Trigonometrisk form av et komplekst tall
Plan
1. Geometrisk representasjon av komplekse tall.
2. Trigonometrisk notasjon av komplekse tall.
3. Handlinger på komplekse tall i trigonometrisk form.
Geometrisk representasjon av komplekse tall.
a) Komplekse tall er representert av punkter på et plan i henhold til følgende regel: en + bi = M ( en ; b ) (Figur 1).
Bilde 1
b) Et komplekst tall kan representeres av en vektor som begynner ved punktetOM og enden ved et gitt punkt (fig. 2).
Figur 2
Eksempel 7. Konstruer punkter som representerer komplekse tall:1; - Jeg ; - 1 + Jeg ; 2 – 3 Jeg (Fig. 3).
Figur 3
Trigonometrisk notasjon av komplekse tall.
Komplekst tallz = en + bi kan spesifiseres ved hjelp av radiusvektoren med koordinater( en ; b ) (Fig. 4).
Figur 4
Definisjon . Vektorlengde , som representerer et komplekst tallz , kalles modulen til dette tallet og er betegnet ellerr .
For et hvilket som helst komplekst tallz sin modulr = | z | bestemmes unikt av formelen .
Definisjon . Størrelsen på vinkelen mellom den positive retningen til den reelle aksen og vektoren , som representerer et komplekst tall, kalles argumentet til dette komplekse tallet og betegnesEN rg z ellerφ .
Kompleks tallargumentz = 0 udefinert. Kompleks tallargumentz≠ 0 – en mengde med flere verdier og bestemmes innenfor en term2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Hvorarg z – hovedverdien til argumentet i intervallet(-π; π] , det er-π < arg z ≤ π (noen ganger blir en verdi som tilhører intervallet tatt som hovedverdien til argumentet .
Denne formelen nårr =1 ofte kalt Moivres formel:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Eksempel 11: Regn ut(1 + Jeg ) 100 .
La oss skrive et komplekst tall1 + Jeg i trigonometrisk form.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + jeg synder )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + jeg synder ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Trekke ut kvadratroten av et komplekst tall.
Når du tar kvadratroten av et komplekst tallen + bi vi har to tilfeller:
Hvisb
>o
, Det 
;
3.1. Polare koordinater
Brukes ofte på et fly polart koordinatsystem . Det er definert hvis et punkt O er gitt, kalt stang, og strålen som kommer fra polen (for oss er dette aksen Ox) – polaraksen. Posisjonen til punktet M er fastsatt med to tall: radius (eller radiusvektor) og vinkel φ mellom polaraksen og vektoren. Vinkelen φ kalles polar vinkel; målt i radianer og regnet mot klokken fra polaraksen.
Posisjonen til et punkt i det polare koordinatsystemet er gitt av et ordnet tallpar (r; φ). På polet r = 0, og φ er ikke definert. For alle andre punkter r > 0, og φ er definert opp til et ledd som er et multiplum av 2π. I dette tilfellet er tallpar (r; φ) og (r 1 ; φ 1) assosiert med samme punkt hvis .
For et rektangulært koordinatsystem xOy De kartesiske koordinatene til et punkt uttrykkes lett i form av dets polare koordinater som følger:
3.2. Geometrisk tolkning av komplekse tall
La oss se på et kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet xOy.
Ethvert komplekst tall z=(a, b) er knyttet til et punkt på planet med koordinater ( x, y), Hvor koordinat x = a, dvs. den reelle delen av det komplekse tallet, og koordinaten y = bi er den imaginære delen.
Et plan hvis punkter er komplekse tall er et komplekst plan.
I figuren, det komplekse tallet z = (a, b) tilsvarer et punkt M(x, y).
Trening.Tegn komplekse tall på koordinatplanet:
3.3. Trigonometrisk form av et komplekst tall
Et komplekst tall på planet har koordinatene til et punkt M(x;y). Hvori:
Skrive et komplekst tall 
- trigonometrisk form av et komplekst tall.
Tallet r kalles modul
komplekst tall z og er utpekt. Modulus er et ikke-negativt reelt tall. Til 
.
Modulen er null hvis og bare hvis z = 0, dvs. a = b = 0.
Tallet φ kalles argument z og er utpekt. Argumentet z er definert tvetydig, som den polare vinkelen i det polare koordinatsystemet, nemlig opp til et ledd som er et multiplum av 2π.
Da aksepterer vi: , hvor φ er den minste verdien av argumentet. Det er åpenbart det
.
Når man studerer emnet mer i dybden, introduseres et hjelpeargument φ*, slik at
Eksempel 1. Finn den trigonometriske formen til et komplekst tall.
Løsning. 1) vurdere modulen: ;
2) ser etter φ: 
;
3) trigonometrisk form: 
Eksempel 2. Finn den algebraiske formen til et komplekst tall 
.
Her er det nok å erstatte verdiene til trigonometriske funksjoner og transformere uttrykket:
Eksempel 3. Finn modulen og argumentet til et komplekst tall;
1) 
;
2); φ – i 4 kvartaler:
3.4. Operasjoner med komplekse tall i trigonometrisk form
· Addisjon og subtraksjon Det er mer praktisk å gjøre med komplekse tall i algebraisk form:
· Multiplikasjon– ved hjelp av enkle trigonometriske transformasjoner kan det vises at Når du multipliserer, multipliseres tallmodulene, og argumentene legges til: ;
2.3. Trigonometrisk form av komplekse tall
La vektoren spesifiseres på det komplekse planet med tallet .
La oss betegne med φ vinkelen mellom den positive halvaksen Ox og vektoren (vinkelen φ anses som positiv hvis den måles mot klokken, og negativ ellers).
La oss angi lengden på vektoren med r. Deretter . Vi angir også
Skrive et ikke-null komplekst tall z i skjemaet
kalles den trigonometriske formen til det komplekse tallet z. Tallet r kalles modulen til det komplekse tallet z, og tallet φ kalles argumentet til dette komplekse tallet og er betegnet med Arg z.
Trigonometrisk form for å skrive et komplekst tall - (Eulers formel) - eksponentiell form for å skrive et komplekst tall:
Det komplekse tallet z har uendelig mange argumenter: hvis φ0 er et hvilket som helst argument av tallet z, så kan alle de andre finnes ved å bruke formelen
For et komplekst tall er ikke argumentet og trigonometrisk form definert.
Dermed er argumentet for et komplekst tall som ikke er null, enhver løsning på ligningssystemet:
(3)
Verdien φ til argumentet til et komplekst tall z, som tilfredsstiller ulikhetene, kalles hovedverdien og er betegnet med arg z.
Argumentene Arg z og arg z er relatert til
, (4)
Formel (5) er en konsekvens av system (3), derfor tilfredsstiller alle argumenter av et komplekst tall likhet (5), men ikke alle løsninger φ av ligning (5) er argumenter for tallet z.
Hovedverdien til argumentet til et komplekst tall som ikke er null er funnet i henhold til formlene:
Formler for å multiplisere og dele komplekse tall i trigonometrisk form er som følger:
. (7)
Når du hever et komplekst tall til en naturlig potens, brukes Moivre-formelen:
Når du trekker ut roten til et komplekst tall, brukes formelen:
, (9)
hvor k=0, 1, 2, …, n-1.
Oppgave 54. Regn ut hvor .
La oss presentere løsningen på dette uttrykket i eksponentiell form for å skrive et komplekst tall: .
Hvis da.
Deretter , 
. Derfor da 
Og 
, Hvor .
Svar: , kl.
Oppgave 55. Skriv komplekse tall på trigonometrisk form:
A) ; b) ; V); G); d) ; e) 
; og).
Siden den trigonometriske formen til et komplekst tall er , da:
a) I et komplekst tall: .
,
Derfor 
b) 
, Hvor ,
G) 
, Hvor ,
e) 
.
og) 
, A 
, Det.
Derfor 
Svar: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.
Oppgave 56. Finn den trigonometriske formen til et komplekst tall
.
la, 
.
Deretter , 
, .
Siden og 
, , deretter , og
Derfor, derfor
Svar: 
, Hvor .
Oppgave 57. Utfør følgende handlinger ved å bruke den trigonometriske formen til et komplekst tall: .
La oss forestille oss tallene og 
i trigonometrisk form.
1), hvor 
Deretter
Finn verdien av hovedargumentet:
La oss erstatte verdiene og inn i uttrykket, vi får 
2) , hvor da 
Deretter 
3) La oss finne kvotienten
Forutsatt k=0, 1, 2, får vi tre forskjellige verdier av ønsket rot:
Hvis da 
hvis da 
hvis da 
.
Svar: :
:
: .
Oppgave 58. La , , , være forskjellige komplekse tall og 
. Bevis det
et tall 
er et reelt positivt tall;
b) likheten gjelder:
a) La oss representere disse komplekse tallene i trigonometrisk form:
Fordi .
La oss late som . Deretter 
.
Det siste uttrykket er et positivt tall, siden sinustegnene inneholder tall fra intervallet.
siden nummeret ekte og positiv. Faktisk, hvis a og b er komplekse tall og er reelle og større enn null, så .
I tillegg,
derfor er den nødvendige likheten bevist.
Oppgave 59. Skriv tallet på algebraisk form 
.
La oss representere tallet i trigonometrisk form og deretter finne dets algebraiske form. Vi har 
. Til 
vi får systemet:
Dette innebærer likhet: 
.
Bruk av Moivres formel: ,
vi får
Den trigonometriske formen til det gitte tallet er funnet.
La oss nå skrive dette tallet i algebraisk form:
.
Svar: 
.
Oppgave 60. Finn summen , ,
La oss vurdere beløpet
Ved å bruke Moivres formel finner vi
Denne summen er summen av n ledd av en geometrisk progresjon med nevneren 
og det første medlemmet 
.
Ved å bruke formelen for summen av ledd for en slik progresjon, har vi
Å isolere den imaginære delen i det siste uttrykket, finner vi
Ved å isolere den reelle delen får vi også følgende formel: , , .
Oppgave 61. Finn summen:
EN) 
; b) .
I følge Newtons formel for eksponentiering har vi
Ved å bruke Moivres formel finner vi:
Ved å likestille de virkelige og imaginære delene av de resulterende uttrykkene for , har vi:
Og 
.
Disse formlene kan skrives i kompakt form som følger:
,
, hvor er heltallsdelen av tallet a.
Oppgave 62. Finn alle , for hvilke .
Fordi det 
, deretter ved å bruke formelen
, 
For å trekke ut røttene, får vi 
,
Derfor, 
, 
,
, 
.
Punktene som tilsvarer tallene er plassert ved toppunktene til et kvadrat innskrevet i en sirkel med radius 2 med sentrum i punktet (0;0) (fig. 30).
Svar: , ,
, .
Oppgave 63. Løs ligningen 
, .
Etter betingelse ; derfor har ikke denne ligningen en rot, og derfor er den ekvivalent med ligningen.
For at tallet z skal være roten til denne ligningen, må tallet være den n-te roten av tallet 1.
Herfra konkluderer vi med at den opprinnelige ligningen har røtter bestemt fra likhetene
, 
Dermed, 
,
dvs. 
,
Svar: 
.
Oppgave 64. Løs likningen i settet med komplekse tall.
Siden tallet ikke er roten til denne ligningen, er denne ligningen ekvivalent med ligningen
Altså ligningen.
Alle røttene til denne ligningen er hentet fra formelen (se oppgave 62):
; 
; ; 
; 
.
Oppgave 65. Tegn på det komplekse planet et sett med punkter som tilfredsstiller ulikhetene: 
. (Andre måte å løse oppgave 45 på)
La 
.
Komplekse tall med identiske moduler tilsvarer punkter i planet som ligger på en sirkel sentrert ved origo, derfor ulikheten 
tilfredsstille alle punkter i en åpen ring avgrenset av sirkler med felles sentrum ved origo og radier og (fig. 31). La et punkt av det komplekse planet tilsvare tallet w0. Antall 
, har en modul flere ganger mindre enn modulen w0, og et argument større enn argumentet w0. Fra et geometrisk synspunkt kan punktet som tilsvarer w1 oppnås ved å bruke en homoteti med et senter ved origo og en koeffisient, samt en rotasjon i forhold til origo med en vinkel mot klokken. Som et resultat av å bruke disse to transformasjonene til punktene i ringen (fig. 31), vil sistnevnte forvandles til en ring avgrenset av sirkler med samme senter og radier 1 og 2 (fig. 32).
Omdannelse 
implementert ved hjelp av parallell overføring til en vektor. Ved å overføre ringen med sentrum i punktet til den angitte vektoren får vi en ring av samme størrelse med senteret i punktet (fig. 22).
Den foreslåtte metoden, som bruker ideen om geometriske transformasjoner av et fly, er sannsynligvis mindre praktisk å beskrive, men er veldig elegant og effektiv.
Oppgave 66. Finn if 
.
La , deretter og . Den første likestillingen vil ta formen 
. Fra betingelsen om likhet av to komplekse tall får vi , , hvorfra , . Dermed, .
La oss skrive tallet z i trigonometrisk form:
, Hvor , . I følge Moivres formel finner vi .
Svar: – 64.
Oppgave 67. For et komplekst tall, finn alle komplekse tall slik at , og 
.
La oss representere tallet i trigonometrisk form:
. Herfra, . For tallet vi får , kan være lik eller .
I det første tilfellet 
, i den andre
.
Svar: , 
.
Oppgave 68. Finn summen av slike tall som . Vennligst oppgi ett av disse tallene.
Merk at fra selve problemformuleringen kan det forstås at summen av røttene til ligningen kan finnes uten å beregne selve røttene. Faktisk, summen av røttene til ligningen 
er koeffisienten for , tatt med motsatt fortegn (generalisert Vietas teorem), dvs.
Elever, skoledokumentasjon, trekker konklusjoner om graden av mestring av dette konseptet. Oppsummer studiet av egenskapene til matematisk tenkning og prosessen med dannelsen av begrepet et komplekst tall. Beskrivelse av metoder. Diagnostisk: Trinn I. Samtalen ble gjennomført med en matematikklærer som underviser i algebra og geometri på 10. trinn. Samtalen fant sted etter at det hadde gått litt tid siden starten...
Resonans" (!)), som også inkluderer en vurdering av egen atferd. 4. Kritisk vurdering av sin forståelse av situasjonen (tvil). 5. Til slutt bruk av anbefalinger fra rettspsykologien (advokaten tar hensyn til det psykologiske aspekter ved de profesjonelle handlingene som utføres - profesjonell psykologisk beredskap). La oss nå vurdere psykologisk analyse av juridiske fakta...
Matematikk for trigonometrisk substitusjon og testing av effektiviteten til den utviklede undervisningsmetodikken. Arbeidsfaser: 1. Utvikling av et valgfritt emne om emnet: «Anvendelse av trigonometrisk substitusjon for å løse algebraiske problemer» med elever i klasser med avansert matematikk. 2. Gjennomføring av det utviklede valgfaget. 3. Gjennomføring av en diagnostisk test...
Kognitive oppgaver er kun ment å utfylle eksisterende læremidler og må være i en hensiktsmessig kombinasjon med alle tradisjonelle virkemidler og elementer i utdanningsløpet. Forskjellen mellom pedagogiske problemer i undervisningen i humaniora og eksakte, fra matematiske problemer, er bare at i historiske problemer er det ingen formler, strenge algoritmer osv., som kompliserer løsningen deres. ...
KOMPLEKSE NUMMER XI
§ 256. Trigonometrisk form av komplekse tall
La et komplekst tall a + bi tilsvarer vektor O.A.> med koordinater ( a, b ) (se fig. 332).
La oss betegne lengden på denne vektoren med r , og vinkelen den lager med aksen X , gjennom φ . Per definisjon av sinus og cosinus:
en / r =cos φ , b / r = synd φ .
Derfor EN = r cos φ , b = r synd φ . Men i dette tilfellet det komplekse tallet a + bi kan skrives som:
a + bi = r cos φ + ir synd φ = r (cos φ + Jeg synd φ ).
Som du vet, er kvadratet av lengden til en hvilken som helst vektor lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor r 2 = en 2 + b 2, hvorfra r = √a 2 + b 2
Så, et hvilket som helst komplekst tall a + bi kan representeres i skjemaet :
a + bi = r (cos φ + Jeg synd φ ), (1)
hvor r = √a 2 + b 2 og vinkelen φ bestemmes ut fra tilstanden:
Denne formen for å skrive komplekse tall kalles trigonometrisk.
Antall r i formel (1) kalles modul, og vinkelen φ - argument, komplekst tall a + bi .
Hvis et komplekst tall a + bi er ikke lik null, så er modulen positiv; hvis a + bi = 0, da a = b = 0 og deretter r = 0.
Modulen til et komplekst tall er unikt bestemt.
Hvis et komplekst tall a + bi er ikke lik null, så bestemmes argumentet av formler (2) helt sikkert opp til en vinkel delelig med 2 π . Hvis a + bi = 0, da a = b = 0. I dette tilfellet r = 0. Fra formel (1) er det lett å forstå det som et argument φ i dette tilfellet kan du velge hvilken som helst vinkel: tross alt for hvilken som helst φ
0 (cos φ + Jeg synd φ ) = 0.
Derfor er null-argumentet udefinert.
Modulus til et komplekst tall r noen ganger betegnet | z |, og argumentet arg z . La oss se på noen få eksempler på å representere komplekse tall i trigonometrisk form.
Eksempel. 1. 1 + Jeg .
La oss finne modulen r og argumentasjon φ dette nummeret.
r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .
Derfor synd φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, hvorfra φ = π / 4 + 2nπ .
Dermed,
1 + Jeg = √ 2 ,
Hvor P - et hvilket som helst heltall. Vanligvis, fra det uendelige settet med verdier til argumentet til et komplekst tall, velges en som er mellom 0 og 2 π . I dette tilfellet er denne verdien π / 4. Derfor
1 + Jeg = √ 2 (cos π / 4 + Jeg synd π / 4)
Eksempel 2. Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form √ 3 - Jeg . Vi har:
r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, synd φ = - 1 / 2
Derfor opp til en vinkel delelig med 2 π , φ = 11 / 6 π ; derfor,
√ 3 - Jeg = 2(cos 11/6 π + Jeg synd 11/6 π ).
Eksempel 3 Skriv et komplekst tall på trigonometrisk form Jeg.
Komplekst tall Jeg tilsvarer vektor O.A.> , som slutter ved punkt A på aksen på med ordinat 1 (fig. 333). Lengden på en slik vektor er 1, og vinkelen den lager med x-aksen er lik π / 2. Derfor
Jeg =cos π / 2 + Jeg synd π / 2 .
Eksempel 4. Skriv det komplekse tallet 3 på trigonometrisk form.
Det komplekse tallet 3 tilsvarer vektoren O.A. > X abscisse 3 (fig. 334).
Lengden på en slik vektor er 3, og vinkelen den lager med x-aksen er 0. Derfor
3 = 3 (cos 0 + Jeg synd 0),
Eksempel 5. Skriv det komplekse tallet -5 på trigonometrisk form.
Det komplekse tallet -5 tilsvarer en vektor O.A.> slutter ved et aksepunkt X med abscisse -5 (fig. 335). Lengden på en slik vektor er 5, og vinkelen den danner med x-aksen er lik π . Derfor
5 = 5(cos π + Jeg synd π ).
Øvelser
2047. Skriv disse komplekse tallene i trigonometrisk form, og definer modulene og argumentene deres:
1) 2 + 2√3 Jeg , 4) 12Jeg - 5; 7).3Jeg ;
2) √3 + Jeg ; 5) 25; 8) -2Jeg ;
3) 6 - 6Jeg ; 6) - 4; 9) 3Jeg - 4.
2048. Indiker på planet et sett med punkter som representerer komplekse tall hvis moduli r og argumenter φ tilfredsstiller betingelsene:
1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;
2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;
3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,
10) 0 < φ < π / 2 .
2049. Kan tall samtidig være modulen til et komplekst tall? r Og - r ?
2050. Kan argumentet til et komplekst tall samtidig være vinkler? φ Og - φ ?
Presenter disse komplekse tallene i trigonometrisk form, og definer deres moduler og argumenter:
2051*. 1 + cos α + Jeg synd α . 2054*. 2 (cos 20° - Jeg sin 20°).
2052*. synd φ + Jeg cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - Jeg synd 15°).