" లేదు. ముందుగా, మేము సరళ రేఖను నిర్మిస్తాము మరియు రెండవది, అసమానతను రూపానికి మార్చిన తర్వాత , అన్ని "X" లు 6 కంటే తక్కువగా ఉన్నాయని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది. మేము ఆకుపచ్చ బాణాలతో సంబంధిత సగం-విమానాన్ని గుర్తు చేస్తాము. బాగా, శోధన ప్రాంతం మరింత చిన్నదిగా మారింది - అటువంటి దీర్ఘచతురస్రం పై నుండి పరిమితం కాదు.

3) చివరి దశలో మేము అసమానతలను "పూర్తి మందుగుండు సామగ్రితో" పరిష్కరిస్తాము: . మేము మునుపటి పేరాలో పరిష్కార అల్గోరిథం గురించి వివరంగా చర్చించాము. సంక్షిప్తంగా: మొదట మేము సరళ రేఖను నిర్మిస్తాము, ఆపై, ఒక ప్రయోగాత్మక పాయింట్ ఉపయోగించి, మనకు అవసరమైన సగం-విమానాన్ని కనుగొంటాము.

లేచి నిలబడండి, పిల్లలు, ఒక వృత్తంలో నిలబడండి:


సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కార ప్రాంతం ఒక బహుభుజి; నేను కొంచెం ఎక్కువ చేసాను =) నోట్‌బుక్‌లో, సొల్యూషన్ ప్రాంతాన్ని షేడ్ చేయడం లేదా సాధారణ పెన్సిల్‌తో బోల్డ్‌గా రూపుదిద్దడం సరిపోతుంది.

ఇచ్చిన బహుభుజి యొక్క ఏదైనా పాయింట్ సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తుంది (మీరు వినోదం కోసం దాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు).

సమాధానం: వ్యవస్థకు పరిష్కారం బహుభుజి.

క్లీన్ కాపీ కోసం దరఖాస్తు చేసినప్పుడు, మీరు సరళ రేఖలను నిర్మించడానికి ఏ పాయింట్లను ఉపయోగించారో వివరంగా వివరించడం మంచిది (పాఠం చూడండి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు), మరియు సగం-విమానాలు ఎలా నిర్ణయించబడ్డాయి (ఈ పాఠం యొక్క మొదటి పేరా చూడండి). అయితే, ఆచరణలో, చాలా సందర్భాలలో, మీరు కేవలం సరైన డ్రాయింగ్‌తో క్రెడిట్ చేయబడతారు. లెక్కలు డ్రాఫ్ట్‌లో లేదా మౌఖికంగా కూడా నిర్వహించబడతాయి.

వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం బహుభుజితో పాటు, ఆచరణలో, తక్కువ తరచుగా అయినప్పటికీ, బహిరంగ ప్రాంతం ఉంది. కింది ఉదాహరణను మీరే అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించండి. అయినప్పటికీ, ఖచ్చితత్వం కొరకు, ఇక్కడ హింస లేదు - నిర్మాణ అల్గోరిథం ఒకేలా ఉంటుంది, ఇది కేవలం ప్రాంతం అపరిమితంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 8

వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం మరియు సమాధానం పాఠం చివరిలో ఉన్నాయి. మీరు ఫలిత ప్రాంతం యొక్క శీర్షాల కోసం వేర్వేరు అక్షరాల పేర్లను కలిగి ఉండవచ్చు. ఇది ముఖ్యమైనది కాదు, ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే శీర్షాలను సరిగ్గా కనుగొని సరిగ్గా ప్రాంతాన్ని నిర్మించడం.

సిస్టమ్ యొక్క సొల్యూషన్ డొమైన్‌ను నిర్మించడం మాత్రమే కాకుండా, డొమైన్ యొక్క శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడం కూడా సమస్యలకు అవసరమైనప్పుడు ఇది అసాధారణం కాదు. మునుపటి రెండు ఉదాహరణలలో, ఈ పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లు స్పష్టంగా ఉన్నాయి, కానీ ఆచరణలో ప్రతిదీ మంచుకు దూరంగా ఉంది:

ఉదాహరణ 9

సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి మరియు ఫలిత ప్రాంతం యొక్క శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి

పరిష్కారం: ఈ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కార ప్రాంతాన్ని డ్రాయింగ్‌లో చిత్రీకరిద్దాం. అసమానత ఎడమ అర్ధ-విమానాన్ని ఆర్డినేట్ అక్షంతో నిర్వచిస్తుంది మరియు ఇక్కడ ఎక్కువ ఫ్రీబీ లేదు. తుది కాపీ/డ్రాఫ్ట్ లేదా లోతైన ఆలోచన ప్రక్రియలపై లెక్కల తర్వాత, మేము ఈ క్రింది పరిష్కారాలను పొందుతాము:

ఈ వ్యాసంలో నేను నా చందాదారుల నుండి మరొక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తాను. ప్రశ్నలు రకరకాలుగా వస్తాయి. అవన్నీ సరిగ్గా రూపొందించబడలేదు. మరియు వాటిలో కొన్ని రచయిత ఏమి అడగాలనుకుంటున్నాడో వెంటనే స్పష్టంగా తెలియని విధంగా రూపొందించబడ్డాయి. అందువల్ల, పంపిన అనేక రకాల ప్రశ్నలలో, నేను నిజంగా ఆసక్తికరమైన వాటిని ఎంచుకోవాలి, అలాంటి “ముత్యాలు”, సమాధానమివ్వడం ఉత్తేజకరమైనది మాత్రమే కాదు, నా ఇతర పాఠకులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మరియు ఈ రోజు నేను ఈ ప్రశ్నలలో ఒకదానికి సమాధానం ఇస్తాను. అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని ఎలా చిత్రించాలి?


ఇది నిజంగా మంచి ప్రశ్న. ఎందుకంటే గణితంలో సమస్యలను గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించే విధానం చాలా శక్తివంతమైన పద్ధతి. ఒక వ్యక్తి వివిధ దృశ్య పదార్థాల సహాయంతో సమాచారాన్ని గ్రహించడం అతనికి మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండే విధంగా రూపొందించబడింది. అందువల్ల, మీరు ఈ పద్ధతిలో ప్రావీణ్యం కలిగి ఉంటే, నన్ను నమ్మండి, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ నుండి, ముఖ్యంగా రెండవ భాగం, ఇతర పరీక్షలు మరియు ఆప్టిమైజేషన్ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు మొదలైన వాటి నుండి పనులను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇది మీ ఇద్దరికీ ఎంతో అవసరం. .

కాబట్టి ఇదిగో ఇదిగో. ఈ ప్రశ్నకు మనం ఎలా సమాధానం చెప్పగలం? సరళంగా ప్రారంభిద్దాం. అసమానతల వ్యవస్థ ఒక వేరియబుల్ మాత్రమే కలిగి ఉండనివ్వండి.

ఉదాహరణ 1. అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని గీయండి: శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది">!}

ఈ వ్యవస్థను సులభతరం చేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 7ని జోడించి, అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చకుండా, రెండు వైపులా 2 ద్వారా విభజించండి, ఎందుకంటే 2 సానుకూల సంఖ్య. మేము రెండవ అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 4 జోడిస్తాము, ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది అసమానతల వ్యవస్థను పొందుతాము:

శీర్షిక=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది">!}

సాధారణంగా ఇటువంటి సమస్యను ఒక డైమెన్షనల్ అంటారు. ఎందుకు? అవును, ఎందుకంటే దాని అనేక పరిష్కారాలను వర్ణించడానికి, ఇది తగినంతగా ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది. ఒక సంఖ్య రేఖ, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే. ఈ సంఖ్య రేఖపై 6 మరియు 8 పాయింట్లను గుర్తు పెట్టుకుందాం. పాయింట్ 6 కంటే పాయింట్ 8 మరింత కుడి వైపున ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే సంఖ్య లైన్‌లో పెద్ద సంఖ్యలు చిన్న వాటి కుడి వైపున ఉంటాయి. అదనంగా, పాయింట్ 8 షేడ్ చేయబడుతుంది, ఎందుకంటే, మొదటి అసమానత యొక్క సంజ్ఞామానం ప్రకారం, ఇది దాని పరిష్కారంలో చేర్చబడుతుంది. దీనికి విరుద్ధంగా, పాయింట్ 6 షేడ్ చేయబడదు, ఎందుకంటే ఇది రెండవ అసమానత యొక్క పరిష్కారంలో చేర్చబడలేదు:

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానత ద్వారా అవసరమైన విధంగా, 8 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన విలువలను పైన ఉన్న బాణంతో మరియు దిగువ బాణంతో - అవసరమైన విధంగా 6 కంటే ఎక్కువ విలువలతో గుర్తు పెట్టుకుందాం. వ్యవస్థ యొక్క రెండవ అసమానత:

అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు నంబర్ లైన్‌లో ఎక్కడ ఉన్నాయి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. ఒక్కసారి గుర్తుంచుకోండి. సిస్టమ్ యొక్క చిహ్నం - కర్లీ బ్రేస్ - గణితంలో "I" సంయోగాన్ని భర్తీ చేస్తుంది. అంటే, ఫార్ములాల భాషను మానవ భాషలోకి అనువదించడం ద్వారా, మనం 6 కంటే ఎక్కువ మరియు 8 కంటే తక్కువ లేదా సమానమైన విలువలను సూచించాల్సిన అవసరం ఉందని చెప్పవచ్చు. అంటే, అవసరమైన విరామం గుర్తించబడిన ఖండన వద్ద ఉంటుంది. విరామాలు:

కాబట్టి అసమానతల వ్యవస్థ ఒకే వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉన్న సందర్భంలో సంఖ్యా రేఖపై అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని మేము చిత్రీకరించాము. ఈ షేడెడ్ విరామం అన్ని విలువలను కలిగి ఉంటుంది, దీని కోసం సిస్టమ్‌లో వ్రాయబడిన అన్ని అసమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి.

ఇప్పుడు మరింత క్లిష్టమైన కేసును పరిశీలిద్దాం. మా సిస్టమ్‌లో రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతలను కలిగి ఉండనివ్వండి మరియు . ఈ సందర్భంలో, అటువంటి వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలను చిత్రీకరించడానికి సరళ రేఖను మాత్రమే ఉపయోగించడం సాధ్యం కాదు. మేము ఒక డైమెన్షనల్ ప్రపంచాన్ని దాటి దానికి మరొక కోణాన్ని జోడిస్తాము. ఇక్కడ మనకు మొత్తం విమానం కావాలి. నిర్దిష్ట ఉదాహరణను ఉపయోగించి పరిస్థితిని చూద్దాం.

కాబట్టి, ఒక విమానంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల యొక్క ఇచ్చిన వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని మనం ఎలా చిత్రించగలం? సరళమైన విషయంతో ప్రారంభిద్దాం. ఈ విమానం యొక్క ఏ ప్రాంతం అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందో మనల్ని మనం ప్రశ్నించుకుందాం. సమీకరణం అక్షానికి లంబంగా నడుస్తున్న సరళ రేఖను నిర్దేశిస్తుంది OXపాయింట్ ద్వారా (0;0). అంటే, వాస్తవానికి, ఈ సరళ రేఖ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది OY. సరే, 0 కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన విలువలపై మాకు ఆసక్తి ఉన్నందున, సరళ రేఖకు కుడి వైపున ఉన్న మొత్తం సగం విమానం అనుకూలంగా ఉంటుంది:

అంతేకాక, అక్షం మీద ఉన్న అన్ని పాయింట్లు OYఅసమానత కఠినంగా లేనందున , మాకు కూడా అనుకూలంగా ఉంటాయి.

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో మూడవ అసమానత ఏ ప్రాంతాన్ని నిర్వచించాలో అర్థం చేసుకోవడానికి, మీరు ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయాలి. ఇది మూలం గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ మరియు ఉదాహరణకు, పాయింట్ (1;1). అంటే, వాస్తవానికి, ఇది మొదటి కోఆర్డినేట్ త్రైమాసికాన్ని ఏర్పరుచుకునే కోణం యొక్క ద్విభాగాన్ని కలిగి ఉన్న సరళ రేఖ.

ఇప్పుడు వ్యవస్థలోని మూడవ అసమానతను చూద్దాం మరియు ఆలోచించండి. మనం ఏ ప్రాంతాన్ని కనుగొనాలి? చూద్దాం: . కంటే ఎక్కువ లేదా సమాన గుర్తు. అంటే, పరిస్థితి మునుపటి ఉదాహరణలో మాదిరిగానే ఉంటుంది. ఇక్కడ మాత్రమే "మరింత" అంటే "ఎక్కువ కుడివైపు" కాదు, కానీ "ఎక్కువ". ఎందుకంటే OY- ఇది మా నిలువు అక్షం. అంటే, మూడవ అసమానత ద్వారా విమానంలో నిర్వచించబడిన ప్రాంతం లైన్ పైన లేదా దానిపై ఉన్న పాయింట్ల సమితి:

మొదటి అసమానతతో వ్యవస్థ కొద్దిగా తక్కువ సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. కానీ మేము మూడవ అసమానత ద్వారా నిర్వచించబడిన ప్రాంతాన్ని గుర్తించగలిగిన తర్వాత, ఎలా పని చేయాలో ఇప్పటికే స్పష్టంగా ఉందని నేను భావిస్తున్నాను.

ఈ అసమానతను ఎడమవైపు మాత్రమే వేరియబుల్ మరియు కుడి వైపున మాత్రమే వేరియబుల్ ఉండే విధంగా ప్రదర్శించడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, అసమానత యొక్క రెండు వైపుల నుండి తీసివేయండి మరియు అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చకుండా, రెండు వైపులా 2 ద్వారా విభజించండి, ఎందుకంటే 2 అనేది సానుకూల సంఖ్య. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది అసమానతలను పొందుతాము:

అక్షాన్ని కలిపే కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై సరళ రేఖను గీయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది OYపాయింట్ వద్ద A(0;4) మరియు పాయింట్ వద్ద సరళ రేఖ. నేను రేఖల సమీకరణాల యొక్క కుడి-భుజాలను సమం చేయడం ద్వారా మరియు సమీకరణాన్ని పొందడం ద్వారా రెండోదాన్ని నేర్చుకున్నాను. ఈ సమీకరణం నుండి ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్ కనుగొనబడింది మరియు కోఆర్డినేట్, మీరు ఊహించినట్లు నేను భావిస్తున్నాను, ఇది కోఆర్డినేట్‌కు సమానం. ఇప్పటికీ ఊహించని వారికి, మేము ఖండన రేఖలలో ఒకదాని యొక్క సమీకరణాన్ని కలిగి ఉన్నందున ఇది జరిగింది: .

మేము ఈ సరళ రేఖను గీసిన వెంటనే, కావలసిన ప్రాంతాన్ని వెంటనే గుర్తించవచ్చు. ఇక్కడ అసమానత సంకేతం "తక్కువ లేదా సమానం." దీని అర్థం కావలసిన ప్రాంతం వర్ణించబడిన సరళ రేఖలో దిగువన లేదా నేరుగా ఉంది:

సరే, చివరి ప్రశ్న. వ్యవస్థలోని మూడు అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే కావలసిన ప్రాంతం ఎక్కడ ఉంది? సహజంగానే, ఇది మూడు గుర్తించబడిన ప్రాంతాల కూడలిలో ఉంది. మళ్లీ దాటుతోంది! గుర్తుంచుకోండి: గణితంలో సిస్టమ్ సైన్ అంటే ఖండన. ఇదిగో, ఈ ప్రాంతం:

బాగా, చివరి ఉదాహరణ. మరింత సాధారణమైనది. సిస్టమ్‌లో మనకు ఒక వేరియబుల్ లేదా రెండు కాదు, కానీ మూడు వేరియబుల్ ఉన్నాయని ఇప్పుడు అనుకుందాం!

మూడు వేరియబుల్స్ ఉన్నందున, అటువంటి అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని వర్ణించడానికి, మునుపటి ఉదాహరణలో మేము పనిచేసిన రెండింటికి అదనంగా మూడవ కోణం అవసరం. అంటే, మేము విమానం నుండి అంతరిక్షంలోకి ఎక్కి మూడు కోణాలతో ప్రాదేశిక కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థను వర్ణిస్తాము: X, వైమరియు Z. ఇది పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తుకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఈ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సమీకరణం ద్వారా పేర్కొన్న ఉపరితలాన్ని వర్ణించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. రూపంలో, ఇది విమానంలోని వృత్తం యొక్క సమీకరణానికి చాలా పోలి ఉంటుంది, వేరియబుల్‌తో మరో పదం మాత్రమే జోడించబడుతుంది. ఇది బిందువు వద్ద కేంద్రం (1;3;2) ఉన్న గోళం యొక్క సమీకరణం అని ఊహించడం సులభం, దీని వ్యాసార్థం యొక్క వర్గము 4. అంటే వ్యాసార్థమే 2.

అప్పుడు ఒక ప్రశ్న. అసమానత ఏమి సెట్ చేస్తుంది? ఈ ప్రశ్నతో కలవరపడిన వారికి, నేను ఈ క్రింది విధంగా ఆలోచించాలని ప్రతిపాదించాను. ఫార్ములాల భాషను మానవ భాషలోకి అనువదించడం ద్వారా, పాయింట్ (1;3;2) వద్ద కేంద్రంతో అన్ని గోళాలను సూచించడం అవసరమని మనం చెప్పగలం, వీటి వ్యాసార్థాలు 2 కంటే తక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటాయి. కానీ తర్వాత అన్నీ ఈ గోళాలు వర్ణించబడిన గోళం లోపల ఉంటాయి! అంటే, వాస్తవానికి, ఈ అసమానత వర్ణించబడిన గోళం యొక్క మొత్తం అంతర్గత ప్రాంతాన్ని నిర్దేశిస్తుంది. మీకు కావాలంటే, వర్ణించబడిన గోళంతో ఒక బంతి నిర్వచించబడింది:

x+y+z=4 సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన ఉపరితలం అనేది పాయింట్లు (0;0;4), (0;4;0) మరియు (4;0;0) వద్ద కోఆర్డినేట్ అక్షాలను కలుస్తుంది. సరే, సమాన సంకేతం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న పెద్ద సంఖ్య, కోఆర్డినేట్ సెంటర్ నుండి ఈ విమానం కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన బిందువులు గుర్తించబడతాయని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, రెండవ అసమానత ఇచ్చిన విమానం "పైన" ఉన్న సగం ఖాళీని నిర్దేశిస్తుంది. "అధిక" అనే సాంప్రదాయిక పదాన్ని ఉపయోగించి, అక్షాలతో పాటు కోఆర్డినేట్ విలువలను పెంచే దిశలో నా ఉద్దేశ్యం.

ఈ విమానం వర్ణించబడిన గోళాన్ని కలుస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ఖండన విభాగం ఒక సర్కిల్. కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ యొక్క కేంద్రం నుండి ఈ సర్కిల్ యొక్క కేంద్రం ఎంత దూరంలో ఉందో కూడా మీరు లెక్కించవచ్చు. మార్గం ద్వారా, దీన్ని ఎలా చేయాలో ఎవరు ఊహించారో, మీ పరిష్కారాలను మరియు సమాధానాలను వ్యాఖ్యలలో వ్రాయండి. అందువల్ల, అసమానతల యొక్క ప్రారంభ వ్యవస్థ ఈ విమానం నుండి మరింత కోఆర్డినేట్‌లను పెంచే దిశలో ఉన్న స్థలం యొక్క ప్రాంతాన్ని నిర్దేశిస్తుంది, కానీ వర్ణించబడిన గోళంలో మూసివేయబడింది:

అసమానతల వ్యవస్థకు ఎన్ని పరిష్కారాలు వర్ణించబడ్డాయి. సిస్టమ్‌లో 3 (ఉదాహరణకు, 4) కంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉంటే, పరిష్కారాల సమితిని స్పష్టంగా వర్ణించడం సాధ్యం కాదు. ఎందుకంటే దీనికి 4-డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ అవసరం. కానీ ఒక సాధారణ వ్యక్తి 4 పరస్పర లంబ కోఆర్డినేట్ అక్షాలను ఎలా గుర్తించగలరో ఊహించలేరు. అతను దీన్ని చేయగలడని మరియు సులభంగా చేయగలనని చెప్పుకునే స్నేహితుడు నాకు ఉన్నప్పటికీ. అతను నిజం చెబుతున్నాడో లేదో నాకు తెలియదు, బహుశా అతను నిజం చెబుతున్నాడు. కానీ ఇప్పటికీ, సాధారణ మానవ కల్పన దీన్ని చేయడానికి అనుమతించదు.

నేటి పాఠం మీకు ఉపయోగకరంగా ఉందని నేను ఆశిస్తున్నాను. మీరు దీన్ని ఎంత బాగా అర్థం చేసుకున్నారో తనిఖీ చేయడానికి, దిగువ హోంవర్క్ చేయండి.

అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సమితిని గీయండి:

ql-right-eqno"> title=" QuickLaTeX.com ద్వారా అందించబడింది">!}

సెర్గీ వాలెరివిచ్ తయారుచేసిన పదార్థం

రెండు వేరియబుల్స్‌లో అసమానతను పరిష్కరించడం, మరియు ఇంకా ఎక్కువ రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థలు, చాలా కష్టమైన పని అనిపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, ఈ రకమైన చాలా క్లిష్టమైన సమస్యలను సులభంగా మరియు ఎక్కువ శ్రమ లేకుండా పరిష్కరించడంలో సహాయపడే ఒక సాధారణ అల్గోరిథం ఉంది. దాన్ని గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

కింది రకాల్లో ఒకదాని యొక్క రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతను కలిగి ఉండనివ్వండి:

y > f(x); y ≥ f(x); వై< f(x); y ≤ f(x).

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో అటువంటి అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరించడానికి, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి:

1. మేము y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము, ఇది విమానం రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది.

2. మేము ఫలిత ప్రాంతాలలో దేనినైనా ఎంచుకుంటాము మరియు దానిలో ఏకపక్ష పాయింట్‌ను పరిశీలిస్తాము. మేము ఈ పాయింట్ కోసం అసలు అసమానత యొక్క సాధ్యతను తనిఖీ చేస్తాము. పరీక్షలో సరైన సంఖ్యా అసమానత ఏర్పడితే, ఎంచుకున్న పాయింట్‌కు చెందిన మొత్తం ప్రాంతంలో అసలు అసమానత సంతృప్తి చెందిందని మేము నిర్ధారించాము. ఈ విధంగా, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంపిక చేయబడిన బిందువుకు చెందిన ప్రాంతం. చెక్ యొక్క ఫలితం సరికాని సంఖ్యా అసమానత అయితే, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంచుకున్న పాయింట్ చెందని రెండవ ప్రాంతం అవుతుంది.

3. అసమానత కఠినంగా ఉంటే, ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు, అంటే, y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు పరిష్కారాల సమితిలో చేర్చబడవు మరియు సరిహద్దు చుక్కల రేఖతో చిత్రీకరించబడుతుంది. అసమానత కఠినంగా లేకుంటే, ప్రాంతం యొక్క సరిహద్దులు, అంటే, y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు ఈ అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిలో చేర్చబడతాయి మరియు ఈ సందర్భంలో సరిహద్దు వర్ణించబడుతుంది. ఘన రేఖగా.
ఇప్పుడు ఈ అంశంపై అనేక సమస్యలను పరిశీలిద్దాం.

టాస్క్ 1.

అసమానత x ద్వారా ఏ పాయింట్ల సెట్ ఇవ్వబడుతుంది · y ≤ 4?

పరిష్కారం.

1) మేము x · y = 4 సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము మొదట దానిని రూపాంతరం చేస్తాము. సహజంగానే, ఈ సందర్భంలో x 0కి మారదు, లేకపోతే మనకు 0 · y = 4 ఉంటుంది, ఇది తప్పు. అంటే మన సమీకరణాన్ని xతో భాగించవచ్చు. మనకు లభిస్తుంది: y = 4/x. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ హైపర్బోలా. ఇది మొత్తం విమానాన్ని రెండు ప్రాంతాలుగా విభజిస్తుంది: హైపర్బోలా యొక్క రెండు శాఖల మధ్య ఒకటి మరియు వాటి వెలుపల ఒకటి.

2) మొదటి ప్రాంతం నుండి ఏకపక్ష బిందువును ఎంచుకుందాం, అది పాయింట్ (4; 2)గా ఉండనివ్వండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 4 · 2 ≤ 4 – తప్పు.

ఈ ప్రాంతం యొక్క పాయింట్లు అసలు అసమానతను సంతృప్తి పరచలేవని దీని అర్థం. అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎంచుకున్న పాయింట్ చెందని రెండవ ప్రాంతం అని మేము నిర్ధారించగలము.

3) అసమానత కఠినంగా లేనందున, మేము సరిహద్దు పాయింట్లను గీస్తాము, అనగా, y = 4/x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్లు, ఘన రేఖతో.

అసలు అసమానతను పసుపు రంగులో నిర్వచించే పాయింట్ల సమితిని పెయింట్ చేద్దాం (Fig. 1).

టాస్క్ 2.

సిస్టమ్ ద్వారా కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నిర్వచించిన ప్రాంతాన్ని గీయండి
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

పరిష్కారం.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఈ క్రింది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము (Fig. 2):

y = x 2 + 2 – పారాబొలా,

y + x = 1 - సరళ రేఖ

x 2 + y 2 = 9 – సర్కిల్.

1) y > x 2 + 2.

మేము పాయింట్ (0; 5) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 5 > 0 2 + 2 – నిజం.

పర్యవసానంగా, ఇచ్చిన పారాబొలా y = x 2 + 2 పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటికి పసుపు రంగు వేస్తాం.

2) y + x > 1.

మేము పాయింట్ (0; 3) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 3 + 0 > 1 – నిజం.

పర్యవసానంగా, y + x = 1 సరళ రేఖకు పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటిని గ్రీన్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

x 2 + y 2 = 9 సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న పాయింట్ (0; -4) ను తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – తప్పు.

కాబట్టి, వృత్తం వెలుపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు x 2 + y 2 = 9, వ్యవస్థ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తిపరచవద్దు. అప్పుడు x 2 + y 2 = 9 సర్కిల్ లోపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తాయని మేము నిర్ధారించగలము. వాటిని పర్పుల్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

అసమానత కఠినంగా ఉంటే, సంబంధిత సరిహద్దు రేఖను చుక్కల రేఖతో గీయాలని మర్చిపోవద్దు. మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని పొందుతాము (చిత్రం 3).

(Fig. 4).

టాస్క్ 3.

సిస్టమ్ ద్వారా కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో నిర్వచించిన ప్రాంతాన్ని గీయండి:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

పరిష్కారం.

ప్రారంభించడానికి, మేము ఈ క్రింది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మిస్తాము:

x 2 + y 2 = 16 – సర్కిల్,

x = -y – సరళ రేఖ

x 2 + y 2 = 4 – సర్కిల్ (చిత్రం 5).

ఇప్పుడు ప్రతి అసమానతను విడిగా చూద్దాం.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

x 2 + y 2 = 16 సర్కిల్ లోపల ఉండే పాయింట్ (0; 0) ను తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – నిజం.

కాబట్టి, సర్కిల్ x 2 + y 2 = 16 లోపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి.
వాటిని రెడ్ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

మేము పాయింట్ (1; 1) తీసుకుంటాము, ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన ఉంటుంది.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 1 ≥ -1 – నిజం.

పర్యవసానంగా, లైన్ x = -y పైన ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క రెండవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటిని బ్లూ షేడింగ్‌తో పెయింట్ చేద్దాం.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

x 2 + y 2 = 4 వృత్తం వెలుపల ఉన్న పాయింట్ (0; 5) తీసుకోండి.
అసమానతను తనిఖీ చేద్దాం: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – నిజం.

పర్యవసానంగా, x 2 + y 2 = 4 సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న అన్ని పాయింట్లు సిస్టమ్ యొక్క మూడవ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. వాటికి నీలి రంగు వేద్దాం.

ఈ సమస్యలో, అన్ని అసమానతలు కఠినంగా లేవు, అంటే మేము అన్ని సరిహద్దులను ఘన రేఖతో గీస్తాము. మేము ఈ క్రింది చిత్రాన్ని పొందుతాము (చిత్రం 6).

శోధన ప్రాంతం అనేది మూడు రంగుల ప్రాంతాలు ఒకదానితో ఒకటి కలిసే ప్రాంతం (చిత్రం 7).

ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతల వ్యవస్థను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలియదా?
ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి -.
మొదటి పాఠం ఉచితం!

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.

, గణిత ఉపాధ్యాయుడు, మున్సిపల్ విద్యా సంస్థ "ఉప్షా బేసిక్ సెకండరీ స్కూల్"

అసమానతకు గ్రాఫికల్ పరిష్కారంరెండు వేరియబుల్స్‌తో

తరచుగా కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో చిత్రీకరించడం అవసరం రెండు వేరియబుల్స్‌లో అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి.రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతకు పరిష్కారం ఈ వేరియబుల్స్ యొక్క ఒక జత విలువలు అని గుర్తుంచుకోండి, ఇది ఇచ్చిన అసమానతను నిజమైన సంఖ్యా అసమానతగా మారుస్తుంది.

ఉదాహరణ 1

అసమానతను పరిగణించండి

వేరియబుల్ విలువల జత (-1; 1) ఈ అసమానతను మారుస్తుంది

సరైన సంఖ్యా అసమానత 2< 8, и является решением неравенства. Пара значений (2; 1) приводит к неверному числовому неравенству 11 < 8, и не является ре­шением данного неравенства.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో రెండు వేరియబుల్స్‌తో అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి ఎలా చిత్రీకరించబడిందో మేము పరిశీలిస్తాము.

ఉదాహరణ 2

నేర్ యొక్క పరిష్కారాల సమితిని కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో చిత్రీకరిద్దాంరాయల్టీ 2у+ Zx< 6.

మొదట, సరళ రేఖను నిర్మిస్తాము

ఇది కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితిని దాని పైన ఉన్న పాయింట్లుగా మరియు దాని క్రింద ఉన్న పాయింట్లుగా విభజిస్తుంది.

ఒక్కో ప్రాంతం నుంచి తీసుకుందాం నియంత్రణ పాయింట్ , ఉదాహరణకు A (1; 1) మరియు B (1; 3)

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు ఎఈ అసమానతను తీర్చండి 2у+ Zx< 6, т. е. 2 1 + 3 1 < 6.

పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు INఈ అసమానతను సంతృప్తిపరచవద్దు 2∙3 + 3∙1< 6.

ఈ అసమానత సరళ రేఖలో గుర్తును మార్చగలదు కాబట్టి 2у+ 3x = 6, అప్పుడు పాయింట్ A ఉన్న ప్రాంతంలోని పాయింట్ల సెట్ ద్వారా అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది.

ఈ విధంగా, మేము అసమానతలకు పరిష్కారాల సమితిని చిత్రీకరించాము 2у+ Zx< 6.

ఉదాహరణ 3

అసమానత x2కి పరిష్కారాల సమితిని వర్ణిద్దాం + 2x + y2- 4у + 1 > 0కోఆర్డినేట్ విమానంలో.

ముందుగా x2 + 2x + y2 - 4y + 1 = 0 సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం. ఈ సమీకరణంలో వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని హైలైట్ చేద్దాం: (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 4, లేదా (x + 1)2 + (y - 2)2 = 22.

ఇది పాయింట్ 0 (-1; 2) మరియు R = 2 వ్యాసార్థం వద్ద కేంద్రం ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం. ఈ వృత్తాన్ని నిర్మిస్తాం.

ఈ అసమానత కఠినమైనది మరియు సర్కిల్‌పై ఉన్న పాయింట్లు అసమానతను సంతృప్తిపరచవు కాబట్టి, మేము వృత్తాన్ని చుక్కల రేఖతో నిర్మిస్తాము.

కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను తనిఖీ చేయడం సులభం గురించిసర్కిల్‌లు ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరచవు. వ్యక్తీకరణ x2 + 2x + y2 - 4y+ 1 నిర్మిత సర్కిల్‌పై దాని గుర్తును మారుస్తుంది. అప్పుడు అసమానత సర్కిల్ వెలుపల ఉన్న పాయింట్ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది. ఈ పాయింట్లు షేడ్ చేయబడ్డాయి.

ఉదాహరణ 4

అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని సమన్వయ సమతలంలో చిత్రీకరిద్దాం

(y - x2)(y- x - 3)< 0.

మొదట, సమీకరణాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం (y - x2)(y- x - 3) = 0. ఇది పారాబొలా వద్ద= x2 మరియు సరళ రేఖ y = x+ 3. ఈ పంక్తులను నిర్మిస్తాము మరియు వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చడాన్ని గమనించండి (y - x2)(y- x - 3) ఈ లైన్లలో మాత్రమే జరుగుతుంది. పాయింట్ A (0; 5) కోసం, మేము ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయిస్తాము: - 3) > 0 (అనగా, ఈ అసమానత ఉండదు). ఇప్పుడు ఈ అసమానత సంతృప్తి చెందిన పాయింట్ల సమితిని గుర్తించడం సులభం (ఈ ప్రాంతాలు షేడ్ చేయబడ్డాయి).

అసమానత అనేది రెండు సంఖ్యలు లేదా గణిత వ్యక్తీకరణలు ఒక గుర్తుతో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి: > (కఠినమైన అసమానతల విషయంలో కంటే ఎక్కువ),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

అసమానత ఉంది సరళసమీకరణం వలె అదే పరిస్థితులలో: ఇది మొదటి డిగ్రీ వరకు మాత్రమే వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉంటుంది మరియు వేరియబుల్స్ ఉత్పత్తులను కలిగి ఉండదు.

సరళ అసమానతలు మరియు సరళ అసమానతల వ్యవస్థలకు పరిష్కారం వాటి రేఖాగణిత అర్థంతో విడదీయరాని విధంగా ముడిపడి ఉంది: సరళ అసమానతకు పరిష్కారం ఒక నిర్దిష్ట సగం-విమానం, దీనిలో మొత్తం విమానం సరళ రేఖతో విభజించబడింది, దీని సమీకరణం సరళ అసమానతను నిర్వచిస్తుంది. . ఈ సగం-విమానం, మరియు సరళ అసమానతల వ్యవస్థ విషయంలో, అనేక సరళ రేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన విమానం యొక్క భాగాన్ని తప్పనిసరిగా డ్రాయింగ్‌లో కనుగొనాలి.

అనేక ఆర్థిక సమస్యలు, ప్రత్యేకించి, లీనియర్ ప్రోగ్రామింగ్ సమస్యలు, దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట లేదా కనిష్టాన్ని కనుగొనడం అవసరం, పెద్ద సంఖ్యలో వేరియబుల్స్‌తో సరళ అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడింది.

ఎన్ని తెలియని వాటితో సరళ అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం

మొదట, విమానంలో సరళ అసమానతలను చూద్దాం. రెండు వేరియబుల్స్‌తో ఒక అసమానతను పరిగణించండి మరియు:

,

వేరియబుల్స్ (కొన్ని సంఖ్యలు) యొక్క గుణకాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి, ఇది ఉచిత పదం (కొంత సంఖ్య కూడా).

ఒక సమీకరణం వంటి రెండు తెలియని వాటితో ఒక అసమానత అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ అసమానతకు పరిష్కారం ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరిచే ఒక జత సంఖ్యలు. రేఖాగణితంగా, అసమానతకు పరిష్కారాల సమితి సరళ రేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న సగం విమానం వలె చిత్రీకరించబడింది.

,

దీనిని మనం సరిహద్దు రేఖ అని పిలుస్తాము.

దశ 1. సరళ అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని బంధించే రేఖను నిర్మించండి

దీన్ని చేయడానికి, మీరు ఈ లైన్‌లోని ఏదైనా రెండు పాయింట్లను తెలుసుకోవాలి. కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి. ఖండన ఆర్డినేట్ ఎసున్నాకి సమానం (మూర్తి 1). ఈ చిత్రంలో అక్షాలపై సంఖ్యా విలువలు ఉదాహరణ 1ని సూచిస్తాయి, ఈ సైద్ధాంతిక విహారం తర్వాత మేము వెంటనే విశ్లేషిస్తాము.

వ్యవస్థగా అక్షం యొక్క సమీకరణంతో లైన్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా మేము అబ్సిస్సాను కనుగొంటాము.

అక్షంతో ఖండనను కనుగొనండి:

మొదటి సమీకరణంలో విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం, మేము పొందుతాము

ఎక్కడ .

ఈ విధంగా, మేము పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొన్నాము ఎ .

అక్షంతో ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనండి.

అబ్సిస్సా చుక్కలు బిసున్నాకి సమానం. కోఆర్డినేట్ అక్షం యొక్క సమీకరణంతో సరిహద్దు రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

,

కాబట్టి, పాయింట్ యొక్క అక్షాంశాలు బి: .

దశ 2. అసమానతకు పరిష్కారాల సమితిని పరిమితం చేసే సరళ రేఖను గీయండి.పాయింట్లు తెలుసుకోవడం ఎమరియు బికోఆర్డినేట్ అక్షాలతో సరిహద్దు రేఖ యొక్క ఖండన, మేము ఈ రేఖను గీయవచ్చు. ఒక సరళ రేఖ (మళ్ళీ మూర్తి 1) ఈ సరళ రేఖకు కుడి మరియు ఎడమ (పైన మరియు క్రింద) ఉన్న మొత్తం విమానాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

దశ 3. ఈ అసమానతకు ఏ సగం-విమానం పరిష్కారం అని నిర్ణయించండి.దీన్ని చేయడానికి, మీరు కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని (0; 0) ఈ అసమానతలోకి భర్తీ చేయాలి. మూలం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు అసమానతను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, అసమానతకు పరిష్కారం కోఆర్డినేట్‌ల మూలం ఉన్న సగం-విమానం. కోఆర్డినేట్‌లు అసమానతను సంతృప్తిపరచకపోతే, అసమానతకు పరిష్కారం మూలాన్ని కలిగి లేని సగం-విమానం. అసమానతకు పరిష్కారం యొక్క సగం-విమానం చిత్రం 1లో వలె సరళ రేఖ నుండి సగం-విమానంలోకి స్ట్రోక్‌ల ద్వారా సూచించబడుతుంది.

మేము సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తే, ఆపై ప్రతి సిస్టమ్ అసమానతలకు ప్రతి దశ నిర్వహించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1.అసమానతను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖను గీయండి

సమీకరణంలో సరళ రేఖను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది. అందువల్ల, గొడ్డలితో ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్లు ఉంటాయి ఎ(3; 0) , బి(0; 2) . ఈ పాయింట్ల ద్వారా సరళ రేఖను గీయండి (మళ్ళీ, మూర్తి 1).

అసమానతకు పరిష్కారాల యొక్క సగం-విమానాన్ని ఎంచుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము అసమానతలో మూలం (0; 0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

మేము పొందుతాము, అంటే మూలం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఈ అసమానతను సంతృప్తిపరుస్తాయి. పర్యవసానంగా, అసమానతకు పరిష్కారం కోఆర్డినేట్‌ల మూలాన్ని కలిగి ఉన్న సగం-విమానం, అనగా ఎడమ (అకా దిగువ) సగం-విమానం.

ఈ అసమానత కఠినంగా ఉంటే, అంటే, దానికి రూపం ఉంటుంది

అప్పుడు సరిహద్దు రేఖ యొక్క పాయింట్లు ఒక పరిష్కారం కాదు, ఎందుకంటే అవి అసమానతను సంతృప్తిపరచవు.

ఇప్పుడు రెండు తెలియని వాటితో సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

విమానంలో ఈ వ్యవస్థ యొక్క ప్రతి అసమానతలు సగం-విమానాన్ని నిర్వచిస్తాయి. సరళ అసమానతల వ్యవస్థ కనీసం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటే స్థిరంగా మరియు దానికి పరిష్కారాలు లేనట్లయితే అస్థిరత అని పిలుస్తారు. సరళ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం ఏదైనా జత సంఖ్యలు () ఇచ్చిన వ్యవస్థ యొక్క అన్ని అసమానతలను సంతృప్తి పరుస్తాయి.

రేఖాగణితంగా, సరళ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం అనేది సిస్టమ్ యొక్క అన్ని అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే పాయింట్ల సమితి, అంటే, ఫలితంగా వచ్చే సగం-విమానాల యొక్క సాధారణ భాగం. కాబట్టి, జ్యామితీయంగా, సాధారణ సందర్భంలో, పరిష్కారం ఒక నిర్దిష్ట సందర్భంలో కొన్ని బహుభుజి రూపంలో వర్ణించబడుతుంది, అది ఒక పంక్తి, ఒక విభాగం లేదా ఒక బిందువు కూడా కావచ్చు. సరళ అసమానతల వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంటే, వ్యవస్థ యొక్క అన్ని అసమానతలను సంతృప్తిపరిచే విమానంలో ఒక్క పాయింట్ కూడా ఉండదు.

ఉదాహరణ 2.

పరిష్కారం. కాబట్టి, ఈ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల బహుభుజిని మనం కనుగొనాలి. మొదటి అసమానతకు సరిహద్దు రేఖను, అంటే ఒక రేఖను మరియు రెండవ అసమానతకు సరిహద్దు రేఖను, అంటే ఒక రేఖను నిర్మిస్తాము.

సైద్ధాంతిక సూచన మరియు ఉదాహరణ 1 లో చూపిన విధంగా మేము దీన్ని దశలవారీగా చేస్తాము, ప్రత్యేకించి ఉదాహరణ 1 నుండి మేము అసమానత కోసం సరిహద్దు రేఖను నిర్మించాము, ఇది ఈ వ్యవస్థలో మొదటిది.

ఈ వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలకు సంబంధించిన పరిష్కారాల యొక్క సగం-విమానాలు మూర్తి 2లో లోపలికి షేడ్ చేయబడ్డాయి. పరిష్కారం సగం-విమానాల యొక్క సాధారణ భాగం బహిరంగ కోణం ABC. దీనర్థం ఓపెన్ కోణాన్ని రూపొందించే విమానంలోని పాయింట్ల సమితి ABC, వ్యవస్థ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ అసమానతలకు ఒక పరిష్కారం, అంటే, ఇది రెండు సరళ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ సెట్ నుండి ఏదైనా పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సిస్టమ్ యొక్క రెండు అసమానతలను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

ఉదాహరణ 3.సరళ అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం. వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలకు అనుగుణంగా సరిహద్దు రేఖలను నిర్మిస్తాము. ప్రతి అసమానత కోసం సైద్ధాంతిక సహాయంలో ఇచ్చిన దశలను అనుసరించడం ద్వారా మేము దీన్ని చేస్తాము. ఇప్పుడు మేము ప్రతి అసమానత (మూర్తి 3) కోసం పరిష్కారాల సగం-విమానాలను నిర్ణయిస్తాము.

ఇచ్చిన సిస్టమ్ యొక్క అసమానతలకు సంబంధించిన పరిష్కారాల యొక్క సగం-విమానాలు లోపలికి షేడ్ చేయబడతాయి. పరిష్కారాల యొక్క సగం-విమానాల ఖండన, చిత్రంలో చూపిన విధంగా, చతుర్భుజ రూపంలో చిత్రీకరించబడింది. ABCE. రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ అసమానతల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల బహుభుజి చతుర్భుజం అని మేము కనుగొన్నాము ABCE .

రెండు తెలియని వాటితో సరళ అసమానతల వ్యవస్థల గురించి పైన వివరించిన ప్రతిదీ కూడా అసమానతల వ్యవస్థలకు ఎన్ని తెలియని వాటితో అయినా వర్తిస్తుంది, అసమానతకు పరిష్కారం అనే ఒకే తేడాతో nతెలియనివి మొత్తంగా ఉంటాయి nసంఖ్యలు () అన్ని అసమానతలను సంతృప్తిపరుస్తాయి మరియు సరిహద్దు రేఖకు బదులుగా సరిహద్దు హైపర్‌ప్లేన్ ఉంటుంది n-డైమెన్షనల్ స్పేస్. పరిష్కారం హైపర్‌ప్లేన్‌లచే సరిహద్దులుగా ఉన్న పాలిహెడ్రాన్ (సింప్లెక్స్) పరిష్కారం.