Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania złożone wyrażenia, w rozwiązywaniu równań i nierówności.
Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:
Operacje na stopniach.
1. Mnożenie potęg c ta sama podstawa ich wskaźniki sumują się:
jestem·a n = za m + n .
2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:
3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:
(abc…) n = za n · b n · do n …
4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:
(a/b) n = za n /b n .
5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:
(a m) n = za m n .
Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.
Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacje z korzeniami.
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:
2. Korzenie postawy równy stosunkowi dywidenda i dzielnik pierwiastków:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:
4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku innym niż dodatni (całkowity) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym całkowita wartość wskaźnik niepozytywny:
Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.
Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.
Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby, nie równy zeru, z wykładnikiem zerowym równa się jeden.
Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.
1. Korzeń mocy produktu nie jest liczby ujemne równy produktowi pierwiastki tego samego stopnia z czynników: gdzie (zasada wyodrębniania pierwiastka z produktu).
2. Jeśli , to y (zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka).
3. Jeśli wtedy (zasada wyodrębniania korzenia z korzenia).
4. Jeśli to reguła podnoszenia pierwiastka do potęgi).
5. Jeśli wtedy gdzie, tj. wykładnik pierwiastka i wykładnik wyrażenia radykalnego można pomnożyć przez tę samą liczbę.
6. Jeśli wtedy 0, tj. odpowiada większemu dodatniemu wyrażeniu radykalnemu i wyższa wartośćźródło
7. Wszystkie powyższe formuły są często używane Odwrotna kolejność(tj. od prawej do lewej). Na przykład,
(zasada mnożenia pierwiastków);
(zasada podziału pierwiastka);
8. Zasada usuwania mnożnika spod pierwiastka. Na
9. Problem odwrotny- wprowadzenie mnożnika pod znakiem pierwiastka. Na przykład,
10. Eliminacja irracjonalności w mianowniku ułamka.
Spójrzmy na kilka typowych przypadków.
Na przykład,
11. Zastosowanie skróconych tożsamości mnożenia do operacji na pierwiastkach arytmetycznych:
12. Czynnik znajdujący się przed pierwiastkiem nazywany jest jego współczynnikiem. Na przykład tutaj 3 jest współczynnikiem.
13. Pierwiastki (rodniki) nazywane są podobnymi, jeśli mają te same indeksy pierwiastkowe i te same wyrażenia radykalne, a różnią się jedynie współczynnikiem. Aby ocenić, czy te pierwiastki (rodniki) są podobne, czy nie, należy je zredukować do najprostszej postaci.
Na przykład i są podobne, ponieważ
ĆWICZENIA Z ROZWIĄZANIAMI
1. Uprość wyrażenia:
Rozwiązanie. 1) Nie ma sensu mnożyć wyrażenia radykalnego, ponieważ każdy z czynników reprezentuje kwadrat liczby całkowitej. Użyjmy reguły wyodrębniania korzenia produktu:
W przyszłości będziemy dokonywać takich czynności ustnie.
2) Spróbujmy, jeśli to możliwe, przedstawić wyrażenie radykalne jako iloczyn czynników, z których każdy jest sześcianem liczby całkowitej, i zastosujmy regułę dotyczącą pierwiastka iloczynu:
2. Znajdź wartość wyrażenia:
Rozwiązanie. 1) Zgodnie z zasadą wyodrębniania pierwiastka ułamka mamy:
3) Przekształć wyrażenia radykalne i wyodrębnij pierwiastek:
3. Uprość kiedy
Rozwiązanie. Podczas wyodrębniania korzenia z korzenia wskaźniki korzeni są mnożone, ale radykalna ekspresja pozostaje niezmieniona
Jeżeli przed pierwiastkiem znajdującym się pod pierwiastkiem znajduje się współczynnik, to przed wykonaniem operacji wyodrębnienia pierwiastka należy wprowadzić ten współczynnik pod znakiem pierwiastka, przed którym się on pojawia.
Bazując na powyższych regułach wyodrębnijmy dwa ostatnie pierwiastki:
4. Podnieś do potęgi:
Rozwiązanie. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wykładnik pierwiastka pozostaje niezmieniony, a wykładniki wyrażenia radykalnego są mnożone przez wykładnik.
(w takim razie skoro jest zdefiniowany);
Jeśli dany korzeń ma współczynnik, wówczas współczynnik ten podnosi się oddzielnie do potęgi i wynik zapisuje się jako współczynnik pierwiastka.
Tutaj zastosowaliśmy zasadę, że wskaźnik pierwiastka i wskaźnik wyrażenia pierwiastkowego można pomnożyć przez tę samą liczbę (mnożyliśmy przez, czyli dzieliliśmy przez 2).
Na przykład lub
4) Wyrażenie w nawiasach, przedstawiające sumę dwóch różnych rodników, jest sześcienne i uproszczone:
Ponieważ mamy:
5. Wyeliminuj irracjonalność w mianowniku:
Rozwiązanie. Aby wyeliminować (zniszczyć) irracjonalność w mianowniku ułamka, musisz znaleźć najprostsze wyrażenie, które w iloczynie z mianownikiem daje racjonalna ekspresja i pomnóż licznik i mianownik tego ułamka przez znaleziony współczynnik.
Na przykład, jeśli mianownik ułamka zawiera dwumian, wówczas licznik i mianownik ułamka należy pomnożyć przez sprzężenie wyrażenia do mianownika, to znaczy sumę należy pomnożyć przez odpowiednią różnicę i odwrotnie.
W więcej trudne przypadki Niszczą irracjonalność nie od razu, ale w kilku etapach.
1) Wyrażenie musi zawierać
Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez otrzymamy:
2) Mnożąc licznik i mianownik ułamka przez częściowy kwadrat sumy, otrzymujemy:
3) Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika:
Decydowanie ten przykład, musimy pamiętać, że każdy ułamek ma znaczenie, to znaczy mianownik każdego ułamka jest różny od zera. Oprócz,
Podczas konwersji wyrażeń zawierających pierwiastki często popełniane są błędy. Są one spowodowane niemożnością prawidłowego zastosowania pojęcia (definicji) pierwiastek arytmetyczny i wartość bezwzględna.
Reguły mnożenia pierwiastków
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo”. »
A dla tych, którzy „bardzo. ")
Na poprzedniej lekcji dowiedzieliśmy się, czym jest pierwiastek kwadratowy. Czas dowiedzieć się, które z nich istnieją receptury na korzenie czym są właściwości korzeni i co można z tym wszystkim zrobić.
Wzory pierwiastków, właściwości pierwiastków i zasady pracy z pierwiastkami- to w zasadzie to samo. Formuły dla pierwiastki kwadratowe zaskakująco mało. Co z pewnością mnie cieszy! A raczej możesz napisać wiele różnych formuł, ale do praktycznej i pewnej pracy z korzeniami wystarczą tylko trzy. Wszystko inne wypływa z tych trzech. Chociaż wiele osób myli trzy formuły rdzenia, tak.
Zacznijmy od najprostszego. Tutaj jest:
Przypomnę (z poprzedniej lekcji): a i b są liczbami nieujemnymi! Inaczej formuła nie ma sensu.
Ten właściwość korzeni jak widać jest prosty, krótki i nieszkodliwy. Ale jest tak wiele wspaniałych rzeczy, które możesz zrobić dzięki tej formule korzenia! Spójrzmy na przykłady wszystkie te przydatne rzeczy.
Pierwsza przydatna rzecz. Ta formuła nam na to pozwala mnożyć korzenie.
Jak pomnożyć korzenie?
Tak, bardzo proste. Prosto do formuły. Na przykład:
Wydawałoby się, że to pomnożyli, i co z tego? Czy jest dużo radości?! Zgadzam się, trochę. Jak ci się to podoba przykład?
Korzenie nie są dokładnie wyodrębniane z czynników. A wynik jest doskonały! Tak jest lepiej, prawda? Na wszelki wypadek powiem Ci, że mnożników może być tyle, ile chcesz. Wzór na mnożenie pierwiastków nadal działa. Na przykład:
Tak więc przy mnożeniu wszystko jest jasne, dlaczego jest to konieczne? właściwość korzeni- również zrozumiałe.
Druga przydatna rzecz. Wprowadzanie liczby pod znakiem głównym.
Jak wpisać liczbę pod pierwiastkiem?
Załóżmy, że mamy takie wyrażenie:
Czy można ukryć dwójkę w korzeniu? Łatwo! Jeśli utworzysz pierwiastek z dwóch, wzór na mnożenie pierwiastków będzie działać. Jak zrobić korzeń z dwóch? Tak, też nie mam pytań! Dwa jest pierwiastek kwadratowy z czterech!
Nawiasem mówiąc, pierwiastek można utworzyć z dowolnej liczby nieujemnej! Będzie to pierwiastek kwadratowy z kwadratu tej liczby. 3 to pierwiastek z 9. 8 to pierwiastek z 64. 11 to pierwiastek ze 121. No cóż, i tak dalej.
Oczywiście nie ma potrzeby opisywać tak szczegółowo. Cóż, na początek. Wystarczy zdać sobie sprawę, że jakikolwiek liczba nieujemna, pomnożone przez pierwiastek, można wpisać pod pierwiastkiem. Ale - nie zapomnij! - pod korzeniem ta liczba stanie się kwadrat się. Tę czynność - wprowadzenie liczby pod pierwiastek - można również nazwać pomnożeniem liczby przez pierwiastek. W ogólna perspektywa można zapisać:
Jak widać, procedura jest prosta. Dlaczego jest to potrzebne?
Jak każda transformacja, ten zabieg poszerza nasze możliwości. Możliwość zamiany okrutnego i niewygodnego wyrazu twarzy na miękki i puszysty). Oto prosty sposób dla Ciebie przykład:
Jak widzisz, właściwość korzeni, co pozwala na wprowadzenie mnożnika pod znakiem pierwiastka, jest całkiem odpowiednie dla uproszczenia.
Ponadto dodanie mnożnika do pierwiastka ułatwia i upraszcza porównywanie wartości różne korzenie. Bez żadnych obliczeń i kalkulatora! Trzecia przydatna rzecz.
Jak porównać korzenie?
Ta umiejętność jest bardzo ważna w poważnych zadaniach, podczas odkrywania modułów i innych fajnych rzeczy.
Porównaj te wyrażenia. Który jest większy? Bez kalkulatora! Każdy z kalkulatorem. uch-uch. Krótko mówiąc, każdy może to zrobić!)
Nie możesz tego powiedzieć od razu. Co się stanie, jeśli wpiszesz liczby pod znakiem głównym?
Przypomnijmy (a co by było, gdybyś nie wiedział?): jeśli liczba pod pierwiastkiem jest większa, to sam pierwiastek jest większy! Stąd poprawna odpowiedź od razu, bez żadnej złożone obliczenia i obliczenia:
Świetnie, prawda? Ale to nie wszystko! Pamiętaj, że wszystkie formuły działają zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Do tej pory korzystaliśmy ze wzoru na mnożenie pierwiastków od lewej do prawej. Przeprowadźmy tę właściwość pierwiastków w odwrotnej kolejności, od prawej do lewej. Lubię to:
A jaka jest różnica? Czy to coś daje? Z pewnością! Teraz przekonasz się sam.
Załóżmy, że musimy wyodrębnić (bez kalkulatora!) pierwiastek kwadratowy z liczby 6561. Część osób na tym etapie wpadnie w nierówną walkę z zadaniem. Ale my jesteśmy wytrwali, nie poddajemy się! Czwarta przydatna rzecz.
Jak wyodrębnić pierwiastki z dużych liczb?
Przypomnijmy sobie wzór na wydobycie korzeni z produktu. Ten, który napisałem tuż powyżej. Ale gdzie jest nasza praca!? Mamy ogromną liczbę 6561 i tyle. Tak, tej pracy tu nie ma. Ale jeśli będziemy tego potrzebować, zrobimy to Zróbmy to! Rozważmy tę liczbę. Mamy prawo.
Najpierw zastanówmy się, przez co dokładnie ta liczba jest podzielna? Co, nie wiesz!? Czy zapomniałeś o znakach podzielności!? Na próżno. Przejdź do sekcji specjalnej 555, temat „Ułamki”, tam są. Liczba ta jest podzielna przez 3 i 9. Ponieważ suma liczb (6+5+6+1=18) jest dzielona przez te liczby. Jest to jeden ze znaków podzielności. Nie musimy dzielić przez trzy (teraz zrozumiesz dlaczego), ale podzielimy przez 9. Przynajmniej w kącie. Otrzymujemy 729. Zatem znaleźliśmy dwa czynniki! Pierwsza to dziewięć (sami ją wybraliśmy), a druga to 729 (tak wyszło). Możesz już napisać:
Czy rozumiesz pomysł? To samo zrobimy z liczbą 729. Jest także podzielna przez 3 i 9. Nie dzielimy już przez 3, dzielimy przez 9. Otrzymujemy 81. I znamy tę liczbę! Zapisujemy:
Wszystko wyszło łatwo i elegancko! Korzeń trzeba było wyrywać kawałek po kawałku, ale cóż. Możesz to zrobić z każdym duże liczby. Pomnóż je i działaj!
Swoją drogą, dlaczego nie musiałeś podzielić przez 3? Zgadłeś? Tak, ponieważ pierwiastka z trzech nie można dokładnie wyodrębnić! Sensowne jest uwzględnienie tego w takich czynnikach, aby korzeń mógł zostać dobrze wydobyty z co najmniej jednego. Są to 4, 9, 16 studni i tak dalej. Podziel swoją ogromną liczbę przez te liczby, jeden po drugim, a będziesz miał szczęście!
Ale niekoniecznie. Możesz nie mieć szczęścia. Załóżmy, że liczba 432 po rozłożeniu na czynniki i zastosowaniu wzoru na pierwiastek iloczynu da następujący wynik:
Cóż, OK. W każdym razie uprościliśmy wyrażenie. W matematyce zwyczajowo zostawia się najwięcej mały numer z możliwych. W procesie rozwiązywania wszystko zależy od przykładu (być może wszystko da się skrócić bez uproszczeń), ale w odpowiedzi trzeba podać wynik, którego nie da się już bardziej uprościć.
Swoją drogą, wiesz co zrobiliśmy z rootem 432?
My usunąłem czynniki spod znaku głównego ! Tak nazywa się ta operacja. W przeciwnym razie otrzymasz zadanie - „ usuń czynnik spod znaku pierwiastka„Ale mężczyźni nawet nie wiedzą.) Oto kolejna aplikacja dla Ciebie właściwości korzeni. Przydatna rzecz piąta.
Jak usunąć mnożnik spod korzenia?
Łatwo. Uwzględnij radykalną ekspresję i wyodrębnij wyekstrahowane korzenie. Spójrzmy:
Nic nadprzyrodzonego. Ważne jest, aby wybrać odpowiednie mnożniki. Tutaj rozwinęliśmy 72 do 36,2. I wszystko skończyło się dobrze. Mogli też rozszerzyć to inaczej: 72 = 6,12. I co!? Pierwiastka nie można wyodrębnić ani z liczby 6, ani z 12. Co robić?!
W porządku. Albo poszukaj innych opcji rozkładu, albo kontynuuj rozkład wszystkiego, aż się zatrzyma! Lubię to:
Jak widać, wszystko się udało. Nawiasem mówiąc, nie jest to najszybsze, ale najbardziej niezawodny sposób. Podziel liczbę na najmniejsze czynniki, a następnie zbierz te same w stosy. Metodę tę z powodzeniem stosuje się również przy mnożeniu niewygodnych pierwiastków. Na przykład musisz obliczyć:
Pomnóż wszystko - otrzymasz szaloną liczbę! A potem jak wyodrębnić z niego korzeń?! Znowu faktoring? Nie, nie potrzebujemy dodatkowej pracy. Od razu rozkładamy to na czynniki i zbieramy te same w grupy:
To wszystko. Oczywiście nie jest konieczne rozszerzanie go do końca. Wszystko zależy od twoich osobistych umiejętności. Doprowadziliśmy przykład do punktu, w którym wszystko jest dla ciebie jasne Oznacza to, że możemy już liczyć. Najważniejsze to nie popełniać błędów. Nie człowiek dla matematyki, ale matematyka dla człowieka!)
Zastosujmy wiedzę w praktyce? Zacznijmy od czegoś prostego:
STOPIEŃ Z RACJONALNYM WSKAŹNIKIEM,
FUNKCJA MOCY IV
§ 82. Mnożenie i dzielenie pierwiastków
1. Mnożenie pierwiastków. W § 79 obowiązuje zasada mnożenia pierwiastków przez identyczny wskaźniki:
Aby pomnożyć pierwiastki przez różne wskaźniki, najpierw trzeba je doprowadzić ogólny wskaźnik, a następnie pomnóż jako pierwiastki przez te same wskaźniki.
Niech na przykład trzeba pomnożyć N √ A NA M √ B . Korzystając z Twierdzenia 3 z §80, możemy napisać:
Na przykład √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3
Jako ogólny wskaźnik korzeni N √ A NA M √ B Najwygodniej jest wybrać najmniejszą wspólną wielokrotność liczb N I M . Na przykład, jeśli chcesz pomnożyć 4 √ 2 przez 6 √ 32, wygodnie jest wybrać liczbę 12, która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6, jako wspólny wskaźnik tych pierwiastków.
Twierdzenie 3 § 80 daje: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.
4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2
2. Podział korzeni. W § 79 uzyskano zasadę dzielenia pierwiastków o tych samych wykładnikach:
Aby oddzielić pierwiastki o różnych wskaźnikach, należy je najpierw doprowadzić do wspólnego wskaźnika, a następnie podzielić jako pierwiastki o tych samych wskaźnikach.
oldskola1.narod.ru
Mnożenie pierwiastków: podstawowe zasady
Pozdrawiam, koty! W ostatni raz Omówiliśmy szczegółowo, czym są korzenie (jeśli nie pamiętasz, polecam przeczytać). Główny wniosek z tej lekcji: jest tylko jeden uniwersalna definicja korzenie, o czym musisz wiedzieć. Reszta to bzdury i strata czasu.
Dziś idziemy dalej. Nauczymy się mnożyć pierwiastki, przestudiujemy pewne problemy związane z mnożeniem (jeśli te problemy nie zostaną rozwiązane, mogą okazać się fatalne na egzaminie) i będziemy odpowiednio ćwiczyć. Zatem zaopatrzcie się w popcorn, rozgośćcie się - i zaczynamy. :)
Ty też jeszcze tego nie paliłeś, prawda?
Lekcja okazała się dość długa, dlatego podzieliłem ją na dwie części:
Tych, którzy nie mogą się doczekać, aby przejść od razu do drugiej części, zapraszamy. Zacznijmy od reszty w kolejności.
Podstawowa zasada mnożenia
Zacznijmy od najprostszej rzeczy - klasycznych pierwiastków kwadratowych. Te same, które są oznaczone $\sqrt$ i $\sqrt $. Wszystko jest dla nich oczywiste:
Reguła mnożenia. Aby pomnożyć pierwiastek kwadratowy przez drugi, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne i wynik zapisać pod wspólnym pierwiastkiem:
Na liczby po prawej lub lewej stronie nie są nakładane żadne dodatkowe ograniczenia: jeśli istnieją czynniki pierwotne, to iloczyn również istnieje.
Przykłady. Przyjrzyjmy się jednocześnie czterem przykładom z liczbami:
Jak widać, głównym znaczeniem tej reguły jest uproszczenie wyrażeń irracjonalnych. A jeśli w pierwszym przykładzie sami wyodrębnilibyśmy pierwiastki z 25 i 4 bez żadnych nowych reguł, sytuacja staje się trudna: $\sqrt $ i $\sqrt $ nie są brane pod uwagę same w sobie, ale ich iloczyn okazuje się być idealnym kwadratem, więc jego pierwiastek jest równy liczbie wymiernej.
Szczególnie chciałbym podkreślić ostatnią linijkę. Tam oba radykalne wyrażenia są ułamkami. Dzięki produktowi wiele czynników zostaje anulowanych, a całe wyrażenie zamienia się w odpowiednią liczbę.
Oczywiście nie zawsze będzie tak pięknie. Czasami pod korzeniami będzie kompletna bzdura - nie wiadomo, co z tym zrobić i jak przekształcić po pomnożeniu. Nieco później, kiedy zaczniesz się uczyć irracjonalne równania i nierówności, ogólnie będzie istniało całe mnóstwo zmiennych i funkcji. Bardzo często autorzy problemów liczą na to, że odkryją pewne terminy lub czynniki anulujące, po czym problem zostanie wielokrotnie uproszczony.
Ponadto wcale nie jest konieczne mnożenie dokładnie dwóch pierwiastków. Możesz pomnożyć trzy, cztery, a nawet dziesięć na raz! Nie zmieni to zasady. Spójrz:
I znowu mała uwaga do drugiego przykładu. Jak widać, w trzecim czynniku pod pierwiastkiem znajduje się ułamek dziesiętny - w procesie obliczeń zastępujemy go zwykłym, po czym wszystko można łatwo zmniejszyć. A więc: Gorąco polecam pozbycie się ułamków dziesiętnych w dowolnym irracjonalne wyrażenia(tj. zawierający co najmniej jeden symbol rodnikowy). Zaoszczędzi to mnóstwo czasu i nerwów w przyszłości.
Ale to było dygresja liryczna. Teraz spójrzmy na więcej przypadek ogólny- gdy wskaźnik główny jest dowolna liczba$n$, a nie tylko „klasyczne” dwa.
Przypadek dowolnego wskaźnika
Więc uporządkowaliśmy pierwiastki kwadratowe. Co zrobić z sześciennymi? Lub nawet z pierwiastkami dowolnego stopnia $n$? Tak, wszystko jest takie samo. Zasada pozostaje ta sama:
Aby pomnożyć dwa pierwiastki stopnia $n$, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne, a następnie zapisać wynik pod jednym pierwiastkiem.
Generalnie nic skomplikowanego. Tyle że ilość obliczeń może być większa. Spójrzmy na kilka przykładów:
Przykłady. Oblicz produkty:
I znowu uwaga na drugie wyrażenie. Mnożymy się korzenie sześcienne, pozbyć się dziesiętny i w rezultacie otrzymujemy w mianowniku iloczyn liczb 625 i 25. Jest to dość duża liczba- Osobiście nie jestem w stanie od razu obliczyć, ile to jest.
Więc po prostu wyodrębniliśmy dokładną kostkę w liczniku i mianowniku, a następnie użyliśmy jednej z kluczowych właściwości (lub, jeśli wolisz, definicji) pierwiastka $n$tego:
Takie „machinacje” mogą zaoszczędzić dużo czasu na egzaminie lub praca testowa, więc pamiętaj:
Nie spiesz się z mnożeniem liczb za pomocą wyrażeń radykalnych. Najpierw sprawdź: co jeśli dokładny stopień dowolnego wyrażenia jest tam „zaszyfrowany”?
Pomimo oczywistości tej uwagi, muszę przyznać, że większość nieprzygotowanych studentów nie widzi dokładnych stopni naukowych z bliska. Zamiast tego mnożą wszystko wprost, a potem zastanawiają się: dlaczego dostali takie brutalne liczby? :)
Jednak to wszystko dziecięca rozmowa w porównaniu z tym, co będziemy teraz studiować.
Mnożenie pierwiastków z różnymi wykładnikami
OK, teraz możemy pomnożyć pierwiastki za pomocą tych samych wskaźników. A co jeśli wskaźniki będą inne? Powiedzmy, jak pomnożyć zwykłe $\sqrt $ przez jakieś bzdury, takie jak $\sqrt $? Czy w ogóle można to zrobić?
Tak oczywiście możesz. Wszystko odbywa się według tej formuły:
Jednak ta formuła działa tylko wtedy, gdy wyrażenia radykalne są nieujemne. To bardzo ważna uwaga, do której powrócimy nieco później.
Na razie spójrzmy na kilka przykładów:
Jak widać nic skomplikowanego. Teraz zastanówmy się, skąd wziął się wymóg nieujemności i co się stanie, jeśli go naruszymy. :)
Mnożenie pierwiastków jest łatwe
Dlaczego wyrażenia radykalne muszą być nieujemne?
Oczywiście, że możesz być podobny nauczyciele szkolni i mądrze zacytuj podręcznik:
Wymóg nieujemności jest powiązany z różne definicje pierwiastki stopni parzystych i nieparzystych (w związku z tym ich dziedziny definicji również są różne).
Czy stało się jaśniejsze? Osobiście, kiedy czytałem te bzdury w 8 klasie, zrozumiałem coś takiego: „Wymóg nienegatywności wiąże się z *#&^@(*#@^#)
%” - krótko mówiąc, wtedy nic nie zrozumiałem. :)
Więc teraz wyjaśnię wszystko w normalny sposób.
Najpierw dowiedzmy się, skąd pochodzi powyższy wzór na mnożenie. Aby to zrobić, przypomnę Ci jedną rzecz ważna własnośćźródło:
Innymi słowy, możemy łatwo podnieść radykalne wyrażenie do dowolnego stopień naturalny$k$ - w tym przypadku wykładnik pierwiastkowy trzeba będzie pomnożyć przez tę samą potęgę. Dlatego możemy łatwo sprowadzić dowolne pierwiastki do wspólnego wykładnika, a następnie je pomnożyć. Stąd pochodzi wzór na mnożenie:
Ale jest jeden problem, który ostro ogranicza użycie wszystkich tych formuł. Rozważ tę liczbę:
Zgodnie z podanym wzorem możemy dodać dowolny stopień. Spróbujmy dodać $k=2$:
Usunęliśmy minus właśnie dlatego, że kwadrat spala minus (jak każdy inny parzysty stopień). Teraz zróbmy to konwersja odwrotna: „zmniejsz” dwa w wykładniku i potędze. Przecież każdą równość można czytać zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej:
Ale potem okazuje się, że to jakiś badziew:
To nie może się zdarzyć, ponieważ $\sqrt \lt 0$ i $\sqrt \gt 0$. Oznacza to, że dla potęg parzystych i liczb ujemnych nasz wzór już nie działa. Po czym mamy dwie możliwości:
- Uderzyć w ścianę i stwierdzić, że matematyka jest nauką głupią, w której „są pewne zasady, ale są one nieprecyzyjne”;
- Wchodzić dodatkowe ograniczenia, przy którym formuła sprawdzi się w 100%.
- Usuń wszystkie negatywy z rodników. Minusy istnieją tylko w pierwiastkach o nieparzystej wielokrotności - można je umieścić przed pierwiastkiem i, jeśli to konieczne, zmniejszyć (na przykład, jeśli są dwa takie minusy).
- Wykonaj mnożenie według zasad omówionych powyżej na dzisiejszej lekcji. Jeśli wskaźniki pierwiastków są takie same, po prostu mnożymy wyrażenia radykalne. A jeśli są różne, używamy złej formuły \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] =\sqrt>\cdot ^ >>\].
- 3. Ciesz się z wyniku i dobrych ocen. :)
- Pod korzeniem nie konkretny numer lub stopień, a zmienna to $a$. Na pierwszy rzut oka jest to trochę niezwykłe, ale w rzeczywistości przy rozwiązywaniu problemy matematyczne Najczęściej będziesz miał do czynienia ze zmiennymi.
- Ostatecznie udało nam się „zredukować” radykalny wskaźnik i stopień radykalnej ekspresji. Zdarza się to dość często. A to oznacza, że można było znacznie uprościć obliczenia, jeśli nie zastosowano podstawowego wzoru.
- Pozbawienie prawo jazdy za pijaństwo w 2018 r. Jazda w stanie zatrucie alkoholem- jedno z najpoważniejszych naruszeń zasad ruch drogowy. Ustawa z dnia 23 lipca 2013 r. nr 196-FZ […]
W pierwszej opcji będziemy musieli ciągle wyłapywać „niedziałające” przypadki – jest to trudne, czasochłonne i w ogóle ugh. Dlatego matematycy woleli drugą opcję. :)
Ale nie martw się! W praktyce ograniczenie to nie wpływa w żaden sposób na obliczenia, ponieważ wszystkie opisane problemy dotyczą tylko pierwiastków stopnia nieparzystego i można z nich wyciągnąć minusy.
Dlatego sformułujmy jeszcze jedną regułę, która ogólnie dotyczy wszystkich działań z pierwiastkami:
Przed pomnożeniem pierwiastków upewnij się, że wyrażenia pierwiastkowe są nieujemne.
Przykład. W liczbie $\sqrt$ możesz usunąć minus spod znaku głównego - wtedy wszystko będzie normalnie:
Czy czujesz różnicę? Jeśli zostawisz minus pod pierwiastkiem, to gdy radykalne wyrażenie zostanie podniesione do kwadratu, zniknie i zacznie się bzdura. A jeśli najpierw usuniesz minus, możesz podnieść/usunąć kwadrat, aż zrobi się niebieski na twarzy - liczba pozostanie ujemna. :)
Zatem najbardziej poprawny i najbardziej niezawodny sposób pomnożenia korzeni jest następujący:
Dobrze? Będziemy ćwiczyć?
Przykład 1: Uprość wyrażenie:
To najprostsza opcja: pierwiastki są takie same i dziwne, jedynym problemem jest to, że drugi czynnik jest ujemny. Usuwamy ten minus z obrazu, po czym wszystko można łatwo obliczyć.
Przykład 2: Uprość wyrażenie:
Wielu tutaj byłoby zdezorientowanych tym, co wydarzyło się na końcu Liczba niewymierna. Tak, zdarza się: nie mogliśmy całkowicie pozbyć się korzenia, ale przynajmniej znacznie uprościliśmy wyrażenie.
Przykład 3: Uprość wyrażenie:
Chciałbym zwrócić Państwa uwagę na to zadanie. Są tu dwa punkty:
Możesz na przykład zrobić tak:
W rzeczywistości wszystkie transformacje przeprowadzono tylko z drugim rodnikiem. A jeśli nie opiszesz szczegółowo wszystkich etapów pośrednich, ostatecznie ilość obliczeń zostanie znacznie zmniejszona.
W rzeczywistości już się spotkaliśmy podobne zadanie powyżej, rozwiązując przykład $\sqrt \cdot \sqrt $. Teraz można to zapisać znacznie prościej:
Obecność pierwiastków kwadratowych w wyrażeniu komplikuje proces dzielenia, ale istnieją zasady, które znacznie ułatwiają pracę z ułamkami zwykłymi.
Jedyne o czym musisz cały czas pamiętać- wyrażenia radykalne dzielą się na wyrażenia radykalne, a czynniki na czynniki. W procesie dzielenia pierwiastków kwadratowych upraszczamy ułamek. Pamiętaj też, że pierwiastek może znajdować się w mianowniku.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Metoda 1. Dzielenie wyrażeń radykalnych
Algorytm działań:
Napisz ułamek
Jeśli wyrażenie nie jest przedstawione w postaci ułamka zwykłego, należy je zapisać w ten sposób, ponieważ łatwiej jest przestrzegać zasady dzielenia pierwiastków kwadratowych.
Przykład 1
144 ÷ 36, wyrażenie to należy przepisać w następujący sposób: 144 36
Użyj jednego znaku głównego
Jeżeli zarówno licznik, jak i mianownik zawierają pierwiastki kwadratowe, należy zapisać ich wyrażenia radykalne pod tym samym znakiem pierwiastkowym, aby ułatwić rozwiązanie.
Przypominamy, że wyrażenie radykalne (lub liczba) jest wyrażeniem znajdującym się pod znakiem pierwiastka.
Przykład 2
144 36. Wyrażenie to należy zapisać następująco: 144 36
Oddzielne wyrażenia radykalne
Po prostu podziel jedno wyrażenie przez drugie i zapisz wynik pod znakiem pierwiastka.
Przykład 3
144 36 = 4, zapiszmy to wyrażenie w ten sposób: 144 36 = 4
Uprość wyrażenie radykalne (jeśli to konieczne)
Jeśli radykalne wyrażenie lub jeden z czynników jest idealnym kwadratem, uprość wyrażenie.
Przypomnijmy, że idealny kwadrat to liczba będąca kwadratem pewnej liczby całkowitej.
Przykład 4
Liczba 4 jest idealnym kwadratem, ponieważ 2 × 2 = 4. Dlatego:
4 = 2 × 2 = 2. Zatem 144 36 = 4 = 2.
Metoda 2. Rozkład na czynniki wyrażenia radykalnego
Algorytm działań:
Napisz ułamek
Zapisz wyrażenie jako ułamek zwykły (jeśli jest tak przedstawiony). Dzięki temu dzielenie wyrażeń z pierwiastkami kwadratowymi jest znacznie łatwiejsze, zwłaszcza podczas rozkładu na czynniki.
Przykład 5
8 ÷ 36, przepisz to w ten sposób 8 36
Uwzględnij każde z wyrażeń radykalnych
Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem jak każdą inną liczbę całkowitą, zapisz czynniki tylko pod pierwiastkiem.
Przykład 6
8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6
Uprość licznik i mianownik ułamka
Aby to zrobić, usuń czynniki spod znaku pierwiastka, którymi są idealne kwadraty. Zatem czynnik wyrażenia radykalnego stanie się czynnikiem przed znakiem pierwiastka.
Przykład 7
2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2 wynika: 8 36 = 2 2 6
Zracjonalizuj mianownik (pozbądź się pierwiastka)
W matematyce obowiązują zasady, według których pozostawienie pierwiastka w mianowniku jest oznaką złej formy, tj. to jest zabronione. Jeśli w mianowniku znajduje się pierwiastek kwadratowy, pozbądź się go.
Pomnóż licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy, który chcesz usunąć.
Przykład 8
W wyrażeniu 6 2 3 musisz pomnożyć licznik i mianownik przez 3, aby pozbyć się go w mianowniku:
6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3
Uprość wynikowe wyrażenie (jeśli to konieczne)
Jeżeli w liczniku i mianowniku znajdują się liczby, które można i należy zmniejszyć. Uprość takie wyrażenia jak dowolny ułamek.
Przykład 9
2 6 upraszcza do 1 3 ; zatem 2 2 6 upraszcza się do 1 2 3 = 2 3
Metoda 3: Dzielenie pierwiastków kwadratowych przez czynniki
Algorytm działań:
Uprość czynniki
Przypomnijmy, że czynniki to liczby poprzedzające znak pierwiastka. Aby uprościć czynniki, będziesz musiał je podzielić lub zmniejszyć. Nie dotykaj radykalnych wyrażeń!
Przykład 10
4 32 6 16 . Najpierw redukujemy 4 6: dzielimy licznik i mianownik przez 2: 4 6 = 2 3.
Uprość pierwiastki kwadratowe
Jeżeli licznik dzieli się równomiernie przez mianownik, to dzielimy. Jeśli nie, uprość wyrażenia radykalne jak każde inne.
Przykład 11
32 dzieli się przez 16, więc: 32 16 = 2
Pomnóż uproszczone czynniki przez uproszczone pierwiastki
Pamiętaj o zasadzie: nie zostawiaj pierwiastków w mianowniku. Dlatego po prostu mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek.
Przykład 12
2 3 × 2 = 2 2 3
Zracjonalizuj mianownik (pozbądź się pierwiastka z mianownika)
Przykład 13
4 3 2 7 . Należy pomnożyć licznik i mianownik przez 7, aby pozbyć się pierwiastka z mianownika.
4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7
Metoda 4: Dzielenie przez dwumian z pierwiastkiem kwadratowym
Algorytm działań:
Ustal, czy w mianowniku znajduje się dwumian
Przypomnijmy, że dwumian to wyrażenie zawierające 2 jednomiany. Ta metoda działa tylko w przypadkach, gdy mianownik ma dwumian z pierwiastkiem kwadratowym.
Przykład 14
1 5 + 2 - w mianowniku znajduje się dwumian, ponieważ istnieją dwa jednomiany.
Znajdź sprzężone wyrażenie dwumianu
Przypomnijmy, że dwumian sprzężony jest dwumianem z tymi samymi jednomianami, ale z przeciwne znaki. Aby uprościć wyrażenie i pozbyć się pierwiastka z mianownika, należy pomnożyć dwumiany sprzężone.
Przykład 15
5 + 2 i 5 - 2 to dwumiany sprzężone.
Pomnóż licznik i mianownik przez dwumian będący koniugatem dwumianu w mianowniku
Ta opcja pomoże pozbyć się pierwiastka z mianownika, ponieważ iloczyn sprzężonych dwumianów jest równy różnicy kwadratów każdego wyrazu dwumianów: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2
Przykład 16
1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .
Z tego wynika: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.
Porada:
- Jeśli pracujesz z pierwiastkami kwadratowymi liczby mieszane, a następnie zamień je na ułamek niewłaściwy.
- Różnica między dodawaniem a odejmowaniem od dzielenia polega na tym, że nie zaleca się upraszczania radykalnych wyrażeń w przypadku dzielenia (kosztem pełnych kwadratów).
- Nigdy (!) nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku.
- Żadnych miejsc po przecinku ani mieszanych przed pierwiastkiem - należy je przekonwertować ułamek wspólny, a następnie uprościć.
- Czy mianownik jest sumą czy różnicą dwóch jednomianów? Pomnóż taki dwumian przez jego sprzężony dwumian i pozbądź się pierwiastka z mianownika.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Pozdrawiam, koty! Ostatnim razem szczegółowo omawialiśmy, czym są korzenie (jeśli nie pamiętasz, polecam przeczytać). Główny wniosek z tej lekcji: istnieje tylko jedna uniwersalna definicja pierwiastków i to właśnie musisz znać. Reszta to bzdury i strata czasu.
Dziś idziemy dalej. Nauczymy się mnożyć pierwiastki, przestudiujemy pewne problemy związane z mnożeniem (jeśli te problemy nie zostaną rozwiązane, mogą okazać się fatalne na egzaminie) i będziemy odpowiednio ćwiczyć. Zatem zaopatrzcie się w popcorn, usiądźcie wygodnie i zaczynamy. :)
Ty też jeszcze tego nie paliłeś, prawda?
Lekcja okazała się dość długa, dlatego podzieliłem ją na dwie części:
- Najpierw przyjrzymy się zasadom mnożenia. Cap zdaje się sugerować: dzieje się tak, gdy są dwa pierwiastki, między nimi znajduje się znak „mnożenia” - i chcemy coś z tym zrobić.
- Następnie spójrzmy na sytuację odwrotną: istnieje jeden duży pierwiastek, ale chcieliśmy przedstawić go jako iloczyn dwóch prostszych pierwiastków. Dlaczego jest to konieczne, to osobne pytanie. Przeanalizujemy jedynie algorytm.
Tych, którzy nie mogą się doczekać, aby od razu przejść do drugiej części, zapraszamy. Zacznijmy od reszty w kolejności.
Podstawowa zasada mnożenia
Zacznijmy od najprostszej rzeczy - klasycznych pierwiastków kwadratowych. Te same, które są oznaczone przez $\sqrt(a)$ i $\sqrt(b)$. Wszystko jest dla nich oczywiste:
Reguła mnożenia. Aby pomnożyć pierwiastek kwadratowy przez drugi, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne i wynik zapisać pod wspólnym pierwiastkiem:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Na liczby po prawej lub lewej stronie nie są nakładane żadne dodatkowe ograniczenia: jeśli istnieją czynniki pierwotne, to iloczyn również istnieje.
Przykłady. Przyjrzyjmy się jednocześnie czterem przykładom z liczbami:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Jak widać, głównym znaczeniem tej reguły jest uproszczenie wyrażeń irracjonalnych. A jeśli w pierwszym przykładzie sami wyodrębnilibyśmy pierwiastki z 25 i 4 bez żadnych nowych reguł, sytuacja staje się trudna: $\sqrt(32)$ i $\sqrt(2)$ nie są brane pod uwagę same w sobie, ale ich iloczyn okazuje się być idealnym kwadratem, więc jego pierwiastek jest równy liczbie wymiernej.
Szczególnie chciałbym podkreślić ostatnią linijkę. Tam oba radykalne wyrażenia są ułamkami. Dzięki produktowi wiele czynników zostaje anulowanych, a całe wyrażenie zamienia się w odpowiednią liczbę.
Oczywiście nie zawsze będzie tak pięknie. Czasami pod korzeniami będzie kompletna bzdura - nie jest jasne, co z tym zrobić i jak przekształcić po pomnożeniu. Nieco później, kiedy zaczniesz studiować irracjonalne równania i nierówności, będziesz mieć do czynienia z najróżniejszymi zmiennymi i funkcjami. Bardzo często autorzy problemów liczą na to, że odkryją pewne terminy lub czynniki anulujące, po czym problem zostanie wielokrotnie uproszczony.
Ponadto wcale nie jest konieczne mnożenie dokładnie dwóch pierwiastków. Możesz pomnożyć trzy, cztery, a nawet dziesięć na raz! Nie zmieni to zasady. Spójrz:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
I znowu mała uwaga do drugiego przykładu. Jak widać, w trzecim czynniku pod pierwiastkiem znajduje się ułamek dziesiętny - w procesie obliczeń zastępujemy go zwykłym, po czym wszystko można łatwo zmniejszyć. Zatem: gorąco polecam pozbycie się ułamków dziesiętnych we wszelkich wyrażeniach irracjonalnych (tj. zawierających co najmniej jeden symbol pierwiastkowy). Zaoszczędzi to mnóstwo czasu i nerwów w przyszłości.
Ale to była dygresja liryczna. Rozważmy teraz bardziej ogólny przypadek - gdy wykładnik pierwiastkowy zawiera dowolną liczbę $n$, a nie tylko „klasyczną” dwójkę.
Przypadek dowolnego wskaźnika
Więc uporządkowaliśmy pierwiastki kwadratowe. Co zrobić z sześciennymi? Lub nawet z pierwiastkami dowolnego stopnia $n$? Tak, wszystko jest takie samo. Zasada pozostaje ta sama:
Aby pomnożyć dwa pierwiastki stopnia $n$, wystarczy pomnożyć ich wyrażenia radykalne, a następnie zapisać wynik pod jednym pierwiastkiem.
Generalnie nic skomplikowanego. Tyle że ilość obliczeń może być większa. Spójrzmy na kilka przykładów:
Przykłady. Oblicz produkty:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
I znowu uwaga na drugie wyrażenie. Mnożymy pierwiastki sześcienne, pozbywamy się ułamka dziesiętnego i kończy się na tym, że mianownik jest iloczynem liczb 625 i 25. To dość duża liczba – osobiście nie mogę od razu obliczyć, ile to jest równe nietoperz.
Dlatego po prostu wyodrębniliśmy dokładną kostkę w liczniku i mianowniku, a następnie użyliśmy jednej z kluczowych właściwości (lub, jeśli wolisz, definicji) pierwiastka $n$tego:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\lewo| \prawo|. \\ \end(align)\]
Takie „machinacje” mogą zaoszczędzić sporo czasu na egzaminie lub teście, dlatego pamiętaj:
Nie spiesz się z mnożeniem liczb za pomocą wyrażeń radykalnych. Najpierw sprawdź: co jeśli dokładny stopień dowolnego wyrażenia jest tam „zaszyfrowany”?
Pomimo oczywistości tej uwagi, muszę przyznać, że większość nieprzygotowanych studentów nie widzi dokładnych stopni naukowych z bliska. Zamiast tego mnożą wszystko wprost, a potem zastanawiają się: dlaczego dostali takie brutalne liczby? :)
Jednak wszystko to to tylko dziecięce gadki w porównaniu z tym, co będziemy teraz studiować.
Mnożenie pierwiastków z różnymi wykładnikami
OK, teraz możemy pomnożyć pierwiastki za pomocą tych samych wskaźników. A co jeśli wskaźniki będą inne? Powiedzmy, jak pomnożyć zwykłe $\sqrt(2)$ przez jakieś bzdury, takie jak $\sqrt(23)$? Czy w ogóle można to zrobić?
Tak oczywiście możesz. Wszystko odbywa się według tej formuły:
Zasada mnożenia pierwiastków. Aby pomnożyć $\sqrt[n](a)$ przez $\sqrt[p](b)$ wystarczy wykonać następującą transformację:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Jednak ta formuła działa tylko wtedy, gdy wyrażenia radykalne są nieujemne. To bardzo ważna uwaga, do której powrócimy nieco później.
Na razie spójrzmy na kilka przykładów:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]
Jak widać nic skomplikowanego. Teraz zastanówmy się, skąd wziął się wymóg nieujemności i co się stanie, jeśli go naruszymy. :)
Mnożenie pierwiastków jest łatwe Dlaczego wyrażenia radykalne muszą być nieujemne?
Oczywiście możesz być jak nauczyciele w szkole i mądrze cytować podręcznik:
Wymóg nieujemności wiąże się z różnymi definicjami pierwiastków stopnia parzystego i nieparzystego (w związku z tym różne są także ich dziedziny definicji).
Czy stało się jaśniejsze? Osobiście, kiedy czytałem te bzdury w 8 klasie, zrozumiałem coś takiego: „Wymóg nienegatywności jest powiązany z *#&^@(*#@^#)~%” - krótko mówiąc, nie Nic wtedy nie rozumiem. :)
Więc teraz wyjaśnię wszystko w normalny sposób.
Najpierw dowiedzmy się, skąd pochodzi powyższy wzór na mnożenie. Aby to zrobić, przypomnę Ci o jednej ważnej właściwości pierwiastka:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Innymi słowy, możemy łatwo podnieść wyrażenie pierwiastkowe do dowolnej potęgi naturalnej $k$ - w tym przypadku wykładnik pierwiastka trzeba będzie pomnożyć przez tę samą potęgę. Dlatego możemy łatwo sprowadzić dowolne pierwiastki do wspólnego wykładnika, a następnie je pomnożyć. Stąd pochodzi wzór na mnożenie:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Ale jest jeden problem, który ostro ogranicza użycie wszystkich tych formuł. Rozważ tę liczbę:
Zgodnie z podanym wzorem możemy dodać dowolny stopień. Spróbujmy dodać $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Usunęliśmy minus właśnie dlatego, że kwadrat spala minus (jak każdy inny parzysty stopień). Teraz wykonajmy odwrotną transformację: „zmniejsz” dwójkę w wykładniku i potędze. Przecież każdą równość można czytać zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]
Ale potem okazuje się, że to jakiś badziew:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
To nie może się zdarzyć, ponieważ $\sqrt(-5) \lt 0$ i $\sqrt(5) \gt 0$. Oznacza to, że dla potęg parzystych i liczb ujemnych nasz wzór już nie działa. Po czym mamy dwie możliwości:
- Uderzyć w ścianę i stwierdzić, że matematyka jest nauką głupią, w której „są pewne zasady, ale są one nieprecyzyjne”;
- Wprowadź dodatkowe ograniczenia, przy których formuła zacznie działać w 100%.
W pierwszej opcji będziemy musieli ciągle wyłapywać przypadki „niedziałające” – jest to trudne, czasochłonne i w ogóle ugh. Dlatego matematycy woleli drugą opcję. :)
Ale nie martw się! W praktyce ograniczenie to nie wpływa w żaden sposób na obliczenia, ponieważ wszystkie opisane problemy dotyczą tylko pierwiastków stopnia nieparzystego i można z nich wyciągnąć minusy.
Dlatego sformułujmy jeszcze jedną regułę, która ogólnie dotyczy wszystkich działań z pierwiastkami:
Przed pomnożeniem pierwiastków upewnij się, że wyrażenia pierwiastkowe są nieujemne.
Przykład. W liczbie $\sqrt(-5)$ możesz usunąć minus spod znaku pierwiastka - wtedy wszystko będzie normalnie:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Czy czujesz różnicę? Jeśli zostawisz minus pod pierwiastkiem, to gdy radykalne wyrażenie zostanie podniesione do kwadratu, zniknie i zacznie się bzdura. A jeśli najpierw usuniesz minus, możesz go podnieść/usunąć, aż zrobi się niebieski na twarzy - liczba pozostanie ujemna. :)
Zatem najbardziej poprawny i najbardziej niezawodny sposób pomnożenia korzeni jest następujący:
- Usuń wszystkie negatywy z rodników. Minusy istnieją tylko w pierwiastkach o nieparzystej wielokrotności - można je umieścić przed pierwiastkiem i, jeśli to konieczne, zmniejszyć (na przykład, jeśli są dwa takie minusy).
- Wykonaj mnożenie według zasad omówionych powyżej na dzisiejszej lekcji. Jeśli wskaźniki pierwiastków są takie same, po prostu mnożymy wyrażenia radykalne. A jeśli są różne, używamy złego wzoru \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
- 3. Ciesz się z wyniku i dobrych ocen. :)
Dobrze? Będziemy ćwiczyć?
Przykład 1: Uprość wyrażenie:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
To najprostsza opcja: pierwiastki są takie same i dziwne, jedynym problemem jest to, że drugi czynnik jest ujemny. Usuwamy ten minus z obrazu, po czym wszystko można łatwo obliczyć.
Przykład 2: Uprość wyrażenie:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( wyrównywać)\]
W tym przypadku wielu byłoby zdezorientowanych faktem, że wynik okazał się liczbą niewymierną. Tak, zdarza się: nie mogliśmy całkowicie pozbyć się korzenia, ale przynajmniej znacznie uprościliśmy wyrażenie.
Przykład 3: Uprość wyrażenie:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Chciałbym zwrócić Państwa uwagę na to zadanie. Są tu dwa punkty:
- Pierwiastkiem nie jest konkretna liczba czy potęga, ale zmienna $a$. Na pierwszy rzut oka jest to trochę niezwykłe, ale w rzeczywistości przy rozwiązywaniu problemów matematycznych najczęściej masz do czynienia ze zmiennymi.
- Ostatecznie udało nam się „zredukować” radykalny wskaźnik i stopień radykalnej ekspresji. Zdarza się to dość często. A to oznacza, że można było znacznie uprościć obliczenia, jeśli nie zastosowano podstawowego wzoru.
Możesz na przykład zrobić tak:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(wyrównaj)\]
W rzeczywistości wszystkie transformacje przeprowadzono tylko z drugim rodnikiem. A jeśli nie opiszesz szczegółowo wszystkich etapów pośrednich, ostatecznie ilość obliczeń zostanie znacznie zmniejszona.
W rzeczywistości napotkaliśmy już podobne zadanie powyżej, rozwiązując przykład $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Teraz można to zapisać znacznie prościej:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]
Cóż, uporządkowaliśmy mnożenie pierwiastków. Rozważmy teraz operację odwrotną: co zrobić, gdy pod rootem znajduje się produkt?