Esimene tase

Koordinaadid ja vektorid. Põhjalik juhend (2019)

Selles artiklis hakkame arutama ühte "võlukeppi", mis võimaldab teil taandada paljud geomeetriaprobleemid lihtsaks aritmeetikaks. See "pulk" võib teie elu palju lihtsamaks muuta, eriti kui te ei tunne end ruumiliste kujundite, lõikude jms konstrueerimises kindel. Kõik see nõuab teatud kujutlusvõimet ja praktilisi oskusi. Meetod, mida me siin kaaluma hakkame, võimaldab teil peaaegu täielikult eemalduda igasugustest geomeetrilistest konstruktsioonidest ja arutlustest. Meetodit nimetatakse "koordinaatide meetod". Selles artiklis käsitleme järgmisi küsimusi:

1. Koordinaatide tasapind
2. Punktid ja vektorid tasapinnal
3. Vektori konstrueerimine kahest punktist
4. Vektori pikkus (kahe punkti vaheline kaugus).
5. Lõigu keskkoha koordinaadid
6. Vektorite punktkorrutis
7. Nurk kahe vektori vahel

Arvan, et olete juba arvanud, miks koordinaatmeetodit nii nimetatakse? See on õige, see sai selle nime, kuna see ei tööta mitte geomeetriliste objektidega, vaid nende numbriliste omadustega (koordinaatidega). Ja teisendus ise, mis võimaldab meil liikuda geomeetriast algebrasse, seisneb koordinaatide süsteemi sisseviimises. Kui esialgne kujund oli tasane, siis on koordinaadid kahemõõtmelised ja kui kujund on kolmemõõtmeline, siis on koordinaadid kolmemõõtmelised. Selles artiklis käsitleme ainult kahemõõtmelist juhtumit. Ja artikli põhieesmärk on õpetada teile, kuidas kasutada mõnda koordinaatmeetodi põhitehnikat (need osutuvad mõnikord kasulikuks ühtse riigieksami B osas planimeetria probleemide lahendamisel). Selle teema kaks järgmist osa on pühendatud probleemide C2 (stereomeetria probleem) lahendamise meetodite arutelule.

Kust oleks loogiline alustada arutelu koordinaatmeetodi üle? Ilmselt koordinaatsüsteemi mõistest. Pidage meeles, kui temaga esimest korda kohtusite. Mulle tundub, et 7. klassis, kui õppisid näiteks lineaarfunktsiooni olemasolust. Tuletan teile meelde, et ehitasite selle punkt-punktilt üles. Kas sa mäletad? Valisite suvalise arvu, asendasite selle valemiga ja arvutasite selle nii. Näiteks kui, siis, kui, siis jne. Mis sa lõpuks said? Ja saite punkte koordinaatidega: ja. Järgmiseks joonistasite "risti" (koordinaatsüsteem), valisite sellele skaala (mitu lahtrit teil ühikulise segmendina on) ja märkisite sellele saadud punktid, mille seejärel sirgjoonega ühendasite. joon on funktsiooni graafik.

Siin on mõned punktid, mida tuleks teile veidi üksikasjalikumalt selgitada:

1. Valite mugavuse huvides ühe segmendi, et kõik mahuks ilusti ja kompaktselt joonisele.

2. On aktsepteeritud, et telg läheb vasakult paremale ja telg läheb alt üles

3. Nad lõikuvad täisnurga all ja nende lõikepunkti nimetatakse alguspunktiks. Seda tähistab kiri.

4. Punkti koordinaatide kirjutamisel on näiteks vasakul sulgudes punkti koordinaat piki telge ja paremal pool piki telge. Eelkõige tähendab see lihtsalt seda, et hetkel

5. Koordinaatide telje mis tahes punkti määramiseks peate märkima selle koordinaadid (2 numbrit)

6. Iga teljel paikneva punkti puhul

7. Iga teljel paikneva punkti puhul

8. Telge nimetatakse x-teljeks

9. Telge nimetatakse y-teljeks

Nüüd astume järgmise sammu: märkige kaks punkti. Ühendame need kaks punkti segmendiga. Ja me paneme noole nii, nagu joonistaksime lõigu punktist punkti: see tähendab, et me muudame oma lõigu suunatud!

Pea meeles, kuidas nimetatakse teist suunalist segmenti? Täpselt nii, seda nimetatakse vektoriks!

Nii et kui ühendame punkti punktiga, ja algus on punkt A ja lõpp on punkt B, siis saame vektori. Sa tegid seda ehitust ka 8. klassis, mäletad?

Selgub, et vektoreid, nagu ka punkte, saab tähistada kahe numbriga: neid arve nimetatakse vektorkoordinaatideks. Küsimus: Kas teie arvates piisab, kui me teame vektori alguse ja lõpu koordinaate, et leida selle koordinaadid? Tuleb välja, et jah! Ja seda tehakse väga lihtsalt:

Seega, kuna vektoris on punkt algus ja punkt lõpp, on vektoril järgmised koordinaadid:

Näiteks kui, siis vektori koordinaadid

Nüüd teeme vastupidi, leiame vektori koordinaadid. Mida me selleks muutma peame? Jah, peate algust ja lõppu vahetama: nüüd on vektori algus punktis ja lõpp punktis. Seejärel:

Vaadake hoolikalt, mis vahe on vektorite ja? Nende ainus erinevus on koordinaatides olevad märgid. Nad on vastandid. See fakt on tavaliselt kirjutatud järgmiselt:

Mõnikord, kui pole konkreetselt öeldud, milline punkt on vektori algus ja milline lõpp, siis tähistatakse vektoreid mitte kahe suure, vaid ühe väikese tähega, näiteks: , jne.

Nüüd natuke harjutada ise ja leidke järgmiste vektorite koordinaadid:

Eksam:

Nüüd lahendage veidi keerulisem ülesanne:

Punktis algusega vektoril on ko-or-di-na-you. Leidke abs-cis-su punktid.

Kõik sama on üsna proosaline: Olgu punkti koordinaadid. Siis

Süsteemi koostasin lähtuvalt definitsioonist, mis on vektori koordinaadid. Siis on punktil koordinaadid. Oleme huvitatud abstsissist. Siis

Vastus:

Mida saab veel vektoritega teha? Jah, peaaegu kõik on sama, mis tavaliste numbritega (välja arvatud see, et te ei saa jagada, kuid saate korrutada kahel viisil, millest ühte käsitleme siin veidi hiljem)

1. Vektoreid saab üksteisele lisada
2. Vektoreid saab üksteisest lahutada
3. Vektoreid saab korrutada (või jagada) suvalise nullist erineva arvuga
4. Vektoreid saab üksteisega korrutada

Kõigil neil toimingutel on väga selge geomeetriline kujutis. Näiteks kolmnurga (või rööpküliku) reegel liitmiseks ja lahutamiseks:

Vektor venib, tõmbub kokku või muudab suunda, kui seda arvuga korrutada või jagada:

Siinkohal huvitab meid aga küsimus, mis juhtub koordinaatidega.

1. Kahe vektori liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) nende koordinaadid elemendi haaval. See on:

2. Vektori arvuga korrutamisel (jagamisel) korrutatakse (jagatakse) selle arvuga kõik selle koordinaadid:

Näiteks:

· Leia summa co-or-di-nat sajandist-ra.

Leiame esmalt iga vektori koordinaadid. Neil mõlemal on sama päritolu – lähtepunkt. Nende otsad on erinevad. Siis,. Nüüd arvutame vektori koordinaadid Siis on saadud vektori koordinaatide summa võrdne.

Vastus:

Nüüd lahendage järgmine probleem ise:

· Leia vektori koordinaatide summa

Kontrollime:

Vaatleme nüüd järgmist ülesannet: meil on koordinaattasandil kaks punkti. Kuidas nende vahelist kaugust leida? Olgu esimene punkt ja teine. Tähistagem nende vahelist kaugust. Selguse huvides teeme järgmise joonise:

Mis ma teinud olen? Esiteks ühendasin punktid ja ka punktist tõmbasin teljega paralleelse sirge ja punktist tõmbasin teljega paralleelse sirge. Kas need lõikuvad mingis punktis, moodustades tähelepanuväärse kuju? Mis on temas nii erilist? Jah, sina ja mina teame täisnurksest kolmnurgast peaaegu kõike. Noh, Pythagorase teoreem kindlasti. Vajalik segment on selle kolmnurga hüpotenuus ja segmendid on jalad. Mis on punkti koordinaadid? Jah, neid on pildilt lihtne leida: Kuna lõigud on paralleelsed telgedega ja vastavalt, on nende pikkused kergesti leitavad: kui tähistame lõikude pikkused vastavalt, siis

Nüüd kasutame Pythagorase teoreemi. Me teame jalgade pikkust, leiame hüpotenuusi:

Seega on kahe punkti vaheline kaugus koordinaatide ruudu erinevuste summa juur. Või - ​​kahe punkti vaheline kaugus on neid ühendava lõigu pikkus. On hästi näha, et punktide vaheline kaugus ei sõltu suunast. Seejärel:

Siit teeme kolm järeldust:

Harjutame veidi kahe punkti vahelise kauguse arvutamist:

Näiteks kui, siis kaugus ja vahel on võrdne

Või lähme teist teed: leiame vektori koordinaadid

Ja leidke vektori pikkus:

Nagu näete, on see sama asi!

Nüüd harjutage natuke ise:

Ülesanne: leidke näidatud punktide vaheline kaugus:

Kontrollime:

Siin on veel paar probleemi, mis kasutavad sama valemit, kuigi need kõlavad veidi erinevalt:

1. Leia silmalau pikkuse ruut.

2. Leia silmalau pikkuse ruut

Arvan, et saite nendega raskusteta hakkama? Kontrollime:

1. Ja see on tähelepanelikkuseks) Oleme vektorite koordinaadid juba varem leidnud: . Siis on vektoril koordinaadid. Selle pikkuse ruut on võrdne:

2. Leidke vektori koordinaadid

Siis on selle pikkuse ruut

Pole midagi keerulist, eks? Lihtne aritmeetika, ei midagi muud.

Järgmisi probleeme ei saa üheselt liigitada, need puudutavad pigem üldist eruditsiooni ja lihtsate piltide joonistamise oskust.

1. Leidke lõikest nurga siinus, mis ühendab punkti abstsissteljega.

Ja

Kuidas me siin edasi läheme? Peame leidma siinuse nurga ja telje vahel. Kust siinust otsida? See on õige, täisnurkses kolmnurgas. Mida me siis tegema peame? Ehitage see kolmnurk!

Kuna punkti koordinaadid on ja, siis on lõik võrdne ja lõiguga. Peame leidma nurga siinuse. Tuletan teile meelde, et siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe

Mis meil teha jääb? Leidke hüpotenuus. Seda saab teha kahel viisil: kasutades Pythagorase teoreemi (jalad on teada!) või kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit (tegelikult sama, mis esimene meetod!). Ma lähen teist teed:

Vastus:

Järgmine ülesanne tundub teile veelgi lihtsam. Ta on punkti koordinaatidel.

2. ülesanne. Alates punktist langetatakse per-pen-di-ku-lyar ab-cissi teljele. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Teeme joonise:

Perpendikulaari alus on punkt, kus see lõikub x-teljega (teljega), minu jaoks on see punkt. Joonisel on näha, et sellel on koordinaadid: . Oleme huvitatud abstsissist - see tähendab "x" komponendist. Ta on võrdne.

Vastus: .

3. ülesanne. Eelmise ülesande tingimustes leidke punktist koordinaatide telgede kauguste summa.

Ülesanne on üldiselt elementaarne, kui tead, milline on kaugus punktist telgedeni. Sa tead? Loodan, aga tuletan siiski meelde:

Niisiis, kas ma olen juba joonistanud oma ülaltoodud joonisel ühe sellise risti? Millisel teljel see on? Teljele. Ja mis selle pikkus siis on? Ta on võrdne. Nüüd joonistage ise teljega risti ja leidke selle pikkus. See saab olema võrdne, eks? Siis on nende summa võrdne.

Vastus: .

4. ülesanne.Ülesande 2 tingimustes leidke abstsisstelje suhtes punktiga sümmeetrilise punkti ordinaat.

Ma arvan, et teile on intuitiivselt selge, mis on sümmeetria? Paljudel objektidel on see olemas: palju hooneid, laudu, lennukeid, palju geomeetrilisi kujundeid: pall, silinder, ruut, romb jne. Jämedalt võib sümmeetriat mõista järgmiselt: kujund koosneb kahest (või enamast) identsest poolest. Seda sümmeetriat nimetatakse aksiaalseks sümmeetriaks. Mis on siis telg? Täpselt seda joont mööda saab figuuri suhteliselt võrdseteks pooleks lõigata (sellel pildil on sümmeetriatelg sirge):

Nüüd pöördume tagasi oma ülesande juurde. Teame, et otsime punkti, mis on telje suhtes sümmeetriline. Siis on see telg sümmeetriatelg. See tähendab, et peame märkima punkti nii, et telg lõikab segmendi kaheks võrdseks osaks. Proovige ise selline punkt ära märkida. Võrrelge nüüd minu lahendusega:

Kas see läks teil samamoodi? Hästi! Meid huvitab leitud punkti ordinaat. See on võrdne

Vastus:

Nüüd öelge mulle pärast mõnesekundilist mõtlemist, milline on punkti A suhtes sümmeetrilise punkti abstsiss ordinaadi suhtes? Mis on teie vastus? Õige vastus:.

Üldiselt võib reegli kirjutada järgmiselt:

Abstsisstelje suhtes punktiga sümmeetrilisel punktil on koordinaadid:

Ordinaattelje suhtes punktiga sümmeetrilisel punktil on koordinaadid:

No nüüd on täitsa hirmus ülesanne: otsib lähtepunkti suhtes sümmeetrilise punkti koordinaadid. Kõigepealt mõtle ise ja siis vaata minu joonistust!

Vastus:

Nüüd rööpküliku probleem:

Ülesanne 5: Punktid ilmuvad ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsige üles see punkt.

Saate selle probleemi lahendada kahel viisil: loogika ja koordinaatide meetod. Ma kasutan kõigepealt koordinaatide meetodit ja siis räägin teile, kuidas saate seda teisiti lahendada.

On täiesti selge, et punkti abstsiss on võrdne. (see asub punktist abstsissteljele tõmmatud ristil). Peame leidma ordinaat. Kasutame ära asjaolu, et meie joonis on rööpkülik, see tähendab seda. Leiame lõigu pikkuse kahe punkti vahelise kauguse valemi abil:

Langetame punkti, mis ühendab punkti teljega. Tähistan ristumispunkti tähega.

Segmendi pikkus on võrdne. (leidke probleem ise sealt, kus me seda punkti arutasime), siis leiame Pythagorase teoreemi abil segmendi pikkuse:

Lõigu pikkus langeb täpselt kokku selle ordinaadiga.

Vastus: .

Teine lahendus (ma annan lihtsalt pildi, mis seda illustreerib)

Lahenduse edenemine:

1. Käitumine

2. Leia punkti ja pikkuse koordinaadid

3. Tõesta seda.

Veel üks segmendi pikkuse probleem:

Punktid ilmuvad kolmnurga kohale. Leidke selle paralleelse keskjoone pikkus.

Kas mäletate, mis on kolmnurga keskjoon? Siis on see ülesanne teie jaoks elementaarne. Kui te ei mäleta, tuletan teile meelde: kolmnurga keskjoon on joon, mis ühendab vastaskülgede keskpunkte. See on alusega paralleelne ja võrdne poolega sellest.

Alus on segment. Selle pikkust pidime varem otsima, see on võrdne. Siis on keskmise joone pikkus poole suurem ja võrdne.

Vastus: .

Kommentaar: seda probleemi saab lahendada muul viisil, mille juurde pöördume veidi hiljem.

Seniks aga siin on teile mõned probleemid, harjutage nende kallal, need on väga lihtsad, kuid aitavad teil koordinaatide meetodit paremini kasutada!

1. Punktid on tra-pe-tsioonide tipud. Leidke selle keskjoone pikkus.

2. Punktid ja esinemised ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Otsige üles see punkt.

3. Leia pikkus lõikest, ühendades punkti ja

4. Leia koordinaattasandil värvilise kujundi taga olev ala.

5. Punkti läbib ring, mille keskpunkt on na-cha-le ko-or-di-nat. Otsige üles tema raadio.

6. Otsi-di-te ra-di-us ringist, kirjelda-san-noy umbes täisnurk-no-ka, millegi tippudel on kaas-või -di-na-sa oled nii-vastutav

Lahendused:

1. On teada, et trapetsi keskjoon on võrdne poolega selle aluste summast. Alus on võrdne ja alus. Siis

Vastus:

2. Lihtsaim viis selle probleemi lahendamiseks on märkida see (parallelogrammi reegel). Vektorite koordinaatide arvutamine pole keeruline: . Vektorite lisamisel liidetakse koordinaadid. Siis on koordinaadid. Punktil on ka need koordinaadid, kuna vektori alguspunkt on koordinaatidega punkt. Oleme huvitatud ordinaatidest. Ta on võrdne.

Vastus:

3. Toimime kohe kahe punkti vahelise kauguse valemi järgi:

Vastus:

4. Vaata pilti ja öelge, millise kahe kuju vahele on varjutatud ala “vajutud”? See asetseb kahe ruudu vahele. Seejärel võrdub soovitud kujundi pindala suure ruudu pindalaga, millest on lahutatud väikese ruudu pindala. Väikese ruudu külg on punkte ühendav segment ja selle pikkus on

Siis on väikese ruudu pindala

Teeme sama suure ruuduga: selle külg on punkte ühendav segment ja pikkus on

Siis on suure ruudu pindala

Leiame soovitud kujundi pindala järgmise valemi abil:

Vastus:

5. Kui ringi keskpunkt on alguspunkt ja see läbib punkti, siis on selle raadius täpselt võrdne lõigu pikkusega (tegege joonis ja saate aru, miks see on ilmne). Leiame selle segmendi pikkuse:

Vastus:

6. On teada, et ristküliku ümber piiratud ringi raadius on võrdne poolega selle diagonaalist. Leiame ükskõik millise kahe diagonaali pikkuse (ristkülikus on need ju võrdsed!)

Vastus:

No kas sa tulid kõigega toime? Ei olnud väga raske aru saada, eks? Siin on ainult üks reegel - suutma teha visuaalset pilti ja lihtsalt sellest kõik andmed “lugeda”.

Meil on jäänud väga vähe. Sõna otseses mõttes on veel kaks punkti, mida tahaksin arutada.

Proovime seda lihtsat probleemi lahendada. Olgu kaks punkti ja antakse. Leidke lõigu keskpunkti koordinaadid. Selle ülesande lahendus on järgmine: olgu punkt soovitud keskpunkt, siis on sellel koordinaadid:

See on: lõigu keskkoha koordinaadid = lõigu otste vastavate koordinaatide aritmeetiline keskmine.

See reegel on väga lihtne ega tekita õpilastele tavaliselt raskusi. Vaatame, millistes probleemides ja kuidas seda kasutatakse:

1. Otsi-di-te või-di-na-tu se-re-di-ny alates-lõigatud, ühenda-punkt ja

2. Punktid näivad olevat maailma tipud. Leia-di-te või-di-na-tu punkte per-re-se-che-niya tema dia-go-na-ley.

3. Otsi-di-te abs-cis-su ringi keskpunkt, kirjelda-san-noy ristkülikukujulise-no-ka kohta, millegi tippudel on co-or-di-na-you nii-vastutustundlikult-aga.

Lahendused:

1. Esimene probleem on lihtsalt klassikaline. Jätkame kohe segmendi keskkoha määramiseks. Sellel on koordinaadid. Ordinaat on võrdne.

Vastus:

2. On hästi näha, et see nelinurk on rööpkülik (isegi romb!). Saate seda ise tõestada, arvutades külgede pikkused ja võrreldes neid omavahel. Mida ma tean rööpkülikutest? Selle diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks! Jah! Mis on siis diagonaalide lõikepunkt? See on ükskõik millise diagonaali keskpunkt! Eelkõige valin diagonaali. Siis on punktil koordinaadid Punkti ordinaat on võrdne.

Vastus:

3. Millega ühtib ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt? See langeb kokku selle diagonaalide lõikepunktiga. Mida teate ristküliku diagonaalide kohta? Need on võrdsed ja lõikepunkt jagab need pooleks. Ülesanne taandati eelmisele. Võtame näiteks diagonaali. Siis, kui on ümbermõõdu keskpunkt, siis on keskpunkt. Otsin koordinaate: Abstsiss on võrdne.

Vastus:

Nüüd harjutage veidi omaette, ma annan lihtsalt vastused igale probleemile, et saaksite end proovile panna.

1. Otsi-di-te ra-di-us ringist, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka kohta, millegi tippudel on co-or-di -no misters

2. Otsi-di-te või-di-sellel ringi keskpunktil, kirjelda-san-noy kolmnurga-no-ka kohta, mille tippudel on koordinaadid

3. Missugune ra-di-u-sa peaks olema ring, mille keskpunkt on ühes punktis nii, et see puudutab ab-cissi telge?

4. Otsige üles need või-di-selles punktis, kus telje taas-se-ase-mine ja alates lõikest, ühendage-punkt ja

Vastused:

Kas kõik õnnestus? Ma väga loodan seda! Nüüd – viimane tõuge. Ole nüüd eriti ettevaatlik. Materjal, mida ma nüüd selgitan, ei ole otseselt seotud mitte ainult koordinaatmeetodi lihtsate ülesannetega osast B, vaid seda leidub ka kõikjal ülesandes C2.

Milliseid oma lubadusi ma pole veel täitnud? Kas mäletate, milliseid vektorite tehteid lubasin kasutusele võtta ja millised lõpuks kasutusele võtsin? Oled sa kindel, et ma pole midagi unustanud? Unustasin! Unustasin selgitada, mida tähendab vektorkorrutis.

Vektori korrutamiseks vektoriga on kaks võimalust. Sõltuvalt valitud meetodist saame erineva iseloomuga objekte:

Risttoode on tehtud üsna nutikalt. Kuidas seda teha ja miks seda vaja on, arutame järgmises artiklis. Ja selles keskendume skalaarkorrutisele.

Selle arvutamiseks on kaks võimalust:

Nagu arvasite, peaks tulemus olema sama! Nii et vaatame kõigepealt esimest meetodit:

Punkti toode koordinaatide kaudu

Leidke: - skalaarkorrutise üldtunnustatud tähistus

Arvutamise valem on järgmine:

See tähendab, et skalaarkorrutis = vektori koordinaatide korrutiste summa!

Näide:

Find-di-te

Lahendus:

Leiame iga vektori koordinaadid:

Arvutame skalaarkorrutise järgmise valemi abil:

Vastus:

Vaata, absoluutselt ei midagi keerulist!

Noh, proovige nüüd ise:

· Leia skalaarne pro-iz-ve-de-nie sajandite ja

Kas said hakkama? Äkki märkasite väikest saaki? Kontrollime:

Vektori koordinaadid, nagu eelmises ülesandes! Vastus:.

Lisaks koordinaadile on skalaarkorrutise arvutamiseks veel üks viis, nimelt vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse kaudu:

Tähistab nurka vektorite ja vahel.

See tähendab, et skalaarkorrutis on võrdne vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega.

Milleks meile seda teist valemit vaja, kui meil on esimene, mis on palju lihtsam, selles pole vähemalt koosinusi. Ja seda on vaja selleks, et esimesest ja teisest valemist saaksime teiega järeldada, kuidas vektorite vahelist nurka leida!

Olgu Siis jäta meelde vektori pikkuse valem!

Siis kui ma asendan need andmed skalaarkorrutise valemiga, saan:

Aga muul viisil:

Mida sina ja mina siis saime? Meil on nüüd valem, mis võimaldab meil arvutada kahe vektori vahelise nurga! Mõnikord on see lühiduse mõttes kirjutatud ka nii:

See tähendab, et vektorite vahelise nurga arvutamise algoritm on järgmine:

1. Arvutage skalaarkorrutis koordinaatide kaudu
2. Leidke vektorite pikkused ja korrutage need
3. Jagage punkti 1 tulemus punkti 2 tulemusega

Harjutame näidetega:

1. Leia silmalaugude vaheline nurk ja. Andke vastus keeles grad-du-sah.

2. Leia eelmise ülesande tingimustes koosinus vektorite vahel

Teeme nii: aitan teil esimese probleemi lahendada ja proovige teist ise teha! Nõus? Alustame siis!

1. Need vektorid on meie vanad sõbrad. Oleme nende skalaarkorrutise juba välja arvutanud ja see oli võrdne. Nende koordinaadid on: , . Seejärel leiame nende pikkused:

Seejärel otsime vektorite vahel koosinust:

Mis on nurga koosinus? See on nurk.

Vastus:

Noh, nüüd lahendage teine ​​probleem ise ja seejärel võrrelge! Ma annan väga lühikese lahenduse:

2. omab koordinaate, omab koordinaate.

Laskma olema nurk vektorite ja, siis

Vastus:

Tuleb märkida, et eksamitöö B osas esinevad ülesanded otse vektoritel ja koordinaatide meetodil on üsna haruldased. Valdav enamus C2 ülesandeid on aga kergesti lahendatavad koordinaatsüsteemi kasutuselevõtuga. Nii et võite pidada seda artiklit vundamendiks, mille põhjal teeme üsna nutikaid konstruktsioone, mida vajame keerukate probleemide lahendamiseks.

KOORDINAADID JA VEKTORID. KESKMINE TASE

Teie ja mina jätkame koordinaatide meetodi uurimist. Viimases osas tuletasime mitmed olulised valemid, mis võimaldavad teil:

1. Otsige vektori koordinaadid
2. Leidke vektori pikkus (alternatiiv: kaugus kahe punkti vahel)
3. Vektorite liitmine ja lahutamine. Korrutage need reaalarvuga
4. Leidke lõigu keskpunkt
5. Arvutage vektorite punktkorrutis
6. Leidke vektorite vaheline nurk

Loomulikult ei mahu kogu koordinaatide meetod nende 6 punkti sisse. See on aluseks sellisele teadusele nagu analüütiline geomeetria, millega saad tuttavaks ülikoolis. Ma tahan lihtsalt luua vundamendi, mis võimaldab teil probleeme ühes riigis lahendada. eksam. Oleme tegelenud B-osa ülesannetega. Nüüd on aeg liikuda täiesti uuele tasemele! See artikkel on pühendatud meetodile nende C2 probleemide lahendamiseks, mille puhul oleks mõistlik üle minna koordinaatmeetodile. Selle mõistlikkuse määrab see, mida ülesandest nõutakse ja milline arv on antud. Seega kasutaksin koordinaatide meetodit, kui küsimused on järgmised:

1. Leia kahe tasapinna vaheline nurk
2. Leidke sirge ja tasapinna vaheline nurk
3. Leidke kahe sirge vaheline nurk
4. Leia kaugus punktist tasapinnani
5. Leidke kaugus punktist jooneni
6. Otsige sirge ja tasapinna kaugust
7. Leidke kahe joone vaheline kaugus

Kui ülesandepüstituses antud kujund on pöörlemiskeha (kuul, silinder, koonus...)

Koordinaatide meetodi jaoks sobivad arvud on:

1. Ristkülikukujuline rööptahukas
2. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne, kuusnurkne)

Ka minu kogemusest jaoks on kohatu kasutada koordinaatmeetodit:

1. Läbilõikepindade leidmine
2. Kehade mahtude arvutamine

Siiski tuleb kohe märkida, et koordinaatmeetodi kolm "ebasoodsat" olukorda on praktikas üsna haruldased. Enamiku ülesannete puhul võib see saada teie päästjaks, eriti kui te ei ole väga hea kolmemõõtmeliste konstruktsioonide (mis võib mõnikord olla üsna keerukas) alal.

Mis on kõik ülaltoodud arvud? Need ei ole enam lamedad, nagu näiteks ruut, kolmnurk, ring, vaid mahukad! Sellest lähtuvalt peame arvestama mitte kahemõõtmelise, vaid kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemiga. Seda on üsna lihtne ehitada: lisaks abstsiss- ja ordinaatteljele tutvustame veel üht telge, rakendustelge. Joonisel on skemaatiliselt näidatud nende suhteline asukoht:

Kõik need on üksteisega risti ja lõikuvad ühes punktis, mida me nimetame koordinaatide alguspunktiks. Nagu varemgi, tähistame abstsisstellge, ordinaattelge - ja kasutusele võetud rakendustelge - .

Kui varem iseloomustas tasapinna iga punkti kaks numbrit – abstsiss ja ordinaat, siis iga ruumipunkti kirjeldatakse juba kolme numbriga – abstsiss, ordinaat ja aplikaat. Näiteks:

Sellest lähtuvalt on punkti abstsiss võrdne, ordinaat on Ja rakendus on .

Mõnikord nimetatakse punkti abstsissit ka punkti projektsiooniks abstsissteljele, ordinaati - punkti projektsiooniks ordinaatteljele ja aplikatsiooniks - punkti projektsiooniks rakendusteljele. Seega, kui punkt on antud, siis punkt koordinaatidega:

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

nimetatakse punkti projektsiooniks tasapinnale

Tekib loomulik küsimus: kas kõik kahemõõtmelise juhtumi jaoks tuletatud valemid kehtivad ruumis? Vastus on jah, need on õiglased ja sama välimusega. Väikese detaili jaoks. Ma arvan, et olete juba arvanud, milline see on. Kõikides valemites peame lisama veel ühe termini, mis vastutab rakendustelje eest. Nimelt.

1. Kui antakse kaks punkti: , siis:

• Vektori koordinaadid:
• Kahe punkti vaheline kaugus (või vektori pikkus)
• Lõigu keskpunktil on koordinaadid

2. Kui on antud kaks vektorit: ja, siis:

• Nende skalaarkorrutis on võrdne:
• Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne:

Kuid ruum pole nii lihtne. Nagu aru saate, toob ühe koordinaadi lisamine selles ruumis "elavate" kujundite spektri märkimisväärse mitmekesisuse. Ja edasiseks jutustamiseks pean tutvustama jämedalt öeldes sirgjoone "üldistamist". See "üldistus" on lennuk. Mida sa lennukist tead? Proovige vastata küsimusele, mis on lennuk? Seda on väga raske öelda. Kuid me kõik kujutame intuitiivselt ette, kuidas see välja näeb:

Jämedalt öeldes on see mingi lõputu kosmosesse kinni jäänud “leht”. "Lõpmatust" tuleks mõista nii, et tasapind ulatub kõigis suundades, see tähendab, et selle pindala on võrdne lõpmatusega. See “käed külge” seletus ei anna aga lennuki ehitusest vähimatki aimu. Ja just tema hakkab meie vastu huvi tundma.

Meenutagem üht geomeetria põhiaksioomi:

• sirgjoon läbib tasapinna kahte erinevat punkti ja ainult ühte:

Või selle analoog kosmoses:

Muidugi mäletate, kuidas tuletada sirge võrrandit kahest antud punktist; see pole sugugi keeruline: kui esimesel punktil on koordinaadid: ja teisel, siis on sirge võrrand järgmine:

Sa võtsid selle 7. klassis. Ruumis näeb sirge võrrand välja selline: andke meile kaks koordinaatidega punkti: , siis on neid läbiva sirge võrrand järgmine:

Näiteks joon läbib punkte:

Kuidas seda tuleks mõista? Seda tuleks mõista järgmiselt: punkt asub sirgel, kui selle koordinaadid vastavad järgmisele süsteemile:

Meid ei huvita väga sirge võrrand, kuid me peame tähelepanu pöörama väga olulisele sirge suunavektori mõistele. - mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud sirgel või sellega paralleelselt.

Näiteks mõlemad vektorid on sirge suunavektorid. Laskma on punkt, mis asub sirgel ja olgu selle suunavektor. Seejärel saab sirge võrrandi kirjutada järgmisel kujul:

Taaskord ei huvita mind sirgjoone võrrand, kuid mul on tõesti vaja meeles pidada, mis on suunavektor! Veelkord: see on MIS tahes nullist erinev vektor, mis asub sirgel või sellega paralleelselt.

Tõmba tagasi tasandi võrrand, mis põhineb kolmel antud punktil ei ole enam nii tühine ja gümnaasiumikursustel seda teemat tavaliselt ei käsitleta. Aga asjata! See tehnika on ülioluline, kui kasutame keeruliste probleemide lahendamiseks koordinaatide meetodit. Samas eeldan, et oled innukas midagi uut õppima? Pealegi saad ülikoolis oma õpetajale muljet avaldada, kui selgub, et oskad juba kasutada tehnikat, mida tavaliselt analüütilise geomeetria kursusel õpitakse. Nii et alustame.

Tasapinna võrrand ei erine liiga palju tasapinna sirgjoone võrrandist, nimelt on sellel järgmine vorm:

mõned arvud (kõik ei võrdu nulliga), vaid muutujad, näiteks: jne. Nagu näha, ei erine tasapinna võrrand kuigivõrd sirgjoone võrrandist (lineaarfunktsioon). Kuid mäletate, mida teie ja mina vaidlesime? Ütlesime, et kui meil on kolm punkti, mis ei asu samal sirgel, siis saab nende põhjal üheselt rekonstrueerida tasandi võrrandi. Aga kuidas? Püüan seda teile selgitada.

Kuna tasapinna võrrand on:

Ja punktid kuuluvad sellele tasapinnale, siis iga punkti koordinaatide asendamisel tasapinna võrrandisse peaksime saama õige identiteedi:

Seega on vaja lahendada kolm võrrandit tundmatutega! Dilemma! Siiski võite seda alati eeldada (selleks peate jagama). Seega saame kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Kuid me ei lahenda sellist süsteemi, vaid kirjutame välja sellest tuleneva salapärase väljendi:

Kolme etteantud punkti läbiva tasapinna võrrand

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiivi)) \right| = 0\]

Lõpeta! Mis see on? Väga ebatavaline moodul! Objektil, mida näete enda ees, pole aga mooduliga midagi pistmist. Seda objekti nimetatakse kolmandat järku determinandiks. Nüüdsest, kui tegelete tasapinnal koordinaatide meetodiga, kohtate neid samu determinante väga sageli. Mis on kolmandat järku determinant? Kummalisel kombel on see vaid number. Jääb üle mõista, millist konkreetset arvu me determinandiga võrdleme.

Kirjutame esmalt kolmandat järku determinandi üldisemal kujul:

Kus on mõned numbrid. Veelgi enam, esimese indeksi all peame silmas rea numbrit ja indeksi all veeru numbrit. Näiteks tähendab see, et see number on teise rea ja kolmanda veeru ristumiskohas. Esitame järgmise küsimuse: kuidas me sellist determinanti täpselt arvutame? See tähendab, millist konkreetset numbrit me sellega võrdleme? Kolmandat järku determinandi jaoks on heuristiline (visuaalne) kolmnurga reegel, see näeb välja järgmine:

1. Põhidiagonaali elementide korrutis (ülemisest vasakpoolsest nurgast paremasse alanurka) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis põhidiagonaaliga "risti" teise kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" kolmnurgaga. põhidiagonaal
2. Sekundaarse diagonaali elementide korrutis (paremast ülanurgast vasakusse alumisse) esimese kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" sekundaarse diagonaaliga, teise kolmnurga moodustavate elementide korrutis "risti" kolmnurgaga. sekundaarne diagonaal
3. Siis on determinant võrdne etapil ja saadud väärtuste vahega

Kui kirjutame kõik selle numbritega üles, saame järgmise avaldise:

Siiski ei pea te sellisel kujul arvutamismeetodit meeles pidama, piisab, kui hoida oma peas kolmnurgad ja mõte sellest, mis milleks kokku annab ja millest siis lahutatakse).

Illustreerime kolmnurga meetodit näitega:

1. Arvutage determinant:

Mõelgem välja, mida lisame ja mida lahutame:

Plussiga kaasnevad tingimused:

See on peamine diagonaal: elementide korrutis on võrdne

Esimene kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on võrdne

Teine kolmnurk, "põhidiagonaaliga risti: elementide korrutis on võrdne

Liitke kolm numbrit:

Tingimused, millel on miinus

See on külgdiagonaal: elementide korrutis on võrdne

Esimene kolmnurk, mis on risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on võrdne

Teine kolmnurk, "risti sekundaarse diagonaaliga: elementide korrutis on võrdne

Liitke kolm numbrit:

Jääb üle vaid lahutada plusssõnade summa miinusliikmete summast:

Seega

Nagu näete, pole kolmandat järku determinantide arvutamisel midagi keerulist ega üleloomulikku. Oluline on lihtsalt meeles pidada kolmnurki ja mitte teha aritmeetilisi vigu. Nüüd proovige see ise arvutada:

Kontrollime:

1. Esimene kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
2. Teine kolmnurk, mis on risti põhidiagonaaliga:
3. Tingimuste summa plussiga:
4. Esimene kolmnurk, mis on risti sekundaarse diagonaaliga:
5. Teine kolmnurk, mis on risti külgdiagonaaliga:
6. Tingimuste summa miinusega:
7. Plussiga terminite summa miinus miinusega terminite summa:

Siin on veel paar määrajat, arvutage ise nende väärtused ja võrrelge neid vastustega:

Vastused:

Noh, kas kõik langes kokku? Suurepärane, siis võite edasi minna! Kui on raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: Internetis on palju programme determinandi võrgus arvutamiseks. Kõik, mida vajate, on välja mõelda oma determinant, see ise arvutada ja seejärel võrrelda seda programmi arvutatuga. Ja nii edasi, kuni tulemused hakkavad kokku langema. Olen kindel, et selle hetke saabumine ei võta kaua aega!

Nüüd pöördume tagasi determinandi juurde, mille kirjutasin välja, kui rääkisin kolme antud punkti läbiva tasandi võrrandist:

Kõik, mida vajate, on selle väärtus otse arvutada (kasutades kolmnurga meetodit) ja seada tulemuseks null. Loomulikult, kuna need on muutujad, saate neist sõltuva avaldise. Just see avaldis on võrrand tasapinnaga, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu samal sirgel!

Illustreerime seda lihtsa näitega:

1. Koostage punkte läbiva tasandi võrrand

Koostame nende kolme punkti determinandi:

Lihtsustame:

Nüüd arvutame selle otse kolmnurga reegli abil:

\[(\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiivi)) \ parem| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Seega on punkte läbiva tasandi võrrand:

Proovige nüüd üks probleem ise lahendada ja siis arutame seda:

2. Leidke punkte läbiva tasandi võrrand

Noh, arutame nüüd lahendust:

Loome determinandi:

Ja arvutage selle väärtus:

Siis on tasapinna võrrandil järgmine kuju:

Või vähendades võrra, saame:

Nüüd kaks enesekontrolli ülesannet:

1. Koostage kolme punkti läbiva tasandi võrrand:

Vastused:

Kas kõik langes kokku? Jällegi, kui on teatud raskusi, siis minu nõuanne on järgmine: võtke peast kolm punkti (suure tõenäosusega ei asu need samal sirgel), ehitage nende põhjal tasapind. Ja siis kontrollite ennast võrgus. Näiteks saidil:

Kuid determinantide abil konstrueerime mitte ainult tasandi võrrandi. Pidage meeles, ma ütlesin teile, et vektorite jaoks pole määratletud ainult punktkorrutis. Samuti on olemas vektorprodukt, samuti segaprodukt. Ja kui kahe vektori skalaarkorrutis on arv, siis on kahe vektori vektorkorrutis vektor ja see vektor on risti antud vektoritega:

Veelgi enam, selle moodul on võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga ja. Seda vektorit vajame punkti ja sirge kauguse arvutamiseks. Kuidas saab arvutada vektorite vektorkorrutist ja kui on antud nende koordinaadid? Kolmandat järku määraja tuleb meile taas appi. Enne vektorkorrutise arvutamise algoritmi juurde asumist pean aga tegema väikese kõrvalekaldumise.

See kõrvalekalle puudutab baasvektoreid.

Need on skemaatiliselt näidatud joonisel:

Miks sa arvad, et neid nimetatakse põhilisteks? Fakt on see, et:

Või pildil:

Selle valemi kehtivus on ilmne, sest:

Vektorkunstiteos

Nüüd võin alustada risttoote tutvustamist:

Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mis arvutatakse järgmise reegli järgi:

Toome nüüd mõned näited ristkorrutise arvutamise kohta:

Näide 1: leidke vektorite ristkorrutis:

Lahendus: ma koostan determinandi:

Ja ma arvutan selle välja:

Nüüd, kui kirjutan baasvektorite kaudu, pöördun tagasi tavapärase vektorite tähistuse juurde:

Seega:

Nüüd proovige seda.

Valmis? Kontrollime:

Ja traditsiooniliselt kaks kontrolli ülesanded:

1. Leidke järgmiste vektorite vektorkorrutis:
2. Leidke järgmiste vektorite vektorkorrutis:

Vastused:

Kolme vektori segakorrutis

Viimane konstruktsioon, mida ma vajan, on kolme vektori segakorrutis. See, nagu skalaar, on arv. Selle arvutamiseks on kaks võimalust. - determinandi kaudu, - segatoote kaudu.

Nimelt olgu meile antud kolm vektorit:

Seejärel saab kolme vektori segakorrutise, mida tähistatakse, arvutada järgmiselt:

1. - see tähendab, et segakorrutis on vektori skalaarkorrutis ja kahe teise vektori vektorkorrutis

Näiteks kolme vektori segakorrutis on:

Proovige see vektorkorrutise abil ise välja arvutada ja veenduge, et tulemused ühtivad!

Ja jälle kaks näidet sõltumatute lahenduste kohta:

Vastused:

Koordinaadisüsteemi valimine

Noh, nüüd on meil kõik vajalikud teadmised keeruliste stereomeetrilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Enne otse näidete ja nende lahendamise algoritmide juurde asumist usun aga, et on kasulik peatuda järgmisel küsimusel: kuidas täpselt vali konkreetse joonise jaoks koordinaatsüsteem. Lõppude lõpuks on koordinaatsüsteemi suhtelise asukoha ja ruumis oleva figuuri valik see, mis lõpuks määrab selle, kui tülikaks arvutused kujunevad.

Lubage mul teile meelde tuletada, et selles jaotises käsitleme järgmisi arve:

1. Ristkülikukujuline rööptahukas
2. Sirge prisma (kolmnurkne, kuusnurkne...)
3. Püramiid (kolmnurkne, nelinurkne)
4. Tetraeeder (sama mis kolmnurkne püramiid)

Ristkülikukujulise rööptahuka või kuubi jaoks soovitan teile järgmist konstruktsiooni:

See tähendab, et panen figuuri "nurka". Kuubik ja rööptahukas on väga head kujundid. Nende jaoks saate alati hõlpsasti leida selle tippude koordinaadid. Näiteks kui (nagu on näidatud joonisel)

siis on tippude koordinaadid järgmised:

Muidugi ei pea te seda meeles pidama, kuid on soovitatav meeles pidada, kuidas kuubi või ristkülikukujulist rööptahukat kõige paremini paigutada.

Sirge prisma

Prisma on kahjulikum näitaja. Seda saab ruumis paigutada erineval viisil. Mulle tundub aga kõige vastuvõetavam järgmine variant:

Kolmnurkne prisma:

See tähendab, et asetame kolmnurga ühe külgedest täielikult teljele ja üks tippudest langeb kokku koordinaatide alguspunktiga.

Kuusnurkne prisma:

See tähendab, et üks tippudest langeb kokku lähtepunktiga ja üks külgedest asub teljel.

Neli- ja kuusnurkne püramiid:

Olukord sarnaneb kuubikuga: joondame aluse kaks külge koordinaatide telgedega ja ühe tipu joondame koordinaatide alguspunktiga. Ainus väike raskus on punkti koordinaatide arvutamine.

Kuusnurkse püramiidi puhul – sama, mis kuusnurkse prisma puhul. Peamine ülesanne on jällegi tipu koordinaatide leidmine.

Tetraeeder (kolmnurkne püramiid)

Olukord on väga sarnane sellele, mille andsin kolmnurkse prisma jaoks: üks tipp langeb kokku lähtepunktiga, üks külg asub koordinaatteljel.

Noh, nüüd oleme teiega lõpuks lähedal probleemide lahendamisele. Sellest, mida ma artikli alguses ütlesin, võite teha järgmise järelduse: enamik C2 probleeme on jagatud kahte kategooriasse: nurgaprobleemid ja kaugusprobleemid. Kõigepealt vaatleme nurga leidmise probleeme. Need jagunevad omakorda järgmistesse kategooriatesse (keerukuse kasvades):

Probleemid nurkade leidmisel

1. Kahe sirge vahelise nurga leidmine
2. Kahe tasandi vahelise nurga leidmine

Vaatame neid probleeme järjestikku: alustame kahe sirge vahelise nurga leidmisega. Noh, pidage meeles, kas teie ja mina pole varem sarnaseid näiteid lahendanud? Kas mäletate, meil oli juba midagi sarnast... Otsisime kahe vektori vahelist nurka. Tuletan teile meelde, kui on antud kaks vektorit: ja, siis nendevaheline nurk leitakse seosest:

Nüüd on meie eesmärk leida kahe sirge vaheline nurk. Vaatame "tasapinnalist pilti":

Mitu nurka saime kahe sirge lõikumisel? Vaid paar asja. Tõsi, ainult kaks neist ei ole võrdsed, samas kui teised on nende suhtes vertikaalsed (ja seega kattuvad nendega). Millise nurga all peaksime arvestama kahe sirge vahelist nurka: või? Siin kehtib reegel: kahe sirge vaheline nurk ei ole alati suurem kui kraadi. See tähendab, et kahe nurga alt valime alati väikseima kraadiga nurga. See tähendab, et sellel pildil on kahe sirge vaheline nurk võrdne. Et mitte iga kord vaeva näha kahest nurgast väikseima leidmisega, soovitasid kavalad matemaatikud kasutada moodulit. Seega määratakse kahe sirge vaheline nurk valemiga:

Teil kui tähelepanelikul lugejal oleks pidanud tekkima küsimus: kust me täpselt saame need arvud, mida on vaja nurga koosinuse arvutamiseks? Vastus: võtame need joonte suunavektoritest! Seega on kahe sirge vahelise nurga leidmise algoritm järgmine:

1. Rakendame valemit 1.

Või täpsemalt:

1. Otsime esimese sirge suunavektori koordinaate
2. Otsime teise sirge suuna vektori koordinaate
3. Arvutame nende skalaarkorrutise mooduli
4. Otsime esimese vektori pikkust
5. Otsime teise vektori pikkust
6. Korrutage punkti 4 tulemused punkti 5 tulemustega
7. Jagame punkti 3 tulemuse punkti 6 tulemusega. Saame sirgetevahelise nurga koosinuse
8. Kui see tulemus võimaldab meil nurka täpselt arvutada, otsime seda
9. Muidu kirjutame läbi kaarekoosinuse

Noh, nüüd on aeg liikuda probleemide juurde: ma demonstreerin üksikasjalikult kahe esimese lahenduse lahendust, ühe teise lahenduse esitan lühidalt ja kahele viimasele ülesandele annan ainult vastused; peate nende jaoks kõik arvutused ise tegema.

Ülesanded:

1. Paremal tet-ra-ed-re leidke nurk tet-ra-ed-ra kõrguse ja keskmise külje vahel.

2. Parempoolses kuuenurgas pi-ra-mi-de on sada os-no-va-niyat võrdsed ja külgservad on võrdsed, leidke sirgete vaheline nurk ja.

3. Parempoolse neljasöe pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on üksteisega võrdsed. Leidke sirgjoonte vaheline nurk ja kui lõikest - olete antud pi-ra-mi-dyga, on punkt se-re-di- selle bo-co- teise ribi peal

4. Kuubi serval on punkt nii, et Leia sirgete vaheline nurk ja

5. Punkt - kuubi servadel Leia sirgete vaheline nurk ja.

Pole juhus, et seadsin ülesanded sellisesse järjekorda. Kui te pole veel koordinaatide meetodil navigeerima hakanud, analüüsin ma ise kõige "probleemsemad" kujundid ja jätan teie enda hooleks kõige lihtsama kuubiku! Järk-järgult peate õppima kõigi figuuridega töötama, suurendan ülesannete keerukust teemalt teemale.

Alustame probleemide lahendamist:

1. Joonistage tetraeeder, asetage see koordinaatsüsteemi, nagu ma varem soovitasin. Kuna tetraeeder on korrapärane, on kõik selle tahud (kaasa arvatud põhi) korrapärased kolmnurgad. Kuna meile ei ole antud külje pikkust, siis võin seda võrdseks võtta. Arvan, et saate aru, et nurk ei sõltu tegelikult sellest, kui palju meie tetraeeder on "venitatud"?. Samuti joonistan tetraeedris kõrguse ja mediaani. Tee peal joonistan selle aluse (see tuleb ka meile kasuks).

Pean leidma nurga ja vahel. Mida me teame? Me teame ainult punkti koordinaate. See tähendab, et peame leidma punktide koordinaadid. Nüüd mõtleme: punkt on kolmnurga kõrguste (või poolitajate või mediaanide) lõikepunkt. Ja punkt on tõstatatud punkt. Punkt on segmendi keskpunkt. Siis peame lõpuks leidma: punktide koordinaadid: .

Alustame kõige lihtsamast: punkti koordinaatidest. Vaata joonist: On selge, et punkti rakendus on võrdne nulliga (punkt asub tasapinnal). Selle ordinaat on võrdne (kuna see on mediaan). Selle abstsissi on raskem leida. Seda on aga lihtne teha Pythagorase teoreemi alusel: Vaatleme kolmnurka. Selle hüpotenuus on võrdne ja üks jalg on võrdne Siis:

Lõpuks on meil: .

Nüüd leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle rakendus on jällegi võrdne nulliga ja selle ordinaat on sama, mis punktil, see tähendab. Leiame selle abstsissi. Seda tehakse üsna triviaalselt, kui seda mäletate võrdkülgse kolmnurga kõrgused lõikepunkti järgi jagatakse proportsionaalselt, lugedes ülevalt. Kuna: , siis punkti nõutav abstsiss, mis on võrdne lõigu pikkusega, on võrdne: . Seega on punkti koordinaadid:

Leiame punkti koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Ja rakendus on võrdne segmendi pikkusega. - see on kolmnurga üks jalgadest. Kolmnurga hüpotenuus on segment - jalg. Seda otsitakse põhjustel, mille olen rasvases kirjas esile tõstnud:

Punkt on segmendi keskpunkt. Seejärel peame meeles pidama lõigu keskpunkti koordinaatide valemit:

See on kõik, nüüd saame otsida suunavektorite koordinaate:

Noh, kõik on valmis: asendame kõik andmed valemiga:

Seega

Vastus:

Te ei tohiks hirmutada selliste "hirmutavate" vastuste pärast: C2 ülesannete puhul on see tavaline praktika. Pigem oleksin üllatunud selle osa "ilusa" vastuse üle. Samuti, nagu märkasite, ei kasutanud ma praktiliselt midagi muud peale Pythagorase teoreemi ja võrdkülgse kolmnurga kõrguste omaduse. See tähendab, et stereomeetrilise probleemi lahendamiseks kasutasin stereomeetriat minimaalselt. Selle kasu on osaliselt "kustutatud" üsna tülikate arvutustega. Kuid need on üsna algoritmilised!

2. Kujutame korrapärase kuusnurkse püramiidi koos koordinaatsüsteemi ja selle alusega:

Peame leidma nurga joonte ja vahel. Seega taandub meie ülesanne punktide koordinaatide leidmisele: . Viimase kolme koordinaadid leiame väikese joonise abil ja tipu koordinaadi leiame punkti koordinaadi kaudu. Tööd on palju, kuid me peame alustama!

a) Koordinaat: on selge, et selle rakendus ja ordinaat on võrdsed nulliga. Leiame abstsissi. Selleks kaaluge täisnurkset kolmnurka. Kahjuks tunneme selles ainult hüpotenuusi, mis on võrdne. Püüame leida jala (sest on selge, et jala kahekordne pikkus annab meile punkti abstsissi). Kuidas me saame seda otsida? Meenutagem, milline kujund on meil püramiidi põhjas? See on tavaline kuusnurk. Mida see tähendab? See tähendab, et kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Peame leidma ühe sellise nurga. Ideid? Ideid on palju, kuid valem on olemas:

Tavalise n-nurga nurkade summa on .

Seega on korrapärase kuusnurga nurkade summa võrdne kraadidega. Siis on kõik nurgad võrdsed:

Vaatame uuesti pilti. On selge, et segment on nurga poolitaja. Siis on nurk võrdne kraadidega. Seejärel:

Kust siis.

Seega on koordinaadid

b) Nüüd saame hõlpsalt leida punkti koordinaadi: .

c) Leidke punkti koordinaadid. Kuna selle abstsiss langeb kokku segmendi pikkusega, on see võrdne. Ka ordinaadi leidmine pole kuigi keeruline: kui ühendame punktid ja nimetame sirge lõikepunktiks näiteks . (tee ise lihtne ehitus). Siis Seega on punkti B ordinaat võrdne lõikude pikkuste summaga. Vaatame uuesti kolmnurka. Siis

Siis alates Siis punktil on koordinaadid

d) Nüüd leiame punkti koordinaadid. Mõelge ristkülikule ja tõestage, et punkti koordinaadid on järgmised:

e) Jääb üle leida tipu koordinaadid. On selge, et selle abstsiss ja ordinaat langevad kokku punkti abstsissi ja ordinaatiga. Leiame rakenduse. Sellest ajast. Mõelge täisnurksele kolmnurgale. Vastavalt probleemi tingimustele külgserv. See on minu kolmnurga hüpotenuus. Siis on püramiidi kõrgus jalg.

Siis on punktil koordinaadid:

Noh, see on kõik, mul on kõigi mind huvitavate punktide koordinaadid. Otsin sirgete suunavektorite koordinaate:

Otsime nende vektorite vahelist nurka:

Vastus:

Jällegi, selle ülesande lahendamisel ei kasutanud ma muid keerukaid tehnikaid peale tavalise n-nurga nurkade summa valemi, samuti täisnurkse kolmnurga koosinuse ja siinuse definitsiooni.

3. Kuna meile pole jällegi antud püramiidi servade pikkusi, siis võtan need võrdseks ühega. Seega, kuna KÕIK servad, mitte ainult külgmised, on üksteisega võrdsed, siis on püramiidi ja minu põhjas ruut ja külgmised tahud on korrapärased kolmnurgad. Joonistame sellise püramiidi ja selle aluse tasapinnale, märkides kõik ülesande tekstis toodud andmed:

Otsime nurka ja vahel. Punktide koordinaatide otsimisel teen väga lühikesed arvutused. Peate need "dešifreerima":

b) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid:

c) Leian kolmnurga lõigu pikkuse Pythagorase teoreemi abil. Ma leian selle Pythagorase teoreemi abil kolmnurgas.

Koordinaadid:

d) - segmendi keskosa. Selle koordinaadid on

e) Vektori koordinaadid

f) Vektori koordinaadid

g) nurga otsimine:

Kuubik on kõige lihtsam kuju. Olen kindel, et saad selle ise välja. Vastused ülesannetele 4 ja 5 on järgmised:

Nurga leidmine sirge ja tasapinna vahel

Noh, lihtsate mõistatuste aeg on möödas! Nüüd on näited veelgi keerulisemad. Sirge ja tasapinna vahelise nurga leidmiseks toimime järgmiselt.

1. Kolme punkti abil koostame tasandi võrrandi
   ,
   kasutades kolmandat järku determinanti.
2. Kahe punkti abil otsime sirgjoone suunavektori koordinaate:
3. Sirge ja tasapinna vahelise nurga arvutamiseks kasutame valemit:

Nagu näete, on see valem väga sarnane sellele, mida kasutasime kahe sirge vahelise nurga leidmiseks. Paremal pool on struktuur lihtsalt sama ja vasakult otsime nüüd siinust, mitte koosinust nagu varem. Noh, üks vastik tegevus lisandus - lennuki võrrandi otsimine.

Ärgem viivitagem lahendusnäited:

1. Pea-aga-va-ni-em otseprisma-me oleme võrdne-vaestega kolmnurk. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel

2. Leidke ristkülikukujulises par-ral-le-le-pi-pe-de läänest nurk sirge ja tasandi vahel

3. Parempoolses kuuenurgalises prismas on kõik servad võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel.

4. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de-s koos tuntud ribide os-no-va-ni-em Leidke nurk, ob-ra-zo-van -põhjaga tasane ja sirge, mis läbib halli. ribid ja

5. Parempoolse nelinurkse pi-ra-mi-dy tipuga pi-ra-mi-dy kõigi servade pikkused on omavahel võrdsed. Leidke nurk sirge ja tasapinna vahel, kui punkt asub pi-ra-mi-dy serva küljel.

Jällegi lahendan kaks esimest ülesannet üksikasjalikult, kolmanda lühidalt ja kaks viimast jätan teie enda lahendada. Pealegi olete juba pidanud tegelema kolmnurksete ja nelinurksete püramiididega, kuid mitte veel prismadega.

Lahendused:

1. Kujutagem prismat ja ka selle alust. Kombineerime selle koordinaatsüsteemiga ja märgime üles kõik ülesande avalduses toodud andmed:

Vabandan mõningase proportsioonide mittejärgimise pärast, kuid probleemi lahendamiseks pole see tegelikult nii oluline. Lennuk on lihtsalt minu prisma "tagasein". Piisab, kui lihtsalt arvata, et sellise tasandi võrrandil on vorm:

Seda saab aga otse näidata:

Valime sellel tasapinnal suvalised kolm punkti: näiteks .

Koostame tasandi võrrandi:

Harjutus teile: arvutage see determinant ise. Kas õnnestus? Siis näeb tasapinna võrrand välja järgmine:

Või lihtsalt

Seega

Näite lahendamiseks pean leidma sirge suuna vektori koordinaadid. Kuna punkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, siis kattuvad vektori koordinaadid lihtsalt punkti koordinaatidega, selleks leiame esmalt punkti koordinaadid.

Selleks kaaluge kolmnurka. Joonistame tipust kõrguse (tuntud ka kui mediaan ja poolitaja). Kuna punkti ordinaat on võrdne. Selle punkti abstsissi leidmiseks peame arvutama segmendi pikkuse. Pythagorase teoreemi kohaselt on meil:

Siis on punktil koordinaadid:

Punkt on "tõstetud" punkt:

Siis on vektori koordinaadid:

Vastus:

Nagu näete, pole selliste probleemide lahendamisel midagi põhimõtteliselt rasket. Tegelikult lihtsustab protsessi veidi rohkem sellise kujundi nagu prisma "sirgesus". Liigume nüüd järgmise näite juurde:

2. Joonistage rööptahukas, tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon ning eraldi ka selle alumine alus:

Esiteks leiame tasapinna võrrandi: selles asuva kolme punkti koordinaadid:

(esimesed kaks koordinaati saadakse ilmselgelt ja viimase koordinaadi leiate lihtsalt punktist pildilt). Seejärel koostame tasandi võrrandi:

Arvutame:

Otsime juhtvektori koordinaate: on selge, et selle koordinaadid langevad kokku punkti koordinaatidega, kas pole? Kuidas leida koordinaate? Need on punkti koordinaadid, mis on piki rakendustelge ühe võrra tõstetud! . Seejärel otsime soovitud nurka:

Vastus:

3. Joonistage korrapärane kuusnurkne püramiid ning seejärel tõmmake sellesse tasapind ja sirgjoon.

Siin on isegi problemaatiline tasapinna joonistamine, rääkimata selle probleemi lahendamisest, kuid koordinaatmeetodil pole vahet! Selle mitmekülgsus on selle peamine eelis!

Tasapind läbib kolme punkti: . Otsime nende koordinaate:

1) . Uurige ise kahe viimase punkti koordinaadid. Selleks peate lahendama kuusnurkse püramiidi probleemi!

2) Koostame tasandi võrrandi:

Otsime vektori koordinaate: . (Vaata kolmnurkse püramiidi probleemi uuesti!)

3) nurga otsimine:

Vastus:

Nagu näha, pole neis ülesannetes midagi üleloomulikult rasket. Sa pead lihtsalt olema juurtega väga ettevaatlik. Annan vastused ainult kahele viimasele probleemile:

Nagu näete, on ülesannete lahendamise tehnika igal pool sama: peamine ülesanne on leida tippude koordinaadid ja asendada need teatud valemitega. Nurkade arvutamisel peame siiski arvestama veel ühe probleemide klassiga, nimelt:

Nurkade arvutamine kahe tasandi vahel

Lahendusalgoritm on järgmine:

1. Kolme punkti abil otsime esimese tasandi võrrandit:
2. Ülejäänud kolme punkti abil otsime teise tasandi võrrandit:
3. Rakendame valemit:

Nagu näha, on valem väga sarnane kahele eelnevale, mille abil otsisime sirge ning sirge ja tasandi vahelisi nurki. Nii et teil pole seda raske meeles pidada. Liigume edasi ülesannete analüüsi juurde:

1. Parempoolse kolmnurkse prisma aluse külg on võrdne ja külgpinna dia-go-nal on võrdne. Leia nurk tasapinna ja prisma telje tasandi vahel.

2. Parempoolses nelja nurgas pi-ra-mi-de, mille kõik servad on võrdsed, leidke tasandi ja tasapinnalise luu vahelise nurga siinus, mis läbib punkti per-pen-di-ku- vale-aga otsekohene.

3. Tavalises nelja nurgaga prismas on aluse küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Äärel on punkt minult-che-on nii et. Leia tasapindade vaheline nurk ja

4. Parempoolses nelinurkses prismas on aluse küljed võrdsed ja külgservad võrdsed. Punkti serval on punkt nii, et Leia tasapindade vaheline nurk ja.

5. Leia kuubis tasapindade ja vahelise nurga kaas-sinus

Probleemi lahendused:

1. Joonistan korrapärase (aluses võrdkülgse kolmnurga) kolmnurkse prisma ja märgin sellele tasapinnad, mis esinevad ülesande püstituses:

Peame leidma kahe tasandi võrrandid: Aluse võrrand on triviaalne: vastava determinandi saab koostada kolme punkti abil, aga mina koostan võrrandi kohe:

Nüüd leiame võrrandi Punktil on koordinaadid Punkt – kuna see on kolmnurga mediaan ja kõrgus merepinnast, on see kolmnurga Pythagorase teoreemi abil hõlpsasti leitav. Siis on punktil koordinaadid: Leiame punkti rakendus. Selleks vaatleme täisnurkset kolmnurka

Siis saame järgmised koordinaadid: Koostame tasandi võrrandi.

Arvutame tasapindade vahelise nurga:

Vastus:

2. Joonise tegemine:

Kõige keerulisem on aru saada, milline salapärane tasapind see on, mis läbib punkti risti. Noh, peamine on see, mis see on? Peaasi on tähelepanelikkus! Tegelikult on joon risti. Sirge on ka risti. Siis on neid kahte sirget läbiv tasapind joonega risti ja, muide, läbib punkti. See tasapind läbib ka püramiidi tippu. Siis soovitud lennuk - Ja lennuk on meile juba antud. Otsime punktide koordinaate.

Punkti kaudu leiame punkti koordinaadi. Väikese pildi põhjal on lihtne järeldada, et punkti koordinaadid saavad olema järgmised: Mida jääb nüüd püramiidi tipu koordinaatide leidmiseks leida? Samuti peate arvutama selle kõrguse. Seda tehakse sama Pythagorase teoreemi abil: esmalt tõestage see (triviaalselt väikestest kolmnurkadest, mis moodustavad aluses ruudu). Kuna tingimusel on meil:

Nüüd on kõik valmis: tipu koordinaadid:

Koostame tasandi võrrandi:

Olete juba determinantide arvutamise ekspert. Ilma raskusteta saate:

Või teisiti (kui me korrutame mõlemad pooled kahe juurega)

Nüüd leiame tasapinna võrrandi:

(Sa ei ole unustanud, kuidas me saame tasapinna võrrandi, eks? Kui te ei saa aru, kust see miinus tuli, siis minge tagasi tasapinna võrrandi definitsiooni juurde! See lihtsalt selgus alati enne seda minu lennuk kuulus koordinaatide alguspunkti!)

Arvutame determinandi:

(Võite märgata, et tasandi võrrand langeb kokku punkte läbiva sirge võrrandiga ja! Mõelge, miks!)

Nüüd arvutame nurga:

Peame leidma siinuse:

Vastus:

3. Keeruline küsimus: mis on teie arvates ristkülikukujuline prisma? See on lihtsalt rööptahukas, mida te hästi teate! Teeme kohe joonise! Te ei pea isegi alust eraldi kujutama, sellest on siin vähe kasu:

Tasand, nagu me varem märkisime, on kirjutatud võrrandi kujul:

Nüüd loome lennuki

Loome kohe tasapinna võrrandi:

Otsin nurka:

Nüüd vastused kahele viimasele probleemile:

Noh, nüüd on aeg teha väike paus, sest sina ja mina oleme suurepärased ja oleme teinud suurepärast tööd!

Koordinaadid ja vektorid. Edasijõudnute tase

Selles artiklis käsitleme teiega veel ühte ülesannete klassi, mida saab lahendada koordinaatmeetodi abil: kauguse arvutamise ülesanded. Nimelt käsitleme järgmisi juhtumeid:

1. Lõikuvate sirgete vahelise kauguse arvutamine.

Olen need ülesanded järjestanud järjest raskemaks muutumise järjekorras. Selgub, et seda on kõige lihtsam leida kaugus punktist tasapinnani, ja kõige raskem on leida ristumisjoonte vaheline kaugus. Kuigi loomulikult pole miski võimatu! Ärgem viivitagem ja jätkakem kohe esimese probleemide klassiga:

Punkti ja tasapinna kauguse arvutamine

Mida me vajame selle probleemi lahendamiseks?

1. Punkti koordinaadid

Nii et niipea, kui saame kõik vajalikud andmed, rakendame valemit:

Peaksite juba teadma, kuidas konstrueerime tasandi võrrandi eelmiste ülesannete põhjal, mida viimases osas käsitlesin. Asume otse ülesannete juurde. Skeem on järgmine: 1, 2 - aitan teil otsustada ja üksikasjalikult, 3, 4 - ainult vastus, lahendate ise ja võrdlete. Alustame!

Ülesanded:

1. Antud kuubik. Kuubi serva pikkus on võrdne. Leidke se-re-di-na kaugus lõikest tasapinnani

2. Arvestades õige nelja söe pi-ra-mi-jah, on külje külg võrdne alusega. Leia kaugus punktist tasapinnani, kus - se-re-di-servadel.

3. Parempoolses kolmnurkses pi-ra-mi-de koos os-no-va-ni-emiga on külgserv võrdne ja os-no-vania saja-ro- on võrdne. Leidke kaugus tipust tasapinnani.

4. Parempoolses kuusnurkses prismas on kõik servad võrdsed. Leia kaugus punktist tasapinnani.

Lahendused:

1. Joonistage üksikute servadega kuup, konstrueerige lõik ja tasapind, tähistage lõigu keskosa tähega

.

Kõigepealt alustame lihtsast: leidke punkti koordinaadid. Sellest ajast peale (pidage meeles lõigu keskkoha koordinaate!)

Nüüd koostame tasandi võrrandi kolme punkti abil

\[\left| (\begin(massiivi)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiivi)) \right| = 0\]

Nüüd saan hakata kaugust leidma:

2. Alustame uuesti joonisega, millele märgime kõik andmed!

Püramiidi puhul oleks kasulik selle alus eraldi joonistada.

Isegi see, et ma joonistan nagu käpaga kana, ei takista meil seda probleemi kerge vaevaga lahendamast!

Nüüd on lihtne leida punkti koordinaate

Kuna punkti koordinaadid, siis

2. Kuna punkti a koordinaadid on lõigu keskpunkt, siis

Probleemideta leiame tasapinnal veel kahe punkti koordinaadid Loome tasapinna võrrandi ja lihtsustame seda:

\[\left| (\left| (\begin(massiiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiivi)) \right|) \right| = 0\]

Kuna punktil on koordinaadid: , arvutame kauguse:

Vastus (väga harv!):

Noh, kas sa said aru? Mulle tundub, et siin on kõik täpselt sama tehniline kui näidetes, mida vaatlesime eelmises osas. Seega olen kindel, et kui olete selle materjali omandanud, ei ole teil raske ülejäänud kahte probleemi lahendada. Ma annan teile lihtsalt vastused:

Sirge ja tasapinna kauguse arvutamine

Tegelikult pole siin midagi uut. Kuidas saab sirgjoont ja tasapinda üksteise suhtes asetada? Neil on ainult üks võimalus: ristuda või sirgjoon on tasapinnaga paralleelne. Kui suur on teie arvates kaugus sirgest tasapinnani, millega see sirge lõikub? Mulle tundub, et siin on selge, et selline vahemaa on võrdne nulliga. Pole huvitav juhtum.

Teine juhtum on keerulisem: siin on vahemaa juba nullist erinev. Kuna joon on aga tasapinnaga paralleelne, on sirge iga punkt sellest tasapinnast võrdsel kaugusel:

Seega:

See tähendab, et minu ülesanne on taandatud eelmisele: otsime sirge mis tahes punkti koordinaate, otsime tasandi võrrandit ja arvutame kauguse punktist tasapinnani. Tegelikult on sellised ülesanded ühtsel riigieksamil äärmiselt haruldased. Mul õnnestus leida ainult üks probleem ja selles olid andmed sellised, et koordinaatide meetod ei olnud selle jaoks eriti rakendatav!

Liigume nüüd teise, palju olulisema probleemide klassi juurde:

Punkti kauguse arvutamine sirgest

Mida me vajame?

1. Punkti koordinaadid, millest kaugust otsime:

2. Suvalise joonel asuva punkti koordinaadid

3. Sirge suunavektori koordinaadid

Millist valemit me kasutame?

Mida selle murdosa nimetaja tähendab, peaks teile selge olema: see on sirge suunava vektori pikkus. See on väga keeruline lugeja! Avaldis tähendab vektorite vektorkorrutise moodulit (pikkust) ja Kuidas arvutada vektorkorrutist, uurisime töö eelmises osas. Värskendage oma teadmisi, meil läheb neid nüüd väga vaja!

Seega on probleemide lahendamise algoritm järgmine:

1. Otsime selle punkti koordinaate, millest kaugust otsime:

2. Otsime joone mis tahes punkti koordinaate, milleni kaugust otsime:

3. Konstrueeri vektor

4. Koostage sirge suunav vektor

5. Arvutage vektorkorrutis

6. Otsime saadud vektori pikkust:

7. Arvutage kaugus:

Meil on palju tööd teha ja näited saavad olema üsna keerulised! Nii et nüüd koondage kogu oma tähelepanu!

1. Antud täisnurkne kolmnurkne pi-ra-mi-da tipuga. Pi-ra-mi-dy alusel saja-ro- on võrdne, teie olete võrdsed. Leidke kaugus hallist servast sirgjooneni, kus punktid ja on hallid servad ning veterinaarmeditsiinist.

2. Ribide ja sirge nurga-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da pikkused on vastavalt võrdsed ja leidke kaugus tipust sirgjooneni.

3. Parempoolses kuusnurkses prismas on kõik servad võrdsed, leidke kaugus punktist sirgjooneni

Lahendused:

1. Teeme korraliku joonise, millele märgime kõik andmed:

Meil on palju tööd teha! Esiteks tahaksin sõnadega kirjeldada, mida me otsime ja millises järjekorras:

1. Punktide koordinaadid ja

2. Punktide koordinaadid

3. Punktide koordinaadid ja

4. Vektorite koordinaadid ja

5. Nende ristprodukt

6. Vektori pikkus

7. Vektorkorrutise pikkus

8. Kaugus alates kuni

Noh, meil on palju tööd ees! Lähme selle juurde, varrukad üles kääritud!

1. Püramiidi kõrguse koordinaatide leidmiseks peame teadma punkti koordinaate. Selle rakendus on null ja ordinaat on võrdne selle abstsissga on võrdne lõigu pikkusega. Kuna on punkti kõrgus võrdkülgne kolmnurk, jagatakse see suhtega, lugedes tipust, siit. Lõpuks saime koordinaadid:

Punktide koordinaadid

2. - segmendi keskosa

3. - segmendi keskosa

Lõigu keskpunkt

4.Koordinaadid

Vektori koordinaadid

5. Arvutage vektorkorrutis:

6. Vektori pikkus: lihtsaim viis asendamiseks on see, et segment on kolmnurga keskjoon, mis tähendab, et see on võrdne poole alusega. Niisiis.

7. Arvutage vektorkorrutise pikkus:

8. Lõpuks leiame kauguse:

Uh, see on kõik! Ma ütlen teile ausalt: selle probleemi lahendamine traditsiooniliste meetoditega (ehituse kaudu) oleks palju kiirem. Kuid siin taandasin kõik valmis algoritmile! Arvan, et lahendusalgoritm on teile selge? Seetõttu palun teil ülejäänud kaks probleemi ise lahendada. Võrdleme vastuseid?

Kordan veel kord: neid probleeme on lihtsam (kiirem) lahendada konstruktsioonide kaudu, mitte kasutada koordinaatmeetodit. Näitasin seda lahendusmeetodit ainult selleks, et näidata teile universaalset meetodit, mis võimaldab teil "mitte midagi ehitada".

Lõpuks kaaluge viimast probleemide klassi:

Lõikuvate sirgete vahelise kauguse arvutamine

Siin on ülesannete lahendamise algoritm sarnane eelmisele. Mis meil on:

3. Mis tahes vektor, mis ühendab esimese ja teise rea punkte:

Kuidas leiame joonte vahelise kauguse?

Valem on järgmine:

Lugeja on segakorrutise moodul (tutvustasime seda eelmises osas) ja nimetaja on nagu eelmises valemis (sirgete suunavektorite vektorkorrutise moodul, vahemaa, mille vahel me otsivad).

Tuletan teile seda meelde

Siis distantsi valemi saab ümber kirjutada kujul:

See on determinant jagatud determinandiga! Kuigi ausalt öeldes pole mul siin nalja tegemiseks aega! See valem on tegelikult väga tülikas ja viib üsna keerukate arvutusteni. Kui ma oleksin teie, kasutaksin seda ainult viimase abinõuna!

Proovime ülaltoodud meetodi abil mõnda probleemi lahendada:

1. Täisnurkses kolmnurkprismas, mille kõik servad on võrdsed, leidke sirgete vaheline kaugus ja.

2. Arvestades täisnurkse kolmnurkse prisma, on kõik aluse servad võrdsed keha ribi läbiva lõiguga ja se-re-di-well ribid on ruut. Leidke sirgete vaheline kaugus ja

Mina otsustan esimese ja selle põhjal otsustate sina teise!

1. Joonistan prisma ja märgin sirgeid ja

Punkti C koordinaadid: siis

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Punktide koordinaadid

Vektori koordinaadid

Vektori koordinaadid

\[\left((B,\overright nool (A(A_1)) \overright nool (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(massiivi)(*(20)(l))(\begin(massiivi)(*(20)(c))0&1&0\end(massiivi))\\(\begin(massiivi)(*(20) (c))0&0&1\end(massiiv))\\(\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiivi))\end(massiivi)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Arvutame vektorkorrutise vektorite ja vahel

\[\üleparemnool (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(massiivi)(l)\begin(massiivi)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiivi)\\\begin(massiivi )(*(20)(c))0&0&1\end(massiivi)\\\begin(massiivi)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiivi)\end(massiivi) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nüüd arvutame selle pikkuse:

Vastus:

Nüüd proovige teist ülesannet hoolikalt täita. Vastus sellele on:.

Koordinaadid ja vektorid. Lühikirjeldus ja põhivalemid

Vektor on suunatud segment. - vektori algus, - vektori lõpp.
Vektorit tähistatakse või.

Absoluutne väärtus vektor – vektorit esindava segmendi pikkus. Tähistatakse kui.

Vektori koordinaadid:

,
kus on vektori \displaystyle a otsad.

Vektorite summa: .

Vektorite korrutis:

Vektorite punktkorrutis:

Kaugus punktist sirgeni on punktist joonele tõmmatud risti pikkus. Kirjeldavas geomeetrias määratakse see graafiliselt, kasutades allpool toodud algoritmi.

Algoritm

1. Sirge nihutatakse asendisse, kus see on paralleelne mis tahes projektsioonitasandiga. Sel eesmärgil kasutatakse ortogonaalprojektsioonide teisendamise meetodeid.
2. Punktist tõmmatakse sirgele risti. See konstruktsioon põhineb teoreemil täisnurga projektsiooni kohta.
3. Perpendikulaari pikkus määratakse selle projektsioonide teisendamise teel või täisnurkse kolmnurga meetodil.

Järgmisel joonisel on kujutatud punkti M ja sirge b kompleksjoonist, mis on määratletud segmendiga CD. Peate leidma nendevahelise kauguse.

Meie algoritmi järgi tuleb esimese asjana joon viia projektsioonitasandiga paralleelsesse asendisse. Oluline on mõista, et pärast teisenduste läbiviimist ei tohiks punkti ja sirge tegelik kaugus muutuda. Seetõttu on siin mugav kasutada tasapinna asendusmeetodit, mis ei hõlma figuuride liigutamist ruumis.

Ehituse esimese etapi tulemused on toodud allpool. Joonisel on näidatud, kuidas b-ga paralleelselt sisestatakse täiendav frontaaltasapind P 4. Uues süsteemis (P 1, P 4) on punktid C"" 1, D"" 1, M"" 1 samal kaugusel X 1 teljest kui C"", D", M"" alates telg X.

Algoritmi teist osa teostades langetame punktist M"" 1 risti M"" 1 N"" 1 sirgele b"" 1, kuna b ja MN vaheline täisnurk MND projitseeritakse tasapinnale P 4 täissuuruses. Sideliini abil määrame punkti N" asukoha ja teostame lõigu MN projektsiooni M"N".

Viimases etapis peate määrama segmendi MN suuruse selle projektsioonidest M"N" ja M"" 1 N"" 1. Selleks ehitame täisnurkse kolmnurga M"" 1 N"" 1 N 0, mille jalg N"" 1 N 0 võrdub punktide M" ja N" kauguse vahega (Y M 1 – Y N 1) X 1 teljelt. Kolmnurga M"" 1 N"" 1 N 0 hüpotenuusi pikkus M"" 1 N 0 vastab soovitud kaugusele M-st b-ni.

Teine lahendus

• Paralleelselt CD-ga tutvustame uut frontaaltasapinda P 4. See lõikub punktiga P 1 piki X 1 telge ja X 1 ∥C"D". Vastavalt tasandite asendamise meetodile määrame punktide C"" 1, D"" 1 ja M"" 1 projektsioonid, nagu on näidatud joonisel.
• Risti C"" 1 D"" 1-ga ehitame täiendava horisontaaltasapinna P 5, millele projitseeritakse sirge b punkti C" 2 = b" 2.
• Punkti M ja sirge b vaheline kaugus määratakse punasega tähistatud lõigu M" 2 C" 2 pikkusega.

Sarnased ülesanded:

Oi-oi-oi-oi... no see on karm, nagu loeks ta endale lauset ette =) Küll aga aitab lõõgastumine hiljem, seda enam, et täna ostsin vastavad tarvikud. Seetõttu jätkame esimese jaotisega, loodan, et artikli lõpuks säilitan rõõmsa meeleolu.

Kahe sirge suhteline asukoht

Seda siis, kui publik laulab kooris kaasa. Kaks sirget saab:

1) vaste;

2) olema paralleelne: ;

3) või lõikuvad ühes punktis: .

Abi mannekeenidele : Pidage meeles matemaatilist ristmikumärki, see ilmub väga sageli. Tähistus tähendab, et sirge lõikub joonega punktis .

Kuidas määrata kahe joone suhtelist asukohta?

Alustame esimese juhtumiga:

Kaks sirget langevad kokku siis ja ainult siis, kui nende vastavad koefitsiendid on võrdelised, see tähendab, et on olemas arv “lambda”, mille puhul võrdsused on täidetud

Vaatleme sirgeid ja loome vastavatest koefitsientidest kolm võrrandit: . Igast võrrandist järeldub, et seega need jooned langevad kokku.

Tõepoolest, kui kõik võrrandi koefitsiendid korrutage –1-ga (muuda märke) ja kõik võrrandi koefitsiendid 2 võrra lõigates saad sama võrrandi: .

Teine juhtum, kui jooned on paralleelsed:

Kaks sirget on paralleelsed siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid on võrdelised: , Aga.

Näiteks võtke kaks sirgjoont. Kontrollime muutujate vastavate koefitsientide proportsionaalsust:

Siiski on üsna ilmne, et.

Ja kolmas juhtum, kui jooned ristuvad:

Kaks sirget lõikuvad siis ja ainult siis, kui nende muutujate koefitsiendid EI OLE proportsionaalsed st “lambda” väärtust EI OLE, et võrdsused oleksid täidetud

Niisiis, sirgjoonte jaoks loome süsteemi:

Esimesest võrrandist järeldub, et , ja teisest võrrandist: , mis tähendab süsteem on ebaühtlane(lahendused puuduvad). Seega ei ole muutujate koefitsiendid proportsionaalsed.

Järeldus: jooned lõikuvad

Praktilistes ülesannetes saate kasutada äsja käsitletud lahendusskeemi. Muide, see meenutab väga vektorite kollineaarsuse kontrollimise algoritmi, mida me klassis vaatasime Vektorite lineaarse (mitte)sõltuvuse mõiste. Vektorite alused. Kuid on ka tsiviliseeritud pakend:

Näide 1

Uurige joonte suhtelist asukohta:

Lahendus põhineb sirgjoonte suunavektorite uurimisel:

a) Võrranditest leiame sirgete suunavektorid: .

, mis tähendab, et vektorid ei ole kollineaarsed ja sirged lõikuvad.

Igaks juhuks panen ristmikule siltidega kivi:

Ülejäänud hüppavad üle kivi ja järgivad edasi, otse Kashchei Surematu juurde =)

b) Leidke sirgete suunavektorid:

Sirgedel on sama suunavektor, mis tähendab, et need on paralleelsed või langevad kokku. Siin pole vaja determinanti kokku lugeda.

On ilmne, et tundmatute koefitsiendid on proportsionaalsed ja .

Uurime, kas võrdsus on tõsi:

Seega

c) Leidke sirgete suunavektorid:

Arvutame nende vektorite koordinaatidest koosneva determinandi:
, seega on suunavektorid kollineaarsed. Jooned on kas paralleelsed või kattuvad.

Proportsionaalsuskoefitsienti “lambda” on lihtne näha otse kollineaarsete suunavektorite suhtest. Kuid selle võib leida ka võrrandite endi koefitsientide kaudu: .

Nüüd uurime, kas võrdsus on tõsi. Mõlemad tasuta tingimused on null, seega:

Saadud väärtus rahuldab seda võrrandit (tavaliselt rahuldab seda iga arv).

Seega jooned langevad kokku.

Vastus:

Üsna pea õpite (või isegi olete juba õppinud) suuliselt arutatud probleemi mõne sekundiga sõna otseses mõttes lahendama. Sellega seoses ei näe ma mõtet iseseisva lahenduse jaoks midagi pakkuda, parem on panna geomeetrilisse vundamenti veel üks oluline tellis:

Kuidas konstrueerida antud sirgega paralleelset sirget?

Selle lihtsaima ülesande teadmatuse eest karistab röövel Ööbik karmilt.

Näide 2

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand punkti läbiva paralleelse sirge jaoks.

Lahendus: Tähistame tundmatut rida tähega . Mida seisund tema kohta ütleb? Sirge läbib punkti. Ja kui sirged on paralleelsed, siis on ilmne, et sirge “tse” suunavektor sobib ka sirge “de” konstrueerimiseks.

Võtame võrrandist välja suunavektori:

Vastus:

Geomeetria näidis näeb välja lihtne:

Analüütiline testimine koosneb järgmistest etappidest:

1) Kontrollime, et joontel oleks sama suunavektor (kui sirge võrrandit pole korralikult lihtsustatud, siis on vektorid kollineaarsed).

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit.

Enamikul juhtudel saab analüütilist testimist hõlpsasti läbi viia suuliselt. Vaadake kahte võrrandit ja paljud teist määravad kiiresti ilma joonisteta joonte paralleelsuse.

Tänapäeva iseseisvate lahenduste näited on loomingulised. Sest peate ikkagi võistlema Baba Yagaga ja teate, ta on igasuguste mõistatuste armastaja.

Näide 3

Kirjutage võrrand sirgele, mis läbib sirgega paralleelset punkti

Selle lahendamiseks on ratsionaalne ja mitte nii ratsionaalne viis. Lühim tee on tunni lõpus.

Töötasime veidi paralleelsete joontega ja tuleme nende juurde hiljem tagasi. Ühinevate joonte juhtum pakub vähe huvi, seega vaatleme probleemi, mis on teile kooli õppekavast väga tuttav:

Kuidas leida kahe sirge lõikepunkt?

Kui sirge lõikuvad punktis , siis on selle koordinaadid lahenduseks lineaarvõrrandisüsteemid

Kuidas leida sirgete lõikepunkti? Lahendage süsteem.

Palun kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi geomeetriline tähendus- need on kaks tasapinnal ristuvat (kõige sagedamini) sirget.

Näide 4

Leidke sirgete lõikepunkt

Lahendus: Lahendamiseks on kaks võimalust – graafiline ja analüütiline.

Graafiline meetod on lihtsalt joonistada etteantud jooned ja otse jooniselt leida ristumispunkt:

Siin on meie mõte: . Kontrollimiseks tuleks igas sirge võrrandis asendada selle koordinaadid, need peaksid mahtuma nii sinna kui ka sinna. Teisisõnu, punkti koordinaadid on süsteemi lahendus. Sisuliselt vaatasime graafilist lahendust lineaarvõrrandisüsteemid kahe võrrandiga, kahe tundmatuga.

Graafiline meetod pole muidugi halb, kuid on märgatavaid puudusi. Ei, asi ei ole selles, et seitsmenda klassi õpilased nii otsustavad, vaid selles, et õige ja TÄPSE joonise loomine võtab aega. Lisaks ei ole mõnda sirget nii lihtne konstrueerida ja lõikepunkt ise võib asuda kuskil kolmekümnendas kuningriigis väljaspool märkmikulehte.

Seetõttu on lõikepunkti otstarbekam otsida analüütilise meetodiga. Lahendame süsteemi:

Süsteemi lahendamiseks kasutati võrrandite terminikaupa liitmise meetodit. Asjakohaste oskuste arendamiseks võtke õppetund Kuidas lahendada võrrandisüsteemi?

Vastus:

Kontroll on triviaalne – lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama süsteemi iga võrrandit.

Näide 5

Leidke sirgete lõikepunkt, kui need ristuvad.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesanne on mugav jagada mitmeks etapiks. Seisundi analüüs näitab, et see on vajalik:
1) Kirjutage üles sirge võrrand.
2) Kirjutage üles sirge võrrand.
3) Uuri välja joonte suhteline asukoht.
4) Kui sirged lõikuvad, siis leidke lõikepunkt.

Tegevusalgoritmi väljatöötamine on tüüpiline paljude geomeetriliste ülesannete puhul ja sellele keskendun ma korduvalt.

Täislahendus ja vastus õppetunni lõpus:

Enne tunni teise osasse jõudmist polnud isegi kingapaar kulunud:

Perpendikulaarsed jooned. Kaugus punktist jooneni.
Sirgete vaheline nurk

Alustame tüüpilise ja väga olulise ülesandega. Esimeses osas õppisime sellega paralleelset sirget ehitama ja nüüd pöörab onn kanakoibadel 90 kraadi:

Kuidas konstrueerida antud sirgega risti?

Näide 6

Sirge on antud võrrandiga. Kirjutage võrrand, mis on risti läbiva joonega.

Lahendus: Tingimuste järgi on teada, et . Oleks tore leida joone suunav vektor. Kuna jooned on risti, on trikk lihtne:

Võrrandist “eemaldame” normaalvektori: , millest saab sirge suunav vektor.

Koostame punkti ja suunavektori abil sirgjoone võrrandi:

Vastus:

Laiendame geomeetrilist visandit:

Hmm... Oranž taevas, oranž meri, oranž kaamel.

Lahenduse analüütiline kontrollimine:

1) Võtame võrranditest välja suunavektorid ja abiga vektorite skalaarkorrutis jõuame järeldusele, et sirged on tõepoolest risti: .

Muide, võite kasutada tavalisi vektoreid, see on veelgi lihtsam.

2) Kontrollige, kas punkt rahuldab saadud võrrandit .

Testi on jällegi lihtne suuliselt sooritada.

Näide 7

Leidke ristsirgete lõikepunkt, kui võrrand on teada ja periood.

See on näide, mille saate ise lahendada. Ülesandes on mitu tegevust, mistõttu on lahendust mugav sõnastada punkt-punkti haaval.

Meie põnev teekond jätkub:

Kaugus punktist jooneni

Meie ees on sirge jõeriba ja meie ülesanne on jõuda selleni lühimat teed pidi. Takistused puuduvad ja kõige optimaalsem marsruut on liikuda mööda risti. See tähendab, et kaugus punktist sirgeni on risti oleva segmendi pikkus.

Geomeetrias tähistatakse kaugust traditsiooniliselt kreeka tähega “rho”, näiteks: – kaugus punktist “em” sirgjooneni “de”.

Kaugus punktist jooneni väljendatakse valemiga

Näide 8

Leidke kaugus punktist jooneni

Lahendus: kõik, mida pead tegema, on numbrid hoolikalt valemis asendada ja arvutused teha:

Vastus:

Teeme joonise:

Leitud kaugus punktist jooneni on täpselt punase lõigu pikkus. Kui koostate ruudulisele paberile joonise skaalal 1 ühikut. = 1 cm (2 lahtrit), siis saab kaugust mõõta tavalise joonlauaga.

Vaatleme teist ülesannet, mis põhineb samal joonisel:

Ülesandeks on leida punktiga, mis on sirgjoone suhtes sümmeetriline, koordinaadid . Soovitan toimingud ise läbi viia, kuid toon välja lahendusalgoritmi vahetulemustega:

1) Leidke sirge, mis on joonega risti.

2) Leidke sirgete lõikepunkt: .

Mõlemat toimingut käsitletakse üksikasjalikult selles õppetükis.

3) Punkt on lõigu keskpunkt. Keskmise ja ühe otsa koordinaadid on meile teada. Kõrval lõigu keskpunkti koordinaatide valemid leiame.

Hea oleks kontrollida, et vahemaa oleks ka 2,2 ühikut.

Arvutamisel võib siin raskusi tekkida, kuid tornis on suureks abiks mikrokalkulaator, mis võimaldab arvutada tavalisi murde. Olen teile korduvalt nõu andnud ja soovitan veel.

Kuidas leida kaugust kahe paralleelse sirge vahel?

Näide 9

Leidke kahe paralleelse sirge vaheline kaugus

See on veel üks näide, mille saate ise otsustada. Annan teile väikese vihje: selle lahendamiseks on lõputult palju viise. Aruanne tunni lõpus, kuid parem on proovida ise arvata, ma arvan, et teie leidlikkus oli hästi arenenud.

Nurk kahe sirge vahel

Iga nurk on lengiks:


Geomeetrias võetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks VÄIKSEM nurk, millest järeldub automaatselt, et see ei saa olla nüri. Joonisel ei loeta punase kaarega näidatud nurka lõikuvate joonte vaheliseks nurgaks. Ja tema “roheline” naaber või vastupidiselt orienteeritud"vaarika" nurk.

Kui jooned on risti, võib nendevaheliseks nurgaks võtta ükskõik millise neljast nurgast.

Kuidas nurgad erinevad? Orienteerumine. Esiteks on nurga "kerimise" suund põhimõtteliselt oluline. Teiseks kirjutatakse negatiivselt orienteeritud nurk miinusmärgiga, näiteks kui .

Miks ma sulle seda ütlesin? Tundub, et saame tavalise nurga mõistega hakkama. Fakt on see, et valemid, mille abil leiame nurgad, võivad kergesti anda negatiivse tulemuse ja see ei tohiks teid üllatada. Miinusmärgiga nurk pole halvem ja sellel on väga spetsiifiline geomeetriline tähendus. Joonisel negatiivse nurga puhul märkige kindlasti noolega (päripäeva) selle suund.

Kuidas leida nurk kahe sirge vahel? On kaks töövalemit:

Näide 10

Leidke ridade vaheline nurk

Lahendus Ja Meetod üks

Vaatleme kahte sirget, mis on määratletud võrranditega üldkujul:

Kui sirge mitte risti, See orienteeritud Nende vahelise nurga saab arvutada järgmise valemi abil:

Pöörakem hoolikalt tähelepanu nimetajale - see on täpselt nii skalaarkorrutis sirgjoonte suunavad vektorid:

Kui , siis on valemi nimetaja null ja vektorid on ortogonaalsed ja jooned risti. Seetõttu tehti sõnastuses reservatsioon sirgjoonte mitteperpendikulaarsuse suhtes.

Eeltoodust lähtuvalt on mugav lahendus vormistada kahes etapis:

1) Arvutame sirgete suunavektorite skalaarkorrutise:
, mis tähendab, et jooned ei ole risti.

2) Leidke sirgjoonte vaheline nurk valemi abil:

Kasutades pöördfunktsiooni, on nurga enda leidmine lihtne. Sel juhul kasutame arctangensi veidrust (vt. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused):

Vastus:

Teie vastuses märgime täpse väärtuse ja ka ligikaudse väärtuse (soovitavalt nii kraadides kui radiaanides), mis on arvutatud kalkulaatori abil.

Noh, miinus, miinus, pole suurt probleemi. Siin on geomeetriline illustratsioon:

Pole üllatav, et nurk osutus negatiivse orientatsiooniga, sest ülesandepüstituses on esimene number sirge ja nurga “lahti keeramine” algas just sellest.

Kui soovite tõesti positiivset nurka saada, peate read vahetama, st võtma koefitsiendid teisest võrrandist , ja võtke koefitsiendid esimesest võrrandist. Lühidalt, peate alustama otsesest .

Punkti ja tasapinna sirge kauguse arvutamise valem

Kui on antud sirge võrrand Ax + By + C = 0, siis punkti M(M x , M y) ja sirge kauguse saab leida järgmise valemi abil

Näited ülesannetest punktist tasapinna sirgeni kauguse arvutamiseks

Näide 1.

Leidke sirge 3x + 4y - 6 = 0 ja punkti M(-1, 3) vaheline kaugus.

Lahendus. Asendame valemis sirge koefitsiendid ja punkti koordinaadid

Vastus: kaugus punktist sirgeni on 0,6.

tasandi võrrand, mis läbib vektoriga risti olevaid punkte Tasapinna üldvõrrand

Nimetatakse nullist erinevat vektorit, mis on antud tasapinnaga risti normaalvektor (või lühidalt normaalne ) selle lennuki jaoks.

Olgu koordinaatruumis (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) antud:

a) punkt ;

b) nullist erinev vektor (joon. 4.8, a).

Peate looma võrrandi punkti läbiva tasapinna jaoks vektoriga risti Tõestuse lõpp.

Vaatleme nüüd tasapinna sirgjoone erinevat tüüpi võrrandeid.

1) Tasapinna üldvõrrandP .

Võrrandi tuletamisest järeldub, et samal ajal A, B Ja C ei ole võrdsed 0-ga (selgitage, miks).

Punkt kuulub lennukile P ainult siis, kui selle koordinaadid vastavad tasapinna võrrandile. Olenevalt koefitsientidest A, B, C Ja D lennuk P on ühel või teisel positsioonil:

– tasapind läbib koordinaatsüsteemi alguspunkti, – tasapind ei läbi koordinaatsüsteemi alguspunkti,

- teljega paralleelne tasapind X,

X,

- teljega paralleelne tasapind Y,

- tasapind ei ole teljega paralleelne Y,

- teljega paralleelne tasapind Z,

- tasapind ei ole teljega paralleelne Z.

Tõesta neid väiteid ise.

Võrrand (6) on kergesti tuletatav võrrandist (5). Tõepoolest, las asi on lennukis P. Siis rahuldavad selle koordinaadid võrrandit Lahutades võrrandist (5) võrrandi (7) ja rühmitades liikmed, saame võrrandi (6). Vaatleme nüüd kahte koordinaatidega vektorit. Valemist (6) järeldub, et nende skalaarkorrutis on võrdne nulliga. Seetõttu on vektor vektoriga risti.Viimase vektori algus ja lõpp paiknevad vastavalt punktides, mis kuuluvad tasapinnale P. Seetõttu on vektor tasapinnaga risti P. Kaugus punktist tasapinnani P, mille üldvõrrand määratakse valemiga Selle valemi tõestus on täiesti sarnane punkti ja sirge vahelise kauguse valemi tõestusega (vt joonis 2).
Riis. 2. Tuletada tasapinna ja sirge vahelise kauguse valem.

Tõepoolest, vahemaa d sirge ja tasandi vahel on võrdne

kus on punkt lennukis. Siit, nagu loengus nr 11, saadakse ülaltoodud valem. Kaks tasapinda on paralleelsed, kui nende normaalvektorid on paralleelsed. Siit saame kahe tasandi paralleelsuse tingimuse - tasandite üldvõrrandite koefitsiendid. Kaks tasapinda on risti, kui nende normaalvektorid on risti, seega saame kahe tasandi ristuvuse tingimuse, kui nende üldvõrrandid on teada

Nurk f kahe tasandi vaheline nurk on võrdne nende normaalvektorite vahelise nurgaga (vt joonis 3) ja seetõttu saab selle arvutada valemiga
Tasapindadevahelise nurga määramine.

(11)

Kaugus punktist tasapinnani ja selle leidmise meetodid

Kaugus punktist lennuk– punktist sellele tasapinnale langenud risti pikkus. Punkti ja tasapinna kauguse leidmiseks on vähemalt kaks võimalust: geomeetriline Ja algebraline.

Geomeetrilise meetodiga Kõigepealt peate mõistma, kuidas punktist tasapinnaga risti asetseb: võib-olla asub see mõnel sobival tasapinnal, on mõne mugava (või mitte nii mugava) kolmnurga kõrgus või võib-olla on see risti üldiselt mõne püramiidi kõrgus.

Pärast seda esimest ja kõige keerukamat etappi jaguneb probleem mitmeks konkreetseks planimeetriliseks probleemiks (võib-olla erinevatel tasanditel).

Algebralise meetodiga punkti ja tasapinna kauguse leidmiseks peate sisestama koordinaatide süsteemi, leidma punkti koordinaadid ja tasandi võrrandi ning seejärel rakendama punktist tasapinnani vahelise kauguse valemit.