2.4 పాలీహెడ్రల్ కోణాలు
అనుగుణంగా నేపథ్య ప్రణాళిక, ఈ విభాగానికి ఒక గంట అధ్యయన సమయం (ఒక పాఠం) కేటాయించబడింది.
1. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది (5 నిమి.)
2. మేము నిర్వహిస్తాము సమాచారంతో పని చేసే దశ (20 –25నిమి.)
సాంకేతికంగా, దశ అభిజ్ఞా సార్వత్రిక ప్రాథమిక నిర్మాణంపై దృష్టి సారించింది విద్యా కార్యకలాపాలు(టెక్స్ట్‌కు ప్రశ్నలను రూపొందించే సామర్థ్యం, టెక్స్ట్ ఆధారంగా స్వతంత్రంగా సమాధానాలను రూపొందించడం).
ఈ పేరా కనుగొంటుంది మరింత అభివృద్ధిట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన. ఒక పాలిహెడ్రల్ కోణం కనిపిస్తుంది మరియు దీనికి సంబంధించి బహుభుజి భావనను స్పష్టం చేయడం సాధ్యపడుతుంది.
పాలిహెడ్రల్ కోణాలకు సంబంధించి, బొమ్మల కుంభాకార సమస్య మరోసారి చర్చించబడింది. పాలీహెడ్రల్ కోణాల ఉదాహరణను ఉపయోగించి, మేము కుంభాకార మరియు కుంభాకార సంఖ్యలు (బహుభుజాలు, బహుభుజి కోణాలు, ఏకపక్ష బొమ్మలు) గురించి విద్యార్థుల ఆలోచనలను మరింత స్పష్టం చేస్తాము.
పాలిహెడ్రల్ కోణాల కోసం ఇది సూత్రీకరించడానికి ఉపయోగపడుతుంది వారి విమానం కోణాల లక్షణాలు, ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాల సంబంధిత లక్షణాల మాదిరిగానే (రుజువు లేకుండా):
1. పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి సమతల కోణం ఇతర సమతల కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
2. పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సమతల కోణాల మొత్తం 360º కంటే తక్కువ.
3. మేము నిర్వహిస్తాము నైపుణ్యం అభివృద్ధి దశ (15 –20 నిమి.)
రంగస్థలం ఉత్పత్తిపై దృష్టి పెట్టింది
అభిజ్ఞా UUD - నైపుణ్యాల ఏర్పాటు:
- ఉపయోగం ద్వారా గణిత జ్ఞానంవివిధ పరిష్కరించడానికి గణిత సమస్యలుమరియు పొందిన ఫలితాల మూల్యాంకనం;
- సాక్ష్యాల వినియోగంపై గణిత ప్రసంగం;
- వివిధ గణిత గ్రంథాలతో సహా సమాచారంతో పనిచేయడం;
రెగ్యులేటరీ UUD - సెట్ చేయడానికి నైపుణ్యాల ఏర్పాటు వ్యక్తిగత లక్ష్యాలుకార్యకలాపాలు, మీ పనిని ప్లాన్ చేయండి, ప్రణాళిక ప్రకారం పని చేయండి, పొందిన ఫలితాలను అంచనా వేయండి;
కమ్యూనికేటివ్ UUD - సమస్యకు పరిష్కారాన్ని కనుగొని, పొందిన ఫలితాలను అంచనా వేయడానికి సమూహంలోని ఇతర పిల్లలతో కలిసి నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడం.
ఇది స్పష్టంగా లేని ప్రతిదానికీ స్పష్టీకరణ దశ, అలాగే శిక్షణ అని మేము చర్చిస్తాము. మేము పని లక్ష్యాలను నిర్దేశించాము ఈ పరిస్తితిలో, పిల్లల నుండి వ్యక్తిగత లక్ష్యాన్ని సాధించేటప్పుడు: వివరించండి నా కొరకుబాగా అర్థం చేసుకోని ప్రతిదీ, ఇబ్బందులను కలిగించే సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధన చేయండి.
ఇక్కడ మీరు 29-30 పేజీలలోని 34, 35 టాస్క్‌లతో పని చేయవచ్చు.
మేము అనేక అదనపు పనులను కూడా అందిస్తాము.
1) పాలిహెడ్రల్ కోణం ఉంది nముఖాలు. దానికి ఎన్ని పక్కటెముకలు ఉన్నాయి?
సమాధానం: nపక్కటెముకలు
2) ఫ్లాట్ కోణాలతో టెట్రాహెడ్రల్ కోణం యొక్క నమూనాను తయారు చేయడం సాధ్యమేనా: 1) 80 °, 130 °, 70 °, 100 °; 2) 45°, 60°, 120°, 90°; 3) 80°, 80°, 80°, 80°? మోడల్ విజయవంతమైతే, అది ఏ కోణం: కుంభాకార లేదా కుంభాకార?
సమాధానం: 1) ఇది సాధ్యమే; 2) ఇది కుంభాకార లేదా కుంభాకారంగా ఉంటుంది; 3) సాధ్యం, కుంభాకారం మాత్రమే.
3) మీకు తెలిసిన ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాల ప్రాపర్టీ ఆధారంగా, టెట్రాహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి ప్లేన్ కోణం దాని ఇతర మూడు ప్లేన్ కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉందని నిరూపించండి.
సూచనలు: మీరు రెండు వ్యతిరేక అంచుల ద్వారా ఒక విమానం గీయాలి మరియు ఫలితంగా ట్రైహెడ్రల్ కోణాలను పరిశీలించాలి. రుజువు కుంభాకార కోణాలకు మాత్రమే చెల్లుతుంది.
4) టెట్రాహెడ్రల్ కోణంలో, అన్ని సమతల కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. అవి పదునైనవని నిరూపించండి.
పరిష్కారం: 1. లెట్ α – డిగ్రీ కొలతఫ్లాట్ కోణం.
2. అప్పుడు 4α< 360° (по свойству суммы плоских углов выпуклого многогранного угла).
3. కాబట్టి, α< 90°, т. е. α – острый угол.
5) కుంభాకార పాలీహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి సమతల కోణాలు a) 30°కి సమానంగా ఉంటాయి; బి) 45°; సి) 80°; d) 150°. అటువంటి పాలిహెడ్రల్ కోణం ఎన్ని ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది?
సమాధానం: ఎ) 3 ≤ n< 12; б) 3 ≤ n < 8; в) 3 ≤ n < 4,5; г) 3 ≤ n < 2,4 (такого многогранного угла не существует). При подсчетах нужно учитывать, что n- ఒక పూర్ణాంకం సంఖ్య.
6) కుంభాకార బహుభుజి కోణంలో, అన్ని సమతల కోణాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. ఒక పాలిహెడ్రల్ కోణం a) 6; బి) 8; సి) 10 ముఖాలు. ఈ పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాలు ఏమిటి?
సమస్య 5ని పరిష్కరించేటప్పుడు మేము అదే విధంగా తర్కించాము, n α < 360°, где n- పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాల సంఖ్య, α - ఒక విమానం కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత; 0 ≤ α< 360°/ n.
సమాధానం: ఎ) 0 ≤ α< 60°; б) 0 ≤ α< 45°; в) 0 ≤ α< 36°.
టాస్క్‌లను పూర్తి చేయడానికి కేటాయించిన సమయం ముగిసిన తర్వాత, పని ఫలితాలను ఉపాధ్యాయుడు బోర్డులో ప్రదర్శిస్తారు మరియు విద్యార్థులు చర్చించారు. పని సంగ్రహించబడింది, స్వీయ-అంచనా సంభవిస్తుంది, ఏది స్పష్టంగా ఉంది మరియు పని చేస్తుంది మరియు ఏది స్పష్టంగా లేదు మరియు పని చేయదు అనేదానిని నిర్ణయించడంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.
4. సూత్రీకరించుదాం ఇంటి పని ద్వారా వివిధ స్థాయిలుసంక్లిష్టత - మునుపటి దశలో పని ఫలితాలను బట్టి.
20. పాలీహెడ్రల్ కోణాల యొక్క బహుళ-స్థాయి అధ్యయనం, ట్రైహెడ్రల్ కోణం మరియు పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్లేన్ కోణాల లక్షణాలు.
ప్రాథమిక స్థాయి:
అతనస్యాన్
డైహెడ్రల్ కోణాన్ని మాత్రమే పరిగణిస్తుంది.
పోగోరెలోవ్
మొదట, అతను డైహెడ్రల్ కోణాన్ని మరియు వెంటనే ట్రైహెడ్రల్ మరియు పాలిహెడ్రల్ కోణాలను పరిగణిస్తాడు.
మూడు కిరణాలు a, b, c, ఒకే బిందువు నుండి ఉద్భవించి ఒకే విమానంలో పడి ఉండడాన్ని పరిశీలిద్దాం. ట్రైహెడ్రల్ యాంగిల్ (abc) అనేది మూడు ఫ్లాట్ కోణాలు (ab), (bc) మరియు (ac) (Fig. 400)తో రూపొందించబడిన బొమ్మ. ఈ కోణాలను అంచులు అంటారు త్రిభుజ కోణం, మరియు వాటి వైపులా పక్కటెముకలు. సమతల కోణాల యొక్క సాధారణ శీర్షాన్ని ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాల ద్వారా ఏర్పడిన డైహెడ్రల్ కోణాలను అంటారు డైహెడ్రల్ కోణాలుత్రిభుజ కోణం.
పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క భావన అదేవిధంగా పరిచయం చేయబడింది (Fig. 401).
Fig. 400 మరియు Fig. 401
పి 
ప్రొఫైల్ స్థాయి(A.D. అలెక్స్‌ండ్రోవ్, A.L. వెర్నర్, V.I. రిజిఖ్):
§ 31 వరకు ఏకపక్ష పాలిహెడ్రల్ కోణాల నిర్వచనం మరియు అధ్యయనాన్ని వదిలివేసి, ఇప్పుడు మనం వాటిలో సరళమైన వాటిని పరిశీలిస్తాము - ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు. స్టీరియోమెట్రీలో డైహెడ్రల్ కోణాలను సమతల కోణాల అనలాగ్‌లుగా పరిగణించగలిగితే, ట్రైహెడ్రల్ కోణాలను సమతల త్రిభుజాల అనలాగ్‌లుగా పరిగణించవచ్చు మరియు కింది పేరాల్లో అవి గోళాకార త్రిభుజాలకు సహజంగా ఎలా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయో చూద్దాం.
మీరు ఇలాంటి ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని నిర్మించవచ్చు (అందువలన నిర్మాణాత్మకంగా నిర్వచించవచ్చు). ఎ, బి, సి, కలిగి ఉన్న ఏవైనా మూడు కిరణాలను తీసుకోండి సాధారణ ప్రారంభం O మరియు అదే విమానంలో పడుకోవడం లేదు (Fig. 150). ఈ కిరణాలు మూడు కుంభాకార సమతల కోణాల వైపులా ఉంటాయి: కోణం α వైపులా b, c, కోణం β వైపులా a, c, మరియు కోణం γ వైపులా a, b. ఈ మూడు కోణాల కలయికను α, β, γ ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc (లేదా, క్లుప్తంగా, ట్రైహెడ్రల్ కోణం O) అంటారు. కిరణాలు a, b, c లను ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క అంచులు అని పిలుస్తారు మరియు సమతల కోణాలు α, β, γ దాని ముఖాలు. పాయింట్ Oని ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క శీర్షం అంటారు.
3 వ్యాఖ్య ఒక నాన్-కుంభాకార ముఖంతో (Fig. 151) ఒక త్రిభుజాకార కోణాన్ని నిర్వచించడం సాధ్యమవుతుంది, అయితే మేము అలాంటి త్రిభుజాకార కోణాలను పరిగణించము. 
ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్రతి అంచు కోసం, సంబంధిత డైహెడ్రల్ కోణం నిర్ణయించబడుతుంది, దీని అంచు ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సంబంధిత అంచుని కలిగి ఉంటుంది మరియు దీని ముఖాలు ఈ అంచుకు ప్రక్కనే ఉన్న ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలను కలిగి ఉంటాయి.
a, b, c అంచుల వద్ద ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల విలువలు వరుసగా a^, b^, c^ (అక్షరాల పైన నేరుగా క్యాప్స్) ద్వారా సూచించబడతాయి.
ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc యొక్క మూడు ముఖాలు α, β, γ మరియు దాని మూడు డైహెడ్రల్ కోణాలు పక్కటెముకలు a, b, с, అలాగే పరిమాణాలు α, β, γ మరియు а^, b^, с^ మేము ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క మూలకాలను పిలుస్తాము. (ఒక సమతల త్రిభుజం యొక్క మూలకాలు దాని భుజాలు మరియు కోణాలు అని గుర్తుంచుకోండి.)
ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క కొన్ని మూలకాలను దాని ఇతర మూలకాల ద్వారా వ్యక్తీకరించడం, అంటే ట్రైహెడ్రల్ కోణాల "త్రికోణమితి"ని నిర్మించడం మా పని.
1) కొసైన్ సిద్ధాంతం యొక్క అనలాగ్‌ని పొందడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. ముందుగా, ట్రైహెడ్రల్ యాంగిల్ Oabcని పరిగణించండి, ఇది కనీసం రెండు ముఖాలను కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు α మరియు β, పదునైన మూలలు. దాని అంచు cపై పాయింట్ C ని తీసుకుని, దాని నుండి ముఖాలు α మరియు β లంబంగా CB మరియు CA నుండి అంచు సి వరకు గీద్దాం, అవి A మరియు B పాయింట్ల వద్ద a మరియు b అంచులతో కలిసే వరకు (Fig. 152). కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి OAB మరియు CAB త్రిభుజాల నుండి AB దూరాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము.
AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) మరియు AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.
రెండవ సమానత్వం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). ఎందుకంటే త్రిభుజాలు OSV మరియు OCA లంబకోణం, తర్వాత AC 2 -AC 2 =OS 2 మరియు OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)
కాబట్టి, (1) మరియు (2) నుండి OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)
ఆ. 
కానీ 
,
,
,
. అందుకే
(3) – ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం కొసైన్ సిద్ధాంతం యొక్క అనలాగ్ - కొసైన్ ఫార్ములా.
α మరియు β రెండు ముఖాలు మందమైన కోణాలు.
α మరియు β కోణాలలో ఒకటి, ఉదాహరణకు α, తీవ్రమైనది మరియు మరొకటి, β, మందంగా ఉంటుంది.
α లేదా β కోణాల్లో కనీసం 1 నేరుగా ఉంటుంది.
ట్రైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలుత్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క సంకేతాలను పోలి ఉంటుంది. కానీ ఒక తేడా ఉంది: ఉదాహరణకు, రెండు ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు వాటి డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటే సమానంగా ఉంటాయి. రెండు సమతల త్రిభుజాలు సమానంగా ఉన్నాయని గుర్తుంచుకోండి. మరియు ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం, ఇదే పరిస్థితి సారూప్యతకు కాదు, సమానత్వానికి దారితీస్తుంది.
ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు విశేషమైనవి ఆస్తిద్వంద్వత్వం అంటారు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం Oabc గురించి ఏదైనా సిద్ధాంతంలో ఉంటే మేము భర్తీ చేస్తాము విలువలు a, b, నుండి π-α, π-β, π-γమరియు, దీనికి విరుద్ధంగా, α, β, γని π-a^, π-b^, π-c^తో భర్తీ చేయండి, ఆపై మేము మళ్లీ ట్రైహెడ్రల్ కోణాల గురించి నిజమైన ప్రకటనను పొందుతాము, అసలు ఒక సిద్ధాంతానికి ద్వంద్వ. నిజమే, సైన్స్ సిద్ధాంతంలో అటువంటి ప్రత్యామ్నాయం జరిగితే, మనం మళ్లీ సైన్స్ సిద్ధాంతానికి వస్తాము (ఇది స్వయంగా ద్వంద్వమైనది). కానీ మనం దీనిని కొసైన్ సిద్ధాంతం (3)లో చేస్తే, మనకు కొత్త ఫార్ములా వస్తుంది
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
ట్రైహెడ్రల్ కోణం కోసం మనం ట్రైహెడ్రల్ కోణాన్ని ద్వంద్వంగా నిర్మిస్తే అటువంటి ద్వంద్వత్వం ఎందుకు సంభవిస్తుందో స్పష్టమవుతుంది, దీని అంచులు అసలు కోణం యొక్క ముఖాలకు లంబంగా ఉంటాయి (విభాగం 33.3 మరియు అంజీర్ 356 చూడండి).
కొన్ని సరళమైన ఉపరితలాలు పాలీహెడ్రల్ కోణాలు. అవి సాధారణ కోణాలతో రూపొందించబడ్డాయి (అటువంటి కోణాలను ఇప్పుడు మనం తరచుగా ఫ్లాట్ యాంగిల్స్ అని పిలుస్తాము), అలాగే క్లోజ్డ్ బ్రోకెన్ లైన్ విభాగాలతో రూపొందించబడింది. అవి, కింది నిర్వచనం ఇవ్వబడింది:
పాలిహెడ్రల్ కోణం అంటారుసమతల కోణాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ క్రింది షరతులు నెరవేరుతాయి:
1) రెండు కోణాలు లేవు సాధారణ పాయింట్లు, వారి సాధారణ శీర్షం లేదా మొత్తం వైపు తప్ప.
2) ఈ ప్రతి కోణానికి, దాని ప్రతి భుజం ఒకదానితో ఒకటి మరియు అలాంటి మరొక కోణంతో సాధారణం.
3) ప్రతి మూలలో నుండి మీరు సాధారణ వైపులా ఉన్న మూలల వెంట ప్రతి మూలకు వెళ్లవచ్చు.
4) తో రెండు కోణాలు లేవు సాధారణ వైపుఅదే విమానంలో పడుకోవద్దు (Fig. 324).
ఈ పరిస్థితిలో, పాలీహెడ్రల్ కోణాన్ని ఏర్పరుచుకునే సమతల కోణాలను దాని ముఖాలు అని పిలుస్తారు మరియు వాటి వైపులా దాని అంచులు అంటారు.
కింద ఈ నిర్వచనండైహెడ్రల్ కోణం కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు విప్పబడిన ఫ్లాట్ కోణాలతో కూడి ఉంటుంది. దాని శీర్షాన్ని దాని అంచున ఉన్న ఏదైనా బిందువుగా పరిగణించవచ్చు మరియు ఈ బిందువు అంచుని శీర్షంలో కలిసే రెండు అంచులుగా విభజిస్తుంది. కానీ శీర్షం యొక్క స్థానం లో ఈ అనిశ్చితి కారణంగా, డైహెడ్రల్ కోణం బహుభుజి కోణాల సంఖ్య నుండి మినహాయించబడుతుంది.
పి 
బహుభుజి కోణం యొక్క భావన ముఖ్యమైనది, ప్రత్యేకించి, పాలిహెడ్రా అధ్యయనంలో - పాలీహెడ్రా సిద్ధాంతంలో. పాలీహెడ్రాన్ యొక్క నిర్మాణం అది ఏ ముఖాలతో తయారు చేయబడింది మరియు అవి శీర్షాల వద్ద ఎలా కలుస్తాయి, అంటే, ఏ పాలిహెడ్రల్ కోణాలు ఉన్నాయి అనే దాని ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.
విభిన్న పాలిహెడ్రా యొక్క పాలిహెడ్రల్ కోణాలను పరిగణించండి.
పాలీహెడ్రల్ కోణాల ముఖాలు కుంభాకార కోణాలు కూడా కావచ్చని గమనించండి.
ఒక బిందువు O నుండి వెలువడే మూడు కిరణాలు మరియు ఒకే విమానంలో పడకుండా మరియు ఈ కిరణాల మధ్య ఉన్న మూడు భాగాల విమానాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మను ట్రైహెడ్రల్ కోణం అంటారు (Fig. 352).
పాయింట్ Oని కోణం యొక్క శీర్షం అని పిలుస్తారు, కిరణాలు a, b, c దాని అంచులు, విమానాల భాగాలు. ముఖాలు సమతల కోణాలు, ఇచ్చిన ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ప్లేన్ కోణాలు అని కూడా పిలుస్తారు. చదునైన ముఖాల మధ్య కోణాలను ఇచ్చిన ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాలు అంటారు.
సిద్ధాంతం 1. ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి సమతల కోణం మిగిలిన రెండింటి మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
రుజువు. సమతల కోణాలలో అతిపెద్దదానికి సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించడానికి ఇది సరిపోతుంది. అంజీర్‌లో ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అతిపెద్ద సమతల కోణాన్ని చూద్దాం. 353. విమానంలో కోణానికి సమానమైన కోణాన్ని నిర్మిస్తాం దాని వైపు b కోణం లోపల వెళుతుంది (విమానం కోణాలలో అతిపెద్దది!).
c మరియు b ఏదైనా పంక్తులు పెట్టుకుందాం సమాన విభాగాలుపాయింట్ల ద్వారా ఏకపక్ష విమానాన్ని గీద్దాం, కిరణాలను వరుసగా N మరియు M పాయింట్ల వద్ద కలుద్దాం.
త్రిభుజాలు కలిగి ఉన్న వాటికి సమానంగా ఉంటాయి సమాన కోణాలుసమాన పార్టీల మధ్య ముగిసింది. లో శీర్షం ఉన్న కోణం కంటే O లో ఉన్న కోణం ఎక్కువ అని చూపిద్దాం. నిజానికి, ఈ కోణాలు జతల మధ్య ఉంటాయి సమాన వైపులా, త్రిభుజంలో మూడవ వైపు పెద్దది
రెండు సమతల కోణాల మొత్తం మూడవ సమతల కోణం కంటే ఎక్కువగా ఉందని ఇది చూపిస్తుంది, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
సిద్ధాంతం 2. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాల మొత్తం నాలుగు లంబ కోణాల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
రుజువు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క అంచులలో మూడు పాయింట్లు A, B మరియు C లను తీసుకుందాం మరియు అంజీర్‌లో చూపిన విధంగా వాటి ద్వారా కట్టింగ్ ప్లేన్‌ను గీయండి. 354. కోణాల మొత్తం త్రిభుజం ABCసమానం కాబట్టి, OAC, OAB, OCA, OCB, OBC, OVA అనే ఆరు కోణాల మొత్తం మునుపటి సిద్ధాంతం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. కానీ ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ముఖాలలో OAB, OBC, OCA అనే మూడు త్రిభుజాల కోణాల మొత్తం సమానం. అందువలన, ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క ఫ్లాట్ కోణాల వాటా నాలుగు సరళ రేఖల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది: . ఈ మొత్తం ఏకపక్షంగా చిన్నది కావచ్చు (“ట్రైహెడ్రల్ స్పైర్”) లేదా మనం అంజీర్‌లో SABC పిరమిడ్ ఎత్తును తగ్గిస్తే ఏకపక్షంగా దగ్గరగా ఉండవచ్చు. 355, దాని స్థావరాన్ని సంరక్షిస్తుంది, అప్పుడు శీర్షం S వద్ద ఉన్న సమతల కోణాల మొత్తం ఉంటుంది
ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల మొత్తానికి కూడా పరిమితులు ఉంటాయి. ప్రతి డైహెడ్రల్ కోణాలు మరియు అందువల్ల వాటి మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. అంజీర్‌లోని అదే పిరమిడ్ కోసం. 355 పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తు తగ్గుతున్నందున ఈ మొత్తం దాని పరిమితిని చేరుకుంటుంది, అయితే ఈ మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కావలసినంత తక్కువగా ఉంటుంది.
అందువల్ల, ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క విమానం మరియు డైహెడ్రల్ కోణాల కోసం, క్రింది అసమానతలు కలిగి ఉంటాయి:
విమానంలోని త్రిభుజం యొక్క జ్యామితికి మరియు త్రిభుజ కోణం యొక్క జ్యామితికి మధ్య గణనీయమైన సారూప్యత ఉంది. ఈ సందర్భంలో, ఒక త్రిభుజం యొక్క కోణాలు మరియు త్రిభుజాకార కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల మధ్య, ఒక వైపు, మరియు త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు త్రిభుజాకార కోణం యొక్క ఫ్లాట్ కోణాల మధ్య, మరొక వైపున ఒక సారూప్యతను గీయవచ్చు. ఉదాహరణకు, భావనల యొక్క సూచించబడిన భర్తీతో, త్రిభుజాల సమానత్వంపై సిద్ధాంతం చెల్లుబాటు అవుతుంది. సంబంధిత సూత్రీకరణలను సమాంతరంగా అందజేద్దాం:
ఏది ఏమైనప్పటికీ, రెండు ట్రైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి, వాటి సంబంధిత డైహెడ్రల్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇంతలో, రెండు త్రిభుజాల కోణాలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి, కానీ తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండవు. ట్రైహెడ్రల్ కోణాల కోసం, అలాగే త్రిభుజాల కోసం, త్రిభుజాకార కోణాన్ని పరిష్కరించే పని ఉంది, అనగా, దానిలోని కొన్ని మూలకాలను ఇతర ఇచ్చిన వాటి నుండి కనుగొనే పని. అటువంటి పనికి ఉదాహరణ ఇద్దాం.
టాస్క్. ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాలు ఇవ్వబడ్డాయి. దాని డైహెడ్రల్ కోణాలను కనుగొనండి.
పరిష్కారం. a అంచున ఒక విభాగాన్ని ఉంచి, డైహెడ్రల్ కోణం a యొక్క సాధారణ విభాగం ABCని గీయండి. నుండి కుడి త్రిభుజం OAV మేము కనుగొన్నాము మేము కూడా కలిగి ఉన్నాము
BC కోసం మనం BAC త్రిభుజానికి వర్తించే కొసైన్ సిద్ధాంతం ద్వారా కనుగొంటాము (క్లుప్తత కోసం మనం విమాన కోణాలను ab, ac, bc, డైహెడ్రల్ కోణాలు - a, b, c)గా సూచిస్తాము.
ఇప్పుడు మనం BOC త్రిభుజానికి కొసైన్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము:
ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము
మరియు అదేవిధంగా
ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించి, మీరు విమానం కోణాలను తెలుసుకోవడం ద్వారా డైహెడ్రల్ కోణాలను కనుగొనవచ్చు. రుజువు లేకుండా, విశేషమైన సంబంధాన్ని గమనించండి
సైన్స్ సిద్ధాంతం అంటారు.
ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క జ్యామితి మరియు త్రిభుజం యొక్క జ్యామితి మధ్య లోతైన సారూప్యత యొక్క వివరణను మేము ఈ క్రింది నిర్మాణాన్ని నిర్వహిస్తే పొందడం కష్టం కాదు. ట్రైహెడ్రల్ కోణం O (Fig. 357) యొక్క శీర్షంలో యూనిట్ వ్యాసార్థం యొక్క గోళం మధ్యలో ఉంచుదాం.
అప్పుడు అంచులు A, B, C అనే మూడు పాయింట్ల వద్ద గోళం యొక్క ఉపరితలాన్ని కలుస్తాయి మరియు కోణం యొక్క అంచులు గోళంపై ఆర్క్‌లను కట్ చేస్తాయి. పెద్ద వృత్తాలు AC, AB, BC. గోళంపై ABC ఒక ఫిగర్ ఏర్పడుతుంది, దీనిని గోళాకార త్రిభుజం అంటారు. త్రిభుజం యొక్క ఆర్క్‌లు (త్రిభుజం యొక్క "భుజాలు") ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క సమతల కోణాల ద్వారా కొలుస్తారు, శీర్షాలలోని కోణాలు డైహెడ్రల్ కోణాల యొక్క సమతల కోణాలు. కాబట్టి, ట్రైహెడ్రల్ కోణాల పరిష్కారం గోళాకార త్రిభుజాల పరిష్కారం తప్ప మరొకటి కాదు, ఇది గోళాకార త్రికోణమితికి సంబంధించినది. సంబంధాలు (243.1) మరియు (243.2) గోళాకార త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక సంబంధాలలో ఉన్నాయి. గోళాకార త్రికోణమితిఇది కలిగి ఉంది ముఖ్యమైనఖగోళ శాస్త్రం కోసం. అందువలన, ట్రైహెడ్రల్ కోణాల సిద్ధాంతం గోళాకార త్రిభుజాల సిద్ధాంతం మరియు అందువల్ల అనేక విధాలుగా విమానంలో త్రిభుజం యొక్క సిద్ధాంతం వలె ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతాల మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే: 1) గోళాకార త్రిభుజంలో, కోణాలు మరియు భుజాలు రెండూ కోణీయ కొలతలో కొలుస్తారు, కాబట్టి, ఉదాహరణకు, సైన్స్ సిద్ధాంతంలో ఇది భుజాలు కాదు, AB భుజాల సైన్స్. , AC, BC;
MAOU "లైసియం ఆఫ్ ఇన్నోవేటివ్ టెక్నాలజీస్"
పాలీహెడ్రల్ కోణాలు. కుంభాకార పాలిహెడ్రా
10B తరగతి విద్యార్థి సిద్ధం: Alexey Burykin
తనిఖీ చేసినవారు: డుబిన్స్కాయ I.A.
ఖబరోవ్స్క్
పాలిహెడ్రల్ కోణం
పాలిహెడ్రల్ కోణంకింది షరతులు కలుసుకునే విధంగా సమతల కోణాల ద్వారా ఏర్పడిన బొమ్మ:
1) వాటి ఉమ్మడి శీర్షం లేదా మొత్తం వైపు తప్ప రెండు కోణాలకు సాధారణ పాయింట్లు లేవు;
2) ఈ ప్రతి కోణానికి, దాని ప్రతి భుజాలు ఒకదానితో ఒకటి మరియు అలాంటి మరొక కోణంతో సాధారణం;
3) ప్రతి మూలలో నుండి మీరు ఒక సాధారణ వైపు ఉన్న మూలల వెంట ప్రతి మూలకు వెళ్లవచ్చు;
4) ఒకే విమానంలో సాధారణ వైపు ఉన్న రెండు కోణాలు లేవు.
- కోణాలను ASB, BSC,... అంటారు ఫ్లాట్ కోణాలులేదా అంచులు, వారి వైపులా SA, SB, ... అంటారు పక్కటెముకలు, మరియు సాధారణ శీర్షం S- టాప్పాలీహెడ్రల్ కోణం.
సిద్ధాంతం 1.
ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి సమతల కోణం ఇతర రెండు సమతల కోణాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
పర్యవసానం
- / ASC- / ASB/CSB; / ASC- / CSB/ASB.
ట్రైహెడ్రల్ కోణంలో, ప్రతి విమానం కోణం ఇతర రెండు కోణాల వ్యత్యాసం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది .
సిద్ధాంతం2.
- ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క మూడు సమతల కోణాల విలువల మొత్తం 360° కంటే తక్కువ .
180°, అంటే α + β + γ " వెడల్పు = "640" రుజువు
మనం సూచిస్తాం
తర్వాత ASC, ASB, BSC అనే త్రిభుజాల నుండి మనకు ఉంటుంది
ఇప్పుడు అసమానత రూపం దాల్చింది
180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,
అది ఎక్కడ నుండి అనుసరిస్తుంది
α + β + γ
ట్రైహెడ్రల్ కోణాల సమానత్వం యొక్క సరళమైన సందర్భాలు
- 1) రెండు తదనుగుణంగా సమానమైన మరియు ఒకేలా అంతరం ఉన్న సమతల కోణాల మధ్య సమానమైన డైహెడ్రల్ కోణంతో పాటు , లేదా 2) సమాన సమతల కోణంతో పాటు రెండు తదనుగుణంగా సమానమైన మరియు ఒకేలా అంతరం ఉన్న డైహెడ్రల్ కోణాల మధ్య ఉంటుంది .
కుంభాకార పాలీహెడ్రల్ కోణం
- పాలిహెడ్రల్ కోణాన్ని కుంభాకారంగా పిలుస్తారు, అది నిరవధికంగా విస్తరించబడిన దాని ప్రతి ముఖాల యొక్క విమానం యొక్క ఒక వైపు పూర్తిగా ఉంటే.
పాలీహెడ్రాన్.
పాలీహెడ్రాన్, త్రిమితీయ స్థలంలో - ఒక సేకరణ పరిమిత సంఖ్యఫ్లాట్ బహుభుజాలు, అంటే ఏదైనా బహుభుజి యొక్క ప్రతి వైపు ఏకకాలంలో మరొక వైపు ఉంటుంది, దీనిని మొదటి దానికి ఆనుకొని ఉంటుంది.
కుంభాకార పాలిహెడ్రా
పాలీహెడ్రాన్అని పిలిచారు కుంభాకార, అది దాని ముఖాలలో ఏదైనా విమానం యొక్క ఒక వైపు పూర్తిగా ఉంటే; అప్పుడు దాని అంచులు కూడా కుంభాకారంగా ఉంటాయి.
కుంభాకార పాలిహెడ్రాన్ఖాళీని రెండు భాగాలుగా కట్ చేస్తుంది - బాహ్య మరియు అంతర్గత. దీని లోపలి భాగం ఒక కుంభాకార శరీరం. దీనికి విరుద్ధంగా, ఒక కుంభాకార శరీరం యొక్క ఉపరితలం పాలిహెడ్రల్ అయితే, సంబంధిత పాలిహెడ్రాన్ కుంభాకారంగా ఉంటుంది.
సిద్ధాంతం.కుంభాకార పాలీహెడ్రల్ కోణం యొక్క అన్ని సమతల కోణాల మొత్తం 360 డిగ్రీల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
ఆస్తి 1.కుంభాకార బహుభుజిలో, అన్ని ముఖాలు కుంభాకార బహుభుజాలు.
ఆస్తి2.ఏదైనా కుంభాకార బహుభుజిఒక సాధారణ శీర్షంతో పిరమిడ్‌లను కలిగి ఉంటుంది, దీని ఆధారం పాలిహెడ్రాన్ యొక్క ఉపరితలంగా ఉంటుంది.
