Како да се подели сегмент со помош на компас. Едукативно-методолошки прирачник „Техники за изведување геометриски конструкции“ за изведување графички работи

Контурите на сите слики се формираат со различни линии. Главните линии се права линија, круг и низа кривини. При цртање на контурите на сликите, се користат геометриски конструкции и конјугации.

Кога ја проучувате дисциплината " описна геометријаи инженерска графика“ студентите мора да ги научат правилата и редоследот на изведување геометриски конструкции и врски.

Во таа смисла најдобриот начинстекнување на градежни вештини се задачи за цртање на контурите на сложените делови.

Пред да почнеш контролна задача, треба да ја научите техниката геометриски конструкциии врски според методолошки прирачник.

1. Поделба на отсечки и агли

1.1. Поделба на сегмент на половина

Сплит за овој сегмент AB на половина.

Од краевите на отсечката AB, како и од центрите, цртаме лакови на кругови со радиус R, чија големина треба да биде малку поголема од половина од отсечката AB (сл. 1). Овие лакови ќе се сечат во точките M и N, ајде да ја најдеме точката C во која правата AB и MN се сечат. Точката C ќе го подели сегментот AB на два еднакви дела.

Забелешка. Сите потребни конструкции мора и можат да се изведат само со помош на компас и линијар (без поделби).

1.2. Поделба на отсечка на n еднакви делови

Подели даден сегментод n еднакви делови.

Од крајот на отсечката - точка А ќе нацртаме помошен зрак под произволен агол α.(сл. 2 а) На овој зрак ќе поставиме 4 еднакви отсечки со произволна должина (сл. 2б). Крајот на последната, четврта, отсечка (точка 4) е поврзан со точката Б. Потоа, од сите претходни точки 1...3, цртаме отсечки паралелни на отсечката B4 додека не се вкрстат со отсечката AB во точките 1", 2 ", 3". Така добиените точки ја поделиле отсечката на еднакви четири отсечки

1.3. Поделба на агол на половина

Подели одреден аголТИ на половина.

Од темето на аголот А произволен радиуснацртајте лак додека не се пресече со страните на аголот во точките B и C (сл. 3 а). Потоа од точките B и C цртаме два лака со радиус повеќе од половинарастојание BC, до нивното пресекување во точката D (сл. 3 б). Со поврзување на точките A и D со права линија, ја добиваме симетралата на аголот, која дадениот агол го дели на половина (сл. 3 в)

а) б) в)

2. Делење круг на еднакви делови и конструирање правилни многуаголници

2.1. Поделба на круг на три еднакви делови

Од крајот на дијаметарот, на пример, точката А (слика 4), нацртајте лак со радиус R, еднаков на радиусотдаден круг. Се добиваат првата и втората поделба - точки 1 и 2. Третата поделба, точка 3, се наоѓа на спротивниот крај на истиот дијаметар. Со поврзување на точките 1,2,3 со акорди, се добива правилен впишан триаголник.

2.2. Поделба на круг на шест еднакви делови

Од краевите на кој било дијаметар, на пример AB (слика 5), се опишани лакови со радиус R. Точките А, 1,3, Б, 4,2 го делат кругот на шест еднакви делови. Со нивно поврзување со акорди се добива правилен впишан шестоаголник.

Забелешка. Помошните лакови не треба да се нацртаат целосно, доволно е да се направат засеци на кругот.

2.3. Поделба на круг на пет еднакви делови

Нацртани се два меѓусебно нормални дијаметри AB и CD (сл. 6). Радиусот на ОС во точката O 1 е поделен на половина.
Од точката O1, како од центарот, повлечете лак со радиус O1A додека не се пресече со дијаметарот CD во точката E.
Отсечката AE е еднаква на страната на правилен впишан петаголник, а отсечката OE е еднаква на страната на правилен впишан десетаголник.
Земајќи ја точката А како центар, лак со радиус R1 = AE ги означува точките 1 и 4 на кругот. 2, 3, 4 поделете го кругот на пет еднакви делови.

2.4. Поделба на круг на седум еднакви делови

Од крајот на дијаметарот, на пример, точката А нацртајте лак со радиус R еднаков на радиусот на кругот (слика 7). Акорд ЦД е еднаков на страната на правилен впишан триаголник. Половина од ЦД-то на акорд е, доволна приближност, еднаква на страната на правилен впишан седумаголник, т.е. го дели кругот на седум еднакви делови.

Ориз. 7

Литература

Богољубов С.К. Инженерска графика: Учебник за средно специјализирани образовни установи. – 3. ed., rev. И дополнително - М.: Машинско инженерство, 2006. – стр. 392: ил.
Куприков М.Ју. Инженерска графика: учебник за средни образовни институции - М.: Бустард, 2010 - 495 стр.: илустрација.
Федоренко В.А., Шошин А.И. Прирачник за машински цртеж Л.: Машинско инженерство. 1976. 336 стр.

Знаејќи; дека триаголниците се еднакви на двете страни и аголот меѓу нив, можеме да користиме компас и линијар за да го поделиме овој сегмент на два еднакви дела.

Ако, на пример, треба да поделите сегмент на половина А Б(сл. 69), потоа ставете го врвот на компасот на точките А И Б иТие опишуваат околу нив, како во близина на центрите, два вкрстени лаци со еднаков радиус (сл. 70). Нивните пресечни точки СОИ Дповрзани со права линија, која АБна половина: АД= ОБ.

За да бидете сигурни дека сегментите АДИ ОБмора да бидат еднакви, поврзете ги точките ВИ Дсо краеви АИ ВОсегмент (сл. 71). Ќе добиете два триаголници ACDИ BCD, чии три страни се соодветно еднакви: AC= Сонце; АД = БД; ЦД -заеднички, т.е. припаѓа на двата триаголници. Ова подразбира целосна еднаквост посочените триаголници, а со тоа и еднаквоста на сите агли. Значи, патем, аглите се еднакви ACDИ BCD. Сега споредувајќи ги триаголниците ASOИ ВСО, гледаме дека имаат страна ОС -општо, А.Ц. = CB, и аголот меѓу нив ASO = ug. ВСО. Триаголниците се еднакви по двете страни и аголот меѓу нив; затоа страните се еднакви АДИ ОБ, т.е. точка ЗАима средна точка АБ.

Како да се изгради триаголник со помош на страна и два агли

Конечно, разгледајте проблем чие решение води до изградба на триаголник со помош на страна и два агли:

Од другата страна на реката (сл. 72) е видлива пресвртница А. Потребно е, без преминување на реката, да се дознае растојанието до неа од пресвртницата ВОна овој брег.

Да го направиме ова. Ајде да мериме од поентата ВОсекое растојание во права линија Сонцетоа на нејзините краеви ВОИ СОДа ги измериме аглите 1 и 2 (сл. 73). Ако сега го измериме растојанието на погодно подрачје ДЕ,еднакви Сонцето, и изградете агли на неговите краеви АИ б(цртеж 74), еднакви на аглите 1 и 2, тогаш на местото на пресекот на нивните страни го добиваме третото теме Фтријаголник DEF.Лесно е да се потврди дека триаголникот DEFеднаква на триаголник ABC; навистина, ако замислиме дека триаголникот DEFнадредена на ABCпа таа страна ДЕсе совпадна со неговата еднаква страна Сонцето, потоа ug. Аќе се совпадне со аголот 1, агол б -со агол 2, и страна ДФќе оди на страна VA, и страната Е.Ф.на страна СА.Бидејќи две прави може да се сечат само во една точка, тогаш темето Фтреба да се совпадне со врвот А. Значи растојанието ДФеднакво на потребното растојание VA.

Проблемот, како што гледаме, има само едно решение. Општо земено, со користење на страна и два агли во непосредна близина на оваа страна, може да се конструира само еден триаголник; Не може да има други триаголници со иста страна и исти два агли до него на исти места. Сите триаголници кои имаат една идентична страна и две истиот агол, во непосредна близина на него на истите места, може да се доведе во целосна коинциденција со суперпозиција. Ова значи дека ова е знак со кој може да се утврди целосната еднаквост на триаголниците.

Заедно со претходно утврдените знаци на еднаквост на триаголниците, сега ги знаеме следните три:

Триаголници:

од три страни;

на двете страни и на аголот меѓу нив;

на страна и две страни.

Заради краткост, овие три случаи на еднаквост на триаголници понатаму ќе ги означиме на следниов начин:

од три страни: ССС;

на двете страни и аголот меѓу нив: СУС;

долж страната и два агли: USU.

Апликации

14. Да се дознае растојанието до точка Аод другата страна на реката од точката ВОна овој брег (слика 5), измерете некоја линија во права линија сонце,потоа во точка ВОконструирај агол еднаков на ABC, на другата страна Сонцето, и во точката СО- на ист начин, агол еднаков на ДИАТочка растојание Дпресек на страните на двете страни на аглите до точката ВОеднакво на потребното растојание АБ. Зошто?

Решение: Триаголници ABCИ BDCеднакви на едната страна ( Сонцето) и два агли (анг. DCB= ug. ДИА; ug. ДБЦ= ug. ABC.) Оттука, АБ= ВД,како страните што лежат внатре еднакви триаголниципротив еднакви агли.

Паралелограми

Од триаголници преминуваме на четириаголници, односно на фигури ограничени на 4 страни. Пример за четириаголник е квадрат - четириаголник чии сите страни се еднакви и сите агли се прави (сл. 76). Друг тип на четириаголник, исто така често се среќава, е правоаголен:

Ова е името на кој било четириаголник со 4 прави агли (сл. 77 и 78). Квадратот е исто така правоаголник, но со еднакви страни.

Особеноста на правоаголникот (и квадратот) е што двата пара од неговите спротивни страни се паралелни. Во правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕ,на пример (сл. 78), АБпаралелно DC, а АДпаралелно Сонцето.Ова произлегува од фактот дека и двете спротивставени странинормално на иста права, а знаеме дека две нормални на една права се паралелни една на друга (§ 16).

Друго својство на секој правоаголник е тоа што неговите спротивни страни се еднакви една со друга. Ова може да се потврди со поврзување спротивни темињаправоаголник со права линија, односно нацртајте дијагонала во него. Поврзување АСо СО(Нацртано 79) добиваме два триаголници ABCИ ADC.Лесно е да се покаже дека овие триаголници се еднакви еден со друг: страна AC -вкупно, ug. 1 = агол 2, бидејќи тоа се попречни агли со паралелни АБИ ЦДод истата причина аглите 3 и 4 се еднакви.На иста страна и два агли триаголници ABCИ ACDеднакви; па оттука и страната АБ= страна DC,и страна АД= страна Сонцето.

Таквите четириаголници, кои, како правоаголници, спротивни страниПаралелите се нарекуваат паралелограми. Заеби го. 80 покажува пример на паралелограм: АБпаралелно DC,А АДпаралелно п.н.е.Проклето.80

Правоаголник е еден од паралелограмите, имено оној во кој сите агли се правилни. Лесно е да се потврди дека секој паралелограм ги има следниве својства:

СПРОТИ АГЛИ ПАРАЛЕЛНА ГРАМАТИЧКА ЕДНАКВИ; Спротивни страни

P a r l l e l o g r a m a v y s.

За да го потврдиме ова, да нацртаме паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕ(сл. 81) директно ВД(дијагонала) и споредете триаголници ABDИ VDC.Овие триаголници се еднакви (случај USU): БД – заедничка страна; ug. 1 = агол 2, агол 3 = агол 4 (зошто?). Својствата наведени претходно произлегуваат од ова.

Паралелограм со четири еднакви страни се нарекува ромб.

Повторете прашања

Која форма се нарекува квадрат? Правоаголник? – Што се нарекува дијагонала? – Која фигура се нарекува паралелограм? Дијамант? – Наведете ги својствата на аглите и страните на кој било паралелограм. – Кој правоаголник се нарекува квадрат? – Кој паралелограм се нарекува правоаголник? – Кои се сличностите и разликите помеѓу квадрат и ромб.

Апликации

15. Квадрат е исцртан вака: откако ќе се одвои едната страна, на краевите нацртајте нормални на неа, ставете ги истите должини и поврзете ги краевите со права линија (Цртеж 82). Како можеш да бидеш сигурен дека четвртата страна на нацртаниот четириаголник е еднаква на другите три и дека сите негови агли се прави агли?

Решение.Доколку формирањето е извршено на тој начин што на страна АБна точките АИ ВОнацртани се перпендикулари на кои беа поставени: AC = ABИ ДВ= АБ, тогаш останува да се докаже дека аглите СОИ Ддиректно и што ЦДеднакви АБ.За да го направите ова, ајде да нацртаме (слика 83) дијагонала А.Д.Уф. CAD = А.Д.Б.како соодветни (за кои паралелни?); AC= Д.Б., а со тоа и триаголници CADИ ЛОШОеднакви (врз основа на СУС).Од ова го заклучуваме тоа ЦД = АБи ug. C =прав агол ВО. Како да се докаже дека четвртиот агол ЦДБдали е и прав?

16. Како да нацртате правоаголник? Зошто нацртаната фигура може да се нарече правоаголник? (Покажете дека сите агли на нацртаната фигура се правилни).

Решението е слично на решението на претходниот проблем.

17. Докажи дека двете дијагонали на правоаголникот се еднакви.

Решението (сл. 84) произлегува од еднаквоста на триаголниците ABCИ ABD(базирано на СУС).

18. Докажи дека дијагоналите на паралелограм се преполовуваат една со друга.

Решение: Споредување (сл. 85) триаголници АБОИ DCO,се грижиме да бидат еднакви (врз основа на USU).Од тука АД= ОС, 0V= ОД.

19. Должината на заедничката перпендикулар помеѓу две паралелни прави се нарекува растојание меѓу нив. Докажете дека растојанието помеѓу паралелите е насекаде исто.

Индикација: Каква фигура е формирана? паралелни линиисо две перпендикулари меѓу нив?

IV. МЕРЕЊЕ НА ПОВРШИНА

Мерки на квадрат. Палета

Во бројки, често е неопходно да се измери не само должината на линиите и аглите меѓу нив, туку и големината на областа што ја покриваат - односно нивната површина. Во кои единици се мери површината? Како мерка за должина се зема одредена должина (метар, сантиметар), а за агли се зема одреден агол (1°); одредена површина се зема како мерка за површина, имено, плоштина на квадрат со страна од 1 метар, 1 cm, итн. Таквиот квадрат се нарекува „квадратен метар“, квадратен сантиметар“, итн. Да се измери плоштина значи да се открие колку квадратни единици мерка има во неа.

Ако површината што се мери не е голема (се вклопува на лист хартија), може да се измери на следниот начин. Транспарентната хартија се сече на сантиметарски квадрати и се става на фигурата што се мери. Тогаш не е тешко директно да се пресмета колку квадратни сантиметрисодржани во границите на фигурата. Во овој случај, нецелосните квадрати во близина на границата се земаат (со око) за половина квадрат, четвртина квадрат итн., или ментално ги поврзуваат неколку одеднаш во цели квадрати. Така украсени проѕирна хартијанаречена палета. Овој метод често се користи за мерење на површините на неправилни површини на план.

Но, не е секогаш можно или погодно да се наметне мрежа од квадрати на измерената фигура. Не е можно, на пример, да се измери површината на подот или земјишна парцела. Во такви случаи, наместо директно мерењеобласт, тие прибегнуваат кон непријатното нешто, кое се состои во мерење само на должината на некои линеарни фигури и правење пресметки на добиените броеви одредени дејствија. Подоцна ќе покажеме како се прави ова.

Повторете прашања

Кои мерки се користат за да се одреди површината на фигурите? – Што е палета и како се користи?

Површина на правоаголник

Да претпоставиме дека треба да ја одредите областа на некој правоаголник, на пример, АБДЦ(цртеж 86). Мерено со линеарна единица, на пр. метар, должината на овој дел. Да претпоставиме дека мерачот е поставен 5 пати во должина. Ајде да ја поделиме областа на попречни ленти широк еден метар, како што е прикажано на сл. 87. Очигледно, ќе има 5 такви ленти.Следно, ајде да ја измериме ширината на областа со метар; нека биде еднаква на 3 метри. Ќе ја поделиме областа на надолжни ленти широк 1 метар, како што е прикажано на сл. 88; се разбира, ќе ги има 3. Секоја од петте попречни ленти ќе се исече на 3 квадратни метри, а целата парцела ќе се подели на 5 x 3 = 15 квадрати со страна од 1 метар: дознавме дека парцелата содржи 15 квадратни метри. метри. Но, ние би можеле да го добиеме истиот број 15 без да ја прикажеме плоштината графика, туку само со множење на неговата должина со нејзината ширина. Значи, за да дознаете колку квадратни метриво правоаголник, треба да ја измерите неговата должина, ширина и да ги помножите двата броја.

Во разгледуваниот случај, единицата за должина - метар - беше поставена на двете страни на правоаголникот цел број пати. Деталните учебници по математика докажуваат дека сега воспоставеното правило важи и кога страните на правоаголникот не содржат цел број единици за должина. Во сите случаи:

Површина на правоаголна површина

производот на должината по ширината,

или, како што велат, во геометријата, – тоа

„основа“ на „висина“.

Ако должината на основата на правоаголникот е означена со буквата А, а должината на висината е буквата б,потоа неговата област Седнаква на

S = a? б,

или едноставно С = ab, бидејќи знакот за множење не се става меѓу буквите.

Лесно е да се разбере дека за да се одреди плоштината на квадрат, треба да се помножи должината на неговата страна сама по себе, односно „да се подигне за квадрат“. Со други зборови:

Површината на квадрат е еднаква на квадратната страна. Ако должината на страната на квадрат А,потоа неговата област Седнаква на

S= а? а = а 2.

Знаејќи го ова, можно е да се воспостави врската помеѓу различни квадратни единици. На пример, квадратен метар содржи квадратни дециметри 10 X 10, т.е. 100, и квадратни сантиметри 100 X 100, т.е. 10.000, бидејќи линеарниот сантиметар е поставен на страна квадратен дециметар 10 пати, а квадрат е 100 пати.

За мерење земјишни парцелисе користи посебна мерка - хектар, која содржи 10.000 метри квадратни. Квадратна парцела со страна од 100 метри има површина од 1 хектар; правоаголна парцела со основа од 200 метри и висина од 150 метри има површина од 200 x 150, односно 30.000 квадратни метри. m или 3 хектари. Се мерат големи области - како што се окрузи и области

КВАДРАТНИ КИЛОМЕТРИ.

Скратената ознака за квадратни мерки е:

квадрат метар………………………………. кв. m или m2

квадрат дециметар……………………………. кв. dm или dm2

квадрат сантиметар………………………… кв. cm или cm2

квадрат милиметар……………………….. квадрат. mm или mm2

хектар……………………………………….. ха

Повторете прашања

Како се пресметува плоштината на правоаголник? Плоштад? - Колку квадрати. см до квадрат. м? Колку квадрати. mm во кв. м? – Што е хектар? – Колку хектари на плоштад? км? За што е кратенката квадратни мерки?

Апликации

20. Потребно е да се наслика внатрешноста на просторијата прикажана на цртежот. 6. Димензиите се означени во метри. Колку материјали и работна сила, ако се знае дека за бојадисување на еден квадрат. метри дрвени подови со кит од пукнатини и гранки над претходно обоени, за двајца, потребни (според Правилникот за итни случаи):

Маљаров………………………………….. 0,044

Масла за сушење, килограми…………………………… 0,18

Светол окер, kg…………………………… 0;099

Китови, кг………………………………… 0,00225

Пемза, kg…………………………………….. 0,0009.

Решение: Дали подната површина е 8? 12 = 96 кв. м.

Потрошувачката на материјали и работна сила е како што следува

Маљаров......... 0,044? 96 = 4,2

Масла за сушење......0,18? 96= 17 кг

Окер......... 0,099? 96 – 9,9 кг

Китки......0,00225? 96 = 0,22 кг

Пемза.........0,0009? 96 = 0,09 кг.

21. Направете изјава за потрошувачката на труд и материјали за тапет на претходната просторија. задачи. За покривање на ѕидови со едноставни тапети со рабови, потребно е (според локалните прописи) по квадратни метри. метар:

Молерите или тапацирите…………………………… 0,044

Парчиња тапет (широка 44 см)……………………… 0,264

Труд (според пресметката)

Скроб грама……………………………………. 90.

Решение - според примерокот наведен во претходна задача. Тоа го забележуваме само при пресметувањето потребната количинаВо пракса, ѕидните отвори не се одземаат од нивната површина на тапет (бидејќи при поставување на фигури во соседните панели, дел од тапетите се губи).

Плоштина на триаголник

Ајде прво да размислиме како се пресметува плоштината на правоаголен триаголник. Да претпоставиме дека треба да ја одредиме плоштината на триаголник ABC(сл. 89), во која аголот ВО- директно. Ајде да ве однесеме низ врвовите АИ СОправи линии паралелни на спротивните страни. Добиваме (сл. 90) правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕ(зошто оваа фигура е правоаголник?), која е поделена со дијагонала ACво два еднакви триаголници (зошто?). Областа на овој правоаголник е ах;областа на нашиот триаголник е половина од областа на правоаголникот, односно еднаква на 1/2 ах.Значи, областа на секоја правоаголен триаголникеднаква на половина од производот на неговите страни што заградуваат прав агол.

Да претпоставиме дека сега треба да ја одредите областа на кос (т.е., не правоаголен) триаголник - на пример. ABC(цртеж 91). Ние цртаме нормална низ едно од нејзините темиња на спротивната страна; таква нормална се нарекува висина на овој триаголник, а страната кон која е нацртана е основата на триаголникот. Висината да ја означиме со ч, а отсечките на кои ја дели основата се стрИ q. Плоштина на правоаголен триаголник АБД,како што веќе знаеме, е еднакво на 1/2 ph; квадрат VDC = 1/2 qh. Плоштад Стријаголник ABCеднаков на збирот на овие области: S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 ч (Р+ q). Но Р+ q = a; оттука С = 1/2 ах.

Ова расудување не може директно да се примени на триаголник со тап агол(сл. 92), бидејќи нормалното ЦД не ја исполнува основата АБ, и неговото продолжение. Во овој случај, треба да размислуваме поинаку. Да го означиме сегментот АДпреку стр, БД- преку, q, па основата Атриаголникот е еднаков стр – q. Областа на нашиот триаголник ABCе еднаква на разликата во плоштините на два триаголници ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 ч (стр – q) = 1/2 ах.

Значи, во сите случаи, плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот на која било од неговите основи и соодветната висина.

Следи дека триаголниците со еднакви основи и надморски височини имаат еднакви плоштини или, како што велат,

еднакви.

Фигури со еднаква големина се генерално оние што имаат еднакви површини, барем самите фигури не беа еднакви (односно, не се совпаѓаа кога беа надредени).

Повторете прашања

Како се вика висината на триаголникот? Основата на триаголникот? – Колку висини може да се извлечат во еден триаголник? – Нацртајте триаголник со тап агол и нацртајте ги сите висини во него. – Како се пресметува плоштината на триаголник? Како да се изрази ова правило во формула? – Кои фигури се нарекуваат еднакви по големина?

Апликации

22. Зеленчукот има форма на триаголник со основа од 13,4 m и висина од 37,2 m... Колку семиња (по тежина) се потребни за да се засади со зелка, ако на метар квадратен? m е 0,5 грама семиња?

Решение: Дали површината на зеленчукова градина е 13.4? 37,2 = 498 кв. м.

Ќе ви требаат 250 гр семки.

23. Паралелограмот е поделен со дијагонали на 4 триаголни делови. Која има најмногу голема површина?

Решение Сите 4 триаголници се еднакви по големина, бидејќи имаат еднакви основии височини.

Плоштина на паралелограм

Правилото за пресметување на плоштината на паралелограм се утврдува многу едноставно ако го поделите со дијагонала на два триаголници. На пример, областа на паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕ(слика 93) е еднаква на двапати од површината на секој од двата еднакви триаголници на кои е поделен со дијагоналата AC.Обележување на основата на триаголникот ADCпреку А, и висината преку ч, ја добиваме областа Спаралелограм

Нормално чсе нарекува „висина на паралелограм“, а страната А,на која е нацртана - „основата на паралелограмот“. Затоа, сега воспоставеното правило може да се наведе на следниов начин:

Површината на паралелограмот е еднаква на производот на која било нова висина.

Повторете прашања

Која е основата и висината на паралелограмот? Како се пресметува плоштината на паралелограм? – Ова правило изразете го во формула. - Колку пати е плоштината на паралелограм поголема од плоштината на триаголник кој има иста основа и висина? - Во еднакви висинии основи, која фигура има најголема плоштина: правоаголник или паралелограм?

Апликација

24. Квадрат со страна од 12,4 cm е еднаков по големина на паралелограм со висина од 8,8 cm Најди ја основата на паралелограмот.

Решение Површината на овој квадрат, а со тоа и паралелограмот, е 12,42 = 154 квадратни метри. cm Потребната основа е 154: 8,8 = 18 cm.

Областа на трапезоид

Покрај паралелограмите, да разгледаме уште еден тип на четириаголници - имено оние кои имаат само еден пар паралелни страни (сл. 94). Таквите фигури се нарекуваат трапезоиди. Паралелни странитрапезоидите се нарекуваат негови основи, а непаралелните се нарекуваат страни.

Глупости. 94 Проклето. 95

Дозволете ни да воспоставиме правило за пресметување на површината на трапезоид. Да претпоставиме дека треба да ја пресметаме површината на трапез А БЕ ЦЕ ДЕ(сл. 95), чија должина на основите аИ б. Ајде да нацртаме дијагонала AC,кој пресекува трапез на два триаголници ACDИ ABC. Ние го знаеме тоа

област ACD = 1/2 ах

област ABC = 1/2 bh.

област А БЕ ЦЕ ДЕ= 1/2 ах+ 1/2 bh= 1/2 (а+ б) ч.

Од далечината чпомеѓу основите на трапезоидот се нарекува неговата висина, тогаш правилото за пресметување на површината на трапезот може да се наведе на следниов начин:

Површината на трапезоидот е еднаква на половина од збирот помножен со и во вас со околу t at.

Повторете прашања

Која форма се нарекува трапез? Кои се основите на трапезот, неговите страни и висината? - Како се пресметува плоштината на трапез?

Апликации

25. Дел од улицата има форма на трапез со основи од 180 m и 170 m и висина од 8,5 m Колку дрвени блокови ќе бидат потребни за нејзино поставување, ако на кв. m има 48 дама?

Решение Површината на парцелата е 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 квадратни метри. m Број на дама = 72.000.

26. Наклонот на покривот има форма на трапез, чии основи се 23,6 m и 19,8 m, а висината е 8,2 m Колку материјал и труд ќе биде потребен за да се покрие, ако на кв. m се бара:

Железни лимови...... 1.23

Кровни клинци kg.... 0,032

Масла за сушење kg........0,036

Покриви...... 0,45.

Решение: Дали површината на наклонот е еднаква на 8,2? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 кв. м. Останува да се помножат сите броеви на таблетот со 178.

За да бидете сигурни дека сегментите АДИ ОБмора да бидат еднакви, поврзете ги точките ВИ Дсо краеви АИ ВОсегмент (сл. 71). Ќе добиете два триаголници ACDИ BCD, чии три страни се соодветно еднакви: AC= Сонце; АД= БД; ЦД -заеднички, т.е. припаѓа на двата триаголници. Ова подразбира целосна еднаквост на овие триаголници, а со тоа и еднаквост на сите агли. Значи, патем, аглите се еднакви ACDИ BCD. Сега споредувајќи ги триаголниците ASOИ ВСО, гледаме дека имаат страна ОС -општо, А.Ц.= CB, и аголот меѓу нив ASO = ug. ВСО. Триаголниците се еднакви по двете страни и аголот меѓу нив; затоа страните се еднакви АДИ ОБ, т.е. точка ЗАима средна точка АБ.

§ 22. Како да се конструира триаголник со помош на страна и два агли

Конечно, разгледајте проблем чие решение води до изградба на триаголник со помош на страна и два агли:

Да го направиме ова. Ајде да мериме од поентата ВОсекое растојание во права линија Сонцетоа на нејзините краеви ВОИ СОДа ги измериме аглите 1 и 2 (сл. 73). Ако сега го измериме растојанието на погодно подрачје ДЕ,еднакви Сонцето, и изградете агли на неговите краеви АИ б(сл. 74), еднакви на аглите 1 и 2, потоа на местото на пресекот на нивните страни го добиваме третото теме Фтријаголник DEF.Лесно е да се потврди дека триаголникот DEFеднаква на триаголник ABC; навистина, ако замислиме дека триаголникот DEFнадредена на ABCпа таа страна ДЕсе совпадна со неговата еднаква страна Сонцето, потоа ug. Аќе се совпадне со аголот 1, агол б -со агол 2, и страна ДФќе оди на страна VA, и страната Е.Ф.на страна СА.Бидејќи две прави може да се сечат само во една точка, тогаш темето Фтреба да се совпадне со врвот А. Значи растојанието ДФеднакво на потребното растојание VA.

Проблемот, како што гледаме, има само едно решение. Општо земено, со користење на страна и два агли во непосредна близина на оваа страна, може да се конструира само еден триаголник; Не може да има други триаголници со иста страна и исти два агли до него на исти места. Сите триаголници кои имаат една идентична страна и два идентични агли до неа на исти места може да се доведат во целосна совпаѓање со суперпозиција. Ова значи дека ова е знак со кој може да се утврди целосната еднаквост на триаголниците.

Заедно со претходно утврдените знаци на еднаквост на триаголниците, сега ги знаеме следните три:

Триаголници:

од три страни;

на двете страни и на аголот меѓу нив;

на страна и две страни.

Заради краткост, овие три случаи на еднаквост на триаголници понатаму ќе ги означиме на следниов начин:

од три страни: ССС;

на двете страни и аголот меѓу нив: СУС;

долж страната и два агли: USU.

Апликации

Решение: Триаголници ABCИ BDCеднакви на едната страна ( Сонцето) и два агли (анг. DCB= ug. ДИА; ug. ДБЦ= ug. ABC.) Оттука, АБ= ВД,како страни кои лежат во еднакви триаголници против еднакви агли.

§ 23. Паралелограми

Особеноста на правоаголникот (и квадратот) е што двата пара од неговите спротивни страни се паралелни. Во правоаголник А БЕ ЦЕ ДЕ,на пример (сл. 78), АБпаралелно DC, а АДпаралелно Сонцето.Ова произлегува од фактот дека двете спротивни страни се нормални на иста права, а знаеме дека две нормални на една права се паралелни една со друга (§ 16).

Друго својство на секој правоаголник е тоа што неговите спротивни страни се еднакви една со друга. Можете да го потврдите ова ако ги поврзете спротивните темиња на правоаголникот со права линија, односно нацртате дијагонала во неа. Поврзување АСо СО(Нацртано 79) добиваме два триаголници ABCИ ADC.Лесно е да се покаже дека овие триаголници се еднакви еден со друг: страна AC -вкупно, ug. 1 = агол 2, бидејќи тоа се попречни агли со паралелни АБИ ЦДод истата причина аглите 3 и 4 се еднакви.На иста страна и два агли триаголници ABCИ ACDеднакви; па оттука и страната АБ= страна DC,и страна АД= страна Сонцето.

Ваквите четириаголници, во кои, како правоаголниците, спротивните страни се паралелни, се нарекуваат паралелограми. Заеби го. 80 покажува пример на паралелограм: АБпаралелно DC,А АДпаралелно п.н.е.Проклето.80

СПРОТИ АГЛИ ПАРАЛЕЛНА ГРАМАТИЧКА ЕДНАКВИ; Спротивни страни

P a r l l e l o g r a m a v y s.

За да го потврдиме ова, да нацртаме паралелограм А БЕ ЦЕ ДЕ(сл. 81) директно ВД(дијагонала) и споредете триаголници ABDИ VDC.Овие триаголници се еднакви (случај USU): БД– заедничка страна; ug. 1 = агол 2, агол 3 = агол 4 (зошто?). Својствата наведени претходно произлегуваат од ова.

Паралелограм со четири еднакви страни се нарекува ромб.

Повторете прашања

Познавањето на основните геометриски конструкции овозможува правилно и брзо цртање, избирајќи ги најрационалните техники за секој случај.

2.1. Поделба на сегмент на еднакви делови

Може да го поделите сегментот на половина со помош на компас со конструирање на средна нормална (сл. 18, а). За да го направите ова, земете радиус кој мери повеќе од половина од должината на сегментот и нацртајте кружни лаци од неговите краеви на двете страни додека не се пресечат еден со друг. Ние цртаме средна нормална низ пресечните точки на лаците.

За да се подели на кој било број на еднакви делови ја користиме теоремата на Фа

скелиња: ако на едната страна од аголот се поставени еднакви сегменти и низ нивните краеви се повлекуваат паралелни прави линии, тогаш ќе бидат поставени еднакви сегменти и на другата страна на аголот (сл. 18, б). Под про-

нацртајте помошен зрак AC под произволен агол на отсечката AB, на која отпуштаме отсечка со произволна должина онолку пати колку што е бројот на делови на кои треба да се подели оваа отсечка. Крајот на последната отсечка го поврзуваме со точката Б и цртаме прави линии паралелни со BC низ краевите на преостанатите отсечки.

2.2. Поделба на круг на произволен броједнакви делови

Способноста да се подели круг на еднакви делови е неопходна за да се конструираат правилни многуаголници. Ајде прво да разгледаме одредени техники за делење круг.

Поделба на три дела (сл. 19)

Ногата на компасот ја поставуваме на еден од краевите на меѓусебните нормални дијаметри на кругот. Користејќи раствор за компас еднаков на радиусот на кругот, правиме засеци на него од двете страни на овој крај на дијаметарот. Добиваме две темиња правилен триаголник. Третото теме е спротивниот крај на дијаметарот.

Поделба на четири дела (сл. 20)

Два меѓусебно нормални дијаметри го делат кругот на четири еднакви делови. Ако низ центарот на кругот се повлечат прави линии под агол од 45 µ во однос на оските, тогаш тие исто така ќе го поделат кругот на четири еднакви делови. Страните на впишаниот квадрат ќе бидат паралелни со оските на кругот. Овие два квадрати заедно го поделиле кругот на осум еднакви делови.

Поделено на пет дела (сл. 21)

● 1 ). Користејќи отвор за компас еднаков на радиусот, правиме засек на кругот. Добиваме точка 2.

● Од точка 2 ја спуштаме нормалната на дијаметарот од чиј крај е направен засекот. Добиваме точка 3.

● На точката ја ставаме ногата на компасот 3. Да го земеме радиусот еднакво на растојаниеод точката 3 до крајот на вертикалниот дијаметар (точка 4) и нацртајте лак додека не се пресече со хоризонталниот дијаметар. Добиваме точка 5.

l Поврзете ги точките 4 и 5. Акорд 4-5 ќе биде 1/5 од кругот.

● Ја мериме должината на акордот со компас 4–5 и почнете да го одложувате од еден од краевите на дијаметарот (во зависност од тоа како треба да биде ориентиран пентагонот во однос на оските). Дијаметарот од чиј крај почнуваме да поставуваме сегмент ќе биде оската на симетрија на фигурата.

Се препорачува да се отфрлат парчињата од двете страни одеднаш. Преостанатиот сегмент треба да биде нормално на оскатасиметрија. Ако неговата должина не е еднаква на должината на преостанатите сегменти, тогаш тоа значи дека конструкцијата е изведена неточно или акордот 4-5 е неточно измерен. Треба да ја прилагодите должината на сегментот и повторно да го повторите делењето на кругот.

Поделба на шест дела (сл. 22)

Користејќи отвор за компас еднаков на радиусот на кругот, правиме засеци од двата краја со ист дијаметар во двете насоки од нив. Добиваме четири темиња правилен шестоаголник. Другите две темиња се краевите на дијаметарот, од кои се направени серифите.

Поделба на седум дела (сл. 23)

● Ногата на компасот ја поставуваме на еден од краевите на дијаметарот (точка 1). Користејќи раствор за компас еднаков на радиусот на кругот, правиме засек на него. Добиваме точка 2.

● Од точка 2 ја спуштаме нормалната на дијаметарот од чиј крај е направен засекот. Добиваме точка 3. Сегментот 2-3 е 1/7 од кругот.

● Должината на сегментот ја мериме со дебеломер 2–3 и последователно тргнете го настрана од двата краја на дијаметарот на двете страни одеднаш. Последниот сегмент треба да биде нормален на дијаметарот од чиј крај почнаа да се поставуваат сегментите. Овој дијаметар ќе биде симетријата на впишаниот седумаголник.

Поделба на десет дела (сл. 24)

● Поделете го кругот на 5 дела, како што е прикажано на сл. 21. Добиваме редовен пентагон.

● Од секое теме на пентагонот ги спуштаме нормалните на спротивните страни. Сите тие ќе поминат низ центарот на кругот и ќе ја поделат страната и лакот што ќе го потисне на половина. Добиваме уште 5 темиња.

Поделба на дванаесет дела (сл. 25)

Користејќи отвор за компас еднаков на радиусот на кругот, правиме засеци од краевите на двата дијаметри на двете страни од нив.

Постои и општа техника за делење круг на кој било број делови. Да го разгледаме користејќи го примерот за конструирање на правилен шестоаголник (сл. 27).

● Цртаме два меѓусебно нормални дијаметри (хоризонтални и вертикални).

● Дијаметарот што сакаме да ја направиме оската на симетрија на фигурата го делиме на онолку делови колку што треба да го поделиме кругот. На сл. 27 дијаметарАБ е поделен на 9 дела. Ние ги нумерираме добиените точки на поделба.

● На точката ја ставаме ногата на компасотА и радиус, еднаков на дијаметароткруг, нацртајте лак додека не се пресече со продолжението на вертикалниот дијаметар. Ја добиваме точката В.

● Точката C преку една ја поврзуваме со точките на делење на дијаметарот и продолжуваме додека не се пресече со спротивниот лак на кругот во точките I, II, III, IV. Ако едно од темињата на нонагонот треба да биде точката А, тогаш нацртајте ги зраците низ сите парни поделби на дијаметарот (сл. 27, а). Ако точката Б треба да стане едно од темињата, тогаш зраците треба да се повлечат низ сите непарни поделби на дијаметарот (сл. 27, б).

● Конструираните точки ги прикажуваме симетрично во однос на хоризонталниот дијаметар. Ги добиваме преостанатите темиња на фигурата.

2.2.1. Задача бр.4. Поделба на круг

Цел: да се изучуваат техники за делење круг на еднакви делови.

На А3 формат во првиот ред нацртајте правилни многуаголници(три-, четири-, пет-, шест-, седум- и девет-гони), впишани во кругови со дијаметар од 60 mm. Круговите како помошни линии треба да бидат тенки. Исцртај ги многуаголниците со дебели линии.