Równania systematyczne. Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania

System równania liniowe z dwiema niewiadomymi - są to dwa lub więcej równań liniowych, dla których konieczne jest znalezienie ich wszystkich rozwiązania ogólne. Rozważymy układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ogólny widok układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiono na poniższym rysunku:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Tutaj x i y są nieznanymi zmiennymi, a1, a2, b1, b2, c1, c2 to liczby rzeczywiste. Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x,y) taka, że ​​jeśli podstawimy te liczby do równań układu, to każde z równań układu zamieni się w prawdziwą równość. Istnieje kilka sposobów rozwiązania układu równań liniowych. Rozważmy jeden ze sposobów rozwiązania układu równań liniowych, a mianowicie metodę dodawania.

Algorytm rozwiązywania metodą dodawania

Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą dodawania.

1. W razie potrzeby do równoważne transformacje zrównać współczynniki jednej z nieznanych zmiennych w obu równaniach.

2. Dodając lub odejmując powstałe równania, otrzymaj równanie liniowe z jedną niewiadomą

3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną niewiadomą i znajdź jedną ze zmiennych.

4. Podstaw otrzymane wyrażenie do dowolnego z dwóch równań układu i rozwiąż to równanie, uzyskując w ten sposób drugą zmienną.

5. Sprawdź rozwiązanie.

Przykład rozwiązania metodą dodawania

Dla większej przejrzystości rozwiążmy następujący układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą dodawania:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Ponieważ żadna ze zmiennych nie ma identycznych współczynników, wyrównujemy współczynniki zmiennej y. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie przez trzy, a drugie równanie przez dwa.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Dostajemy następujący układ równań:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Teraz odejmujemy pierwsze od drugiego równania. Prezentujemy podobne terminy i rozwiązać powstałe równanie liniowe.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Podstawiamy otrzymaną wartość do pierwszego równania z naszego pierwotnego układu i rozwiązujemy powstałe równanie.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

Wynikiem jest para liczb x=6 i y=14. Sprawdzamy. Dokonajmy zamiany.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Jak widać, otrzymaliśmy dwie poprawne równości, dlatego znaleźliśmy prawidłowe rozwiązanie.

Instrukcje

Metoda dodawania.
Musisz napisać dwa ściśle pod sobą:

549+45lat+4y=-7, 45lat+4y=549-7, 49lat=542, y=542:49, y≈11.
W dowolnie wybranym (z układu) równaniu zamiast znalezionej już „gry” wstaw liczbę 11 i oblicz drugą niewiadomą:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odpowiedź na ten układ równań to x=116, y=11.

Metoda graficzna.
Polega na praktycznym znalezieniu współrzędnych punktu, w którym proste są matematycznie zapisane w układzie równań. Wykresy obu prostych należy narysować oddzielnie w tym samym układzie współrzędnych. Widok ogólny: – y=khx+b. Aby zbudować linię prostą, wystarczy znaleźć współrzędne dwóch punktów, a x wybiera się dowolnie.
Niech będzie dany układ: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Linię prostą buduje się z pierwszej, dla wygody należy ją zapisać: y=2x-4. Wymyśl (łatwiejsze) wartości x, podstawiając je do równania, rozwiązując je i znajdując y. Otrzymujemy dwa punkty, wzdłuż których zbudowana jest linia prosta. (widzieć zdjęcie)
x 0 1

y -4 -2
Linię prostą konstruuje się korzystając z drugiego równania: y=-3x+1.
Zbuduj także linię prostą. (widzieć zdjęcie)

y 1 -5
Znajdź na wykresie współrzędne punktu przecięcia dwóch skonstruowanych prostych (jeśli proste nie przecinają się, to w układzie równań nie ma - tzw.).

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Jeśli ten sam układ równań zostanie rozwiązany przez trzy różne sposoby, odpowiedź będzie taka sama (jeśli rozwiązanie jest prawidłowe).

Źródła:

  • Algebra klasy 8
  • rozwiązać równanie z dwiema niewiadomymi online
  • Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych z dwójką

System równania to zbiór rekordów matematycznych, z których każdy zawiera pewną liczbę zmiennych. Istnieje kilka sposobów ich rozwiązania.

Będziesz potrzebować

  • -Linijka i ołówek;
  • -kalkulator.

Instrukcje

Rozważmy sekwencję rozwiązywania układu, na który składają się równania liniowe o postaci: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Gdzie x i y to nieznane zmienne, a b, c to terminy dowolne. Stosując tę ​​metodę, każdy układ reprezentuje współrzędne punktów odpowiadających każdemu równaniu. Na początek w każdym przypadku wyraź jedną zmienną w kategoriach drugiej. Następnie ustaw zmienną x na dowolną liczbę wartości. Wystarczą dwa. Podstaw do równania i znajdź y. Zbuduj układ współrzędnych, zaznacz na nim powstałe punkty i przeprowadź przez nie linię. Podobne obliczenia należy przeprowadzić dla pozostałych części układu.

System ma jedyna decyzja, jeśli zbudowane linie przecinają się i jeden wspólny punkt. Jest to niezgodne, jeśli jest równoległe do siebie. I ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy linie łączą się ze sobą.

Ta metoda uważane za bardzo wizualne. Główną wadą jest to, że obliczone niewiadome mają wartości przybliżone. Dokładniejszy wynik daje tzw metody algebraiczne.

Każde rozwiązanie układu równań jest warte sprawdzenia. Aby to zrobić, zamień wynikowe wartości zamiast zmiennych. Rozwiązanie można znaleźć także na kilka sposobów. Jeśli rozwiązanie układu jest poprawne, to wszyscy powinni okazać się tacy sami.

Często istnieją równania, w których jeden z terminów jest nieznany. Aby rozwiązać równanie, musisz zapamiętać i zrobić to z podanymi liczbami konkretny zestaw działania.

Będziesz potrzebować

  • - papier;
  • - długopis lub ołówek.

Instrukcje

Wyobraź sobie, że przed tobą stoi 8 królików, a ty masz tylko 5 marchewek. Pomyśl o tym, nadal musisz kupić więcej marchewek, aby każdy królik dostał jedną.

Przedstawmy to zadanie w postaci równania: 5 + x = 8. Zamiast x podstawimy liczbę 3. Rzeczywiście 5 + 3 = 8.

Podstawiając liczbę za x, postępujesz tak samo, jak przy odejmowaniu 5 od 8. Zatem, aby znaleźć nieznany termin, odejmij znany termin od sumy.

Załóżmy, że masz 20 królików i tylko 5 marchewek. Ustalmy to. Równanie to równość, która obowiązuje tylko dla niektórych wartości zawartych w nim liter. Litery, których znaczenie należy znaleźć, nazywane są . Napisz równanie z jedną niewiadomą i nazwij je x. Rozwiązując nasz problem z królikiem, otrzymujemy następujące równanie: 5 + x = 20.

Znajdźmy różnicę między 20 a 5. Podczas odejmowania zmniejszana jest liczba, od której jest ona odejmowana. Odejmowana liczba nazywa się , i ostateczny wynik zwana różnicą. Zatem x = 20 – 5; x = 15. Musisz kupić 15 marchewek dla królików.

Sprawdź: 5 + 15 = 20. Równanie zostało rozwiązane poprawnie. Oczywiście, kiedy mówimy o w przypadku tak prostych nie ma potrzeby sprawdzania. Jeśli jednak masz równania z liczbami trzycyfrowymi, czterocyfrowymi itp., zdecydowanie musisz to sprawdzić, aby mieć absolutną pewność wyniku swojej pracy.

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Aby znaleźć nieznaną odjemną, musisz dodać odejmowanie do różnicy.

Znaleźć nieznany subtrahent, musisz odjąć różnicę od odejmowania.

Wskazówka 4: Jak rozwiązać system trzy równania z trzema niewiadomymi

Układ trzech równań z trzema niewiadomymi może nie mieć rozwiązań pomimo wystarczającej liczby równań. Można spróbować rozwiązać go metodą podstawieniową lub metodą Cramera. Metoda Cramera oprócz rozwiązania układu pozwala ocenić, czy układ jest rozwiązywalny przed znalezieniem wartości niewiadomych.

Instrukcje

Metoda podstawienia polega na sekwencyjnym podaniu jednej nieznanej przez dwie inne i podstawieniu otrzymanego wyniku do równań układu. Niech będzie dany układ trzech równań ogólna perspektywa:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Wyraź x z pierwszego równania: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - i podstaw do drugiego i trzeciego równania, następnie wyraż y z drugiego równania i podstaw do trzeciego. Dostaniesz wyrażenie liniowe dla z poprzez współczynniki równań układu. Teraz idź „wstecz”: podstaw z do drugiego równania i znajdź y, a następnie podstaw z i y do pierwszego i oblicz x. Proces jest ogólnie pokazany na rysunku przed znalezieniem z. Dalsze pisanie w formie ogólnej będzie zbyt kłopotliwe, w praktyce podstawiając , można dość łatwo znaleźć wszystkie trzy niewiadome.

Metoda Cramera polega na skonstruowaniu macierzy układu i obliczeniu wyznacznika tej macierzy oraz trzech kolejnych macierze pomocnicze. Macierz układu składa się ze współczynników dla nieznanych składników równań. Kolumna zawierająca liczby po prawej stronie równania, kolumna zawierająca liczby po prawej stronie równania. Nie jest używany w systemie, ale jest używany podczas rozwiązywania systemu.

Wideo na ten temat

notatka

Wszystkie równania w układzie muszą dostarczać dodatkowych informacji niezależnych od innych równań. W przeciwnym razie układ będzie niedookreślony i nie będzie możliwe znalezienie jednoznacznego rozwiązania.

Pomocna rada

Po rozwiązaniu układu równań podstaw znalezione wartości do układu pierwotnego i sprawdź, czy spełniają one wszystkie równania.

Samodzielnie równanie z trzema nieznany ma wiele rozwiązań, dlatego najczęściej uzupełnia się go o dwa kolejne równania lub warunki. W zależności od tego, jakie będą dane wyjściowe, w dużej mierze zależeć będzie od przebiegu decyzji.

Będziesz potrzebować

  • - układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Instrukcje

Jeśli dwa z trzech systemów mają tylko dwie z trzech niewiadomych, spróbuj wyrazić niektóre zmienne w kategoriach innych i podstaw je do równanie z trzema nieznany. Twoim celem w tym przypadku jest przekształcenie go w normalność równanie z nieznaną osobą. Jeśli tak jest, dalsze rozwiązanie jest dość proste - podstaw znalezioną wartość do innych równań i znajdź wszystkie pozostałe niewiadome.

Niektóre układy równań można odjąć od jednego równania przez drugie. Sprawdź, czy można pomnożyć jedną z lub zmienną, tak aby dwie niewiadome zostały anulowane jednocześnie. Jeśli jest taka możliwość, skorzystaj z niej, najprawdopodobniej późniejsze rozwiązanie nie będzie trudne. Nie zapominaj, że mnożąc przez liczbę, musisz pomnożyć jako lewa strona i ten właściwy. Podobnie przy odejmowaniu równań należy pamiętać, że należy odjąć także prawą stronę.

Jeśli poprzednie metody nie pomogły, użyj w sposób ogólny rozwiązania dowolnych równań z trójką nieznany. W tym celu należy przepisać równania w postaci a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Utwórz teraz macierz współczynników dla x (A), macierz niewiadomych (X) i macierz zmiennych wolnych (B). Należy pamiętać, że mnożąc macierz współczynników przez macierz niewiadomych otrzymamy macierz wyrazów wolnych, czyli A*X=B.

Znajdź macierz A do potęgi (-1), znajdując najpierw , zauważ, że tak nie powinno być równy zeru. Następnie pomnóż otrzymaną macierz przez macierz B, w wyniku czego otrzymasz żądaną macierz X, wskazującą wszystkie wartości.

Rozwiązanie układu trzech równań można także znaleźć metodą Cramera. Aby to zrobić, znajdź wyznacznik trzeciego rzędu ∆ odpowiadający macierzy układu. Następnie znajdź kolejno trzy kolejne wyznaczniki ∆1, ∆2 i ∆3, podstawiając wartości wolnych terminów zamiast wartości odpowiednich kolumn. Teraz znajdź x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Źródła:

  • rozwiązania równań z trzema niewiadomymi

Rozpoczynając rozwiązywanie układu równań, zastanów się, jakiego rodzaju to są równania. Metody rozwiązywania równań liniowych zostały dość dobrze zbadane. Równania nieliniowe najczęściej nie są rozwiązywane. Jest tylko jeden przypadek szczególny, z których każdy jest praktycznie indywidualny. Dlatego badanie technik rozwiązywania należy rozpocząć od równań liniowych. Takie równania można nawet rozwiązać czysto algorytmicznie.

mianowniki znalezionych niewiadomych są dokładnie takie same. Tak, a liczniki wykazują pewne wzorce w ich konstrukcji. Jeżeli wymiar układu równań byłby większy niż dwa, wówczas metoda eliminacji prowadziłaby do bardzo uciążliwych obliczeń. Aby ich uniknąć, zaprojektowano je wyłącznie metody algorytmiczne rozwiązania. Najprostszym z nich jest algorytm Cramera (wzory Cramera). Bo powinieneś się dowiedzieć system ogólny równania z n równań.

System n liniowy równania algebraiczne z n niewiadomymi ma postać (patrz rys. 1a). W nim aij są współczynnikami układu,
xj – niewiadome, bi – wyrazy wolne (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Układ taki można zapisać zwięźle w postaci macierzowej AX=B. Tutaj A jest macierzą współczynników układu, X jest macierzą kolumnową niewiadomych, B jest macierzą kolumnową wolnych składników (patrz rysunek 1b). Według metody Cramera każda niewiadoma xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Wyznacznik ∆ macierzy współczynników nazywany jest głównym, a ∆i pomocniczym. Dla każdej niewiadomej wyznacznik pomocniczy znajduje się zastępując i-tą kolumnę wyznacznika głównego kolumną wolnych terminów. Metodę Cramera dla przypadku układów drugiego i trzeciego rzędu przedstawiono szczegółowo na rys. 2.

System jest kombinacją dwóch lub więcej równości, z których każda zawiera dwie lub więcej niewiadomych. Istnieją dwa główne sposoby rozwiązywania używanych w nich układów równań liniowych program nauczania. Jedna z nich nazywa się metodą, druga metodą dodawania.

Postać standardowa układu dwóch równań

Na forma standardowa pierwsze równanie ma postać a1*x+b1*y=c1, drugie równanie ma postać a2*x+b2*y=c2 i tak dalej. Na przykład w przypadku dwóch części układu, dla obu danych a1, a2, b1, b2, c1, c2 są pewne współczynniki liczbowe reprezentowane w określonych równaniach. Z kolei x i y reprezentują niewiadome, których wartości należy określić. Wymagane wartości zamieniają oba równania jednocześnie prawdziwe równości.

Rozwiązanie układu metodą dodawania

Aby rozwiązać układ, czyli znaleźć takie wartości x i y, które zamienią je w prawdziwe równości, należy wykonać kilka prostych kroków. Pierwsza z nich polega na przekształceniu któregokolwiek równania w taki sposób, aby współczynniki liczbowe dla zmiennej x lub y w obu równaniach miały tę samą wielkość, ale różny znak.

Załóżmy na przykład, że dany jest układ składający się z dwóch równań. Pierwsza z nich ma postać 2x+4y=8, druga ma postać 6x+2y=6. Jedną z możliwości wykonania zadania jest pomnożenie drugiego równania przez współczynnik -2, co doprowadzi do postaci -12x-4y=-12. Prawidłowy dobór współczynnika jest jednym z kluczowe zadania w procesie rozwiązywania układu przez dodawanie, ponieważ determinuje to całość dalszy ruch procedury znajdowania niewiadomych.

Teraz należy dodać oba równania układu. Oczywiście wzajemne niszczenie zmiennych o współczynnikach o jednakowej wartości, ale o przeciwnym znaku doprowadzi do postaci -10x=-4. Następnie należy rozwiązać to proste równanie, z którego wyraźnie wynika, że ​​x = 0,4.

Ostatnim krokiem w procesie rozwiązania jest podstawienie znalezionej wartości jednej ze zmiennych na dowolną z oryginalnych równości dostępnych w systemie. Przykładowo podstawiając do pierwszego równania x=0,4 można otrzymać wyrażenie 2*0,4+4y=8, z czego y=1,8. Zatem x=0,4 i y=1,8 są pierwiastkami przykładowego układu.

Aby mieć pewność, że pierwiastki zostały znalezione poprawnie, warto sprawdzić, podstawiając znalezione wartości do drugiego równania układu. Na przykład w w tym przypadku otrzymujemy równość w postaci 0,4*6+1,8*2=6, co jest prawdą.

Wideo na ten temat


Materiał zawarty w tym artykule jest przeznaczony do pierwszej zapoznania się z układami równań. Tutaj przedstawimy definicję układu równań i jego rozwiązań, a także rozważymy najpopularniejsze typy układów równań. Jak zwykle podamy przykłady wyjaśniające.

Nawigacja strony.

Co to jest układ równań?

Do definicji układu równań będziemy podchodzić stopniowo. Najpierw powiedzmy, że wygodnie jest to podać, wskazując dwa punkty: po pierwsze, rodzaj nagrania, a po drugie, znaczenie zawarte w tym nagraniu. Przyjrzyjmy się im po kolei, a następnie uogólnijmy rozumowanie na definicję układów równań.

Niech będzie ich kilku przed nami. Weźmy na przykład dwa równania 2 x+y=−3 i x=5. Zapiszmy je jeden pod drugim i połączmy po lewej stronie nawiasem klamrowym:

Rekordy tego typu, czyli kilka równań ułożonych w kolumnę i połączonych po lewej stronie nawiasem klamrowym, są zapisami układów równań.

Co oznaczają takie wpisy? Definiują zbiór wszystkich takich rozwiązań równań układu, które są rozwiązaniem każdego równania.

Nie zaszkodzi opisać to innymi słowami. Załóżmy, że niektóre rozwiązania pierwszego równania są rozwiązaniami wszystkich pozostałych równań układu. Zatem zapis systemowy oznacza po prostu je.

Teraz jesteśmy gotowi odpowiednio przyjąć definicję układu równań.

Definicja.

Układy równań rekordy wywoławcze, czyli równania umieszczone jedno pod drugim, połączone z lewej strony nawiasem klamrowym, które oznaczają zbiór wszystkich rozwiązań równań, które są jednocześnie rozwiązaniami każdego równania układu.

Podobna definicja jest podana w podręczniku, ale tam nie jest podana przypadek ogólny i dla dwojga równania racjonalne z dwiema zmiennymi.

Główne rodzaje

Jest oczywiste, że istnieje nieskończona liczba różnych równań. Naturalnie istnieje również nieskończona liczba układów równań skompilowanych przy ich użyciu. Dlatego dla wygody studiowania i pracy z układami równań warto podzielić je na grupy według podobnych cech, a następnie przejść do rozważania układów równań poszczególnych typów.

Pierwszy podział sugeruje się liczbą równań zawartych w układzie. Jeśli są dwa równania, to możemy powiedzieć, że mamy układ dwóch równań, jeśli są trzy, to układ trzech równań itd. Oczywiste jest, że nie ma sensu mówić o układzie jednego równania, ponieważ w tym przypadku w istocie mamy do czynienia z samym równaniem, a nie z układem.

Kolejny podział opiera się na liczbie zmiennych biorących udział w pisaniu równań układu. Jeśli jest jedna zmienna, to mamy do czynienia z układem równań z jedną zmienną (mówią też z jedną niewiadomą), jeśli są dwie, to z układem równań z dwiema zmiennymi (z dwiema niewiadomymi) itp. Na przykład, jest układem równań z dwiema zmiennymi x i y.

Odnosi się to do liczby wszystkich różnych zmiennych biorących udział w zapisie. Nie muszą być one wszystkie od razu uwzględnione w zapisie każdego równania, wystarczy ich obecność w co najmniej jednym równaniu. Np, jest układem równań z trzema zmiennymi x, yiz. W pierwszym równaniu zmienna x występuje jawnie, a y i z są ukryte (można założyć, że zmienne te mają zero), w drugim równaniu występują x i z, ale zmienna y nie jest przedstawiona wprost. Innymi słowy, pierwsze równanie można postrzegać jako , a drugie – jako x+0·y−3·z=0.

Trzecim punktem, w którym różnią się układy równań, jest rodzaj samych równań.

W szkole rozpoczyna się nauka układów równań układy dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi. Oznacza to, że takie układy stanowią dwa równania liniowe. Oto kilka przykładów: I . Uczą się podstaw pracy z układami równań.

Decydując się na więcej złożone zadania Można także spotkać układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

W dalszej części klasy IX do układów dwóch równań z dwiema zmiennymi dodawane są równania nieliniowe, rzadziej całe równania drugiego stopnia - więcej wysokie stopnie. Systemy te nazywane są systemami równania nieliniowe, jeśli to konieczne, wyjaśnij liczbę równań i niewiadomych. Pokażmy przykłady takich układów równań nieliniowych: I .

A potem w systemach są też np. . Nazywa się je zwykle po prostu układami równań, bez określenia, które równania. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że najczęściej układ równań nazywany jest po prostu „układem równań”, a wyjaśnienia dodawane są tylko w razie potrzeby.

W szkole średniej, w miarę studiowania materiału, irracjonalne, trygonometryczne, logarytmiczne i równania wykładnicze : , , .

Jeśli przyjrzymy się jeszcze bliżej programowi studiów pierwszego roku, główny nacisk położony zostanie na badanie i rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE), czyli równań, w których lewe strony zawierają wielomiany pierwszego stopnia, a po prawej stronie znajdują się pewne liczby. Ale tam, w przeciwieństwie do szkoły, nie biorą już dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi, ale dowolną liczbę równań z Jakikolwiek numer zmiennych, często niepasujących do liczby równań.

Jakie jest rozwiązanie układu równań?

Termin „rozwiązanie układu równań” odnosi się bezpośrednio do układów równań. W szkole podaje się definicję rozwiązywania układu równań z dwiema zmiennymi :

Definicja.

Rozwiązywanie układu równań z dwiema zmiennymi nazywa się parą wartości tych zmiennych, która zamienia każde równanie układu na prawidłowe, innymi słowy jest rozwiązaniem każdego równania układu.

Na przykład para zmiennych o wartościach x=5, y=2 (można to zapisać jako (5, 2)) jest z definicji rozwiązaniem układu równań, gdyż równania układu przy podstawieniu x= 5, y=2 w nich stają się poprawne równości numeryczne Odpowiednio 5+2=7 i 5−2=3. Ale para wartości x=3, y=0 nie jest rozwiązaniem tego układu, ponieważ podstawiając te wartości do równań, pierwsza z nich zamieni się w niepoprawną równość 3+0=7.

Podobne definicje można sformułować dla układów z jedną zmienną, a także dla układów z trzema, czterema itd. zmienne.

Definicja.

Rozwiązywanie układu równań z jedną zmienną będzie wartość zmiennej będącej pierwiastkiem wszystkich równań układu, czyli zamieniającej wszystkie równania na prawidłowe równości liczbowe.

Podajmy przykład. Rozważmy układ równań z jedną zmienną t postaci . Liczba −2 jest jej rozwiązaniem, ponieważ zarówno (−2) 2 =4, jak i 5·(−2+2)=0 są prawdziwymi równościami liczbowymi. A t=1 nie jest rozwiązaniem układu, gdyż podstawienie tej wartości da dwie błędne równości 1 2 =4 i 5·(1+2)=0.

Definicja.

Rozwiązywanie układu z trzema, czterema itd. zmienne zwane trzema, czterema itd. odpowiednio wartości zmiennych, zamieniając wszystkie równania układu w prawdziwe równości.

Zatem z definicji trójka wartości zmiennych x=1, y=2, z=0 jest rozwiązaniem układu , ponieważ 2,1=2, 5,2=10 i 1+2+0=3 są prawdziwymi równościami liczbowymi. A (1, 0, 5) nie jest rozwiązaniem tego układu, gdyż podstawiając te wartości zmiennych do równań układu, druga z nich zamienia się w niepoprawną równość 5,0=10, a trzecia też 1+0+5=3.

Zauważ, że układy równań mogą nie mieć rozwiązań, a wręcz przeciwnie ostateczny numer rozwiązań, na przykład jeden, dwa, ..., ale może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Zobaczysz to, gdy zagłębisz się w temat.

Biorąc pod uwagę definicje układu równań i ich rozwiązań, możemy stwierdzić, że rozwiązaniem układu równań jest przecięcie zbiorów rozwiązań wszystkich jego równań.

Podsumowując, oto kilka powiązanych definicji:

Definicja.

nie wspólne, jeśli nie ma rozwiązań, w W przeciwnym razie system się nazywa wspólny.

Definicja.

Układ równań nazywa się niepewny, jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań, i niektórzy, jeśli ma skończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.

Terminy te wprowadzane są na przykład w podręczniku, ale w szkole używane są dość rzadko, częściej słyszy się je na uczelniach wyższych.

Bibliografia.

  1. Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  2. Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Mordkovich A. G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
  4. Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
  5. Mordkovich A. G. Algebra i początki Analiza matematyczna. Klasa 11. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących ( poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
  6. Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
  7. A. G. Kurosh. Wyższy kurs algebry.
  8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometria analityczna: Podręcznik: Dla uniwersytetów. – wyd. 5. – M.: Nauka. Fizmatlit, 1999. – 224 s. - (Dobrze wyższa matematyka i mata. fizyka). – ISBN 5-02-015234 – X (wydanie 3)

Rozważmy najpierw przypadek, gdy liczba równań jest równa liczbie zmiennych, czyli: m = rz. Wówczas macierz układu jest kwadratowa, a jej wyznacznik nazywa się wyznacznikiem układu.

Metoda macierzy odwrotnej

Rozważmy ogólnie układ równań AX = B z niezdegenerowanym macierz kwadratowa A. W tym przypadku tak odwrotna macierz A-1. Pomnóżmy obie strony przez A -1 po lewej stronie. Otrzymujemy A -1 AX = A -1 B. Stąd EX = A -1 B i

Ostatnia równość jest wzorem macierzowym służącym do znajdowania rozwiązań takich układów równań. Zastosowanie tego wzoru nazywa się metodą odwrotnej macierzy

Na przykład użyjmy tej metody do rozwiązania następującego układu:

;

Na koniec rozwiązywania układu można to sprawdzić podstawiając znalezione wartości do równań układu. Czyniąc to, muszą przekształcić się w prawdziwą równość.

Dla rozważanego przykładu sprawdźmy:

Metoda rozwiązywania układów równań liniowych z macierzą kwadratową z wykorzystaniem wzorów Cramera

Niech n= 2:

Jeśli pomnożymy obie strony pierwszego równania przez 22, a obie strony drugiego przez (-a 12), a następnie dodamy powstałe równania, to z układu wyeliminujemy zmienną x 2. Podobnie możesz wyeliminować zmienną x 1 (mnożąc obie strony pierwszego równania przez (-a 21), a obie strony drugiego równania przez 11). W rezultacie otrzymujemy układ:

Wyrażenie w nawiasach jest wyznacznikiem układu

Oznaczmy

Wtedy system przyjmie postać:

Z otrzymanego układu wynika, że ​​jeśli wyznacznikiem układu będzie 0, to układ będzie spójny i określony. Jego jedyne rozwiązanie można obliczyć korzystając ze wzorów:

Jeżeli = 0, a 1 0 i/lub  2 0, to równania układu przyjmą postać 0*x 1 = 2 i/lub 0*x 1 = 2. W takim przypadku system będzie niespójny.

W przypadku gdy = 1 = 2 = 0, układ będzie niesprzeczny i nieokreślony (będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań), gdyż będzie miał postać:

Twierdzenie Cramera(dowód pominiemy). Jeżeli wyznacznik macierzy układu równań  nie jest równy zero, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, określone wzorami:

,

gdzie  j jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A poprzez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wolnych wyrazów.

Powyższe formuły nazywane są Formuły Cramera.

Jako przykład wykorzystajmy tę metodę do rozwiązania układu, który został wcześniej rozwiązany metodą odwrotnej macierzy:

Wady rozważanych metod:

1) znaczna pracochłonność (obliczenie wyznaczników i znalezienie macierzy odwrotnej);

2) ograniczony zakres (dla układów z matrycą kwadratową).

Rzeczywiste sytuacje gospodarcze modeluje się często za pomocą układów, w których liczba równań i zmiennych jest dość znaczna, a równań jest więcej niż zmiennych, dlatego w praktyce częściej stosuje się następującą metodę.

Metoda Gaussa (metoda sekwencyjnej eliminacji zmiennych)

Metodę tę stosuje się do rozwiązywania układu m równań liniowych z n zmiennymi w postaci ogólnej. Jego istota polega na zastosowaniu do rozszerzonej macierzy układu równoważnych przekształceń, za pomocą którego układ równań zostaje przekształcony do postaci, w której łatwo jest znaleźć jego rozwiązania (jeśli w ogóle takie istnieją).

To jest ten rodzaj lewicy Górna część Macierz układu będzie macierzą schodkową. Osiąga się to przy użyciu tych samych technik, które zastosowano do uzyskania macierzy stopniowej w celu określenia rangi. W tym przypadku do rozszerzonej macierzy stosuje się elementarne przekształcenia, które pozwolą otrzymać równoważny układ równań. Następnie rozwinięta macierz przyjmie postać:

Uzyskanie takiej macierzy nazywa się prosty Metoda Gaussa.

Nazywa się znajdowanie wartości zmiennych z odpowiedniego układu równań w odwrotnej kolejności Metoda Gaussa. Rozważmy to.

Należy pamiętać, że ostatnie równania (m – r) przyjmą postać:

Jeśli co najmniej jedna z liczb
nie jest równa zeru, wówczas odpowiadająca jej równość będzie fałszywa i cały system będzie niespójny.

Dlatego dla każdego wspólnego systemu
. W tym przypadku ostatnie równania (m – r) dla dowolnych wartości zmiennych będą tożsamościami 0 = 0 i można je zignorować przy rozwiązywaniu układu (po prostu odrzucić odpowiednie wiersze).

Po tym system będzie wyglądał następująco:

Rozważmy najpierw przypadek, gdy r=n. Wtedy system przyjmie postać:

Z ostatniego równania układu można jednoznacznie znaleźć x r.

Znając x r, możemy z niego jednoznacznie wyrazić x r -1. Następnie z poprzedniego równania, znając x r i x r -1, możemy wyrazić x r -2 itd. aż do x1.

Zatem w tym przypadku system będzie wspólny i zdeterminowany.

Rozważmy teraz przypadek, gdy r podstawowy(główny) i cała reszta - niepodstawowe(nie-rdzeniowy, bezpłatny). Ostatnie równanie układu będzie miało postać:

Z tego równania możemy wyrazić zmienną podstawową x r w kategoriach niepodstawowych:

Przedostatnie równanie będzie wyglądać następująco:

Podstawiając do niego otrzymane wyrażenie zamiast x r, możliwe będzie wyrażenie zmiennej podstawowej x r -1 w kategoriach niepodstawowych. Itp. do zmiennejx 1 . Aby uzyskać rozwiązanie układu, można przyrównać zmienne niepodstawowe do dowolnych wartości, a następnie obliczyć zmienne podstawowe za pomocą otrzymanych wzorów. Zatem w tym przypadku układ będzie spójny i nieokreślony (posiadający nieskończoną liczbę rozwiązań).

Rozwiążmy na przykład układ równań:

Zbiór podstawowych zmiennych nazwiemy podstawa systemy. Dla nich nazwiemy także zbiór kolumn współczynników podstawa(kolumny podstawowe) lub podstawowe drobne macierze systemowe. Wywołane zostanie rozwiązanie układu, w którym wszystkie zmienne niepodstawowe są równe zeru podstawowe rozwiązanie.

W poprzednim przykładzie rozwiązaniem podstawowym będzie (4/5; -17/5; 0; 0) (zmienne x 3 i x 4 (c 1 i c 2) zostaną ustawione na zero, a zmienne podstawowe x 1 i x 2 są przez nie obliczane). Aby dać przykład rozwiązania niepodstawowego, musimy przyrównać x 3 i x 4 (c 1 i c 2) do dowolnych liczb, które nie są jednocześnie zerem, i obliczyć za ich pomocą pozostałe zmienne. Na przykład, gdy c 1 = 1 i c 2 = 0, otrzymujemy rozwiązanie niepodstawowe - (4/5; -12/5; 1; 0). Podstawiając łatwo sprawdzić, czy oba rozwiązania są poprawne.

Jest oczywiste, że w układzie nieokreślonym może istnieć nieskończona liczba rozwiązań niepodstawowych. Ile może być rozwiązań podstawowych? Każdy wiersz przekształconej macierzy musi odpowiadać jednej zmiennej bazowej. Problem zawiera n zmiennych i r linii bazowych. Dlatego liczba wszystkich możliwych zbiorów zmiennych podstawowych nie może przekraczać liczby kombinacji n przez 2. Może być mniej niż , ponieważ nie zawsze da się przekształcić system do takiej postaci, aby ten konkretny zbiór zmiennych był podstawą.

Jaki to rodzaj? Jest to typ, w którym macierz utworzona z kolumn współczynników dla tych zmiennych będzie schodkowa i jednocześnie będzie się składać z r wierszy. Te. rząd macierzy współczynników dla tych zmiennych musi być równy r. Nie może być większa, ponieważ liczba kolumn jest równa. Jeśli okaże się, że jest mniejszy niż r, oznacza to liniową zależność kolumn od zmiennych. Takie kolumny nie mogą stanowić podstawy.

Zastanówmy się, jakie inne podstawowe rozwiązania można znaleźć w omówionym powyżej przykładzie. W tym celu należy rozważyć wszystkie możliwe kombinacje czterech zmiennych, po dwie podstawowe każda. Będą takie kombinacje
, a jeden z nich (x 1 i x 2) został już rozważony.

Weźmy zmienne x 1 i x 3. Znajdźmy dla nich rząd macierzy współczynników:

Ponieważ jest równy dwa, mogą być podstawowe. Przyrównajmy zmienne niepodstawowe x 2 i x 4 do zera: x 2 = x 4 = 0. Wtedy ze wzoru x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 wynika, że ​​x 1 = 4 /5, a ze wzoru x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 wynika, że ​​x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie podstawowe (4/5; 0; 17/5; 0).

Podobnie można otrzymać podstawowe rozwiązania dla podstawowych zmiennych x 1 i x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 i x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 i x 4 – (0; 0; 9; 4).

Zmienne x 2 i x 3 w tym przykładzie nie mogą być traktowane jako podstawowe, ponieważ ranga odpowiedniej macierzy jest równa jeden, tj. mniej niż dwa:

.

Możliwe jest również inne podejście do ustalenia, czy możliwe jest skonstruowanie podstawy na podstawie określonych zmiennych. Rozwiązując przykład, w wyniku przekształcenia macierzy układu do postaci krokowej, przyjęła ona postać:

Wybierając pary zmiennych, możliwe było obliczenie odpowiednich minorów tej macierzy. Łatwo sprawdzić, że dla wszystkich par z wyjątkiem x 2 i x 3 nie są one równe zeru, tj. kolumny są liniowo niezależne. I tylko dla kolumn ze zmiennymi x 2 i x 3
, co wskazuje na ich liniową zależność.

Spójrzmy na inny przykład. Rozwiążmy układ równań

Zatem równanie odpowiadające trzeciemu wierszowi ostatniej macierzy jest sprzeczne - dało błędną równość 0 = -1, zatem układ ten jest niespójny.

Metoda Jordana-Gaussa 3 jest rozwinięciem metody Gaussa. Jej istota polega na tym, że rozszerzoną macierz układu przekształca się do postaci, w której współczynniki zmiennych tworzą macierz jednostkową aż do permutacji wierszy lub kolumn 4 (gdzie r jest rangą macierzy układu).

Rozwiążmy układ tą metodą:

Rozważmy rozszerzoną macierz układu:

W tej macierzy wybieramy element jednostkowy. Na przykład współczynnik x 2 w trzecim ograniczeniu wynosi 5. Zadbajmy o to, aby pozostałe wiersze tej kolumny zawierały zera, tj. Zróbmy kolumnę pojedynczą. W procesie transformacji będziemy to nazywać kolumnadozwalający(wiodący, klucz). Trzecie ograniczenie (trzecie linia) też zadzwonimy dozwalający. Ja element, który znajduje się na przecięciu rozdzielającego wiersza i kolumny (tutaj jest to jedna), jest również nazywany dozwalający.

Pierwsza linia zawiera teraz współczynnik (-1). Aby w jego miejsce otrzymać zero, należy pomnożyć trzecią linię przez (-1) i odjąć wynik od pierwszej linii (tj. po prostu dodać pierwszą linię do trzeciej).

Druga linia zawiera współczynnik 2. Aby w jego miejsce otrzymać zero, należy pomnożyć trzecią linię przez 2 i odjąć wynik od pierwszej linii.

Wynik transformacji będzie wyglądał następująco:

Z macierzy tej wyraźnie widać, że można skreślić jedno z dwóch pierwszych ograniczeń (odpowiednie wiersze są proporcjonalne, czyli równania te wynikają z siebie). Przekreślmy na przykład drugie:

Zatem nowy układ ma dwa równania. Otrzymuje się pojedynczą kolumnę (drugą), a jednostka tutaj pojawia się w drugim rzędzie. Pamiętajmy, że drugie równanie nowego układu będzie odpowiadać zmiennej podstawowej x 2.

Wybierzmy zmienną bazową dla pierwszego wiersza. Może to być dowolna zmienna z wyjątkiem x 3 (ponieważ dla x 3 pierwsze ograniczenie ma współczynnik zerowy, czyli zbiór zmiennych x 2 i x 3 nie może być tutaj podstawowy). Możesz przyjąć pierwszą lub czwartą zmienną.

Wybierzmy x 1. Wtedy elementem rozwiązującym będzie 5, a obie strony równania rozwiązującego będą musiały zostać podzielone przez pięć, aby otrzymać jedynkę w pierwszej kolumnie pierwszego wiersza.

Upewnijmy się, że pozostałe wiersze (tj. drugi wiersz) mają zera w pierwszej kolumnie. Ponieważ teraz druga linia zawiera nie zero, ale 3, musimy od drugiej linii odjąć elementy przekształconej pierwszej linii pomnożone przez 3:

Z otrzymanej macierzy można bezpośrednio wydobyć jedno rozwiązanie podstawowe, przyrównując zmienne niepodstawowe do zera, a podstawowe do wolnych wyrazów w odpowiednich równaniach: (0,8; -3,4; 0; 0). Można także wyprowadzać wzory ogólne wyrażające zmienne podstawowe poprzez zmienne niepodstawowe: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Wzory te opisują cały nieskończony zbiór rozwiązań układu (przyrównując x 3 i x 4 do dowolnych liczb, można obliczyć x 1 i x 2).

Należy zauważyć, że istota przekształceń na każdym etapie metody Jordana-Gaussa była następująca:

1) linia rozdzielczości została podzielona przez element rozdzielczości, aby w jej miejsce otrzymać jednostkę,

2) od wszystkich pozostałych wierszy odjęto przekształcony element rozwiązujący, pomnożono przez element znajdujący się w danym wierszu w kolumnie rozwiązującej, aby zamiast tego elementu otrzymać zero.

Rozważmy ponownie przekształconą rozszerzoną macierz układu:

Z tego zapisu jasno wynika, że ​​rząd macierzy układu A jest równy r.

W toku naszego rozumowania ustaliliśmy, że system będzie współpracował wtedy i tylko wtedy
. Oznacza to, że rozszerzona macierz układu będzie wyglądać następująco:

Odrzucając zerowe wiersze, otrzymujemy, że rząd rozszerzonej macierzy systemu jest również równy r.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Układ równań liniowych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy stopień macierzy układu jest równy rządowi rozszerzonej macierzy tego układu.

Przypomnijmy, że rząd macierzy jest równy maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy. Wynika z tego, że jeśli rząd rozszerzonej macierzy jest mniejszy niż liczba równań, to równania układu są liniowo zależne i jedno lub więcej z nich można wykluczyć z układu (ponieważ są liniowe kombinacja innych). Układ równań będzie liniowo niezależny tylko wtedy, gdy stopień rozszerzonej macierzy będzie równy liczbie równań.

Ponadto dla równoczesnych układów równań liniowych można argumentować, że jeśli rząd macierzy jest równy liczbie zmiennych, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, a jeśli jest mniejszy od liczby zmiennych, to układ jest nieokreślony i ma nieskończenie wiele rozwiązań.

1Załóżmy na przykład, że w macierzy będzie pięć wierszy (oryginalna kolejność wierszy to 12345). Musimy zmienić drugą i piątą linię. Aby druga linia zajęła miejsce piątej i „przesunęła się” w dół, trzykrotnie zmieniamy kolejno sąsiednie linie: drugą i trzecią (13245), drugą i czwartą (13425) oraz drugą i piątą (13452) ). Następnie, aby piąty wiersz zajął miejsce drugiego w oryginalnej macierzy, należy „przesunąć” piąty wiersz w górę tylko o dwie kolejne zmiany: wiersz piąty i czwarty (13542) oraz wiersz piąty i trzeci (15342).

2Liczba kombinacji od n do r nazywają to liczbą wszystkich różnych podzbiorów r-elementowych zbioru n-elementowego (te, które mają różny skład elementów, są uważane za różne zbiory; kolejność wyboru nie jest ważna). Oblicza się go za pomocą wzoru:
. Przypomnijmy sobie znaczenie znaku „!” (silnia):
0!=1.)

3 Ponieważ metoda ta jest bardziej powszechna niż omówiona wcześniej metoda Gaussa i zasadniczo stanowi kombinację kroków do przodu i do tyłu metody Gaussa, czasami nazywa się ją również metodą Gaussa, pomijając pierwszą część nazwy.

4Na przykład
.

5Gdyby w macierzy układu nie było jednostek, to można byłoby np. podzielić obie strony pierwszego równania przez dwa i wtedy pierwszy współczynnik stałby się jednością; lub tym podobne

Bardziej niezawodna niż metoda graficzna omówiona w poprzednim akapicie.

Metoda substytucyjna

Tę metodę stosowaliśmy w 7. klasie do rozwiązywania układów równań liniowych. Algorytm opracowany w 7. klasie całkiem nadaje się do rozwiązywania układów dowolnych dwóch równań (niekoniecznie liniowych) z dwiema zmiennymi x i y (oczywiście zmienne można oznaczyć innymi literami, co nie ma znaczenia). Faktycznie, zastosowaliśmy ten algorytm w poprzednim akapicie, gdy problem liczby dwucyfrowej doprowadził do modelu matematycznego, który jest układem równań. Rozwiązaliśmy powyższy układ równań, stosując metodę podstawienia (patrz przykład 1 z § 4).

Algorytm stosowania metody podstawieniowej przy rozwiązywaniu układu dwóch równań z dwiema zmiennymi x, y.

1. Wyraź y w postaci x z jednego równania układu.
2. Zastąp powstałe wyrażenie zamiast y do innego równania układu.
3. Rozwiąż powstałe równanie dla x.
4. Podstaw kolejno każdy z pierwiastków równania znalezionego w kroku trzecim zamiast x do wyrażeń od y do x uzyskanych w kroku pierwszym.
5. Zapisz odpowiedź w postaci par wartości (x; y), które znaleziono odpowiednio w trzecim i czwartym kroku.


4) Zastąp jedną po drugiej znalezione wartości y wzorem x = 5 - 3. Jeśli następnie
5) Pary (2; 1) i rozwiązania danego układu równań.

Odpowiedź: (2; 1);

Metoda dodawania algebraicznego

Metodę tę, podobnie jak metodę podstawieniową, znacie z zajęć algebry w klasie VII, gdzie stosowano ją do rozwiązywania układów równań liniowych. Przypomnijmy istotę metody na poniższym przykładzie.

Przykład 2. Rozwiązać układ równań


Pomnóżmy wszystkie wyrazy pierwszego równania układu przez 3, a drugie równanie pozostawmy bez zmian:
Odejmij drugie równanie układu od jego pierwszego równania:


W wyniku algebraicznego dodania dwóch równań układu pierwotnego otrzymano równanie prostsze od pierwszego i drugiego równania danego układu. Tym prostszym równaniem mamy prawo zastąpić dowolne równanie danego układu, np. drugie. Wówczas dany układ równań zostanie zastąpiony prostszym układem:


Układ ten można rozwiązać metodą podstawieniową. Z drugiego równania, które znajdujemy, podstawiając to wyrażenie zamiast y do pierwszego równania układu, otrzymujemy


Pozostaje zastąpić znalezione wartości x we ​​wzorze

Jeśli x = 2 to

W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania systemu:

Metoda wprowadzania nowych zmiennych

Na kursie algebry w ósmej klasie zapoznałeś się ze sposobem wprowadzania nowej zmiennej przy rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną. Istota tej metody rozwiązywania układów równań jest taka sama, ale z technicznego punktu widzenia istnieją pewne cechy, które omówimy w poniższych przykładach.

Przykład 3. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy nową zmienną.Wtedy pierwsze równanie układu można zapisać w prostszej postaci: Rozwiążmy to równanie ze względu na zmienną t:


Obie te wartości spełniają warunek i dlatego są pierwiastkami równania wymiernego o zmiennej t. Ale to oznacza albo miejsce, w którym stwierdzamy, że x = 2y, albo
Tym samym, stosując metodę wprowadzenia nowej zmiennej, udało nam się „rozwarstwić” pierwsze równanie układu, z pozoru dość złożonego, na dwa prostsze równania:

x = 2 lata; y - 2x.

Co dalej? I wtedy każde z dwóch otrzymanych prostych równań należy po kolei rozpatrzyć w układzie z równaniem x 2 - y 2 = 3, o którym jeszcze nie pamiętaliśmy. Inaczej mówiąc, problem sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań:

Musimy znaleźć rozwiązania dla pierwszego układu, drugiego układu i uwzględnić w odpowiedzi wszystkie powstałe pary wartości. Rozwiążmy pierwszy układ równań:

Skorzystajmy z metody podstawieniowej, zwłaszcza, że ​​tutaj wszystko jest na to gotowe: podstawmy wyrażenie 2y zamiast x do drugiego równania układu. Dostajemy


Ponieważ x = 2y, znajdujemy odpowiednio x 1 = 2, x 2 = 2. Otrzymujemy zatem dwa rozwiązania danego układu: (2; 1) i (-2; -1). Rozwiążmy drugi układ równań:

Zastosujmy ponownie metodę podstawienia: wstawmy wyrażenie 2x zamiast y do drugiego równania układu. Dostajemy


Równanie to nie ma pierwiastków, co oznacza, że ​​układ równań nie ma rozwiązań. Zatem w odpowiedzi należy uwzględnić jedynie rozwiązania pierwszego układu.

Odpowiedź: (2; 1); (-2;-1).

Metodę wprowadzania nowych zmiennych przy rozwiązywaniu układów dwóch równań z dwiema zmiennymi zastosowano w dwóch wersjach. Opcja pierwsza: wprowadza się jedną nową zmienną i wykorzystuje się ją tylko w jednym równaniu układu. Dokładnie tak się stało w przykładzie 3. Opcja druga: wprowadza się dwie nowe zmienne i wykorzystuje je jednocześnie w obu równaniach układu. Będzie tak w przykładzie 4.

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy dwie nowe zmienne:

Weźmy to w takim razie pod uwagę

Umożliwi to przepisanie danego układu w znacznie prostszej formie, ale z uwzględnieniem nowych zmiennych aib:


Ponieważ a = 1, to z równania a + 6 = 2 znajdujemy: 1 + 6 = 2; 6=1. Zatem w odniesieniu do zmiennych a i b otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

Wracając do zmiennych x i y, otrzymujemy układ równań


Zastosujmy metodę dodawania algebraicznego do rozwiązania tego układu:


Od tego momentu z równania 2x + y = 3 znajdujemy:
Zatem w odniesieniu do zmiennych x i y otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:


Zakończmy ten akapit krótką, ale dość poważną rozmową teoretyczną. Zdobyłeś już pewne doświadczenie w rozwiązywaniu różnych równań: liniowych, kwadratowych, wymiernych, niewymiernych. Wiesz, że główną ideą rozwiązywania równania jest stopniowe przechodzenie od jednego równania do drugiego, prostszego, ale równoważnego danemu. W poprzednim akapicie wprowadziliśmy pojęcie równoważności równań z dwiema zmiennymi. Pojęcie to jest również stosowane w przypadku układów równań.

Definicja.

Dwa układy równań ze zmiennymi x i y nazywamy równoważnymi, jeśli mają takie same rozwiązania lub oba układy nie mają rozwiązań.

Wszystkie trzy metody (podstawianie, dodawanie algebraiczne i wprowadzanie nowych zmiennych), które omówiliśmy w tej sekcji, są całkowicie poprawne z punktu widzenia równoważności. Innymi słowy, stosując te metody, zastępujemy jeden układ równań innym, prostszym, ale równoważnym układowi pierwotnemu.

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań

Nauczyliśmy się już rozwiązywać układy równań w tak powszechny i ​​niezawodny sposób, jak metoda podstawienia, dodawania algebraicznego i wprowadzanie nowych zmiennych. Przypomnijmy sobie teraz metodę, której nauczyłeś się już na poprzedniej lekcji. Oznacza to, że powtórzmy to, co wiesz o graficznej metodzie rozwiązywania.

Metoda graficznego rozwiązywania układów równań polega na skonstruowaniu wykresu dla każdego z konkretnych równań wchodzących w skład danego układu i znajdujących się w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a także tam, gdzie konieczne jest znalezienie przecięć punktów tych równań wykresy. Do rozwiązania tego układu równań służą współrzędne tego punktu (x; y).

Należy pamiętać, że graficzny układ równań często ma jedno poprawne rozwiązanie, nieskończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.

Przyjrzyjmy się teraz każdemu z tych rozwiązań bardziej szczegółowo. Zatem układ równań może mieć unikalne rozwiązanie, jeśli linie będące wykresami równań układu przecinają się. Jeśli te linie są równoległe, to taki układ równań nie ma absolutnie żadnych rozwiązań. Jeżeli bezpośrednie wykresy równań układu pokrywają się, to taki układ pozwala na znalezienie wielu rozwiązań.

Cóż, teraz spójrzmy na algorytm rozwiązywania układu dwóch równań z 2 niewiadomymi metodą graficzną:

Najpierw budujemy wykres pierwszego równania;
Drugim krokiem będzie skonstruowanie wykresu powiązanego z drugim równaniem;
Po trzecie, musimy znaleźć punkty przecięcia wykresów.
W rezultacie otrzymujemy współrzędne każdego punktu przecięcia, który będzie rozwiązaniem układu równań.

Przyjrzyjmy się tej metodzie bardziej szczegółowo na przykładzie. Mamy układ równań, który należy rozwiązać:


Rozwiązywanie równań

1. Najpierw zbudujemy wykres tego równania: x2+y2=9.

Należy jednak zauważyć, że ten wykres równań będzie kołem ze środkiem w początku, a jego promień będzie równy trzy.

2. Następnym krokiem będzie narysowanie równania typu: y = x – 3.

W tym przypadku musimy skonstruować linię prostą i znaleźć punkty (0;−3) i (3;0).


3. Zobaczmy, co mamy. Widzimy, że linia prosta przecina okrąg w dwóch punktach A i B.

Teraz szukamy współrzędnych tych punktów. Widzimy, że współrzędne (3;0) odpowiadają punktowi A, a współrzędne (0;−3) odpowiadają punktowi B.

I co w efekcie otrzymamy?

Liczby (3;0) i (0;−3) otrzymane, gdy prosta przecina okrąg, są dokładnie rozwiązaniami obu równań układu. Z tego wynika, że ​​liczby te są również rozwiązaniami tego układu równań.

Oznacza to, że odpowiedzią na to rozwiązanie są liczby: (3;0) i (0;−3).