వ్యాసం చాలా ముఖ్యమైన సైద్ధాంతిక సమాచారం మరియు అవసరమైన పరిష్కారాలను అందిస్తుంది నిర్దిష్ట పనులుసూత్రాలు. ముఖ్యమైన ప్రకటనలు మరియు బొమ్మల లక్షణాలు అల్మారాల్లో వేయబడ్డాయి.

నిర్వచనం మరియు ముఖ్యమైన వాస్తవాలు

ప్లానిమెట్రీ అనేది జ్యామితి యొక్క ఒక శాఖ, ఇది ఫ్లాట్ రెండు డైమెన్షనల్ ఉపరితలంపై వస్తువులతో వ్యవహరిస్తుంది. కొన్ని తగిన ఉదాహరణలను గుర్తించవచ్చు: చతురస్రం, వృత్తం, వజ్రం.

ఇతర విషయాలతోపాటు, పాయింట్ మరియు సరళ రేఖను హైలైట్ చేయడం విలువ. అవి ప్లానిమెట్రీ యొక్క రెండు ప్రధాన భావనలు.

మిగతావన్నీ వాటిపై నిర్మించబడ్డాయి, ఉదాహరణకు:

సిద్ధాంతాలు మరియు సిద్ధాంతాలు

సిద్ధాంతాలను మరింత వివరంగా చూద్దాం. ప్లానిమెట్రీలో ఇది అత్యంత ముఖ్యమైన నియమాలు, ఇది అన్ని శాస్త్రం పనిచేస్తుంది. మరియు అందులో మాత్రమే కాదు. ఎ-ప్రియరీ, మేము మాట్లాడుతున్నామురుజువు అవసరం లేని ప్రకటనల గురించి.

క్రింద చర్చించబడే సిద్ధాంతాలు యూక్లిడియన్ జ్యామితి అని పిలవబడే వాటిలో చేర్చబడ్డాయి.

• రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి. మీరు ఎల్లప్పుడూ వాటి ద్వారా ఒకే సరళ రేఖను గీయవచ్చు.
• ఒక గీత ఉంటే, దానిపై ఉన్న పాయింట్లు మరియు దానిపై పడని పాయింట్లు ఉంటాయి.

ఈ 2 స్టేట్‌మెంట్‌లను సాధారణంగా సభ్యత్వం యొక్క సూత్రాలు అని పిలుస్తారు మరియు క్రింది వాటిని ఆర్డర్ సూత్రాలు అంటారు:

• సరళ రేఖలో మూడు పాయింట్లు ఉంటే, వాటిలో ఒకటి తప్పనిసరిగా మిగిలిన రెండింటి మధ్య ఉంటుంది.
• ఒక విమానం ఏదైనా సరళ రేఖ ద్వారా రెండు భాగాలుగా విభజించబడింది. సెగ్మెంట్ యొక్క చివరలు ఒక సగంపై ఉన్నప్పుడు, మొత్తం వస్తువు దానికి చెందినది. లేకపోతే, అసలు లైన్ మరియు సెగ్మెంట్ ఒక ఖండన బిందువును కలిగి ఉంటాయి.

చర్యల సూత్రాలు:

• ప్రతి సెగ్మెంట్ పొడవు సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది. ఒక బిందువు దానిని అనేక భాగాలుగా విభజించినట్లయితే, అప్పుడు వాటి మొత్తం వస్తువు యొక్క మొత్తం పొడవుకు సమానంగా ఉంటుంది.
• ప్రతి కోణంలో నిర్దిష్ట డిగ్రీ కొలత ఉంటుంది, ఇది సున్నాకి సమానం కాదు. మీరు దానిని ఒక పుంజంతో విచ్ఛిన్నం చేస్తే, అప్పుడు అసలు కోణం ఉంటుంది మొత్తానికి సమానంవిద్యావంతుడు.

సమాంతరత:

• విమానంలో సరళ రేఖ ఉంది. దానికి చెందని ఏదైనా బిందువు ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖను గీయవచ్చు.

ప్లానిమెట్రీలోని సిద్ధాంతాలు ఇకపై పూర్తిగా ప్రాథమిక ప్రకటనలు కావు. అవి సాధారణంగా వాస్తవంగా అంగీకరించబడతాయి, అయితే ప్రతి ఒక్కటి పైన పేర్కొన్న ప్రాథమిక భావనలపై నిర్మించిన రుజువును కలిగి ఉంటాయి. అంతేకాకుండా, వాటిలో చాలా ఉన్నాయి. ప్రతిదీ క్రమబద్ధీకరించడం చాలా కష్టం, కానీ వాటిలో కొన్ని సమర్పించిన మెటీరియల్‌లో ఉంటాయి.

కింది రెండింటిని ముందుగానే తెలుసుకోవడం విలువైనది:

• మొత్తం ప్రక్కనే మూలలు 180 డిగ్రీలకు సమానం.
• నిలువు కోణాలు ఒకే పరిమాణంలో ఉంటాయి.

ఈ రెండు సిద్ధాంతాలు పరిష్కరించడంలో ఉపయోగపడతాయి రేఖాగణిత సమస్యలు n-gonsతో అనుబంధించబడింది. అవి చాలా సరళమైనవి మరియు సహజమైనవి. వాటిని గుర్తుంచుకోవడం విలువ.

త్రిభుజాలు

త్రిభుజం అనేది శ్రేణిలో అనుసంధానించబడిన మూడు విభాగాలతో కూడిన రేఖాగణిత చిత్రం. అవి అనేక ప్రమాణాల ప్రకారం వర్గీకరించబడ్డాయి.

వైపులా (నిష్పత్తులు పేర్ల నుండి ఉద్భవించాయి):

మూలల వద్ద:

• తీవ్రమైన కోణీయ;
• దీర్ఘచతురస్రాకార;
• మొద్దుబారిన.

రెండు కోణాలు, పరిస్థితితో సంబంధం లేకుండా, ఎల్లప్పుడూ తీవ్రంగా ఉంటాయి మరియు మూడవది పదం యొక్క మొదటి భాగం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అంటే, కుడి త్రిభుజంకోణాలలో ఒకటి 90 డిగ్రీలు.

లక్షణాలు:

• పెద్ద కోణం, ఎదురుగా పెద్దది.
• అన్ని కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు.
• ఫార్ములాని ఉపయోగించి వైశాల్యాన్ని లెక్కించవచ్చు: S = ½ ⋅ h ⋅ a, ఇక్కడ a అనేది వైపు, h అనేది దానికి గీసిన ఎత్తు.
• మీరు ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజంలో వృత్తాన్ని వ్రాయవచ్చు లేదా దాని చుట్టూ వివరించవచ్చు.

ప్లానిమెట్రీ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలలో ఒకటి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం. ఇది లంబ త్రిభుజం కోసం ప్రత్యేకంగా పని చేస్తుంది మరియు ఇలా వినిపిస్తుంది: హైపోటెన్యూస్ యొక్క చతురస్రం కాళ్ల చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం: AB 2 = AC 2 + BC 2.

హైపోటెన్యూస్ అంటే 90° కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు, మరియు కాళ్లు అంటే ప్రక్కనే ఉన్నవి.

చతుర్భుజాలు

ఈ అంశంపై అపారమైన సమాచారం ఉంది. క్రింద చాలా ముఖ్యమైనవి మాత్రమే ఉన్నాయి.

కొన్ని రకాలు:

1. సమాంతర చతుర్భుజం - ఎదురుగాసమాన మరియు జత సమాంతరంగా.
2. రాంబస్ అనేది ఒక సమాంతర చతుర్భుజం, దీని వైపులా ఉంటుంది అదే పొడవు.
3. దీర్ఘచతురస్రం - నాలుగు లంబ కోణాలతో సమాంతర చతుర్భుజం
4. చతురస్రం రాంబస్ మరియు దీర్ఘచతురస్రం రెండూ.
5. ట్రాపజోయిడ్ - రెండు వ్యతిరేక భుజాలు మాత్రమే సమాంతరంగా ఉంటాయి.

లక్షణాలు:

• సుమా అంతర్గత మూలలు 360 డిగ్రీలకు సమానం.
• ప్రాంతాన్ని ఎల్లప్పుడూ ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), ఇక్కడ p అనేది సగం చుట్టుకొలత, a, b, c, d అనేవి ఫిగర్ యొక్క భుజాలు.
• చతుర్భుజం చుట్టూ ఒక వృత్తాన్ని వర్ణించగలిగితే, నేను దానిని కుంభాకారంగా పిలుస్తాను, కాకపోతే కుంభాకారంగా పిలుస్తాను.

వీడియో కోర్సు "గెట్ ఎ ఎ" విజయవంతం కావడానికి అవసరమైన అన్ని అంశాలను కలిగి ఉంటుంది ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో ఉత్తీర్ణతగణితంలో 60-65 పాయింట్లు. పూర్తిగా అన్ని సమస్యలు 1-13 ప్రొఫైల్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్గణితం. గణితంలో బేసిక్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించడానికి కూడా అనుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 90-100 పాయింట్లతో ఉత్తీర్ణత సాధించాలనుకుంటే, మీరు 30 నిమిషాల్లో మరియు తప్పులు లేకుండా పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాలి!

10-11 తరగతులకు, అలాగే ఉపాధ్యాయులకు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం ప్రిపరేషన్ కోర్సు. మీరు గణితం (మొదటి 12 సమస్యలు) మరియు సమస్య 13 (త్రికోణమితి)లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లోని పార్ట్ 1ని పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది. మరియు ఇది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో 70 పాయింట్ల కంటే ఎక్కువ, మరియు 100-పాయింట్ విద్యార్థి లేదా హ్యుమానిటీస్ విద్యార్థి వాటిని లేకుండా చేయలేరు.

అన్నీ అవసరమైన సిద్ధాంతం. త్వరిత మార్గాలుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క పరిష్కారాలు, ఆపదలు మరియు రహస్యాలు. FIPI టాస్క్ బ్యాంక్ నుండి పార్ట్ 1 యొక్క అన్ని ప్రస్తుత టాస్క్‌లు విశ్లేషించబడ్డాయి. కోర్సు పూర్తిగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ 2018 యొక్క అవసరాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

కోర్సులో 5 ఉన్నాయి పెద్ద విషయాలు, 2.5 గంటలు ఒక్కొక్కటి. ప్రతి అంశం మొదటి నుండి సరళంగా మరియు స్పష్టంగా ఇవ్వబడింది.

వందలాది యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్‌లు. పద సమస్యలుమరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మరియు గుర్తుంచుకోవడానికి సులభమైన అల్గారిథమ్‌లు. జ్యామితి. థియరీ, రిఫరెన్స్ మెటీరియల్, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ పనుల యొక్క అన్ని రకాల విశ్లేషణ. స్టీరియోమెట్రీ. గమ్మత్తైన పరిష్కారాలు, ఉపయోగకరమైన చీట్ షీట్లు, అభివృద్ధి ప్రాదేశిక కల్పన. మొదటి నుండి సమస్య వరకు త్రికోణమితి 13. క్రామింగ్‌కు బదులుగా అర్థం చేసుకోవడం. దృశ్య వివరణ సంక్లిష్ట భావనలు. బీజగణితం. రూట్స్, పవర్స్ మరియు లాగరిథమ్స్, ఫంక్షన్ మరియు డెరివేటివ్. పరిష్కారం కోసం ఆధారం క్లిష్టమైన పనులుఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో 2 భాగాలు.

వివరణాత్మక గమనిక

ఆఫర్ టిక్కెట్లు నోటి కోసం ఉద్దేశించబడ్డాయి సిద్ధాంతపరమైనబదిలీ వార్షిక పరీక్ష ప్లానిమెట్రీ ద్వారా 9వ తరగతి విద్యార్థులు మాధ్యమిక పాఠశాల, అలాగే ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షకు సిద్ధం కావడానికి 10వ మరియు 11వ తరగతులు. అందించిన పదార్థాలు గణిత ప్రోగ్రామ్ మరియు ప్రత్యేక శిక్షణ కోసం ప్రోగ్రామ్‌కు పూర్తిగా అనుగుణంగా ఉంటాయి.

టిక్కెట్లు జ్యామితి కోర్సు యొక్క ప్రధాన దిశలను ప్రతిబింబించే పది ప్రశ్నలను కలిగి ఉంటాయి.

నైపుణ్యాన్ని పరీక్షించేలా ప్రశ్నలు రూపొందించబడ్డాయి సంభావిత ఉపకరణంవిషయం మరియు ముఖ్యమైన సైద్ధాంతిక వాస్తవాల జ్ఞానం యొక్క స్థాయిని గుర్తించడం. వాటిలో కొన్ని సమర్పించిన విషయం యొక్క రుజువు అవసరం, కోర్సు యొక్క ప్రాథమిక సైద్ధాంతిక సూత్రాల జ్ఞానం మరియు వాటిని సమర్థించే సామర్థ్యాన్ని చూపుతుంది.

ఈ ప్రశ్నలు మాన్యువల్‌ల నుండి తీసుకోబడ్డాయి:

జ్యామితి. రుజువు సమస్యలు. స్మిర్నోవ్ V.A., స్మిర్నోవా I.M.

జ్యామితి. 7-9 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం. అటనాస్యన్, బుతుజోవ్, కడోమ్ట్సేవ్ మరియు ఇతరులు.

జ్యామితి. 7-11 తరగతులకు పాఠ్య పుస్తకం A.V.

విద్యార్థుల సమాధానాలను మూల్యాంకనం చేయడానికి ప్రమాణాలు

విద్యార్థి ప్రతిస్పందనలను అంచనా వేసేటప్పుడు, మీరు మార్గనిర్దేశం చేయవచ్చు కింది ప్రమాణాలు.

టిక్కెట్‌లోని అన్ని ప్రశ్నలకు పూర్తి మరియు సరైన సమాధానం కోసం, "5" స్కోరు ఇవ్వబడుతుంది. “3” గ్రేడ్ పొందడానికి, టికెట్‌పై ఎనిమిది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది.

అన్ని ఇతర సందర్భాలలో స్కోరు "4".

ప్లానిమెట్రీలో పరీక్ష

ఎంపిక 1

త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలు.

ఆస్తి మధ్యరేఖత్రిభుజం.

త్రిభుజం యొక్క ఎత్తును నిర్ణయించడం.

లంబ త్రిభుజంలో లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన వృత్తాల వ్యాసార్థాలు ఏమిటి?

సారూప్య బొమ్మల లక్షణాలు.

కేంద్ర కోణం ఎలా కొలుస్తారు?

వృత్తం యొక్క తీగల యొక్క ఆస్తి.

లంబ త్రిభుజం యొక్క వృత్తాకార కేంద్రం.

30 డిగ్రీల తీవ్ర కోణాన్ని కలిగి ఉన్న లంబ త్రిభుజం యొక్క ఆస్తి.

లంబ ద్విభాగాన్ని నిర్వచించండి.

ఎంపిక 2

లంబ త్రిభుజాల సమానత్వం యొక్క చిహ్నాలు.

త్రిభుజం మధ్యస్థాన్ని నిర్ణయించడం.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం.

సమాంతర చతుర్భుజంలోని వికర్ణాల చతురస్రాల మొత్తం ఎంత?

సాధారణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి ఫార్ములా.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ప్రాంతం.

లిఖించబడిన కోణాల ఆస్తి.

చుట్టుపక్కల చతుర్భుజం యొక్క ఆస్తి.

ఆర్క్ పొడవు.

సైన్, కొసైన్, 30 డిగ్రీల కోణం యొక్క టాంజెంట్.

ఎంపిక 3

త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం మీద సిద్ధాంతం.

త్రిభుజం మధ్యస్థాల లక్షణాలు.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగాన్ని నిర్ణయించడం.

కొసైన్ సిద్ధాంతం.

త్రిభుజం యొక్క ద్విభాగానికి ఫార్ములా.

సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం (3).

ఎందుకు కోణానికి సమానంవృత్తం వెలుపల కలుస్తున్న రెండు సెకండ్ల మధ్య.

లిఖిత చతుర్భుజం యొక్క ఆస్తి.

చుట్టుకొలత.

తీగల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలు.

ఎంపిక 4

సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క లక్షణాలు.

లంబ ద్విభాగాల ఆస్తి.

త్రిభుజం మధ్యస్థాల కోసం ఫార్ములా.

సైన్స్ సిద్ధాంతం.

ఇందులోని అంశాలు ఏమిటి సమబాహు త్రిభుజం(ఎత్తు, వ్యాసార్థం, ప్రాంతం)?

సమద్విబాహు ట్రాపజోయిడ్ యొక్క లక్షణాలు.

ఒకే బిందువు నుండి వెలువడే టాంజెంట్ మరియు సెకెంట్ లైన్ల లక్షణం.

ఖండన తీగల మధ్య కోణం ఏమిటి?

సైన్, కొసైన్, 60 డిగ్రీల కోణం యొక్క టాంజెంట్.

త్రిభుజంలో లిఖించబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం ఎక్కడ ఉంది?

ఎంపిక 5

త్రిభుజం అసమానత.

త్రిభుజం యొక్క ఎత్తులపై సిద్ధాంతం.

సారూప్య త్రిభుజాల ప్రాంతాలు.

త్రిభుజం యొక్క ప్రాంతాలకు సూత్రాలు (6).

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క చిహ్నాలు.

ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క మధ్యరేఖ గురించి సిద్ధాంతం.

చతుర్భుజం కోసం హెరాన్ సూత్రం.

స్పర్శ బిందువు నుండి గీసిన టాంజెంట్ మరియు తీగ మధ్య కోణం ఏమిటి?

సెక్టార్ ప్రాంతం.

సైన్, కొసైన్, 45 డిగ్రీల కోణం యొక్క టాంజెంట్.

ఎంపిక 6

త్రిభుజం మధ్య రేఖను నిర్ణయించడం.

ట్రయాంగిల్ బైసెక్టర్ సిద్ధాంతం.

త్రిభుజాల సారూప్యత సంకేతాలు.

కొసైన్ సిద్ధాంతం.

హెరాన్ సూత్రం.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క లక్షణాలు.

రాంబస్ యొక్క ప్రాంతం.

త్రిభుజంలో లిఖించబడిన మరియు చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క కేంద్రం.

సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్‌లను నిర్వచించండి తీవ్రమైన కోణంకుడి త్రిభుజం

సగటు స్థాయి

ప్లానిమెట్రీ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు. సమగ్ర గైడ్ (2019)

1. ప్లానిమెట్రీ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు



ప్రతిదీ చిత్రాలలో మరియు పదాలు లేకుండా ఎందుకు ఉన్నాయి? మాటలు అవసరమా? మొదట అవి చాలా అవసరం లేదని నాకు అనిపిస్తోంది. వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, వాస్తవానికి, పదాలలో ప్రతిదీ ఎలా వివరించాలో తెలుసు, మరియు మీరు అటువంటి వివరణలను క్రింది స్థాయి సిద్ధాంతంలో కనుగొనవచ్చు, కానీ ఇప్పుడు చిత్రాలతో కొనసాగిద్దాం.







ఇంకేముంది? అవును, మేము విభాగాలు మరియు కోణాలను ఎలా కొలవాలో నేర్చుకోవాలి.

ప్రతి విభాగానికి ఒక పొడవు ఉంటుంది - ఈ విభాగానికి కేటాయించబడిన సంఖ్య (కొన్ని కారణాల వల్ల...). పొడవు సాధారణంగా కొలుస్తారు ... పాలకుడితో, వాస్తవానికి, సెంటీమీటర్లు, మిల్లీమీటర్లు, మీటర్లు మరియు కిలోమీటర్లలో కూడా.

మరియు ఇప్పుడు కోణాలను కొలవడం. కొన్ని కారణాల వల్ల, కోణాలను సాధారణంగా డిగ్రీలలో కొలుస్తారు. ఎందుకు? దానికి ఏదో ఉంది చారిత్రక కారణాలు, కానీ మనం ఇప్పుడు చరిత్రతో వ్యవహరించడం లేదు. అందువల్ల, మేము ఈ క్రింది ఒప్పందాన్ని మంజూరు చేయవలసి ఉంటుంది.



డిగ్రీల అభివృద్ధి కోణంలో.

సంక్షిప్తత కోసం వారు వ్రాస్తారు: . ఈ సందర్భంలో, విప్పబడిన కోణంలో ఏ భాగం ఉందో మీరు కనుగొంటే, అన్ని ఇతర కోణాల పరిమాణాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఇచ్చిన కోణం. కోణాలను కొలిచే సాధనాన్ని ప్రోట్రాక్టర్ అంటారు. మీరు అతనిని మీ జీవితంలో ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు చూశారని నేను అనుకుంటున్నాను.

2. కోణాల గురించి రెండు ప్రాథమిక వాస్తవాలు

I. ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలు జోడించబడతాయి.



ఇది పూర్తిగా సహజమైనది, కాదా? అన్నింటికంటే, ప్రక్కనే ఉన్న కోణాలు కలిసి రివర్స్ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి!

II. లంబ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.



ఎందుకు? మరియు చూడండి:

ఇప్పుడు ఏమిటి? బాగా, వాస్తవానికి, అది అనుసరిస్తుంది. (ఉదాహరణకు, మొదటి సమానత్వం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయడం సరిపోతుంది. కానీ వాస్తవానికి, మీరు చిత్రాన్ని చూడవచ్చు).

విలువ ఎంత లంబ కోణం?

బాగా, వాస్తవానికి, ! అన్ని తరువాత.

4. తీవ్రమైన మరియు మందమైన కోణం.

ప్రారంభించడానికి మీరు ప్రాథమికంగా తెలుసుకోవలసినది అంతే. సిద్ధాంతాల గురించి మనం ఒక్క మాట కూడా ఎందుకు చెప్పలేదు?

సూత్రాలు అనేది ప్లానిమెట్రీ యొక్క ప్రాథమిక వస్తువులతో చర్య యొక్క నియమాలు, పాయింట్లు మరియు పంక్తుల గురించి మొట్టమొదటి ప్రకటనలు. ఈ ప్రకటనలు ప్రాతిపదికగా తీసుకోబడ్డాయి, నిరూపించబడలేదు.

మనం ఇంకా వాటిని ఎందుకు రూపొందించి చర్చించకూడదు? మీరు చూస్తారు, ప్లానిమెట్రీ యొక్క సిద్ధాంతాలు, ఒక కోణంలో, సుదీర్ఘమైన గణిత భాషలో స్పష్టమైన సంబంధాలను వివరిస్తాయి. మీరు అలవాటు పడిన తర్వాత, యాక్సియోమాటిక్స్ గురించి స్పష్టమైన అవగాహన అవసరం రేఖాగణిత భావనలుఇంగితజ్ఞానం స్థాయిలో. అప్పుడు - స్వాగతం - అక్కడ సిద్ధాంతాల గురించి చాలా వివరణాత్మక చర్చ ఉంది. ఈ సమయంలో, యూక్లిడ్ కాలానికి ముందు, చాలా పురాతన గ్రీకుల వలె వ్యవహరించడానికి ప్రయత్నించండి - ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించండి ఇంగిత జ్ఞనం. నేను మీకు భరోసా ఇస్తున్నాను, మీ కోసం చాలా పనులు సాధ్యమవుతాయి!

సగటు స్థాయి

మీరు అకస్మాత్తుగా మరొక గ్రహంపై లేదా... కంప్యూటర్ గేమ్‌లో ఉన్నట్లు ఊహించుకోండి.

మీరు ముందు తెలియని ఉత్పత్తుల సమితి, మరియు మీ పని ఈ సెట్ నుండి వీలైనన్ని రుచికరమైన వంటకాలను సిద్ధం చేయడం. మీకు ఏమి కావాలి? వాస్తవానికి, నియమాలు, సూచనలు - కొన్ని ఉత్పత్తులతో ఏమి చేయవచ్చు. మీరు అకస్మాత్తుగా పచ్చిగా మాత్రమే తినేదాన్ని ఉడికించినట్లయితే లేదా దానికి విరుద్ధంగా సలాడ్‌లో ఖచ్చితంగా ఉడకబెట్టడం లేదా వేయించడం అవసరం? కాబట్టి, సూచనలు లేకుండా - ఎక్కడా!

సరే, కానీ అలాంటి పరిచయం ఎందుకు? జ్యామితికి దానితో సంబంధం ఏమిటి? మీరు చూడండి, జ్యామితిలోని అన్ని రకాల బొమ్మల గురించిన అనేక ప్రకటనలు మనం ఉడికించడం నేర్చుకోవాల్సిన చాలా “వంటలు”. కానీ దేని నుండి? జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక వస్తువుల నుండి! కానీ వారి "ఉపయోగం" కోసం సూచనలు అంటారు తెలివైన మాటలతో "సూత్రాల వ్యవస్థ".

కాబట్టి, శ్రద్ధ వహించండి!

ప్లానిమెట్రీ యొక్క ప్రాథమిక వస్తువులు మరియు సిద్ధాంతాలు.

పాయింట్ మరియు లైన్

ఇవి ప్లానిమెట్రీ యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన అంశాలు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఇవి "నిర్వచించలేని భావనలు" అని చెప్పారు. అది ఎలా? అయితే, మీరు ఎక్కడో ప్రారంభించాలి.

ఇప్పుడు పాయింట్లు మరియు లైన్లను నిర్వహించడానికి మొదటి నియమాలు. ఈ గణిత నియమాలు అంటారు "సూత్రాలు"- ప్రాతిపదికగా తీసుకోబడిన స్టేట్‌మెంట్‌లు, దాని నుండి ప్రాథమికమైన ప్రతిదీ తీసివేయబడుతుంది (జ్యామితిని “వండడానికి” మనకు పెద్ద పాక మిషన్ ఉందని గుర్తుంచుకోండి?). కాబట్టి, సిద్ధాంతాల యొక్క మొదటి సిరీస్ అంటారు

I. చెందిన సిద్ధాంతాలు.

దయచేసి గమనించండి, ఈ సిద్ధాంతం మిమ్మల్ని ఇలా గీయడానికి అనుమతిస్తుంది:



ఇలా: రెండు పాయింట్లు ఉన్నాయి:



ఆపై ఒక సరళ రేఖ కనుగొనబడింది:

కానీ మరొకటి లేదు!



ఇవన్నీ మీకు చాలా స్పష్టంగా అనిపిస్తే, మీరు మరొక గ్రహంలో ఉన్నారని మరియు వస్తువులతో ఏమి చేయాలో ఇంకా తెలియదని గుర్తుంచుకోండి. "చుక్క"మరియు "నేరుగా".

రే, సెగ్మెంట్, కోణం.

ఇప్పుడు మేము పంక్తులపై పాయింట్లను ఉంచడం మరియు పాయింట్ల ద్వారా గీతలు గీయడం నేర్చుకున్నాము, కాబట్టి మేము ఇప్పటికే మొదటి సాధారణ “వంటలను” సిద్ధం చేయవచ్చు -, లైన్ సెగ్మెంట్,మూలలో.

1) బీమ్

ఇక్కడ అతను,





2) కట్



ఇప్పుడు విషయాలను క్రమంలో ఉంచుదాం. సిద్ధాంతాల తదుపరి శ్రేణిని అంటారు:

II. ఆర్డర్ యొక్క సూత్రాలు.



ఇప్పుడు - తదుపరి స్థాయి. మాకు సూచనలు కావాలి కొలతభాగాలు మరియు కోణాలు. ఈ సిద్ధాంతాలను అంటారు

III. విభాగాలు మరియు కోణాల కోసం కొలతల సూత్రాలు.

మరియు ఇప్పుడు ఇది పూర్తిగా వింతగా ఉంది.

IV. ఇచ్చిన దానికి సమానమైన త్రిభుజం ఉనికికి సంబంధించిన సూత్రాలు.

ఈ సిద్ధాంతం యొక్క రెండు సహసంబంధాలు స్పష్టంగా ఉన్నాయి:





బాగా, చివరిది లెజెండరీ సమాంతర సూత్రం!

కానీ మొదటి నిర్వచనం:

V. సమాంతరాల సూత్రం.

సరే, అయిపోయింది ప్లానిమెట్రీ యొక్క సిద్ధాంతాలు! వాటిలో చాలా ఎక్కువ ఉన్నాయా? కానీ ఊహించుకోండి, అవన్నీ అవసరం. ఈ సిద్ధాంతాన్ని తొలగిస్తే, అప్పుడు జ్యామితి యొక్క మొత్తం కట్టడం పడిపోతుందని చూపిస్తుంది, వాటిలో ప్రతి ఒక్కరికీ ఒక జిత్తులమారి, జిత్తులమారి తార్కికం ఉంది! సరే, లేదా మనం ఉపయోగించిన దానికి పూర్తిగా భిన్నమైన ఏదో మిగిలి ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, కోణాల గురించి రెండు ప్రాథమిక వాస్తవాలు!

ప్రక్కనే మరియు నిలువు కోణాలు.

కోణాన్ని ఏర్పరిచే కిరణాలను కోణం యొక్క భుజాలు అని పిలుస్తారు మరియు వాటి సాధారణ ప్రారంభం- టాప్

ఇది పూర్తిగా సాధారణ సిద్ధాంతం, నిజం?

అన్ని తరువాత సాధారణ వైపుప్రక్కనే ఉన్న కోణాలు సరళ కోణాన్ని రెండు కోణాలుగా విభజిస్తాయి (శ్రద్ధ: యాక్సియమ్ 3.2 పనిచేస్తుంది!)ప్రక్కనే ఉన్న కోణాల మొత్తం విప్పబడిన దాని పరిమాణానికి సమానం, అంటే.

వివరించడం కంటే గీయడం సులభం - చిత్రాన్ని చూడండి.



ఇది కూడా సులభమైన సిద్ధాంతం. నిర్ధారించుకోండి:

తీవ్రమైన మరియు మందమైన కోణం.

సంక్షిప్త వివరణ మరియు ప్రాథమిక సూత్రాలు

చెందిన సిద్ధాంతాలు:

• సూత్రం 1. రేఖ ఏదైనా సరే, ఈ రేఖకు సంబంధించిన పాయింట్లు మరియు దీనికి చెందని పాయింట్లు ఉన్నాయి.
• సూత్రం 2. ఏదైనా రెండు పాయింట్ల ద్వారా మీరు సరళ రేఖను గీయవచ్చు మరియు ఒకటి మాత్రమే.

ఆర్డర్ సూత్రాలు:

• సూత్రం 3. ఒక రేఖపై ఉన్న మూడు పాయింట్లలో, ఒకటి మరియు మిగిలిన రెండింటి మధ్య ఒకటి మాత్రమే ఉంటుంది.
• సూత్రం 4. ఒక విమానంలో ఉన్న సరళ రేఖ ఈ విమానాన్ని రెండు అర్ధ-విమానాలుగా విభజిస్తుంది. సెగ్మెంట్ యొక్క చివరలు అదే అర్ధ-విమానానికి చెందినట్లయితే, సెగ్మెంట్ రేఖను కలుస్తుంది. సెగ్మెంట్ చివరలు వేర్వేరు అర్ధ-విమానాలకు చెందినట్లయితే, ఆ విభాగం ఒక రేఖను కలుస్తుంది.

విభాగాలు మరియు కోణాల కోసం కొలతల సూత్రాలు:

• సూత్రం 5. ప్రతి విభాగానికి సున్నా కంటే ఎక్కువ నిర్దిష్ట పొడవు ఉంటుంది. సెగ్మెంట్ యొక్క పొడవు దానిలోని ఏదైనా పాయింట్ల ద్వారా విభజించబడిన భాగాల పొడవుల మొత్తానికి సమానం.
• సూత్రం 6. ప్రతి కోణం సున్నా కంటే ఎక్కువ నిర్దిష్ట డిగ్రీ కొలతను కలిగి ఉంటుంది. సరళ కోణం సమానంగా ఉంటుంది. కోణం యొక్క డిగ్రీ కొలత మొత్తానికి సమానం డిగ్రీ చర్యలుదాని భుజాల మధ్య ప్రయాణిస్తున్న ఏదైనా కిరణం ద్వారా విభజించబడిన కోణాలు.

ఇచ్చిన దానికి సమానమైన త్రిభుజం ఉనికికి సంబంధించిన సూత్రాలు:

సమాంతర సూత్రం:

• సూత్రం 8. ఒక విమానంలో, ఇచ్చిన రేఖపై పడని పాయింట్ ద్వారా, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా గరిష్టంగా ఒక సరళ రేఖను గీయవచ్చు.

కోణాల గురించి ప్రాథమిక వాస్తవాలు:

• సిద్ధాంతం. ప్రక్కనే ఉన్న కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది.

సరే, టాపిక్ ముగిసింది. మీరు ఈ పంక్తులు చదువుతుంటే, మీరు చాలా కూల్ గా ఉన్నారని అర్థం.

ఎందుకంటే కేవలం 5% మంది మాత్రమే సొంతంగా ఏదైనా నైపుణ్యం సాధించగలుగుతారు. మరియు మీరు చివరి వరకు చదివితే, మీరు ఈ 5% లో ఉన్నారు!

ఇప్పుడు అత్యంత ముఖ్యమైన విషయం.

మీరు ఈ అంశంపై సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకున్నారు. మరియు, నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, ఇది... ఇది కేవలం సూపర్! మీ తోటివారిలో చాలా మంది కంటే మీరు ఇప్పటికే మెరుగ్గా ఉన్నారు.

సమస్య ఏమిటంటే ఇది సరిపోకపోవచ్చు ...

దేనికోసం?

కోసం విజయవంతంగా పూర్తియూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్, బడ్జెట్‌లో కాలేజీలో అడ్మిషన్ కోసం మరియు చాలా ముఖ్యమైనది, జీవితాంతం.

నేను మిమ్మల్ని ఏదీ ఒప్పించను, ఒక్కటి మాత్రమే చెబుతాను...

అందుకున్న వ్యక్తులు ఒక మంచి విద్య, అందుకోని వారి కంటే చాలా ఎక్కువ సంపాదిస్తారు. ఇది గణాంకాలు.

కానీ ఇది ప్రధాన విషయం కాదు.

ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే వారు మరింత సంతోషంగా ఉన్నారు (అలాంటి అధ్యయనాలు ఉన్నాయి). బహుశా వారి ముందు చాలా అవకాశాలు తెరుచుకుంటాయి మరియు జీవితం ప్రకాశవంతంగా మారుతుంది? తెలియదు...

అయితే మీరే ఆలోచించండి...

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఇతరుల కంటే మెరుగ్గా ఉండటానికి మరియు చివరికి... సంతోషంగా ఉండటానికి ఏమి అవసరం?

ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడం ద్వారా మీ చేతిని పొందండి.

పరీక్ష సమయంలో మీరు సిద్ధాంతం కోసం అడగబడరు.

నీకు అవసరం అవుతుంది సమయానికి వ్యతిరేకంగా సమస్యలను పరిష్కరించండి.

మరియు, మీరు వాటిని పరిష్కరించకపోతే (చాలా!), మీరు ఖచ్చితంగా ఎక్కడో ఒక తెలివితక్కువ పొరపాటు చేస్తారు లేదా సమయం ఉండదు.

ఇది క్రీడలలో లాగా ఉంటుంది - ఖచ్చితంగా గెలవడానికి మీరు దీన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేయాలి.

మీకు కావలసిన చోట సేకరణను కనుగొనండి, తప్పనిసరిగా పరిష్కారాలతో, వివరణాత్మక విశ్లేషణ మరియు నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి, నిర్ణయించుకోండి!

మీరు మా పనులను ఉపయోగించవచ్చు (ఐచ్ఛికం) మరియు మేము వాటిని సిఫార్సు చేస్తాము.

మా టాస్క్‌లను ఉపయోగించడంలో మెరుగ్గా ఉండటానికి, మీరు ప్రస్తుతం చదువుతున్న YouClever పాఠ్యపుస్తకం యొక్క జీవితాన్ని పొడిగించడంలో మీరు సహాయం చేయాలి.

ఎలా? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. ఈ కథనంలో దాచిన అన్ని పనులను అన్‌లాక్ చేయండి - 299 రబ్.
2. పాఠ్యపుస్తకంలోని మొత్తం 99 కథనాలలో దాచిన అన్ని పనులకు యాక్సెస్‌ను అన్‌లాక్ చేయండి - 999 రబ్.

అవును, మా పాఠ్యపుస్తకంలో అటువంటి 99 కథనాలు ఉన్నాయి మరియు అన్ని టాస్క్‌లకు యాక్సెస్ మరియు వాటిలో దాచిన అన్ని పాఠాలు వెంటనే తెరవబడతాయి.

రెండవ సందర్భంలో మేము మీకు ఇస్తాముసిమ్యులేటర్ "పరిష్కారాలు మరియు సమాధానాలతో 6000 సమస్యలు, ప్రతి అంశానికి, సంక్లిష్టత యొక్క అన్ని స్థాయిలలో." ఏదైనా అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించడంలో మీ చేతులను పొందడానికి ఇది ఖచ్చితంగా సరిపోతుంది.

నిజానికి, ఇది కేవలం సిమ్యులేటర్ కంటే చాలా ఎక్కువ - మొత్తం కార్యక్రమంతయారీ. అవసరమైతే, మీరు దీన్ని ఉచితంగా కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

సైట్ ఉనికిలో ఉన్న మొత్తం కాలానికి అన్ని పాఠాలు మరియు ప్రోగ్రామ్‌లకు యాక్సెస్ అందించబడుతుంది.

ముగింపులో...

మా పనులు మీకు నచ్చకపోతే, ఇతరులను కనుగొనండి. కేవలం సిద్ధాంతం వద్ద ఆగవద్దు.

"అర్థమైంది" మరియు "నేను పరిష్కరించగలను" పూర్తిగా భిన్నమైన నైపుణ్యాలు. మీకు రెండూ కావాలి.

సమస్యలను కనుగొని వాటిని పరిష్కరించండి!

ఈ పేజీలో ఒక గణిత బోధకుడు సమర్థవంతమైన విద్యార్థిని తీవ్రమైన పరీక్షకు సిద్ధం చేయడంలో ఉపయోగించే ప్లానిమెట్రీ సిద్ధాంతాలను కలిగి ఉంది: ఒలింపియాడ్ లేదా మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీలో పరీక్ష (మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ, VMC యొక్క మెకానిక్స్ మరియు మ్యాథమెటిక్స్ కోసం తయారీలో), ఒలింపియాడ్ కోసం ఉన్నత పాఠశాలఎకనామిక్స్, ఒలింపిక్స్ కోసం ఫైనాన్షియల్ అకాడమీమరియు MIPT వద్ద. ఈ వాస్తవాల జ్ఞానం ట్యూటర్ ముందు తెరవబడుతుంది గొప్ప అవకాశాలుపోటీ పనులను గీయడంపై. సంఖ్యలపై పేర్కొన్న కొన్ని సిద్ధాంతాన్ని "ప్లే అవుట్" చేయడం లేదా ఇతరులతో సాధారణ సంబంధాలతో దాని మూలకాలను భర్తీ చేయడం సరిపోతుంది. గణిత వస్తువులు, మరియు మీరు చాలా మంచి ఒలింపియాడ్ సమస్యను పొందుతారు. చాలా లక్షణాలు బలంగా ఉన్నాయి పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలురుజువు కోసం టాస్క్‌లుగా మరియు పేరాగ్రాఫ్‌ల శీర్షికలు మరియు విభాగాలలో ప్రత్యేకంగా చేర్చబడలేదు. నేను ఈ లోపాన్ని సరిదిద్దడానికి ప్రయత్నించాను.

గణితం ఒక అపారమైన విషయం, మరియు సిద్ధాంతాలుగా గుర్తించగల వాస్తవాల సంఖ్య అంతులేనిది. గణిత బోధకుడు భౌతికంగా ప్రతిదీ తెలుసుకోలేరు మరియు గుర్తుంచుకోలేరు. అందువలన, మధ్య కొన్ని గమ్మత్తైన సంబంధాలు రేఖాగణిత వస్తువులుప్రతిసారీ అవి ఉపాధ్యాయునికి కొత్తగా వెల్లడి చేయబడతాయి. వాటన్నింటినీ ఒకే పేజీలో ఒకేసారి సేకరించడం భౌతికంగా అసాధ్యం. అందువల్ల, నేను నా పాఠాలలో సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించినప్పుడు క్రమంగా పేజీని నింపుతాను.

గణిత బోధకులకు అదనపు ఉపయోగంలో జాగ్రత్తగా ఉండాలని నేను సలహా ఇస్తున్నాను సూచన పదార్థాలు, ఈ వాస్తవాలు చాలా వరకు పాఠశాల విద్యార్థులకు తెలియదు కాబట్టి.

రేఖాగణిత ఆకృతుల లక్షణాల గురించి గణిత బోధకుడు

1) ఒక త్రిభుజం యొక్క ఒక వైపుకు లంబంగా ఉన్న ద్వంద్వ ఖండం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన ఒక వృత్తంలో దానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం యొక్క ద్విభాగంతో కలుస్తుంది ఇచ్చిన త్రిభుజం. ఇది వంపుల సమానత్వం నుండి క్రింది ఆర్క్‌ను లంబ ద్విభాగాన్ని విభజించింది మరియు వృత్తంలో చెక్కబడిన కోణం గురించి సిద్ధాంతం నుండి అనుసరిస్తుంది.

2)ఒక త్రిభుజంలోని ఒక శీర్షం నుండి బిసెక్టర్ b, మధ్యస్థ m మరియు ఎత్తు h గీసినట్లయితే, ద్విభుజం మరో రెండు విభాగాల మధ్య ఉంటుంది మరియు అన్ని విభాగాల పొడవులు ద్వంద్వ అసమానతకు కట్టుబడి ఉంటాయి.

3) IN ఏకపక్ష త్రిభుజందాని శీర్షాలలో దేనినైనా దాని ఆర్థోసెంటర్‌కు దూరం (ఎత్తుల ఖండన స్థానం) 2 రెట్లు మరింత దూరంఈ త్రిభుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం మధ్యలో నుండి ఈ శీర్షానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు వరకు. దీనిని నిరూపించడానికి, మీరు దాని ఎత్తులకు సమాంతరంగా త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల ద్వారా సరళ రేఖలను గీయవచ్చు. అప్పుడు అసలు మరియు ఫలిత త్రిభుజం యొక్క సారూప్యతను ఉపయోగించండి.

4) ఏదైనా త్రిభుజం (దాని గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం) యొక్క మధ్యస్థాల M యొక్క ఖండన స్థానం H త్రిభుజం యొక్క ఆర్థోసెంటర్ మరియు వృత్తాకార కేంద్రం (పాయింట్ O)తో కలిసి ఒకే ప్రైమాపై ఉంటుంది మరియు . ఇది మునుపటి ఆస్తి నుండి మరియు మధ్యస్థాల ఖండన పాయింట్ యొక్క ఆస్తి నుండి అనుసరిస్తుంది.

5) రెండు ఖండన వృత్తాల ఉమ్మడి తీగ యొక్క పొడిగింపు వాటి ఉమ్మడి టాంజెంట్ యొక్క విభాగాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ఈ ఖండన స్వభావం (అంటే సర్కిల్‌ల కేంద్రాల స్థానం)తో సంబంధం లేకుండా ఈ లక్షణం నిజం. దీన్ని నిరూపించడానికి, మీరు టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ యొక్క స్క్వేర్ యొక్క ఆస్తిని ఉపయోగించవచ్చు.

6) ఒక త్రిభుజం దాని కోణం యొక్క ద్విభాగాన్ని కలిగి ఉన్నట్లయితే, దాని చతురస్రం కోణం యొక్క భుజాల ఉత్పత్తుల మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం మరియు ద్వంద్వ విభాగాన్ని వ్యతిరేక వైపు విభజించే విభాగాల మధ్య ఉంటుంది.

అంటే, కింది సమానత్వం ఉంది

7) లంబ కోణం యొక్క శీర్షం నుండి ఎత్తును హైపోటెన్యూస్‌కి లాగినప్పుడు పరిస్థితి మీకు బాగా తెలుసా? ఖచ్చితంగా. ఫలితంగా వచ్చే అన్ని త్రిభుజాలు ఒకేలా ఉన్నాయని మీకు తెలుసా? తప్పకుండా మీకు తెలుసు. ఈ త్రిభుజాల యొక్క ఏవైనా సంబంధిత మూలకాలు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని పునరావృతం చేసే సమానత్వాన్ని ఏర్పరుస్తాయని మీకు బహుశా తెలియదు, ఉదాహరణకు, , చిన్న త్రిభుజాలలో లిఖించబడిన వృత్తాల వ్యాసార్థం ఎక్కడ మరియు ఉన్నాయి మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం చెక్కబడి ఉంటుంది. పెద్ద త్రిభుజంలో.

8)మీరు అన్నింటితో యాదృచ్ఛికంగా చతుర్భుజాన్ని చూసినట్లయితే తెలిసిన పార్టీలు a, b, c మరియు d, హెరాన్ సూత్రాన్ని గుర్తుకు తెచ్చే ఫార్ములా ఉపయోగించి దాని వైశాల్యాన్ని సులభంగా లెక్కించవచ్చు:
, ఇక్కడ x అనేది ఏదైనా రెండింటి మొత్తం వ్యతిరేక మూలలుచతుర్భుజం. ఇచ్చిన చతుర్భుజం ఒక వృత్తంలో చెక్కబడి ఉంటే, అప్పుడు సూత్రం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
మరియు అంటారు బ్రహ్మగుప్త సూత్రం

9)మీ చతుర్భుజం ఒక వృత్తాన్ని చుట్టుముట్టినట్లయితే (అంటే, వృత్తం దానిలో వ్రాయబడి ఉంటుంది), అప్పుడు చతుర్భుజ వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది