Aksjomat istnieje oczywista prawda, która nie wymaga dowodu.
Twierdzenie lub twierdzenie jest prawdą wymagającą dowodu.
Dowód to zbiór rozumowań, który czyni tę propozycję oczywistą.
Dowód osiąga swój cel, gdy przy jego pomocy odkryje się, że dane zdanie jest konieczną konsekwencją aksjomatów lub jakimś innym zdaniem, które zostało już udowodnione.
Każdy dowód opiera się na zasadzie, że przy prawidłowym wnioskowaniu nie można wyciągnąć fałszywego wniosku z prawdziwego zdania.
Skład twierdzenia. Każde twierdzenie składa się z dwóch części: a) warunków i b) wniosku lub konsekwencji.
Warunek ten nazywany jest czasem założeniem. Jest nadawany i dlatego czasami otrzymuje nadane imię.
Twierdzenie odwrotne. Zdanie, w którym wniosek danego twierdzenia staje się warunkiem, a warunek konkluzją, nazywa się twierdzeniem odwrotnym..
W tym przypadku twierdzenie to nazywa się bezpośrednim.
Dwa twierdzenia razem, bezpośrednie i odwrotne, nazywane są wzajemnie twierdzeniami odwrotnymi.
Znajdują się one w takiej wzajemnej relacji, że wybierając którekolwiek z nich jako bezpośrednie, można przyjąć drugie jako odwrotne.
W dwóch wzajemnie odwrotnych twierdzeniach jedno z nich następuje jako konieczna konsekwencja drugiego.
Jeśli w twierdzeniu oznaczymy warunek literą na pierwszym miejscu, a konkluzję literą na drugim miejscu, to twierdzenie bezpośrednie można schematycznie przedstawić za pomocą wyrażenia (Aa), a odwrotnie za pomocą wyrażenia (aA ).
Wyrażenie (Aa) schematycznie przedstawia zdanie: jeśli zachodzi A, to ma miejsce a.
Jeśli za ta propozycja(Aa) i twierdzenie (aA) są spełnione, wówczas oba twierdzenia (Aa) i (aA) nazywane są twierdzeniami wzajemnie odwrotnymi.
Przykładem dwóch takich wzajemnie odwrotnych twierdzeń mogą być następujące twierdzenia:
Pierwsze twierdzenie. W trójkącie równe kąty leżą naprzeciw równych boków.
Drugie twierdzenie. W trójkącie przeciw równe kąty kłamstwo równe strony .
W pierwszym twierdzeniu danym warunkiem będzie równość boków trójkąta, a wnioskiem będzie równość przeciwnych kątów, a w drugim odwrotnie.
Nie każde twierdzenie ma swoje przeciwieństwo.
Przykład zdania arytmetycznego, które nie ma odwrotności, jest następujący: twierdzenie. Jeśli dwa produkty mają równe współczynniki, to produkty są równe..
Odwrotne założenie nie jest prawdziwe. Rzeczywiście z faktu, że iloczyny są równe, nie wynika, że czynniki są równe.
Przykład zdania geometrycznego, dla którego oferta odwrotna nie ma miejsca, może służyć twierdzenie: w każdym kwadracie przekątne są równe.
Przeciwieństwem tego byłoby: jeśli przekątne czworoboku są równe, to będzie to kwadrat.
Założenie to jest błędne, ponieważ w więcej niż jednym kwadracie przekątne są równe.
Ponieważ założenie przeciwne nie zawsze jest prawdziwe, za każdym razem propozycja przeciwna wymaga specjalnego dowodu.
W teorii dowodów geometrycznych bardzo ważne jest czasami, aby wiedzieć, kiedy dane twierdzenie dopuszcza swoje odwrotność.
Do tego celu mogą służyć: zasada odwracalności. Kiedy zakładając, że wszystko jest możliwe i różne warunki wszystkie możliwe i różne wnioski odpowiadają sobie, utrzymuje się twierdzenie odwrotne.
Spójrzmy na to jako przykład.
Oferta bezpośrednia. Jeżeli dwa trójkąty mają dwa równe boki, towówczas trzeci bok będzie większy, równy lub mniejszy od trzeciego boku drugiego trójkąta, w zależności od tego, czy kąt między równymi bokami jest większy, równy czy mniejszy niż odpowiedni kąt drugiego trójkąta.
W tym zdaniu trzem różnym i możliwym założeniom dotyczącym kąta odpowiadają trzem różnym i możliwym wnioskom dotyczącym przeciwnej strony, zatem zgodnie z zasadą odwracalności twierdzenie to pozwala odwrotne założenie:
Kiedy dwa trójkąty mają dwa równe boki, kąt między nimi będzie większy, równy lub mniejszy niż odpowiedni kąt drugiego trójkąta, w zależności od tego, czy trzeci bok jest większy, równy lub mniejszy od trzeciego boku danego trójkąta.
Oprócz odwrotności twierdzenie bezpośrednie może mieć swoje przeciwieństwo.
Twierdzenie przeciwne istnieje taki, w którym negacja warunku implikuje negację wniosku.
Twierdzenie przeciwne może mieć swoje odwrotność.
Podsumowując wszystkie te twierdzenia, przedstawiamy je schematycznie w następującej ogólnej formie:
Twierdzenie bezpośrednie lub główne. Jeżeli warunek lub właściwość A jest spełniona, wówczas zachodzi wniosek lub właściwość B.
Odwracać. Jeśli wystąpi B, wówczas nastąpi A.
Naprzeciwko. Jeżeli A nie zachodzi, to B nie zachodzi.
Odwrotnie, odwrotnie. Jeżeli B nie zachodzi, to A nie zachodzi.
Poniższe przykłady ilustrują wzajemną relację tych twierdzeń w poszczególnych przypadkach:
Twierdzenie bezpośrednie. Jeżeli, gdy dwie dane linie przecinają się z trzecią, odpowiadające im kąty są równe, to dane linie są równoległe.
Twierdzenie odwrotne. Jeśli dwie linie są równoległe, to gdy przecinają trzecią, odpowiednie kąty są równe.
Naprzeciwko. Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z trzecią, odpowiadające im kąty nie są równe, linie nie są równoległe.
Odwrotnie, odwrotnie. Jeśli linie nie są równoległe, odpowiadające im kąty nie są równe.
W geometrycznym przedstawieniu twierdzeń wystarczy udowodnić tylko dwa z tych trzech twierdzeń, wówczas pozostałe dwa twierdzenia są ważne bez dowodu.
To połączenie twierdzeń opiera się na technice, za pomocą której, aby udowodnić twierdzenie odwrotne, często ogranicza się jedynie do udowodnienia twierdzenia przeciwnego.
Metody dowodów geometrycznych
Na dowód twierdzenia geometryczne Istnieją dwa główne sposoby: syntetyczny I analityczny.
Metody te są czasami nazywane w skrócie synteza I analiza.
Synteza istnieje metoda dowodu, w której dane twierdzenie jest konieczną konsekwencją innego, już udowodnionego.
Podsumowując, łańcuch dowodów zaczyna się od jakiegoś znanego zdania i kończy się na tym zdaniu. Podczas dowodu zdanie oryginalne porównuje się z aksjomatem lub innym znanym już zdaniem. Metoda syntetyczna jest wygodna do wyprowadzania nowych zdań, które nie są z góry określone. Dowód tego twierdzenia wiąże się z wieloma niedogodnościami. Nie pokazuje: a) które ze znanych twierdzeń należy wybrać, aby można było wykazać, że twierdzenie wynika z jego koniecznej konsekwencji oraz b) które z konsekwencji wybranego twierdzenia prowadzą do udowodnienia twierdzenia.
Synteza nie jest zatem nazywana metodą odkrywania nowych prawd, ale metodą ich przedstawiania.
Jednak nawet przy przedstawianiu twierdzeń metodą syntetyczną pojawia się niedogodność w tym sensie, że nie jest jasne, dlaczego to, a nie inne twierdzenie, lub to, a nie inna jego konsekwencja, zostało wybrane jako prawda początkowa w łańcuchu dowodowym .
Przykładem syntetycznej metody dowodu jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Suma kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym.
Dan trójkąt ABC(rysunek 224).
Musimy udowodnić, że A + B + C = 2d.
Dowód. Narysujmy prostą DE równoległą do AC.
Suma kątów leżących po jednej stronie prostej jest równa dwóm kątom prostym, zatem
α + B + γ = 2d
wówczas zastępując kąty α i γ w poprzedniej równości kątami im równymi, otrzymujemy:
A + B + C = 2d (CHD).
Tutaj początkowym twierdzeniem w łańcuchu dowodowym jest twierdzenie o sumie kątów leżących po jednej stronie prostej.
Wiąże się to z twierdzeniami o równości kątów krzyżujących się na przecięciu dwóch równoległych i trzeciego pośredniego.
Dowodzone twierdzenie jest konieczną konsekwencją wszystkich proponowanych twierdzeń i stanowi ostatni wniosek w ciągu dowodów.
Analiza Istnieje sposób, który jest przeciwieństwem syntezy. W analizie łańcuch rozumowania zaczyna się od twierdzenia, które należy udowodnić, a kończy na innej, już znanej prawdzie..
Analiza występuje w dwóch postaciach. Po udowodnieniu twierdzenia możemy przejść do twierdzenia, które stanowi jego bezpośrednią podstawę lub bezpośrednią konsekwencję.
Przechodząc od danego zdania do zdania, które stanowi jego bezpośrednią podstawę, patrzymy na to twierdzenie jako na konieczną konsekwencję.
Przechodząc od danego twierdzenia do jego bezpośredniej konsekwencji, patrzymy na to twierdzenie jako na podstawę łańcucha wniosków.
Pierwsza metoda analizy. Prowadząc analizę, przechodząc do podstawy, szukają pierwszego najbliższego zdania, z którego dane wynika jako konieczna konsekwencja. Jeżeli to twierdzenie zostało wcześniej udowodnione, to to twierdzenie również zostanie udowodnione, a jeśli nie, to poszukaj drugiego twierdzenia, zasadniczy dla pierwszego.
To przejście do podstawy należy kontynuować, aż dotrzemy do całkowicie sprawdzonej propozycji. Twierdzenie to pojawi się jako konieczna konsekwencja ostatniego udowodnionego twierdzenia.
Oznaczając każde zdanie literą i umieszczając je przed lub za drugim, w zależności od tego, czy będzie ono podstawą, czy konsekwencją kolejnego zdania, możemy schematycznie wyrazić tę metodę analizy w postaci
gdzie M jest danym zdaniem, L jest jego najbliższą bazą, a H jest zdaniem całkowicie udowodnionym. Jeśli zdanie H jest prawdziwe, to zdanie K jest prawdziwe; jeśli K jest prawdą, to L jest prawdą; jeśli L jest prawdą, to M jest również prawdą.
Druga metoda analizy polega na przejściu od danego zdania do jego konsekwencji. Technikę tę stosuje się częściej, gdyż łatwiej jest znaleźć konieczną konsekwencję, niż znaleźć podstawę jakiejś prawdy. Stosując tę metodę, wyprowadza się z danego twierdzenia twierdzenie, które jest jego bezpośrednią konsekwencją. Jeśli ten wniosek jest wcześniej udowodnionym twierdzeniem, to na tym poprzestają; jeśli nie, przechodzą do następnego najbliższego wniosku i generalnie kontynuują to sekwencyjne wyprowadzanie wniosków, aż dotrą do całkowicie udowodnionego twierdzenia.
Jeśli ostatnie zdanie nie jest prawdziwe, to i to nie jest prawdziwe, ponieważ ze zdania prawidłowego nie można uzyskać błędnej konsekwencji.
Jeśli ostatnie zdanie jest prawdziwe, to wiara w prawdziwość tego zdania wymaga spełnienia pewnych warunków.
Schematycznie tę metodę analizy można przedstawić w postaci
M - N - O - P - Q - R - S
gdzie M jest zdaniem danym, N jest zdaniem będącym jego bezpośrednią konsekwencją, a S jest ostatnim zdaniem, o słuszności którego jesteśmy całkowicie przekonani.
Z dwóch zdań R i S, ustawionych w taki sposób, że jeśli R jest prawdziwe, to zdanie S jest również prawdziwe, jak wiadomo, nie zawsze możemy odwrotnie wnioskować, że jeśli S jest prawdziwe, to zdanie R jest również prawdziwe.
Aby ten ostatni wniosek był prawdziwy, wymagane jest, aby twierdzenia R i S były twierdzeniami wzajemnymi.
Aby zatem sprawdzić, czy twierdzenia R i S pozostają w takim związku, że spełniają schemat R - S i schemat S - R, należy wykazać, że twierdzenia R i S są odwrotne.
Aby zatem móc z prawdziwości ostatniego zdania S stwierdzić, że dane zdanie M jest prawdziwe, należy wykazać, że każde dwa sąsiednie wartościowe oferty R i S, P i R, O i P, N i O, M i N spełniają prawo odwracalności.
Jeśli zostanie to udowodnione, łańcuch zdań można odwrócić, a obok schematu M - N - O - P - Q - R - S schemat
S - R - Q - P - O - N - M
z czego mamy prawo wnioskować, że jeśli zdanie S jest prawdziwe, to zdanie M jest również prawdziwe.
Ponieważ trudno jest za każdym razem wykazać odwracalność dwóch zdań, można tego uniknąć łącząc metodę analityczną z metodą syntetyczną. Po tym, jak zdanie S zostało wydedukowane ze zdania M będącego jego konsekwencją, sprawdzają, czy możliwe jest wydedukowanie zdania M z powrotem jako koniecznej konsekwencji zdania S.
Jeśli synteza jest metodą tzw odliczenie Lub wniosek, wówczas można wywołać analizę zmniejszenie(odlew, poradnictwo).
Przykład Metoda analityczna Dowodem może być następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie.
Dowód. Jeśli przekątne przecinają się w połowie, wówczas trójkąty AOB i DOC są równe (ryc. 225). Równość trójkątów AOB i DOC wynika z faktu, że AB = CD as przeciwne strony równoległobok i ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ jako kąty krzyżujące się.
Widzimy więc, że dane zdanie jest sukcesywnie zastępowane przez inne i takie zastępowanie odbywa się, aż dotrzemy do zdania, które zostało już udowodnione.
Porównanie syntezy z analizą. Metoda analityczna dokładniej prowadzi do dowodu danego twierdzenia, ponieważ z danego twierdzenia łatwiej jest przejść do jego najbliższej podstawy lub następstwa.
Chociaż analiza lepiej niż synteza wyjaśnia, dlaczego wybrano taką czy inną drogę udowodnienia twierdzenia, niepewność w dowodach nie jest całkowicie wyeliminowana w tym sensie, że zastępując sukcesywnie jedno zdanie drugim, nie zawsze możemy dojść do znanego nam zdania , bo czasami nie widać, który z konsekwencji lub które z podstaw danego twierdzenia należy wybrać, aby je udowodnić. Trudności zwiększają się jeszcze bardziej, gdy konieczne jest narysowanie nowych linii pomocniczych dla dowodu. Czasami trudno jest podać prawidłowe wskazania, które z nich ułatwiają dowód danego twierdzenia.
Analiza, jak wszystkie techniki logiczne, jedynie ułatwia i pomaga znaleźć dowód danego twierdzenia, ale nie zawsze musi prowadzić do samego dowodu.
Oprócz tych bezpośrednich istnieje pośrednia metoda dowodu, zwana dowodem przez sprzeczność lub metodą redukcji do absurdu.
Metoda dowodu przez sprzeczność polega na tym, że aby udowodnić dane twierdzenie, przekonuje się o niemożności założenia czegoś przeciwnego.
Na tej podstawie dowód ten nazywa się dowodem przez sprzeczność. Osiąga swój cel wtedy, gdy z dwóch zdań, danego i przeciwnego, jedno z pewnością ma miejsce.
W tym przypadku, aby udowodnić dane, uznając twierdzenie przeciwne, wyprowadzają z niego takie konsekwencje, które są sprzeczne z już udowodnionymi aksjomatami lub twierdzeniami. Jeśli jedna z konsekwencji tego zdania jest fałszywa, to zdanie przeciwne jest fałszywe, a zatem dane zdanie jest prawdziwe.
Technikę tę często stosuje się do dowodzenia twierdzeń, które są odwrotne lub przeciwne danym.
Nietrudno zauważyć, że metoda ta jest drugą metodą analizy, w której przechodzi się sekwencyjnie od danego twierdzenia do jego konsekwencji.
Przykładem zastosowania tej metody jest dowód podanego powyżej twierdzenia: równe boki leżą naprzeciw równych kątów w trójkącie (Twierdzenie 26).
W geometrii stosuje się także metody zależne od samej treści prawd geometrycznych. Prawdy geometryczne odnoszą się do rozszerzeń geometrycznych. Te rozszerzenia mają pewne właściwości, podlega zmysłom zewnętrznym. Rozciągnięcie geometryczne można rozpatrywać całościowo, dostępną obserwację zmysłami zewnętrznymi. Najbardziej zmysłowa kontemplacja również przyczynia się do przekonującej siły dowodu. Bez tego nie da się obejść w geometrii.
Do technik stosowanych w geometrii należą: metoda narzucania, metoda proporcjonalności i metoda limitów.
Metoda aplikacji polega na tym, że jedna wielkość geometryczna nakłada się na drugą. W ten sposób przekonuje się o równości lub nierówności rozszerzeń geometrycznych, w zależności od tego, czy są one połączone, czy nie, gdy się nałożą.
Metoda proporcjonalności polega na zastosowaniu właściwości proporcji do przedłużeń geometrycznych. Metodę tę stosuje się do dowodzenia twierdzeń związanych z podobne liczby i do odcinków proporcjonalnych.
Metoda limitów polega na tym, że zamiast danych rozszerzeń uwzględnia się właściwości rozszerzeń bliskie właściwościom danego, a wnioski uzyskane z rozważenia niektórych stosuje się do innych podobnych rozszerzeń.
Metody rozwiązywania problemów geometrycznych
Decydując problemy geometryczne syntezy i analizy używa się w taki sam sposób, jak przy dowodzeniu twierdzeń.
Rozwiązując problem syntetycznie, biorą inny problem, który wiedzą, jak rozwiązać, a następnie z jego rozwiązania wyprowadzają rozwiązanie do następnego problemu, jako jego konieczną konsekwencję, i robią to, aż dotrą do rozwiązania tego problemu.
Syntetyczna metoda rozwiązania problemu ma te same wady, co syntetyczna metoda dowodu.
Dlatego analizę stosuje się coraz częściej i skuteczniej do rozwiązywania problemów.
Podczas rozwiązywania problemu analiza zastępuje to zadanie nowy. Nazwiemy to nowym problemem wymiana.
Jeżeli dwa problemy pozostają ze sobą w takim związku, że warunki drugiego są koniecznymi konsekwencjami warunków pierwszego, wówczas problem pierwszy nazwiemy podstawowy, i drugi - pochodna.
Analizę można przeprowadzić na dwa sposoby.
Pierwszy sposób. Problem zastąpienia jest tak dobrany, aby warunki tego problemu następowały jako konieczna konsekwencja warunków nowego problemu zastąpienia, tj. w naszej terminologii przechodzą od tego problemu do pierwszego zadanie początkowe. Jeśli rozwiązanie tego problemu jest znane, to rozwiązanie tego problemu pojawia się jako konieczna konsekwencja rozwiązania problemu początkowego. Jeśli jego rozwiązanie nie jest znane, wówczas przechodzą od niego do drugiego, trzeciego problemu początkowego i kontynuują to, aż otrzymają problem, którego rozwiązanie jest znane.
Po rozwiązaniu tego ostatniego problemu, sukcesywnie dochodzą do rozwiązania tego problemu.
Drugi sposób. Można przejść od danego problemu do innego, którego warunki są konsekwencją warunków tego, czyli od danego problemu przechodzi się do jego pochodnej.
Zastępując w ten sposób jeden problem sukcesywnie inną jego pochodną, można dojść do problemu, którego rozwiązanie jest już znane. Rozwiązanie tego problemu czasami umożliwia rozwiązanie również tego problemu.
Częściej stosuje się to przejście od danego problemu do jego pochodnej, gdyż łatwiej jest przejść do konsekwencji, niż szukać podstawy jakiejś prawdy.
W tym konkretnym przypadku analizy zwykle zakłada się, że problem został rozwiązany i z tego założenia wyprowadza się zależności, które umożliwiają rozwiązanie tego problemu.
Przechodząc od danego zadania do jego zastąpienia, bardzo ważne jest zwrócenie uwagi na to, czy oba zadania będą miały właściwość wzajemnej odwracalności. Ta wzajemność w warunkach dwóch problemów ma miejsce wtedy, gdy jedno zadanie, będąc początkowym dla drugiego, może jednocześnie być jego pochodną; w przeciwnym razie, gdy dwa zadania są ze sobą w takim związku, że warunki jednego mogą być również koniecznymi konsekwencjami drugiego i odwrotnie.
Jeśli dwa problemy, bieżący i nowy, mają te właściwości, to wtedy nowe zadanie całkowicie zastępuje ten. W tym przypadku wszystkie rozwiązania jednego będą również rozwiązaniami drugiego.
Jeżeli warunki dwóch problemów nie mają właściwości wzajemnej odwracalności, to zastępując ten problem nowym, możemy albo znaleźć dodatkowe rozwiązania, albo stracić część rozwiązań.
Jeśli problem zastępowania jest pochodną zadanego, wówczas możemy znaleźć dodatkowe rozwiązania; jeśli dla danego jest ono początkowe, to możemy znaleźć utracone rozwiązania.
Ponieważ często przechodzą od danego problemu do problemu pochodnego, często muszą uzyskać niepotrzebne rozwiązania.
Aby oddzielić niepotrzebne rozwiązania i znaleźć zagubione, sprawdzane są wszystkie znalezione rozwiązania.
Weryfikacja czy istnieje sposób na oddzielenie zbędnych (niepotrzebnych) rozwiązań. Uzupełnia analizę.
Analityczne rozwiązanie problemu wskazuje konstrukcję, którą należy wykonać, aby rozwiązać problem. Dokonując tej konstrukcji, rozwiązują problem w sposób odwrotny do analizy, czyli uciekają się do metody syntetycznej. Ta syntetyczna metoda często może zastąpić rzeczywistą weryfikację znalezionych rozwiązań.
Łączne zastosowanie syntezy i analizy pozwala uniknąć błędów, które mogą wystąpić w przypadku stosowania tylko jednej z tych metod rozwiązywania.
Rozwiążmy ten sam problem syntetycznie i analitycznie. Przykładem może być poniższe zadanie.
Zadanie. Dzielić ten segment AB w relacji ekstremalnej i średniej.
Rozwiązanie. Skonstruujmy prostopadłą BO z końca odcinka AB równy połowie AB (rysunek 226). Ze środka O opisujemy okrąg o promieniu BO, łączymy środek O z punktem A i na odcinku AB nakreślamy odcinek AC równy AD, wówczas wymagany będzie odcinek AC lub AD.
Dowód. Prosta AB jest zatem styczna do okręgu
gdzie mamy:
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
Ponieważ DE = AB i AD = AC, to w poprzedniej proporcji mamy:
AE – AB = AE – DE = AD = AC
AB – AD = AB – AC = BC
skąd weźmiemy proporcję
To rozwiązanie jest syntetyczne. Zaczynamy w nim od dobrze znanego twierdzenia o właściwościach linii stycznej, a rozwiązanie tego problemu następuje jako konieczna konsekwencja tego twierdzenia.
Rozwiązanie analityczne. Załóżmy, że problem został rozwiązany, a zatem znaleziony został odcinek AC
AB/AC = AC/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
Z ostatniej proporcji wynika, że AB jest styczną, AB + AC przecina się, AC jest jej odcinkiem zewnętrznym, a AB odcinkiem wewnętrznym.
Z tego wynika, że budowa. Należy skonstruować prostopadłą ½AB z końca B, narysować okrąg, połączyć O z A i umieścić część AC = AD na odcinku AB.
W tym rozwiązaniu analitycznym zastępujemy warunek spełniający problem (1) warunkiem spełniającym zadanie (2).
Warunek (2) wskazuje także sposób rozwiązania samego problemu poprzez konstrukcję.
Zwykle po znalezieniu rozwiązania problemu metodą analityczną tworzą konstrukcję, w której wykorzystując syntetyczną metodę rozumowania wykazują, że konstrukcja ta rzeczywiście rozwiązuje problem i tym dowodem zastępują weryfikację, która ma na celu wyeliminowanie rozwiązania obce.
W w tym przykładzie Istnieje całkowita odwracalność problemów, które spełniają warunki (1) i (2), ponieważ warunki (1) pociągają za sobą warunki (2) jako konieczną konsekwencję i odwrotnie, więc nie ma tu żadnych straconych lub obcych rozwiązań.
Badanie wtórnych i pomocniczych metod rozwiązywania problemów nie osiągnęło jeszcze całkowitego i całkowitego zakończenia w leczeniu. Na razie będziemy unikać ich szczegółowego rozpatrywania.
Nie tylko każdy uczeń, ale także każdy szanujący się wykształcona osoba musi wiedzieć, czym jest twierdzenie i dowód twierdzenia. Być może takich pojęć nie znajdziemy w prawdziwe życie, ale na pewno pomogą ustrukturyzować dużą część wiedzy, a także wyciągnąć wnioski. Dlatego w tym artykule przyjrzymy się metodom dowodzenia twierdzeń, a także zapoznamy się ze słynnym twierdzeniem Pitagorasa.
Co to jest twierdzenie?
Jeśli weźmiemy pod uwagę szkolne zajęcia z matematyki, to bardzo często takie są terminy naukowe, jako twierdzenie, aksjomat, definicja i dowód. Aby poruszać się po programie należy zapoznać się z każdą z tych definicji. Teraz przyjrzymy się, czym jest twierdzenie i dowód twierdzenia.
Twierdzenie jest więc pewnym stwierdzeniem wymagającym dowodu. Rozważać tę koncepcję konieczne równolegle z aksjomatem, ponieważ ten ostatni nie wymaga dowodu. Jego definicja jest już prawdziwa, więc przyjmuje się ją za oczywistość.
Zakres stosowania twierdzeń
Błędem jest sądzić, że twierdzeń używa się wyłącznie w matematyce. W rzeczywistości jest to dalekie od przypadku. Na przykład w fizyce istnieje po prostu niesamowita liczba twierdzeń, które pozwalają nam szczegółowo i ze wszystkich stron badać pewne zjawiska i pojęcia. Obejmuje to twierdzenia Ampera, Steinera i wielu innych. Dowody takich twierdzeń pozwalają dobrze zrozumieć momenty bezwładności, statykę, dynamikę i wiele innych pojęć fizyki.
Stosowanie twierdzeń w matematyce
Trudno wyobrazić sobie naukę taką jak matematyka bez twierdzeń i dowodów. Na przykład dowody twierdzeń o trójkącie pozwalają szczegółowo zbadać wszystkie właściwości figury. Bardzo ważne jest zrozumienie właściwości Trójkąt równoramienny i w wielu innych sprawach.
Dowód twierdzenia o powierzchni pozwala zrozumieć najprostszy sposób obliczenia pola kształtu na podstawie niektórych danych. W końcu, jak wiadomo, istnieje duża liczba wzory opisujące, jak znaleźć pole trójkąta. Ale przed ich użyciem bardzo ważne jest udowodnienie, że jest to możliwe i racjonalne w konkretnym przypadku.
Jak udowodnić twierdzenia
Każdy student powinien wiedzieć, czym jest twierdzenie i dowód twierdzenia. Tak naprawdę udowodnienie jakiegokolwiek twierdzenia nie jest takie proste. Aby to zrobić, musisz operować dużą ilością danych i umieć to zrobić logiczne wnioski. Oczywiście, jeśli posiadasz dobrą wiedzę na temat informacji z określonej dyscypliny naukowej, to udowodnienie twierdzenia nie będzie dla ciebie trudne. Najważniejsze jest przeprowadzenie procedury dowodowej w określonej logicznej kolejności.
Aby dowiedzieć się jak dowodzić twierdzenia za pomocą np dyscypliny naukowe, podobnie jak geometria i algebra, musisz mieć dużą wiedzę, a także znać sam algorytm dowodu. Jeśli opanujesz tę procedurę, zdecyduj problemy matematyczne później nie będzie to dla ciebie trudne.
Co musisz wiedzieć o dowodzeniu twierdzeń
Co to jest twierdzenie i dowody twierdzeń? To pytanie, które niepokoi wiele osób nowoczesne społeczeństwo. Bardzo ważne jest, aby nauczyć się udowadniać twierdzenia matematyczne, pomoże ci to w przyszłości zbudować łańcuchy logiczne i dojść do określonego wniosku.
Aby więc poprawnie udowodnić twierdzenie, bardzo ważne jest wykonanie prawidłowego rysunku. Wyświetla wszystkie dane określone w warunku. Bardzo ważne jest również spisanie wszystkich informacji, które zostały podane w zadaniu. Pomoże Ci to poprawnie przeanalizować zadanie i dokładnie zrozumieć, jakie ilości są w nim podane. I dopiero po takich procedurach możemy przystąpić do samego dowodu. Aby to zrobić, musisz logicznie zbudować łańcuch myśli, korzystając z innych twierdzeń, aksjomatów lub definicji. Wynik dowodu musi być wynikiem, którego prawdziwość nie budzi wątpliwości.
Podstawowe sposoby dowodzenia twierdzeń
W kurs szkolny W matematyce istnieją dwa sposoby udowodnienia twierdzenia. Najczęściej w problemach wykorzystuje się metodę bezpośrednią, a także metodę dowodu przez zaprzeczenie. W pierwszym przypadku po prostu analizują dostępne dane i na ich podstawie wyciągają odpowiednie wnioski. Bardzo często stosowana jest także metoda odwrotna. W tym przypadku zakładamy stwierdzenie przeciwne i udowadniamy, że jest ono fałszywe. Na tej podstawie otrzymujemy wynik odwrotny i mówimy, że nasz osąd był błędny, co oznacza, że informacje określone w warunku są prawidłowe.
W rzeczywistości wiele problemów matematycznych może mieć więcej niż jedno rozwiązanie. Na przykład twierdzenie Fermata ma kilka dowodów. Oczywiście niektóre są rozpatrywane tylko w jeden sposób, ale na przykład w twierdzeniu Pitagorasa można rozważyć kilka z nich na raz.
Co to jest twierdzenie Pitagorasa
Oczywiście każde dziecko w wieku szkolnym wie, że twierdzenie Pitagorasa dotyczy konkretnie trójkąta prostokątnego. A brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadratowe nogi.” Pomimo nazwy tego twierdzenia nie odkrył go sam Pitagoras, ale na długo przed nim. Można to udowodnić na kilka sposobów to oświadczenie, a my przyjrzymy się niektórym z nich.
Według danych naukowych na samym początku rozważano trójkąt równoboczny. Następnie ze wszystkich jego stron zbudowano kwadraty. Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej będzie składał się z czterech równych sobie trójkątów. Natomiast figury zbudowane po bokach będą składać się tylko z dwóch takich samych trójkątów. Ten dowód twierdzenia Pitagorasa jest najprostszy.
Rozważmy inny dowód tego twierdzenia. Wymaga wykorzystania wiedzy nie tylko z geometrii, ale także z algebry. Aby udowodnić to twierdzenie W ten sposób musimy skonstruować cztery podobne trójkąty prostokątne i oznaczyć ich boki jako a, b i c.
Musimy skonstruować te trójkąty w taki sposób, aby otrzymać dwa kwadraty. Zewnętrzna będzie miała boki (a+b), ale wewnętrzna będzie miała c. Aby znaleźć pole wewnętrznego kwadratu, musimy znaleźć iloczyn c*c. Ale aby znaleźć obszar dużego kwadratu, musisz dodać obszary małych kwadratów i dodać obszary wynikowych trójkąty prostokątne. Teraz, po zrobieniu kilku operacje algebraiczne, możesz uzyskać następującą formułę:
za 2 + b 2 = do 2
W rzeczywistości istnieje ogromna liczba metod dowodzenia twierdzeń. Można uwzględnić prostopadłe, trójkątne, kwadratowe lub dowolne inne kształty i ich właściwości różne twierdzenia i dowody. Twierdzenie Pitagorasa tylko to potwierdza.
Zamiast wniosków
Bardzo ważna jest umiejętność formułowania twierdzeń, a także poprawnego ich udowadniania. Oczywiście taka procedura jest dość złożona, ponieważ do jej przeprowadzenia konieczna jest nie tylko umiejętność działania duża ilość informacji, ale także do budowania łańcuchów logicznych. Matematyka jest bardzo ciekawa nauka, który nie ma końca ani krawędzi.
Zacznij się tego uczyć, a nie tylko zwiększysz swój poziom inteligencji, ale także zyskasz ogromną ilość interesująca informacja. Zacznij swoją edukację już dziś. Rozumiejąc podstawowe zasady dowodów twierdzeń, będziesz mógł spędzić swój czas z wielką korzyścią.
Dowód twierdzenia matematycznego jest z reguły ciągiem poprawnego rozumowania wykorzystującego aksjomaty i twierdzenia, którego ważność została wcześniej ustalona. Rozumowanie nazywamy poprawnym, jeśli z prawdziwości wszystkich przesłanek wynika prawdziwość wniosku. Niech zdania \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) będą przesłankami, a zdanie \(A\) wnioskiem. Rozumowanie przeprowadza się według schematu \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), tj. z założeń \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) wynika wniosek \(B\). To rozumowanie jest poprawne, jeśli formuła \((A_1\I A_2\And \ldots\I A_n)\Strzałka w prawo B\) identycznie, tj. prawdziwe dla dowolnych wartości prawdziwych zawartych w nim stwierdzeń \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Na przykład poniższe diagramy odpowiadają prawidłowemu rozumowaniu:
\(\frac(A\Strzałka w prawo B,A)(B)\)- reguła wnioskowania ( modus ponens);
\(\frac(A\Strzałka w prawo B,B\Strzałka w prawo C)(A \Strzałka w prawo C)\)- zasada sylogizmu;
\(\frac(A\strzałka w prawo B,\lnie B)(\lnie A)\)- zasada kontrapozycji.
Na podstawie pierwszego i trzeciego schematu konstruowane jest następujące rozumowanie:
– jeśli liczba naturalna \(n\) jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba \(n\) jest podzielna przez 4. Zatem liczba n jest parzysta;
– jeśli liczba naturalna \(n\) jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba \(n\) jest nieparzysta. Dlatego liczba \(n\) nie jest podzielna przez 4.
Oba argumenty są poprawne dla dowolnych liczb naturalnych \(n\) . Tak naprawdę nawet przy \(n=1\), pomimo pozornej niespójności, mamy prawidłowe rozumowanie: „jeśli liczba 1 jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba 1 jest podzielna przez 4. Zatem liczba 1 jest podzielna przez 4. liczba 1 jest parzysta”, ponieważ z fałszywych przesłanek można wyciągnąć dowolne wnioski.
Rozważmy przykład rozumowania według schematu \(\frac(A\Strzałka w prawo B,B)(A):\)
– jeśli liczba naturalna \(n\) jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba \(\) jest parzysta. Dlatego liczba \(n\) jest podzielna przez 4.
Odpowiednio dla \(n=6\) i \(n=8\) otrzymujemy:
– jeśli liczba naturalna 6 jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba 6 jest parzysta. Dlatego liczba 6 jest podzielna przez 4;
– jeśli liczba naturalna 8 jest podzielna przez 4, to jest parzysta. Liczba 8 jest parzysta. Zatem liczba 8 jest podzielna przez 4.
Oba argumenty są błędne, chociaż wniosek drugiego argumentu jest prawdziwy (liczba 8 jest w rzeczywistości podzielna przez 4), tj. schemat \(\frac(A\Strzałka w prawo B,B)(A)\) nie odpowiada prawidłowemu rozumowaniu.
Często zamiast udowadniać twierdzenie w postaci \(A\Strzałka w prawo B\), dowodzą prawdziwości innego twierdzenia równoważnego pierwotnemu. Takie formy dowodu nazywane są pośrednimi. Jedną z nich jest metoda dowodu przez sprzeczność. Aby udowodnić prawdziwość stwierdzenia \(A\Strzałka w prawo B\), zakładamy, że stwierdzenie to jest fałszywe. Na podstawie tego założenia dochodzimy do sprzeczności, czyli udowadniamy, że jakieś stwierdzenie jest jednocześnie prawdziwe i nieprawdziwe. Z tego wnioskujemy, że założenie jest fałszywe, a pierwotne stwierdzenie jest prawdziwe.
Stosując opisaną metodę dowodzimy twierdzenia:
jeśli \(n\) liczba nieparzysta, to liczba \(n^2\) jest nieparzysta.
Załóżmy odwrotnie, tj. Niech będzie liczba nieparzysta \(n\) taka, że liczba \(n^2\) będzie parzysta. Wtedy z jednej strony różnica \(n^2-n\) będzie liczbą nieparzystą, a z drugiej strony liczba \(n^2-n=n(n-1)\) jest oczywiście parzyste, jak iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych. Otrzymuje się sprzeczność, a mianowicie: liczba \(n^2-n\) jest jednocześnie parzysta i nieparzysta. Dowodzi to, że przyjęte założenie jest błędne, a zatem pierwotne stwierdzenie jest prawdziwe.
Rozważany schemat dowodu przez sprzeczność nie jest jedyny. Stosowane są również inne schematy dowodu przez sprzeczność:
\(\frac(A,\lnie B)(\lnie A)\) lub \(\frac(A,\lnie B)(B)\) .
Inny schemat dowodu pośredniego (zgodnie z prawem kontrapozycji) opiera się na równoważności dwóch stwierdzeń \(A\Rightarrow B\) i \(B\Rightarrow \lnot A\) . Rzeczywiście, oba te stwierdzenia są albo prawdziwe, albo oba fałszywe. Na przykład stwierdzenia „jeśli pada deszcz, to na niebie są chmury” i „jeśli na niebie nie ma chmur, to nie pada deszcz” są zarówno prawdziwe, jak i stwierdzenia „jeśli na niebie są chmury, to pada deszcz” i „jeśli nie pada deszcz, a na niebie nie ma chmur” są prawdą i fałszem.
W wielu problemach trzeba udowodnić ważność jakiegoś stwierdzenia (formuły) dla dowolnego Liczba naturalna\(N\) . Bezpośrednia weryfikacja takich twierdzeń dla każdej wartości n jest niemożliwa, gdyż zbiór liczb naturalnych jest nieskończony. Aby udowodnić takie stwierdzenia (wzory), używamy metoda Indukcja matematyczna , którego istota jest następująca. Niech będzie konieczne udowodnienie prawdziwości twierdzenia \(A(n)\) dla wszystkich \(n\in \mathbb(N)\) . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić dwa twierdzenia:
1) stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla \(n=1\) . Ta część dowodu nazywana jest podstawą indukcji;
2) dla dowolnego naturalnego \(k\) z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(n=k\) (założenie indukcyjne) wynika, że jest prawdziwe dla następna data\(n=k+1\) , tj. \(A(k)\Strzałka w prawo A(k+1)\) . Ta część dowodu nazywa się krokiem indukcyjnym.
Jeśli udowodnimy punkty 1, 2, możemy stwierdzić, że stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) .
W rzeczywistości, jeśli stwierdzenie \(A(1)\) jest prawdziwe (patrz punkt 1), to zdanie \(A(2)\) jest również prawdziwe (patrz punkt 2 dla \(n=1\)). Ponieważ \(A(2)\) jest prawdą, to \(A(3)\) jest również prawdą (patrz punkt 2 dla \(n=2\)) itd. W ten sposób możesz osiągnąć dowolną liczbę naturalną \(n\), upewniając się, że \(A(n)\) jest prawdziwe.
Uwaga B.6. W wielu przypadkach konieczne może być udowodnienie ważności określonego stwierdzenia \(A(n)\) nie dla wszystkich naturalnych \(n\), ale tylko dla \(n\geqslant p\), tj. zaczynając od pewnej ustalonej liczby \(p\) . Następnie modyfikuje się metodę indukcji matematycznej w następujący sposób:
1) podstawa indukcji: udowodnić prawdziwość \(A(p)\) ;
2) krok indukcyjny: udowodnić \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) dla dowolnego ustalonego \(k\geqslant p\) .
Z punktów 1, 2 wynika, że stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych \(n\geqslant p\) .
Przykład B.16. Udowodnić słuszność równości \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) .
Rozwiązanie. Oznaczmy sumę pierwszych \(n\) liczb nieparzystych przez \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Wymagane jest udowodnienie twierdzenia \(A(n):\) "równość \(S_n=n^2\) jest prawdziwa dla dowolnego \(n\in \mathbb(N)\) ". Dowód przeprowadzimy metodą indukcji.
1) Ponieważ \(S_1=1=1^2\) , to dla \(n=1\) prawdziwa jest równość \(S_n=n^2\), tj. stwierdzenie \(A(1)\) jest prawdziwe. Udowodniono podstawę indukcji.
2) Niech \(k\) będzie dowolną liczbą naturalną. Wykonajmy krok indukcyjny \(A(k)\Strzałka w prawo A(k+1)\) . Zakładając, że stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla \(n=k\), tj. \(S_k=k^2\) , udowodnijmy, że stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej \(n=k+1\) , czyli \(S_(k+ 1)=(k +1)^2\) . Naprawdę,
\(S_(k+1)= \underbrace(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Zatem \(A(k)\Strzałka w prawo A(k+1)\) i w oparciu o metodę indukcji matematycznej dochodzimy do wniosku, że stwierdzenie \(A(n)\) jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) , oznacza to, że wzór \( S_n=n^2\) jest prawdziwy dla dowolnego \(n\in \mathbb(N)\) .
Przykład B.17. Permutacja \(n\) liczb to zbiór pierwszych \(n\) liczb naturalnych, przyjętych w określonej kolejności. Udowodnij, że ilość różne permutacje jest równe \(n!\) . Wyrażenie \(n!\) (czytaj „\(n\) silnia”) jest równe \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Dwie permutacje \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) i \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) liczb \(n\) uważa się za równe, jeśli \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), a jeśli co najmniej jedna z równości zostanie naruszona, permutacje uważa się za różne.
Rozwiązanie. Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej.
1) Dla \(n=1\) istnieje tylko jedna permutacja \((1)\), tj. \(1!=1\) i stwierdzenie jest prawdziwe.
2) Załóżmy, że dla dowolnego \(k\) liczba permutacji jest równa \(k!\) . Udowodnimy, że liczba permutacji liczb \((k+1)\) jest równa \((k+1)!\) . Tak naprawdę, ustalmy liczbę \((k+1)\) w dowolnym miejscu permutacji liczb \((k+1)\) i umieśćmy pierwsze \(k\) liczby naturalne w pozostałych \ (k\) miejsc . Liczba takich permutacji jest równa liczbie permutacji liczb \(k\), tj. \(k!\) przez hipotezę indukcyjną. Ponieważ liczbę \((k+1)\) można umieścić w dowolnym z (k+1) miejsc permutacji, dochodzimy do wniosku, że liczba różnych permutacji liczb \((k+1)\) jest równa do \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Zatem zakładając, że stwierdzenie jest prawdziwe dla \(n=k\) , udało się wykazać, że jest ono prawdziwe dla \(n=k+1\) .
Z punktów 1 i 2 wynika, że stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) .
Uwaga B.7. Metody formalne wyprowadzanie twierdzeń przy użyciu licznych schematów prawidłowego rozumowania bada się w logice matematycznej. Z reguły metody te generują jedynie nowe sformułowania twierdzeń, które odzwierciedlają starą treść. Dlatego dla rozwoju teoria matematyczna są nieskuteczne. Jednak prawa logika matematyczna a podczas studiowania jakichkolwiek należy przestrzegać schematów prawidłowego rozumowania problem matematyczny.
JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!