గోళాకార త్రికోణమితి

గోళాకార త్రిభుజాలు.బంతి ఉపరితలంపై, రెండు బిందువుల మధ్య అతి తక్కువ దూరం ఒక గొప్ప వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతతో కొలుస్తారు, అనగా, ఒక వృత్తం బంతి మధ్యలో గుండా వెళుతుంది. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలుబంతి మధ్యలో మరియు గోళాకార ఉపరితలం నుండి వెలువడే మూడు కిరణాల ఖండన బిందువులు. పార్టీలు a, బి, సిగోళాకార త్రిభుజం చిన్నగా ఉండే కిరణాల మధ్య ఉండే కోణాలను అంటారు (ఈ కోణాలలో ఒకటి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు గోళాకార త్రిభుజం ఒక గొప్ప వృత్తం యొక్క సెమిసర్కిల్‌గా క్షీణిస్తుంది). త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు బంతి యొక్క ఉపరితలంపై ఒక గొప్ప వృత్తం యొక్క ఆర్క్కి అనుగుణంగా ఉంటుంది (ఫిగర్ చూడండి).

కోణాలు ఎ, బి, సిగోళాకార త్రిభుజం, వ్యతిరేక భుజాలు a, బి, సితదనుగుణంగా, అవి నిర్వచనం ప్రకారం, త్రిభుజం యొక్క భుజాలకు సంబంధించిన గొప్ప వృత్తాల ఆర్క్‌ల మధ్య లేదా ఈ కిరణాలచే నిర్వచించబడిన విమానాల మధ్య కోణాల మధ్య కంటే తక్కువ కోణాలు.

గోళాకార త్రికోణమితిగోళాకార త్రిభుజాల భుజాలు మరియు కోణాల మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తుంది (ఉదాహరణకు, భూమి యొక్క ఉపరితలంపై మరియు ఖగోళ గోళంపై). అయినప్పటికీ, భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్లు అనేక సమస్యలలో గోళాకార త్రికోణమితి కంటే భ్రమణ పరివర్తనలను ఉపయోగించడానికి ఇష్టపడతారు.

గోళాకార త్రిభుజాల లక్షణాలు.గోళాకార త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు మరియు కోణం నిర్వచనం ప్రకారం చిన్నవి.

బంతి ఉపరితలంపై జ్యామితి యూక్లిడియన్ కానిది; ప్రతి గోళాకార త్రిభుజంలో, భుజాల మొత్తం 0 మరియు మధ్య ఉంటుంది, కోణాల మొత్తం మరియు మధ్య ఉంటుంది. ప్రతి గోళాకార త్రిభుజంలో, పెద్ద కోణం పెద్ద వైపుకు ఎదురుగా ఉంటుంది. ఏదైనా రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ వైపు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఏదైనా రెండు కోణాల మొత్తం మూడవ కోణం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ఈ డెమో కథ ఇది: ఒక రోజు నా స్నేహితుడు తన ఆట కోసం ప్లానెట్ మ్యాప్ జనరేటర్‌ని తయారు చేశాడు మరియు ఈ విధంగా రూపొందించిన మ్యాప్‌లను తిరిగే గోళంగా చూపించాలనుకున్నాడు. అయితే, అతను 3D గ్రాఫిక్స్‌ని ఉపయోగించాలనుకోలేదు, బదులుగా విభిన్న కోణాల్లో తిరిగే ఈ గోళంతో అనేక ఫ్రేమ్‌లను రూపొందించాడు. ఉపయోగించిన మెమరీ మొత్తం...అనుకుందాం, మితిమీరిన, మరియు ఫ్రేమ్ జనరేషన్ యొక్క వేగం (అలాగే వాటి అమలు నాణ్యత) బాగా నష్టపోయింది. కొంచెం ఆలోచించిన తర్వాత, నేను అతనికి ఈ ప్రక్రియను ఆప్టిమైజ్ చేయడంలో సహాయం చేయగలిగాను, కానీ మొత్తంమీద ఇది OpenGL కోసం మరియు 2D గ్రాఫిక్స్ కోసం కాదు అనే సరసమైన భావనను నేను కదిలించలేకపోయాను.

కాబట్టి, ఒక రోజు, నేను నిద్రలేమితో బాధపడుతున్నప్పుడు, నేను ఈ రెండు విధానాలను కలపడానికి ప్రయత్నించాలని నిర్ణయించుకున్నాను: OpenGL ద్వారా తిరిగే గోళాన్ని (దానిపై విస్తరించి ఉన్న గ్రహం మ్యాప్‌తో) గీయండి, కానీ అదే సమయంలో దానిని ఫ్లాట్‌గా వదిలివేయండి.

మరియు నేను విజయం సాధించానని చెప్పాలి. కానీ మొదటి విషయాలు మొదటి.

ప్రక్రియ యొక్క గణితం

మొదట, పనిని నిర్వచించండి. స్క్రీన్‌పై ఉన్న ప్రతి పాయింట్‌కి, కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో మనకు రెండు స్క్రీన్ కోఆర్డినేట్‌లు ఉన్నాయి మరియు మనం దాని కోసం గోళాకార కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనాలి (వాస్తవానికి, అక్షాంశం మరియు రేఖాంశం), ఇవి తప్పనిసరిగా ప్లానెట్ మ్యాప్‌కు ఆకృతి కోఆర్డినేట్‌లు.

కాబట్టి. కార్టేసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి గోళాకారానికి మారడం సమీకరణాల వ్యవస్థ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది (వికీపీడియా నుండి తీసుకోబడింది):

మరియు రివర్స్ ట్రాన్సిషన్ - కింది సమీకరణాలతో:

సమన్వయం చేయండి Zమేము సులభంగా పొందవచ్చు Xమరియు వై, వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడం, మరియు మనం వ్యాసార్థాన్ని ఒకదానికి సమానంగా తీసుకోవచ్చు.
భవిష్యత్తులో, మేము భావనలను పరస్పరం మార్చుకోవడం ద్వారా పై సమీకరణాలను కొద్దిగా మారుస్తామని మేము అంగీకరిస్తాము వై(మాకు ఇది స్క్రీన్ నిలువుగా ఉంటుంది) మరియు Z(ఇది సన్నివేశం యొక్క లోతుగా ఉంటుంది).

సాంకేతిక భాగం

ఆలోచన అమలుకు మనం ఒక క్వాడ్‌ను ఉపయోగించాల్సి ఉంటుంది (దీనిని ఎలా ఉపయోగించాలో నేను ఇప్పటికే వ్రాసాను, కాబట్టి నేను దీన్ని పునరావృతం చేయను, ముఖ్యంగా ప్రాజెక్ట్ యొక్క పూర్తి సోర్స్ కోడ్‌కి లింక్ క్రింద ఉన్నందున), అలాగే రెండు అల్లికలు: ప్లానెట్ మ్యాప్ (నేను 2048x1024 పరిమాణం గల భూమి ఆకృతిని ఉపయోగించాను) మరియు ఆకృతి సమన్వయ పటాలు. రెండవ ఆకృతి ఉత్పత్తి కోడ్ కార్టీసియన్ నుండి గోళాకార కోఆర్డినేట్‌లకు మార్పిడి యొక్క గణితాన్ని చక్కగా పునరావృతం చేస్తుంది:

Int texSize = 1024; డబుల్ r = టెక్స్సైజ్ * 0.5; int pixels = కొత్త int; కోసం (పూర్ణాంక వరుస = 0, idx = 0; వరుస< texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x<= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

కోఆర్డినేట్లు గమనించండి Xమరియు వైపరిధి నుండి పరిధికి [-1..1] అనువదించబడ్డాయి మరియు ఆకృతి కోఆర్డినేట్‌లు యుమరియు విరేడియన్ల నుండి పరిధికి మార్చబడతాయి, ఆ తర్వాత అవి వరుసగా 32-బిట్ ఆకృతి యొక్క ఎరుపు మరియు ఆకుపచ్చ భాగాలకు వ్రాయబడతాయి. ఆల్ఫా ఛానల్ "లోతు" (కోఆర్డినేట్స్ Z), మరియు నీలం ప్రస్తుతానికి ఉపయోగించబడదు. బిలినియర్ ఫిల్టరింగ్‌ని నిలిపివేయడం కూడా ప్రమాదకరం కాదు: ఈ దశలో ఇది ఎటువంటి ప్రభావాన్ని ఇవ్వదు (ఏ సందర్భంలోనైనా పొరుగు పాయింట్లు ఒకే విలువలను కలిగి ఉంటాయి, బదులుగా పదునైన జంప్‌లతో ఉంటాయి), మరియు నేను తదుపరి చూపించబోయే దానిలో, ఇది హానికరం. కానీ క్రింద దాని గురించి మరింత.

ప్రైవేట్ ఫైనల్ స్ట్రింగ్ quadFS = "Precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "variing vec4 TexCoord0;n" + "void main(" + " (n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " ఫ్లోట్ hiY = ఫ్లోర్ (vOff.y / 16.0);n" + " ఫ్లోట్ loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY ) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + "gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w> 0.0 ? 1.0: 0.0));n" + ")n";

సరే, అది పూర్తిగా భిన్నమైన విషయం! చిన్న మార్పులతో (చిటికెడు జూమింగ్ మరియు ఫింగర్ రొటేషన్ జోడించడం), నేను ఈ ప్రోగ్రామ్‌ను నా స్నేహితులు మరియు సహోద్యోగులకు చూపించాను మరియు అదే సమయంలో ఈ సన్నివేశంలో ఎన్ని త్రిభుజాలు ఉన్నాయని వారు అడిగారు. ఫలితాలు మారుతూ ఉంటాయి మరియు ప్రశ్న కూడా ఒక ట్రిక్ యొక్క అనుమానాలను లేవనెత్తింది (ఈ సందర్భంలో, ప్రతివాదులు "ఒకటి" అని చమత్కరించారు, ఇది సత్యానికి దూరంగా లేదు), కానీ సరైన సమాధానం స్థిరంగా ఆశ్చర్యపరిచింది. మరియు ప్రతి ఒక్కరూ, ఒకరిగా, అడిగారు: గోళాన్ని ఒక అక్షం చుట్టూ ఎందుకు తిప్పవచ్చు, కానీ వంగి ఉండకూడదు?.. మ్.

ఇంక్లైన్

కానీ వాస్తవం ఏమిటంటే ఈ పథకంలో వాలు అమలు చేయడం చాలా కష్టం. వాస్తవానికి, పని అధిగమించలేనిది కాదు, మరియు నేను దానిని కూడా ఎదుర్కొన్నాను, కానీ కొన్ని సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు ఉన్నాయి.

సారాంశంలో, మార్చబడిన కోఆర్డినేట్‌ను తీసుకోవడానికి పని దిమ్మదిరుగుతుంది వి, కోఆర్డినేట్ అయితే యుమారదు: మేము అక్షం చుట్టూ భ్రమణాన్ని జోడిస్తాము కాబట్టి ఇది జరుగుతుంది X. ప్రణాళిక ఇది: మేము ఆకృతి కోఆర్డినేట్‌లను స్క్రీన్ కోఆర్డినేట్‌లుగా మారుస్తాము (పరిధిలో [-1..1]), వాటికి క్షితిజ సమాంతర అక్షం చుట్టూ భ్రమణ మాతృకను వర్తింపజేస్తాము (దీని కోసం మేము ముందుగానే కొత్త స్థిరాంకంలో వ్రాస్తాము uTiltవంపు కోణం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్), ఆపై మేము కొత్త కోఆర్డినేట్‌ను ఉపయోగిస్తాము వైమా టెంప్లేట్ ఆకృతిలో నమూనా కోసం. "రొటేటెడ్" కోఆర్డినేట్ Zఇది మాకు కూడా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, దాని సహాయంతో మేము బంతి వెనుక వైపు రేఖాంశాన్ని ప్రతిబింబిస్తాము). స్క్రీన్ కోఆర్డినేట్ Zఒక ఆకృతి నుండి రెండు ఆకృతి నమూనాలను తయారు చేయకుండా మీరు దానిని స్పష్టంగా లెక్కించవలసి ఉంటుంది, అదే సమయంలో ఇది దాని ఖచ్చితత్వాన్ని పెంచుతుంది.

ప్రైవేట్ ఫైనల్ స్ట్రింగ్ quadFS = "Precision mediump float;n" + "uniform sampler2D uTexture0;n" + "uniform sampler2D uTexture1;n" + "uniform float uOffset;n" + "uniform vec2 uTilt;n" + Texoring vdec4; n" + "శూన్యం ప్రధాన() (n" + "ఫ్లోట్ sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + "ఫ్లోట్ sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + "ఫ్లోట్ z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " if (z2 > 0.0) (;n" + "ఫ్లోట్ sz = sqrt(z2);n" + "ఫ్లోట్ y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + "ఫ్లోట్ z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " ఫ్లోట్ hiY = ఫ్లోర్(vOff.y / 16.0);n" + "ఫ్లోట్ loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2( n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " అయితే (z< 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

హుర్రే, టిల్ట్ విజయవంతమైంది! కానీ అర్ధగోళాల సరిహద్దు వద్ద వింత శబ్దం కొద్దిగా గందరగోళంగా ఉంది. అయ్యో, నేను దీన్ని ఇంకా భరించలేకపోయాను. సహజంగానే, సమస్య సరిహద్దు బిందువుల వద్ద తగినంత చిరునామా ఖచ్చితత్వంలో ఉంది (సర్కిల్‌లోని పాయింట్లు చాలా పెద్ద కోఆర్డినేట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, ఒక టెక్సెల్ చాలా గుర్తించదగిన పొడవు వ్యవధిలో వ్యాపిస్తుంది), మరియు అది ఏదైనా కావచ్చు. దాని గురించి పూర్తయింది. బాగా, కానీ మీరు Google Earthలో ఉన్న విధంగానే దాదాపుగా బంతిని జూమ్ చేసి స్క్రోల్ చేయవచ్చు. తేడాతో ఇక్కడ రెండు త్రిభుజాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

చాలా కాలంగా నేను నా స్వంత ఇంటిని నిర్మించాలనే ఆలోచనలు కలిగి ఉన్నాను, కానీ ఏదో ఒకవిధంగా జీవితంలో లేదా మీడియాలో ఇతరుల నుండి నేను గమనించిన ఆసక్తికరమైన ఆలోచనల రూపంలో. ఈ ఆలోచనలన్నింటినీ మూర్తీభవించిన ఇల్లు ఎలా ఉంటుందో ఇక్కడ నేను ఊహించాను - ఒక నక్క రంధ్రం (డగ్అవుట్) చెట్టుకు వేలాడుతున్న అద్దం గోళంగా మారుతుంది: డి. సాధారణంగా, ఒక సైద్ధాంతిక ట్రాన్స్ఫార్మర్, వెలుపల మరియు లోపల.

నివాస భవనాలు మరియు ఇతర ఉపయోగకరమైన మరియు పారిశ్రామిక నిర్మాణాల (ఉదాహరణకు, షెడ్‌లు, బాత్‌హౌస్‌లు, గ్రీన్‌హౌస్‌లు, షెడ్‌లు, వర్క్‌షాప్‌లు, హాంగర్లు) నిర్మాణానికి ఈ సూత్రాలను వర్తింపజేయడానికి ఇప్పుడు నేను జియోడెసిక్ గోపురాలు మరియు సాంకేతికతలపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాను.

ఈ వేసవిలో (2011) నేను దానిని ప్రత్యక్షంగా పరిశీలించే అవకాశాన్ని పొందాను మరియు నివాస జియోడెసిక్ గోపురం (ఎడమవైపున ఉన్న ఫోటో) నిర్మాణంలో కూడా కొంచెం సహాయం చేసాను.

మరియు ఇప్పుడు నేను వాటిపై ఆసక్తికరమైన సమాచారాన్ని చూశాను, తవ్వి, భవిష్యత్తు కోసం ఒక కథనాన్ని వ్రాయాలని నిర్ణయించుకున్నాను ... ఒక రకమైన చీట్ షీట్, తద్వారా నేను త్వరగా గుర్తుంచుకుంటాను మరియు కనుగొనగలిగాను. కాబట్టి, సమాచారం అందుబాటులోకి వచ్చినప్పుడు, నేను కథనాన్ని నవీకరిస్తాను. ఇది సైట్ యొక్క పాఠకులకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుందని నేను ఖచ్చితంగా అనుకుంటున్నాను.

వారు ఇక్కడ ఉన్నారు:

చరిత్ర గురించి క్లుప్తంగా మరియు "జియోడెసిక్" అంటే ఏమిటి.

ఎప్పటిలాగే, కొత్త ప్రతిదీ బాగా మర్చిపోయి పాత.

జియో- మన భూగోళం

మిగిలి ఉంది డి... - విభజించు (ప్రాచీన గ్రీకులు విభజించి కొలుస్తారు... మరియు వారు మాత్రమే కాదు)

కాబట్టి, మీరు వక్ర ప్రదేశాల యొక్క ప్రాదేశిక మరియు అవకలన జ్యామితిలోకి వెళ్లకపోతే))), అప్పుడు ఇది గోళంలో కొంత భాగం నుండి తయారు చేయబడిన గోపురం లేదా గోళాకార పాలిహెడ్రాన్, ఎందుకంటే భూమి దాని ఉపరితలంపై ఉన్న బిందువులతో కొలుస్తారు, మన విషయంలో ఈ పాలిహెడ్రాన్ యొక్క శీర్షాలు. ఒక ముఖ్యమైన లక్షణం ఏమిటంటే, శీర్షాలు మరియు ముఖాలు ఆదర్శవంతమైన గోళానికి అనుకూలంగా పంపిణీ చేయడం. ఇది సాధారణంగా ఐకోసాహెడ్రాన్ (20 త్రిభుజాకార ముఖాలు) లేదా డోడెకాహెడ్రాన్ (12 పెంటగోనల్ ముఖాలు) ఆధారంగా నిర్మించబడింది.

తదుపరి పేజీలో కొనసాగుతుంది.
1      

[వ్యాఖ్యలు/చర్చ]

వ్లాదిమిర్ (20:06 05.10.2016) ఆండ్రీ, ఆసక్తికరమైన ఆలోచన మరియు ఉపయోగకరమైన చిట్కాలకు ధన్యవాదాలు! నేను విద్య ద్వారా భూగర్భ శాస్త్రవేత్త మరియు భూభౌతిక శాస్త్రవేత్త, కొన్నిసార్లు నేను చిత్రాలను గీస్తాను మరియు కలపను కత్తిరించాను. ఈ రకమైన వర్క్‌షాప్ హౌస్, అన్ని వైపుల నుండి ప్రకాశిస్తుంది, బహుశా ఉత్తమంగా సరిపోతుంది! మరియు అది నాకు ఒక క్రిస్టల్‌ని గుర్తు చేస్తుంది. సాయంత్రాలలో, నక్షత్రాలను చూస్తూ, మీరు మీ స్వంత "UFO" పై కొన్ని తదుపరి జీవితంలో ఎగురుతున్నట్లు కలలు కంటారు. :-))

వ్యాచెస్లావ్ (18:10 11/14/2015) ఉద్యోగం కోసం చూస్తున్న! తక్కువ ఎత్తులో నిర్మాణంలో 10 సంవత్సరాల అనుభవం. అసాధారణ ఆకారపు నిర్మాణాల రూపకల్పన మరియు నిర్మాణం (జియోడెసిక్ గోపురాలు). స్వతంత్ర ప్రాజెక్టుల ప్రకారం మూడు ఇళ్ళు నిర్మించబడ్డాయి, వాటిలో ఒకటి అతను స్వయంగా నిర్మించాడు. వినియోగాల రూపకల్పన (విద్యుత్, నీటి సరఫరా, మురుగునీటి, రూఫింగ్, ఇన్సులేషన్). ప్రత్యామ్నాయ ఇంధన వనరులు మరియు నివాస భవనాల స్వయంప్రతిపత్తిపై నాకు చాలా ఆసక్తి ఉంది. మేము త్వరగా శిక్షణ ఇస్తాము. కమ్యూనికేబుల్. ఆలస్యము కానట్టి. మొబైల్. పోర్ట్‌ఫోలియో అందుబాటులో ఉంది!

వ్యాసార్థం (02:20 11/28/2014) ఆసక్తి ఉన్నవారి కోసం - domes forum.domesworld.ruలో అత్యంత సమగ్రమైన రష్యన్ భాషా వనరు

ఆండ్రూ (19:46 03.12.2013) మిఖాయిల్ కు శుభ మద్యాహ్నం. నేను మూడు కారణాలను చూస్తున్నాను: + ప్రధానంగా జియోడెసిక్స్‌పై ఆసక్తి ఉన్న వ్యక్తులు సాధ్యమైనప్పుడల్లా సహజ పదార్థాలు మరియు ఉత్పత్తులను ఉపయోగించడానికి ఇష్టపడతారు; ఎకో-హౌస్‌ను నిర్మించేటప్పుడు, PU ఫోమ్ అర్ధంలేనిది (PPU హానికరమైన పాలిమర్‌గా పరిగణించబడుతుంది మరియు దానిని ఉపయోగించి సురక్షితంగా ఎలా నిర్మించాలో మీరు తెలుసుకోవాలి); + కొన్ని సాంకేతిక ఇబ్బందులు మరియు అధిక ఆర్థిక వ్యయాలు; + అటువంటి ఆవిరి గది కోసం మీరు సరైన వెంటిలేషన్ను ఉపయోగించాలి, మెజారిటీ అభిప్రాయంలో - బలవంతంగా

మిఖాయిల్ (12:47 03.12.2013) శుభ మద్యాహ్నం గోపుర గృహాల నిర్మాణంపై అనేక ఫోటో నివేదికలను చూసిన తర్వాత, నేను PPU స్ప్రేయింగ్‌ను ఉపయోగించడాన్ని ఎప్పుడూ కనుగొనలేకపోయాను అనే వాస్తవం నాకు ఆశ్చర్యంగా ఉంది. దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతి ఒక్కరూ ఈ త్రిభుజాకారం కాని గనిని సగ్గుబియ్యి, బాధలు పడుతున్నారు. దూదిని త్రిభుజాలు, మొదలైనవి, వారు గుండ్రని ఉపరితలంపై ఆవిరి అవరోధం bristling బాధపడుతున్నారు. ఇది ఎందుకు అని నాకు అర్థం కాలేదు. సాధారణ ఫ్రేమ్ నిర్మాణంలో, పాలియురేతేన్ ఫోమ్ ప్రతిచోటా ఉపయోగించబడుతుంది, కానీ ఇక్కడ అలాంటి నిర్లక్ష్యం ఉంది. కొన్ని కనెక్టర్లు సిలిండర్‌లతో నురుగుగా ఉన్నప్పటికీ మరియు కిటికీలు మరియు తలుపులు నురుగుపై ఉంచినప్పటికీ))) పాలియురేతేన్ ఫోమ్ మరియు గోపురం హౌసింగ్ నిర్మాణం “అన్ని నీరు” అయి ఉండాలని నాకు అనిపిస్తోంది లేదా కొన్ని విశేషములు మరియు నురుగు పాలియురేతేన్ నురుగును ఉపయోగించడం అసంభవం?

ఆండ్రూ (08:38 09/24/2013) త్రిభుజాలు స్క్రూలను ఉపయోగించి బోర్డుల నుండి సమీకరించబడతాయి మరియు త్రిభుజాలు బోల్ట్‌లను ఉపయోగించి కలిసి ఉంటాయి.

అమీర్ (10:09 09/23/2013) ... ఆ జియోడెసిక్ గోపురం, మీరు సహాయం చేసిన నిర్మాణంలో, వ్యాసంలోని మొదటి ఫోటోలో - వివరించండి లేదా గోపురం యొక్క ఫ్రేమ్ మూలకాలను నా ఇమెయిల్‌కు చేర్చే (అటాచ్ చేసే) పద్ధతులపై మీరు నాకు సమాచారాన్ని పంపవచ్చు చిరునామా. నేను చాలా కృతజ్ఞతతో ఉంటాను.

ఆడమ్ గగారిన్ (13:14 10/30/2012) మేము చాలా కాలంగా గ్రావిటోనియం ruని పునరుద్ధరించలేదు, కానీ గోపురాలకు సంబంధించిన మొత్తం సమాచారం www.valpak.ru & www.cupulageodesica.com/ruలో అందుబాటులో ఉంది. మేము సన్నని ఉక్కు థర్మో-రిఫ్లెక్టివ్ రేకును ఉపయోగించడం ముగించాము, ప్లైవుడ్ త్రిభుజాల లోపలి ఉపరితలాలకు నేరుగా అతికించాము. థర్మోస్ ప్రభావం, ISS వంటి బరువు, మరియు వేడి మరియు చలి 99% ప్రతిబింబిస్తాయి. అన్ని ప్రశ్నలపై సమాచారాన్ని పంచుకోవడానికి మేము సంతోషిస్తాము భవదీయులు, ఆడమ్ గగారిన్

ఆండ్రూ (20:31 02/18/2012) టింబర్‌లైన్ FAQలలో వారు చెప్పేది ఇక్కడ ఉంది: "అత్యంత సాధారణ ఎంపికలు ఫైబర్గ్లాస్ లేదా దృఢమైన ఫోమ్. టింబర్‌లైన్ యొక్క 2" x 6" ఫ్రేమింగ్ సభ్యులు 5 1/2" ఇన్సులేషన్‌ను అనుమతిస్తారు, ఇది చాలా వాతావరణ పరిస్థితులకు సరిపోతుంది. ఇతర ఎంపికలలో స్ప్రే-ఇన్ ఎక్స్‌పాండింగ్ ఫోమ్ కూడా చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది. " "ఫోమ్ ఇన్సులేషన్‌లో విస్తరిస్తున్న స్ప్రేని ఉపయోగించడం ద్వారా, ఇది గోపురంను బాగా మూసివేస్తుంది, తద్వారా అంతర్గత ఆవిరి అవరోధం అవసరం లేదు." http://www.domehome.com/faqs.html కాబట్టి నేను నురుగు గురించి ప్రత్యేకంగా సమస్యను అధ్యయనం చేయలేదు. అవును, ఇదే జియోడోమ్.

స్టేజింగ్ (08:53 02/18/2012) మీ జవాబు కి ధన్యవాదములు. నేను నిజంగా నురుగు కోరుకోలేదు. ఖనిజ ఉన్ని కంటే మెరుగైనది. కానీ నురుగు ఉంటే, అప్పుడు ఏ రకమైన? మరియు ఇక్కడ ఒక ఫోటో http://www.zidar.ru/2011/09/stroim-kryishu-chast-vtoraya/#more-203 మరియు మీరు వెంటిలేషన్ గ్యాప్‌లో స్ట్రెయిట్ స్లాట్‌లను కలిగి ఉన్న చోట అవి ఒక వస్తువు నుండి వచ్చాయా?

ఆండ్రూ (03:56 02/08/2012) - టింబర్‌లైన్ జియోడెసిక్స్ సాధారణంగా గాజు ఉన్ని మరియు "నిర్మాణ" నురుగును ఉపయోగిస్తుంది; - 2 * 6 అంగుళాల పక్కటెముకలు (సుమారు 50 * 150 మిమీ) ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, వెంటిలేషన్ గ్యాప్ చేయబడదు మరియు అన్ని శూన్యాలు నురుగుతో నిండి ఉంటాయి మరియు సంక్షేపణం ఏర్పడదు మరియు ఆవిరి అవరోధం అవసరం లేదని వారు చెప్పారు; - పెద్ద విభాగాల (50*200/300) పక్కటెముకలను ఉపయోగించినప్పుడు, ఒక ఎంపికగా, వారు సహజ ప్రదేశాల డోమ్‌ల మాదిరిగానే కోతలు చేయడానికి అందిస్తారు; - పైకప్పు అండర్-రూఫింగ్ కార్పెట్‌తో కప్పబడిన త్రిభుజాకార అంచులను కలిగి ఉంటుంది మరియు బిటుమెన్/వుడ్/మెటల్ టైల్స్‌తో కప్పబడి ఉంటుంది లేదా ప్రత్యేక పూత ఉపయోగించబడుతుంది. కాబట్టి మీరు నురుగుతో ప్రతిదీ పేల్చివేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు లేదా వెంటిలేషన్ గ్యాప్తో క్లాసిక్ గరిష్ట పథకం ప్రకారం దీన్ని చేయవచ్చు: - ఆవిరి అవరోధం (గాలి మరియు తేమ గుండా వెళ్ళడానికి అనుమతించదు ... కీళ్ళను టేప్‌తో మూసివేయడం అవసరం ... ఆదర్శంగా అది "బిగుతుగా" ఉంటుంది ... NSD, ఇది చిన్న రంధ్రాల కోసం తనిఖీ చేయబడుతుంది ఒక ప్రత్యేక యూనిట్తో ... మరియు ఫ్రేమ్‌లోని అన్ని ఎలక్ట్రికల్ బాక్సులను మరియు ఇన్‌పుట్‌లు / అవుట్‌పుట్‌లు మూసివేయబడతాయి); - ఇన్సులేషన్; - గాలి రక్షణ (గాలి గుండా వెళ్ళడానికి అనుమతించే పొర మరియు ఇన్సులేషన్ నుండి వేడిని "బయటపడకుండా" నిరోధిస్తుంది); - వెంటిలేషన్ గ్యాప్; - వాటర్ఫ్రూఫింగ్ (ఇన్సులేషన్ నుండి తేమ గాలిని అనుమతించదు మరియు గోపురం పైకప్పు వైపు నుండి తేమను అనుమతించదు); - వెంటిలేషన్ గ్యాప్; - పైకప్పు

స్టేజింగ్ (00:48 02/08/2012) అండర్-రూఫ్ స్పేస్ మరియు ఇన్సులేషన్ యొక్క వెంటిలేషన్ కోసం రెడీమేడ్ సొల్యూషన్‌పై నాకు ఆసక్తి ఉంది. రూఫింగ్ పై. ఫ్రేమ్ 3v 5/8 టింబర్‌లైన్.

గోళాకార త్రిభుజం మరియు దాని అప్లికేషన్లు.

గోళాకార త్రిభుజం- మూడు పెద్ద వృత్తాల ఖండన ద్వారా ఏర్పడిన గోళం యొక్క ఉపరితలంపై ఒక రేఖాగణిత చిత్రం. ఒక గోళం యొక్క ఉపరితలంపై మూడు పెద్ద వృత్తాలు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి, అవి ఎనిమిది గోళాకార త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తాయి. గోళాకార త్రిభుజం దాని వైపులా సగం గొప్ప వృత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది యులేరియన్.

గోళాకార త్రిభుజం యొక్క వైపు దాని కేంద్ర కోణం యొక్క పరిమాణంతో కొలుస్తారు. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క కోణం ఈ కోణం యొక్క భుజాలు ఉన్న విమానాల మధ్య డైహెడ్రల్ కోణం యొక్క పరిమాణంతో కొలుస్తారు. గోళాకార త్రికోణమితి గోళాకార త్రిభుజాల మూలకాల మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేస్తుంది.

గోళాకార త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలు:

1. సమతల త్రిభుజాల సమానత్వం కోసం మూడు ప్రమాణాలకు అదనంగా, గోళాకార త్రిభుజాలకు మరొకటి నిజం: వాటి సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉంటే రెండు గోళాకార త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
2. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క భుజాల కోసం, 3 త్రిభుజాల అసమానతలు కలిగి ఉంటాయి: ప్రతి వైపు ఇతర రెండు భుజాల మొత్తం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు వాటి వ్యత్యాసం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
3. అన్ని వైపుల మొత్తం a + b + c ఎల్లప్పుడూ 2πR కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
4. 2πR - (a + b + c) పరిమాణాన్ని గోళాకార లోపం అంటారు
5. గోళాకార త్రిభుజం s = α + β + γ కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 3π కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు π కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది
6. పరిమాణాన్ని గోళాకార అదనపు లేదా గోళాకార కుర్టోసిస్ అంటారు
7. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
8. చదునైన త్రిభుజం వలె కాకుండా, గోళాకార త్రిభుజం 90° యొక్క రెండు లేదా మూడు కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.

అన్ని గోళాకార బహుభుజాలలో, గోళాకార త్రిభుజం గొప్ప ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. మూడు పెద్ద వృత్తాలు, రెండు బిందువుల వద్ద జతలుగా కలుస్తాయి, గోళంపై ఎనిమిది గోళాకార త్రిభుజాలను ఏర్పరుస్తాయి. వాటిలో ఒకదానిలోని మూలకాలు (భుజాలు మరియు కోణాలు) తెలుసుకోవడం, అన్ని ఇతర అంశాలని గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది, కాబట్టి వాటిలో ఒకదాని యొక్క మూలకాల మధ్య సంబంధాలను మేము పరిగణిస్తాము, దీని అన్ని వైపులా సగం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. వృత్తం. త్రిభుజం యొక్క భుజాలు ట్రైహెడ్రల్ కోణం OABC యొక్క సమతల కోణాల ద్వారా కొలుస్తారు, త్రిభుజం యొక్క కోణాలు అదే ట్రైహెడ్రల్ కోణం యొక్క డైహెడ్రల్ కోణాల ద్వారా కొలుస్తారు, అంజీర్లో సెం.మీ.

గోళాకార త్రిభుజాల లక్షణాలు విమానంలోని త్రిభుజాల లక్షణాల నుండి అనేక విధాలుగా విభిన్నంగా ఉంటాయి. ఈ విధంగా, రెక్టిలినియర్ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క తెలిసిన మూడు సందర్భాలకు, నాల్గవది జోడించబడింది: RA = RA', PB = PB', RS = RS' అనే మూడు కోణాలు సమానంగా ఉంటే ABC మరియు A'B'C' అనే రెండు త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. , వరుసగా. అందువల్ల, గోళంపై సారూప్య త్రిభుజాలు లేవు; అంతేకాకుండా, గోళాకార జ్యామితిలో సారూప్యత యొక్క చాలా భావన లేదు, ఎందుకంటే అన్ని దూరాలను ఒకే (1కి సమానం కాదు) ఎన్నిసార్లు మార్చే పరివర్తనలు లేవు. ఈ లక్షణాలు సమాంతర రేఖల యూక్లిడియన్ సూత్రం యొక్క ఉల్లంఘనతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి మరియు లోబాచెవ్స్కీ యొక్క జ్యామితిలో కూడా అంతర్లీనంగా ఉంటాయి. సమాన మూలకాలు మరియు విభిన్న ధోరణులను కలిగి ఉండే త్రిభుజాలను సుష్టంగా పిలుస్తారు, ఉదాహరణకు, త్రిభుజాలు AC'C మరియు BCC'

ఏదైనా గోళాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ 180° కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. వ్యత్యాసం RA + PB + RS – p = d (రేడియన్‌లలో కొలుస్తారు) అనేది సానుకూల పరిమాణం మరియు ఇచ్చిన గోళాకార త్రిభుజం యొక్క గోళాకార అదనపు అని పిలుస్తారు. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం: S = R2 d ఇక్కడ R అనేది గోళం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు d అనేది గోళాకార అదనపు. ఈ ఫార్ములాను మొదటిసారిగా 1629లో డచ్‌మాన్ ఎ. గిరార్డ్ ప్రచురించాడు మరియు అతని పేరు పెట్టారు.

మేము కోణం aతో ఉన్న డైగన్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, 226 = 2p/n వద్ద (n ఒక పూర్ణాంకం), గోళాన్ని అటువంటి వికర్ణం యొక్క సరిగ్గా n కాపీలుగా కత్తిరించవచ్చు మరియు గోళం యొక్క వైశాల్యం 4nR2 = 4p వద్ద ఉంటుంది R = 1, కాబట్టి వికర్ణం యొక్క వైశాల్యం 4p/n = 2a. ఈ ఫార్ములా a = 2pt/nకి కూడా వర్తిస్తుంది మరియు కాబట్టి, అన్ని a కోసం వర్తిస్తుంది. మేము గోళాకార త్రిభుజం ABC యొక్క భుజాలను కొనసాగిస్తే మరియు A, B, C మరియు దాని స్వంత వైశాల్యం కలిగిన కోణాలతో ఏర్పడిన బిగాన్‌ల ప్రాంతాల పరంగా గోళం యొక్క వైశాల్యాన్ని వ్యక్తీకరించినట్లయితే, మేము పై గిరార్డ్ సూత్రానికి చేరుకోవచ్చు.

గోళాకార త్రిభుజం అంటే గోళం యొక్క ఉపరితలంపై ఉన్న త్రిభుజం, గొప్ప వృత్తాల ఆర్క్‌లతో కూడి ఉంటుంది - అంటే గోళానికి కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తాలు. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క కోణాలు దాని శీర్షాల వద్ద గీసిన దాని వైపులా టాంజెంట్‌ల మధ్య కోణాలు. సాధారణ త్రిభుజం యొక్క కోణాల వలె, అవి 0 నుండి 180° వరకు మారుతూ ఉంటాయి. చదునైన త్రిభుజం వలె కాకుండా, గోళాకార త్రిభుజం 180°కి సమానం కాని కోణాల మొత్తాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కానీ ఎక్కువ: దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ధృవీకరించడం సులభం, ఉదాహరణకు, భూగోళంలోని రెండు మెరిడియన్‌లు మరియు భూమధ్యరేఖతో ఏర్పడిన త్రిభుజం. : మెరిడియన్లు ధ్రువం వద్ద కలుస్తున్నప్పటికీ, రెండూ భూమధ్యరేఖకు లంబంగా ఉంటాయి మరియు ఈ త్రిభుజానికి రెండు లంబ కోణాలు ఉన్నాయని అర్థం!

గోళాకార త్రిభుజం రెండు లంబ కోణాలను కలిగి ఉంటుంది

ఇప్పటికే భారతీయ వరాహమిహిర (V-VI శతాబ్దాలు), అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరియు ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞులలో 9వ శతాబ్దానికి చెందినవారు. (Sabit ibn Korra, al-Battani), మరియు పాశ్చాత్య గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో, Regiomontanus (XV శతాబ్దం) నుండి ప్రారంభించి, గోళాకార త్రిభుజాల గురించి ఒక విశేషమైన సిద్ధాంతం వివిధ సూత్రీకరణలలో కనుగొనబడింది. ఆధునిక సంజ్ఞామానంలో దీన్ని ఎలా రూపొందించవచ్చో ఇక్కడ ఉంది:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA. గోళాకార కొసైన్ సిద్ధాంతం ఖగోళ శాస్త్రం మరియు భౌగోళిక శాస్త్రం రెండింటికీ చాలా ముఖ్యమైనది. ఈ సిద్ధాంతం A మరియు B అనే రెండు నగరాల కోఆర్డినేట్‌లను వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అదనంగా, కొసైన్‌ల గోళాకార సిద్ధాంతం ఇస్లామిక్ దేశాలలోని గణిత శాస్త్రవేత్తలకు మరొక ఆచరణాత్మక సమస్యను పరిష్కరించడంలో సహాయపడింది: ఇచ్చిన కోఆర్డినేట్‌లతో కూడిన నగరంలో, పవిత్రమైన మక్కా నగరానికి దిశను కనుగొనండి (ప్రతి భక్తుడైన ముస్లిం రోజుకు ఐదు సార్లు మక్కా దిశలో ప్రార్థన చేయాలి. ) ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, నగరం Bని మక్కాగా పరిగణించి, అదే త్రిభుజం యొక్క కోణాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

"కలెక్టెడ్ రూల్స్ ఆఫ్ ది సైన్స్ ఆఫ్ ఆస్ట్రానమీ" నుండి పేజీ, 11వ శతాబ్దం, రచయిత తెలియదు.

ఖగోళ శాస్త్రంలో, గోళాకార కొసైన్ సిద్ధాంతం ఖగోళ గోళంలో ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ నుండి మరొకదానికి వెళ్లడానికి అనుమతిస్తుంది. చాలా తరచుగా, అటువంటి మూడు వ్యవస్థలు ఉపయోగించబడతాయి: ఒకదానిలో, ఖగోళ భూమధ్యరేఖ భూమధ్యరేఖగా పనిచేస్తుంది, మరియు ధ్రువాలు ప్రపంచంలోని ధ్రువాలు, దీని చుట్టూ ప్రకాశించే రోజువారీ భ్రమణం సంభవిస్తుంది; మరొకదానిలో, భూమధ్యరేఖ గ్రహణం - నక్షత్రాల నేపథ్యానికి వ్యతిరేకంగా సంవత్సరంలో సూర్యుని కనిపించే కదలిక జరిగే వృత్తం; మూడవది, భూమధ్యరేఖ యొక్క పాత్రను హోరిజోన్ పోషించింది, మరియు ధ్రువాల పాత్రను అత్యున్నత మరియు నాడిర్ పోషించారు. ప్రత్యేకించి, గోళాకార కొసైన్ సిద్ధాంతానికి ధన్యవాదాలు, సూర్యుని ఎత్తును హోరిజోన్ పైన వేర్వేరు సమయాల్లో మరియు సంవత్సరంలోని వివిధ రోజులలో లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది.

వాస్తుశిల్పంలోని సెయిల్స్ ఒక గోళాకార త్రిభుజం, ఇది చతురస్రాకారపు అండర్-డోమ్ స్థలం నుండి గోపురం చుట్టుకొలతకు పరివర్తనను అందిస్తుంది. సెయిల్, పాండేటివ్ (ఫ్రెంచ్ పెండెంటిఫ్ నుండి) - ఖజానాలో భాగం, గోపురం నిర్మాణం యొక్క ఒక మూలకం, దీని ద్వారా దీర్ఘచతురస్రాకార బేస్ నుండి గోపురం ఫ్లోర్ లేదా దాని డ్రమ్ వరకు పరివర్తనం చేయబడుతుంది. తెరచాప ఒక గోళాకార త్రిభుజం ఆకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దాని శిఖరం క్రిందికి ఉంటుంది మరియు గోపురం చతురస్రం యొక్క ప్రక్కనే ఉన్న స్తంభాలను కలుపుతూ చుట్టుకొలత తోరణాల మధ్య ఖాళీని నింపుతుంది. సెయిల్స్ యొక్క గోళాకార త్రిభుజాల స్థావరాలు కలిసి ఒక వృత్తాన్ని ఏర్పరుస్తాయి మరియు తోరణాల చుట్టుకొలతతో పాటు గోపురం యొక్క లోడ్ను పంపిణీ చేస్తాయి.

తెరచాప మీద గోపురం సెయిల్ పెయింటింగ్

జార్జ్ నెల్సన్

"డిజైనర్ కొంచెం విశ్రాంతి తీసుకోవచ్చు మరియు ఆనందించవచ్చు; ఫలితం ఒక జోక్, వినోదం కావచ్చు. ఇది ఎంత తరచుగా చాలా ముఖ్యమైన వినోదంగా ఉంటుందో ఆశ్చర్యంగా ఉంది" జార్జ్ నెల్సన్

జార్జ్ నెల్సన్ ఒక అమెరికన్ డిజైనర్, ఆర్కిటెక్ట్, విమర్శకుడు మరియు డిజైన్ సిద్ధాంతకర్త. (1908, హార్ట్‌ఫోర్డ్, కనెక్టికట్ - 1986, న్యూయార్క్)

అతను లైటింగ్ ఫిక్చర్‌లు, గడియారాలు, ఫర్నిచర్, ప్యాకేజింగ్‌లను రూపొందించాడు మరియు ప్రదర్శన రూపకల్పనలో పాల్గొన్నాడు.

జార్జ్ నెల్సన్ యొక్క అత్యంత ప్రసిద్ధ డిజైన్ ప్రాజెక్ట్‌లు ఒప్ ఆర్ట్ లేదా రేఖాగణిత నైరూప్యత యొక్క స్ఫూర్తితో రేఖాగణిత ఆకృతుల యొక్క మాస్టర్ స్టైలైజేషన్‌ను సూచిస్తాయి.

డిజైనర్ తన ప్రసిద్ధ నల్ల కుర్చీ ఆకారాన్ని గోళాకార త్రిభుజం ఆధారంగా రూపొందించాడు, ఇది గోపురం నిర్మాణాల నిర్మాణ డిజైన్లలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడింది. ముఖ్యంగా, బైజాంటైన్ మరియు రష్యన్ చర్చిలలో అటువంటి గోళాకార త్రిభుజాన్ని "సెయిల్" అని పిలుస్తారు. "సెయిల్"కి ధన్యవాదాలు, అండర్-డోమ్ సపోర్ట్ నుండి డోమ్‌కి మృదువైన మార్పు జరిగింది.

జార్జ్ నెల్సన్ (1908-1986)

ఎస్చెర్ చెక్కడం

కేంద్రీకృత గోళాలు 1935. ముగింపు చెక్కడం 24 బై 24 సెం.మీ.

నాలుగు బోలు కేంద్రీకృత గోళాలు కేంద్ర కాంతి మూలం ద్వారా ప్రకాశిస్తాయి. ప్రతి గోళం తొమ్మిది పెద్ద ఖండన వలయాలతో ఏర్పడిన గ్రిడ్‌తో కూడి ఉంటుంది; అవి గోళాకార ఉపరితలాన్ని 48 సారూప్య గోళాకార త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి. మారిట్స్ కార్నెలిస్ ఎస్చెర్ (డచ్: మారిట్స్ కార్నెలిస్ జూన్ 17, 1898, లీవార్డెన్, నెదర్లాండ్స్ - మార్చి 27, 1972, లారెన్, నెదర్లాండ్స్) - డచ్ గ్రాఫిక్ ఆర్టిస్ట్.

గోళాకార త్రిభుజం యొక్క అప్లికేషన్:

1. 3D గ్రాఫిక్స్‌లో గోళాకార త్రిభుజాలను ఉపయోగించడం
2. ఖగోళ శాస్త్రంలో
3. భౌగోళిక శాస్త్రంలో. గోళాకార త్రిభుజం సిద్ధాంతం A మరియు B అనే రెండు నగరాల కోఆర్డినేట్‌లను వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
4. వాస్తు శాస్త్రంలో
5. జార్జ్ నెల్సన్ చేత చైర్ డిజైన్
6. చెక్కడంలో

గోళాకార త్రిభుజాలు.

బంతి ఉపరితలంపై, రెండు బిందువుల మధ్య అతి తక్కువ దూరం ఒక గొప్ప వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతతో కొలుస్తారు, అనగా, ఒక వృత్తం బంతి మధ్యలో గుండా వెళుతుంది. గోళాకార త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు బంతి మధ్యలో మరియు గోళాకార ఉపరితలం నుండి వెలువడే మూడు కిరణాల ఖండన బిందువులు. పార్టీలు ఎ, బి, సిగోళాకార త్రిభుజం 180° కంటే తక్కువ ఉన్న కిరణాల మధ్య ఉండే కోణాలుగా నిర్వచించబడింది. త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు బంతి యొక్క ఉపరితలంపై ఒక గొప్ప వృత్తం యొక్క ఆర్క్కి అనుగుణంగా ఉంటుంది (Fig. 1). కోణాలు ఎ, బి, సిగోళాకార త్రిభుజం, వ్యతిరేక భుజాలు ఎ, బి, సితదనుగుణంగా, అవి నిర్వచనం ప్రకారం, త్రిభుజం యొక్క భుజాలకు సంబంధించిన గొప్ప వృత్తాల ఆర్క్‌ల మధ్య 180° కంటే తక్కువ కోణాలు లేదా ఈ కిరణాలచే నిర్వచించబడిన విమానాల మధ్య కోణాలు.

గోళాకార త్రిభుజాల లక్షణాలు.

గోళాకార త్రిభుజం యొక్క ప్రతి వైపు మరియు కోణం నిర్వచనం ప్రకారం, 180° కంటే తక్కువ. బంతి ఉపరితలంపై జ్యామితి యూక్లిడియన్ కానిది; ప్రతి గోళాకార త్రిభుజంలో, భుజాల మొత్తం 0 మరియు 360° మధ్య ఉంటుంది, కోణాల మొత్తం 180° మరియు 540° మధ్య ఉంటుంది. ప్రతి గోళాకార త్రిభుజంలో, పెద్ద కోణం పెద్ద వైపుకు ఎదురుగా ఉంటుంది. ఏదైనా రెండు భుజాల మొత్తం మూడవ వైపు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు ఏదైనా రెండు కోణాల మొత్తం 180° కంటే తక్కువగా ఉంటుంది మరియు మూడవ కోణం.

గోళాకార త్రిభుజం ప్రత్యేకంగా నిర్వచించబడింది (సమరూప పరివర్తన వరకు):

• మూడు వైపులా,
• మూడు మూలలు,
• రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం,
• వైపు మరియు రెండు ప్రక్కనే మూలలు.

గోళాకార త్రిభుజాలను పరిష్కరించడం (టేబుల్)

(క్రింద ఉన్న ఫార్ములాలు మరియు పై అంజీర్ 1 చూడండి)

		గణన సూత్రాలు	పరిష్కారం యొక్క ఉనికి కోసం షరతులు
1	మూడు వైపులా ఎ, బి, సి	ఎ, బి, సి	రెండు వైపుల మొత్తం తప్పనిసరిగా మూడవదాని కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి
2	ఎ, బి, సి	ఎ, బి, సి(8) నుండి మరియు చక్రీయ ప్రస్తారణ	రెండు కోణాల మొత్తం తప్పనిసరిగా 180° మరియు మూడవ కోణం కంటే తక్కువగా ఉండాలి
3	రెండు వైపులా మరియు వాటి మధ్య కోణం బి, సి, ఎ	(6) నుండి, ఆపై INమరియు తో; ఎ(7), (8) లేదా (4) నుండి
4	రెండు కోణాలు మరియు వాటి మధ్య వైపు బి, సి, ఎ	(6) నుండి, ఆపై బిమరియు తో; ఎ(7), (8) లేదా (5) నుండి
5	రెండు వైపులా మరియు వాటిలో ఒకదానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం బి, ఎస్, బి	తో(3) నుండి; ఎమరియు ఎ(6) నుండి	పాపం తోపాపం IN≤ పాపం బి. ఆ పరిమాణంలో ఆదా అవుతుంది తో, దేని కొరకు ఎ - బిమరియు ఎ - బిఒకే గుర్తును కలిగి ఉండండి; A+B- 180° మరియు a + b- 180°
6	రెండు కోణాలు మరియు వాటిలో ఒకదానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు బి, సి, బి	తో(3) నుండి; ఎమరియు ఎ(6) నుండి	సమస్యకు ఒకటి లేదా రెండు పరిష్కారాలు ఉంటే పాపం బిపాపం తో≤ పాపం IN. ఆ పరిమాణంలో ఆదా అవుతుంది తో, దేని కొరకు ఎ - బిమరియు ఎ - బిఒకే గుర్తును కలిగి ఉండండి; A+B- 180° మరియు a + b- 180° కూడా అదే గుర్తుతో ఉండాలి

గోళాకార త్రిభుజాలను పరిష్కరించడానికి సూత్రాలు

కింది నిష్పత్తులలో ఎ, బి, సివరుసగా భుజాలకు వ్యతిరేక కోణాలు ఎ, బి, సిగోళాకార త్రిభుజం. చుట్టుపక్కల మరియు లిఖించబడిన శంకువుల "రేడీలు" వరుసగా r మరియు r చేత సూచించబడతాయి. జాబితాలో చేర్చబడని సూత్రాలను ఏకకాల చక్రీయ ప్రస్తారణ ద్వారా పొందవచ్చు ఎ, బి, సిమరియు ఎ, బి, సి. పైన ఉన్న పట్టిక మూడు సముచితంగా ఇచ్చిన భుజాలు మరియు/లేదా కోణాలను అందించిన ఏదైనా గోళాకార త్రిభుజం యొక్క భుజాలు మరియు కోణాలను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. త్రిభుజాలను పరిష్కరించేటప్పుడు అదనపు ఫలితాలను మినహాయించడానికి పేరా 2 ప్రారంభంలో గుర్తించబడిన అసమానతలు తప్పనిసరిగా పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.

	సైన్ సిద్ధాంతం
	వైపులా కొసైన్ సిద్ధాంతం
	కోణాల కోసం కొసైన్ సిద్ధాంతం
	నేపియర్ యొక్క సారూప్యతలు
	డెలాంబ్రే మరియు గాస్ యొక్క సారూప్యతలు
	అందువలన, hav ఫంక్షన్ యొక్క పట్టికలు అందుబాటులో ఉంటే, గోళాకార త్రిభుజాలను పరిష్కరించడానికి ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు:
ఇతర సారూప్య సంబంధాలను చక్రీయ ప్రస్తారణ ద్వారా పొందవచ్చు