Ring matemaatikas on üks olulisemaid ja olulisemaid näitajaid. See on vajalik paljude arvutuste tegemiseks. Teadmised selle joonise omadustest alates kooli õppekava tuleb elus kindlasti kasuks. Ümbermõõt on vajalik paljude ümmarguse ristlõikega materjalide arvutamisel. Jooniste kallal töötamine, aia ehitamine lillepeenra lähedal - selleks on vaja teadmisi geomeetrilisest kujundist ja selle omadustest.
Ringi mõiste ja selle põhielemendid
Joonis tasapinnal, mis koosneb arvukatest punktidest, mis asuvad võrdne vahemaa kesksest nimetatakse ringiks. Keskelt ulatuvat lõiku, mis ühendab selle ühe ringi moodustava punktiga, nimetatakse raadiuseks. Kõõl on segment, mis ühendab üksteisega mööda ringi perimeetrit paiknevat punktipaari. Kui see on paigutatud nii, et see läbib keskpunkti, on see ka läbimõõt.
Ringi raadiuse pikkus võrdub läbimõõdu pikkusega pooleks. Ringjoonel paiknev lahknevate punktide paar jagab selle kaheks kaareks. Kui nendes punktides otstega segment läbib keskpunkti (mis on seega läbimõõt), on moodustatud kaared poolringid.
Ümbermõõt
Ringi perimeetri arvutamine määratakse mitmel viisil: läbi läbimõõdu või raadiuse kaudu. Praktikas avastati, et ringi ümbermõõt (l) jagamisel selle läbimõõduga (d) annab alati ühe arvu. See on arv π, mis on võrdne 3,141692666...>Arvutamine toimub järgmise valemi abil: π= l/d. Seda teisendades saame ümbermõõdu. Valem on: l=πd.
Kasutatava raadiuse leidmiseks järgmine valem: d=2r. See sai võimalikuks tänu jagunemisele. Lõppude lõpuks on raadius pool läbimõõdust. Kui oleme ülaltoodud väärtused saanud, saame valemi abil arvutada, millega võrdub ümbermõõt järgmist tüüpi: l=2πr.
Põhiomadused
Ringi pindala on teiste suletud kõverate pindaladega võrreldes alati suurem. Puutuja on sirge, mis puudutab ringi ainult ühes punktis. Kui joon lõikub sellega kahes kohas, siis on see sekant. Punkt, kus 2 erinevat ringi üksteist puudutavad, on alati nende keskpunkte läbival sirgel. Tasapinnal lõikuvad ringid, millel on 2 ühised punktid. Nende vaheline nurk arvutatakse nurgana, mille moodustavad puutepunktide puutujad.
Kui läbi punkti, mis ei ole ringjoone punkt, tõmmatakse kaks sellele kattuvat sirget, siis on nende moodustatud nurk võrdne kaare pikkuste erinevusega pooleks. See reegel kehtib ka vastupidisel juhul, kui me räägime umbes kaks akordi. Kaks ristuvat nööri moodustavad nurga võrdne summaga kaare pikkus poole võrra vähenenud. Sellises olukorras olevad kaared valitakse sisse antud nurk ja vastasnurk. Optiline omadus ring ütleb järgmist: ümber ringi perimeetri asetatud peeglitelt peegelduvad valguskiired kogutakse tagasi selle keskmesse. IN sel juhul valgusallikas tuleks paigaldada ringi keskpunkti.
\[(\Large(\text(Kesk- ja sissekirjutatud nurgad)))\]
Definitsioonid
Kesknurk on nurk, mille tipp asub ringi keskpunktis.
Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil.
Ringjoone kaare kraadimõõt on kraadimõõt kesknurk mis sellele toetub.
Teoreem
Sissekirjutatud nurga kraadimõõt on võrdne poole kaare kraadist, millel see toetub.
Tõestus
Tõestuse teostame kahes etapis: esiteks tõestame väite paikapidavust juhuks, kui sissekirjutatud nurga üks külgedest sisaldab diameetrit. Olgu punkt \(B\) sissekirjutatud nurga \(ABC\) tipp ja \(BC\) ringi läbimõõt:
Kolmnurk \(AOB\) on võrdhaarne, \(AO = OB\) , \(\nurk AOC\) on väline, siis \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\nurk ABC\), kus \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Nüüd kaaluge suvalist sisse kirjutatud nurka \(ABC\) . Joonistame sissekirjutatud nurga tipust ringi läbimõõdu \(BD\). Võimalikud on kaks juhtumit:
1) läbimõõt lõikab nurga kaheks nurgaks \(\angle ABD, \angle CBD\) (millest kummagi puhul on teoreem tõene nagu ülalpool tõestatud, seega kehtib see ka algnurga kohta, mis on nende summa kaks ja seega võrdne poolega nende kaare summast, millele nad tuginevad, st võrdne poolega kaar, millele see toetub). Riis. 1.
2) läbimõõt ei lõikanud nurka kaheks nurgaks, siis on meil veel kaks uut sisse kirjutatud nurka \(\angle ABD, \angle CBD\), mille külg sisaldab läbimõõtu, seega on teoreem nende jaoks tõene, siis see kehtib ka algnurga kohta (mis on võrdne nende kahe nurga erinevusega, mis tähendab, et see on võrdne nende kaare poole vahega, millel need toetuvad, st võrdne poole kaarega, millel see toetub) . Riis. 2.
Tagajärjed
1. Sama kaare sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.
2. Poolringiga ümbritsetud sisse kirjutatud nurk on täisnurk.
3. Sissekirjutatud nurk on võrdne poolega sama kaare all olevast kesknurgast.
\[(\Large(\text(Ringi puutuja)))\]
Definitsioonid
Neid on kolme tüüpi suhteline positsioon sirgjoon ja ring:
1) sirgjoon \(a\) lõikab ringjoont kahes punktis. Sellist joont nimetatakse sekantjooneks. Sel juhul on kaugus \(d\) ringi keskpunktist sirgjooneni väiksem kui ringi raadius \(R\) (joonis 3).
2) sirgjoon \(b\) lõikab ringjoont ühes punktis. Sellist sirget nimetatakse puutujaks ja nende ühist punkti \(B\) puutepunktiks. Sel juhul \(d=R\) (joonis 4).
Teoreem
1. Ringjoone puutuja on puutepunktile tõmmatud raadiusega risti.
2. Kui sirge läbib ringi raadiuse otsa ja on selle raadiusega risti, siis on see ringjoone puutuja.
Tagajärg
Ühest punktist ringile tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
Tõestus
Joonistame punktist \(K\) ringile kaks puutujat \(KA\) ja \(KB\):
See tähendab, et \(OA\perp KA, OB\perp KB\) on nagu raadiused. Täisnurksed kolmnurgad\(\kolmnurk KAO\) ja \(\kolmnurk KBO\) on jala ja hüpotenuusiga võrdsed, seega \(KA=KB\) .
Tagajärg
Ringi keskpunkt \(O\) asub nurga \(AKB\) poolitajal, mille moodustavad kaks samast punktist \(K\) tõmmatud puutujat.
\[(\Large(\text(Nurkadega seotud teoreemid)))\]
Teoreem sekantidevahelise nurga kohta
Nurk kahe samast punktist tõmmatud sekandi vahel on võrdne nende poolt lõigatud suuremate ja väiksemate kaare kraadimõõtude poole erinevusega.
Tõestus
Olgu \(M\) punkt, millest tõmmatakse kaks sekanti, nagu on näidatud joonisel:
Näitame seda \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) – välisnurk kolmnurk \(MAD\) , siis \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), kus \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), kuid nurgad \(\angle DAB\) ja \(\angle MDA\) on sisse kirjutatud, siis \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), mida oli vaja tõestada.
Teoreem ristuvate kõõlude vahelise nurga kohta
Nurk kahe ristuva kõõlu vahel on võrdne poolega nende poolt lõigatud kaare kraadide summast: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Tõestus
\(\angle BMA = \angle CMD\) vertikaalsena.
Kolmnurgast \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Aga \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), millest järeldame, et \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ naerata\üle(CD)).\]
Teoreem kõõlu ja puutuja vahelise nurga kohta
Puutuja ja puutepunkti läbiva kõõlu vaheline nurk on võrdne poolega kõõlu poolt ümbritsetud kaare kraadist.
Tõestus
Laske sirgel \(a\) puudutada ringi punktis \(A\), \(AB\) on selle ringi kõõl, \(O\) on selle keskpunkt. Laske sirgel, mis sisaldab \(OB\) lõikuda \(a\) punktis \(M\) . Tõestame seda \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Tähistame \(\angle OAB = \alpha\) . Kuna \(OA\) ja \(OB\) on raadiused, siis \(OA = OB\) ja \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Seega \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Kuna \(OA\) on puutujapunkti raadius, siis \(OA\perp a\), st \(\angle OAM = 90^\circ\), seega \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teoreem kaare kohta, mis on seotud võrdsete akordidega
Võrdsed akordid alluvad võrdsed kaared, väiksemad poolringid.
Ja vastupidi: võrdsed kaared on allutatud võrdsete akordidega.
Tõestus
1) Olgu \(AB=CD\) . Tõestame, et kaare väiksemad poolringid .
Seetõttu on kolmel küljel \(\angle AOB=\angle COD\) . Aga sest \(\angle AOB, \angle COD\) – kesknurgad, mida toetavad kaared \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) vastavalt siis \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Kui \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), See \(\kolmnurk AOB=\kolmnurk COD\) kahel küljel \(AO=BO=CO=DO\) ja nendevaheline nurk \(\angle AOB=\angle COD\) . Seetõttu ja \(AB=CD\) .
Teoreem
Kui raadius poolitab kõõlu, siis on see sellega risti.
Tõsi on ka vastupidi: kui raadius on kõõluga risti, siis lõikepunktis poolitab see selle.
Tõestus
1) Olgu \(AN=NB\) . Tõestame, et \(OQ\perp AB\) .
Vaatleme \(\kolmnurka AOB\) : see on võrdhaarne, sest \(OA=OB\) – ringi raadiused. Sest \(ON\) on aluse külge tõmmatud mediaan, siis on see ka kõrgus, seega \(ON\perp AB\) .
2) Olgu \(OQ\perp AB\) . Tõestame, et \(AN=NB\) .
Samamoodi on \(\kolmnurk AOB\) võrdhaarne, \(ON\) on kõrgus, seega on \(ON\) mediaan. Seetõttu \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Lõikude pikkustega seotud teoreemid)))\]
Teoreem akordilõikude korrutise kohta
Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.
Tõestus
Olgu akordid \(AB\) ja \(CD\) ristuvad punktis \(E\) .
Vaatleme kolmnurki \(ADE\) ja \(CBE\) . Nendes kolmnurkades on nurgad \(1\) ja \(2\) võrdsed, kuna need on sisse kirjutatud ja toetuvad samale kaarele \(BD\) ning nurgad \(3\) ja \(4\) on võrdsed vertikaalseks. Kolmnurgad \(ADE\) ja \(CBE\) on sarnased (kolmnurkade sarnasuse esimese kriteeriumi alusel).
Siis \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), millest \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Tangensi ja sekanti teoreem
Puutuja segmendi ruut võrdne tootega selle välimise osa poole.
Tõestus
Laske puutujal läbida punkti \(M\) ja puudutage ringi punktis \(A\) . Laske sekant läbida punkti \(M\) ja lõikab ringi punktides \(B\) ja \(C\) nii, et \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Mõelge kolmnurkadele \(MBA\) ja \(MCA\) : \(\nurk M\) on tavaline, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Vastavalt puutuja ja sekandi vahelise nurga teoreemile, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Seega on kolmnurgad \(MBA\) ja \(MCA\) kahe nurga all sarnased.
Kolmnurkade \(MBA\) ja \(MCA\) sarnasusest saame: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), mis on samaväärne \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Tagajärg
Välise osaga punktist \(O\) tõmmatud sekandi korrutis ei sõltu punktist \(O\) tõmmatud sekandi valikust.
“Ja ma armusin sellesse ringi ja leppisin sellega.
Teabe- ja haridusprojekt.
Teema: ring
Projekti eesmärk: Uurida omadusi, tüüpe erinevad ringid ja nendega seotud teoreemid.
Alustasin oma tööd ringi omaduste uurimisega kooli geomeetriakursusel, kasutades A. V. Pogorelovi õpikut "Geomeetria 7-9" ja muud materjali koolikursus. Kui kogute teavet aadressilt erinevatest allikatest ja projekti kallal töötades täiendasin oma teadmisi ja jätkan selle teema uurimist ning teadmiste jagamist klassikaaslaste ja kõigi huvilistega.
Ring - lookus tasapinna punktid, mis on antud punktist võrdsel kaugusel, mida nimetatakse keskpunktiks, antud nullist erineval kaugusel, mida nimetatakse selle raadiuseks. Nõiaringi millel puudub siseruum. 
Muud määratlused
Ring läbimõõduga AB on kujund, mis koosneb punktidest A, B ja kõigist tasandi punktidest, millest lõik AB on täisnurga all nähtav.
Ring on kujund, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, millest igaühe kauguste suhe kahe etteantud punktiga on võrdne antud number, erineb ühtsusest. (vt Apolloniuse ring)
Samuti kujund, mis koosneb kõigist sellistest punktidest, millest igaühe puhul on kahe antud punkti kauguste ruutude summa võrdne antud väärtus, rohkem kui pool nende punktide vahelise kauguse ruut.
Raadius- mitte ainult kaugus, vaid ka lõik, mis ühendab ringi keskpunkti selle ühe punktiga.
Ringjoone kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse selle lõiguks akord. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt.
Ringi kutsutakse vallaline, kui selle raadius võrdne ühega. Ühikringkond on trigonomeetria üks peamisi objekte.
Mis tahes kaks lahknevat punkti ringil jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringi kaar. Kaart nimetatakse poolring, kui selle otsa ühendav segment on läbimõõduga.
Ptolemaiose teoreem.
Claudius Ptolemaios(), kes elas esimese sajandi lõpus - teise sajandi alguses, oli Vana-Kreeka astronoom, matemaatik, astroloog, geograaf, optik ja muusikateoreetik. Ta on tuntud kui Eukleidese kommentaator. Ptolemaios püüdis tõestada kuulsat viiendat postulaati. Ptolemaiose põhiteos on "Almagest", milles ta esitas teavet astronoomia kohta. Kaasas “Almagest” ja tähistaeva kataloog.
Ptolemaiose teoreem. Ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga siis ja ainult siis, kui selle diagonaalide korrutis on võrdne selle korrutiste summaga vastasküljed.
Vajaduse tõendamine. Kuna nelinurk on ringi sisse kirjutatud, siis
Kolmnurgast koosinusteoreemi kasutades leiame
Sarnaselt kolmnurgast:
Nende koosinuste summa on null:
Siit me väljendame:
Vaatame kolmnurki ja leiame:
Q.E.D.
Teel tõestasime veel üht väidet. Ringi sisse kirjutatud nelinurga puhul
Piisavuse tõend. Las võrdsus kestab
Tõestame, et ringjoont saab nelinurga ümber piirata.
Olgem tähistada raadiusega ringi kirjeldatud ümber . Punktist kukutame perpendikulaarid sirgetele ja ja ning tähistame nende sirgete ja nendega risti olevate ristumispunkte vastavalt läbi ja. Kasutades Sinsi teoreemi kolmnurga jaoks, saame (selle kolmnurga piiritletud ringi läbimõõt on võrdne):
Kolmnurga siinuse seaduse järgi on meil olemas
Seega
Samamoodi saame kolmnurki arvestades seosed
Seega, asendades need väljendid algse võrdsusega, saame
millest järeldub, et punktid ja asuvad samal sirgel.
Tõestame nüüd, et sellest järeldub, et ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga ( piisav seisukord Simsoni teoreem).
Ehitame ringid segmentidele ja nagu läbimõõtudele. Esimene neist läbib punkte ja (nurgad ja sirgjooned) ning teine - läbi punktide ja ( 
). Nurgad ja on võrdsed vertikaalnurkadega, mis tähendab, et Ja seetõttu . Siit , ja ümber nelinurga saab tõmmata ringi.
Euleri valem sai nime selle kasutusele võtnud Leonhard Euleri järgi ja seostab kompleksse astendaja trigonomeetriliste funktsioonidega. 
Euleri valem väidab, et mis tahes reaalarvu korral x kehtib järgmine võrdsus:
Kus e- alus naturaallogaritm,
i- kujuteldav ühik.
Raadiusega võrdse pikkusega ringikaare poolt moodustatud nurk võetakse kui 1 radiaan
Ühiku poolringi pikkust tähistatakse π-ga.
Tasapinna punktide geomeetrilist asukohta, mille kaugus antud punktini ei ole suurem kui antud nullist erinev kaugus, nimetatakse ümberringi .
Nimetatakse sirget, millel on täpselt üks ringjoonega ühine punkt puutuja ringile ning nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi puutumispunktiks.
Sirge, mis läbib kahte erinevaid punkte nimetatakse ringil sekant
.
Kesknurk - nurk, mille tipp asub ringi keskel. Kesknurk on võrdne kaare kraadiga, millele see toetub.
Sel juhul on nurk AOB keskne. 
Sissekirjutatud nurk
- nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad selle ringiga. Sisse kirjutatud nurk on võrdne poole kaare kraadist, millele see toetub. Sel juhul nurk ABC on sisse kirjutatud. 
Kaks ringi, millel on üldkeskus, kutsutakse kontsentriline
.
Nimetatakse kahte ringi, mille raadiused lõikuvad täisnurga all
ortogonaalne.
Ümbermõõt: C = 2∙π∙R = π∙D
Ringi raadius: R = C/(2∙π) = D/2
Ringi läbimõõt: D = C/π = 2∙R
Kaks ringi võrranditega antud:
on kontsentrilised (st neil on ühine kese) siis ja ainult siis, kui A1 = A2 ja B1 = B2.
Kaks ringi on ortogonaalsed (st ristuvad täisnurga all) siis ja ainult siis, kui tingimus
Sisse kirjutatud ring
Ringi nimetatakse nurga all olevaks, kui see asub nurga sees ja puudutab selle külgi. Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal.
Ring on väidetavalt sisse kirjutatud kumer hulknurk kui ta sees lamab antud hulknurk ja puudutab kõiki seda läbivaid sirgeid küljed.
Kolmnurgas
Sisse kirjutatud ringi omadused:
T poolitajad on T risti poolitajad 1
Las T 2 - ortokolmnurk T 1 . Siis on selle küljed paralleelsed algse kolmnurga T külgedega.
Las T 3 - keskmine kolmnurk T 1 . Siis on T poolitajad T kõrgused 3 .
Iga kolmnurk mahub ringi ja ainult ühe.
Kui küljega AB paralleelselt punkti O läbiv sirge lõikab külgi BC ja CA punktides A 1 ja B 1 , See A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .
Kolmnurka T kantud ringi puutujapunktid ühendatakse lõikudega – saadakse kolmnurk T 1
Siseringjoone keskpunkti O nimetatakse tsentriks, see on kõigist külgedest võrdsel kaugusel ja on kolmnurga poolitajate lõikepunkt.
Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne
Hulknurgas
Kui antud kumerale hulknurgale saab sisse kirjutada ringjoone, siis antud hulknurga kõigi nurkade poolitajad ristuvad ühes punktis, mis on sisse kirjutatud ringjoone keskpunkt.
Hulknurga sisse kirjutatud ringi raadius võrdne suhtega selle pindala poolperimeetrini
Piiratud ring.
Ümberringi
- ring, mis sisaldab kõiki hulknurga tippe. Keskpunkt on punkt (tavaliselt tähistatakse
O
) hulknurga külgedega risti olevate poolitajate lõikekoht.
Omadused
Circumcenter kumer n-nurk asub selle külgedega risti olevate poolitajate lõikepunktis. Selle tulemusena: kui ringjoon on n-nurga kõrval, siis kõik selle külgedega risti olevad poolitajad ristuvad ühes punktis (ringjoone keskpunktis).
Kellegi ümber korrapärane hulknurk Saate kirjeldada ringi ja ainult ühte.
Kolmnurga jaoks
:
Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Selle keskpunkt on ristumispunkt risti poolitajad.
U terav kolmnurkümberringi keskpunkt asub kolmnurga sees, nürikujulise kolmnurga puhul asub see kolmnurgast väljas ja ristkülikukujulise ringi puhul hüpotenuusi keskel.
3 ringist 4-st, mis on ümbritsetud keskmiste kolmnurkade ümber (moodustunud kolmnurga keskjooned) lõikuvad ühes punktis kolmnurga sees. See punkt on põhikolmnurga ümbermõõt.
Kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt toimib kui ortotsenter kolmnurk, mille tipud on antud kolmnurga külgede keskpunktides.
Kaugus kolmnurga tipust kuni ortotsenter kaks korda kaugemal keskusest ümberringi vastasküljele.
Raadius
Ümberringi raadiuse saab leida valemite abil
Kus:
a , b , c - kolmnurga küljed,
α - külje vastasnurk a ,
S - kolmnurga pindala.
Ümberringi keskpunkti asukoht
Olgu kolmnurga tippude raadiusvektorid piiritletud ringi keskpunkti raadiusvektor. Siis
Kus
Ümberlõikamise võrrand
Olgu kolmnurga tippude koordinaadid mõnes Descartes'i süsteem koordinaadid lennukis, 
- piiritletud ringi keskpunkti koordinaadid. Siis
ja ümberringjoone võrrandil on vorm
Ringi sees asuvate punktide puhul on determinant negatiivne ja sellest väljaspool asuvate punktide puhul positiivne.
Euleri valem: Kui d - sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktide vaheline kaugus ning nende raadiused on võrdsed r Ja R vastavalt siis d 2 = R 2 − 2 Rr .
Nelinurga jaoks.
Sissekirjutatud lihtne (iselõikumiseta) nelinurk on tingimata kumer.
Ringjoont saab kirjeldada ümber kumera nelinurga siis ja ainult siis, kui selle sisemuse summa vastasnurgad võrdne 180°-ga (π radiaanid).
Võite kirjeldada ringi ümber:
mis tahes ristkülik ( erijuhtum ruut)
mis tahes võrdhaarne trapets
Ringjoonele kantud nelinurga korral võrdub diagonaalide pikkuste korrutis vastaskülgede paaride pikkuste korrutistega:
|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
Apolloniuse ring - tasapinna punktide geomeetriline asukoht, kauguste suhe kahe etteantud punktiga on konstantne väärtus, mis ei võrdu ühtsusega.
Bipolaarsed koordinaadid - ortogonaalne süsteem koordinaadid tasapinnal, Apolloniuse ringide põhjal.
Olgu tasapinnal antud kaks punkti A Ja B . Vaatleme kõiki punkte P see lennuk, millest igaühe jaoks
,
Kus
k
- fikseeritud positiivne arv. Kell
k
= 1 need punktid täidavad lõigu keskristi
AB
; muudel juhtudel on määratud geomeetriline asukoht ring, mida nimetatakse
Apolloniuse ring
.
Apolloniuse ringid. Iga sinine ring lõikub iga punase ringiga täisnurga all. Iga punane ring läbib kahte punkti (C ja D) ning iga sinine ring ümbritseb ainult ühte neist punktidest
Apolloniuse ringide raadius on
:
Üksuse ring on ring, mille raadius on 1 ja mille keskpunkt on alguspunktis. Ühikringi mõistet saab hõlpsasti üldistada n-mõõtmeliseks ruumiks ( n 2). Sel juhul kasutatakse terminit "ühik sfäär".
Kõikide ringi punktide puhul kehtib Pythagorase teoreemiga nõustumine: x 2 + y 2 = 1.
Ärge ajage segi mõisteid "ring" ja "ring"!
Ring peal antud kaugus antud punktist, ühel tasapinnal - kõver.
Ring - paiknevate punktide geomeetriline asukoht mitte kaugemale kui ring , ühel tasapinnal - kujund.
Ühikringkonnale võib omistada ka algebra osa, näiteks trigonomeetria.
Trigonomeetria.
Siinust ja koosinust saab kirjeldada järgmisel viisil: mis tahes punkti ühendamine (
x
,
y
) algpunktiga (0,0) ühikringil saame lõigu, mis asub abstsissi positiivse pooltelje suhtes nurga α all. Siis tõesti:
cos α = x
sin α = y
Nende väärtuste asendamine ülaltoodud võrrandiga x 2 + y 2 = 1, saame:
cos 2 α + sin 2 α = 1
Pange tähele levinud kirjaviisi cos 2 x = (cos x ) 2 .
Ka sagedus on siin selgelt kirjeldatud. trigonomeetrilised funktsioonid, kuna segmendi nurk ei sõltu "" arvust täispöördeid»:
patt ( x + 2 π k ) = patt( x )
cos( x + 2 π k ) = cos( x )
kõigi täisarvude jaoks k , teisisõnu, k kuulub Z .
Keeruline tasapind.
Komplekstasandil üksuse ring kirjeldab komplekti:
Trobikond G vastab multiplikatiivse rühma tingimustele (neutraalse elemendiga e i 0 = 1).
Sekanti teoreem - planimeetria teoreem. Formuleeritud järgmiselt:
Kui ringist väljaspool asuvast punktist tõmmatakse kaks sekanti, siis on ühe seika ja selle välisosa korrutis võrdne teise sekandi ja selle välisosa korrutisega.
Kui tõlgime selle väite tähtede keelde (parempoolse joonise järgi), saame järgmise:
Sekantse teoreemi erijuhtum on Tangensi ja sekantsi teoreem:
Kui ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant, siis on kogu sekandi ja selle välimise osa korrutis võrdne puutuja ruuduga.
Kasutatud Interneti-ressursid:
www.wikipedia.org
Ja ka kirjandust: Geomeetria klass 7-11 Definitsioonid, omadused, ülesannete lahendamise meetodid tabelites E.P. Nelin
Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, V kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Esiteks mõistame ringi ja ringi erinevust. Selle erinevuse nägemiseks piisab, kui arvestada, millised on mõlemad arvud. Need on lõpmatu arv tasapinna punkte, mis asuvad ühest kohast võrdsel kaugusel keskpunkt. Aga kui ring koosneb ka siseruumist, siis see ei kuulu ringi. Selgub, et ring on nii ringjoon, mis seda piirab (ring(r)) kui ka lugematu arv punkte, mis on ringi sees.
Mis tahes ringil asuva punkti L korral kehtib võrdus OL=R. (Lõigu OL pikkus võrdub ringi raadiusega).
Segment, mis ühendab kahte ringi punkti, on tema akord.
Otse ringi keskpunkti läbiv akord on läbimõõt see ring (D). Läbimõõtu saab arvutada valemiga: D=2R
Ümbermõõt arvutatakse valemiga: C=2\pi R
Ringi pindala: S=\pi R^(2)
Ringi kaar nimetatakse selle osaks, mis asub selle kahe punkti vahel. Need kaks punkti määravad kaks ringi kaare. Akordi CD-l on kaks kaaret: CMD ja CLD. Identsed akordid moodustavad võrdsed kaared.
Kesknurk Nurka, mis jääb kahe raadiuse vahele, nimetatakse.
Kaare pikkus võib leida järgmise valemi abil:
- Kasutades kraadi mõõt: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Radiaani mõõtmine: CD = \alpha R
Kõõluga risti asetsev läbimõõt jagab kõõlu ja sellega kokkutõmbunud kaared pooleks.
Kui ringjoone kõõlused AB ja CD lõikuvad punktis N, siis punktiga N eraldatud kõõlude lõikude korrutised on omavahel võrdsed.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Ringi puutuja
Ringi puutuja On tavaks nimetada sirget, millel on ringiga üks ühine punkt.
Kui sirgel on kaks ühist punkti, nimetatakse seda sekant.
Kui tõmbate puutujapunkti raadiuse, on see risti ringi puutujaga.
Joonistame sellest punktist oma ringile kaks puutujat. Selgub, et puutuja segmendid on üksteisega võrdsed ja ringi keskpunkt asub selles punktis tipuga nurga poolitajale.
AC = CB
Nüüd tõmbame oma punktist ringile puutuja ja sekanti. Saame, et puutuja lõigu pikkuse ruut on võrdne kogu sekantse segmendi ja selle välimise osa korrutisega.
AC^(2) = CD \cdot BC
Võime järeldada: esimese sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutis on võrdne teise sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutisega.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Nurgad ringis
Kesknurga ja kaare, millel see toetub, kraadid on võrdsed.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed sisaldavad kõõlu.
Saate seda arvutada, teades kaare suurust, kuna see on võrdne poolega sellest kaarest.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Põhineb läbimõõdul, sisse kirjutatud nurgal, täisnurgal.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Sissekirjutatud nurgad, mis katavad sama kaare, on identsed.
Ühele kõõlule toetuvad sisse kirjutatud nurgad on identsed või nende summa on 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Samal ringil on identse nurga ja etteantud alusega kolmnurkade tipud.
Nurk, mille tipp on ringi sees ja asub kahe kõõlu vahel, on identne poole summaga nurga väärtused ringjoone kaared, mis asuvad etteantud ja vertikaalse nurga piires.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Nurk, mille tipp asub väljaspool ringi ja asub kahe sekandi vahel, on identne poolega nurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste erinevusest.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1) (2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Sisse kirjutatud ring
Sisse kirjutatud ring on hulknurga külgede puutuja.
Punktis, kus hulknurga nurkade poolitajad ristuvad, asub selle keskpunkt.
Igale hulknurgale ei tohi ringjoont kirjutada.
Ringjoonega hulknurga pindala leitakse järgmise valemiga:
S = pr,
p on hulknurga poolperimeeter,
r on sisse kirjutatud ringi raadius.
Sellest järeldub, et sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne:
r = \frac(S)(p)
Kui ring on sisse kirjutatud, on vastaskülgede pikkuste summad identsed kumer nelinurk. Ja vastupidi: ring sobib kumerasse nelinurka, kui vastaskülgede pikkuste summad on identsed.
AB + DC = AD + BC
Ringi on võimalik kirjutada ükskõik millisesse kolmnurka. Ainult üksainus. Punktis, kus poolitajad ristuvad sisemised nurgad joonisel asub selle sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
Sisse kirjutatud ringi raadius arvutatakse järgmise valemi abil:
r = \frac(S)(p) ,
kus p = \frac(a + b + c)(2)
Ümberringi
Kui ringjoon läbib hulknurga iga tippu, siis tavaliselt nimetatakse sellist ringi kirjeldatud hulknurga kohta.
Selle joonise külgede risti poolitajate lõikepunktis on ümberringi keskpunkt.
Raadiuse saab leida, arvutades selle ringi raadiuseks, mis on ümbritsetud hulknurga mis tahes 3 tipuga määratletud kolmnurga ümber.
Sööma järgmine tingimus: ringjoont saab nelinurga ümber kirjeldada ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on võrdne 180^( \circ) .
\nurk A + \nurk C = \nurk B + \nurk D = 180^ (\circ)
Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Sellise ringi keskpunkt asub kohas, kus kolmnurga külgede risti poolitajad ristuvad.
Piiratud ringi raadiuse saab arvutada järgmiste valemite abil:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,
S on kolmnurga pindala.
Ptolemaiose teoreem
Lõpuks kaaluge Ptolemaiose teoreemi.
Ptolemaiose teoreem väidab, et diagonaalide korrutis on identne tsüklilise nelinurga vastaskülgede korrutise summaga.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)