Kuidas lõigata figuuri 5 võrdseks osaks. Üldküsimus kahe hulknurga samaväärsuse kohta pole kaugeltki lihtne.

sissejuhatusõpetajad:

Väike ajalooline viide: Paljud teadlased on iidsetest aegadest huvitatud probleemide lõikamisest. Paljude otsused lihtsad ülesanded lõikamiseks leidsid vanad kreeklased ja hiinlased, kuid esimene süstemaatiline traktaat sellel teemal kuulub Abul-Vefi sulest. Geomeetrid on tõsiselt tegelenud kujundite lõikamise probleemide lahendamisega väikseim number osad ja sellele järgnenud teise kujundi ehitamine 20. sajandi alguses. Üks selle sektsiooni asutajatest oli kuulus pusle asutaja Henry E. Dudeney.

Tänapäeval on mõistatuste armastajad huvitatud lõikamisprobleemide lahendamisest, sest universaalne meetod sellistele probleemidele ei ole lahendust ja igaüks, kes kohustub neid lahendama, saab täielikult näidata oma leidlikkust, intuitsiooni ja võimet loov mõtlemine. (Klassis märgime ainult ühe võimalikud näited lõikamine. Arvata võib, et õpilased võivad sattuda mõne muu õige kombinatsiooniga – seda pole vaja karta).

See õppetund peaks toimuma vormis praktiline tund. Jagage ringis osalejad 2-3-liikmelistesse rühmadesse. Varustage iga rühm õpetaja poolt eelnevalt koostatud joonistega. Õpilastel on joonlaud (jaotistega), pliiats ja käärid. Kääride abil on lubatud teha ainult sirgeid lõikeid. Olles lõiganud figuuri tükkideks, peate tegema samadest osadest teise figuuri.

Lõikamisülesanded:

1). Proovige lõigata joonisel näidatud joonis kolmeks võrdse kujuga osaks:

Vihje: väikesed kujundid näevad välja nagu T-täht.

2). Nüüd lõigake see kuju neljaks võrdse kujuga osaks:

Vihje: On lihtne arvata, et väikesed kujundid koosnevad 3 lahtrist, kuid kolme lahtriga kujundeid pole palju. Neid on ainult kahte tüüpi: nurk ja ristkülik.

3). Jagage kujund kaheks võrdseks osaks ja kasutage saadud osi malelaua moodustamiseks.

Vihje: soovitage alustada ülesannet teisest osast, justkui malelaua hankimisel. Pea meeles, milline on malelaua kuju (ruut). Loendage saadaolevate lahtrite arv pikkuses ja laiuses. (Pidage meeles, et lahtrit peaks olema 8).

4). Proovige juust lõigata kolme noa liigutusega kaheksaks võrdseks tükiks.

Näpunäide: proovige juustu pikuti lõigata.

Ülesanded jaoks sõltumatu otsus:

1). Lõigake paberist välja ruut ja tehke järgmist.

· lõika 4 tükiks, millest saab teha kaks võrdset väiksemat ruutu.

· lõika viieks osaks – neljaks võrdhaarne kolmnurk ja üks ruut – ja voldi need kokku nii, et saad kolm ruutu.

Ruudulise paberilehega saate kääride abil lahendada palju erinevaid ja huvitavaid probleeme. Need ülesanded pole mitte ainult huvitavad ega lõbusad. Need sisaldavad sageli praktilist lahendust ja tõestust mõnikord väga keerulistele geomeetrilistele küsimustele.

Alustame lõikamise ja voltimise peamisest reeglist: Kaht hulknurka nimetatakse võrdkomposiidiks, kui ühte neist saab jagada (lõika) mõneks muuks hulknurgaks, millest saab seejärel moodustada teise hulknurga.

Võrdse proportsiooniga hulknurkadel on loomulikult sama pindala (võrdne suurus) ja seetõttu võimaldab võrdsuskompositsiooni omadus mõnikord saada pindalade arvutamiseks valemeid või võrrelda jooniste pindala (nagu öeldakse, jaotamise või lagunemise meetod). Näiteks on rööpküliku ja ristküliku pindalade võrdlemine (arvutamine).

Üldküsimus kahe hulknurga samaväärsuse kohta pole kaugeltki lihtne. On hämmastav teoreem, mis väidab, et igast antud hulknurgast saab selle tükkideks lõigates konstrueerida mis tahes teise sama ala hulknurga.

Selles teoreemis me räägime nn lihtsate hulknurkade kohta. Lihthulknurk on hulknurk, mille piir koosneb ühest suletud rida ilma iselõikusteta ja selle katkendjoone igas tipus koondub täpselt kaks selle linki. Tähtis vara Lihtne hulknurk on asjaolu, et sellel on vähemalt üks sisemine diagonaal.

Pange tähele, et selleks, et võimaldada ristküliku muutmist ruuduks, pidime (joonis 3) jagama selle kolmeks osaks. See sektsioon pole aga ainus. Näiteks võite tuua näite ristküliku jagamisest neljaks osaks (joonis 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width="356" height="391 src=">

Küsimus, milline on väikseim lõigete arv, millest piisab ühest kujundist teise konstrueerimiseks, jääb lahtiseks tänaseni.

Ülesanne 1.

Ühel naisel oli ristkülikukujuline vaip mõõtmetega 27 x 36 tolli; kaks vastasnurka olid kulunud (joonis 5) ja need tuli ära lõigata, kuid ta soovis ristkülikukujulist vaipa. Ta andis selle töö peremehele ja ta tegi seda. Kuidas ta seda tegi?

Probleemi lahendus on näha jooniselt 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width="286" height="240 src=">

Kui hammasosa A eemaldada hammastatud osalt B ja seejärel lükata tagasi osa B hammaste vahele, liigutades seda ühe hamba võrra paremale, saadakse soovitud ristkülik.

2. ülesanne.

Kuidas teha viiest identsest ruudust ruut, neid lõigates.

Nagu on näidatud joonisel 7, tuleb neli ruutu lõigata kolmnurgaks ja trapetsiks. Kinnitage viienda ruudu külgedele neli trapetsi ja lõpuks kinnitage kolmnurgad nende jalgadega trapetsi aluste külge.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width="382" height="271 src=">

3. ülesanne.

Lõika ruut seitsmeks selliseks tükiks, nii et nende lisamisel saad kolm võrdset ruutu. (Joonised 8, 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width="188" height="189 src=">

4. ülesanne.

Lõika ruut kaheksaks tükiks nii, et neid liites saad kaks ruutu, millest üks on teisest poole väiksem.

Jooniselt 10 on näha, kuidas ruutu lõigata. Lahendus on sarnane eelmise ülesande lahendusega. Joonisel 11 on näidatud, kuidas lisada tükke, et saada kaks nõutavat ruutu.

Õppetuur

Ülesanded “noorema” vanuserühma võistkondadele iseseisvaks lahendamiseks

Probleem 1

Tigu roomab mööda 10 m kõrgust teivast üles.Päeval tõuseb ta 5 m ja öösel langeb 4 m. Kui kaua võtab tigu aega, et saada masti põhjast üles?

Probleem 2

Kas märkmikupaberisse on võimalik lõigata auk, millest inimene läbi mahuks?

Probleem 3

Jänesed saevad palki. Nad tegid 10 lõiget. Mitu palki sa said?

Probleem 4

Bagel lõigatakse sektoriteks. Tegime 10 lõiget. Mitu tükki sa said?

Probleem 5

Suurele ümarale tordile tehti 10 lõiget nii, et iga lõige läheb servast servani ja läbib tordi keskosa. Mitu tükki sa said?

Probleem 6

Kahel inimesel oli kaks kandilist torti. Igaüks tegi oma koogile servast servani 2 sirget lõiget. Samal ajal sai üks kolm tükki, teine aga neli. Kuidas see võiks olla?

Probleem 7

Jänesed saevad taas palki, aga nüüd on mõlemad palgi otsad kinnitatud. Kümme keskmist palki kukkus, kuid kaks välimist jäid paigale. Mitu lõiget jänesed tegid?

Probleem 8

Kuidas jagada pannkook kolme sirge lõikega 4,5, 6, 7 osaks?

Probleem 9

Ristkülikukujulisel koogil on ümmargune šokolaaditahvel. Kuidas lõigata kook kaheks võrdseks osaks nii, et ka šokolaaditahvel läheks täpselt pooleks?

Probleem 10

Kas ühe sirge lõikega on võimalik küpsetada 4 osaks jaotavat kooki?

Probleem 11

Milleks maksimaalne arv tükkideks, kas ümmargust pannkooki saab lõigata kolme sirge lõikega?

Probleem 12

Mitu korda pikem on maja neljandale korrusele viiv trepp kui sama maja teisele korrusele viiv trepp?

Probleem 13

Giuseppel on vineerileht, suurus 22 × 15. Giuseppe tahab sellest võimalikult palju ristkülikukujulisi 3. suuruse tükke välja lõigata. × 5. Kuidas seda teha?

Probleem 14

IN Võlumaa selle maagilised loodusseadused, millest üks ütleb: "Lendav vaip lendab ainult siis, kui sellel on ristkülikukujuline kuju."

Ivan Tsarevitšil oli maagiline vaip suurus 9 × 12. Ühel päeval hiilis madu Gorõnõtš üles ja lõikas sellelt vaibalt maha väikese suurusega 1 vaiba × 8. Ivan Tsarevitš oli väga ärritunud ja tahtis veel ühe tüki 1 ära lõigata × 4 ristküliku tegemiseks 8 × 12, kuid Vasilisa Tark soovitas teha teisiti. Ta lõikas vaiba kolmeks osaks, millest võlulõngade abil õmbles ruudukujulise lendava vaiba mõõtudega 10 × 10.

Kas oskate arvata, kuidas Vasilisa Tark kahjustatud vaiba ümber tegi?

Probleem 15

Kui Gulliver Lilliputti jõudis, avastas ta, et seal on kõik asjad täpselt 12 korda lühemad kui tema kodumaal. Kas oskate öelda, mitu Lilliputi tikutoosi mahub? Tikutops Gulliver?

Probleem 16

Masti peal piraadilaev lehvib kahevärviline ristkülikukujuline lipp, mis koosneb vahelduvatest sama laiustest mustadest ja valgetest vertikaalsetest triipudest. Koguarv triibud, mis on võrdsed vangide arvuga Sel hetkel laeval. Algul oli laeval 12 vangi, lipul 12 triipu; kaks vangi põgenesid seejärel. Kuidas lõigata lipp kaheks osaks ja seejärel kokku õmmelda nii, et lipu pindala ja triipude laius ei muutuks, vaid triipude arvuks saaks 10?

Probleem 17

Ringi oli märgitud punkt. Kas seda ringi on võimalik lõigata kolmeks osaks, et saaks need kokku panna? uus ring, kelle märgitud punkt oleks keskel?

Probleem 18

Kas ruutu on võimalik lõigata neljaks osaks nii, et iga osa puudutab (st on ühiseid piirdealasid) ülejäänud kolmega?

DIV_ADBLOCK245">

Probleem 24

9 cm pikkusel joonlaual jaotusi pole. Kandke sellele kolm vahejaotust, et saaksite selle abil mõõta vahemaid 1-9 cm täpsusega 1 cm.

Probleem 25

Kirjutage kolmnurga iga tipu lähedusse mõned numbrid ja kirjutage selle külje otstes olevate numbrite summa kolmnurga mõlema külje lähedale. Nüüd lisage kõik ülaosas olevad numbrid lähedal oleva numbriga vastaspool. Miks arvate, et summad osutusid samaks?

Probleem 26

Kui suur on kolmnurga pindala, mille küljed on 18, 17, 35?

Probleem 27

Lõika ruut viieks kolmnurgaks nii, et ühe nendest kolmnurkadest pindala oleks võrdne ülejäänud kolmnurga pindalade summaga.

Probleem 28

Ruudukujuline paberileht lõigati kuueks tükiks kumerad hulknurgad; viis tükki läks kaduma, millest jäi üks tükk tavalise kaheksanurga kujuliseks (vt pilti). Kas algset ruutu on võimalik ainult selle kaheksanurga abil rekonstrueerida?

Probleem 29

Saate ruudu hõlpsalt kaheks lõigata võrdne kolmnurk või kaks võrdne nelinurk. Kuidas lõigata ruut kaheks võrdseks viisnurgaks või kaheks võrdseks kuusnurgaks?

Ülesanne 30

Ivan Tsarevitš läks otsima Vasilisa Kaunist, kelle Koštšei oli röövinud. Goblin kohtub temaga.

"Ma tean," ütleb ta, "ma käisin seal ja käisin Koštševo kuningriigis." Kõndisin neli päeva ja neli ööd. Esimese 24 tunniga kõndisin kolmandiku teest, otse põhja poole. Siis pööras ta läände, ukerdas päeva läbi metsa ja kõndis poole vähem. Kolmandat päeva kõndisin läbi metsa, juba lõuna poole, ja tulin välja otse ida poole viival teel. Kõndisin mööda seda päevas 100 miili ja sattusin Koshcheevo kuningriiki. Sa oled sama kiire kõndija kui mina. Mine, Ivan Tsarevitš, vaata, viiendal päeval külastad sa Koštšeid.

Ei," vastas Ivan Tsarevitš, "kui kõik on nii, nagu te ütlete, siis homme näen oma Vasilisat Ilusat."

Kas tal on õigus? Mitu miili Leshy kõndis ja kui kaugele mõtleb Tsarevitš Ivan kõndimisest?

Probleem 31

Mõelge välja kuubi tahkude värviskeem, et see näeks kolmes erinevas asendis välja selline, nagu pildil. (Täpsustage, kuidas värvida nähtamatuid servi või joonistada võrk.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" align="left" width="205" height="205 src="> Probleem 32

Numismaatik Fedyal on kõik mündid, mille läbimõõt ei ületa 10 cm.Ta hoiab neid lamedas karbis, mille mõõtmed on 30 cm * 70 cm (ühes kihis). Talle anti 25 cm läbimõõduga münt.Tõesta, et kõik mündid saab paigutada ühte lapikusse kasti mõõtudega 55 cm * 55 cm.

Probleem 33

5x5 ruudust lõigati välja keskväljak. Lõika saadud kujund kaheks osaks, millesse saad mähkida 2x2x2 kuubiku.

Probleem 34

Lõika antud ruut lahtrite külgedel neljaks osaks, et kõik osad oleksid ühesuurused ja sama kuju ja nii, et iga osa sisaldab ühte ringi ja ühte tähte.

Probleem 35

Lillelinna parkla on 7x7 kambri suurune väljak, millest igaühele saab parkida auto. Parkla on ümbritsetud aiaga, nurgapuuri üks külg eemaldatud (see on värav). Auto sõidab mööda puurilaiust rada. Dunnol paluti postitada nii palju kui võimalik rohkem autosid parklas nii, et igaüks saab sealt lahkuda, kui teised seisavad. Dunno paigutas 24 autot, nagu on näidatud joonisel fig. Proovige autosid erinevalt paigutada, et neid rohkem mahutada.

Probleem 36

Petja ja Vasja elavad naabermajades (vaata plaani pildil). Vasya elab neljandas sissepääsus. On teada, et Petya, et jõuda Vasyani lühimat teed pidi (mitte tingimata mööda kongide külgi), ei hooli sellest, kummal pool ta oma maja ümber jookseb. Määrake, millises sissepääsus Petya elab.

Probleem 37

Pakkuge välja viis tavalise tellise diagonaali mõõtmiseks, mis on praktikas hõlpsasti rakendatav (ilma Pythagorase teoreemita).

Probleem 38

Lõika viiest identsest ruudust koosnev rist kolmeks hulknurgaks, mille pindala ja ümbermõõt on võrdsed.

Probleem 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

Ülesanne 46

a) Tetraeeder b) kuubik lõigati mööda paksude joontega esile tõstetud servi (vt pilte) ja volditi lahti. Joonistage saadud arengud.

Probleem 47

Milliste kehade arengud on näidatud joonistel? Joonistage joonised vastavalt joonistele, liimige need kokku, moodustades geomeetrilise keha.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width="182" height="146 src=">.gif" width="212" height="139">8 )

29. aprill 2013, kell 16:34

Lõika kaheks võrdseks osaks, esimene osa

Matemaatika

Lõikamisülesanded on matemaatika valdkond, kus, nagu öeldakse, pole ühtegi mammutit. Trobikond individuaalsed probleemid, aga sisuliselt mitte üldine teooria. Lisaks tuntud Bolyai-Gerwini teoreemile on ka teisi põhimõttelised tulemused selles valdkonnas praktiliselt mitte ühtegi. Ebakindlus - igavene kaaslane lõikamisülesanded. Saame näiteks lõigata tavaline viisnurk kuueks osaks, millest saab ruudu voltida; aga me ei saa tõestada, et viiest osast selleks ei piisaks.

Kavala heuristika, kujutlusvõime ja poole liitri abil õnnestub meil vahel leida konkreetne lahendus, kuid reeglina puuduvad meil vastavad vahendid selle lahenduse minimaalsuse või selle puudumise tõestamiseks (viimane kehtib muidugi juhul, kui me pole lahendust leidnud). See on kurb ja ebaõiglane. Ja ühel päeval võtsin tühja märkmiku ja otsustasin taastada õigluse ühe skaalal konkreetne ülesanne: lõikamine lame figuur kaheks võrdseks (kongruentseks) osaks. Selle artiklite seeria osana (muide, neid on kolm) vaatame teie, seltsimehed, seda allpool näidatud naljakat hulknurka ja proovime erapooletult aru saada, kas seda on võimalik kaheks võrdseks lõigata. arvud või mitte.

Sissejuhatus

Esiteks värskendame koolikursus geomeetria ja pidage meeles, mis see on võrdsed arvud. Yandex soovitab abivalmilt:

Kaht tasapinnal olevat kujundit nimetatakse võrdseks, kui toimub liikumine, mis üks-ühele muudab ühe kujundi teiseks.

Nüüd küsime Vikipeediast liikumiste kohta. Ta ütleb meile esiteks, et liikumine on tasandi teisendus, mis säilitab punktidevahelised kaugused. Teiseks on olemas isegi lennuki liigutuste klassifikatsioon. Nad kõik kuuluvad ühte neist järgmised kolm tüübid:

Libisev sümmeetria (siia lisan mugavuse ja kasu huvides peegelsümmeetria degenereerunud juhtumina, kus paralleeltõlge viiakse läbi nullvektorini)

Tutvustame mõnda tähistust. Me nimetame lõigatavat figuuri jooniseks A ja kahte hüpoteetilist võrdset kujundit, milleks me selle väidetavalt saame lõigata, nimetatakse vastavalt B ja C. Tasapinna seda osa, mida joonis A ei hõivata, nimetame piirkonnaks D. Juhtudel, kui konkreetset pildil kujutatud hulknurka loetakse lõikekujuliseks, nimetame seda A 0 .

Seega, kui joonise A saab lõigata kaheks võrdseks osaks B ja C, siis on liikumine, mis muudab B C-ks. See liikumine võib olla kas paralleelne ülekanne, kas pöörlemise või libisemise sümmeetriaga (edaspidi ma seda enam ette ei näe peegli sümmeetria peetakse ka libisemiseks). Meie otsus rajatakse sellele lihtsale ja, ma isegi ütleks, ilmselgele alusele. Selles osas vaatleme kõige lihtsamat juhtumit - paralleelülekannet. Pöörlemine ja libisemise sümmeetria langevad vastavalt teise ja kolmandasse ossa.

Juhtum 1: paralleelne ülekanne

Paralleelülekanne määratakse ühe parameetriga - vektoriga, mille abil nihe toimub. Tutvustame veel paar terminit. Kutsutakse sirgjoont, mis on paralleelne nihkevektoriga ja sisaldab vähemalt ühte joonise A punkti sekant. Nimetatakse lõikejoone ja joonise A ristumiskoht ristlõige. Sekanti, mille suhtes joonis A (miinus lõik) asub täielikult ühel pooltasandil, nimetatakse piir.

Lemma 1. Piirilõik peab sisaldama rohkem kui ühte punkti.

Tõestus: ilmne. Noh, või üksikasjalikumalt: tõestame seda vastuoluga. Kui see punkt kuulub joonisele B, siis see pilt(st punkt, kuhu see paralleeltõlke ajal läheb) kuulub joonisele C => pilt kuulub joonisele A => kujutis kuulub lõiku. Vastuolu. Kui see punkt kuulub joonisele C, siis see prototüüp(punkt, mis paralleeltõlke korral sellesse läheb) kuulub joonisele B ja siis sarnaselt. Selgub, et jaos peab olema vähemalt kaks punkti.

Sellest lihtsast lemmast juhindudes on lihtne mõista, et soovitud paralleeltransport saab toimuda ainult mööda vertikaalne telg(pildi praeguses orientatsioonis) Kui see oleks mõnes muus suunas, koosneks vähemalt üks piirilõike ühest punktist. Seda saab mõista, pöörates vaimselt nihkevektorit ja vaadates, mis juhtub piiridega. Vertikaalse paralleelülekande välistamiseks vajame keerukamat tööriista.

Lemma 2. Joonise C piiril asuva punkti pöördkujutis on kas jooniste B ja C piiril või joonise B ja piirkonna D piiril.

Tõestus: pole ilmne, kuid me parandame selle kohe. Tuletan meelde, et kujundi piiripunkt on selline punkt, et ükskõik kui lähedal sellele on olemas nii joonise juurde kuuluvad kui ka mittekuuluvad punktid. Vastavalt sellele on joonise C piiripunkti (nimetagem seda O") lähedal nii joonise C punktid kui ka teised punktid, mis kuuluvad kas joonisele B või piirkonda D. Joonise C punktide pöördkujutised saavad olla ainult joonise punktid. B. Järelikult on punkti O" pöördkujutise suvaliselt lähedal (loogiline oleks seda nimetada punktiks O) joonise B punktid. Joonise B punktide pöördkujutisteks võivad olla kõik punktid, mis teevad ei kuulu B-sse (st kas joonise C punktid või piirkonna D punktid). Samamoodi piirkonna D punktide puhul. Järelikult, olenemata sellest, kui lähedal punktile O on kas joonise C punktid (ja siis on punkt O B ja C piiril) või piirkonna D punktid (ja siis pöördkujutis olema B ja D piiril). Kui saate kõik need kirjad läbi, nõustute, et lemma on tõestatud.

1. teoreem. Kui joonise A ristlõige on segment, siis on selle pikkus nihkevektori pikkuse kordne.

Tõestus: arvestage selle segmendi "kaugema" otsaga (st selle otsaga, mille prototüüp samuti segmenti kuulub). See ots kuulub ilmselt joonisele C ja on selle piiripunkt. Järelikult on selle pöördkujutis (muide, ka lõigul lamav ja pildist nihkevektori pikkusega eraldatud) kas B ja C piiril või B ja D piiril. on B ja C piiril, siis võtame ka selle pöördkujutise . Kordame seda toimingut seni, kuni järgmine pöördkujutis lakkab olemast piiril C ja jõuab piirile D – ja see juhtub täpselt lõigu teises otsas. Selle tulemusena saame eelpiltide ahela, mis jagab lõigu mitmeks väikeseks segmendiks, millest igaühe pikkus on võrdne nihkevektori pikkusega. Seetõttu on lõigu pikkus nihkevektori pikkuse kordne jne.

Järeldus teoreemile 1. Kõik kaks osa, mis on segmendid, peavad olema proportsionaalsed.

Seda järeldust kasutades on lihtne näidata, et ka vertikaalne paralleelülekanne kaob.

Tõepoolest, esimese lõigu pikkus on kolm lahtrit ja teise osa pikkus kolm miinus kahe juur pooleks. Ilmselgelt on need väärtused võrreldamatud.

Järeldus

Kui joonis A on 0 ja seda saab lõigata kaheks võrdseks kujundiks B ja C, siis B-d ei tõlgita paralleeltõlke abil C-ks. Jätkub.

Lõikamisülesanded on matemaatika valdkond, kus, nagu öeldakse, pole ühtegi mammutit. Palju individuaalseid probleeme, kuid sisuliselt puudub üldine teooria. Peale tuntud Bolyai-Gerwini teoreemi muid põhimõttelisi tulemusi selles vallas praktiliselt ei ole. Ebakindlus on ülesannete lõikamise igavene kaaslane. Võime näiteks tavalise viisnurga lõigata kuueks tükiks, millest saame moodustada ruudu; aga me ei saa tõestada, et viiest osast selleks ei piisaks.

Kavala heuristika, kujutlusvõime ja poole liitri abil õnnestub vahel leida konkreetne lahendus, kuid reeglina puuduvad meil vastavad vahendid selle lahenduse minimaalsuse või selle (viimase) puudumise tõestamiseks kehtib muidugi juhul, kui me pole lahendust leidnud) . See on kurb ja ebaõiglane. Ja ühel päeval võtsin tühja märkmiku ja otsustasin taastada õigluse ühe konkreetse ülesande skaalal: lame kujundi lõikamine kaheks võrdseks (kongruentseks) osaks. Selle artiklite seeria osana (muide, neid on kolm) vaatame teie, seltsimehed, seda allpool näidatud naljakat hulknurka ja proovime erapooletult aru saada, kas seda on võimalik kaheks võrdseks lõigata. arvud või mitte.

Sissejuhatus

Esmalt värskendame oma kooli geomeetria kursust ja tuletame meelde, mis on võrdsed arvud. Yandex soovitab abivalmilt:

Kaht tasapinnal olevat kujundit nimetatakse võrdseks, kui toimub liikumine, mis üks-ühele muudab ühe kujundi teiseks.

Nüüd küsime Vikipeediast liikumiste kohta. Ta ütleb meile esiteks, et liikumine on tasandi teisendus, mis säilitab punktidevahelised kaugused. Teiseks on olemas isegi lennuki liigutuste klassifikatsioon. Kõik need kuuluvad ühte kolmest järgmisest tüübist:

Libisev sümmeetria (siia lisan mugavuse ja kasu huvides peegelsümmeetria degenereerunud juhtumina, kus paralleeltõlge viiakse läbi nullvektorini)

Seega, kui joonise A saab lõigata kaheks võrdseks osaks B ja C, siis on liikumine, mis teisendab B-ks C. See liikumine võib olla kas paralleelne tõlge või pöörlemine või libisev sümmeetria (edaspidi ma enam ei sätesta et peeglisümmeetriat peetakse ka libisevaks). Meie otsus rajatakse sellele lihtsale ja, ma isegi ütleks, ilmselgele alusele. Selles osas vaatleme kõige lihtsamat juhtumit - paralleelülekannet. Pöörlemine ja libisemise sümmeetria langevad vastavalt teise ja kolmandasse ossa.

Juhtum 1: paralleelne ülekanne

Lemma 1. Piirilõik peab sisaldama rohkem kui ühte punkti.

Tõestus: ilmne. Noh, või üksikasjalikumalt: tõestame seda vastuoluga. Kui see punkt kuulub joonisele B, siis see pilt(st punkt, kuhu see paralleeltõlke ajal läheb) kuulub joonisele C => pilt kuulub joonisele A => kujutis kuulub lõiku. Vastuolu. Kui see punkt kuulub joonisele C, siis see prototüüp(punkt, mis paralleeltõlke korral sellesse läheb) kuulub joonisele B ja siis sarnaselt. Selgub, et jaos peab olema vähemalt kaks punkti.

Sellest lihtsast lemmast juhindudes ei ole raske mõista, et soovitud paralleeltõlge saab toimuda ainult piki vertikaaltelge (pildi praeguses orientatsioonis) Kui see oleks mõnes muus suunas, oleks vähemalt üks piirdelõigetest koosnevad ühest punktist. Seda saab mõista, pöörates vaimselt nihkevektorit ja vaadates, mis juhtub piiridega. Vertikaalse paralleelülekande välistamiseks vajame keerukamat tööriista.

Lemma 2. Joonise C piiril asuva punkti pöördkujutis on kas jooniste B ja C piiril või joonise B ja piirkonna D piiril.

Tõestus: pole ilmne, kuid me parandame selle kohe. Tuletan meelde, et kujundi piiripunkt on selline punkt, et ükskõik kui lähedal sellele on olemas nii joonise juurde kuuluvad kui ka mittekuuluvad punktid. Vastavalt sellele on joonise C piiripunkti (nimetagem seda O") lähedal nii joonise C punktid kui ka teised punktid, mis kuuluvad kas joonisele B või piirkonda D. Joonise C punktide pöördkujutised saavad olla ainult joonise punktid. B. Järelikult on punkti O" pöördkujutise suvaliselt lähedal (loogiline oleks seda nimetada punktiks O) joonise B punktid. Joonise B punktide pöördkujutisteks võivad olla kõik punktid, mis teevad ei kuulu B-sse (st kas joonise C punktid või piirkonna D punktid). Samamoodi piirkonna D punktide puhul. Järelikult, olenemata sellest, kui lähedal punktile O on kas joonise C punktid (ja siis on punkt O B ja C piiril) või piirkonna D punktid (ja siis pöördkujutis olema B ja D piiril). Kui saate kõik need kirjad läbi, nõustute, et lemma on tõestatud.

1. teoreem. Kui joonise A ristlõige on segment, siis on selle pikkus nihkevektori pikkuse kordne.

Tõestus: arvestage selle segmendi "kaugema" otsaga (st selle otsaga, mille prototüüp samuti segmenti kuulub). See ots kuulub ilmselt joonisele C ja on selle piiripunkt. Järelikult on selle pöördkujutis (muide, ka lõigul lamav ja pildist nihkevektori pikkusega eraldatud) kas B ja C piiril või B ja D piiril. on B ja C piiril, siis võtame ka selle pöördkujutise . Kordame seda toimingut seni, kuni järgmine pöördkujutis lakkab olemast piiril C ja jõuab piirile D – ja see juhtub täpselt lõigu teises otsas. Selle tulemusena saame eelpiltide ahela, mis jagab lõigu mitmeks väikeseks segmendiks, millest igaühe pikkus on võrdne nihkevektori pikkusega. Seetõttu on lõigu pikkus nihkevektori pikkuse kordne jne.

Järeldus teoreemile 1. Kõik kaks osa, mis on segmendid, peavad olema proportsionaalsed.

Seda järeldust kasutades on lihtne näidata, et ka vertikaalne paralleelülekanne kaob.

Tõepoolest, esimese lõigu pikkus on kolm lahtrit ja teise osa pikkus kolm miinus kahe juur pooleks. Ilmselgelt on need väärtused võrreldamatud.

Järeldus

Kui joonis A on 0 ja seda saab lõigata kaheks võrdseks kujundiks B ja C, siis B-d ei tõlgita paralleeltõlke abil C-ks. Jätkub.

Tagasi ette

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.

Kogemus näitab, et praktiliste õppemeetodite kasutamisel on õpilastes võimalik kujundada mitmeid mõttelisi võtteid, mis on vajalikud geomeetriliste kujunditega tutvumisel oluliste ja mitteoluliste tunnuste õigeks tuvastamiseks. matemaatiline intuitsioon, loogiline ja abstraktne mõtlemine, kujuneb matemaatilise kõne kultuur, arenevad matemaatilised ja disainivõimed, suureneb kognitiivne aktiivsus, kujuneb kognitiivne huvi, areneb intellektuaalne ja loominguline potentsiaal. praktilisi probleeme lõikamiseks geomeetrilised kujundid osadeks, et neist osadest uus kujund luua. Õpilased töötavad ülesannetega rühmades. Seejärel kaitseb iga rühm oma projekti.

Kahte kujundit peetakse samaväärseks, kui ühe neist teatud viisil lõigates lõplik number osad, on võimalik (neid osi erinevalt paigutades) moodustada neist teine kujund. Seega põhineb jaotusmeetod asjaolul, et mis tahes kaks võrdse koostisega hulknurka on võrdse suurusega. On loomulik esitada vastupidine küsimus: kas kaks sama pindalaga hulknurka on võrdse suurusega? Vastuse sellele küsimusele andis (peaaegu üheaegselt) Ungari matemaatik Farkas Bolyai (1832) ja Saksa ohvitser ja matemaatikaentusiast Gerwin (1833): kaks võrdse pindalaga hulknurka on võrdselt koostatud.

Bolyai-Gerwini teoreem ütleb, et iga hulknurga saab lõigata tükkideks, nii et tükid saab moodustada ruudu.

1. harjutus.

Lõika ristkülik a X 2a tükkideks, et neist saaks ruudu.

Lõikasime ristküliku ABCD kolmeks osaks mööda jooni MD ja MC (M on AB keskpunkt)

1. pilt

Liigutame kolmnurga AMD nii, et tipp M ühtiks tipuga C, jalg AM liigub lõigule DC. Liigutame kolmnurga MVS vasakule ja alla, nii et jalg MV kattub poole lõiguga DC. (Pilt 1)

2. ülesanne.

Lõika Võrdkülgne kolmnurk tükkideks, et neid saaks ruuduks voltida.

Tähistagem seda õigeks kolmnurk ABC. Kolmnurk ABC on vaja lõigata hulknurkadeks, et neid saaks ruuduks voltida. Siis peab neil hulknurkadel olema vähemalt üks täisnurk.

Olgu K CB keskpunkt, T on AB keskpunkt, vali külje AC punktid M ja E nii, et ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Joonis 2

Joonistame lõigu MK ja sellega risti olevad lõigud EP ja TN. Lõikame kolmnurga konstrueeritud joonte järgi tükkideks. Pöörame nelinurka KRES päripäeva tipu K suhtes nii, et SC joondub segmendiga KV. Pöörame nelinurka AMNT tipu T suhtes päripäeva, nii et AT joondub TV-ga. Liigutame kolmnurka MEP nii, et tulemuseks oleks ruut. (Joonis 2)

3. ülesanne.

Lõika ruut tükkideks, et neist saaks kaks ruutu kokku voltida.

Tähistame algset ruutu ABCD. Märgime ruudu külgede keskpunktid - punktid M, N, K, H. Joonistame lõigud MT, HE, KF ja NP - vastavalt lõikude MC, HB, KA ja ND osad.

Lõigates ruudu ABCD mööda tõmmatud jooni, saame ruudu PTEF ja neli nelinurka MDHT, HCKE, KBNF ja NAMP.

Joonis 3

PTEF – juba valmis ruut. Ülejäänud nelinurkadest moodustame teise ruudu. Tipud A, B, C ja D ühilduvad ühes punktis, lõigud AM ja BC, MD ja KS, BN ja CH, DH ja AN. Punktid P, T, E ja F saavad uue ruudu tippudeks. (Joonis 3)

4. ülesanne.

Paksest paberist lõigatakse välja võrdkülgne kolmnurk ja ruut. Lõika need kujundid hulknurkadeks, nii et neid saab voldida üheks ruuduks ja osad peavad selle täielikult täitma ega tohi ristuda.

Lõika kolmnurk tükkideks ja moodusta neist ruut nagu näidatud ülesandes 2. Kolmnurga külje pikkus – 2a. Nüüd tuleks ruut jagada hulknurkadeks nii, et nendest osadest ja kolmnurgast välja tulnud ruudust teeks uue ruudu. Võtke ruut küljega 2 A, tähistame seda LRSD-ga. Viime läbi vastastikused risti asetsevad segmendid UG ja VF nii, et DU=SF=RG=LV. Lõikame ruudu nelinurkadeks.

Joonis 4

Võtame ruudu, mis koosneb kolmnurga osadest. Paneme välja nelinurgad - ruudu osad, nagu on näidatud joonisel 4.

5. ülesanne.

Rist koosneb viiest ruudust: üks ruut keskel ja ülejäänud neli selle külgede kõrval. Lõika see tükkideks, et saaksid neist ruudu teha.

Ühendame ruutude tipud, nagu näidatud joonisel 5. Lõika “välimised” kolmnurgad ära ja liiguta need vabad kohad ruudu ABCC sees.

Joonis 5

6. ülesanne.

Joonistage kaks suvalist ruutu ümber üheks.

Joonisel 6 on näidatud, kuidas ruudukujulisi tükke lõigata ja liigutada.