Alle formler er under utvikling. Aritmetisk progresjon – tallrekke

Aritmetiske og geometriske progresjoner

Teoretisk informasjon

Teoretisk informasjon

	Aritmetisk progresjon	Geometrisk progresjon
Definisjon	Aritmetisk progresjon en n er en sekvens der hvert medlem, fra det andre, er lik det forrige medlemmet lagt til det samme tallet d (d- progresjonsforskjell)	Geometrisk progresjon b n er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet q (q- nevner for progresjon)
Gjentakelsesformel	For enhver naturlig n a n + 1 = a n + d	For enhver naturlig n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formel n-te ledd	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristisk egenskap
Summen av de første n leddene

Eksempler på oppgaver med kommentarer

Øvelse 1

I aritmetisk progresjon ( en n) en 1 = -6, en 2

I henhold til formelen til det n-te leddet:

en 22 = en 1+ d (22 - 1) = en 1+ 21 d

Etter tilstand:

en 1= -6, da en 22= -6 + 21 d.

Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d = en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Svar : en 22 = -48.

Oppgave 2

Finn det femte leddet i den geometriske progresjonen: -3; 6;....

1. metode (ved hjelp av n-term formel)

I henhold til formelen for det n-te leddet i en geometrisk progresjon:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Fordi b 1 = -3,

Andre metode (ved hjelp av tilbakevendende formel)

Siden nevneren for progresjonen er -2 (q = -2), så:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Svar : b 5 = -48.

Oppgave 3

I aritmetisk progresjon ( a n ) a 74 = 34; en 76= 156. Finn det syttifemte leddet i denne progresjonen.

For aritmetisk progresjon karakteristisk egenskap ser ut som .

Derfor:

La oss erstatte dataene i formelen:

Svar: 95.

Oppgave 4

I aritmetisk progresjon ( a n ) a n= 3n - 4. Finn summen av de første sytten leddene.

For å finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon, brukes to formler:

Hvilken er med i dette tilfellet mer praktisk å bruke?

Ved betingelse er formelen for det n-te leddet i den opprinnelige progresjonen kjent ( en n) en n= 3n - 4. Du kan finne umiddelbart og en 1, Og en 16 uten å finne d. Derfor vil vi bruke den første formelen.

Svar: 368.

Oppgave 5

I aritmetisk progresjon( en n) en 1 = -6; en 2= -8. Finn det tjueandre leddet i progresjonen.

I henhold til formelen til det n-te leddet:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = en 1+ 21d.

Etter betingelse, hvis en 1= -6, da en 22= -6 + 21d. Det er nødvendig å finne forskjellen i progresjoner:

d = en 2 – en 1 = -8 – (-6) = -2

en 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Svar : en 22 = -48.

Oppgave 6

Flere påfølgende ledd for den geometriske progresjonen er skrevet:

Finn leddet for progresjonen angitt med x.

Ved løsning skal vi bruke formelen for n'te ledd b n = b 1 ∙ q n - 1 Til geometriske progresjoner. Første termin av progresjonen. For å finne nevneren for progresjonen q, må du ta noen av de gitte leddene i progresjonen og dele på den forrige. I vårt eksempel kan vi ta og dele med. Vi får at q = 3. I stedet for n erstatter vi 3 i formelen, siden det er nødvendig å finne det tredje leddet i en gitt geometrisk progresjon.

Ved å erstatte de funnet verdiene i formelen får vi:

Svar : .

Oppgave 7

Fra aritmetiske progresjoner, gitt av formelen nth term, velg den som betingelsen er oppfylt for en 27 > 9:

Fordi gitt tilstand må være oppfylt for 27. termin av progresjonen, erstatter vi 27 i stedet for n i hver av de fire progresjonene. I 4. progresjon får vi:

Svar: 4.

Oppgave 8

I aritmetisk progresjon en 1= 3, d = -1,5. Spesifiser høyeste verdi n som ulikheten gjelder for en n > -6.

Første nivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil (i vårt tilfelle er det dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er først, hvilket som er nummer to, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallsekvens:

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett nummer i sekvensen. Det er med andre ord ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som det th tallet) er alltid det samme.
Tallet med tall kalles det ste leddet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har nummerrekkefølge, der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i flere i vid forstand, som en uendelig tallsekvens. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til samme nummer. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er betegnet.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til gitt progresjon() og prøv å finne verdien av dets th medlem. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så, det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje leddet i progresjonen? Summeringen ville tatt oss mer enn én time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville gjort feil når vi legger til tall.
Selvfølgelig har matematikere kommet opp med en måte der det ikke er nødvendig å legge forskjellen til en aritmetisk progresjon til den forrige verdien. Ta en nærmere titt på det tegnede bildet... Du har sikkert allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi sekvensielt la til vilkårene for den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen- la oss bringe henne til generell form og vi får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer av en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får gitt en aritmetisk progresjon bestående av følgende tall: La oss sjekke hva tallet på denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere problemet - vi vil utlede egenskapen til aritmetisk progresjon.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Lett, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, ah, da:

Helt rett. Det viser seg at vi først finner, så legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert av små verdier, så er det ikke noe komplisert med det, men hva om vi får tall i tilstanden? Enig, det er en mulighet for å gjøre feil i beregningene.
Tenk nå på om det er mulig å løse dette problemet i ett trinn ved å bruke en formel? Selvfølgelig ja, og det er det vi skal prøve å få frem nå.

La oss betegne den nødvendige termen for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende leddene i progresjonen er den doble verdien av progresjonsleddet som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et progresjonsledd med kjente tidligere og påfølgende verdier, må du legge dem til og dele med.

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Bra gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det gjenstår å finne ut bare én formel, som ifølge legenden lett ble utledet av en av tidenes største matematikere, "matematikernes konge" - Karl Gauss ...

Da Carl Gauss var 9 år gammel, spurte en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende problem i klassen: «Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder opp til) inkluderende." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Unge Carl Gauss la merke til et bestemt mønster som du også lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon som består av -th ledd: Vi må finne summen av disse leddene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om oppgaven krever å finne summen av termene, slik Gauss lette etter?

La oss skildre progresjonen gitt til oss. Ta en nærmere titt på de uthevede tallene og prøv å utføre ulike matematiske operasjoner med dem.

Har du prøvd det? Hva la du merke til? Ikke sant! Summene deres er like

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at totale mengden er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av ledd av en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske forskeren Diophantus tilbake i det 3. århundre, og gjennom denne tiden vittige mennesker gjort full bruk av egenskapene til aritmetisk progresjon.
Tenk deg for eksempel Det gamle Egypt og det meste storskala konstruksjon den gangen - konstruksjonen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad av pyramideveggen.

Hvorfor ikke en aritmetisk progresjon? Regn ut hvor mange blokker som trengs for å bygge én vegg hvis blokkklosser er plassert ved basen. Jeg håper du ikke vil telle mens du beveger fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om aritmetisk progresjon?

I dette tilfellet ser progresjonen ut på følgende måte: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenlign de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Har det? Godt gjort, du har mestret summen av de n-te leddene i en aritmetisk progresjon.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandklosser som trengs for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Riktig svar er blokker:

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hver øverste laget inneholder én logg mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svar: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Først oddetall, siste nummer.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svar: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svar: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon skrives med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange av dem du vil. Men vi kan alltid si hvilken som er først, hvilken som er nummer to, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummeret kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

Formel n-te ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Deretter:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n-te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

I følge legenden, stor matematiker Karl Gauss, som en 9 år gammel gutt, regnet ut dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede tall, multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hver påfølgende oppnås ved å legge til forrige dato. Dermed dannes tallene vi er interessert i aritmetisk progresjon med første ledd og forskjell.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange totalt kilometer vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
En syklist kjører flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svar:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svar:
Gitt: . Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svar:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Ja, ja: aritmetisk progresjon er ikke et leketøy for deg :)

Vel, venner, hvis du leser denne teksten, så forteller de interne cap-bevisene meg at du ennå ikke vet hva en aritmetisk progresjon er, men du virkelig (nei, sånn: SÅÅÅÅ!) vil vite det. Derfor vil jeg ikke plage deg med lange introduksjoner og kommer rett på sak.

Først et par eksempler. La oss se på flere sett med tall:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Hva har alle disse settene til felles? Ved første øyekast ingenting. Men faktisk er det noe. Nemlig: hver neste element skiller seg fra den forrige med samme tall.

Døm selv. Det første settet er ganske enkelt påfølgende tall, hver neste er ett mer enn det forrige. I det andre tilfellet, forskjellen mellom seriene stående tall er allerede lik fem, men denne forskjellen er fortsatt konstant. I det tredje tilfellet er det røtter helt. Imidlertid, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, og $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dvs. og i dette tilfellet øker hvert neste element ganske enkelt med $\sqrt(2)$ (og ikke vær redd for at dette tallet er irrasjonelt).

Altså: alle slike sekvenser kalles aritmetiske progresjoner. La oss gi en streng definisjon:

Definisjon. En tallsekvens der hver neste skiller seg fra den forrige med nøyaktig samme mengde kalles en aritmetisk progresjon. Selve beløpet som tallene avviker med kalles progresjonsforskjellen og er oftest betegnet med bokstaven $d$.

Notasjon: $\left(((a)_(n)) \right)$ er selve progresjonen, $d$ er forskjellen.

Og bare et par viktige merknader. For det første vurderes kun progresjon bestilt rekkefølge av tall: de er tillatt å lese strengt i den rekkefølgen de er skrevet i - og ingenting annet. Tall kan ikke omorganiseres eller byttes.

For det andre kan sekvensen i seg selv være enten endelig eller uendelig. For eksempel er mengden (1; 2; 3) åpenbart en endelig aritmetisk progresjon. Men hvis du skriver ned noe i ånden (1; 2; 3; 4; ...) - er dette allerede endeløs progresjon. Ellipsen etter de fire ser ut til å antyde at det er en del flere tall i vente. Uendelig mange, for eksempel.

Jeg vil også merke meg at progresjonene kan være økende eller avtagende. Vi har allerede sett økende - samme sett (1; 2; 3; 4; ...). Her er eksempler på avtagende progresjoner:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: siste eksempel kan virke altfor komplisert. Men resten tror jeg du skjønner. Derfor introduserer vi nye definisjoner:

Definisjon. En aritmetisk progresjon kalles:

øker hvis hvert neste element er større enn det forrige;

reduseres hvis tvert imot hvert påfølgende element er mindre enn det forrige.

I tillegg er det såkalte "stasjonære" sekvenser - de består av samme repeterende nummer. For eksempel (3; 3; 3; ...).

Bare ett spørsmål gjenstår: hvordan skille en økende progresjon fra en avtagende? Heldigvis avhenger alt her kun av tegnet til tallet $d$, dvs. progresjonsforskjeller:

Hvis $d \gt 0$, øker progresjonen;
Hvis $d \lt 0$, så er progresjonen åpenbart synkende;
Til slutt er det tilfellet $d=0$ - i dette tilfellet reduseres hele progresjonen til en stasjonær sekvens identiske tall: (1; 1; 1; 1; ...), osv.

La oss prøve å beregne forskjellen $d$ for de tre avtagende progresjonene gitt ovenfor. For å gjøre dette er det nok å ta to tilstøtende elementer (for eksempel den første og andre) og trekke tallet til venstre fra tallet til høyre. Det vil se slik ut:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Som vi kan se, viste forskjellen seg i alle tre tilfellene å være negativ. Og nå som vi mer eller mindre har funnet ut definisjonene, er det på tide å finne ut hvordan progresjoner beskrives og hvilke egenskaper de har.

Progresjonsvilkår og gjentakelsesformel

Siden elementene i sekvensene våre ikke kan byttes, kan de nummereres:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Ikke sant$\]

De individuelle elementene i dette settet kalles medlemmer av en progresjon. De er angitt med et tall: første medlem, andre medlem, etc.

I tillegg, som vi allerede vet, er nærliggende vilkår for progresjonen relatert med formelen:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Høyrepil ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kort sagt, for å finne $n$th ledd i en progresjon, må du kjenne $n-1$th ledd og forskjellen $d$. Denne formelen kalles tilbakevendende, fordi med dens hjelp kan du finne et hvilket som helst tall bare ved å kjenne den forrige (og faktisk alle de forrige). Dette er veldig upraktisk, så det er en mer utspekulert formel som reduserer eventuelle beregninger til det første leddet og forskjellen:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d\]

Du har sannsynligvis allerede kommet over denne formelen. De gir det gjerne i alle slags oppslagsverk og løsningsbøker. Og i enhver fornuftig matematikk lærebok er den en av de første.

Jeg foreslår imidlertid at du øver deg litt.

Oppgave nr. 1. Skriv ned de tre første leddene i den aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$ hvis $((a)_(1))=8,d=-5$.

Løsning. Så vi kjenner det første leddet $((a)_(1))=8$ og forskjellen i progresjonen $d=-5$. La oss bruke formelen som nettopp ble gitt og erstatte $n=1$, $n=2$ og $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\venstre(1-1 \høyre)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\venstre(2-1 \høyre)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\venstre(3-1 \høyre)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Svar: (8; 3; −2)

Det er alt! Vær oppmerksom på at progresjonen vår er synkende.

Selvfølgelig kunne ikke $n=1$ erstattes - den første termen er allerede kjent for oss. Men ved å erstatte enhet, var vi overbevist om at selv for første termin fungerer formelen vår. I andre tilfeller gikk alt ned på banal aritmetikk.

Oppgave nr. 2. Skriv ned de tre første leddene i en aritmetisk progresjon hvis dens syvende ledd er lik −40 og dens syttende ledd er lik −50.

Løsning. La oss skrive problemtilstanden i kjente termer:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\venstre\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Ikke sant.\]

Jeg setter systemskiltet fordi disse kravene må oppfylles samtidig. La oss nå merke oss at hvis vi trekker den første fra den andre ligningen (vi har rett til å gjøre dette, siden vi har et system), får vi dette:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\venstre(((a)_(1))+6d \right)=-50-\venstre(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Så enkelt er det å finne progresjonsforskjellen! Alt som gjenstår er å erstatte det funnet tallet i en av likningene i systemet. For eksempel, i den første:

\[\begin(matrise) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrise)\]

Nå, når du kjenner det første leddet og forskjellen, gjenstår det å finne det andre og tredje leddet:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Klar! Problemet er løst.

Svar: (−34; −35; −36)

Legg merke til den interessante egenskapen til progresjon som vi oppdaget: hvis vi tar $n$th og $m$th leddene og trekker dem fra hverandre, får vi forskjellen av progresjonen multiplisert med $n-m$ tallet:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \venstre(n-m \høyre)\]

En enkel, men veldig nyttig egenskap som du definitivt trenger å vite - med dens hjelp kan du betydelig fremskynde løsningen av mange progresjonsproblemer. Her lyst det eksempel:

Oppgave nr. 3. Det femte leddet i en aritmetisk progresjon er 8,4, og dets tiende ledd er 14,4. Finn det femtende leddet i denne progresjonen.

Løsning. Siden $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, og vi må finne $((a)_(15))$, legger vi merke til følgende:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Men etter betingelse $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, derfor $5d=6$, som vi har:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Svar: 20.4

Det er alt! Vi trengte ikke lage noen ligningssystemer og beregne det første leddet og forskjellen - alt ble løst på bare et par linjer.

La oss nå se på en annen type problem – å søke etter negative og positive termer for en progresjon. Det er ingen hemmelighet at hvis en progresjon øker, og dens første term er negativ, vil før eller senere positive termer vises i den. Og omvendt: vilkårene for en avtagende progresjon vil før eller siden bli negative.

Samtidig er det ikke alltid mulig å finne dette øyeblikket "head-on" ved å gå gjennom elementene sekvensielt. Ofte er oppgaver skrevet på en slik måte at uten å kunne formlene, ville beregningene ta flere ark – vi ville rett og slett sovnet mens vi fant svaret. Derfor, la oss prøve å løse disse problemene på en raskere måte.

Oppgave nr. 4. Hvor mange negative ledd er det i den aritmetiske progresjonen −38,5; −35,8; ...?

Løsning. Så, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, hvorfra vi umiddelbart finner forskjellen:

Merk at forskjellen er positiv, så progresjonen øker. Det første leddet er negativt, så på et tidspunkt vil vi faktisk snuble over positive tall. Spørsmålet er bare når dette vil skje.

La oss prøve å finne ut hvor lenge (dvs. opp til hvilket naturlig tall $n$) negativiteten til begrepene forblir:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Høyrepil ((a)_(1))+\venstre(n-1 \høyre)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \venstre(n-1 \høyre) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Høyrepil ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Den siste linjen krever litt forklaring. Så vi vet at $n \lt 15\frac(7)(27)$. På den annen side er vi fornøyd med bare heltallsverdier av tallet (også: $n\in \mathbb(N)$), så det største tillatte tallet er nøyaktig $n=15$, og ikke i noe tilfelle 16 .

Oppgave nr. 5. I aritmetisk progresjon $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finn nummer én positivt begrep denne progresjonen.

Dette ville være nøyaktig det samme problemet som det forrige, men vi kjenner ikke $((a)_(1))$. Men nabobegrepene er kjent: $((a)_(5))$ og $((a)_(6))$, så vi kan enkelt finne forskjellen i progresjonen:

I tillegg, la oss prøve å uttrykke det femte leddet gjennom det første og forskjellen ved å bruke standardformelen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\venstre(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nå fortsetter vi analogt med forrige oppgave. La oss finne ut på hvilket tidspunkt i sekvensen vår positive tall vil vises:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Høyrepil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Minimum heltallsløsning av denne ulikheten er tallet 56.

Vennligst merk: i siste oppgave alt kom ned til streng ulikhet, så alternativet $n=55$ vil ikke passe oss.

Nå som vi har lært å løse enkle problemer, la oss gå videre til mer komplekse. Men først, la oss studere en annen veldig nyttig egenskap ved aritmetiske progresjoner, som i fremtiden vil spare oss for mye tid og ulik celler.

Aritmetisk gjennomsnitt og like innrykk

La oss vurdere flere påfølgende ledd i den økende aritmetiske progresjonen $\left(((a)_(n)) \right)$. La oss prøve å merke dem på talllinjen:

Vilkår for en aritmetisk progresjon på tallinjen

Jeg merket spesifikt vilkårlige termer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, og ikke noen $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Fordi regelen som jeg skal fortelle deg om nå fungerer på samme måte for alle "segmenter".

Og regelen er veldig enkel. La oss huske gjentakelsesformel og skriv det ned for alle merkede medlemmer:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Imidlertid kan disse likhetene omskrives annerledes:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Vel, hva så? Og det faktum at begrepene $((a)_(n-1))$ og $((a)_(n+1))$ ligger i samme avstand fra $((a)_(n)) $ . Og denne avstanden er lik $d$. Det samme kan sies om begrepene $((a)_(n-2))$ og $((a)_(n+2))$ - de er også fjernet fra $((a)_(n) )$ i samme avstand lik $2d$. Vi kan fortsette i det uendelige, men meningen er godt illustrert av bildet

Vilkårene for progresjonen ligger i samme avstand fra sentrum

Hva betyr dette for oss? Dette betyr at $((a)_(n))$ kan bli funnet hvis nabotallene er kjent:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Vi har utledet et utmerket utsagn: hvert ledd i en aritmetisk progresjon er lik det aritmetiske gjennomsnittet av naboleddene! Dessuten: vi kan gå tilbake fra $((a)_(n))$ til venstre og høyre, ikke med ett trinn, men med $k$ trinn - og formelen vil fortsatt være riktig:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

De. vi kan enkelt finne noen $((a)_(150))$ hvis vi kjenner $((a)_(100))$ og $((a)_(200))$, fordi $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Ved første øyekast kan det virke som at dette faktum ikke gir oss noe nyttig. Men i praksis er mange problemer spesielt skreddersydd for å bruke det aritmetiske gjennomsnittet. Ta en titt:

Oppgave nr. 6. Finn alle verdiene av $x$ der tallene $-6((x)^(2))$, $x+1$ og $14+4((x)^(2))$ er påfølgende ledd for en aritmetisk progresjon (i den angitte rekkefølgen).

Løsning. Fordi det angitte tall er medlemmer av en progresjon, er den aritmetiske gjennomsnittsbetingelsen oppfylt for dem: det sentrale elementet $x+1$ kan uttrykkes i form av naboelementer:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Det ble klassisk kvadratisk ligning. Dens røtter: $x=2$ og $x=-3$ er svarene.

Svar: −3; 2.

Oppgave nr. 7. Finn verdiene til $$ der tallene $-1;4-3;(()^(2))+1$ danner en aritmetisk progresjon (i den rekkefølgen).

Løsning. La oss uttrykke igjen gjennomsnittlig medlem gjennom det aritmetiske gjennomsnittet av naboledd:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \venstre| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Kvadratisk ligning igjen. Og igjen er det to røtter: $x=6$ og $x=1$.

Svar: 1; 6.

Hvis du i ferd med å løse et problem kommer opp med noen brutale tall, eller du ikke er helt sikker på riktigheten av svarene som er funnet, så er det en fantastisk teknikk som lar deg sjekke: har vi løst problemet riktig?

La oss si at vi i oppgave nr. 6 fikk svar −3 og 2. Hvordan kan vi kontrollere at disse svarene er riktige? La oss bare koble dem til den opprinnelige tilstanden og se hva som skjer. La meg minne deg på at vi har tre tall ($-6(()^(2))$, $+1$ og $14+4(()^(2))$), som må danne en aritmetisk progresjon. La oss erstatte $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Vi fikk tallene -54; −2; 50 som avviker med 52 er utvilsomt en aritmetisk progresjon. Det samme skjer for $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Høyrepil \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Igjen en progresjon, men med en forskjell på 27. Dermed ble problemet løst riktig. De som ønsker det kan sjekke det andre problemet på egen hånd, men jeg vil si med en gang: alt er riktig også der.

Generelt, mens vi løste de siste problemene, kom vi over et annet interessant fakta, som også må huskes:

Hvis tre tall er slik at det andre er det midterste aritmetikk først og sist, så danner disse tallene en aritmetisk progresjon.

I fremtiden vil forståelsen av denne uttalelsen tillate oss å bokstavelig talt "designe" nødvendige progresjoner, basert på betingelsene for problemet. Men før vi engasjerer oss i en slik "konstruksjon", bør vi ta hensyn til enda et faktum, som følger direkte av det som allerede er diskutert.

Gruppering og summering av elementer

La oss gå tilbake til tallaksen igjen. La oss merke der flere medlemmer av progresjonen, mellom hvilke kanskje. er verdt mange andre medlemmer:

Det er 6 elementer markert på talllinjen

La oss prøve å uttrykke "venstre hale" gjennom $((a)_(n))$ og $d$, og "høyre hale" gjennom $((a)_(k))$ og $d$. Det er veldig enkelt:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Vær nå oppmerksom på at følgende beløp er like:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Enkelt sagt, hvis vi tar utgangspunkt i to elementer av progresjonen, som totalt er lik et eller annet tall $S$, og deretter begynner å gå fra disse elementene til motsatte sider(mot hverandre eller omvendt for å bevege seg bort), da summene av elementene som vi kommer til å snuble over vil også være like$S$. Dette kan tydeligst representeres grafisk:

Like innrykk gir like beløp

Forståelse denne faktaen vil tillate oss å løse problemer i en fundamentalt mer høy level vanskeligheter enn de vi vurderte ovenfor. For eksempel disse:

Oppgave nr. 8. Bestem forskjellen på en aritmetisk progresjon der første ledd er 66, og produktet av andre og tolvte ledd er minst mulig.

Løsning. La oss skrive ned alt vi vet:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Så vi vet ikke progresjonsforskjellen $d$. Faktisk vil hele løsningen bygges rundt forskjellen, siden produktet $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ kan skrives om som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \venstre(d+66 \høyre)\cdot \venstre(d+6 \høyre). \end(align)\]

For de i tanken: Jeg tok den ut felles multiplikator 11 fra den andre braketten. Dermed er det ønskede produktet en kvadratisk funksjon med hensyn til variabelen $d$. Tenk derfor på funksjonen $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafen vil være en parabel med grener opp, fordi hvis vi utvider parentesene, får vi:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Som du kan se, er koeffisienten til det høyeste leddet 11 - dette er positivt tall, så vi har egentlig å gjøre med en parabel med grener opp:

rute kvadratisk funksjon- parabel
Merk: minimumsverdi denne parabelen tar $((d)_(0))$ i toppunktet med abscisse. Selvfølgelig kan vi beregne denne abscissen ved å bruke standardskjemaet (det er formelen $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), men det ville være mye mer rimelig å merke seg at ønsket toppunkt ligger på aksesymmetrien til parablen, derfor er punktet $((d)_(0))$ like langt fra røttene til ligningen $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Derfor hadde jeg ikke noe særlig hastverk med å åpne parentesene: i sin opprinnelige form var røttene veldig, veldig enkle å finne. Derfor er abscissen lik gjennomsnittet aritmetiske tall−66 og −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Hva gir det oppdagede tallet oss? Med det tar det nødvendige produktet minste verdi(Vi har forresten aldri beregnet $((y)_(\min ))$ - dette kreves ikke av oss). Samtidig er dette tallet forskjellen fra den opprinnelige progresjonen, dvs. vi fant svaret :)

Svar: -36

Oppgave nr. 9. Mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac(1)(6)$ setter du inn tre tall slik at de sammen med disse tallene danner en aritmetisk progresjon.

Løsning. I hovedsak må vi lage en sekvens med fem tall, med det første og siste tallet allerede kjent. La oss betegne de manglende tallene med variablene $x$, $y$ og $z$:

\[\venstre(((a)_(n)) \right)=\venstre\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Merk at tallet $y$ er "midten" av sekvensen vår - det er like langt fra tallene $x$ og $z$, og fra tallene $-\frac(1)(2)$ og $-\frac (1)(6)$. Og hvis vi er med fra tallene $x$ og $z$ dette øyeblikket vi kan ikke få $y$, da er situasjonen annerledes med slutten av progresjonen. La oss huske det aritmetiske gjennomsnittet:

Når vi nå kjenner $y$, vil vi finne de gjenværende tallene. Merk at $x$ ligger mellom tallene $-\frac(1)(2)$ og $y=-\frac(1)(3)$ vi nettopp fant. Derfor

Ved å bruke lignende resonnement finner vi det gjenværende tallet:

Klar! Vi fant alle tre tallene. La oss skrive dem i svaret i den rekkefølgen de skal settes inn mellom de opprinnelige tallene.

Svar: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Oppgave nr. 10. Mellom tallene 2 og 42 setter du inn flere tall som sammen med disse tallene danner en aritmetisk progresjon, hvis du vet at summen av det første, andre og siste av de innsatte tallene er 56.

Løsning. Et enda mer komplekst problem, som imidlertid løses etter samme skjema som de foregående - gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Problemet er at vi ikke vet nøyaktig hvor mange tall som må settes inn. Derfor, la oss anta for definitivt at etter å ha satt inn alt vil det være nøyaktig $n$ tall, og den første av dem er 2, og den siste er 42. I dette tilfellet kan den nødvendige aritmetiske progresjonen representeres i formen:

\[\venstre(((a)_(n)) \høyre)=\venstre$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Vær imidlertid oppmerksom på at tallene $((a)_(2))$ og $((a)_(n-1))$ er hentet fra tallene 2 og 42 ved kantene med ett skritt mot hverandre, dvs. . til midten av sekvensen. Og dette betyr det

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Men så kan uttrykket skrevet ovenfor omskrives som følger:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \venstre(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Når vi kjenner $((a)_(3))$ og $((a)_(1))$, kan vi enkelt finne forskjellen på progresjonen:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\venstre(3-1 \høyre)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Høyrepil d=5. \\ \end(align)\]

Alt som gjenstår er å finne de resterende begrepene:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Dermed kommer vi allerede på 9. trinn til venstre ende av sekvensen - tallet 42. Totalt måtte bare 7 tall settes inn: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Svar: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Ordproblemer med progresjoner

Avslutningsvis vil jeg vurdere et par relativt enkle oppgaver. Vel, så enkelt er det: For de fleste elever som studerer matematikk på skolen og ikke har lest det som er skrevet ovenfor, kan disse problemene virke tøffe. Likevel er dette den typen problemer som dukker opp i OGE og Unified State Exam i matematikk, så jeg anbefaler at du gjør deg kjent med dem.

Oppgave nr. 11. Teamet produserte 62 deler i januar, og i hver påfølgende måned produserte de 14 flere deler enn i forrige måned. Hvor mange deler produserte teamet i november?

Løsning. Det er klart at antall deler oppført etter måned vil representere en økende aritmetisk progresjon. Dessuten:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November er den 11. måneden i året, så vi må finne $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Derfor skal det produseres 202 deler i november.

Oppgave nr. 12. Bokbinderverkstedet bandt inn 216 bøker i januar, og i hver påfølgende måned bandt det inn 4 flere bøker enn forrige måned. Hvor mange bøker bandt verkstedet i desember?

Løsning. Alt det samme:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\venstre(n-1 \høyre)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember er den siste, 12. måneden i året, så vi ser etter $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Dette er svaret – 260 bøker bindes inn i desember.

Vel, hvis du har lest så langt, skynder jeg meg å gratulere deg: du har fullført "Young fighter's-kurset" i aritmetiske progresjoner. Du kan trygt gå videre til neste leksjon, hvor vi skal studere formelen for summen av progresjon, samt viktig og veldig nyttige konsekvenser fra henne.

Første nivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Nummerrekkefølge
For eksempel for vår sekvens:

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en tallrekke der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius tilbake på 600-tallet og ble forstått i bredere forstand som en uendelig numerisk rekkefølge. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble studert av de gamle grekerne.

Dette er en tallsekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige lagt til samme nummer. Dette tallet kalles forskjellen til en aritmetisk progresjon og er betegnet.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er en aritmetisk progresjon og hvilke som ikke er det:

en)
b)
c)
d)

Har det? La oss sammenligne svarene våre:
Er aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av dets tredje ledd. Finnes to måte å finne det på.

1. Metode

Vi kan legge til progresjonstallet til den forrige verdien til vi når den tredje ledd av progresjonen. Det er bra at vi ikke har så mye å oppsummere - bare tre verdier:

Så, det tredje leddet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

La oss for eksempel se hva verdien av det tredje leddet i denne aritmetiske progresjonen består av:

Med andre ord:

Prøv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon selv på denne måten.

Har du regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner kan være økende eller avtagende.

Økende- progresjoner der hver påfølgende verdi av begrepene er større enn den forrige.
For eksempel:

Synkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av vilkårene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den utledede formelen brukes i beregningen av ledd i både økende og avtagende termer av en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke dette i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon som består av følgende tall: La oss sjekke hva tallet i denne aritmetiske progresjonen vil være hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed er vi overbevist om at formelen fungerer i både avtagende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne de th og th leddene i denne aritmetiske progresjonen selv.

La oss sammenligne resultatene:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La, ah, da:

La oss betegne den nødvendige termen for den aritmetiske progresjonen som formelen for å finne den er kjent for oss - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, Deretter:

forrige termin av progresjonen er:
neste termin i progresjonen er:

La oss oppsummere de forrige og påfølgende betingelsene for progresjonen:

Det stemmer, vi har samme nummer. La oss sikre materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, det er slett ikke vanskelig.

Da Carl Gauss var 9 år gammel, ga en lærer, opptatt med å sjekke arbeidet til elevene i andre klasser, følgende oppgave i klassen: "Regn ut summen av alle naturlige tall fra til (ifølge andre kilder til) inklusive." Se for deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (dette var Karl Gauss) et minutt senere ga riktig svar på oppgaven, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange utregninger, fikk feil resultat...

Si meg nå, hvor mange slike par er det totalt i progresjonen gitt til oss? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, altså.
Basert på det faktum at summen av to ledd i en aritmetisk progresjon er lik, og like par er like, får vi at den totale summen er lik:
.
Dermed vil formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon være:

I noen problemer kjenner vi ikke begrepet, men vi vet forskjellen på progresjonen. Prøv å erstatte formelen til det te leddet med sumformelen.
Hva fikk du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble spurt til Carl Gauss: beregn selv hva summen av tall som starter fra th er lik og summen av tallene som starter fra th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant at summen av leddene er lik, og summen av leddene. Var det det du bestemte deg for?

Faktisk ble formelen for summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon bevist av den antikke greske vitenskapsmannen Diophantus tilbake på 300-tallet, og gjennom denne tiden benyttet vittige mennesker egenskapene til den aritmetiske progresjonen til fulle.
Tenk deg for eksempel det gamle Egypt og datidens største byggeprosjekt - byggingen av en pyramide... Bildet viser den ene siden av den.

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut: .
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall ledd i en aritmetisk progresjon.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (beregn antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Opplæring

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antall knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha trene knebøy i løpet av en uke hvis hun gjorde knebøy på den første treningsøkten?
Hva er summen av alle oddetall som finnes i.
Ved lagring av tømmerstokker stabler loggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder én tømmerstokk mindre enn den forrige. Hvor mange stokker er det i ett murverk, hvis fundamentet til murverket er stokker?

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svar: Om to uker bør Masha gjøre knebøy en gang om dagen.
Første oddetall, siste tall.
Aritmetisk progresjonsforskjell.
Antall oddetall i er halvparten, men la oss sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det tredje leddet i en aritmetisk progresjon:
Tall inneholder oddetall.
La oss erstatte de tilgjengelige dataene i formelen:
Svar: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske problemet med pyramider. For vårt tilfelle, en , siden hvert topplag reduseres med en stokk, så er det totalt en haug med lag, altså.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svar: Det er stokker i murverket.

La oss oppsummere det

- en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er lik og lik. Det kan være økende eller avtagende.
Finne formel Det tredje leddet i en aritmetisk progresjon skrives med formelen - , hvor er antall tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antall tall i progresjon.
Summen av leddene til en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK PROGRESJON. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall assosieres med et visst naturlig tall, og et unikt. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med nummeret kalles det th medlem av sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen med en bokstav (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik nummeret til dette medlemmet: .

Det er veldig praktisk hvis det tredje leddet i sekvensen kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

setter sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første leddet her er likt, og forskjellen er det). Eller (, forskjell).

Formel n-te ledd

Vi kaller en formel tilbakevendende der du, for å finne ut begrepet, må kjenne til de forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel det tredje leddet i progresjonen ved å bruke denne formelen, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la det. Deretter:

Vel, er det klart nå hva formelen er?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et eller annet tall. Hvilken? Veldig enkelt: dette er nummeret på gjeldende medlem minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon, finn formelen for det n-te leddet og finn det hundrede leddet.

Løsning:

Det første leddet er likt. Hva er forskjellen? Her er hva:

(Dette er grunnen til at det kalles forskjell fordi det er lik forskjellen mellom påfølgende ledd i progresjonen).

Så formelen:

Da er det hundrede leddet lik:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Carl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på noen få minutter. Han la merke til at summen av første og siste tall er lik, summen av andre og nest siste er den samme, summen av tredje og tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par er det totalt? Det stemmer, nøyaktig halvparten av alle tall, altså. Så,

Den generelle formelen for summen av de første leddene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Det første slike nummer er dette. Hvert etterfølgende nummer oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Dermed danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første leddet og differansen.

Formel for begrepet for denne progresjonen:

Hvor mange ledd er det i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste perioden av progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren flere meter enn dagen før. Hvor mange totalt kilometer vil han løpe i løpet av en uke hvis han løp km m den første dagen?
En syklist kjører flere kilometer hver dag enn dagen før. Den første dagen reiste han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å tilbakelegge en kilometer? Hvor mange kilometer vil han reise i løpet av den siste dagen av reisen?
Prisen på kjøleskap i butikk synker like mye hvert år. Bestem hvor mye prisen på et kjøleskap falt hvert år hvis det ble lagt ut for salg for rubler seks år senere ble solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet (uker = dager). Du må bestemme summen av de første leddene i denne progresjonen:
.
Svar:
Her er det gitt: , må finnes.
Selvfølgelig må du bruke samme sumformel som i forrige oppgave:
.
Bytt ut verdiene:
Roten passer tydeligvis ikke, så svaret er.
La oss beregne banen som ble reist i løpet av den siste dagen ved å bruke formelen til begrepet:
(km).
Svar:
Gitt: . Finn: .
Det kunne ikke vært enklere:
(gni).
Svar:

ARITMETISK PROGRESJON. KORT OM HOVEDTINGENE

Dette er en tallsekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være økende () og avtagende ().

For eksempel:

Formel for å finne det n-te leddet i en aritmetisk progresjon

er skrevet av formelen, hvor er antall tall i progresjon.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Den lar deg enkelt finne et ledd i en progresjon hvis naboleddet er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av ledd i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonens mål:

utvide og utdype elevenes forståelse av problemer løst ved hjelp av aritmetisk progresjon; organisere elevenes søkeaktiviteter når man utleder formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon;
utvikle evnen til selvstendig å tilegne seg ny kunnskap og bruke allerede ervervet kunnskap for å oppnå en gitt oppgave;
utvikle ønsket og behovet for å generalisere de oppnådde fakta, utvikle uavhengighet.

Oppgaver:

oppsummere og systematisere eksisterende kunnskap om temaet "Aritmetisk progresjon";
utlede formler for å beregne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon;
lære hvordan du bruker de oppnådde formlene når du løser ulike oppgaver;
gjøre elevene oppmerksomme på fremgangsmåten for å finne verdien av et numerisk uttrykk.

Utstyr:

kort med oppgaver for arbeid i grupper og par;
evalueringspapir;
presentasjon"Aritmetisk progresjon."

I. Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

1. Selvstendig arbeid i par.

1. alternativ:

Definer aritmetisk progresjon. Skriv ned en gjentakelsesformel som definerer en aritmetisk progresjon. Gi et eksempel på en aritmetisk progresjon og angi forskjellen.

Andre alternativ:

Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon. Finn det 100. leddet i den aritmetiske progresjonen ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunktet to studenter baksiden styrene forbereder svar på de samme spørsmålene.
Elevene evaluerer partnerens arbeid ved å sjekke dem på tavlen. (Ark med svar leveres inn.)

2. Spilløyeblikk.

Øvelse 1.

Lærer. Jeg tenkte på en viss aritmetisk progresjon. Still meg bare to spørsmål slik at du etter svarene raskt kan navngi det 7. leddet i denne progresjonen. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Spørsmål fra studenter.

Hva er det sjette leddet i progresjonen og hva er forskjellen?
Hva er det åttende leddet i progresjonen og hva er forskjellen?

Hvis det ikke er flere spørsmål, kan læreren stimulere dem - et "forbud" mot d (forskjell), det vil si at det ikke er lov å spørre hva forskjellen er lik. Du kan stille spørsmål: hva er 6. ledd i progresjonen lik og hva er 8. ledd av progresjonen lik?

Oppgave 2.

Det er skrevet 20 tall på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen mot brettet. Elevene roper nummeret, og læreren roper umiddelbart opp nummeret. Forklar hvordan jeg kan gjøre dette?

Læreren husker formelen for n. semester a n = 3n – 2 og, ved å erstatte de spesifiserte verdiene n, finner de tilsvarende verdiene en n.

II. Iscenesettelse læreoppgave.

Jeg foreslår å løse et eldgammelt problem som dateres tilbake til det 2. årtusen f.Kr., funnet i egyptiske papyrus.

Oppgave:"La det bli sagt til dere: del 10 mål bygg på 10 personer, forskjellen mellom hver person og hans nabo er 1/8 av målet."

Hvordan er dette problemet relatert til emnet aritmetisk progresjon? (Hver neste person mottar 1/8 av målet mer, noe som betyr at forskjellen er d=1/8, 10 personer, som betyr n=10.)
Hva tror du mål 10 betyr? (Summen av alle vilkår for progresjonen.)
Hva mer trenger du å vite for å gjøre det enkelt og enkelt å dele byggen etter forholdene for problemet? (Første periode av progresjon.)

Leksjonens mål– få avhengigheten av summen av vilkårene for progresjonen på antallet, den første terminen og differansen, og sjekke om problemet ble løst riktig i eldgamle tider.

Før vi utleder formelen, la oss se på hvordan de gamle egypterne løste problemet.

Og de løste det som følger:

1) 10 mål: 10 = 1 mål – gjennomsnittlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål – doblet gjennomsnitt dele.
Doblet gjennomsnitt andel er summen av andelene til den 5. og 6. personen.
3) 2 mål – 1/8 mål = 1 7/8 mål – dobbel andel av den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – brøkdel av en femtedel; og så videre, kan du finne andelen til hver forrige og etterfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løser problemet.

1. Arbeid i grupper

Gruppe I: Finn summen av 20 påfølgende naturlige tall: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Generelt

II gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 100 (The Legend of Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Konklusjon:

III gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 21.

Løsning: 1+21=2+20=3+19=4+18...

Konklusjon:

IV gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 101.

Konklusjon:

Denne metoden for å løse problemene som vurderes kalles "Gauss-metoden".

2. Hver gruppe presenterer løsningen på problemet på tavlen.

3. Generalisering av de foreslåtte løsningene for en vilkårlig aritmetisk progresjon:

a 1, a 2, a 3,..., en n-2, en n-1, en n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +...+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

La oss finne denne summen ved å bruke lignende resonnement:

4. Har vi løst problemet?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse av de oppnådde formlene ved problemløsning.

1. Kontroller løsningen på et gammelt problem ved å bruke formelen.

2. Anvendelse av formelen for å løse ulike problemer.

3. Øvelser for å utvikle evnen til å anvende formler ved problemløsning.

A) nr. 613

Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Finne: S 1500

Løsning: , a 1 = 1 og 1500 = 1500,

B) Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Finne: n
Løsning:

V. Selvstendig arbeid med gjensidig verifisering.

Denis begynte å jobbe som kurer. I den første måneden var lønnen hans 200 rubler, i hver påfølgende måned økte den med 30 rubler. Hvor mye tjente han totalt på et år?

Gitt: ( a n) – aritmetisk progresjon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finne: S 12
Løsning:

Svar: Denis mottok 4380 rubler for året.

VI. Lekseundervisning.

Del 4.3 – lær deg utledningen av formelen.
№№ 585, 623 .
Lag en oppgave som kan løses ved hjelp av formelen for summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon.

VII. Oppsummering av leksjonen.

1. Scoreark

2. Fortsett setningene

I dag i timen lærte jeg...
Formler lært...
Jeg tror at …

3. Kan du finne summen av tall fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruke for å løse dette problemet?

Bibliografi.

1. Algebra, 9. klasse. Opplæring for utdanningsinstitusjoner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Enlightenment", 2009.