Разлика на спротивно насочени вектори. Собирање и одземање на вектори

Никој нема да тврди дека е невозможно да се стигне до вашата дестинација без да се знае правецот на патување. Во физиката овој концепт се нарекува вектор. До овој момент работевме со некои бројки и вредности, кои се нарекуваат количини. Векторот се разликува од количината по тоа што има насока.

Кога работат со вектор, тие работат на него насокаИ големина. Физички параметарбез оглед на насоката се нарекува скаларен.

Визуелно, векторот се прикажува како стрелка. Должината на стрелката е големината на векторот.

Во физиката векторите се означуваат со голема буквасо стрелка на врвот.

Векторите може да се споредат. Два вектори ќе бидат еднакви ако имаат со иста големинаи насока.

Може да се додадат вектори. Добиениот вектор е збир на двата вектори и го одредува растојанието и насоката. На пример, живеете во Киев и решивте да ги посетите старите пријатели во Москва, а од таму да ја посетите вашата сакана свекрва во Лавов. Колку далеку ќе бидете од вашиот дом додека ја посетувате мајката на вашата сопруга?

За да одговорите на ова прашање треба да нацртате вектор од Почетна точкапатување (Киев) и до крајната дестинација (Лвов). Новиот вектор го одредува резултатот од целото патување од почеток до крај.

  • Вектор А - Киев-Москва
  • Вектор Б - Москва-Лвов
  • Вектор Ц - Киев-Лвов

C = A+B, каде што C - векторска сумаили добиениот вектор

Векторите не само што може да се додадат, туку и да се одземат! За да го направите ова, треба да ги комбинирате основите на векторите за подземјување и одземање и да ги поврзете нивните краеви со стрелки:

  • Вектор A = C-B
  • Вектор B = C-A

Ајде да го ставиме на нашите вектори координатна мрежа. За векторот А можеме да кажеме дека е насочен 5 ќелии нагоре ( позитивна вредностОска Y) и 3 ќелии лево ( негативно значење X оска): X=-3; Y=5.

За вектор Б: правец 4 ќелии налево и 7 ќелии надолу: X=-4; Y=-7.

Така, за да додадете вектори долж оските X и Y, треба да ги додадете нивните координати. За да ги добиете координатите на добиениот вектор долж оските X и Y:

Да го разгледаме проблемот: топката се движи со брзина од 10 m/s по должината наклонета рамнинасо должина на основата X=1m, сместена на 30° кон хоризонтот. Потребно е да се одреди времето во кое топката се движи од почетокот до крајот на авионот.

Во овој проблем, брзината е вектор Всо магнитуда 10m/s и правец α=30°до хоризонталата. За да ја одредиме брзината на движењето на топката по основата на наклонетата рамнина, треба да ја одредиме X-компонентата на движењето на топката, која е скаларна (само има вредност, а не насока) и е означена Vx. Слично на тоа, Y-компонентата на брзината е исто така скаларна и се означува V г. Вектор на брзина низ компоненти: V = (V x ;V y)


Да ги одредиме компонентите (V x ;V y). Да се ​​потсетиме на тригонометријата:

V x = V cosα
V y = V sinα

Х-компонента на брзината на топката:

V x = V cosα = V cos30° = 10,0 0,866 = 8,66 m/s

Хоризонталната брзина на топката е 8,66 m/s.

Бидејќи должината на основата на навалената рамнина е 1 m, тогаш топката ќе го помине ова растојание во:

1,00 (м)/8,66 (м/с) = 0,12 с

Така, на топката ќе и требаат 0,12 секунди за да се движи по навалената рамнина. Одговор: 0,12 секунди

Заради интерес, да ја дефинираме Y-компонентата на брзината:

V y = V sinα = 10 1/2 = 5,0 m/s

Бидејќи времето на „патување“ на топката е исто за двете компоненти, можеме да ја одредиме висината Y од која се тркалала топката:

5,0 (m/s)·0,12 (s) = 0,6 m

Растојание поминато со топката:

Инверзен проблем

Да го разгледаме инверзниот проблем на претходниот:

Топката се движела по навалената рамнина до висина од 0,6 m, додека во хоризонталната рамнина нејзиното движење било 1,0 m. Неопходно е да се најде растојанието поминато од топката и аголот.

Го пресметуваме растојанието користејќи ја Питагоровата теорема:

L = √1,00 2 + 0,60 2 = √1,36 = 1,16m

За тригонометрија:

X = L cosα; Y = L sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Сега можете да го најдете аголот:

α = arccos (X/L); α = лаксин (Y/L)

Да ги замениме броевите:

α = аркос (1/1,16) = 30°

Средното пресметување на L може да се елиминира:

Y = X тана

Вектор е математички објект, што се карактеризира со големина и насока (на пример, забрзување, поместување), што се фрла од скалари кои немаат насока (на пример, растојание, енергија). Скаларите може да се додадат со додавање на нивните вредности (на пример, 5 kJ работа плус 6 kJ работа е еднаква на 11 kJ работа), но векторите не се толку лесни за собирање и одземање.

Чекори

Собирање и одземање вектори со познати компоненти

    Бидејќи векторите имаат големина и насока, тие можат да се разложат на компоненти врз основа на димензиите x, y и/или z. Тие обично се означени на ист начин како точките во координатен систем (на пример,<х,у,z>). Ако компонентите се познати, тогаш собирањето/одземањето на вектори е едноставно како собирање/одземање x, y, z координати.

    • Забележете дека векторите можат да бидат еднодимензионални, дводимензионални или тридимензионални. Така, векторите можат да имаат „x“ компонента, „x“ и „y“ компоненти или компоненти „x“, „y“, „z“. 3D вектори се дискутирани подолу, но процесот е сличен за 1D и 2D вектори.
    • Да претпоставиме дека ви се дадени две тридимензионален вектор- вектор А и вектор Б. Запишете ги овие вектори во векторска форма: A = и B = , каде што a1 и a2 се компонентите „x“, b1 и b2 се компонентите „y“, c1 и c2 се компонентите „z“.

  1. За да додадете два вектори, додадете ги нивните соодветни компоненти.Со други зборови, додадете ја x компонентата од првиот вектор на x компонентата од вториот вектор (и така натаму). Како резултат на тоа, ќе ги добиете x, y, z компонентите на добиениот вектор.

    • А+Б = .
    • Да ги додадеме векторите A и B. A =<5, 9, -10>и B =<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12> .

  2. За да одземете еден вектор од друг, треба да ги одземете соодветните компоненти.Како што ќе биде прикажано подолу, одземањето може да се замени со додавање на еден вектор и инверзен вектор на друг. Ако се познати компонентите на два вектори, одземете ги соодветните компоненти на едниот вектор од компонентите на другиот.

    • А-Б =
    • Одземете ги векторите A и B. A =<18, 5, 3>и B =<-10, 9, -10>. А - Б =<18--10, 5-9, 3--10>, или <28, -4, 13> .

    Графичко собирање и одземање

    1. Бидејќи векторите имаат големина и насока, тие имаат почеток и крај (почетна точка и крајна точка, чие растојание е еднакво на вредноста на векторот). Кога графички се прикажува вектор, тој се црта како стрелка, чиј врв е крајот на векторот, а спротивната точка е почетокот на векторот.

      • Кога цртате вектори, исцртувајте ги сите агли многу прецизно; во спротивно ќе добиете погрешен одговор.

    2. За да додадете вектори, нацртајте ги така што крајот на секој претходен вектор е поврзан со почетокот на следниот вектор. Ако додавате само два вектори, тогаш тоа е сè што треба да направите пред да го пронајдете добиениот вектор.

      • Ве молиме имајте предвид дека редоследот по кој се поврзани векторите не е важен, односно вектор А + вектор Б = вектор Б + вектор А.

    3. За да одземете вектор, едноставно додадете го инверзниот вектор, односно обратете ја насоката на одземениот вектор, а потоа поврзете го неговиот почеток со крајот на друг вектор. Со други зборови, за да одземете вектор, ротирајте го 180 o (околу потеклото) и додадете го во друг вектор.

      Ако додадете или одземете колку (повеќе од два) вектори, тогаш поврзете ги нивните краеви и почетоци во серија. Редоследот по кој ги поврзувате векторите не е важен. Овој метод може да се користи за кој било број вектори.

    4. Нацртајте нов вектор, почнувајќи од почетокот на првиот вектор и завршувајќи со крајот на последниот вектор (бројот на додадени вектори не е важен). Ќе добиете добиен вектор еднаков на збирот на сите додадени вектори. Забележете дека овој вектор е ист како векторот добиен со додавање на x, y и z компонентите на сите вектори.

      • Ако многу прецизно сте ги нацртале должините на векторите и аглите меѓу нив, тогаш можете да ја најдете вредноста на добиениот вектор едноставно со мерење на неговата должина. Дополнително, можете да го измерите аголот (помеѓу резултантниот вектор и друг наведен вектор или хоризонтални/вертикални линии) за да ја пронајдете насоката на резултантниот вектор.
      • Ако многу точно сте ги нацртале должините на векторите и аглите меѓу нив, тогаш можете да ја пронајдете вредноста на добиениот вектор користејќи тригонометрија, имено синусната теорема или косинусната теорема. Ако додавате повеќе вектори (повеќе од два), прво додадете два вектори, потоа додадете го добиениот вектор и третиот вектор итн. Погледнете го следниот дел за повеќе информации.

    5. Претставете го добиениот вектор, означувајќи ја неговата вредност и насока.Како што е наведено погоре, ако многу прецизно сте ги нацртале должините на векторите што се додаваат и аглите меѓу нив, тогаш вредноста на добиениот вектор е еднаква на неговата должина, а насоката е аголот помеѓу него и вертикалната или хоризонталната линија . На векторската вредност, не заборавајте да ги доделите мерните единици во кои се дадени векторите што треба да се додадат/одземат.

      • На пример, ако додадете вектори на брзина измерени во m/s, тогаш додадете „m/s“ на вредноста на добиениот вектор, а исто така означете го аголот на добиениот вектор во формат „o на хоризонталната линија“.

    Додавање и одземање вектори со наоѓање на вредностите на нивните компоненти

    1. За да ги пронајдете вредностите на векторските компоненти, треба да ги знаете вредностите на самите вектори и нивната насока (агол во однос на хоризонтална или вертикална линија). Размислете за дводимензионален вектор. Направете го тоа хипотенуза на правоаголен триаголник, а потоа катетите (паралелни со оските X и Y) на овој триаголник ќе бидат векторски компоненти. Овие компоненти може да се замислат како два поврзани вектори, кои кога ќе се соберат заедно го даваат оригиналниот вектор.

      • Должините (вредностите) на двете компоненти (х и y компонентите) на оригиналниот вектор може да се пресметаат со помош на тригонометрија. Ако „x“ е вредноста (модулот) на оригиналниот вектор, тогаш векторската компонента во непосредна близина на аголот на оригиналниот вектор е xcosθ, а векторската компонента спроти аголот на оригиналниот вектор е xsinθ.
      • Важно е да се забележи насоката на компонентите. Ако компонентата е насочена спротивно од насоката на една од оските, тогаш нејзината вредност ќе биде негативна, на пример, ако на дводимензионална координатна рамнина компонентата е насочена налево или надолу.
      • На пример, даден вектор со модул (вредност) 3 и насока 135 o (во однос на хоризонталата). Тогаш компонентата „x“ е еднаква на 3cos 135 = -2,12, а компонентата „y“ е еднаква на 3sin135 = 2,12.

    2. Откако ќе ги пронајдете компонентите на сите вектори што се додаваат, едноставно додадете ги нивните вредности и пронајдете ги вредностите на компонентите на добиениот вектор. Прво, соберете ги вредностите на сите хоризонтални компоненти (односно, компонентите паралелни на оската X). Потоа соберете ги вредностите на сите вертикални компоненти (односно, компонентите паралелни на оската Y). Ако вредноста на компонентата е негативна, таа се одзема наместо да се додава.

      • На пример, да го додадеме векторот<-2,12, 2,12>и вектор<5,78, -9>. Добиениот вектор ќе биде вака<-2,12 + 5,78, 2,12-9>или<3,66, -6,88>.

    3. Пресметајте ја должината (вредноста) на добиениот вектор користејќи ја Питагоровата теорема: c 2 =a 2 +b 2 (бидејќи триаголникот формиран од првобитниот вектор и неговите компоненти е правоаголен). Во овој случај, нозете се компонентите „x“ и „y“ на добиениот вектор, а хипотенузата е самиот добиен вектор.

      • На пример, ако во нашиот пример ја собравте силата измерена во Њутни, тогаш напишете го одговорот на следниов начин: 7,79 N под агол од -61,99 o (на хоризонталната оска).
    • Не мешајте ги векторите со нивните модули (вредности).
    • Векторите кои имаат иста насока може да се додаваат или одземаат едноставно со собирање или одземање на нивните вредности. Ако се додадат два спротивно насочени вектори, нивните вредности се одземаат наместо да се додаваат.
    • Вектори кои се претставени како x јас+ y ј+ z кможе да се додаде или одземе со едноставно собирање или одземање на соодветните коефициенти. Одговорот напишете го и во форма i,j,k.
    • Вредноста на векторот во тридимензионален простор може да се најде со помош на формулата a 2 =b 2 +c 2 +d 2, Каде а- векторска вредност, б, в,И г- векторски компоненти.
    • Векторите на колоните може да се додаваат/одземаат со собирање/одземање на соодветните вредности во секој ред.

Стандардна дефиниција: „Вектор е насочен сегмент“. Ова е обично степенот на знаењето на дипломираните лица за векторите. Кому му требаат некакви „насочни сегменти“?

Но, навистина, што се векторите и за што се тие?
Временска прогноза. „Ветер северозападен, брзина 18 метри во секунда“. Се согласувам, и насоката на ветрот (од каде што дува) и големината (односно апсолутната вредност) на неговата брзина се важни.

Количините кои немаат насока се нарекуваат скаларни. Масата, работата, електричното полнење не се насочени никаде. Тие се карактеризираат само со нумеричка вредност - „колку килограми“ или „колку џули“.

Физичките величини кои имаат не само апсолутна вредност, туку и насока, се нарекуваат векторски величини.

Брзина, сила, забрзување - вектори. За нив е важно „колку“ и важно е „каде“. На пример, забрзување поради гравитацијата насочен кон површината на Земјата, а неговата величина е 9,8 m/s 2. Импулсот, јачината на електричното поле, индукцијата на магнетното поле се исто така векторски величини.

Се сеќавате дека физичките количини се означуваат со букви, латински или грчки. Стрелката над буквата покажува дека количината е векторска:

Еве уште еден пример.
Автомобил се движи од А до Б. Крајниот резултат е неговото движење од точката А до точката Б, односно движење по вектор.

Сега е јасно зошто векторот е насочен сегмент. Ве молиме имајте предвид дека крајот на векторот е местото каде што е стрелката. Векторска должинасе нарекува должина на овој сегмент. Назначено со: или

Досега работевме со скаларни величини, според правилата на аритметиката и елементарната алгебра. Векторите се нов концепт. Ова е уште една класа на математички објекти. Тие имаат свои правила.

Некогаш не знаевме ништо за бројките. Моето запознавање со нив започна уште во основно училиште. Се покажа дека броевите можат да се споредуваат едни со други, да се собираат, одземаат, множат и делат. Дознавме дека има број еден и број нула.
Сега се запознавме со вектори.

Концептите „повеќе“ и „помалку“ за вектори не постојат - на крајот на краиштата, нивните насоки можат да бидат различни. Може да се споредат само векторските должини.

Но, постои концепт на еднаквост за вектори.
Еднаквисе нарекуваат вектори кои имаат иста должина и иста насока. Ова значи дека векторот може да се пренесе паралелно со себе до која било точка во рамнината.
Слободнае вектор чија должина е 1. Нула е вектор чија должина е нула, односно неговиот почеток се совпаѓа со крајот.

Најзгодно е да се работи со вектори во правоаголен координатен систем - истиот во кој цртаме графикони на функции. Секоја точка во координатниот систем одговара на два броја - неговите x и y координати, апсциса и ордината.
Векторот е исто така одреден со две координати:

Овде координатите на векторот се запишани во загради - во x и y.
Тие се наоѓаат едноставно: координатата на крајот на векторот минус координатата на неговиот почеток.

Ако се дадени векторските координати, неговата должина се наоѓа со формулата

Векторско додавање

Постојат два начина за додавање вектори.

1 . Правило за паралелограм. За да ги собереме векторите и , ги ставаме потеклото на двете во иста точка. Градиме до паралелограм и од истата точка цртаме дијагонала на паралелограмот. Ова ќе биде збирот на векторите и .

Се сеќавате на басната за лебед, рак и штука? Се трудеа многу, но никогаш не ја поместија количката. На крајот на краиштата, векторскиот збир на силите што ги примениле на количката беше еднаков на нула.

2. Вториот начин за додавање вектори е правилото за триаголник. Да ги земеме истите вектори и . Ќе го додадеме почетокот на вториот до крајот на првиот вектор. Сега да го поврземе почетокот на првиот и крајот на вториот. Ова е збир на вектори и .

Користејќи го истото правило, можете да додадете неколку вектори. Ги редиме едно по друго, а потоа го поврзуваме почетокот на првиот со крајот на последниот.

Замислете дека одите од точката А до точката B, од B до C, од C до D, потоа до E и до F. Крајниот резултат од овие дејства е движење од А до Ф.

Кога додаваме вектори и добиваме:

Векторско одземање

Векторот е насочен спротивно на векторот. Должините на векторите и се еднакви.

Сега е јасно што е векторско одземање. Векторската разлика и е збир на векторот и векторот .

Множење на вектор со број

Кога векторот се множи со бројот k, се добива вектор чија должина е k пати различна од должината. Тој е конасочен со векторот ако k е поголем од нула, а спротивен ако k е помал од нула.

Точка производ на вектори

Векторите може да се множат не само со бројки, туку и едни со други.

Скаларниот производ на вектори е производ на должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.

Забележете дека помноживме два вектори, а резултатот беше скаларен, односно број. На пример, во физиката, механичката работа е еднаква на скаларниот производ на два вектори - сила и поместување:

Ако векторите се нормални, нивниот скаларен производ е нула.
И вака се изразува скаларниот производ преку координатите на векторите и:

Од формулата за скаларниот производ можете да го најдете аголот помеѓу векторите:

Оваа формула е особено погодна во стереометријата. На пример, во задачата 14 од Профилот на обединета држава испит по математика, треба да го пронајдете аголот помеѓу правата што се сечат или помеѓу права и рамнина. Проблемот 14 често се решава неколку пати побрзо со помош на векторскиот метод отколку со класичниот метод.

ВО училишна наставна програматие учат само математика скаларен производвектори.
Излегува дека, покрај скаларот, постои и векторски производ, кога се множат два вектори резултира со вектор. Секој што го полага обединетиот државен испит по физика знае што е силата на Лоренц и силата на Ампер. Формулите за наоѓање на овие сили вклучуваат векторски производи.

Векторите се многу корисна математичка алатка. Ова ќе го видите во првата година.

ov, прво треба да разберете таков концепт како одложување на вектор од дадена точка.

Дефиниција 1

Ако точката $A$ е почеток на кој било вектор $\overrightarrow(a)$, тогаш се вели дека векторот $\overrightarrow(a)$ е одложен од точката $A$ (сл. 1).

Слика 1. $\overrightarrow(a)$ нацртано од точката $A$

Да ја воведеме следнава теорема:

Теорема 1

Од која било точка $K$ може да се нацрта вектор $\overrightarrow(a)$ и, згора на тоа, само еден.

Доказ.

Постоење:Тука треба да се разгледаат два случаи:

    Векторот $\overrightarrow(a)$ е нула.

    Во овој случај, очигледно е дека саканиот вектор е векторот $\overrightarrow(KK)$.

    Векторот $\overrightarrow(a)$ не е нула.

    Со точка $A$ да го означиме почетокот на векторот $\overrightarrow(a)$ и со точка $B$ крајот на векторот $\overrightarrow(a)$. Да повлечеме права линија $b$ низ точката $K$ паралелна со векторот $\overrightarrow(a)$. Да ги нацртаме отсечките $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$ на оваа линија. Размислете за векторите $\overrightarrow(KL)$ и $\overrightarrow(KM)$. Од овие два вектори, посакуваниот ќе биде оној што ќе биде ко-насочен со векторот $\overrightarrow(a)$ (сл. 2)

Слика 2. Илустрација на теорема 1

Уникатност:уникатноста веднаш следи од изведбата на конструкцијата во точката „постоење“.

Теоремата е докажана.

Одземање на вектори. Правило еден

Да ни бидат дадени векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$.

Дефиниција 2

Разликата на два вектори $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ е вектор $\overrightarrow(c)$ кој, кога ќе се додаде во векторот $\overrightarrow(b)$, го дава векторот $\ overrightarrow(a)$ , т.е

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

Ознака:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Ајде да размислиме да ја конструираме разликата помеѓу два вектори користејќи го проблемот.

Пример 1

Нека се дадени векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Конструирајте го векторот $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Решение.

Ајде да конструираме произволна точка $O$ и да ги нацртаме векторите $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ од неа. Со поврзување на точката $B$ со точката $A$, го добиваме векторот $\overrightarrow(BA)$ (сл. 3).

Слика 3. Разлика на два вектори

Користејќи го правилото за триаголник за конструирање на збир од два вектори, го гледаме тоа

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

Од Дефиниција 2, го добиваме тоа

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Одговор:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

Од овој проблем добиваме следното правилода се најде разликата на два вектори. За да ја пронајдете разликата $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ што ви треба од произволна точка$O$ тргнете ги настрана векторите $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ и поврзете го крајот на вториот вектор со крајот на првиот вектор.

Одземање на вектори. Правило два

Да се ​​потсетиме на следниот концепт што ни треба.

Дефиниција 3

Векторот $\overrightarrow(a_1)$ се нарекува произволен за векторот $\overrightarrow(a)$ ако овие вектори се спротивни во насока и имаат еднаква должина.

Ознака:Векторот $(-\overrightarrow(a))$ е спротивен на векторот $\overrightarrow(a)$.

За да го воведеме второто правило за разлика од два вектори, прво треба да ја воведеме и докажеме следната теорема.

Теорема 2

За кои било два вектори $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ важи следнава еднаквост:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Доказ.

По дефиниција 2, имаме

Го додаваме векторот $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ на двата дела, добиваме

Бидејќи векторите $\overrightarrow(b)$ и $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ се спротивни, тогаш $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ overrightarrow (0)$. Ние имаме

Теоремата е докажана.

Од оваа теорема го добиваме следново правило за разликата помеѓу два вектори: За да ја најдеме разликата $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, треба да го нацртаме векторот $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a )$ од произволна точка $O$, потоа, од добиената точка $A$, нацртајте го векторот $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ и поврзете го почетокот на првиот вектор со крајот на втор вектор.

Пример за проблем за концептот на векторска разлика

Пример 2

Нека е даден паралелограм $ADCD$ чии дијагонали се сечат во точката $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (сл. 4). Изразете ги следните вектори преку векторите $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$:

а) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

б) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Слика 4. Паралелограм

Решение.

а) Собирањето го вршиме според правилото триаголник, добиваме

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

Од првото правило за разлика од два вектори, добиваме

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

б) Бидејќи $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, добиваме

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

Според теорема 2, имаме

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Користејќи го правилото триаголник, конечно имаме

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Во лекциите по геометрија, веќе се запознавте со наједноставните операции на вектори: наоѓање на нивниот збир и разлика. Да се ​​потсетиме на ова.

Векторско додавање.За да го пронајдете збирот на два вектори, мора: а) паралелен трансферкомбинирајте ги почетоците на векторите; б) дополни го цртежот со два отсечки за да испадне паралелограм;в) спроведе збир вектород точката на потекло на векторите до точката на поврзување на комплементарните отсечки (по дијагоналата на паралелограмот).

Да го илустрираме ова правило со примерот од § 12-c, кога автомобилот прво се движи по векторот AB1, а потоа по векторот B1B2 пред да се сврти на мостот (видете го цртежот лево). Со други зборови, бараме збир векторили, што е истото, векторска сума AB1 и B1B2.

Ајде да направиме нови цртежи на дискутираните вектори (види подолу). Во цртежот „а“ применуваме паралелен трансфер и поместете го векторот B1B2 со неговиот почеток во точката А (т.е. ги совпаѓаме почетоците на векторите). Ќе го дополниме цртежот „б“ со два сегменти CB2 и B1B2 за да се формираат паралелограм. Во цртежот „в“ ќе цртаме збир вектород точката А на почетокот на векторите до точката В2 на поврзувањето на комплементарни отсечки (по дијагоналата на паралелограмот).

Така најдовме збир векторили векторска сума:

Ајде да ја провериме точноста на резултатот: автомобилот, откако се пресели од точка А до точка Б1, потоа се пресели од точка Б1 до точка Б2. Со други зборови, тој се движеше „по должината на“ векторот AB2, кој штотуку го конструиравме користејќи го паралелограм правило.

Одземање на вектори.За да ја пронајдете разликата на два вектори, потребно е: а) паралелен трансферкомбинирајте ги почетоците на векторите; б) дополни го цртежот со отсечка за да испадне тријаголник;в) дајте му на сегментот правец од подлогата кон минуендот, создавајќи вектор на разлика.

Да го илустрираме ова правило со истиот пример од § 12-c, кога автомобил се приближува до средината на мостот. За да го направите ова, од векторот на вкупното поместување AB3, го одземаме поместувањето во третата фаза, векторот B2B3.

Со други зборови, сега бараме вектор на разлика:

Во цртежот „а“ применуваме паралелен трансфери поместете го векторот B2B3 со неговиот почеток во точката А (т.е. ги совпаѓаме почетоците на векторите). Да го дополниме цртежот „б“ со отсечката DB3 за да се формира тријаголник. Во цртежот „в“ на отсечката ќе и дадеме насока од одземениот (син вектор) кон минуендот (црвениот вектор), создавајќи вектор на разликаДВ3.

Контурната стрелка го прикажува паралелното пренесување на пронајдениот вектор на разлика во точката А. Важно: конструираниот вектор DB3 е еднаков на саканиот вектор на разлика AB2. Ова е, всушност, проверка на точноста на резултатот, бидејќи веќе го најдовме овој вектор користејќи го правилото паралелограм.

Забележете дека векторите може да се додадат со „триаголник“ и да се одземат со „паралелограм“. Но, ви препорачуваме точно да запомните паралелограм правило за збир на векториИ триаголник правило за векторска разлика, бидејќи во иднина ќе ни требаат овие правила во оваа форма.