Kumer punktide kogum tasapinnal.
Palju punkte lennukis või sees kolmemõõtmeline ruum helistas kumer, kui selle hulga mis tahes kahte punkti saab ühendada sirglõiguga, mis asub täielikult selles hulgas.
1. teoreem. Ristmik lõplik arv kumerate hulkade hulgast on kumer hulk.
Tagajärg. Lõpliku arvu kumerate hulkade lõikekoht on kumer hulk.
Nurgapunktid.
Piiripunkt kumer komplekt helistas nurgeline, kui selle kaudu on võimalik joonestada lõiku, mille kõik punktid ei kuulu antud hulka.
Erineva kujuga komplektidel võib olla lõplik või lõpmatu arv nurgapunktid.
Kumer hulknurk.
Hulknurk helistas kumer, kui see asub iga selle kahte naabertippu läbiva sirge ühel küljel.
Teoreem: Kumera n-nurga nurkade summa on 180˚ *(n-2)
6) Süsteemide lahendus m lineaarsed ebavõrdsused kahe muutujaga
Antud kahe muutujaga lineaarsete võrratuste süsteem
Mõne või kogu ebavõrdsuse märgid võivad olla ≥.
Vaatleme esimest võrratust koordinaatsüsteemis X1OX2. Ehitame sirge
mis on piirijoon.
See sirgjoon jagab tasapinna kaheks pooltasandiks 1 ja 2 (joon. 19.4).
Pooltasand 1 sisaldab alguspunkti, pooltasand 2 ei sisalda alguspunkti.
Et määrata, kummal pool piirijoont antud pooltasapind asub, tuleb võtta suvaline punkt tasapinnal (eelistatavalt alguspunktis) ja asendage selle punkti koordinaadid ebavõrdsusega. Kui ebavõrdsus on tõene, siis pooltasand on suunatud selle punkti poole, kui see ei ole tõene, siis punktile vastupidises suunas.
Pooltasandi suund on näidatud joonistel noolega.
Definitsioon 15. Süsteemi iga võrratuse lahenduseks on pooltasapind, mis sisaldab piirjoont ja asub selle ühel küljel.
Definitsioon 16. Pooltasapindade lõikepunkti, millest igaüks on määratud süsteemi vastava ebavõrdsusega, nimetatakse süsteemi lahendusdomeeniks (SO).
Definitsioon 17. Mittenegatiivsuse tingimusi (xj ≥ 0, j =) rahuldava süsteemi lahendusala nimetatakse mittenegatiivsete ehk lubatavate lahenduste pindalaks (ADS).
Kui ebavõrdsuse süsteem on järjekindel, võivad OR ja ODR olla hulktahukas, piiramata hulktahukas piirkond või üks punkt.
Kui ebavõrdsuse süsteem on vastuolus, on OR ja ODR tühi hulk.
Näide 1. Leidke võrratussüsteemi VÕI ja ODE ning määrake ODE nurgapunktide koordinaadid
Lahendus. Leiame esimese võrratuse VÕI: x1 + 3x2 ≥ 3. Konstrueerime piirjoone x1 + 3x2 – 3 = 0 (joon. 19.5). Asendame võrratuse punkti (0,0) koordinaadid: 1∙0 + 3∙0 > 3; kuna punkti (0,0) koordinaadid seda ei rahulda, siis on võrratuse (19.1) lahend pooltasapind, mis ei sisalda punkti (0,0).
Leiame samamoodi lahendused ka süsteemi ülejäänud ebavõrdsustele. Saame, et ebavõrdsuse süsteemi VÕI ja ODE on kumer hulktahukas ABCD.
Me leiame nurgapunktid hulktahukas. Punkti A määratleme sirgete lõikepunktina
Süsteemi lahendades saame A(3/7, 6/7).
Sirgete lõikepunktiks leiame punkti B
Süsteemist saame B(5/3, 10/3). Samamoodi leiame punktide C ja D koordinaadid: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
Näide 2. Leidke võrratussüsteemi VÕI ja ODE
Lahendus. Ehitame sirgeid ja määrame võrratuste (19.5)-(19.7) lahendid. OR ja ODR on vastavalt piiramata hulktahulised piirkonnad ACFM ja ABDEKM (joonis 19.6).
Näide 3. Leidke võrratussüsteemi VÕI ja ODE
Lahendus. Leiame lahendused ebavõrdsustele (19.8)-(19.10) (joon. 19.7). OR tähistab piiramatut hulktahulist piirkonda ABC; ODR – punkt B.
Näide 4. Leidke võrratuste süsteemi OP ja ODP
Lahendus. Sirgeid konstrueerides leiame lahendused süsteemi ebavõrdsustele. OR ja ODR ei ühildu (joonis 19.8).
HARJUTUSED
Leidke võrratussüsteemide OR ja ODE
Teoreem. Kui xn ® a, siis .
Tõestus. Alates xn ® a järeldub, et . Samal ajal:
, st. , st. . Teoreem on tõestatud.
Teoreem. Kui xn ® a, siis jada (xn) on piiratud.
Tuleb märkida, et vastupidine väide ei vasta tõele, s.t. jada piiritus ei tähenda selle konvergentsi.
Näiteks järjestus 
pole siiski piire
Funktsioonide laiendamine võimsusridadesse.
Funktsioonide laiendamine sisse jõuseeria Sellel on suur tähtsus lahenduste jaoks erinevaid ülesandeid funktsioonide uurimine, eristamine, integreerimine, lahendused diferentsiaalvõrrandid, piiride arvutamine, funktsiooni ligikaudsete väärtuste arvutamine.
Selles õppetükis alustame uus teema ja tutvustada meie jaoks uut kontseptsiooni: "polügoon". Vaatleme hulknurkadega seotud põhimõisteid: küljed, tipunurgad, kumerus ja mittekumerus. Siis me tõestame kõige olulisemad faktid nagu summateoreem sisemised nurgad hulknurk, summateoreem välisnurgad hulknurk. Selle tulemusena jõuame polügoonide erijuhtude uurimisele, mida käsitletakse edasistes tundides.
Teema: Nelinurgad
Õppetund: hulknurgad
Geomeetria kursusel uurime omadusi geomeetrilised kujundid ja on juba kaalunud neist lihtsamaid: kolmnurki ja ringe. Samal ajal käsitlesime ka nende kujundite konkreetseid erijuhtumeid, nagu ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja korrapärased kolmnurgad. Nüüd on aeg rääkida üldisemast ja keerulised kujundid - hulknurgad.
Erijuhtumiga hulknurgad oleme juba tuttavad – see on kolmnurk (vt joonis 1).
Riis. 1. Kolmnurk
Juba nimi ise rõhutab, et tegemist on kolme nurgaga kujundiga. Seetõttu sisse hulknurk neid võib olla palju, st. rohkem kui kolm. Näiteks joonistame viisnurga (vt joon. 2), s.o. viie nurgaga joonis.
Riis. 2. Viisnurk. Kumer hulknurk
Definitsioon.Hulknurk- kujund, mis koosneb mitmest punktist (rohkem kui kahest) ja vastavast arvust segmentidest, mis neid järjestikku ühendavad. Neid punkte nimetatakse tipud hulknurk ja lõigud on peod. Sel juhul ei asu kaks kõrvuti asetsevat külge samal sirgel ja kaks mittekülgnevat külge ei ristu.
Definitsioon.Regulaarne hulknurk on kumer hulknurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed.
Ükskõik milline hulknurk jagab tasapinna kaheks piirkonnaks: sisemine ja välimine. Sisepiirkonda nimetatakse ka hulknurk.
Ehk siis näiteks viisnurgast rääkides mõeldakse nii kogu selle sisemist piirkonda kui ka piiri. Ja sisemine piirkond hõlmab kõiki punkte, mis asuvad hulknurga sees, st. punkt viitab ka viisnurgale (vt joon. 2).
Hulknurki nimetatakse mõnikord ka n-nurkadeks, et rõhutada seda, mida vaadeldakse üldine juhtum mingi teadmata arvu nurkade olemasolu (n tükki).
Definitsioon. Hulknurga ümbermõõt- hulknurga külgede pikkuste summa.
Nüüd peame tutvuma hulknurkade tüüpidega. Need jagunevad kumer Ja mittekumer. Näiteks joonisel fig. 2 on kumer ja joonisel fig. 3 mittekumer.
Riis. 3. Mittekumer hulknurk
Definitsioon 1. Hulknurk helistas kumer, kui sirgjoone tõmbamisel läbi selle mõne külje, kogu hulknurk asub ainult selle sirgjoone ühel küljel. Mittekumer on kõik teised hulknurgad.
Lihtne on ette kujutada, et joonisel fig. 2 on see kõik selle sirgjoone ühel küljel, st. see on kumer. Kuid sirge joonestamisel läbi nelinurga joonisel fig. 3 näeme juba, et see jagab selle kaheks osaks, s.t. see ei ole kumer.
Kuid on veel üks hulknurga kumeruse määratlus.
2. definitsioon. Hulknurk helistas kumer, kui selle kahe sisepunkti valimisel ja lõiguga ühendamisel on kõik lõigu punktid ühtlasi hulknurga sisepunktid.
Selle määratluse kasutamise demonstratsiooni võib näha segmentide konstrueerimise näites joonisel fig. 2 ja 3.
Definitsioon. Diagonaal hulknurga lõik on mis tahes segment, mis ühendab kahte mittekülgnevat tippu.
Hulknurkade omaduste kirjeldamiseks on neid kaks tähtsamad teoreemid nende nurkade kohta: sisenurga summa teoreem kumer hulknurk Ja teoreem kumera hulknurga välisnurkade summa kohta. Vaatame neid.
Teoreem. Kumera hulknurga sisenurkade summal (n-gon).
Kus on selle nurkade (külgede) arv.
Tõestus 1. Kujutagem joonisel fig. 4 kumer n-nurk.
Riis. 4. Kumer n-nurk
Tipust joonistame kõik võimalikud diagonaalid. Nad jagavad n-nurga kolmnurkadeks, sest kõik hulknurga küljed moodustavad kolmnurga, välja arvatud tipuga külgnevad küljed. Jooniselt on lihtne näha, et kõigi nende kolmnurkade nurkade summa on täpselt võrdne n-nurga sisenurkade summaga. Kuna iga kolmnurga nurkade summa on , siis n-nurga sisenurkade summa on:
Q.E.D.
Tõestus 2. Selle teoreemi teine tõestus on võimalik. Joonistame sarnase n-nurga joonisel fig. 5 ja ühendage mis tahes selle sisemised punktid kõigi tippudega.
Riis. 5.
Oleme saanud n-nurga jaotuse n kolmnurgaks (nii palju külgi, kui on kolmnurki). Kõigi nende nurkade summa on võrdne hulknurga sisenurkade summaga ja nurkade summaga sisemine punkt, ja see on nurk. Meil on:
Q.E.D.
Tõestatud.
Tõestatud teoreemi järgi on selge, et n-nurga nurkade summa sõltub selle külgede arvust (n-l). Näiteks kolmnurgas ja nurkade summa on . Nelinurgas ja nurkade summa on jne.
Teoreem. Kumera hulknurga välisnurkade summal (n-gon).
Kus on selle nurkade (külgede) arv ja , … on välisnurgad.
Tõestus. Kujutame kumerat n-nurka joonisel fig. 6 ja määrake selle sise- ja välisnurgad.
Riis. 6. Kumer n-nurk määratud välisnurkadega
Sest Välisnurk on ühendatud sisemise nurgaga külgnevana, siis 
ja sarnaselt ülejäänud välisnurkadele. Seejärel:
Teisendustes kasutasime juba tõestatud teoreemi n-nurga sisenurkade summa kohta.
Tõestatud.
Tõestatud teoreemist järeldub huvitav fakt, et kumera n-nurga välisnurkade summa on võrdne 
selle nurkade (külgede) arvu kohta. Muide, vastupidiselt sisenurkade summale.
Bibliograafia
- Aleksandrov A.D. ja teised Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geomeetria, 8. klass. - M.: Haridus, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geomeetria, 8. klass. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Kodutöö
Hulknurga kontseptsioon
Definitsioon 1
Hulknurk on tasapinnaline geomeetriline kujund, mis koosneb paarikaupa ühendatud lõikudest, külgnevad ei asu samal sirgel.
Sel juhul nimetatakse segmente hulknurga küljed ja nende otsad - hulknurga tipud.
2. definitsioon
$n$-nurk on $n$ tippudega hulknurk.
Hulknurkade tüübid
3. definitsioon
Kui hulknurk asub alati selle külgi läbiva sirge samal küljel, nimetatakse hulknurka kumer(Joonis 1).
Joonis 1. Kumer hulknurk
4. definitsioon
Kui hulknurk asub mööda erinevad küljed vähemalt üks selle külgi läbiv sirge, siis nimetatakse hulknurka mittekumeraks (joon. 2).
Joonis 2. Mittekumer hulknurk
Hulknurga nurkade summa
Tutvustame teoreemi kolmnurga nurkade summa kohta.
1. teoreem
Kumera kolmnurga nurkade summa määratakse järgmiselt
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Tõestus.
Olgu meile antud kumer hulknurk $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Ühendame selle tipu $A_1$ kõigi teiste tippudega antud hulknurk(joonis 3).
Joonis 3.
Selle ühendusega saame $n-2$ kolmnurgad. Nende nurkade liitmisel saame antud -goni nurkade summa. Kuna kolmnurga nurkade summa on võrdne $(180)^0,$ saame, et kumera kolmnurga nurkade summa määratakse valemiga
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Teoreem on tõestatud.
Nelinurga mõiste
Kasutades $2$ definitsiooni, on lihtne kasutusele võtta nelinurga definitsioon.
Definitsioon 5
Nelinurk on hulknurk, mille tipud on $4$ (joonis 4).
Joonis 4. Nelinurk
Nelinurga puhul mõisted kumer nelinurk ja mittekumer nelinurk. Klassikalised näited kumerad nelinurgad on ruut, ristkülik, trapets, romb, rööpkülik (joon. 5).
Joonis 5. Kumerad nelinurgad
2. teoreem
Kumera nelinurga nurkade summa on $(360)^0$
Tõestus.
Teoreemi $1$ järgi teame, et kumera nurga nurkade summa määratakse valemiga
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Seetõttu on kumera nelinurga nurkade summa võrdne
\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Teoreem on tõestatud.
Hulknurga kontseptsioon
Definitsioon 1
Hulknurk on tasapinnaline geomeetriline kujund, mis koosneb paarikaupa ühendatud lõikudest, külgnevad ei asu samal sirgel.
Sel juhul nimetatakse segmente hulknurga küljed ja nende otsad - hulknurga tipud.
2. definitsioon
$n$-nurk on $n$ tippudega hulknurk.
Hulknurkade tüübid
3. definitsioon
Kui hulknurk asub alati selle külgi läbiva sirge samal küljel, nimetatakse hulknurka kumer(Joonis 1).
Joonis 1. Kumer hulknurk
4. definitsioon
Kui hulknurk asub vähemalt ühe selle külgi läbiva sirge vastaskülgedel, siis nimetatakse hulknurka mittekumeraks (joonis 2).
Joonis 2. Mittekumer hulknurk
Hulknurga nurkade summa
Tutvustame teoreemi kolmnurga nurkade summa kohta.
1. teoreem
Kumera kolmnurga nurkade summa määratakse järgmiselt
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Tõestus.
Olgu meile antud kumer hulknurk $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Ühendame selle tipu $A_1$ selle hulknurga kõigi teiste tippudega (joonis 3).
Joonis 3.
Selle ühendusega saame $n-2$ kolmnurgad. Nende nurkade liitmisel saame antud -goni nurkade summa. Kuna kolmnurga nurkade summa on võrdne $(180)^0,$ saame, et kumera kolmnurga nurkade summa määratakse valemiga
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Teoreem on tõestatud.
Nelinurga mõiste
Kasutades $2$ definitsiooni, on lihtne kasutusele võtta nelinurga definitsioon.
Definitsioon 5
Nelinurk on hulknurk, mille tipud on $4$ (joonis 4).
Joonis 4. Nelinurk
Nelinurga jaoks on kumera nelinurga ja mittekumera nelinurga mõisted defineeritud sarnaselt. Kumerate nelinurkade klassikalised näited on ruut, ristkülik, trapets, romb, rööpkülik (joon. 5).
Joonis 5. Kumerad nelinurgad
2. teoreem
Kumera nelinurga nurkade summa on $(360)^0$
Tõestus.
Teoreemi $1$ järgi teame, et kumera nurga nurkade summa määratakse valemiga
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Seetõttu on kumera nelinurga nurkade summa võrdne
\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Teoreem on tõestatud.
Definitsioon 1. Katkendjoont nimetatakse lõplik järjestus segmendid, nii et esimese segmendi üks ots on teise segmendi ots, teise segmendi teine ots on kolmanda segmendi ots jne.
Segmendid, mis moodustavad katkendlik joon, nimetatakse linkideks. Külgnevad segmendid ei asu samal sirgel. Kui katkendjoone otsad langevad kokku, siis nimetatakse seda suletud. Polüliin võib ennast ristuda, ennast puudutada ja iseendale toetuda. Kui katkendjoonel selliseid tunnuseid pole, siis seda nimetatakse lihtne.
2. definitsioon. Lihtsat suletud katkendjoont koos sellega piiratud tasapinna osaga nimetatakse hulknurgaks.
Katkendjoont ennast nimetatakse hulknurga piiriks, katkendjoone linke peod hulknurga, linkide otsad on hulknurga tipud. Hulknurga kaks külgnevat külge moodustavad nurga. Hulknurga nurkade arv võrdub külgede arvuga. Igal hulknurgal on nurgad alla 180°. Hulknurga külgi ja nurki nimetatakse elemendid hulknurk.
Diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab hulknurga kahte mittekülgnevat tippu. Igal n-nurgal võib olla n-2 diagonaali.
3. määratlus. Hulknurka nimetatakse kumer, kui see asub iga selle külge sisaldava rea ühel küljel. Hulknurki, mis sellele tingimusele ei vasta, nimetatakse mittekumerateks.
Kumerate hulknurkade omadused.
Vara 1. Kumera hulknurga kõik nurgad on alla 180°.
Tõestus: Võtame kumera hulknurga P ja selle külje a mis tahes nurga A, mis tuleb tipust A. Olgu l sirge, mis sisaldab külge a. Kuna hulknurk P on kumer, asub see sirge l ühel küljel. Seetõttu asub nurk A sirge l ühel küljel. Järelikult on nurk A väiksem kui voltimata nurk, st ÐA< 180°.
Vara 2. Selles hulknurgas sisaldub sirglõik, mis ühendab kumera hulknurga mis tahes kahte punkti.
Tõestus: Võtke kumera hulknurga P mis tahes kaks punkti M ja N. Hulknurk P on mitme pooltasandi ristumiskoht. Segment MN asub igal pooltasandil. Seetõttu sisaldub see ka hulknurgas R.
Vara 3. Kumera hulknurga nurkade summa on (n – 2)∙180°.
Tõestus: Võtke kumera hulknurga P sees suvaline punkt O ja ühendage see hulknurga kõigi tippudega. Moodustatakse N kolmnurka, mille iga nurkade summa on 180°. Nurgad tipus O annavad kokku 360° = 2∙180°. Seetõttu on hulknurga nurkade summa n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
Rööpküliku mõiste. Rööpküliku omadused.
Definitsioon 1. nelinurk, vastasküljed mis on paaris paralleelsed, nimetatakse rööpkülikuks.
Igal rööpkülikul on neli tippu, neli külge ja neli nurka. Kahe poole olemasolu ühised eesmärgid, kutsutakse külgnevad. Igal rööpkülikul on kaks diagonaali - lõigud, mis ühendavad vastassuunalised tipud rööpkülik. Rööpküliku nurkade summa on 360°.
Rööpküliku omadused.
Vara 1. Rööpküliku vastasküljed on võrdsed ja vastasnurgad paarikaupa võrdsed.
Tõestus: Joonistame diagonaali AC. AC – üldine;
РВАС = РАСD (sisemine risti asetsev AB II BC ja sekant AC);
РВСА = РСАD (sisemine risti asetseb AD II eKr ja sekant AC);
Þ DABC = DADC (2 tunnuse alusel).
AB = CD; BC = AD; РВ = РD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
Vara 2. Rööpkülikukujulises nurgas on ühe küljega külgnevad nurgad kokku 180°.
Tõestus:
РВ + РА =180° (sisemine ühepoolne BC II AD-ga ja sekant AB).
ÐB + ÐС =180° (sisemine ühepoolne AB II CD ja sekant BC-ga).
ÐD + ÐC =180° (sisemine ühepoolne BC II AD ja sekant CD-ga).
ÐA + ÐD =180° (sisemine ühepoolne AB II CD-ga ja sekant AD).
Vara 3. Rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.
Tõestus: Joonestame diagonaalid AC ja BD, mis ristuvad punktis O.
AB = CD (esimese rööpküliku järgi);
ÐABO = ÐODC (sisemine risti asetsev AB II CD ja sekant BD);
РБАО = РОСD (sisemine risti asetsev AB II CD ja sekant AC);
Þ DABO = DODC (2 tunnuse alusel).
BO = OD; AO = OC.
Rööpküliku märgid.
Märk 1. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on nelinurk rööpkülik.
Antud: ABCD – nelinurk; AD II eKr,