Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Bestemme avstanden mellom: 1 - punkt og plan; 2 - rett og flatt; 3 - fly; 4 - kryssende rette linjer vurderes sammen, siden løsningsalgoritmen for alle disse problemene i hovedsak er den samme og består av geometriske konstruksjoner, som må utføres for å bestemme avstanden mellom gitt punkt A og plan α. Hvis det er noen forskjell, består den bare av at i tilfelle 2 og 3, før du begynner å løse problemet, bør du merke et vilkårlig punkt A på den rette linjen m (tilfelle 2) eller planet β (tilfelle 3). avstander mellom kryssende rette linjer, omslutter vi dem først i parallelle plan α og β og bestemmer deretter avstanden mellom disse planene.

La oss vurdere hvert av de bemerkede tilfellene av problemløsning.

1. Bestemme avstanden mellom et punkt og et plan.

Avstanden fra et punkt til et plan bestemmes av lengden på et vinkelrett segment trukket fra et punkt til planet.

Derfor består løsningen på dette problemet av å utføre følgende grafiske operasjoner sekvensielt:

1) fra punkt A senker vi perpendikulæren til planet α (fig. 269);

2) finn skjæringspunktet M av denne perpendikulæren med planet M = a ∩ α;

3) bestemme lengden på segmentet.

Hvis planet α generell stilling, så for å senke en perpendikulær på dette planet, er det nødvendig å først bestemme retningen til de horisontale og frontale projeksjonene til dette planet. Å finne møtepunktet for denne perpendikulæren med planet krever også ytterligere geometriske konstruksjoner.

Løsningen på problemet forenkles hvis planet α inntar en spesiell posisjon i forhold til projeksjonsplanene. I dette tilfellet utføres både projeksjonen av perpendikulæren og funnet av punktet for møtet med flyet uten noen ekstra hjelpekonstruksjoner.

EKSEMPEL 1. Bestem avstanden fra punkt A til det frontalt projiserte planet α (fig. 270).

LØSNING. Gjennom A" tegner vi den horisontale projeksjonen av den perpendikulære l" ⊥ h 0α, og gjennom A" - dens frontale projeksjon l" ⊥ f 0α. Vi markerer punktet M" = l" ∩ f 0α . Siden AM || π 2, deretter [A" M"] == |AM| = d.

Fra det betraktede eksemplet er det klart hvor enkelt problemet løses når flyet inntar en fremspringende posisjon. Derfor, hvis et generelt posisjonsplan er spesifisert i kildedataene, før du fortsetter med løsningen, bør planet flyttes til en posisjon vinkelrett på et hvilket som helst projeksjonsplan.

EKSEMPEL 2. Bestem avstanden fra punkt K til planet spesifisert av ΔАВС (fig. 271).

1. Vi overfører flyet ΔАВС til projeksjonsposisjonen *. For å gjøre dette går vi fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 3 /π 1: retningen til den nye x 1-aksen velges vinkelrett på den horisontale projeksjonen av trekantens horisontale plan.

2. Projisere ΔABC på et nytt plan π 3 (ΔABC-planet projiseres på π 3, i [ C " 1 B " 1 ]).

3. Projiser punktet K på samme plan (K" → K" 1).

4. Gjennom punktet K" 1 tegner vi (K" 1 M" 1)⊥ segmentet [C" 1 B" 1]. Den nødvendige avstanden d = |K" 1 M" 1 |

Løsningen på problemet forenkles hvis planet er definert av spor, siden det ikke er behov for å tegne projeksjoner av nivålinjer.

EKSEMPEL 3. Bestem avstanden fra punkt K til planet α, spesifisert av sporene (fig. 272).

* Den mest rasjonelle måten å overføre trekantplanet til projeksjonsposisjonen er å erstatte projeksjonsplanene, siden det i dette tilfellet er nok å konstruere bare en hjelpeprojeksjon.

LØSNING. Vi erstatter planet π 1 med planet π 3, for dette tegner vi en ny akse x 1 ⊥ f 0α. På h 0α markerer vi et vilkårlig punkt 1" og bestemmer dets nye horisontale projeksjon på planet π 3 (1" 1). Gjennom punktene X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) og 1" 1 tegner vi h 0α 1. Vi bestemmer den nye horisontale projeksjonen av punktet K → K" 1. Fra punkt K" 1 senker vi perpendikulæren til h 0α 1 og markerer skjæringspunktet med h 0α 1 - M" 1. Lengden på segmentet K" 1 M" 1 vil indikere nødvendig avstand.

2. Bestemme avstanden mellom en rett linje og et plan.

Avstanden mellom en linje og et plan bestemmes av lengden på et vinkelrett segment som faller fra et vilkårlig punkt på linjen til planet (se fig. 248).

Derfor er løsningen på problemet med å bestemme avstanden mellom rett linje m og plan α ikke forskjellig fra eksemplene diskutert i avsnitt 1 for å bestemme avstanden mellom et punkt og et plan (se fig. 270 ... 272). Som et punkt kan du ta et hvilket som helst punkt som tilhører linje m.

3. Bestemmelse av avstanden mellom planene.

Avstanden mellom planene bestemmes av størrelsen på det vinkelrette segmentet som faller fra et punkt tatt på ett plan til et annet plan.

Av denne definisjonen følger det at algoritmen for å løse problemet med å finne avstanden mellom planene α og β skiller seg fra en lignende algoritme for å løse problemet med å bestemme avstanden mellom linje m og plan α bare ved at linje m må tilhøre plan α , dvs. for å bestemme avstanden mellom planene α og β følger:

1) ta en rett linje m i α-planet;

2) velg et vilkårlig punkt A på linje m;

3) fra punkt A, senk perpendikulæren l til planet β;

4) bestem punktet M - møtepunktet for perpendikulæren l med planet β;

5) bestemme størrelsen på segmentet.

I praksis er det tilrådelig å bruke en annen løsningsalgoritme, som vil avvike fra den som er gitt bare ved at før du fortsetter med det første trinnet, skal flyene overføres til projeksjonsposisjonen.

Å inkludere denne tilleggsoperasjonen i algoritmen forenkler utførelsen av alle andre punkter uten unntak, noe som til slutt fører til en enklere løsning.

EKSEMPEL 1. Bestem avstanden mellom planene α og β (fig. 273).

LØSNING. Vi går fra systemet xπ 2 /π 1 til x 1 π 1 /π 3. Med hensyn til det nye planet π 3, inntar planene α og β en fremspringende posisjon, derfor er avstanden mellom de nye frontale sporene f 0α 1 og f 0β 1 den ønskede.

I ingeniørpraksis er det ofte nødvendig å løse problemet med å konstruere et plan parallelt med et gitt og fjernt fra det ved å spesifisert avstand. Eksempel 2 nedenfor illustrerer løsningen på et slikt problem.

EKSEMPEL 2. Det kreves å konstruere projeksjoner av et plan β parallelt med et gitt plan α (m || n), hvis det er kjent at avstanden mellom dem er d (fig. 274).

1. I α-planet tegner vi vilkårlige horisontale linjer h (1, 3) og frontlinjer f (1,2).

2. Fra punkt 1 gjenoppretter vi perpendikulæren l til planet α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. På perpendikulæren l markerer vi et vilkårlig punkt A.

4. Bestem lengden på segmentet - (posisjonen indikerer på diagrammet den metrisk uforvrengte retningen til den rette linjen l).

5. Legg ut segmentet = d på den rette linjen (1"A 0) fra punkt 1".

6. Merk på fremspringene l" og l" punktene B" og B", tilsvarende punktet På 0.

7. Gjennom punkt B trekker vi planet β (h 1 ∩ f 1). Til β || α, er det nødvendig å overholde betingelsen h 1 || h og f 1 || f.

4. Bestemme avstanden mellom kryssende linjer.

Avstanden mellom kryssende linjer bestemmes av lengden på perpendikulæren mellom de parallelle planene som de kryssende linjene tilhører.

For å tegne innbyrdes parallelle plan α og β gjennom kryssende rette linjer m og f, er det tilstrekkelig å trekke gjennom punkt A (A ∈ m) en rett linje p parallelt med rett linje f, og gjennom punkt B (B ∈ f) en rett linje k parallelt med rett m . De skjærende linjene m og p, f og k definerer de innbyrdes parallelle planene α og β (se fig. 248, e). Avstanden mellom planene α og β er lik den nødvendige avstanden mellom krysslinjene m og f.

En annen måte å bestemme avstanden mellom kryssende linjer kan foreslås, som er å bruke en form for transformasjonsmetode ortogonale projeksjoner en av krysslinjene overføres til den fremspringende posisjonen. I dette tilfellet degenererer en projeksjon av linjen til et punkt. Avstanden mellom de nye projeksjonene av kryssende linjer (punkt A" 2 og segment C" 2 D" 2) er den nødvendige.

I fig. 275 viser en løsning på problemet med å bestemme avstanden mellom kryssende linjene a og b, gitte segmenter[AB] og [CD]. Løsningen utføres i følgende rekkefølge:

1. Flytt en av krysslinjene (a) til en posisjon parallelt med flyetπ 3; For å gjøre dette, flytt fra systemet med projeksjonsplaner xπ 2 /π 1 til den nye x 1 π 1 /π 3, x 1-aksen er parallell med den horisontale projeksjonen av rett linje a. Bestem a" 1 [A" 1 B" 1 ] og b" 1.

2. Ved å erstatte planet π 1 med planet π 4 translater vi den rette linjen

og til posisjon a" 2, vinkelrett på planet π 4 (den nye x 2-aksen er tegnet vinkelrett på a" 1).

3. Konstruer en ny horisontal projeksjon av rett linje b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Avstanden fra punkt A" 2 til rett linje C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (er den nødvendige.

Det bør huskes at overføringen av en av de kryssende linjene til den fremspringende posisjonen ikke er noe annet enn overføringen av parallellitetsplanene, der linjene a og b kan omsluttes, også til den fremspringende posisjonen.

Faktisk, ved å flytte linje a til en posisjon vinkelrett på planet π 4, sikrer vi at ethvert plan som inneholder linje a er vinkelrett på planet π 4, inkludert planet α definert av linjene a og m (a ∩ m, m | |. b ). Hvis vi nå trekker en linje n, parallell med a og skjærende linje b, får vi planet β, som er det andre parallellismeplanet, som inneholder skjæringslinjene a og b. Siden β || α, deretter β ⊥ π 4 .

Bruksanvisning

For å finne avstanden fra poeng før flyet ved hjelp av beskrivende metoder: velg på flyet vilkårlig poeng; tegne to rette linjer gjennom den (ligger i denne flyet); gjenopprette vinkelrett på flyet passerer gjennom dette punktet (konstruer en linje vinkelrett på begge kryssende linjer samtidig); tegne en rett linje parallelt med den konstruerte perpendikulæren gjennom et gitt punkt; finn avstanden mellom skjæringspunktet for denne linjen med planet og det gitte punktet.

Hvis stillingen poeng gitt av dens tredimensjonale koordinater, og posisjonen flyet – lineær ligning, for deretter å finne avstanden fra flyet før poeng, bruk metodene analytisk geometri: angir koordinatene poeng gjennom x, y, z, henholdsvis (x – abscisse, y – ordinat, z – applikat); angir ligningene med A, B, C, D flyet(A - parameter ved abscisse, B - ved , C - ved søknad, D - fri sikt); beregne avstanden fra poeng før flyet i henhold til formelen:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |,hvor s er avstanden mellom punktet og planet,|| - absolutt verdi(eller modul).

Eksempel: Finn avstanden mellom punkt A med koordinater (2, 3, -1) og planet, gitt av ligningen: 7x-6y-6z+20=0 Løsning følger at: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20. . Bytt ut disse verdiene med de ovennevnte verdiene: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.Svar: Avstand fra poeng før flyet er lik 2 (vilkårlige enheter).

Tips 2: Hvordan bestemme avstanden fra et punkt til et fly

Bestemme avstanden fra poeng før flyet- en av de vanlige oppgavene til skoleplanimetri. Som kjent, den minste avstand fra poeng før flyet det vil være en vinkelrett trukket fra dette poeng til dette flyet. Derfor er lengden på denne perpendikulæren tatt som avstanden fra poeng før flyet.

Du vil trenge

• plan ligning

Bruksanvisning

La den første av parallellen f1 være gitt ved ligningen y=kx+b1. Oversetter du uttrykket til generell form, får du kx-y+b1=0, det vil si A=k, B=-1. Normalen til den vil være n=(k, -1).
Nå følger en vilkårlig abscisse av punktet x1 på f1. Da er ordinaten y1=kx1+b1.
La ligningen til den andre av de parallelle linjene f2 ha formen:
y=kx+b2 (1),
hvor k er lik for begge linjer, på grunn av deres parallellitet.

Neste må du lage kanonisk ligning en linje vinkelrett på både f2 og f1 som inneholder punktet M (x1, y1). I dette tilfellet antas det at x0=x1, y0=y1, S=(k, -1). Som et resultat bør du få følgende likhet:
(x-xl)/k =(y-kxl-bl)/(-1) (2).

Etter å ha løst likningssystemet som består av uttrykk (1) og (2), finner du det andre punktet som bestemmer den nødvendige avstanden mellom parallelle N(x2, y2). Den nødvendige avstanden i seg selv vil være lik d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2.

Eksempel. La likningene til gitte parallelle linjer på planet f1 – y=2x +1 (1);
f2 – y=2x+5 (2). Ta et vilkårlig punkt x1=1 på f1. Da er y1=3. Det første punktet vil dermed ha koordinatene M (1,3). Generell perpendikulær ligning (3):
(x-1)/2 = -y+3 eller y=-(1/2)x+5/2.
Hvis du erstatter denne y-verdien med (1), får du:
-(1/2)x+5/2=2x+5, (5/2)x=-5/2, x2=-1, y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
Den andre bunnen av perpendikulæren er i punktet med koordinatene N (-1, 3). Avstanden mellom parallelle linjer vil være:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4,47.

Kilder:

• Utvikling friidrett i Russland

Topp av enhver flat eller volumetrisk geometrisk figur unikt bestemt av koordinatene i rommet. På samme måte kan ethvert vilkårlig punkt i samme koordinatsystem bestemmes unikt, og dette gjør det mulig å beregne avstanden mellom disse vilkårlig poeng og toppen av figuren.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn eller blyant;
• - kalkulator.

Bruksanvisning

Reduser problemet til å finne lengden på et segment mellom to punkter, hvis koordinatene til punktet spesifisert i oppgaven og toppunktene til den geometriske figuren er kjent. Denne lengden kan beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem i forhold til projeksjonene av et segment på koordinataksen - den vil være lik kvadratrot fra summen av kvadratene av lengdene til alle projeksjoner. La for eksempel punkt A(X₁;Y₁;Z1) og toppunkt C til en hvilken som helst geometrisk figur med koordinater (X₂;Y₂;Z₂) gis i et tredimensjonalt koordinatsystem. Deretter lengden på projeksjonene av segmentet mellom dem på koordinatakser kan være som X1-X2, Y1-Y2 og Z1-Z2, og lengden av segmentet som √((X1-X2)²+(Y1-Y2)²+(Z1-Z2)²). For eksempel, hvis koordinatene til punktet er A(5;9;1), og toppunktene er C(7;8;10), vil avstanden mellom dem være lik √((5-7)²+ (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9,274.

Beregn først koordinatene til toppunktet hvis de ikke er eksplisitt presentert i problembetingelsene. Den spesifikke metoden avhenger av typen figur og kjente tilleggsparametere. For eksempel, hvis de tredimensjonale koordinatene til tre toppunkter A(X1;Y1;Z1), B(X2;Y2;Z2) og C(X3;Y3;Z3) er kjent, så er koordinatene til dens fjerde toppunkt ( motsatt toppunktet B) vil være (X3+X2-X1; Y3+Y2-Y1; Z3+Z2-Z1). Etter å ha bestemt koordinatene til det manglende toppunktet, vil beregning av avstanden mellom det og et vilkårlig punkt igjen reduseres til å bestemme lengden på segmentet mellom disse to punktene i gitt system koordinater - gjør dette på samme måte som beskrevet i forrige trinn. For eksempel, for toppunktet til parallellogrammet beskrevet i dette trinnet og punkt E med koordinater (X₄;Y₄;Z₄), kan formelen for å beregne avstanden fra forrige trinn være som følger: √((X₃+X₂-X₁- X4)2+(Y3+Y2-Y1-Y4)2+(Z3+Z2-Z1-Z4)2).

For praktiske beregninger kan du for eksempel bruke den som er innebygd i Googles søkemotor. Så, for å beregne verdien ved å bruke formelen oppnådd i forrige trinn, for punkter med koordinatene A(7;5;2), B(4;11;3), C(15;2;0), E(7; 9; 2), skriv inn dette søkeord: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). Søkemotoren vil beregne og vise resultatet av beregningen (5.19615242).

Video om emnet

Gjenoppretting vinkelrett Til flyet- en av viktige oppgaver i geometri ligger det til grunn for mange teoremer og bevis. Å konstruere en linje vinkelrett flyet, må du utføre flere trinn sekvensielt.

Du vil trenge

• - gitt fly;
• - punktet du vil tegne en vinkelrett fra;
• - kompass;
• - Hersker;
• - blyant.

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert denne jobben, last ned fullversjonen.

Mål:

• generalisering og systematisering av elevenes kunnskaper og ferdigheter;
• utvikling av ferdigheter til å analysere, sammenligne, trekke konklusjoner.

Utstyr:

• multimedia projektor;
• datamaskin;
• ark med oppgavetekster

KLASSENS FREMGANG

I. Organisatorisk øyeblikk

II. Kunnskapsoppdateringsstadiet(lysbilde 2)

Vi gjentar hvordan avstanden fra et punkt til et plan bestemmes

III. Foredrag(lysbilder 3-15)

I klassen skal vi se på ulike måter finne avstanden fra et punkt til et plan.

Første metode: trinn-for-trinn beregning

Avstand fra punkt M til plan α:
– lik avstanden til planet α fra et vilkårlig punkt P som ligger på en rett linje a, som går gjennom punktet M og er parallell med planet α;
– er lik avstanden til planet α fra et vilkårlig punkt P som ligger på planet β, som går gjennom punktet M og er parallelt med planet α.

Vi vil løse følgende problemer:

№1. I terning A...D 1, finn avstanden fra punkt C 1 til plan AB 1 C.

Det gjenstår å beregne lengden på segmentet O 1 N.

№2. I et regulært sekskantet prisme A...F 1, der alle kanter er lik 1, finn avstanden fra punkt A til planet DEA 1.

Neste metode: volummetoden.

Hvis volumet til pyramiden ABCM er lik V, beregnes avstanden fra punkt M til planet α som inneholder ∆ABC med formelen ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Når vi løser problemer, bruker vi likheten av volumer av én figur, uttrykt på to forskjellige måter.

La oss løse følgende problem:

№3. Kanten AD på pyramiden DABC er vinkelrett på grunnplanet ABC. Finn avstanden fra A til planet som går gjennom midtpunktene til kantene AB, AC og AD, hvis.

Når du løser problemer koordinere metode avstanden fra punkt M til plan α kan beregnes ved hjelp av formelen ρ(M; α) = , hvor M(x 0; y 0; z 0), og planet er gitt av ligningen ax + by + cz + d = 0

La oss løse følgende problem:

№4. I en enhetskube A...D 1, finn avstanden fra punkt A 1 til plan BDC 1.

La oss introdusere et koordinatsystem med origo i punkt A, y-aksen vil løpe langs kanten AB, x-aksen langs kanten AD, og ​​z-aksen langs kanten AA 1. Deretter koordinatene til punktene B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
La oss lage en ligning for et plan som går gjennom punktene B, D, C 1.

Da – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Derfor er ρ =

Følgende metode kan brukes til å løse problemer av denne typen – metode støttende oppgaver.

applikasjon denne metoden består i anvendelse av kjente referanseproblemer, som er formulert som teoremer.

La oss løse følgende problem:

№5. I en enhetskube A...D 1, finn avstanden fra punkt D 1 til plan AB 1 C.

La oss vurdere søknaden vektormetode.

№6. I en enhetskube A...D 1, finn avstanden fra punkt A 1 til plan BDC 1.

Så vi så på ulike metoder som kan brukes for å løse denne typen problemer. Valget av en eller annen metode avhenger av den spesifikke oppgaven og dine preferanser.

IV. Gruppearbeid

Prøv å løse problemet forskjellige måter.

№1. Kanten på kuben A...D 1 er lik . Finn avstanden fra toppunktet C til plan BDC 1.

№2. I vanlig tetraeder ABCD med en kant, finn avstanden fra punkt A til planet BDC

№3. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1 som alle kanter er lik 1, finn avstanden fra A til planet BCA 1.

№4. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, der alle kanter er lik 1, finn avstanden fra A til planet SCD.

V. Leksjonssammendrag, hjemmelekser, refleksjon

Denne artikkelen snakker om å bestemme avstanden fra et punkt til et fly. La oss analysere det ved å bruke koordinatmetoden, som vil tillate oss å finne avstanden fra et gitt punkt i tredimensjonalt rom. For å forsterke dette, la oss se på eksempler på flere oppgaver.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Avstanden fra et punkt til et plan er funnet av kjent avstand fra punkt til punkt, hvor en av dem er gitt, og den andre er en projeksjon på et gitt plan.

Når et punkt M 1 med et plan χ er spesifisert i rommet, så kan du gjennom punktet tegne vinkelrett på planet direkte. H 1 er felles poeng deres veikryss. Fra dette får vi at segmentet M 1 H 1 er en perpendikulær trukket fra punktet M 1 til planet χ, hvor punktet H 1 er bunnen av perpendikulæren.

Definisjon 1

Kalle avstanden fra et gitt punkt til bunnen av en vinkelrett tegnet fra et gitt punkt til gitt fly.

Definisjonen kan skrives i ulike formuleringer.

Definisjon 2

Avstand fra punkt til plan er lengden på perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til et gitt plan.

Avstanden fra punkt M 1 til χ-planet bestemmes som følger: avstanden fra punkt M 1 til χ-planet vil være den minste fra et gitt punkt til et hvilket som helst punkt på planet. Hvis punktet H 2 ligger i χ-planet og ikke er lik punktet H 2, får vi høyre trekant type M 2 H 1 H 2 , som er rektangulær, der det er et ben M 2 H 1, M 2 H 2 – hypotenuse. Dette betyr at det følger at M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 regnes som skråstilt, som er trukket fra punkt M 1 til planet χ. Vi har at perpendikulæren trukket fra et gitt punkt til planet er mindre enn den skråstilte trukket fra punktet til det gitte planet. La oss se på denne saken i figuren nedenfor.

Avstand fra et punkt til et plan - teori, eksempler, løsninger

Det er et antall geometriske problemer, hvis løsninger må inneholde avstanden fra punktet til planet. Det kan være forskjellige måter å identifisere dette på. For å løse, bruk Pythagoras teorem eller likhet av trekanter. Når det i henhold til betingelsen er nødvendig å beregne avstanden fra et punkt til et plan, spesifisert i rektangulært system koordinater til tredimensjonalt rom løses ved koordinatmetoden. Dette avsnittet diskuterer denne metoden.

I henhold til betingelsene for oppgaven har vi at et punkt i tredimensjonalt rom med koordinater M 1 (x 1, y 1, z 1) med et plan χ er det nødvendig å bestemme avstanden fra M 1 til; planet χ. Flere løsningsmetoder brukes for å løse dette problemet.

Første vei

Denne metoden er basert på å finne avstanden fra et punkt til et plan ved å bruke koordinatene til punktet H 1, som er bunnen av perpendikulæren fra punkt M 1 til planet χ. Deretter må du beregne avstanden mellom M 1 og H 1.

For å løse problemet på den andre måten, bruk normal ligning gitt fly.

Andre vei

Ved betingelse har vi at H 1 er bunnen av perpendikulæren, som ble senket fra punkt M 1 til planet χ. Deretter bestemmer vi koordinatene (x 2, y 2, z 2) til punktet H 1. Den nødvendige avstanden fra M 1 til χ-planet er funnet ved formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, hvor M 1 (x 1, y 1, z 1) og H 1 (x 2, y 2, z 2). For å løse, må du kjenne koordinatene til punkt H 1.

Vi har at H 1 er skjæringspunktet for χ-planet med linjen a, som går gjennom punktet M 1 som ligger vinkelrett på χ-planet. Det følger at det er nødvendig å kompilere en ligning for en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på et gitt plan. Det er da vi vil være i stand til å bestemme koordinatene til punkt H 1. Det er nødvendig å beregne koordinatene til skjæringspunktet mellom linjen og planet.

Algoritme for å finne avstanden fra et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) til χ-planet:

Definisjon 3

• tegne en likning av rett linje a som går gjennom punkt M 1 og samtidig
• vinkelrett på χ-planet;
• finn og beregn koordinatene (x 2 , y 2 , z 2) til punkt H 1, som er punkter
• skjæring av rett linje a med plan χ ;
• beregne avstanden fra M 1 til χ ved å bruke formelen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Tredje vei

I et gitt rektangulært koordinatsystem O x y z er det et plan χ, da får vi normalligningen til planet type cosα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Herfra får vi at avstanden M 1 H 1 med punktet M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trukket til planet χ, beregnet med formelen M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p. Denne formelen er gyldig, siden den ble etablert takket være teoremet.

Teorem

Hvis punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) er gitt inn tredimensjonalt rom, med en normalligning av planet χ av formen cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0, så beregnes avstanden fra punktet til planet M 1 H 1 fra formelen M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, siden x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Bevis

Beviset for teoremet handler om å finne avstanden fra et punkt til en linje. Herfra får vi at avstanden fra M 1 til χ-planet er modulen til differansen mellom den numeriske projeksjonen av radiusvektoren M 1 med avstanden fra origo til χ-planet. Da får vi uttrykket M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Normalvektoren til planet χ har formen n → = cos α, cos β, cos γ, og lengden er lik én, n p n → O M → er den numeriske projeksjonen av vektoren O M → = (x 1, y 1 , z 1) i retningen bestemt av vektoren n → .

La oss bruke beregningsformelen skalare vektorer. Da får vi et uttrykk for å finne en vektor av formen n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , siden n → = cos α , cos β , cos γ · z og OM → = (x 1 , y 1 , z 1 ). Koordinatformen for skriving vil ha formen n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , deretter M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teoremet er bevist.

Herfra får vi at avstanden fra punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) til χ-planet beregnes ved å erstatte inn i venstre side normal likning av planet cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 i stedet for x, y, z koordinater x 1, y 1 og z 1, relatert til punkt M 1, tar absolutt verdi den oppnådde verdien.

La oss se på eksempler på å finne avstanden fra et punkt med koordinater til et gitt plan.

Eksempel 1

Beregn avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (5, - 3, 10) til planet 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Løsning

La oss løse problemet på to måter.

Den første metoden starter med å beregne retningsvektoren til linjen a. Ved betingelse har vi at den gitte ligningen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 er en ligning av planet generelt syn, og n → = (2, - 1, 5) er normalvektoren til det gitte planet. Den brukes som en retningsvektor for en rett linje a, som er vinkelrett på et gitt plan. Det er nødvendig å skrive ned den kanoniske ligningen til en linje i rommet som går gjennom M 1 (5, - 3, 10) med en retningsvektor med koordinatene 2, - 1, 5.

Ligningen blir x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Krysspunkter skal bestemmes. For å gjøre dette, kombiner ligningene forsiktig til et system for å gå fra det kanoniske til ligningene til to kryssende linjer. Dette punktet la oss ta H 1. Det skjønner vi

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Deretter må du aktivere systemet

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

La oss gå til den gaussiske systemløsningsregelen:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Vi får at H 1 (1, - 1, 0).

Vi beregner avstanden fra et gitt punkt til flyet. Vi tar poeng M 1 (5, - 3, 10) og H 1 (1, - 1, 0) og får

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Den andre løsningen er å først bringe den gitte ligningen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 til normal form. Vi bestemmer normaliseringsfaktoren og får 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Herfra utleder vi likningen til planet 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Venstre side av ligningen beregnes ved å erstatte x = 5, y = - 3, z = 10, og du må ta avstanden fra M 1 (5, - 3, 10) til 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Vi får uttrykket:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Svar: 2 30.

Når χ-planet er spesifisert av en av metodene i avsnittet om metoder for å spesifisere et plan, må du først få likningen til χ-planet og beregne den nødvendige avstanden ved å bruke en hvilken som helst metode.

Eksempel 2

I tredimensjonalt rom angis punkter med koordinater M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Regn ut avstanden fra M 1 til plan A B C.

Løsning

Først må du skrive ned ligningen til planet som går gjennom de gitte tre punktene med koordinatene M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Det følger at problemet har en løsning som ligner på den forrige. Dette betyr at avstanden fra punkt M 1 til plan A B C har en verdi på 2 30.

Svar: 2 30.

Å finne avstanden fra et gitt punkt på et plan eller til et plan som de er parallelle med er mer praktisk ved å bruke formelen M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Fra dette får vi at normallikningene til plan oppnås i flere trinn.

Eksempel 3

Finn avstanden fra et gitt punkt med koordinatene M 1 (- 3 , 2 , - 7) til koordinatplan Omtrent x y z og planet definert av ligningen 2 y - 5 = 0.

Løsning

Koordinatplanet O y z tilsvarer en ligning på formen x = 0. For O y z-planet er det normalt. Derfor er det nødvendig å erstatte verdiene x = - 3 i venstre side av uttrykket og ta den absolutte verdien av avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 3, 2, - 7) til planet. Vi får en verdi lik - 3 = 3.

Etter transformasjonen vil normalligningen til planet 2 y - 5 = 0 ha formen y - 5 2 = 0. Deretter kan du finne den nødvendige avstanden fra punktet med koordinatene M 1 (- 3, 2, - 7) til planet 2 y - 5 = 0. Ved å erstatte og regne ut får vi 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Svar: Den nødvendige avstanden fra M 1 (- 3, 2, - 7) til O y z har en verdi på 3, og til 2 y - 5 = 0 har en verdi på 5 2 - 2.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter