Геометриски приказ на дефиниција на комплексен број. Геометриски приказ на сложени броеви

Геометриски приказ на сложени броеви. Тригонометриска форма комплексен број.

2015-06-04

Реална и имагинарна оска
Аргумент за сложен број
Главен аргументкомплексен број
Тригонометриска форма на комплексен број

Одредувањето комплексен број $z = a+bi$ е еквивалентно на одредување на два реални броеви $a,b$ - реалните и имагинарните делови на овој комплексен број. Но, подредениот пар на броеви $(a,b)$ е прикажан на Декартов правоаголен системкоординати по точка со координати $(a, b)$. Така, оваа точка може да послужи како слика за сложениот број $z$: помеѓу сложените броеви и точките координатна рамнинасе воспоставува кореспонденција еден на еден.

Кога се користи координатната рамнина за претставување сложени броеви, оската $Ox$ обично се нарекува реална оска (бидејќи реалниот дел од бројот се зема за апсциса на точката), а оската $Oy$ е замислена оска (бидејќи замислениот дел од бројот се зема за ордината на точката).

Комплексниот број $z$ претставен со точката $M(a,b)$ се нарекува афикс на оваа точка. При што реални броевисе претставени со точки што лежат на реалната оска, а сите чисто имагинарни броеви $bi$ (за $a = 0$) се претставени со точки што лежат на имагинарната оска. Бројот нула е претставен со точката О.

Сл.1
На сл. 1, слики од броевите $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Два сложени конјугирани броеви се претставени со точки симетрични за оската $Ox$ (точки $z_(1)$ и $z_(8)$ на слика 1).

Ориз. 2
Често поврзан со комплексен број $z$ не е само точката $M$ што го претставува овој број, туку и векторот $\vec(OM)$ што води од $O$ до $M$; Претставувањето на бројот $z$ како вектор е погодно од гледна точка на геометриското толкување на дејството на собирање и одземање на сложени броеви. На сл. 2, и се покажува дека векторот што го претставува збирот на сложените броеви $z_(1), z_(2)$ се добива како дијагонала на паралелограм конструиран на векторите $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ претставува поими. Ова правило за собирање вектори е познато како правило на паралелограм (на пример, за собирање сили или брзини во курс по физика). Одземањето може да се сведе на собирање со спротивен вектор(Сл. 2, б).

Ориз. 3
Како што е познато, позицијата на точка на рамнина може да се определи и со нејзините поларни координати $r, \phi$. Така, комплексниот број - додаток на точка - исто така ќе се определи со наведување $r$ и $\phi$. Од Сл. 3 јасно е дека $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ е истовремено и модулот на сложениот број $z$: поларниот радиус на точката што го претставува бројот $z$, еднаков на модуловој број.

Поларниот агол на точката $M$ се нарекува аргумент на бројот $z$ претставен со оваа точка.

Аргументот на комплексен број (како поларниот агол на точка) не е двосмислено дефиниран; ако $\phi_(0)$ е една од неговите вредности, тогаш сите негови вредности се изразени со формулата
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Сите вредности на аргументот се колективно означени со симболот $Arg \: z$.

Значи, секој комплексен број може да се поврзе со пар реални броеви: модул и аргумент даден број, а аргументот се дефинира двосмислено. Напротив, со оглед на модулот $|z| = r$ и аргументот $\phi$ одговара еднина$z$ со дадениот модул и аргумент. Посебни својстваго има бројот нула: неговиот модул еднаква на нула, на аргументот не му се доделува некое специфично значење.

За да се постигне недвосмисленост во дефиницијата на аргументот на сложен број, може да се согласи да се нарече една од вредностите на аргументот главна. Се означува со симболот $arg \: z$. Вообичаено, главната вредност на аргументот се избира да биде вредност што ги задоволува нееднаквостите
$0 \leq arg \: z (во други случаи неравенките $- \pi

Да обрнеме внимание и на вредностите на аргументот на реални и чисто имагинарни броеви:
$arg \: a = \begin(случаи) 0, & \text(ако) a>0, \\
\pi, & \text(ако) a $arg \: bi = \begin(случаи) \frac(\pi)(2), & \text(ако) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \text(ако) b

Реални и имагинарни делови од комплексен број (како Декартови координатипоени) се изразуваат преку неговиот модул и аргумент ( поларни координатипоени) според формулите:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
а комплексен број може да се запише во следнава тригонометриска форма:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(пишувањето број во форма $z = a + bi$ ќе го наречеме запис во алгебарска форма).

Условот за еднаквост на два броја дадени во тригонометриска форма е следниов: два броја $z_(1)$ и $z_(2)$ се еднакви ако и само ако нивните модули се еднакви, а аргументите се еднакви или се разликуваат по цел број на точки $2 \pi $.

Преминот од пишување број во алгебарска форма до запишување во тригонометриска форма и обратно се врши според формулите (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac(b ) (а) $ (3)
и формули (1). Кога дефинирате аргумент (неговата главна вредност), можете да ја користите вредноста на еден од тригонометриски функции$\cos \phi$ или $\sin \phi$ и земете го во предвид знакот на вториот.

Пример. Запиши ги следните броеви во тригонометриска форма:
а) $6 + 6i $; б) $3i$; в) -10 $.
Решение, а) Имаме
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
од каде $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, и затоа,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \десно)$;
б) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \лево (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \десно)$
в) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$ -10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Сложени броеви, нивно претставување на рамнина. Алгебарски операциинад сложени броеви. Комплексно спарување. Модул и аргумент на комплексен број. Алгебарски и тригонометриска формакомплексен број. Корени на сложени броеви. Експоненцијална функцијакомплексен аргумент. Ојлерова формула. Демонстративна формакомплексен број.

При изучување на еден од основните методи на интеграција: интеграција рационални дропки– за извршување на ригорозни докажувања, потребно е да се разгледаат полиноми во сложениот домен. Затоа, прво да проучиме некои својства на сложените броеви и операции на нив.

Дефиниција 7.1. Комплексен број z е подреден пар од реални броеви (а, б) : z = (а, б) (поимот „поредени“ значи дека при пишувањето комплексен број е важен редоследот на броевите a и b: (а ,б)≠(б,а )). Во овој случај, првиот број a се нарекува реален дел од комплексниот број z и се означува a = Re z, а вториот број b се нарекува имагинарен дел од z: b = Im z.

Дефиниција 7.2. Два комплексни броја z 1 = (a 1 , b 1) и z 2 = (a 2 , b 2) се еднакви ако и само ако нивните реални и имагинарни делови се еднакви, односно a 1 = a 2, b 1 = б 2 .

Операции на сложени броеви.

1. износсложени броеви z 1 =(а 1, б 1) И z 2 =(а 2, б 2 z =(а, б) така што a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2.Својства на додавање: а) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; б) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; в) има комплексен број 0 = (0,0): z + 0 =zза кој било сложен број z.

2. Работатасложени броеви z 1 =(а 1, б 1) И z 2 =(а 2, б 2) се нарекува комплексен број z =(а, б) така што a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1.Својства на множење: а) z 1 z 2 = z 2 z 1; б) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Коментар. Подмножество од множеството сложени броеви е множество од реални броеви, дефинирани како сложени броеви на формата ( А, 0). Може да се види дека дефиницијата за операции на сложени броеви ги зачувува познатите правила за соодветните операции на реални броеви. Покрај тоа, реалниот број 1 = (1,0) го задржува својот имот кога се множи со кој било комплексен број: 1∙ z = z.

Дефиниција 7.3.Комплексен број (0, б) се нарекува чисто имагинарен. Конкретно се повикува бројот (0,1). имагинарна единицаи е означен со симболот јас.

Својства на имагинарната единица:

1) i∙i=i² = -1; 2) чисто имагинарен број (0, б) може да се претстави како производ на реален број ( б, 0) и јас: (б, 0) = b∙i.

Според тоа, секој комплексен број z = (a,b) може да се претстави како: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Дефиниција 7.4. Се повикува ознака на формата z = a + ib алгебарска формапишување сложен број.

Коментар. Алгебарското запишување на сложени броеви ви овозможува да вршите операции на нив според нормални правилаалгебра.

Дефиниција 7.5. Комплексен број се нарекува сложен конјугат на z = a + ib.

3. Одземањекомплексните броеви се дефинирани како инверзна операција на собирање: z =(а, б) се нарекува разлика на сложени броеви z 1 =(а 1, б 1) И z 2 =(а 2, б 2), Ако a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Поделбакомплексните броеви се дефинирани како операција, инверзна на множење: број z = a + ibнаречен количник на делење z 1 = a 1 + ib 1И z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), ако z 1 = z∙z 2 .Следствено, реалните и имагинарните делови на количникот може да се најдат од решавањето на системот на равенки: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Геометриска интерпретација на сложени броеви.

Комплексен број z =(а, б) може да се претстави како точка на рамнина со координати ( а, б) или вектор со потекло на почеток и крај на точка ( а, б).

Во овој случај, се нарекува модулот на добиениот вектор модулкомплексен број и аголот формирана од векторсо позитивна насока на х-оската, - аргументброеви. Со оглед на тоа a = ρ cos φ, b = ρгрев φ, Каде ρ = |z| - модул z,и φ = arg z е неговиот аргумент, можете да добиете друга форма на пишување комплексен број:

Дефиниција 7.6.Тип на снимање

z = ρ(кос φ + iгрев φ ) (7.1)

повикани тригонометриска формапишување сложен број.

За возврат, модулот и аргументот на комплексен број може да се изразат преку АИ б: . Следствено, аргументот за сложен број не е единствено определен, туку до член кој е множител на 2π.

Лесно е да се потврди дека операцијата на собирање сложени броеви одговара на операцијата на собирање вектори. Да ја разгледаме геометриската интерпретација на множењето. Нека тогаш

Според тоа, модулот на производот на два сложени броја е еднаков на производотнивните модули, а аргументот е збир на нивните аргументи. Според тоа, при делење, модулот на количникот еднаков на односотмодули на дивиденда и делител, а аргументот е разликата на нивните аргументи.

Посебен случај на операцијата за множење е степенувањето:

- Формулата на Моивр.

Користејќи ги добиените релации, ги наведуваме главните својства на сложените конјугирани броеви:

Комплексни броеви

Основни концепти

Првичните податоци за бројот датираат од камено доба - палеомелит. Овие се „еден“, „малку“ и „многу“. Тие беа снимени во форма на засеци, јазли итн. Развојот на работните процеси и појавата на сопственоста го принудија човекот да измисли бројки и нивните имиња. Првиот што се појави цели броеви Н, добиени со броење ставки. Потоа, заедно со потребата за броење, луѓето имаа потреба да мерат должини, површини, волумени, време и други количини, каде што требаше да земат предвид делови од користената мерка. Така настанале дропките. Формално оправдување на поимите фракционо и негативен бројбеше спроведена во 19 век. Множество од цели броеви З– тоа се природни броеви, природни броеви со знак минус и нула. Цели и дробни броевиформираше збир рационални броеви П,но се покажа и недоволно за проучување на континуирано менување променливи. Битие повторно ја покажа несовршеноста на математиката: неможноста да се реши равенка на формата X 2 = 3, поради што се појавија ирационални броеви Јас.Унија на множеството рационални броеви ПИ ирационални броеви Јас– збир на реални (или реални) броеви Р. Како резултат на тоа, нумеричката линија беше пополнета: секој реален број одговараше на точка на неа. Но, на многумина Рне постои начин да се реши равенка на формата X 2 = – А 2. Следствено, повторно се појави потреба да се прошири концептот на број. Вака се појавиле сложените броеви во 1545 година. Нивниот креатор Џ. Кардано ги нарече „чисто негативни“. Името „имагинарно“ било воведено во 1637 година од Французинот Р. Декарт, во 1777 година Ојлер предложил да се користи првата буква. Француски број јасза означување на имагинарната единица. Овој симбол влезе во општа употреба благодарение на К. Гаус.

Во текот на 17 и 18 век, дискусијата за аритметичката природа на имагинарите и нивното геометриско толкување продолжи. Данецот Г. Подоцна се покажа дека е уште попогодно да се претставува број не по самата точка, туку со вектор што оди до оваа точка од потеклото.

Само кон крајот на 18 и почетокот на 19 век сложените броеви го зазедоа своето вистинско место во математичка анализа. Нивната прва употреба е во теорија диференцијални равенкии во теоријата на хидродинамиката.

Дефиниција 1.Комплексен бројсе нарекува израз на формата , каде xИ yсе реални броеви и јас– имагинарна единица, .

Два сложени броја и еднаквиако и само ако, .

Ако , тогаш се повикува бројот чисто имагинарен; ако , тогаш бројот е реален број, тоа значи дека множеството Р СО, Каде СО– збир од сложени броеви.

Коњугатна комплексен број се нарекува комплексен број.

Геометриски приказ на сложени броеви.

Секој комплексен број може да се претстави со точка М(x, y) рамнина Окси.Пар од реални броеви ги означува и координатите на векторот на радиусот , т.е. помеѓу множеството вектори на рамнината и множеството сложени броеви, може да се воспостави кореспонденција еден на еден: .

Дефиниција 2.Вистински дел X.

Ознака: x= Одг z(од латински Realis).

Дефиниција 3.Имагинарен делкомплексен број е реален број y.

Ознака: y= јас z(од латински Imaginarius).

Одг zсе депонира на оската ( О), Јас сум zсе депонира на оската ( О), тогаш векторот што одговара на комплексниот број е вектор на радиус на точката М(x, y), (или М(Ре z, Јас сум z)) (сл. 1).

Дефиниција 4.Се нарекува рамнина чии точки се поврзани со множество сложени броеви комплексен авион. Се нарекува оската на апсцисата реална оска, бидејќи содржи реални броеви. Се нарекува ординатна оска имагинарна оска, содржи чисто имагинарни сложени броеви. Се означува множеството сложени броеви СО.

Дефиниција 5.Модулкомплексен број z = (x, y) се нарекува должина на векторот: , т.е. .

Дефиниција 6.Аргументкомплексен број е аголот помеѓу позитивната насока на оската ( О) и вектор: .

Забелешка 3.Ако точката zлежи на вистинската или имагинарната оска, тогаш можете директно да ја најдете.

Комплексни броеви и
координираат
рамнина

Геометрискиот модел на множеството R од реални броеви е бројната права. Секој реален број одговара на една точка

на
бројна линија и која било точка на правата
само еден натпревар
реален број!

Со додавање на уште една димензија на бројната линија што одговара на множеството од сите реални броеви - линијата што го содржи множеството чисти броеви

Со додавање на бројната линија што одговара на множеството
од сите реални броеви уште една димензија -
права линија која содржи збир од чисто имагинарни броеви -
добиваме координатна рамнина во која секој
може да се поврзе сложениот број a+bi
точка (а; б) од координатната рамнина.
i=0+1i одговара на точката (0;1)
2+3i одговара на точката (2;3)
-i-4 одговара на точката (-4;-1)
5=5+1i одговара на меланхолија (5;0)

Геометриско значење на операцијата за конјугација

! Операцијата за парење е аксијална
симетрија околу оската на апсцисата.
!! Конјугирани едни со други
комплексните броеви се еднакво оддалечени од
потекло.
!!! Вектори кои прикажуваат
конјугирани броеви, наклонети кон оската
апсциса под истиот агол, Но
лоциран според различни страниод
оваа оска.

Слика на реални броеви

Слика од сложени броеви

Алгебарски
начин
Слики:
Комплексен број
прикажан е a+bi
рамнина точка
со координати
(а;б)

Примери за прикажување сложени броеви на координатната рамнина

(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi , за што
x=-4. Ова е равенката
директно,
паралелна оска
ординација)
на
X= - 4
Важи
дел е -4
0
X

Нацртајте го на координатната рамнина множеството од сите сложени броеви за кои:

Имагинарен дел
е изедначена
недвосмислена
природно
број
(Ние сме заинтересирани
сложени броеви
z=x+yi, за што
y=2,4,6,8.
Геометриска слика
се состои од четири
директно, паралелно
x-оска)
на
8
6
4
2
0
X

Постојат следниве форми на сложени броеви: алгебарски(x+iy), тригонометриски(r(cos+isin )), индикативно(ре јас ).

Секој комплексен број z=x+iy може да се претстави на XOU авионво форма на точка A(x,y).

Рамнината на која се прикажани сложените броеви се нарекува рамнина на сложената променлива z (на рамнината го ставаме симболот z).

Оската OX е вистинската оска, т.е. содржи реални броеви. OU е имагинарна оска со имагинарни броеви.

x+iy- алгебарска форма на запишување сложен број.

Да ја изведеме тригонометриската форма на пишување комплексен број.

Добиените вредности ги заменуваме во почетната форма: т.е.

r(cos+исин) - тригонометриска форма на запишување комплексен број.

Експоненцијалната форма на пишување комплексен број следи од формулата на Ојлер:
, Тогаш

z= повторно јас - експоненцијална форма на запишување комплексен број.

Операции на сложени броеви.

1. додавање. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . одземање. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. множење. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . поделба. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два сложени броја кои се разликуваат само по знакот на имагинарната единица, т.е. z=x+iy (z=x-iy) се нарекуваат конјугирани.

Работа.

z1=r(cos +исин ); z2=r(cos +исин ).

Тој производ z1*z2 на сложени броеви се наоѓа: , т.е. модулот на производот е еднаков на производот на модулите, а аргументот на производот е еднаков на збирот на аргументите на факторите.

;
;

Приватен.

Ако сложените броеви се дадени во тригонометриска форма.

Ако сложените броеви се дадени во експоненцијална форма.

Експоненцијација.

1. Даден сложен број алгебарски форма.

z=x+iy, тогаш z n се наоѓа со Биномната формула на Њутн:

- бројот на комбинации на n елементи од m (бројот на начини на кои може да се земат n елементи од m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Пријавете се за сложени броеви.

Во добиениот израз, треба да ги замените моќите i со нивните вредности:

i 0 =1 Од тука, до општ случајдобиваме: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

јас 2 =-1 и 4к+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Пример.

i 31 = i 28 i 3 =-i

јас 1063 = јас 1062 i=i

2. тригонометриски форма.

z=r(cos +исин ), Тоа

- Формулата на Моивр.

Овде n може да биде или „+“ или „-“ (цел број).

3. Ако е даден комплексен број индикативно форма:

Екстракција на корен.

Размислете за равенката:
.

Неговото решение ќе биде n-тиот корен од комплексниот број z:
.

n-тиот корен од комплексен број z има точно n решенија (вредности). Корен на тековен датум n-ти степен има само едно решение. Во сложените има n решенија.

Ако е даден комплексен број тригонометриски форма:

z=r(cos +исин ), тогаш n-тиот корен од z се наоѓа со формулата: