బహుభుజి యొక్క కుంభాకారాన్ని నిర్ణయించడం.

కిరస్-బ్యాక్ అల్గోరిథం విండోగా ఉపయోగించే కుంభాకార బహుభుజి ఉనికిని ఊహిస్తుంది.

ఏదేమైనా, ఆచరణలో, బహుభుజిని కత్తిరించే పని చాలా తరచుగా తలెత్తుతుంది మరియు అది కుంభాకారంగా ఉందా లేదా అనే దాని గురించి సమాచారం ప్రారంభంలో ఇవ్వబడలేదు. ఈ సందర్భంలో, కట్టింగ్ విధానాన్ని ప్రారంభించే ముందు, ఏ బహుభుజి ఇవ్వబడిందో నిర్ణయించడం అవసరం - కుంభాకార లేదా కాదు.

బహుభుజి యొక్క కుంభాకారానికి కొన్ని నిర్వచనాలు ఇద్దాం

కింది షరతుల్లో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటే బహుభుజి కుంభాకారంగా పరిగణించబడుతుంది:

1) కుంభాకార బహుభుజిలో, అన్ని శీర్షాలు రేఖకు ఒక వైపున ఏదైనా అంచుని (వెంట లోపలి వైపుఇచ్చిన అంచుకు సంబంధించి);

2) బహుభుజి యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాలు 180° కంటే తక్కువ;

3) బహుభుజి యొక్క శీర్షాలను అనుసంధానించే అన్ని వికర్ణాలు ఈ బహుభుజి లోపల ఉంటాయి;

4) బహుభుజి యొక్క అన్ని మూలలు ఒకే దిశలో ప్రయాణించబడతాయి (Fig. 3.3-1).

చివరి కుంభాకార ప్రమాణం యొక్క విశ్లేషణాత్మక ప్రాతినిధ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడానికి, మేము వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఉపయోగిస్తాము.

వెక్టర్ కళాకృతి W రెండు వెక్టర్స్ a మరియు బి (Fig. 3.3-2 a) ఇలా నిర్వచించబడింది:

A x ,a y ,a z మరియు b x ,b y ,b z అనేవి వరుసగా కారకం వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్ అక్షాలు X ,Y ,Z లపై అంచనాలు aమరియు బి,

- i, జె, కె– X, Y, Z కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో పాటు యూనిట్ వెక్టర్స్.

అన్నం.3.3 ‑ 1

అన్నం.3.3 ‑ 2

మనం బహుభుజి యొక్క ద్విమితీయ ప్రాతినిధ్యాన్ని దాని ప్రాతినిధ్యంగా పరిగణించినట్లయితే సమన్వయ విమానం XY త్రీ-డైమెన్షనల్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ X,Y,Z (Fig. 3.3-2 b), తర్వాత ఏర్పడటానికి వ్యక్తీకరణ వెక్టర్ ఉత్పత్తివెక్టర్స్ యుమరియు వి, ఎక్కడ వెక్టర్స్ యుమరియు విప్రక్కనే ఉన్న అంచులు బహుభుజి యొక్క మూలను ఏర్పరుస్తాయి, వీటిని నిర్ణయాత్మకంగా వ్రాయవచ్చు:

క్రాస్ ఉత్పత్తి యొక్క వెక్టర్ కారకం వెక్టర్స్ ఉన్న సమతలానికి లంబంగా ఉంటుంది. ఉత్పత్తి వెక్టార్ యొక్క దిశ జిమ్లెట్ నియమం లేదా కుడి చేతి స్క్రూ నియమం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

అంజీర్లో సమర్పించబడిన కేసు కోసం. 3.3-2 బి), వెక్టర్ W, వెక్టర్స్ యొక్క వెక్టర్ ఉత్పత్తికి అనుగుణంగా వి, యు, దిశలో అదే దిశను కలిగి ఉంటుంది కోఆర్డినేట్ అక్షం Z.

ఈ సందర్భంలో ఫ్యాక్టర్ వెక్టర్స్ యొక్క Z అక్షంపై అంచనాలు సున్నాకి సమానం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, వెక్టర్ ఉత్పత్తిని ఇలా సూచించవచ్చు:

(3.3-1)

యూనిట్ వెక్టర్ కెఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది, అందుకే వెక్టర్ యొక్క సంకేతం wవెక్టార్ ఉత్పత్తి పై వ్యక్తీకరణలో డిటర్మినెంట్ D గుర్తు ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది. కారకం వెక్టర్‌లను పరస్పరం మార్చుకునేటప్పుడు వెక్టార్ ఉత్పత్తి యొక్క ప్రాపర్టీ ఆధారంగా గమనించండి యుమరియు వివెక్టర్ గుర్తు wఎదురుగా మారుతుంది.

వెక్టర్స్‌గా ఉంటే అది అనుసరిస్తుంది విమరియు యుబహుభుజి యొక్క రెండు ప్రక్కనే ఉన్న అంచులను పరిగణించండి, అప్పుడు వెక్టర్ ఉత్పత్తిలో వెక్టర్‌లను జాబితా చేసే క్రమాన్ని పరిశీలనలో ఉన్న బహుభుజి యొక్క మూలలో లేదా ఈ కోణాన్ని ఏర్పరిచే అంచుల ట్రావెర్సల్‌కు అనుగుణంగా ఉంచవచ్చు. బహుభుజి యొక్క కుంభాకారాన్ని నిర్ణయించడానికి క్రింది నియమాన్ని ప్రమాణంగా ఉపయోగించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది:

బహుభుజి యొక్క అన్ని జతల అంచుల కోసం కింది షరతు సంతృప్తి చెందితే:

వ్యక్తిగత కోణాల కోసం వెక్టర్ ఉత్పత్తుల సంకేతాలు ఏకీభవించకపోతే, బహుభుజి కుంభాకారంగా ఉండదు.

బహుభుజి యొక్క అంచులు వాటి ముగింపు బిందువుల కోఆర్డినేట్‌ల రూపంలో పేర్కొనబడినందున, వెక్టార్ ఉత్పత్తి యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించడానికి డిటర్‌మినెంట్‌ను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఈ రేఖాగణిత ఆకారాలు ప్రతిచోటా మన చుట్టూ ఉన్నాయి. కుంభాకార బహుభుజాలు తేనెగూడు లేదా కృత్రిమ (మానవ నిర్మిత) వంటి సహజమైనవి కావచ్చు. ఈ గణాంకాలు ఉత్పత్తిలో ఉపయోగించబడతాయి వివిధ రకాలపూతలు, పెయింటింగ్, ఆర్కిటెక్చర్, అలంకరణలు మొదలైనవి. కుంభాకార బహుభుజాలు ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క ఒక జత ప్రక్కనే ఉన్న శీర్షాల గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖకు ఒక వైపున అన్ని పాయింట్లు ఉండే ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి. ఇతర నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. ఒక కుంభాకార బహుభుజి అనేది దాని భుజాలలో ఒకదానిని కలిగి ఉన్న ఏదైనా సరళ రేఖకు సంబంధించి ఒకే అర్ధ-విమానంలో ఉంటుంది.

తెలియుటలో ప్రాథమిక జ్యామితిసాధారణ బహుభుజాలు మాత్రమే ఎల్లప్పుడూ పరిగణించబడతాయి. అటువంటి అన్ని లక్షణాలను అర్థం చేసుకోవడానికి, వాటి స్వభావాన్ని అర్థం చేసుకోవడం అవసరం. మొదట, చివరలు ఏకీభవించే ఏదైనా పంక్తిని మూసివేయడం అని మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. అంతేకాకుండా, దాని ద్వారా ఏర్పడిన ఫిగర్ వివిధ కాన్ఫిగరేషన్లను కలిగి ఉంటుంది. బహుభుజి అనేది ఒక సాధారణ మూసి విరిగిన లైన్, దీనిలో పొరుగు లింక్‌లు ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు. దాని లింకులు మరియు శీర్షాలు వరుసగా, ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క భుజాలు మరియు శీర్షాలు. ఒక సాధారణ పాలీలైన్ స్వీయ-ఖండనలను కలిగి ఉండకూడదు.

బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు దాని భుజాలలో ఒకదాని చివరలను సూచిస్తే వాటిని ప్రక్కనే అంటారు. కలిగి ఉన్న రేఖాగణిత బొమ్మ n వ సంఖ్యశిఖరాలు, అందువలన nవ పరిమాణంభుజాలను n-gon అంటారు. విరిగిన రేఖను ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క సరిహద్దు లేదా ఆకృతి అంటారు. బహుభుజి సమతలం లేదా ఫ్లాట్ బహుభుజి అనేది దానితో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఏదైనా విమానం యొక్క పరిమిత భాగం. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క ప్రక్క ప్రక్కలు ఒక శీర్షం నుండి వెలువడే విరిగిన రేఖ యొక్క భాగాలు. బహుభుజి యొక్క వివిధ శీర్షాల నుండి వచ్చినట్లయితే అవి ప్రక్కనే ఉండవు.

కుంభాకార బహుభుజాల ఇతర నిర్వచనాలు

ప్రాథమిక జ్యామితిలో, అర్థంతో సమానమైన అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నాయి, ఏ బహుభుజిని కుంభాకారంగా పిలుస్తారు. అంతేకాకుండా, ఈ సూత్రీకరణలన్నీ అదే స్థాయికినిజమే. ఒకవేళ బహుభుజి కుంభాకారంగా పరిగణించబడుతుంది:

దాని లోపల ఏదైనా రెండు పాయింట్లను కలిపే ప్రతి విభాగం పూర్తిగా దానిలోనే ఉంటుంది;

దాని అన్ని వికర్ణాలు దాని లోపల ఉన్నాయి;

ఏదైనా అంతర్గత కోణం 180° మించదు.

ఒక బహుభుజి ఎల్లప్పుడూ ఒక విమానాన్ని 2 భాగాలుగా విభజిస్తుంది. వాటిలో ఒకటి పరిమితంగా ఉంటుంది (ఇది సర్కిల్‌లో మూసివేయబడుతుంది), మరియు మరొకటి అపరిమితంగా ఉంటుంది. మొదటిది అంతర్గత ప్రాంతం అని పిలుస్తారు, మరియు రెండవది ఈ రేఖాగణిత వ్యక్తి యొక్క బాహ్య ప్రాంతం. ఈ బహుభుజి అనేక అర్ధ-విమానాల ఖండన (మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సాధారణ భాగం). అంతేకాకుండా, బహుభుజికి చెందిన బిందువుల వద్ద ముగిసే ప్రతి విభాగం పూర్తిగా దానికి చెందినది.

కుంభాకార బహుభుజాల రకాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క నిర్వచనం అనేక రకాలు ఉన్నాయని సూచించదు. అంతేకాక, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి నిర్దిష్ట ప్రమాణాలను కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, 180°కి సమానమైన అంతర్గత కోణాన్ని కలిగి ఉండే కుంభాకార బహుభుజాలను బలహీనంగా కుంభాకారంగా పిలుస్తారు. మూడు శీర్షాలను కలిగి ఉండే ఒక కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మను త్రిభుజం అని పిలుస్తారు, నాలుగు - ఒక చతుర్భుజం, ఐదు - ఒక పెంటగాన్, మొదలైనవి. కుంభాకార n-గాన్‌లలో ప్రతి ఒక్కటి క్రింది అత్యంత ముఖ్యమైన అవసరాలను తీరుస్తుంది: n తప్పనిసరిగా 3కి సమానంగా లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఉండాలి. త్రిభుజాలు కుంభాకారంగా ఉంటాయి. రేఖాగణిత బొమ్మ ఈ రకం, ఒకే సర్కిల్‌లో ఉన్న అన్ని శీర్షాలను సర్కిల్‌లో లిఖించబడినవి అంటారు. ఒక కుంభాకార బహుభుజి వృత్తానికి సమీపంలో ఉన్న అన్ని వైపులా తాకినట్లయితే దానిని చుట్టుకొలత అంటారు. రెండు బహుభుజాలను సూపర్‌పొజిషన్ ద్వారా ఒకచోట చేర్చగలిగితేనే అవి సర్వసమానంగా ఉంటాయి. ప్లేన్ బహుభుజి అనేది ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన బహుభుజి విమానం (విమానం యొక్క భాగం).

సాధారణ కుంభాకార బహుభుజాలు

సాధారణ బహుభుజాలు రేఖాగణిత బొమ్మలు సమాన కోణాలుమరియు పార్టీలు. వాటి లోపల ఒక పాయింట్ 0 ఉంది, ఇది దాని ప్రతి శీర్షాల నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటుంది. దీనిని ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క కేంద్రం అంటారు. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాలతో కేంద్రాన్ని కలిపే విభాగాలను అపోథెమ్స్ అంటారు మరియు పాయింట్ 0ని భుజాలతో అనుసంధానించేవి రేడియాలు.

ఒక సాధారణ చతుర్భుజం ఒక చతురస్రం. సాధారణ త్రిభుజంసమబాహు అంటారు. అటువంటి బొమ్మల కోసం, క్రింది నియమం ఉంది: ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం 180° * (n-2)/ n,

ఇక్కడ n అనేది ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాల సంఖ్య.

ఏదైనా ప్రాంతం సాధారణ బహుభుజిసూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ p అనేది అన్ని వైపుల సగానికి సమానం బహుభుజి ఇచ్చారు, మరియు h అనేది అపోథెమ్ యొక్క పొడవుకు సమానం.

కుంభాకార బహుభుజాల లక్షణాలు

కుంభాకార బహుభుజాలు ఉన్నాయి కొన్ని లక్షణాలు. అందువల్ల, అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క ఏదైనా 2 పాయింట్లను కలిపే సెగ్మెంట్ తప్పనిసరిగా అందులో ఉంటుంది. రుజువు:

పి ఇచ్చారని అనుకుందాం కుంభాకార బహుభుజి. 2 తీసుకోండి ఏకపక్ష పాయింట్లు, ఉదాహరణకు, A, B, ఇది R. Poకి చెందినది ఇప్పటికే ఉన్న నిర్వచనంఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క, ఈ బిందువులు రేఖకు ఒక వైపున ఉంటాయి, దీనిలో ఏదైనా వైపు P ఉంటుంది. తత్ఫలితంగా, AB కూడా ఈ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు Pలో ఉంటుంది. ఒక కుంభాకార బహుభుజి ఎల్లప్పుడూ అన్ని వికర్ణాల ద్వారా అనేక త్రిభుజాలుగా విభజించబడుతుంది. దాని శీర్షాలలో ఒకదాని నుండి తీసుకోబడ్డాయి.

కుంభాకార రేఖాగణిత ఆకృతుల కోణాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క కోణాలు దాని భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాలు. ఇచ్చిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అంతర్గత ప్రాంతంలో అంతర్గత కోణాలు ఉన్నాయి. ఒక శీర్షంలో కలిసే దాని భుజాల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాన్ని కుంభాకార బహుభుజి కోణం అంటారు. ఇచ్చిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అంతర్గత కోణాలను బాహ్యంగా పిలుస్తారు. దాని లోపల ఉన్న కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం దీనికి సమానం:

ఇక్కడ x అనేది బాహ్య కోణం యొక్క పరిమాణం. ఈ సాధారణ సూత్రందేనికైనా వర్తిస్తుంది రేఖాగణిత ఆకారాలుఈ రకం.

IN సాధారణ కేసు, కోసం బాహ్య మూలలుఉంది క్రింది నియమం: ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రతి కోణం 180° మరియు అంతర్గత కోణం పరిమాణం మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం. ఇది -180° నుండి 180° వరకు విలువలను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, అంతర్గత కోణం 120° ఉన్నప్పుడు, బాహ్య కోణం 60° అవుతుంది.

కుంభాకార బహుభుజాల కోణాల మొత్తం

మొత్తం అంతర్గత మూలలుకుంభాకార బహుభుజి సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ n అనేది n-gon యొక్క శీర్షాల సంఖ్య.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క కోణాల మొత్తం చాలా సరళంగా లెక్కించబడుతుంది. అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మను పరిగణించండి. ఒక కుంభాకార బహుభుజి లోపల కోణాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు దాని శీర్షాలలో ఒకదానిని ఇతర శీర్షాలకు కనెక్ట్ చేయాలి. ఈ చర్య ఫలితంగా, (n-2) త్రిభుజాలు పొందబడతాయి. ఏదైనా త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180°కి సమానం అని తెలుసు. ఏదైనా బహుభుజిలో వాటి సంఖ్య (n-2) కాబట్టి, అటువంటి బొమ్మ యొక్క అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180° x (n-2)కి సమానం.

కుంభాకార బహుభుజి కోణాల మొత్తం, అవి ఏదైనా రెండు అంతర్గత మరియు ప్రక్కనే ఉన్న బాహ్య కోణాలు, ఇచ్చిన కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మకు ఎల్లప్పుడూ 180°కి సమానంగా ఉంటుంది. దీని ఆధారంగా, మేము దాని అన్ని కోణాల మొత్తాన్ని గుర్తించవచ్చు:

అంతర్గత కోణాల మొత్తం 180° * (n-2). దీని ఆధారంగా, ఇచ్చిన బొమ్మ యొక్క అన్ని బాహ్య కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

ఏదైనా కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 360° (భుజాల సంఖ్యతో సంబంధం లేకుండా) ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణం సాధారణంగా 180° మరియు అంతర్గత కోణం విలువ మధ్య వ్యత్యాసంతో సూచించబడుతుంది.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ఇతర లక్షణాలు

ఈ రేఖాగణిత ఆకృతుల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలతో పాటు, వాటిని తారుమారు చేసేటప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే ఇతరులను కూడా కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, బహుభుజాలలో దేనినైనా అనేక కుంభాకార n-గాన్‌లుగా విభజించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు దాని ప్రతి వైపును కొనసాగించాలి మరియు ఈ సరళ రేఖల వెంట ఈ రేఖాగణిత బొమ్మను కత్తిరించాలి. ఏదైనా బహుభుజిని అనేక కుంభాకార భాగాలుగా విభజించడం కూడా సాధ్యమే, తద్వారా ప్రతి ముక్క యొక్క శీర్షాలు దాని అన్ని శీర్షాలతో సమానంగా ఉంటాయి. అటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మ నుండి, మీరు ఒక శీర్షం నుండి అన్ని వికర్ణాలను గీయడం ద్వారా చాలా సరళంగా త్రిభుజాలను తయారు చేయవచ్చు. అందువల్ల, ఏదైనా బహుభుజిని చివరికి నిర్దిష్ట సంఖ్యలో త్రిభుజాలుగా విభజించవచ్చు, ఇది పరిష్కరించడంలో చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది వివిధ పనులుఅటువంటి రేఖాగణిత బొమ్మలతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి చుట్టుకొలత

విరిగిన పంక్తి విభాగాలు, బహుభుజి యొక్క భుజాలు అని పిలుస్తారు, ఇవి చాలా తరచుగా క్రింది అక్షరాలతో సూచించబడతాయి: ab, bc, cd, de, ea. ఇవి a, b, c, d, e శీర్షాలతో కూడిన రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క భుజాలు. ఈ కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అన్ని భుజాల పొడవుల మొత్తాన్ని దాని చుట్టుకొలత అంటారు.

బహుభుజి వృత్తం

కుంభాకార బహుభుజాలను చెక్కవచ్చు లేదా చుట్టుముట్టవచ్చు. ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క అన్ని వైపులా తాకిన ఒక వృత్తాన్ని దానిలో లిఖించినట్లు పిలుస్తారు. అటువంటి బహుభుజిని చుట్టుపక్కల అని పిలుస్తారు. బహుభుజిలో లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం, ఇచ్చిన రేఖాగణిత చిత్రంలో అన్ని కోణాల ద్విభాగాల ఖండన బిందువు. అటువంటి బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం దీనికి సమానం:

ఇక్కడ r అనేది లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, మరియు p అనేది ఇచ్చిన బహుభుజి యొక్క అర్ధ-పరిధి.

బహుభుజి యొక్క శీర్షాలను కలిగి ఉన్న వృత్తాన్ని దాని గురించి చుట్టుముట్టబడినది అంటారు. ఈ సందర్భంలో, ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత బొమ్మను చెక్కబడినది అని పిలుస్తారు. అటువంటి బహుభుజి చుట్టూ వివరించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం అన్ని వైపులా లంబంగా పిలవబడే ద్విభాగాల ఖండన స్థానం.

కుంభాకార రేఖాగణిత ఆకృతుల వికర్ణాలు

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క వికర్ణాలు అనుసంధానించే విభాగాలు పొరుగు శిఖరాలు. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ఈ రేఖాగణిత బొమ్మ లోపల ఉంటుంది. అటువంటి n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

N = n (n - 3)/ 2.

ఒక కుంభాకార బహుభుజి ప్లేస్ యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య ముఖ్యమైన పాత్రప్రాథమిక జ్యామితిలో. ప్రతి కుంభాకార బహుభుజిని విభజించగల త్రిభుజాల సంఖ్య (K) క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ దాని శీర్షాల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

కుంభాకార బహుభుజి విభజన

కొన్ని సందర్భాల్లో, పరిష్కరించడానికి రేఖాగణిత సమస్యలుఒక కుంభాకార బహుభుజిని అనేక త్రిభుజాలుగా అవ్యక్త వికర్ణాలతో విభజించడం అవసరం. ఈ సమస్య ఒక నిర్దిష్ట సూత్రాన్ని పొందడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

సమస్య యొక్క నిర్వచనం: నిర్దిష్ట విభజనను సరైనదిగా పిలుద్దాం కుంభాకార n-gonఈ రేఖాగణిత బొమ్మ యొక్క శీర్షాల వద్ద మాత్రమే వికర్ణాలు కలుస్తాయి.

పరిష్కారం: P1, P2, P3..., Pn ఈ n-gon యొక్క శీర్షాలు అని అనుకుందాం. Xn సంఖ్య దాని విభజనల సంఖ్య. రేఖాగణిత ఫిగర్ Pi Pn యొక్క ఫలిత వికర్ణాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలిద్దాం. దేనిలోనైనా సరైన విభజనలుР1 Pn అనేది ఒక నిర్దిష్ట త్రిభుజం Р1 Pi Pnకి చెందినది, ఇందులో 1 ఉంటుంది

i = 2 సాధారణ విభజనల సమూహంగా ఉండనివ్వండి, ఎల్లప్పుడూ వికర్ణ P2 Pn ఉంటుంది. దానిలో చేర్చబడిన విభజనల సంఖ్య (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn యొక్క విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది Xn-1కి సమానం.

i = 3 అయితే, ఈ ఇతర విభజనల సమూహం ఎల్లప్పుడూ P3 P1 మరియు P3 Pn అనే వికర్ణాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఈ సమూహంలో ఉన్న సాధారణ విభజనల సంఖ్య (n-2)-gon P3 P4... Pn యొక్క విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది Xn-2కి సమానంగా ఉంటుంది.

i = 4 లెట్, అప్పుడు త్రిభుజాలలో సరైన విభజన ఖచ్చితంగా P1 P4 Pn అనే త్రిభుజాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది చతుర్భుజ P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn ప్రక్కనే ఉంటుంది. అటువంటి చతుర్భుజం యొక్క సాధారణ విభజనల సంఖ్య X4, మరియు (n-3)-gon యొక్క విభజనల సంఖ్య Xn-3. పైన పేర్కొన్న అన్నింటి ఆధారంగా, ఈ సమూహంలో ఉన్న సాధారణ విభజనల మొత్తం సంఖ్య Xn-3 X4కి సమానం అని మేము చెప్పగలం. i = 4, 5, 6, 7... ఉన్న ఇతర సమూహాలు Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... సాధారణ విభజనలను కలిగి ఉంటాయి.

i = n-2 లెట్, అప్పుడు ఈ సమూహంలోని సరైన విభజనల సంఖ్య i=2 (ఇతర మాటలలో, Xn-1కి సమానం) సమూహంలోని విభజనల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... కాబట్టి, కుంభాకార బహుభుజి యొక్క అన్ని విభజనల సంఖ్య దీనికి సమానం:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

లోపల ఒక వికర్ణాన్ని కలుస్తున్న సాధారణ విభజనల సంఖ్య

నిర్దిష్ట సందర్భాలను తనిఖీ చేస్తున్నప్పుడు, కుంభాకార n-gons యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య (n-3)లోని ఈ సంఖ్య యొక్క అన్ని విభజనల ఉత్పత్తికి సమానం అనే ఊహకు రావచ్చు.

ఈ ఊహ యొక్క రుజువు: P1n = Xn * (n-3) అని ఊహించుకోండి, అప్పుడు ఏదైనా n-gon (n-2) -త్రిభుజాలుగా విభజించబడవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, వాటి నుండి (n-3) -చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది. దీనితో పాటు, ప్రతి చతుర్భుజం ఒక వికర్ణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ కుంభాకార రేఖాగణిత చిత్రంలో రెండు వికర్ణాలను గీయవచ్చు కాబట్టి, అదనపు (n-3) వికర్ణాలను ఏదైనా (n-3)-చతుర్భుజాలలో గీయవచ్చు. దీని ఆధారంగా, ఏదైనా సాధారణ విభజనలో ఈ సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా (n-3) - వికర్ణాలను గీయడం సాధ్యమవుతుందని మేము నిర్ధారించగలము.

కుంభాకార బహుభుజాల ప్రాంతం

తరచుగా, ప్రాథమిక జ్యామితి యొక్క వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ప్రాంతాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం. (Xi. Yi), i = 1,2,3... n అనేది స్వీయ-ఖండనలు లేని బహుభుజి యొక్క అన్ని పొరుగు శీర్షాల కోఆర్డినేట్‌ల శ్రేణి అని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, దాని ప్రాంతం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

ఇక్కడ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

ఒక విమానంలో బిందువుల కుంభాకార సమితి.

ఒక విమానంలో లేదా త్రిమితీయ స్థలంలో ఉన్న పాయింట్ల సమితిని అంటారు కుంభాకార, ఈ సెట్‌లోని ఏవైనా రెండు పాయింట్లు ఈ సెట్‌లో పూర్తిగా ఉండే లైన్ సెగ్మెంట్ ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడితే.

సిద్ధాంతం 1. పరిమిత సంఖ్యలో కుంభాకార సెట్ల ఖండన ఒక కుంభాకార సమితి.

పర్యవసానం.పరిమిత సంఖ్యలో కుంభాకార సెట్ల ఖండన ఒక కుంభాకార సమితి.

కార్నర్ పాయింట్లు.

కుంభాకార సమితి యొక్క సరిహద్దు బిందువు అంటారు కోణీయ, దాని ద్వారా ఒక విభాగాన్ని గీయడం సాధ్యమైతే, అన్ని పాయింట్లు ఇచ్చిన సెట్‌కు చెందినవి కావు.

విభిన్న ఆకృతుల సెట్‌లు పరిమిత లేదా అనంతమైన మూల పాయింట్‌లను కలిగి ఉంటాయి.

కుంభాకార బహుభుజి.

బహుభుజిఅని పిలిచారు కుంభాకార, అది దాని పొరుగు శీర్షాలలో రెండు గుండా వెళుతున్న ప్రతి పంక్తికి ఒక వైపున ఉంటే.

సిద్ధాంతం: ఒక కుంభాకార n-gon కోణాల మొత్తం 180˚ *(n-2)

6) రెండు వేరియబుల్స్‌తో m లీనియర్ అసమానతలను పరిష్కరించే వ్యవస్థలు

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సరళ అసమానతల వ్యవస్థ ఇవ్వబడింది

కొన్ని లేదా అన్ని అసమానతల సంకేతాలు ≥ కావచ్చు.

X1OX2 కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని మొదటి అసమానతను పరిశీలిద్దాం. సరళ రేఖను నిర్మిస్తాం

ఇది సరిహద్దు రేఖ.

ఈ సరళ రేఖ విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలు 1 మరియు 2గా విభజిస్తుంది (Fig. 19.4).

హాఫ్-ప్లేన్ 1 మూలాన్ని కలిగి ఉంది, సగం-విమానం 2 మూలాన్ని కలిగి ఉండదు.

ఇచ్చిన సగం-విమానం ఉన్న సరిహద్దు రేఖ యొక్క ఏ వైపున ఉన్నదో నిర్ణయించడానికి, మీరు విమానంలో ఏకపక్ష బిందువును తీసుకోవాలి (ప్రాధాన్యంగా మూలం) మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలో ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి. అసమానత నిజమైతే, అది నిజం కాకపోతే, ఆ బిందువుకు వ్యతిరేక దిశలో సగం విమానం ఉంటుంది.

సగం విమానం యొక్క దిశ బాణంతో బొమ్మలలో చూపబడింది.

నిర్వచనం 15. సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి అసమానతకు పరిష్కారం సరిహద్దు రేఖను కలిగి ఉన్న సగం-విమానం మరియు దాని యొక్క ఒక వైపున ఉంది.

నిర్వచనం 16. సగం-విమానాల ఖండన, ప్రతి ఒక్కటి సిస్టమ్ యొక్క సంబంధిత అసమానత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, దీనిని సిస్టమ్ (SO) యొక్క పరిష్కార డొమైన్ అంటారు.

నిర్వచనం 17. ప్రతికూలత లేని పరిస్థితులను (xj ≥ 0, j =) సంతృప్తిపరిచే సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కార ప్రాంతాన్ని ప్రతికూల, లేదా ఆమోదయోగ్యమైన, పరిష్కారాల ప్రాంతం (ADS) అంటారు.

అసమానతల వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటే, అప్పుడు OR మరియు ODR ఒక పాలిహెడ్రాన్, అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం లేదా ఒకే పాయింట్ కావచ్చు.

అసమానతల వ్యవస్థ అస్థిరంగా ఉంటే, OR మరియు ODR ఒక ఖాళీ సెట్.

ఉదాహరణ 1. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి మరియు ODE యొక్క మూల బిందువుల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి

పరిష్కారం. మొదటి అసమానత యొక్క OR ను కనుగొనండి: x1 + 3x2 ≥ 3. సరిహద్దు రేఖ x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5)ను నిర్మిస్తాము. పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను అసమానతలోకి మారుద్దాం: 1∙0 + 3∙0 > 3; పాయింట్ (0,0) యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు దానిని సంతృప్తిపరచవు కాబట్టి, అసమానతకు పరిష్కారం (19.1) అనేది పాయింట్ (0,0)ని కలిగి లేని సగం-విమానం.

అలాగే వ్యవస్థలోని మిగిలిన అసమానతలకు కూడా పరిష్కారాలను వెతుకుదాం. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODE ఒక కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్ ABCD అని మేము పొందుతాము.

పాలిహెడ్రాన్ యొక్క మూల బిందువులను కనుగొనండి. మేము పాయింట్ A ని పంక్తుల ఖండన బిందువుగా నిర్వచించాము

వ్యవస్థను పరిష్కరించడం, మేము A (3/7, 6/7) పొందుతాము.

పంక్తుల ఖండన బిందువుగా మేము పాయింట్ Bని కనుగొంటాము

సిస్టమ్ నుండి మేము B (5/3, 10/3) పొందుతాము. అదేవిధంగా, C మరియు D పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను మేము కనుగొంటాము: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

ఉదాహరణ 2. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మిస్తాము మరియు అసమానతలకు పరిష్కారాలను నిర్ణయిస్తాము (19.5)-(19.7). OR మరియు ODR వరుసగా ACFM మరియు ABDEKM అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతాలు (Fig. 19.6).

ఉదాహరణ 3. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

పరిష్కారం. అసమానతలకు (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7) పరిష్కారాలను కనుగొనండి. OR అపరిమిత పాలిహెడ్రల్ ప్రాంతం ABCని సూచిస్తుంది; ODR - పాయింట్ B.

ఉదాహరణ 4. అసమానతల వ్యవస్థ యొక్క OP మరియు ODPని కనుగొనండి

పరిష్కారం. సరళ రేఖలను నిర్మించడం ద్వారా, వ్యవస్థ యొక్క అసమానతలకు మేము పరిష్కారాలను కనుగొంటాము. OR మరియు ODR అననుకూలమైనవి (Fig. 19.8).

వ్యాయామాలు

అసమానతల వ్యవస్థల యొక్క OR మరియు ODEని కనుగొనండి

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, .

రుజువు. xn ® a నుండి అది అనుసరిస్తుంది. అదే సమయంలో:

, అనగా , అనగా . సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం. xn ® a అయితే, సీక్వెన్స్ (xn) పరిమితం చేయబడింది.

సంభాషణ ప్రకటన నిజం కాదని గమనించాలి, అనగా. క్రమం యొక్క సరిహద్దు దాని కలయికను సూచించదు.

ఉదాహరణకు, క్రమం అయినప్పటికీ పరిమితి లేదు

పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ.

విధులను అధ్యయనం చేయడం, భేదం, ఏకీకరణ, అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడం, పరిమితులను లెక్కించడం, ఫంక్షన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువలను లెక్కించడం వంటి వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పవర్ సిరీస్‌లోకి ఫంక్షన్‌ల విస్తరణ చాలా ముఖ్యమైనది.

బహుభుజి భావన

నిర్వచనం 1

బహుభుజిఅనేది ఒక విమానంలో ఒక రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇది జతలలో అనుసంధానించబడిన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది, ప్రక్కనే ఉన్నవి ఒకే సరళ రేఖలో ఉండవు.

ఈ సందర్భంలో, విభాగాలు అంటారు బహుభుజి వైపులా, మరియు వాటి చివరలు - బహుభుజి యొక్క శీర్షాలు.

నిర్వచనం 2

$n$-gon అనేది $n$ శీర్షాలను కలిగిన బహుభుజి.

బహుభుజాల రకాలు

నిర్వచనం 3

ఒక బహుభుజి దాని ప్రక్కల గుండా వెళుతున్న ఏదైనా రేఖకు ఎల్లప్పుడూ ఒకే వైపున ఉంటే, దానిని బహుభుజి అంటారు కుంభాకార(Fig. 1).

మూర్తి 1. కుంభాకార బహుభుజి

నిర్వచనం 4

ఒక బహుభుజి దాని భుజాల గుండా వెళుతున్న కనీసం ఒక సరళ రేఖకు ఎదురుగా ఉన్నట్లయితే, ఆ బహుభుజిని నాన్-కుంభాకార అంటారు (Fig. 2).

మూర్తి 2. కాని కుంభాకార బహుభుజి

బహుభుజి కోణాల మొత్తం

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తంపై ఒక సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేద్దాం.

సిద్ధాంతం 1

ఒక కుంభాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

రుజువు.

మాకు ఒక కుంభాకార బహుభుజి $A_1A_2A_3A_4A_5\చుక్కలు A_n$ ఇవ్వబడాలి. ఈ బహుభుజి యొక్క అన్ని ఇతర శీర్షాలతో దాని శీర్ష $A_1$ని కనెక్ట్ చేద్దాం (Fig. 3).

మూర్తి 3.

ఈ కనెక్షన్‌తో మనకు $n-2$ త్రిభుజాలు లభిస్తాయి. వాటి కోణాలను సంగ్రహించడం ద్వారా మనం ఇచ్చిన -గోన్ కోణాల మొత్తాన్ని పొందుతాము. త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(180)^0,$కి సమానం కనుక ఒక కుంభాకార-గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మేము పొందుతాము.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

చతుర్భుజం యొక్క భావన

$2$ యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, చతుర్భుజం యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిచయం చేయడం సులభం.

నిర్వచనం 5

చతుర్భుజం అనేది $4$ శీర్షాలతో కూడిన బహుభుజి (Fig. 4).

మూర్తి 4. చతుర్భుజం

చతుర్భుజం కోసం, కుంభాకార చతుర్భుజం మరియు కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క భావనలు అదేవిధంగా నిర్వచించబడ్డాయి. కుంభాకార చతుర్భుజాల యొక్క క్లాసిక్ ఉదాహరణలు చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం, ట్రాపజోయిడ్, రాంబస్, సమాంతర చతుర్భుజం (Fig. 5).

మూర్తి 5. కుంభాకార చతుర్భుజాలు

సిద్ధాంతం 2

కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం $(360)^0$

రుజువు.

సిద్ధాంతం $1$ ద్వారా, కుంభాకార-గోన్ యొక్క కోణాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుందని మనకు తెలుసు

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

కాబట్టి, ఒక కుంభాకార చతుర్భుజం యొక్క కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

\[\ఎడమ(4-2\కుడి)\cdot (180)^0=(360)^0\]

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

విరిగింది

నిర్వచనం

విరిగిన లైన్, లేదా సంక్షిప్తంగా, విరిగిన లైన్, అనేది సెగ్మెంట్ల యొక్క పరిమిత శ్రేణి, అంటే మొదటి సెగ్మెంట్ యొక్క చివరలలో ఒకటి రెండవ ముగింపుగా పనిచేస్తుంది, రెండవ సెగ్మెంట్ యొక్క మరొక ముగింపు మూడవది ముగింపుగా పనిచేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ప్రక్కనే ఉన్న భాగాలు ఒకే సరళ రేఖపై ఉండవు. ఈ విభాగాలను విరిగిన రేఖ యొక్క లింకులు అంటారు.

పాలీలైన్ రకాలు

విరిగిన లైన్ అంటారు మూసివేయబడింది, మొదటి సెగ్మెంట్ ప్రారంభం చివరి ముగింపుతో సమానంగా ఉంటే.

విరిగిన రేఖ తనను తాను దాటవచ్చు, తాకవచ్చు లేదా అతివ్యాప్తి చెందుతుంది. అలాంటి ఏకవచనాలు లేకుంటే, అటువంటి విరిగిన లైన్ అంటారు సాధారణ.

బహుభుజాలు

నిర్వచనం

ఒక సాధారణ క్లోజ్డ్ బ్రోకెన్ లైన్ దానితో సరిహద్దులుగా ఉన్న విమానం యొక్క ఒక భాగం అని పిలుస్తారు బహుభుజి.

వ్యాఖ్యానించండి

బహుభుజి యొక్క ప్రతి శీర్షం వద్ద, దాని భుజాలు బహుభుజి యొక్క నిర్దిష్ట కోణాన్ని నిర్వచించాయి. ఇది తక్కువ విస్తరించవచ్చు లేదా మరింత విస్తరించవచ్చు.

ఆస్తి

ప్రతి బహుభుజి $180^\circ$ కంటే తక్కువ కోణం కలిగి ఉంటుంది.

రుజువు

బహుభుజి $P$ ఇవ్వబడనివ్వండి.

దానిని కలుద్దాం లేని సరళ రేఖను గీయండి. మేము దానిని బహుభుజికి సమాంతరంగా తరలిస్తాము. ఏదో ఒక సమయంలో, మేము మొదటిసారిగా $P$ బహుభుజితో కనీసం ఒక సాధారణ బిందువును కలిగి ఉండే $a$ సరళ రేఖను పొందుతాము. బహుభుజి ఈ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటుంది (దానిలోని కొన్ని పాయింట్లు $a$ లైన్‌లో ఉన్నాయి).

$a$ పంక్తి బహుభుజి యొక్క కనీసం ఒక శీర్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది. $a$ రేఖకు ఒక వైపున ఉన్న దాని రెండు భుజాలు దానిలో కలుస్తాయి (వాటిలో ఒకటి ఈ రేఖపై ఉన్నప్పుడు కేసుతో సహా). దీని అర్థం ఈ శీర్షం వద్ద కోణం విప్పబడిన దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం

బహుభుజి అంటారు కుంభాకార, అది దాని ప్రక్కను కలిగి ఉన్న ప్రతి పంక్తికి ఒక వైపున ఉంటే. ఒక బహుభుజి కుంభాకారంగా లేకుంటే, దానిని అంటారు కాని కుంభాకార.

వ్యాఖ్యానించండి

కుంభాకార బహుభుజి అనేది బహుభుజి యొక్క భుజాలను కలిగి ఉన్న పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న సగం-విమానాల ఖండన.

కుంభాకార బహుభుజి యొక్క లక్షణాలు

ఒక కుంభాకార బహుభుజి $180^\circ$ కంటే తక్కువ అన్ని కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఒక కుంభాకార బహుభుజి యొక్క ఏదైనా రెండు బిందువులను (ముఖ్యంగా, దాని వికర్ణాలలో ఏదైనా) కలిపే రేఖ విభాగం ఈ బహుభుజిలో ఉంటుంది.

రుజువు

మొదటి ఆస్తిని నిరూపిద్దాం

$A$ కుంభాకార బహుభుజి $P$ మరియు దాని వైపు $A$ శీర్షం నుండి వచ్చే $A$ ఏదైనా కోణాన్ని తీసుకోండి. $l$ వైపు $a$ని కలిగి ఉన్న లైన్‌గా ఉండనివ్వండి. బహుభుజి $P$ కుంభాకారంగా ఉన్నందున, ఇది $l$ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, దాని కోణం $A$ కూడా ఈ రేఖకు ఒక వైపున ఉంటుంది. దీని అర్థం $A$ కోణం అభివృద్ధి చెందిన కోణం కంటే తక్కువ, అంటే $180^\circ$ కంటే తక్కువ.

రెండవ ఆస్తిని రుజువు చేద్దాం

కుంభాకార బహుభుజి $P$ యొక్క ఏదైనా రెండు పాయింట్లు $A$ మరియు $B$ తీసుకోండి. బహుభుజి $P$ అనేది అనేక అర్ధ-విమానాల ఖండన. ఈ హాఫ్-ప్లేన్‌లలో ప్రతిదానిలో $AB$ సెగ్మెంట్ ఉంటుంది. కాబట్టి, ఇది $P$ బహుభుజిలో కూడా ఉంటుంది.

నిర్వచనం

బహుభుజి యొక్క వికర్ణందాని ప్రక్కనే లేని శీర్షాలను కలిపే విభాగాన్ని అంటారు.

సిద్ధాంతం (n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య గురించి)

కుంభాకార $n$-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య $\dfrac(n(n-3))(2)$ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.

రుజువు

n-gon యొక్క ప్రతి శీర్షం నుండి $n-3$ వికర్ణాలను గీయడం సాధ్యమవుతుంది (మీరు పొరుగు శీర్షాలకు లేదా ఈ శీర్షానికి వికర్ణాన్ని గీయలేరు). మేము అటువంటి సాధ్యమయ్యే అన్ని విభాగాలను లెక్కించినట్లయితే, $n$ శీర్షాలు ఉన్నందున వాటిలో $n\cdot(n-3)$ ఉంటుంది. కానీ ప్రతి వికర్ణం రెండుసార్లు లెక్కించబడుతుంది. అందువలన, n-gon యొక్క వికర్ణాల సంఖ్య $\dfrac(n(n-3))(2)$కి సమానం.

సిద్ధాంతం (n-gon యొక్క కోణాల మొత్తం గురించి)

ఒక కుంభాకార $n$-gon యొక్క కోణాల మొత్తం $180^\circ(n-2)$.

రుజువు

$n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$ని పరిగణించండి.

ఈ బహుభుజి లోపల ఏకపక్ష పాయింట్ $O$ని తీసుకుందాం.

అన్ని త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ $180^\circ\cdot n$కి సమానం.

మరోవైపు, ఈ మొత్తం బహుభుజి యొక్క అన్ని అంతర్గత కోణాల మొత్తం మరియు మొత్తం కోణం $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

అప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న $n$-gon కోణాల మొత్తం $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$కి సమానం.

పర్యవసానం

కుంభాకారం కాని $n$-gon యొక్క కోణాల మొత్తం $180^\circ(n-2)$.

రుజువు

బహుభుజి $A_1A_2\ldots A_n$ని పరిగణించండి, దీని ఏకైక కోణం $\angle A_2$ కుంభాకారం కానిది, అంటే $\angle A_2>180^\circ$.

మనం అతని క్యాచ్ మొత్తాన్ని $S$గా సూచిస్తాము.

$A_1A_3$ పాయింట్‌లను కనెక్ట్ చేద్దాం మరియు బహుభుజి $A_1A_3\ldots A_n$ని పరిశీలిద్దాం.

ఈ బహుభుజి కోణాల మొత్తం:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

కాబట్టి, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

అసలు బహుభుజి ఒకటి కంటే ఎక్కువ కుంభాకార కోణాలను కలిగి ఉంటే, పైన వివరించిన ఆపరేషన్ అటువంటి ప్రతి కోణంతో నిర్వహించబడుతుంది, ఇది ప్రకటన నిరూపించబడటానికి దారి తీస్తుంది.

సిద్ధాంతం (కుంభాకార n-gon యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తంపై)

ఒక కుంభాకార $n$-gon యొక్క బాహ్య కోణాల మొత్తం $360^\circ$.

రుజువు

$A_1$ శీర్షంలోని బాహ్య కోణం $180^\circ-\angle A_1$కి సమానం.

అన్ని బాహ్య కోణాల మొత్తం దీనికి సమానం:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.