పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతికి సంబంధించిన సమస్యలను సులభంగా పరిష్కరించడంలో, కొద్దిగా సైద్ధాంతిక విషయాలను సమీక్షించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్‌లో బంతి చెక్కబడి ఉంటుంది (లేదా పిరమిడ్‌లో ఒక గోళం చెక్కబడి ఉంటుంది) - దీని అర్థం బంతి (గోళం) పిరమిడ్ యొక్క ప్రతి ముఖాన్ని తాకుతుంది. పిరమిడ్ ముఖాలను కలిగి ఉన్న విమానాలు బంతి యొక్క టాంజెంట్ ప్లేన్‌లు. స్పర్శ బిందువులతో బంతి మధ్యభాగాన్ని అనుసంధానించే విభాగాలు టాంజెంట్ ప్లేన్‌లకు లంబంగా ఉంటాయి. వాటి పొడవులు బంతి వ్యాసార్థానికి సమానంగా ఉంటాయి. పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతి యొక్క కేంద్రం అనేది బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణాల యొక్క ద్విసెక్టర్ విమానాల ఖండన స్థానం (అంటే, ఈ కోణాలను సగానికి విభజించే విమానాలు).
చాలా తరచుగా పనులలో మేము మాట్లాడుతున్నాముఒక బంతి గురించి వ్రాయబడింది సరైన పిరమిడ్. బంతిని ఏదైనా సాధారణ పిరమిడ్‌లో అమర్చవచ్చు. ఈ సందర్భంలో బంతి కేంద్రం పిరమిడ్ ఎత్తులో ఉంటుంది. సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, పిరమిడ్ మరియు పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు గుండా ప్రయాణించే విమానంతో పిరమిడ్ మరియు బంతిని కత్తిరించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.
పిరమిడ్ చతుర్భుజంగా లేదా షట్కోణంగా ఉంటే, క్రాస్ సెక్షన్ ఉంటుంది సమద్విబాహు త్రిభుజం, వైపులావీటిలో అపోథెమ్‌లు ఉన్నాయి మరియు ఆధారం ఆధారంలో చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసం.
పిరమిడ్ త్రిభుజాకారంగా లేదా పెంటగోనల్‌గా ఉంటే, ఈ విభాగంలోని కొంత భాగాన్ని మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటే సరిపోతుంది - కుడి త్రిభుజం, పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద వ్రాయబడిన కాళ్ళు, మరియు హైపోటెన్యూస్ అపోథెమ్.
ఏదైనా సందర్భంలో, మేము సంబంధిత లంబ త్రిభుజం మరియు ఇతర సంబంధిత త్రిభుజాలను చూస్తాము.
కాబట్టి, ఒక లంబ త్రిభుజం SOFలో, లెగ్ SO=H అనేది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు, లెగ్ OF=r అనేది పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వద్ద వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం, హైపోటెన్యూస్ SF=l అనేది పిరమిడ్ యొక్క అపోథెమ్. . O1 అనేది బంతికి కేంద్రం మరియు తదనుగుణంగా, విభాగంలో పొందిన త్రిభుజంలో చెక్కబడిన వృత్తం (మేము దానిలో కొంత భాగాన్ని పరిశీలిస్తున్నాము). యాంగిల్ SFO - సరళ కోణం డైహెడ్రల్ కోణంబేస్ ప్లేన్ మరియు SBC యొక్క సైడ్ ఫేస్ ప్లేన్ మధ్య. పాయింట్లు K మరియు O టాంజెంట్ పాయింట్లు, కాబట్టి O1K SFకి లంబంగా ఉంటుంది. OO1=O1K=R - బంతి వ్యాసార్థం.
కుడి త్రిభుజాలు OO1F మరియు KO1F సమానంగా ఉంటాయి (కాళ్లు మరియు హైపోటెన్యూస్‌తో పాటు). అందువల్ల KF=OF=r.
లంబ త్రిభుజాలు SKO1 మరియు SOF ఒకేలా ఉంటాయి (in పదునైన మూలలో S), అది ఎక్కడ నుండి అనుసరిస్తుంది
త్రిభుజం SOFలో మేము త్రిభుజ ద్విభాగ లక్షణాన్ని వర్తింపజేస్తాము:
కుడి త్రిభుజం OO1F నుండి
సాధారణ పిరమిడ్‌లో చెక్కబడిన బంతికి సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, మరో తార్కికం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్ దాని ఉపరితల వైశాల్యానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి.
183. ప్రిజం యొక్క స్థావరాల కేంద్రాలను కలిపే సెగ్మెంట్ మధ్యలో లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన గోళాల కేంద్రం అని నిరూపించడం సులభం. వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఆధారం వద్ద వ్రాయబడింది వ్యాసార్థానికి సమానంలిఖించబడిన బంతి. వీలు ఆర్ చెక్కబడిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థం, R అనేది చుట్టుముట్టబడిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థం. లంబ త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి, దీని శీర్షాలు బేస్ యొక్క శీర్షాలలో ఒకటి, బేస్ మధ్యలో మరియు బంతుల మధ్యలో ఉంటాయి. మాకు R 2 = ఉంది ఆర్ 2 + ఆర్ 21 ఎక్కడ. ఇక్కడనుంచి
చుట్టుముట్టబడిన గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు లిఖించబడిన గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం యొక్క నిష్పత్తి
184. చుట్టుపక్కల మరియు లిఖించబడిన గోళాల యొక్క వ్యాసార్థాలు అది విభజించబడిన టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తు యొక్క విభాగాలకు సమానం సాధారణ కేంద్రంఈ బంతులు. ఈ విభాగాల నిష్పత్తి 3:1 అని కనుగొనడం సులభం.
నిజానికి, నుండి సారూప్య త్రిభుజాలు BQO మరియు BPK (Fig. 188) మేము కలిగి ఉన్నాము:
బంతుల ఉపరితలాలు వాటి రేడియాల చతురస్రాలకు సంబంధించినవి కాబట్టి, అవసరమైన నిష్పత్తి 9.
______________________________________________
185. సాధారణ టెట్రాహెడ్రాన్ల వాల్యూమ్‌లు వాటిలో చెక్కబడిన గోళాల రేడియాల ఘనాలకు సంబంధించి ఉంటాయి. పెద్ద టెట్రాహెడ్రాన్‌లో లిఖించబడిన బంతి చిన్న టెట్రాహెడ్రాన్ చుట్టూ చుట్టుముట్టబడినందున, లిఖిత బంతుల యొక్క పేర్కొన్న రేడియాల నిష్పత్తి (సమస్య 184కి పరిష్కారం చూడండి) 3:1కి సమానం. కాబట్టి, అవసరమైన వాల్యూమ్ నిష్పత్తి 3 3 = 27.
______________________________________________
186. సమస్య పరిష్కారమైందని అనుకుందాం. మనం A 1 B 1 C 1 (Fig. 189, a చూడండి) చిన్న బంతికి టాంజెంట్‌ని గీయండి మరియు బేస్కు సమాంతరంగాఇచ్చిన టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క ABC. టెట్రాహెడ్రాన్ SA 1 B 1 C 1 వ్యాసార్థం యొక్క బంతి చుట్టూ వివరించబడింది ఆర్ . దాని ఎత్తు SQ 1 = 4 అని కనుగొనడం సులభం ఆర్ (సమస్య 184 చూడండి).
SABC టెట్రాహెడ్రాన్ అంచు పొడవు ఉండనివ్వండి X . అప్పుడు సెగ్మెంట్ AQ = x √ 3/3 మరియు ఎత్తు SQ = x √ 6 / 3 .
నిర్ణయించుకున్నాను వర్గ సమీకరణం, మేము కనుగొంటాము
x 1,2 = ఆర్ √6 ± √ R 2 - 3ఆర్ 2 .
ఈ ఫార్ములాలో మీరు రూట్‌ను ప్లస్ గుర్తుతో మాత్రమే తీసుకోవాలి, ఎందుకంటే SA ఏ సందర్భంలోనైనా 3 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది ఆర్ , మరియు 3 ఆర్ > ఆర్ √6 .
సహజంగానే, R షరతు కింద పని సాధ్యమవుతుంది > √3 ఆర్
______________________________________________
187. A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 - సాధారణ షడ్భుజి, క్యూబ్‌లోని ఒక విభాగంలో పొందబడింది. రెగ్యులర్‌లో చెక్కబడిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థాన్ని నిర్ణయించడంలో సమస్య వస్తుంది షట్కోణ పిరమిడ్ SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (Fig. 190).
పిరమిడ్ యొక్క బేస్ వైపు a √ 2/2 మరియు ఎత్తు a √ 3 / 2
పిరమిడ్‌లో వ్రాసిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థం దానితో భాగించబడిన పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌కు మూడు రెట్లు సమానం అనే వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేసుకోవడం పూర్తి ఉపరితలం(సమస్యకు పరిష్కారంలో ఫార్ములా (1) చూడండి), మేము కనుగొంటాము:
అందువలన, అవసరమైన నిష్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది 
______________________________________________
188. O అనేది గోళానికి కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి మరియు AS, BS మరియు CS ఇవ్వబడిన తీగలుగా ఉండనివ్వండి. సహజంగానే, ABC త్రిభుజం సమబాహు (Fig. 191).
ABC సమతలానికి లంబంగా ఉన్న SO 1, విస్తరించబడినప్పుడు, O గోళం యొక్క కేంద్రం గుండా వెళుతుందని చూడటం కూడా సులభం, ఎందుకంటే పాయింట్ O 1 అనేది వృత్తం యొక్క కేంద్రం. /\ ABC.
ఈ వ్యాఖ్యల తర్వాత, దీని ద్వారా సూచిస్తాము డి అవసరమైన తీగ పొడవు. త్రిభుజం SAB నుండి మనం కనుగొంటాము:
AB = 2 డి పాపం α / 2
ఇందుమూలంగా
సమద్విబాహు త్రిభుజం SOA యొక్క వైశాల్యాన్ని రెండు విధాలుగా గణించడం, మేము పొందుతాము:
______________________________________________
189. లిఖించబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం ఆర్ సమస్యకు పరిష్కారంలో ఫార్ములా (cf. ఫార్ములా (1))ని ఉపయోగిస్తాము
ఇక్కడ V అనేది పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్, మరియు S అనేది దాని మొత్తం ఉపరితలం.
ముందుగా పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను తెలుసుకుందాం. దీని కోసం, BSC మరియు BSA (Fig. 192) లంబ త్రిభుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని గమనించండి సమాన హైపోటెన్సెస్మరియు సాధారణ వైపు. దీని కారణంగా, కుడి త్రిభుజం ASC ఐసోసెల్స్. ఎందుకంటే
AS=CS= √a 2 -బి 2 ,
అప్పుడు, కాబట్టి,
______________________________________________
190. ద్వారా సూచిస్తాము ఆర్ లిఖించబడిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థం మరియు R ద్వారా చుట్టుముట్టబడిన బంతి యొక్క వ్యాసార్థం.
ముందుగా SFE అనే త్రిభుజాన్ని పరిశీలిద్దాం, దీని భుజాలలో ఒకటి SF అనేది పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు, మరియు ఇతర SE అనేది సైడ్ ఫేస్ యొక్క ఎత్తు (Fig. 193, a). లిఖించిన బంతికి O కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి. SFE మరియు OFE (Fig. 193, b) త్రిభుజాల నుండి మనకు ఇవి ఉన్నాయి:
FE= ఆర్ ctg φ / 2 ,
SF= ఆర్ ctg φ / 2 tg φ .
DF = EF√2
అంజీర్‌ను సూచిస్తోంది. 193, సి, ఇది పిరమిడ్ యొక్క అక్షం మరియు దాని ద్వారా గీసిన విభాగాన్ని చూపుతుంది పక్క పక్కటెముక, మేము సులభంగా కనుగొనవచ్చు:
DO 1 2 = O 1 F 2 + DF 2
R 2 = (SF - R) 2 + DF 2.
R = 3 నుండి ఆర్ , అప్పుడు, SF మరియు DF కోసం మునుపు కనుగొనబడిన వ్యక్తీకరణలను ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము దీని కోసం ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము φ :
లేదా సరళీకరణ తర్వాత
6 టిజి φ / 2 tg φ = 2 + టాన్ 2 φ .
7z 4 -6z 2 + l = 0.
ఎందుకంటే z > 0, అప్పుడు రెండు సమాధానాలు మాత్రమే సాధ్యమవుతాయి:
______________________________________________
191. మొత్తంగా, మనకు 6 బిగాన్లు (అంచుల సంఖ్య ప్రకారం) మరియు 4 త్రిభుజాలు (Fig. 194) లభిస్తాయి.
S 1 ద్వారా ప్రతి త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని మరియు S 2 ద్వారా ప్రతి బిగాన్ వైశాల్యాన్ని సూచిస్తాము. మాకు ఉన్నాయి:
4S 1 + 6S 2 = 4 π R2. (1)
S 0 అనేది ఒక త్రిభుజం మరియు మూడు ప్రక్కనే ఉన్న వికర్ణాల వైశాల్యాల మొత్తంగా ఉండనివ్వండి. S 0 అనేది ప్రాంతం గోళాకార విభాగం, టెట్రాహెడ్రాన్ ముఖం యొక్క విమానం ద్వారా కత్తిరించబడింది. ఈ ప్రాంతం 2 π ఆర్ h , ఎక్కడ h - సెగ్మెంట్ ఎత్తు. టెట్రాహెడ్రాన్ యొక్క ఎత్తు 3:1 నిష్పత్తిలో గోళం మధ్యలో భాగించబడినందున (సమస్య 184 చూడండి), అప్పుడు
H = R + 1/3 R = 4/3 R
మేము దానిని ఎక్కడ నుండి కనుగొంటాము? h = 2R - 4 / 3 R = 2 / 3 R.
S 1 + 3 S 2 = 2 π R 2 / 3 R = 4 / 3 π R2. (2)
తెలియని S 1 మరియు S 2 లకు సంబంధించి (1) మరియు (2) సమీకరణాలతో కూడిన వ్యవస్థను పరిష్కరించిన తర్వాత, మేము పొందుతాము:
S 1 = 2/3 π R2, S2 = 2/9 π R 2
______________________________________________
192. R వ్యాసార్థంగా ఉండనివ్వండి కోన్ బేస్, α - కోన్ యొక్క అక్షం మరియు జెనరాట్రిక్స్ మధ్య కోణం, ఆర్ - లిఖించబడిన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం. IN అక్షసంబంధ విభాగంకోన్ మేము ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం ABC (Fig. 195).
ఈ త్రిభుజంలో వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం వ్యాసార్థానికి సమానం ఆర్ ఒక శంకువులో చెక్కబడిన గోళం. O వృత్తానికి కేంద్రంగా ఉండనివ్వండి, / OSA = β .
అప్పుడు tg అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది β = ఆర్ /ఆర్. కానీ సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం
ఇక్కడనుంచి ఆర్ / R = 1 / √ 3 మరియు అందువలన β = π / 6. నుండి, అదనంగా, α +2β = π / 2, అప్పుడు α = π / 6. కాబట్టి, అవసరమైన కోణం 2 α = π / 3 .
______________________________________________
193. వీలు ఆర్ - అర్ధగోళం యొక్క వ్యాసార్థం, R - కోన్ యొక్క బేస్ యొక్క వ్యాసార్థం, ఎల్ -శంకువు యొక్క మాజీ, α - కోన్ యొక్క అక్షం మరియు జెనరాట్రిక్స్ మధ్య కోణం.
మాకు ఉన్న సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం
ఈ సమానత్వంలోని కోణాన్ని పరిచయం చేద్దాం α . దీన్ని చేయడానికి, ఒక సమద్విబాహును పరిగణించండి /\ ABC (Fig. 196), ఫలితంగా కోన్ యొక్క అక్షసంబంధ విభాగం. నుండి /\ ABC మేము కనుగొన్నాము
R= ఎల్ పాపం α , ఆర్ = Rcos α = ఎల్ పాపం α కాస్ α .
టెట్రాహెడ్రాన్ ABCQ (Fig.) అంచులను తాకిన బంతి యొక్క కేంద్రం టెట్రాహెడ్రాన్ కేంద్రంతో (అనగా, పాయింట్ Oతో, A, B, C, D శీర్షాల నుండి సమాన దూరంలో) మరియు బంతి యొక్క సంపర్క బిందువులతో సమానంగా ఉంటుంది. అంచులతో అంచుల మధ్య బిందువులు ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, టాంజెన్సీ పాయింట్ N అనేది AD అంచు యొక్క మధ్య బిందువు. నిజానికి, మొత్తం ఆరు సమద్విబాహు త్రిభుజాలు AOB, BOC, COA, BOD, COD మరియు AOD (త్రిభుజం AOD మాత్రమే డ్రా చేయబడింది) ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి (మూడు వైపులా). అందువల్ల, వాటి ఎత్తులు OM, ON మొదలైనవి సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మేము ON = వ్యాసార్థంతో బంతిని వివరిస్తే ఆర్ , అప్పుడు అది L, M, N, Q, K, R అంచుల మధ్య గుండా వెళుతుంది మరియు వాటిని అక్కడ తాకుతుంది (ON⊥AD నుండి మొదలైనవి).
మేము టెట్రాహెడ్రాన్ DG మరియు అంచు AD ఎత్తులో ADGని గీయండి. ఇది అంచు BCకి లంబంగా ఉంటుంది (సమస్యలో రుజువు ఇవ్వబడింది) మరియు ఈ అంచుని దాని మధ్య M వద్ద కలుస్తుంది. విభాగంలో మనం సమద్విబాహు త్రిభుజం AMD (AM=MD)ని పొందుతాము. ఈ త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు MNని కనుగొనండి (N అనేది AD యొక్క మధ్య బిందువు). O యొక్క కేంద్రం MNపై ఉంటుంది (ఇది A మరియు O నుండి సమాన దూరంలో ఉంది కాబట్టి). కాబట్టి, MO=NO. అంటే, ఆర్ = MN / 2 . ఎత్తు MN త్రిభుజం ANM నుండి నిర్ణయించబడుతుంది, ఇక్కడ AN = a / 2 మరియు AM = a √ 3/2 . (సమబాహువు యొక్క అపోథెమ్‌గా త్రిభుజం ABC) మన దగ్గర ఉంది
టెట్రాహెడ్రాన్ వెలుపల ఉన్న బంతి భాగం టెట్రాహెడ్రాన్ అంచుల ద్వారా బంతి నుండి కత్తిరించబడిన నాలుగు సమాన విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది. BDC ముఖాలలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం. సెగ్మెంట్ యొక్క బేస్ వద్ద ఉన్న సర్కిల్ LMK చెక్కబడి ఉంది సమబాహు త్రిభుజం BDC (త్రిభుజం యొక్క భుజాలు బంతిని తాకడం వలన; కాబట్టి, అవి BDC విమానంలో ఉన్న చిన్న వృత్తం LMKని కూడా తాకుతాయి). ఈ సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం FM = a √ 3 / 6
అందుకే,
అవసరమైన వాల్యూమ్
V=4V సి
వ్యాఖ్య. త్రిభుజం BCDలో లిఖించబడిన సర్కిల్ LKM. దీర్ఘవృత్తాకారంగా చిత్రీకరించబడింది, K, L, M పాయింట్‌లతో పాటు, మేము మొదట F (పాయింట్ F అనేది ఖండన బిందువు యొక్క ఖండన బిందువు)కి సంబంధించి వాటితో సుష్టంగా వరుసగా మరో మూడు పాయింట్లను గుర్తించినట్లయితే, దానిని చేతితో సులభంగా గీయవచ్చు. త్రిభుజం BDC యొక్క మధ్యస్థాలు).