\[(\Large(\text(Kesk- ja sissekirjutatud nurgad)))\]
Definitsioonid
Kesknurk on nurk, mille tipp asub ringi keskpunktis.
Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil.
Ringkaare kraadimõõt on seda piirava kesknurga aste.
Teoreem
Sissekirjutatud nurga kraadimõõt on võrdne poole kaare kraadist, millel see toetub.
Tõestus
Tõestuse teostame kahes etapis: esiteks tõestame väite paikapidavust juhuks, kui sissekirjutatud nurga üks külgedest sisaldab diameetrit. Olgu punkt \(B\) sissekirjutatud nurga \(ABC\) tipp ja \(BC\) ringi läbimõõt:
Kolmnurk \(AOB\) on võrdhaarne, \(AO = OB\) , \(\nurk AOC\) on väline, siis \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\nurk ABC\), kus \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Nüüd kaaluge suvalist sisse kirjutatud nurka \(ABC\) . Joonistame sissekirjutatud nurga tipust ringi läbimõõdu \(BD\). Võimalikud on kaks juhtumit:
1) läbimõõt lõikab nurga kaheks nurgaks \(\angle ABD, \angle CBD\) (millest kummagi puhul on teoreem tõene nagu ülalpool tõestatud, seega kehtib see ka algnurga kohta, mis on nende summa kaks ja seega võrdne poolega nende kaare summast, millele nad toetuvad, st võrdne poolega kaarest, millel see toetub). Riis. 1.
2) läbimõõt ei lõikanud nurka kaheks nurgaks, siis on meil veel kaks uut sisse kirjutatud nurka \(\angle ABD, \angle CBD\), mille külg sisaldab läbimõõtu, seega on teoreem nende jaoks tõene, siis see kehtib ka algnurga kohta (mis on võrdne nende kahe nurga erinevusega, mis tähendab, et see on võrdne nende kaare poole vahega, millel need toetuvad, st võrdne poole kaarega, millel see toetub) . Riis. 2.
Tagajärjed
1. Sama kaare sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.
2. Poolringiga ümbritsetud sisse kirjutatud nurk on täisnurk.
3. Sissekirjutatud nurk on võrdne poolega sama kaare all olevast kesknurgast.
\[(\Large(\text(Ringi puutuja)))\]
Definitsioonid
Joone ja ringi suhtelisi asukohti on kolme tüüpi:
1) sirgjoon \(a\) lõikab ringjoont kahes punktis. Sellist joont nimetatakse sekantjooneks. Sel juhul on kaugus \(d\) ringi keskpunktist sirgjooneni väiksem kui ringi raadius \(R\) (joonis 3).
2) sirgjoon \(b\) lõikab ringjoont ühes punktis. Sellist sirget nimetatakse puutujaks ja nende ühist punkti \(B\) puutepunktiks. Sel juhul \(d=R\) (joonis 4).
Teoreem
1. Ringjoone puutuja on puutepunktile tõmmatud raadiusega risti.
2. Kui sirge läbib ringi raadiuse otsa ja on selle raadiusega risti, siis on see ringjoone puutuja.
Tagajärg
Ühest punktist ringile tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.
Tõestus
Joonistame punktist \(K\) ringile kaks puutujat \(KA\) ja \(KB\):
See tähendab, et \(OA\perp KA, OB\perp KB\) on nagu raadiused. Täisnurksed kolmnurgad \(\kolmnurk KAO\) ja \(\kolmnurk KBO\) on jala ja hüpotenuusiga võrdsed, seega \(KA=KB\) .
Tagajärg
Ringi keskpunkt \(O\) asub nurga \(AKB\) poolitajal, mille moodustavad kaks samast punktist \(K\) tõmmatud puutujat.
\[(\Large(\text(Nurkadega seotud teoreemid)))\]
Teoreem sekantidevahelise nurga kohta
Nurk kahe samast punktist tõmmatud sekandi vahel on võrdne nende poolt lõigatud suuremate ja väiksemate kaare kraadimõõtude poole erinevusega.
Tõestus
Olgu \(M\) punkt, millest tõmmatakse kaks sekanti, nagu on näidatud joonisel:
Näitame seda \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) on kolmnurga \(MAD\) välisnurk, siis \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), kus \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), kuid nurgad \(\angle DAB\) ja \(\angle MDA\) on sisse kirjutatud, siis \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), mida oli vaja tõestada.
Teoreem ristuvate kõõlude vahelise nurga kohta
Nurk kahe ristuva kõõlu vahel on võrdne poolega nende poolt lõigatud kaare kraadide summast: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Tõestus
\(\angle BMA = \angle CMD\) vertikaalsena.
Kolmnurgast \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Aga \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), millest järeldame, et \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ naerata\üle(CD)).\]
Teoreem kõõlu ja puutuja vahelise nurga kohta
Puutuja ja puutepunkti läbiva kõõlu vaheline nurk on võrdne poolega kõõlu poolt ümbritsetud kaare kraadist.
Tõestus
Laske sirgel \(a\) puudutada ringi punktis \(A\), \(AB\) on selle ringi kõõl, \(O\) on selle keskpunkt. Laske sirgel, mis sisaldab \(OB\) lõikuda \(a\) punktis \(M\) . Tõestame seda \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Tähistame \(\angle OAB = \alpha\) . Kuna \(OA\) ja \(OB\) on raadiused, siis \(OA = OB\) ja \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Seega \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Kuna \(OA\) on puutujapunkti raadius, siis \(OA\perp a\), st \(\angle OAM = 90^\circ\), seega \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Teoreem kaare kohta, mis on seotud võrdsete akordidega
Võrdsed akordid ühendavad võrdsed kaared, mis on väiksemad kui poolringid.
Ja vastupidi: võrdsed kaared on allutatud võrdsete akordidega.
Tõestus
1) Olgu \(AB=CD\) . Tõestame, et kaare väiksemad poolringid .
Seetõttu on kolmel küljel \(\angle AOB=\angle COD\) . Aga sest \(\angle AOB, \angle COD\) – kesknurgad, mida toetavad kaared \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) vastavalt siis \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Kui \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), See \(\kolmnurk AOB=\kolmnurk COD\) kahel küljel \(AO=BO=CO=DO\) ja nendevaheline nurk \(\angle AOB=\angle COD\) . Seetõttu ja \(AB=CD\) .
Teoreem
Kui raadius poolitab kõõlu, siis on see sellega risti.
Tõsi on ka vastupidi: kui raadius on kõõluga risti, siis lõikepunktis poolitab see selle.
Tõestus
1) Olgu \(AN=NB\) . Tõestame, et \(OQ\perp AB\) .
Vaatleme \(\kolmnurka AOB\) : see on võrdhaarne, sest \(OA=OB\) – ringi raadiused. Sest \(ON\) on aluse külge tõmmatud mediaan, siis on see ka kõrgus, seega \(ON\perp AB\) .
2) Olgu \(OQ\perp AB\) . Tõestame, et \(AN=NB\) .
Samamoodi on \(\kolmnurk AOB\) võrdhaarne, \(ON\) on kõrgus, seega on \(ON\) mediaan. Seetõttu \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Lõikude pikkustega seotud teoreemid)))\]
Teoreem akordilõikude korrutise kohta
Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.
Tõestus
Olgu akordid \(AB\) ja \(CD\) ristuvad punktis \(E\) .
Vaatleme kolmnurki \(ADE\) ja \(CBE\) . Nendes kolmnurkades on nurgad \(1\) ja \(2\) võrdsed, kuna need on sisse kirjutatud ja toetuvad samale kaarele \(BD\) ning nurgad \(3\) ja \(4\) on võrdsed vertikaalseks. Kolmnurgad \(ADE\) ja \(CBE\) on sarnased (kolmnurkade sarnasuse esimese kriteeriumi alusel).
Siis \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), millest \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Tangensi ja sekanti teoreem
Puutuja segmendi ruut on võrdne sekandi ja selle välimise osa korrutisega.
Tõestus
Laske puutujal läbida punkti \(M\) ja puudutage ringi punktis \(A\) . Laske sekant läbida punkti \(M\) ja lõikab ringi punktides \(B\) ja \(C\) nii, et \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Mõelge kolmnurkadele \(MBA\) ja \(MCA\) : \(\nurk M\) on tavaline, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Vastavalt puutuja ja sekandi vahelise nurga teoreemile, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Seega on kolmnurgad \(MBA\) ja \(MCA\) kahe nurga all sarnased.
Kolmnurkade \(MBA\) ja \(MCA\) sarnasusest saame: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), mis on samaväärne \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Tagajärg
Välise osaga punktist \(O\) tõmmatud sekandi korrutis ei sõltu punktist \(O\) tõmmatud sekandi valikust.
Planimeetria on geomeetria haru, mis uurib tasapinnaliste kujundite omadusi. Nende hulka kuuluvad mitte ainult tuntud kolmnurgad, ruudud ja ristkülikud, vaid ka sirgjooned ja nurgad. Planimeetrias on ka selliseid mõisteid nagu nurgad ringis: kesk- ja sissekirjutatud. Aga mida need tähendavad?
Mis on kesknurk?
Kesknurga mõistmiseks peate määratlema ringi. Ringjoon on antud punktist (ringi keskpunktist) võrdsel kaugusel olevate punktide kogum.
Väga oluline on seda ringist eristada. Peate meeles pidama, et ring on suletud joon ja ring on osa sellega piiratud tasapinnast. Ringi saab kirjutada hulknurga või nurga.
Kesknurk on nurk, mille tipp langeb kokku ringi keskpunktiga ja mille küljed lõikavad ringi kahes punktis. Kaart, mida nurk oma lõikepunktidega piirab, nimetatakse kaareks, millel antud nurk toetub.
Vaatame näidet nr 1.
Pildil on nurk AOB keskne, kuna nurga tipp ja ringi keskpunkt on üks punkt O. Toetub kaarele AB, mis ei sisalda punkti C.
Kuidas erineb sisse kirjutatud nurk kesknurgast?
Kuid lisaks kesknurkadele on olemas ka sissekirjutatud nurgad. Mis on nende erinevus? Nii nagu kesknurk, toetub ka ringi sisse kirjutatud nurk teatud kaarele. Kuid selle tipp ei lange kokku ringi keskpunktiga, vaid asub sellel.
Võtame järgmise näite.
Nurka ACB nimetatakse nurgaks, mis on kirjutatud ringi, mille keskpunkt on punktis O. Punkt C kuulub ringile, see tähendab, et see asub sellel. Nurk toetub kaarele AB.
Geomeetriaprobleemidega edukaks toimetulekuks ei piisa sissekirjutatud ja kesknurkade eristamise oskusest. Reeglina on nende lahendamiseks vaja täpselt teada, kuidas leida ringi kesknurka ja osata arvutada selle väärtust kraadides.
Seega on kesknurk võrdne kaare kraadiga, millele see toetub.
Pildil toetub nurk AOB kaarele AB, mis on võrdne 66°. See tähendab, et nurk AOB on samuti 66°.
Seega on võrdsete kaartega ümbritsetud kesknurgad võrdsed.
Joonisel on kaar DC võrdne kaarega AB. See tähendab, et nurk AOB võrdub nurgaga DOC.
Võib tunduda, et ringi sisse kirjutatud nurk on võrdne kesknurgaga, mis toetub samale kaarele. See on aga tõsine viga. Tegelikult näete isegi lihtsalt joonist vaadates ja neid nurki üksteisega võrreldes, et nende kraadimõõtudel on erinevad väärtused. Mis on siis ringi sisse kirjutatud nurk?
Sissekirjutatud nurga kraadimõõt on võrdne poole kaarega, millel see toetub, või poole kesknurgaga, kui need toetuvad samale kaarele.
Vaatame näidet. Nurk ASV toetub kaarele, mis on võrdne 66°.
See tähendab, et nurk ACB = 66°: 2 = 33°
Vaatleme selle teoreemi mõningaid tagajärgi.
- Sissekirjutatud nurgad, kui need põhinevad samal kaarel, kõõlul või võrdsetel kaartel, on võrdsed.
- Kui sissekirjutatud nurgad toetuvad ühele kõõlule, kuid nende tipud asuvad selle vastaskülgedel, on selliste nurkade astmemõõtude summa 180°, kuna sel juhul toetuvad mõlemad nurgad kaaredele, mille kraadimõõtude summa on 360° ( kogu ring) , 360°: 2 = 180°
- Kui sisse kirjutatud nurk põhineb antud ringi läbimõõdul, on selle kraadimõõt 90°, kuna läbimõõt moodustab kaare, mis võrdub 180°, 180°: 2 = 90°
- Kui ringi keskne ja sisse kirjutatud nurk toetuvad samale kaarele või kõõlule, siis on sisse kirjutatud nurk võrdne poolega kesksest.
Kust selle teemaga seotud probleeme leida? Nende tüübid ja lahendused
Kuna ring ja selle omadused on geomeetria, eriti planimeetria, üks olulisemaid sektsioone, on ringi sissekirjutatud ja kesknurka teema, mida koolikursuses laialdaselt ja üksikasjalikult uuritakse. Nende omadustele pühendatud probleeme leitakse põhiriigieksamil (OGE) ja ühtsel riigieksamil (USE). Reeglina tuleb nende probleemide lahendamiseks leida ringil olevad nurgad kraadides.
Nurgad ühe kaare alusel
Seda tüüpi ülesanne on võib-olla üks lihtsamaid, kuna selle lahendamiseks on vaja teada ainult kahte lihtsat omadust: kui mõlemad nurgad on sisse kirjutatud ja põhinevad samal kõõlul, on need võrdsed, kui üks neist on keskne, siis vastav sisse kirjutatud nurk on võrdne poolega sellest. Nende lahendamisel tuleb aga olla äärmiselt ettevaatlik: mõnikord on seda omadust raske märgata ja õpilased jõuavad nii lihtsate ülesannete lahendamisel ummikusse. Vaatame näidet.
Ülesanne nr 1
Antud ringjoone keskpunkt on punktis O. Nurk AOB on 54°. Leidke nurga ASV kraadimõõt.
See ülesanne lahendatakse ühe toiminguga. Ainus, mida peate sellele kiiresti vastuse leidma, on märgata, et kaar, millel mõlemad nurgad toetuvad, on ühine. Olles seda näinud, saate rakendada juba tuttavat vara. Nurk ACB on võrdne poolega nurgast AOB. Tähendab,
1) AOB = 54°: 2 = 27°.
Vastus: 54°.
Nurgad, mida piiravad sama ringi erinevad kaared
Mõnikord ei näita probleemtingimused otseselt kaare suurust, millel soovitud nurk toetub. Selle arvutamiseks peate analüüsima nende nurkade suurust ja võrdlema neid ringi teadaolevate omadustega.
Probleem 2
Ringjoonel, mille keskpunkt on punktis O, on nurk AOC 120° ja nurk AOB 30°. Leia SINU nurk.
Alustuseks tasub öelda, et seda ülesannet on võimalik lahendada võrdhaarsete kolmnurkade omaduste abil, kuid selleks on vaja rohkem matemaatilisi tehteid. Seetõttu esitame siin lahenduse analüüsi, kasutades ringi kesk- ja sissekirjutatud nurkade omadusi.
Seega toetub nurk AOS kaarele AC ja on keskne, mis tähendab, et kaar AC on võrdne nurgaga AOS.
Samamoodi toetub nurk AOB kaarele AB.
Teades seda ja kogu ringi astmemõõtu (360°), saate hõlpsasti leida kaare suuruse BC.
BC = 360° - AC - AB
eKr = 360° - 120° - 30° = 210°
Nurga CAB tipp, punkt A, asub ringjoonel. See tähendab, et nurk CAB on sisse kirjutatud nurk ja võrdub poolega kaarest NE.
Nurk CAB = 210°: 2 = 110°
Vastus: 110°
Kaarte seostel põhinevad ülesanded
Mõned ülesanded ei sisalda üldse andmeid nurga väärtuste kohta, seega tuleb neid otsida ainult ringi teadaolevate teoreemide ja omaduste põhjal.
Probleem 1
Leidke ringjoonele kantud nurk, mis katab antud ringjoone raadiusega võrdse kõõlu.
Kui tõmbate mõtteliselt jooned, mis ühendavad lõigu otsad ringi keskpunktiga, saate kolmnurga. Olles seda uurinud, näete, et need sirged on ringi raadiused, mis tähendab, et kolmnurga kõik küljed on võrdsed. On teada, et võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on 60°. See tähendab, et kolmnurga tippu sisaldav kaar AB on võrdne 60°. Siit leiame kaare AB, millel soovitud nurk toetub.
AB = 360° - 60° = 300°
Nurk ABC = 300°: 2 = 150°
Vastus: 150°
Probleem 2
Ringjoonel, mille keskpunkt on punktis O, on kaared vahekorras 3:7. Leia väikseim sisse kirjutatud nurk.
Lahenduseks määrame ühe osa X-ks, siis üks kaar võrdub 3X ja teine on vastavalt 7X. Teades, et ringi astmemõõt on 360°, loome võrrandi.
3X + 7X = 360°
Vastavalt tingimusele peate leidma väiksema nurga. Ilmselgelt, kui nurga suurus on otseselt võrdeline kaarega, millel see toetub, vastab soovitud (väiksem) nurk kaarele, mis on võrdne 3X.
See tähendab, et väiksem nurk on (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°
Vastus: 54°
Ringjoonel, mille keskpunkt on punktis O, on nurk AOB 60° ja väiksema kaare pikkus on 50. Arvutage suurema kaare pikkus.
Suurema kaare pikkuse arvutamiseks tuleb luua proportsioon – kuidas suhestub väiksem kaar suuremaga. Selleks arvutame mõlema kaare suuruse kraadides. Väiksem kaar on võrdne sellele toetuva nurgaga. Selle kraadimõõt on 60°. Suurkaare suurus on võrdne ringjoone kraadimõõte (see võrdub 360°, olenemata muudest andmetest) ja väikekaare vahega.
Peamine kaar on 360° - 60° = 300°.
Kuna 300°: 60° = 5, on suurem kaar 5 korda suurem kui väiksem.
Suur kaar = 50 * 5 = 250
Nii et loomulikult on sarnaste probleemide lahendamiseks ka teisi lähenemisviise, kuid kõik need põhinevad mingil moel kesk- ja sissekirjutatud nurkade, kolmnurkade ja ringide omadustel. Nende edukaks lahendamiseks peate hoolikalt uurima joonist ja võrdlema seda probleemi andmetega, samuti suutma oma teoreetilisi teadmisi praktikas rakendada.
Sissekirjutatud ja kesknurga mõiste
Tutvustame esmalt kesknurga mõistet.
Märkus 1
Pange tähele, et kesknurga kraadimõõt on võrdne selle kaare kraadiga, millel see toetub.
Tutvustame nüüd sisse kirjutatud nurga mõistet.
2. definitsioon
Nurka, mille tipp asub ringjoonel ja mille küljed lõikuvad sama ringjoonega, nimetatakse sissekirjutatud nurgaks (joonis 2).
Joonis 2. Sissekirjutatud nurk
Sissekirjutatud nurga teoreem
1. teoreem
Sissekirjutatud nurga kraadimõõt on võrdne poole kaare kraadist, millel see toetub.
Tõestus.
Olgu meile antud ring, mille keskpunkt on punktis $O$. Tähistame sissekirjutatud nurka $ACB$ (joonis 2). Võimalikud on kolm järgmist juhtumit:
- Kiir $CO$ langeb kokku nurga mis tahes küljega. Olgu selleks külg $CB$ (joonis 3).
Joonis 3.
Sel juhul on kaar $AB$ väiksem kui $(180)^(()^\circ )$, seega on kesknurk $AOB$ võrdne kaarega $AB$. Kuna $AO=OC=r$, siis kolmnurk $AOC$ on võrdhaarne. See tähendab, et baasnurgad $CAO$ ja $ACO$ on üksteisega võrdsed. Kolmnurga välisnurga teoreemi kohaselt on meil:
- Kiir $CO$ jagab sisenurga kaheks nurgaks. Las see lõikub ringiga punktis $D$ (joonis 4).
Joonis 4.
Saame
- Kiir $CO$ ei jaga sisenurka kaheks nurgaks ega kattu ühegi selle küljega (joonis 5).
Joonis 5.
Vaatleme nurki $ACD$ ja $DCB$ eraldi. Vastavalt punktis 1 tõestatule saame
Saame
Teoreem on tõestatud.
Anname tagajärjed sellest teoreemist.
Järeldus 1: Sissekirjutatud nurgad, mis toetuvad samale kaarele, on üksteisega võrdsed.
Järeldus 2: Sissekirjutatud nurk, mis katab läbimõõdu, on täisnurk.
See on kahe moodustatud nurk akordid, mis pärineb ringi ühest punktist. Väidetavalt on sisse kirjutatud nurk puhkab selle külgede vahele suletud kaarel.
Sissekirjutatud nurk võrdne poolega kaarest, millel see toetub.
Teisisõnu, sisse kirjutatud nurk sisaldab nii palju nurgakraade, minuteid ja sekundeid kui kaare kraadid, minutid ja sekundid sisalduvad pooles kaares, millel see toetub. Selle põhjendamiseks analüüsime kolme juhtumit:
Esimene juhtum:
Keskus O asub küljel sisse kirjutatud nurk ABC. Joonistades raadiuse AO, saame ΔABO, selles OA = OB (raadiustena) ja vastavalt ∠ABO = ∠BAO. Seoses sellega kolmnurk, nurk AOC - väline. Ja see tähendab, et see on võrdne nurkade ABO ja BAO summaga või võrdne topeltnurgaga ABO. Seega on ∠ABO võrdne poolega kesknurk AOC. Kuid seda nurka mõõdetakse kaarega AC. See tähendab, et sisse kirjutatud nurka ABC mõõdetakse poole kaare võrra AC.
Teine juhtum:
Keskus O asub külgede vahel sisse kirjutatud nurk ABC. Olles tõmmanud läbimõõdu BD, jagame nurga ABC kaheks nurgaks, millest esimesel juhul on üks mõõdetud poole võrra kaared AD ja teine pool kaare CD-st. Ja vastavalt sellele mõõdetakse nurk ABC (AD+DC) /2, st. 1/2 AC.
Kolmas juhtum:
Keskus O asub väljaspool sisse kirjutatud nurk ABC. Joonistades läbimõõdu BD, saame:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Kuid nurki ABD ja CBD mõõdetakse eelnevalt põhjendatud poole põhjal kaar AD ja CD. Ja kuna ∠ABC mõõdetakse (AD-CD)/2, st pool kaarest AC.
Järeldus 1. Kõik samal kaarel põhinevad on ühesugused, st üksteisega võrdsed. Kuna igaüks neist mõõdetakse poole võrra sama kaared .
Järeldus 2. Sissekirjutatud nurk läbimõõdu põhjal - täisnurk. Kuna iga sellist nurka mõõdetakse poolringiga ja see sisaldab vastavalt 90 °.
Esiteks mõistame ringi ja ringi erinevust. Selle erinevuse nägemiseks piisab, kui arvestada, millised on mõlemad arvud. Need on lõpmatu arv tasapinna punkte, mis asuvad ühest keskpunktist võrdsel kaugusel. Aga kui ring koosneb ka siseruumist, siis see ei kuulu ringi. Selgub, et ring on nii ringjoon, mis seda piirab (ring(r)) kui ka lugematu arv punkte, mis on ringi sees.
Mis tahes ringil asuva punkti L korral kehtib võrdus OL=R. (Lõigu OL pikkus võrdub ringi raadiusega).
Segment, mis ühendab kahte ringi punkti, on tema akord.
Otse ringi keskpunkti läbiv akord on läbimõõt see ring (D). Läbimõõtu saab arvutada valemiga: D=2R
Ümbermõõt arvutatakse valemiga: C=2\pi R
Ringi pindala: S=\pi R^(2)
Ringi kaar nimetatakse selle osaks, mis asub selle kahe punkti vahel. Need kaks punkti määravad kaks ringi kaare. Akordi CD-l on kaks kaaret: CMD ja CLD. Identsed akordid moodustavad võrdsed kaared.
Kesknurk Nurka, mis jääb kahe raadiuse vahele, nimetatakse.
Kaare pikkus võib leida järgmise valemi abil:
- Kasutades kraadimõõtu: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Radiaani mõõtmine: CD = \alpha R
Kõõluga risti asetsev läbimõõt jagab kõõlu ja sellega kokkutõmbunud kaared pooleks.
Kui ringjoone kõõlused AB ja CD lõikuvad punktis N, siis punktiga N eraldatud kõõlude lõikude korrutised on omavahel võrdsed.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Ringi puutuja
Ringi puutuja On tavaks nimetada sirget, millel on ringiga üks ühine punkt.
Kui sirgel on kaks ühist punkti, nimetatakse seda sekant.
Kui tõmbate puutujapunkti raadiuse, on see risti ringi puutujaga.
Joonistame sellest punktist oma ringile kaks puutujat. Selgub, et puutuja segmendid on üksteisega võrdsed ja ringi keskpunkt asub selles punktis tipuga nurga poolitajale.
AC = CB
Nüüd tõmbame oma punktist ringile puutuja ja sekanti. Saame, et puutuja lõigu pikkuse ruut on võrdne kogu sekantse segmendi ja selle välimise osa korrutisega.
AC^(2) = CD \cdot BC
Võime järeldada: esimese sekandi terve segmendi ja selle välisosa korrutis on võrdne teise sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutisega.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Nurgad ringis
Kesknurga ja kaare, millel see toetub, kraadid on võrdsed.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed sisaldavad kõõlu.
Saate seda arvutada, teades kaare suurust, kuna see on võrdne poolega sellest kaarest.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Põhineb läbimõõdul, sisse kirjutatud nurgal, täisnurgal.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Sissekirjutatud nurgad, mis katavad sama kaare, on identsed.
Ühele kõõlule toetuvad sisse kirjutatud nurgad on identsed või nende summa on 180^ (\circ) .
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Samal ringil on identse nurga ja etteantud alusega kolmnurkade tipud.
Nurk, mille tipp on ringi sees ja asub kahe kõõlu vahel, on identne poolega antud ja vertikaalnurgas sisalduvate ringikaarede nurkväärtuste summast.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Nurk, mille tipp asub väljaspool ringi ja asub kahe sekandi vahel, on identne poolega nurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste erinevusest.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1) (2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Sisse kirjutatud ring
Sisse kirjutatud ring on hulknurga külgede puutuja.
Punktis, kus hulknurga nurkade poolitajad ristuvad, asub selle keskpunkt.
Igale hulknurgale ei tohi ringjoont kirjutada.
Ringjoonega hulknurga pindala leitakse järgmise valemiga:
S = pr,
p on hulknurga poolperimeeter,
r on sisse kirjutatud ringi raadius.
Sellest järeldub, et sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne:
r = \frac(S)(p)
Vastaskülgede pikkuste summad on identsed, kui ringjoon on kantud kumerasse nelinurka. Ja vastupidi: ring sobib kumerasse nelinurka, kui vastaskülgede pikkuste summad on identsed.
AB + DC = AD + BC
Ringi on võimalik kirjutada ükskõik millisesse kolmnurka. Ainult üksainus. Punktis, kus joonise sisenurkade poolitajad ristuvad, asub selle sisse kirjutatud ringi keskpunkt.
Sisse kirjutatud ringi raadius arvutatakse järgmise valemi abil:
r = \frac(S)(p) ,
kus p = \frac(a + b + c)(2)
Ümberringi
Kui ringjoon läbib hulknurga iga tippu, siis tavaliselt nimetatakse sellist ringi kirjeldatud hulknurga kohta.
Selle joonise külgede risti poolitajate lõikepunktis on ümberringi keskpunkt.
Raadiuse saab leida, arvutades selle ringi raadiuseks, mis on ümbritsetud hulknurga mis tahes 3 tipuga määratletud kolmnurga ümber.
Siin on järgmine tingimus: ringjoont saab nelinurga ümber kirjeldada ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on võrdne 180^( \circ) .
\nurk A + \nurk C = \nurk B + \nurk D = 180^ (\circ)
Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Sellise ringi keskpunkt asub kohas, kus kolmnurga külgede risti poolitajad ristuvad.
Piiratud ringi raadiuse saab arvutada järgmiste valemite abil:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,
S on kolmnurga pindala.
Ptolemaiose teoreem
Lõpuks kaaluge Ptolemaiose teoreemi.
Ptolemaiose teoreem väidab, et diagonaalide korrutis on identne tsüklilise nelinurga vastaskülgede korrutise summaga.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)