Kui joonistate tasapinnale järjestikku mitu segmenti nii, et iga järgmine algab kohast, kus eelmine lõppes, saate katkendliku joone. Neid segmente nimetatakse linkideks ja nende lõikepunkte nimetatakse tippudeks. Kui viimase lõigu lõpp lõikub esimese lõigu alguspunktiga, saate suletud katkendjoone, mis jagab tasapinna kaheks osaks. Üks neist on lõplik ja teine ​​on lõpmatu.

Lihtsat suletud joont koos sellesse jääva tasandi osaga (lõpliku osaga) nimetatakse hulknurgaks. Segmendid on küljed ja nende moodustatud nurgad on tipud. Iga hulknurga külgede arv on võrdne selle tippude arvuga. Joonist, millel on kolm külge, nimetatakse kolmnurgaks ja nelja nelinurkseks. Hulknurka iseloomustab numbriliselt väärtus, näiteks pindala, mis näitab joonise suurust. Kuidas leida nelinurga pindala? Seda õpetab matemaatika haru – geomeetria.

Nelinurga pindala leidmiseks peate teadma, mis tüüpi see on - kumer või mittekumer? tervik asetseb suhteliselt sirgelt (ja see sisaldab tingimata mõnda selle külge) ühel küljel. Lisaks on olemas sellised nelinurkade tüübid nagu rööpkülik, millel on võrdsete ja paralleelsete vastaskülgede paar (selle variandid: täisnurkade ristkülik, võrdsete külgedega romb, ruut kõigi täisnurkade ja nelja võrdse küljega), trapets kahe paralleelse vastasküljega ja deltalihasega, millel on kaks paari külgnevaid külgi, mis on võrdsed.

Mis tahes hulknurga pindala leitakse üldise meetodi abil, milleks on selle jagamine kolmnurkadeks, igaühe jaoks arvutatakse suvalise kolmnurga pindala ja lisatakse tulemused. Iga kumer nelinurk jagatakse kaheks kolmnurgaks, mittekumer nelinurk jagatakse kaheks või kolmeks, sel juhul võib see koosneda tulemuste summast ja erinevusest. Iga kolmnurga pindala arvutatakse poolena aluse (a) ja aluse külge tõmmatud kõrguse (ħ) korrutisest. Valem, mida sel juhul arvutamiseks kasutatakse, kirjutatakse järgmiselt: S = ½. a. ħ.

Kuidas leida nelinurga, näiteks rööpküliku pindala? Peate teadma aluse pikkust (a), külje pikkust (ƀ) ja leidma aluse ja külje poolt moodustatud nurga α siinus (sinα), arvutuse valem näeb välja järgmine: S = a. ƀ. sinα. Kuna nurga α siinus on rööpküliku aluse ja selle kõrguse (ħ = ƀ) korrutis – alusega risti asetsev sirge, siis arvutatakse selle pindala, korrutades selle aluse kõrgusega: S = a. ħ. See valem sobib ka rombi ja ristküliku pindala arvutamiseks. Kuna ristküliku külg ƀ langeb kokku kõrgusega ħ, arvutatakse selle pindala valemiga S = a. ƀ. sest a = ƀ, võrdub selle külje ruuduga: S = a. a = a². arvutatakse poole selle külgede summast, mis on korrutatud kõrgusega (joonistatakse trapetsi põhjaga risti): S = ½. (a + ƀ) . ħ.

Kuidas leida nelinurga pindala, kui selle külgede pikkused on teadmata, kuid diagonaalid (e) ja (f) ning nurga α siinus on teada? Sel juhul arvutatakse pindala poolena selle diagonaalide (hulknurga tippe ühendavate joonte) korrutisest nurga α siinusega. Valemi saab kirjutada järgmiselt: S = ½. (e. f) . sinα. Eelkõige on see sel juhul võrdne poolega diagonaalide (rombi vastasnurki ühendavate joonte) korrutisest: S = ½. (e. f).

Kuidas leida nelinurga pindala, mis ei ole rööpkülik või trapets, seda nimetatakse tavaliselt suvaliseks nelinurgaks. Sellise kujundi pindala väljendatakse läbi selle poolperimeetri (P on kahe ühise tipuga külje summa), külgede a, ƀ, c, d ja kahe vastandnurga (α + β) summa: S = √[(P - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].

Kui a φ = 180°, siis kasuta selle pindala arvutamiseks Brahmagupta (6.-7. sajandil pKr elanud India astronoom ja matemaatik) valemit: S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ–d)]. Kui nelinurka kirjeldatakse ringiga, siis (a + c = ƀ + d) ja arvutatakse selle pindala: S = √[ a. ƀ. c. d] . sin ½ (α + β). Kui nelinurk on samaaegselt ümbritsetud ühe ringjoonega ja kantud teise ringiga, siis kasutatakse pindala arvutamiseks järgmist valemit: S = √.

Geomeetrilise kujundi pindala- geomeetrilise kujundi arvuline karakteristik, mis näitab selle kujundi suurust (pinnaosa, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Kolmnurga pindala valemid

1. Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse järgi
   Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
   
2. Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja ümbermõõdu raadiusel
   
3. Kolmnurga pindala valem, mis põhineb sisse kirjutatud ringi kolmel küljel ja raadiusel
   Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.
   
kus S on kolmnurga pindala,
- kolmnurga külgede pikkused,
- kolmnurga kõrgus,
- nurk külgede ja
- sisse kirjutatud ringi raadius,
R - piiritletud ringi raadius,

Ruutpinna valemid

1. Ruudu pindala valem küljepikkuse järgi
   Ruudukujuline ala võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
2. Valem ruudu pindala jaoks piki diagonaali pikkust
   Ruudukujuline ala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
   

   S=	1	2
   	2

kus S on ruudu pindala,
- ruudu külje pikkus,
- ruudu diagonaali pikkus.

Ristküliku pindala valem

Ristküliku pindala võrdne selle kahe külgneva külje pikkuste korrutisega

kus S on ristküliku pindala,
- ristküliku külgede pikkused.

Parallelogrammi pindala valemid

1. Rööpküliku pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
   Rööpküliku pindala
2. Rööpküliku pindala valem, mis põhineb kahel küljel ja nendevahelisel nurgal
   Rööpküliku pindala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.
   

   a b sin α

kus S on rööpküliku pindala,
- rööpküliku külgede pikkused,
- rööpküliku kõrguse pikkus,
- rööpküliku külgede vaheline nurk.

Rombi pindala valemid

1. Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
   Rombi pindala võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
2. Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja nurgal
   Rombi pindala on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
3. Rombi pindala valem, mis põhineb selle diagonaalide pikkustel
   Rombi pindala võrdne poolega selle diagonaalide pikkuste korrutisest.
kus S on rombi pindala,
- rombi külje pikkus,
- rombi kõrguse pikkus,
- rombi külgede vaheline nurk,
1, 2 - diagonaalide pikkused.

Trapetsi pindala valemid

1. Heroni valem trapetsi jaoks

   kus S on trapetsi pindala,
   - trapetsi aluste pikkused,
   - trapetsi külgede pikkused,
   

Esimene tase

Kolmnurga ja nelinurga pindala. Näited probleemide lahendamisest (2019)

Pindala määramine

Mis on pindala? Kummaline küsimus – kas pole? Tavaelus oleme harjunud, et igasugustel tasapinnalistel kujunditel (nagu laua, tooli pind, meie korteri põrand jne) on lisaks pikkusele ja laiusele ka mõni muu omadus, mis me, mõtlemata, nimetame seda piirkonnaks. Mõelgem nüüd sellele: mis on ala ikkagi?

Alustame kõige lihtsamast. Aluseks on asjaolu, et:

Teisisõnu loeme ühemeetrise küljega ruudu pindala üheks "pinnameetriks".

Vaadake pilti hoolikalt ja veenduge, et see on tõesti sinna joonistatud - “ruutmeeter”! Ja pidage meeles nimetust.

Nüüd on siin keeruline küsimus: mis see on? Küljega ruudu pindala? Kuid mitte!

Vaata: küljega ruut.

Ja ruutmeetrite (see tähendab,) saamiseks peame joonistama näiteks nii:

Kuidas saada, ütleme, ? No näiteks nii:

Ja üldiselt, kui võtame ristküliku, mille küljed on võrdsed meetrite ja meetritega, siis selles ristkülikus:

Sobib täpselt ruutmeetritele. Vaadake hoolikalt: meil on "kihid", millest igaüks on täpselt ruutmeetrit.

See tähendab, et ristkülik suurusega x sisaldab kokku ruutmeetreid. See arv, mitu ruutmeetrit mahub ristkülikusse, on tema ruut.

Mis siis, kui kujund polegi ristkülik, vaid mingi abrakadabra?

Ma üllatan teid - seal on nii kohutavad abrakadabrad, mille kohta on absoluutselt võimatu kindlaks teha, kui palju ruutmeetreid on. Isegi ligikaudu! Kahjuks on selliseid arve võimatu joonistada.

Aga nad on olemas! Need näevad välja näiteks väga peenete hammastega “kammi”.

Ja nii võite tavaliste figuuride puhul intuitiivselt (see tähendab enda jaoks) eeldada, et figuuri pindala on ruutmeetrite arv (meetrid, sentimeetrid jne), mis sellele joonisele "mahtuvad". range, “päris” määratlusala, vt järgmisi teooriatasemeid.

Kujutage vaid ette, matemaatikud on õppinud väljendama paljude kujundite alasid läbi jooniste lineaarsete (joonlauaga mõõttavate) elementide. Neid avaldisi nimetatakse "pindala valemiteks". Neid valemeid on päris palju – matemaatikud on juba ammu proovinud. Proovige kõigepealt meelde jätta kõige lihtsamad ja elementaarsemad valemid ning seejärel keerulisemad.

Pindala valemid

Ruut

Ristkülik

Täisnurkne kolmnurk

Kolmnurk (tasuta)

Kolmnurga jaoks on mitu pindala valemit.

Põhivalem

Teine põhivalem

Kolmas valem

Millise valemi peaksite oma probleemi jaoks valima? Peamised neist on valemid 1 ja 2. Kolmandat valemit tuleb rakendada siis, kui kõik on ette antud: kolm külge ja sisse kirjutatud ringi raadius. Aga seda ei juhtu, eks? Sellepärast kasutame valemit 3, pigem vastupidi, sisse kirjutatud ringi raadiuse leidmiseks. Seejärel peate leidma ala, kasutades ühte valemitest 1, 2 või 4, ja seejärel raadiuse: .

Noh, valem 4 võimaldab teil leida mõlema külje ala, kasutades pikka aritmeetikat. Ja ärge tehke aritmeetikas vigu, kui rakendate Heroni valemit!

Suvaline nelinurk

Suvalise nelinurga jaoks pole midagi enamat, kuid “heade” nelinurkade jaoks on teised valemid.

Parallelogramm

Põhivalem

Teine valem

Romb

Rombil on diagonaalid, mis on risti, seega põhilised tema jaoks muutub see valem:

Teine valem

Ja lisavalem muutub

Trapets

Põhivalem

Teine valem

"Keerulised küsimused piirkonna kohta"

Lisaks probleemidele, mis paluvad lihtsalt ala üles leida, tekib ka igasuguseid küsimusi. No näiteks:

Vastame sellele küsimusele kahel viisil. Esimene meetod on formaalne: kasutame ruudu pindala valemit. Nii see oli, mis tähendab, et pindala on mitu korda suurenenud!

Ruudude puhul on teine ​​võimalus "puudutada" ja selles numbris otse veenduda.

Joonistame:

Kui teil ruutu pole, jääb üle vaid asendada valemitesse uued väärtused - ja ärge imestage, kui numbrid ootamatult üsna suureks osutuvad.

KOLMNURK JA NELINURK ALA. LÜHIDALT PEAMISEST

Täisnurkne kolmnurk

Nelinurk on kujund, mis koosneb neljast tipust, millest kolm ei asu samal sirgel, ja neid ühendavatest lõikudest.

Nelinurki on palju. Nende hulka kuuluvad rööpkülikud, ruudud, rombid ja trapetsid. Leia saab leida külgede järgi, diagonaalide järgi kergesti arvutatav. Suvalises nelinurgas saate nelinurga pindala valemi tuletamiseks kasutada ka kõiki elemente. Esiteks vaatame nelinurga pindala valemit selle diagonaali järgi. Selle kasutamiseks on vaja diagonaalide pikkusi ja nendevahelise teravnurga suurust. Teades vajalikke andmeid, saate teha näite nelinurga pindala arvutamiseks järgmise valemi abil:

Pool diagonaalide ja nendevahelise teravnurga siinuse korrutisest on nelinurga pindala. Vaatleme näidet nelinurga pindala arvutamiseks diagonaali abil.

Olgu antud nelinurk kahe diagonaaliga d1 =5 cm;d2 =4cm. Nende vaheline teravnurk on α = 30°. Nelinurga pindala valemit selle diagonaalide järgi on teadaolevate tingimuste korral lihtne rakendada. Asendame andmed:

Kasutades nelinurga pindala arvutamise näidet diagonaalide abil, saame aru, et valem on arvutusega väga sarnane.

Nelinurga pindala piki külgi

Kui kujundi külgede pikkused on teada, saate rakendada valemit nelinurga pindala kohta piki külgi. Nende arvutuste tegemiseks peate leidma joonise poolperimeetri. Peame meeles, et ümbermõõt on kõigi külgede pikkuste summa. Poolperimeeter on pool perimeetrit. Meie ristkülikus külgedega a, b, c, d näeb poolperimeetri valem välja järgmine:
Teades külgi, tuletame valemi. Nelinurga pindala on poolperimeetri ja kummagi külje pikkuse vahe korrutise juur:

Vaatame näidet nelinurga pindala arvutamisest selle külgede abil. Antud on suvaline nelinurk külgedega a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm. Esiteks leiame poolperimeetri:

kasutage pindala arvutamiseks leitud väärtust:

Koordinaatidega antud nelinurga pindala

Koordinaatsüsteemis asuvate kujundite pindala arvutamiseks kasutatakse nelinurga pindala koordinaatide järgi valemit. Sel juhul peate kõigepealt arvutama vajalike külgede pikkused. Sõltuvalt nelinurga tüübist võib valem ise muutuda. Vaatame näidet nelinurga pindala arvutamisest ruudu abil, mis asub XY-koordinaadisüsteemis.

Antud ruut ABCD, mis asub XY koordinaatsüsteemis. Leidke joonise pindala, kui tippude koordinaadid on A (2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Teame, et joonise kõik küljed on võrdsed ja ruudu pindala valem leitakse valemiga:
Leiame ühe külje, näiteks AB:
Asendame väärtused valemis:
Teame, et kõik pooled on ühesugused. Asendame väärtuse pindala arvutamise valemiga:

See veebikalkulaator aitab veebis arvutada, määrata ja arvutada maatüki pindala. Esitatud programm võib õigesti soovitada, kuidas arvutada ebakorrapärase kujuga maatükkide pindala.

Tähtis! Oluline ala peaks mahtuma ligikaudu ringi sisse. Vastasel juhul pole arvutused täiesti täpsed.

Kõik andmed märgime meetrites

A B, D A, C D, B C— Krundi mõlema külje suurus.

Vastavalt sisestatud andmetele teostab meie programm veebipõhiseid arvutusi ja määrab maa pindala ruutmeetrites, aakrites, aakrites ja hektarites.

Krundi suuruse käsitsi määramise meetod

Kruntide pindala õigesti arvutamiseks ei pea te kasutama keerulisi tööriistu. Võtame puidust pulgad või metallvardad ja paigaldame need oma saidi nurkadesse. Järgmisena määrake mõõdulindi abil proovitüki laius ja pikkus. Reeglina piisab ristküliku- või võrdkülgsete alade jaoks ühe laiuse ja ühe pikkuse mõõtmisest. Näiteks on meil järgmised andmed: laius – 20 meetrit ja pikkus – 40 meetrit.

Järgmisena liigume maatüki pindala arvutamise juurde. Kui ala kuju on õige, saate ristküliku pindala (S) määramiseks kasutada geomeetrilist valemit. Selle valemi kohaselt peate laiuse (20) korrutama pikkusega (40), st kahe külje pikkuste korrutisega. Meie puhul S=800 m².

Pärast pindala kindlaksmääramist saame määrata maatüki hektarite arvu. Üldtunnustatud andmetel on sada ruutmeetrit 100 m². Järgmisena jagame lihtsa aritmeetika abil oma parameetri S 100-ga. Lõpptulemus võrdub krundi suurusega aakrites. Meie näite puhul on see tulemus 8. Seega leiame, et krundi pindala on kaheksa aakrit.

Kui maa-ala on väga suur, on kõige parem teha kõik mõõtmised teistes ühikutes - hektarites. Üldtunnustatud mõõtühikute järgi - 1 Ha = 100 aakrit. Näiteks kui meie maatükk on saadud mõõtude järgi 10 000 m², siis antud juhul on selle pindala 1 hektar ehk 100 aakrit.

Kui teie krunt on ebakorrapärase kujuga, sõltub aakrite arv otseselt alast. Just sel põhjusel saate veebikalkulaatori abil õigesti arvutada maatüki parameetri S ja seejärel jagada tulemuse 100-ga. Nii saate arvutused sadades ruutmeetrites. See meetod võimaldab mõõta keerukate kujundite krunte, mis on väga mugav.

Kogu teave

Maatükkide pindala arvutamine põhineb klassikalistel arvutustel, mis tehakse üldtunnustatud geodeetiliste valemite järgi.

Maa pindala arvutamiseks on saadaval mitu meetodit - mehaaniline (arvutatakse plaani järgi mõõtepalettide abil), graafiline (määratud projektiga) ja analüütiline (kasutades mõõdetud piirijoontel põhinevat pindala valemit).

Tänapäeval peetakse kõige täpsemaks meetodiks vääriliselt analüütilist meetodit. Seda meetodit kasutades ilmnevad arvutustes vead tavaliselt mõõdetud joonte maastiku vigade tõttu. See meetod on ka üsna keeruline, kui piirid on kõverad või nurkade arv krundil on üle kümne.

Graafilist meetodit on veidi lihtsam arvutada. Seda on kõige parem kasutada siis, kui saidi piirid on esitatud katkendliku joonena, vähese pöörete arvuga.

Ja kõige kättesaadavam ja lihtsam meetod ning kõige populaarsem, kuid samal ajal suurim viga on mehaaniline meetod. Selle meetodi abil saate hõlpsalt ja kiiresti arvutada lihtsa või keeruka kujuga maa pindala.

Mehaanilise või graafilise meetodi tõsiste puuduste hulgas eristatakse järgmist: lisaks vigadele pindala mõõtmisel lisandub arvutuste käigus paberi deformatsioonist või plaanide koostamise veast tingitud viga.