Hvordan løse en logaritme uten base. Naturlig logaritme, funksjon ln x

Logaritmen til et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være positivt tall, ikke lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.

Grunnleggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.

To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til første potens null grader- en.

Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.

Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f(x) og g(x) begge er mindre enn null.

Transformerer dette uttrykket inn i summen log a f (x) + log a g (x) , er vi tvunget til å begrense oss kun til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av området akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, fordi det kan føre til tap av løsninger. Lignende problem finnes for formel (6).

Graden kan tas ut av logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igjen vil jeg oppfordre til forsiktighet. Tenk på følgende eksempel:

Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.

Formel for å flytte til en ny stiftelse

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

At sjeldent tilfelle, når ODZ ikke endres under transformasjonen. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.

Velger vi tallet b som ny grunntall c, får vi en viktig spesielt tilfelle formler (8):

Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Noen enkle eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.

Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).

Tabell over formler relatert til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Følger av dens definisjon. Og så logaritmen til tallet b basert på EN er definert som eksponenten som et tall må heves til en for å få nummeret b(logaritme eksisterer bare for positive tall).

Av denne formuleringen følger det at beregningen x=log a b, tilsvarer å løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen av logaritmen gjør det mulig å rettferdiggjøre at if b=a c, deretter logaritmen til tallet b basert på en er lik Med. Det er også tydelig at temaet logaritmer er nært knyttet til emnet potenser av et tall.

Med logaritmer, som med alle tall, kan du gjøre operasjoner med addisjon, subtraksjon og transformere på alle mulige måter. Men på grunn av at logaritmer ikke er helt vanlige tall, gjelder her egne spesielle regler, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer.

La oss ta to logaritmer med samme base: logg en x Og logg et y. Da er det mulig å utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

logg a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logg en x 1 + logg en x 2 + logg en x 3 + ... + logg a x k.

Fra logaritmekvotientsetning enda en egenskap til logaritmen kan oppnås. Det er alminnelig kjent at logg en 1= 0, derfor

Logg en 1 /b=logg en 1 - logg a b= -log a b.

Dette betyr at det er en likhet:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmer av to gjensidige tall av samme grunn vil avvike fra hverandre utelukkende ved tegn. Så:

Logg 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

hovedegenskaper.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La det bli gitt logaritmeloggøks. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite og eksakt verdi utstillere, og fødselsdatoen til Leo Tolstoj.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer er ikke akkurat vanlige tall, det er regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne til disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig problem løses. logaritmisk problem. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Merk: nøkkel øyeblikk Her - identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene viser de seg ganske normale tall. Mange er bygget på dette faktum testpapirer. Hva med kontrollene? lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) tilbys på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å legge merke til det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

jeg tenker å siste eksempel avklaring nødvendig. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i konvensjonelle numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast på den.

Som formlene for overgang til en ny base, den viktigste logaritmisk identitet noen ganger er det den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Vurderer reglene for å multiplisere potenser med samme grunnlag, vi får:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen lik en.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en - logaritme lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Se også:

Logaritmen til b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Resten av de eksotiske egenskapene kan utledes gjennom matematiske manipulasjoner med disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanlige logaritmene er de der basen til og med er ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

Naturlig logaritme er en logaritme med en eksponent som basis (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både den nøyaktige verdien av eksponenten og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er angitt med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integrert eller antideriverte logaritme bestemt av avhengighet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg gi bare noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

Etter utseendet komplekst uttrykk ved hjelp av en rekke regler er forenklet til form

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Første nivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din for en annen ikke mindre viktig tema- logaritmiske ulikheter...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Vi fortsetter å studere logaritmer. I denne artikkelen vil vi snakke om beregne logaritmer, kalles denne prosessen logaritme. Først vil vi forstå beregningen av logaritmer per definisjon. Deretter, la oss se på hvordan verdiene til logaritmer blir funnet ved å bruke egenskapene deres. Etter dette vil vi fokusere på å beregne logaritmer gjennom innledningsvis angi verdier andre logaritmer. Til slutt, la oss lære hvordan du bruker logaritmetabeller. Hele teorien er forsynt med eksempler med detaljerte løsninger.

Sidenavigering.

Beregning av logaritmer per definisjon

I de enkleste tilfellene er det mulig å utføre ganske raskt og enkelt finne logaritmen per definisjon. La oss se nærmere på hvordan denne prosessen skjer.

Dens essens er å representere tallet b i formen a c, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, tallet c er verdien av logaritmen. Det vil si, per definisjon, tilsvarer følgende kjede av likheter å finne logaritmen: log a b=log a a c =c.

Så, å beregne en logaritme per definisjon kommer ned til å finne et tall c slik at a c = b, og tallet c i seg selv er den ønskede verdien av logaritmen.

Ved å ta hensyn til informasjonen i de foregående avsnittene, når tallet under logaritmetegnet er gitt av en viss potens av logaritmebasen, kan du umiddelbart indikere hva logaritmen er lik - den lik indikatoren grader. La oss vise løsninger på eksempler.

Eksempel.

Finn log 2 2 −3, og beregn også den naturlige logaritmen til tallet e 5,3.

Løsning.

Definisjonen av logaritmen lar oss umiddelbart si at log 2 2 −3 =−3. Faktisk er tallet under logaritmetegnet lik base 2 til −3 potens.

På samme måte finner vi den andre logaritmen: lne 5.3 =5.3.

Svar:

log 2 2 −3 =−3 og lne 5,3 =5,3.

Hvis tallet b under logaritmetegnet ikke er spesifisert som en potens av basen til logaritmen, må du se nøye etter om det er mulig å komme opp med en representasjon av tallet b i formen a c . Ofte er denne representasjonen ganske åpenbar, spesielt når tallet under logaritmetegnet er lik basen i potensen 1, eller 2, eller 3, ...

Eksempel.

Beregn logaritmene log 5 25 , og .

Løsning.

Det er lett å se at 25=5 2, dette lar deg beregne den første logaritmen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

La oss gå videre til å beregne den andre logaritmen. Tallet kan representeres som en potens av 7: (se om nødvendig). Derfor, .

La oss omskrive den tredje logaritmen inn følgende skjema. Nå kan du se det , hvorfra vi konkluderer med det . Derfor, ved definisjonen av logaritme .

Kort fortalt kan løsningen skrives slik: .

Svar:

log 5 25=2 , Og .

Når under logaritmetegnet er det en tilstrekkelig stor naturlig tall, så ville det ikke skade å dekomponere det til primære faktorer. Det hjelper ofte å representere et slikt tall som en potens av basen til logaritmen, og derfor beregne denne logaritmen per definisjon.

Eksempel.

Finn verdien av logaritmen.

Løsning.

Noen egenskaper til logaritmer lar deg spesifisere verdien av logaritmer umiddelbart. Disse egenskapene inkluderer egenskapen til logaritmen til en enhet og egenskapen til logaritmen til et tall, lik basen: log 1 1=log a a 0 =0 og log a a=log a a 1 =1 . Det vil si at når det under fortegnet til logaritmen er et tall 1 eller et tall a lik basen til logaritmen, så er i disse tilfellene logaritmene lik henholdsvis 0 og 1.

Eksempel.

Hva er logaritmer og log10 lik?

Løsning.

Siden , så følger det fra definisjonen av logaritme .

I det andre eksemplet faller tallet 10 under logaritmetegnet sammen med grunntallet, så desimallogaritmen på ti er lik én, det vil si lg10=lg10 1 =1.

Svar:

OG lg10=1 .

Merk at beregningen av logaritmer per definisjon (som vi diskuterte i forrige avsnitt) innebærer bruk av likhetsloggen a a p =p, som er en av egenskapene til logaritmer.

I praksis, når et tall under logaritmetegnet og basen av logaritmen lett kan representeres som en potens av et bestemt tall, er det veldig praktisk å bruke formelen , som tilsvarer en av egenskapene til logaritmer. La oss se på et eksempel på å finne en logaritme som illustrerer bruken av denne formelen.

Eksempel.

Regn ut logaritmen.

Løsning.

Svar:

Egenskaper til logaritmer som ikke er nevnt ovenfor, brukes også i beregninger, men vi vil snakke om dette i de følgende avsnittene.

Finne logaritmer gjennom andre kjente logaritmer

Informasjonen i dette avsnittet fortsetter temaet om å bruke egenskapene til logaritmer når de beregnes. Men her er hovedforskjellen at egenskapene til logaritmene brukes til å uttrykke den opprinnelige logaritmen i form av en annen logaritme, hvis verdi er kjent. La oss gi et eksempel for avklaring. La oss si at vi vet at log 2 3≈1.584963, så kan vi finne for eksempel log 2 6 ved å gjøre en liten transformasjon ved å bruke egenskapene til logaritmen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

I eksemplet ovenfor var det nok for oss å bruke egenskapen til logaritmen til et produkt. Imidlertid er det mye oftere nødvendig å bruke et bredere arsenal av egenskaper til logaritmer for å beregne den opprinnelige logaritmen gjennom de gitte.

Eksempel.

Beregn logaritmen av 27 til grunntallet 60 hvis du vet at log 60 2=a og log 60 5=b.

Løsning.

Så vi må finne logg 60 27 . Det er lett å se at 27 = 3 3, og den opprinnelige logaritmen, på grunn av egenskapen til potensens logaritme, kan skrives om til 3·log 60 3 .

La oss nå se hvordan du uttrykker log 60 3 i form av kjente logaritmer. Egenskapen til logaritmen til et tall lik grunntallet lar oss skrive likhetsloggen 60 60=1. På den annen side, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Dermed, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Derfor, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Til slutt beregner vi den opprinnelige logaritmen: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Svar:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separat er det verdt å nevne betydningen av formelen for overgang til en ny base av logaritmen til formen . Den lar deg gå fra logaritmer med hvilken som helst base til logaritmer med en spesifikk base, hvis verdier er kjent eller det er mulig å finne dem. Vanligvis, fra den opprinnelige logaritmen, ved hjelp av overgangsformelen, flytter de til logaritmer i en av basene 2, e eller 10, siden for disse basene er det tabeller med logaritmer som lar verdiene deres beregnes med en viss grad av nøyaktighet. I neste punkt vi viser deg hvordan det gjøres.

Logaritmetabeller og deres bruk

For omtrentlig beregning av logaritmeverdier kan brukes logaritmetabeller. Den mest brukte base 2-logaritmetabellen, naturlig logaritmetabell og desimallogaritmer. Når du jobber i desimalsystem For kalkulering er det praktisk å bruke en tabell med logaritmer basert på basis ti. Med dens hjelp vil vi lære å finne verdiene til logaritmer.

Den presenterte tabellen lar deg finne verdiene til desimallogaritmene til tall fra 1000 til 9999 (med tre desimaler) med en nøyaktighet på en ti tusendel. Vi vil analysere prinsippet for å finne verdien av en logaritme ved å bruke en tabell med desimallogaritmer i spesifikt eksempel– Det er tydeligere på den måten. La oss finne log1.256.

I venstre kolonne i tabellen med desimallogaritmer finner vi de to første sifrene i tallet 1,256, det vil si at vi finner 1,2 (dette tallet er sirklet inn i blått for klarhetens skyld). Vi finner det tredje sifferet på 1,256 (siffer 5) i det første eller siste linje til venstre for den doble linjen (dette tallet er ringt inn med rødt). Det fjerde sifferet i det opprinnelige tallet 1.256 (siffer 6) finnes i den første eller siste linjen til høyre for den doble linjen (dette tallet er omringet med en grønn linje). Nå finner vi tallene i cellene i logaritmetabellen i skjæringspunktet mellom den merkede raden og markerte kolonner (disse tallene er uthevet oransje). Summen av de markerte tallene gir den ønskede verdien av desimallogaritmen nøyaktig til fjerde desimal, det vil si, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Er det mulig, ved å bruke tabellen ovenfor, å finne verdiene til desimallogaritmer for tall som har mer enn tre sifre etter desimaltegnet, så vel som de som går utover området fra 1 til 9,999? Ja det kan du. La oss vise hvordan dette gjøres med et eksempel.

La oss beregne lg102.76332. Først må du skrive ned nummer inn standard skjema : 102,76332=1,0276332·10 2. Etter dette skal mantissen avrundes til tredje desimal, vi har 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, mens den opprinnelige desimallogaritmen er omtrentlig lik logaritmen det resulterende tallet, det vil si at vi tar log102.76332≈lg1.028·10 2. Nå bruker vi egenskapene til logaritmen: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Til slutt finner vi verdien av logaritmen lg1.028 fra tabellen med desimallogaritmer lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Som et resultat ser hele prosessen med å beregne logaritmen slik ut: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Avslutningsvis er det verdt å merke seg at ved å bruke en tabell med desimallogaritmer kan du beregne den omtrentlige verdien av enhver logaritme. For å gjøre dette er det nok å bruke overgangsformelen for å gå til desimallogaritmer, finne verdiene deres i tabellen og utføre de resterende beregningene.

La oss for eksempel beregne log 2 3 . I henhold til formelen for overgang til en ny base av logaritmen har vi . Fra tabellen med desimallogaritmer finner vi log3≈0,4771 og log2≈0,3010. Dermed, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. og andre Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).

Sjekk om det er negative tall eller ett under logaritmetegnet. Denne metoden gjelder uttrykk for formen log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Det er imidlertid ikke egnet for noen spesielle tilfeller:
- Logaritme negativt tall ikke bestemt på noe grunnlag (f.eks. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) eller log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Skriv i dette tilfellet "ingen løsning".
- Logaritmen av null til en hvilken som helst base er også udefinert. Hvis du blir tatt ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), skriv ned "ingen løsning".
- Logaritme av en til en hvilken som helst base ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) er alltid null, fordi x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) for alle verdier x. Skriv 1 i stedet for denne logaritmen og ikke bruk metoden nedenfor.
- Hvis logaritmer har ulike årsaker, For eksempel l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), og ikke er redusert til heltall, kan ikke verdien av uttrykket bli funnet manuelt.
Konverter uttrykket til én logaritme. Hvis uttrykket ikke er et av de ovennevnte spesielle anledninger, kan den representeres som en enkelt logaritme. Bruk til dette følgende formel: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Eksempel 1: Tenk på uttrykket logg ⁡ 16 logg ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  Først, la oss representere uttrykket som en enkelt logaritme ved å bruke formelen ovenfor: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- Denne formelen for å "erstatte basen" til en logaritme er avledet fra de grunnleggende egenskapene til logaritmene.
Hvis mulig, evaluer verdien av uttrykket manuelt.Å finne logg a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), forestill deg uttrykket " en? = x (\displaystyle a^(?)=x)", det vil si, spør deg selv neste spørsmål: «Til hvilken makt skal vi heve en, For å oppnå x?. Svar på dette spørsmålet kan kreve en kalkulator, men hvis du er heldig, kan du kanskje finne den manuelt.
- Eksempel 1 (fortsettelse): Omskriv som 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Du må finne hvilket nummer som skal stå i stedet for "?" Dette kan gjøres ved prøving og feiling:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  Så tallet vi ser etter er 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
Legg igjen svaret i logaritmisk form hvis du ikke kan forenkle det. Mange logaritmer er svært vanskelige å beregne for hånd. I dette tilfellet, for å få et nøyaktig svar, trenger du en kalkulator. Men løser du en oppgave i timen, vil læreren mest sannsynlig være fornøyd med svaret i logaritmisk form. Metoden diskutert nedenfor brukes til å løse et mer komplekst eksempel:
- eksempel 2: hva er lik log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
- La oss konvertere dette uttrykket til én logaritme: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Merk at grunntallet 3 felles for begge logaritmene forsvinner; dette er sant uansett grunn.
- La oss omskrive uttrykket i skjemaet 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) og la oss prøve å finne verdien?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  Fordi 58 er mellom disse to tallene, er det ikke uttrykt som et helt tall.
- Vi legger igjen svaret i logaritmisk form: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).