Esimest korda kohtusime 7. klassi algebra kursusel. Funktsiooni graafikut vaadates võtsime alla vastava info: kui mööda graafikut vasakult paremale liikudes liigume samal ajal alt üles (nagu roniksime mäkke), siis deklareerisime funktsiooni olema suurenev (joonis 124); kui liikuda ülevalt alla (mäest alla minna), siis kuulutasime funktsiooni kahanevaks (joonis 125).
Kuid matemaatikud ei armasta seda funktsiooni omaduste uurimise meetodit väga. Nad usuvad, et mõistete definitsioonid ei tohiks põhineda joonisel – joonis peaks vaid illustreerima funktsiooni üht või teist omadust sellel. graafika. Andkem kasvavate ja kahanevate funktsioonide mõistete ranged määratlused.
Definitsioon 1.
Funktsioon y = f(x) kasvab intervallil X, kui võrratusest x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).
2. definitsioon. Funktsioon y = f(x) väheneb intervallil X, kui ebavõrdsus x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует ebavõrdsus f(x 1) > f(x 2).
Praktikas on mugavam kasutada järgmisi koostisi:
funktsioon suureneb, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele;
funktsioon väheneb, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.
Kasutades neid mõisteid ja §-s 33 kehtestatud omadusi arvulised ebavõrdsused, saame põhjendada järeldusi varem uuritud funktsioonide suurenemise või vähenemise kohta.
1. Lineaarfunktsioon y = kx +m
Kui k > 0, siis funktsioon suureneb läbivalt (joonis 126); kui k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).
Tõestus. Olgu f(x) = kx +m. Kui x 1< х 2 и k >Oh, siis 3 arvulise võrratuse omaduse järgi (vt § 33) kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineaarne funktsioonid y = kx+ m.
Kui x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ja vastavalt omadusele 2 tuleneb kx 1 > kx 2-st, et kx 1 + m> kx 2 + s.t.
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). See tähendab funktsiooni y = f(x) vähenemist, s.t. lineaarne funktsioon y = kx + m.
Kui funktsioon suureneb (väheneb) kogu oma määratluspiirkonna ulatuses, võib seda nimetada suurenemiseks (kahanemiseks) ilma intervalli märkimata. Näiteks funktsiooni y = 2x - 3 kohta võime öelda, et see kasvab piki kogu arvurida, kuid võib öelda ka lühidalt: y = 2x - 3 - kasvab
funktsiooni.
2. Funktsioon y = x2
1. Vaatleme funktsiooni y = x 2 kiirel. Võtame kaks mittepositiivset arvu x 1 ja x 2, nii et x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Kuna arvud - x 1 ja - x 2 on mittenegatiivsed, siis ruudustades viimase võrratuse mõlemad pooled, saame samatähendusliku võrratuse (-x 1) 2 > (-x 2) 2, s.t. See tähendab, et f(x 1) > f(x 2).
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).
Seetõttu funktsioon y = x 2 väheneb kiirel (- 00, 0] (joon. 128).
1. Vaatleme funktsiooni intervallil (0, + 00).
Olgu x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). See tähendab, et funktsioon väheneb avatud kiirel (0, + 00) (joonis 129).
2. Vaatleme funktsiooni intervallil (-oo, 0). Olgu x 1< х 2 , х 1 и х 2 - negatiivsed arvud. Siis - x 1 > - x 2 ning viimase võrratuse mõlemad pooled on positiivsed arvud ja seega (kasutasime taas § 33 näites 1 tõestatud võrratust). Järgmiseks on see, kust me saame.
Niisiis, võrratusest x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) st. funktsioon väheneb avatud kiirel (- 00 , 0)
Tavaliselt ühendatakse terminid "suurenev funktsioon" ja "vähendav funktsioon" üldnimetuse monotoonne funktsioon alla ning suurendava ja kahaneva funktsiooni uurimist nimetatakse monotoonsuse funktsiooni uurimiseks.
Lahendus.
1) Joonistame funktsiooni y = 2x2 ja võtame selle parabooli haru punktis x< 0 (рис. 130).
2) Konstrueerige ja valige selle osa segmendil (joonis 131).
3) Koostame hüperbooli ja valime selle osa avatud kiirel (4, + 00) (joonis 132).
4) Kujutame kõik kolm “tükki” ühes koordinaatsüsteemis – see on funktsiooni y = f(x) graafik (joonis 133).
Loeme funktsiooni y = f(x) graafikut.
1. Funktsiooni määratluspiirkond on terve arvurida.
2. y = 0, kui x = 0; y > 0, kui x > 0.
3. Funktsioon kiirel väheneb (-oo, 0], lõigul suureneb, kiirel väheneb, segmendil on kumer ülespoole, kiirel allapoole kumer)