Krydser lige linjer. Eksempler på problemer med og uden løsninger

Stereometri

Selvstændigt arbejde N 1

Mulighed 1

1. Tegn en lige linje -en og prikker EN,B Og C, hører ikke til denne linje. Lav de nødvendige noter.

2. Tegn plan b, punkter E,F tilhørende hende, og punktum G, som ikke tilhører hende. Lav de nødvendige noter.

3. Tegn en lige linje -en, liggende i fly a. Foretag den nødvendige indtastning.

4. Tegn to skærende planer a og b. Foretag den nødvendige indtastning.

Mulighed 2

1. Tegn to, der skærer hinanden i et punkt O lige -en Og b og prikker EN,B,C, og peg EN hører til linjen -en, B hører til linjen b, prik C hører ikke til de givne linjer.

2. Tegn planet g og punkter, der ikke hører til K,L og det dertilhørende punkt M. Lav de nødvendige noter.

3. Tegn en lige linje b, der skærer planet b ved punktet O. Foretag den nødvendige indtastning.

4. Tegn tre skærende linjer -en fly a, b og g. Foretag den nødvendige indtastning.

Selvstændigt arbejde N 2

Mulighed 1

1) Vinklerne ved bunden af ​​en ligebenet trekant er lige store.

2) En enkelt lige linje går gennem to punkter i rummet.

3) Lodrette vinkler er lige.

4) Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider parvis parallelt.

2. Definer gensidig ordning planerne a og b, hvis der ligger en trekant i dem ABC. Begrund dit svar.

3. Hvor mange fly kan passere gennem tre punkter?

4. Find største antal linjer, der går gennem forskellige par af fire punkter.

Mulighed 2

1. Angiv aksiomer, definitioner, sætninger fra følgende sætninger:

1) Hvis to fly har fælles punkt, så skærer de hinanden i en lige linje.

2) Midterste linje af en trekant er det segment, der forbinder midtpunkterne på dens to sider.

3) For rette linjer og planer i rummet er planimetriens aksiomer opfyldt.

4) Diagonalerne i et parallelogram er delt i halvdelen af ​​skæringspunktet.

2. Bestem den relative position af to planer b og g, hvis de indeholder punkter B Og C. Begrund dit svar.

3. Find det største antal linjer, der går gennem forskellige par af 5 punkter.

4. Find det største antal fly, der passerer gennem forskellige trillinger med fire punkter.

2. Følger fra stereometriens aksiomer

Mulighed 1

1. I planet af to skærende linjer -en Og b point givet C, der ikke hører til disse linjer. Lige c, der ligger i et givet plan, passerer gennem punktet C c i forhold til disse lige linjer?

2. Givet tre punkter, der ikke hører til samme linje. Bevis, at alle linjer, der skærer to af de tre segmenter, der forbinder disse punkter, ligger i samme plan.

3. Planet er givet ved en ret linje c og et punkt der ikke hører til C -en, forskellig fra den givne linje og ikke passerer igennem dette punkt.

4. Et plan er defineret af to, der skærer hinanden i et punkt O lige -en Og b. Tegn en lige linje c, som skærer disse linjer og ikke ligger i det givne plan.

Mulighed 2

1. Direkte d, liggende i trekantens plan ABC, krydser hans side AB. Hvad kunne den relative placering af linjerne være? d Og B.C.?

2. To parallelle linjer er tegnet i plan a -en Og b. Bevis, at alle linjer, der skærer disse linjer, ligger i samme plan.

3. Et plan er defineret af to, der skærer hinanden i et punkt O lige m Og n. Konstruer en lige linje i dette plan k, forskellig fra de givne linjer og ikke passerer gennem punktet O.

4. Planet er defineret af tre punkter D,E,F, der ikke tilhører samme linje. Tegn en lige linje -en, som skærer siderne DE Og DF trekant DEF og ligger ikke i dette plan.

3. Rumlige figurer

Mulighed 1

1. Tegn et femkantet prisme og del det i tetraeder.

2. Bestem antallet af hjørner, kanter og flader: a) terning; b) 7-gonalt prisme; V) n-kulpyramide.

3. Bestem typen af ​​prisme, hvis det har: a) 10 hjørner; b) 21 ribben; c) 5 ansigter.

4. Hvordan kan flader af et 4-gonalt prisme farves, så de tilstødende (der har en fælles kant) flader farves i forskellige farver? Hvilken mindste antal Skal du bruge blomster?

Mulighed 2

1. Tegn en femkantet pyramide og del den i tetraeder.

2. Bestem antallet af hjørner, kanter og flader: a) rektangulær parallelepipedum; b) 6-sidet pyramide; V) n- kulstofprisme.

3. Bestem typen af ​​pyramide, hvis den har: a) 5 hjørner; b) 14 ribben; c) 9 ansigter.

4. Hvordan kan overfladerne på et oktaeder farves, så naboflader (som deler en fælles kant) males i forskellige farver. Hvad er det mindste antal farver, der kræves?

4. Modellering af polyedre

Mulighed 1

1. Tegn flere net af terningen.

2. Tegn en figur bestående af fire lige store ligesidede trekanter, som ikke er et net af et regulært tetraeder.

3. Tegn udviklingen af ​​en almindelig firkantet pyramide og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende ansigter har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

4. Tegn en udvikling af et rektangulært parallelepipedum og farve det på en sådan måde, at ved limning af tilstødende flader har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

Mulighed 2

1. Tegn flere net af et regulært tetraeder.

2. Tegn en figur bestående af seks firkanter, der ikke er et net af en terning.

3. Tegn en terningudvikling og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende flader har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

4. Tegn udviklingen af ​​en almindelig 6-gonal pyramide og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende ansigter har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

5. Parallelisme af linjer i rummet

Mulighed 1

1. Skriv i en regulær 4-gonal pyramide SABCD alle par parallelle kanter.

2. I planet af to parallelle linjer -en Og b givet point C, der ikke hører til disse linjer. Gennem punktet C en direkte linje blev trukket c. Hvordan kan en lige linje placeres? c i forhold til rette linjer -en Og b.

3. Gennem et punkt, der ikke hører til en given linje, tegnes en linje parallelt med denne.

4. Find sted linjer, der skærer to givne parallelle linjer.

Mulighed 2

1. Skriv fire par parallelle kanter af terningen EN...D 1.

2. Givet tre linjer en,b Og Med. Hvordan kan disse rette linjer placeres, så der kan tegnes et plan, der indeholder alle disse lige linjer?

3. Givet to parallelle linjer -en Og b. Bevis, at ethvert fly, der krydser et af dem, også vil skære det andet.

4. Find stedet for linjer parallelt med en given linje og skærer en anden linje, der skærer den første.

6. Krydsende linjer

Mulighed 1

1. I en terning EN...D 1 skriv ned kanterne, der krydser kanten AB.

2. Skriv par krydsende kanter af en 4-gonal pyramide SABCD.

3. Hvordan er linjerne placeret i forhold til hinanden? -en Og b i figur 1? Begrund dit svar.

4. Givet to skæve linjer -en Og b og et punkt, der ikke tilhører dem C. Konstruer en lige linje c, der passerer gennem punktet C og skærer linjerne -en Og b.

Mulighed 2

1. Skriv de kanter ned, der skærer kanten S.A. almindelig 4-gonal pyramide SABCD.

2. Skriv de kanter ned, der skærer diagonalen B 1D Cuba EN...D 1.

c(Fig. 1). Lige -en ligger i plan a og skærer linjen c. Er det muligt at tegne en linje parallelt med linjen i plan b? -en? Begrund dit svar.

4. Findes der to parallelle linjer, som hver skærer to givne skæve linjer? Begrund dit svar.

7. Parallelisme af en ret linje og et plan

Mulighed 1

1. Skriv ned kanterne parallelt med ansigtets plan CC 1D 1D korrekt prisme ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1.

2. Direkte -en parallelt med plan a; lige b skærer plan a i punktet B; lige c, der skærer linjerne -en Og b henholdsvis på punkter E Og F, skærer plan a ved punkt C -en Og b?

3. Planerne a og b skærer hinanden i en ret linje c. Prik EN hører til plan a, punkt B– fly b. Konstruer: a) en ret linje -en, liggende i planet a, der går gennem punktet EN og parallelt med plan b; b) lige b, der ligger i b-planet, der passerer gennem punktet B og parallelt med plan a. Hvordan vil de rette linjer blive placeret i forhold til hinanden? -en Og b?

4. Points EN Og B tilhører tilstødende sideflader af pyramiden. Tegn to segmenter parallelt med hinanden gennem disse punkter på disse flader.

Mulighed 2

1. Skriv fladernes planer ned parallelt med kanten CC 1 parallelepipedum EN...D 1.

2. Direkte -en parallelt med plan a; lige b Og c, skærer linjen -en henholdsvis på punkter B Og C, skærer planet a henholdsvis ved punkterne D Og E. Lav en tegning. Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? -en Og b?

3. Planerne a og b skærer hinanden i en ret linje c. Lige -en ligger i plan a. Bevis, at hvis: a) -en skærer plan b i punktet EN, At EN hører til linjen c; b) -en er parallel med plan b, så er den parallel med linjen c.

4. Points EN Og B tilhører tilstødende sideflader af prismet. Tegn to segmenter parallelt med hinanden gennem disse punkter på disse flader.

8. Parallelisme af to planer

Mulighed 1

1. Skriv parallelepipediets parallelle planer ned EN...D 1.

2. Er udsagnene sande:

1) Gennem et punkt, der ikke hører til et givet plan, passerer der et enkelt plan parallelt med det givne.

2) Hvis to linjer, der ligger i et plan, er henholdsvis parallelle med to linjer, der ligger i et andet plan, så er disse planer parallelle.

3) Der er uendeligt mange linjer parallelle med et givent plan og går gennem et punkt, der ikke hører til dette plan.

4) Hvis et af to givne planer er parallelt med to skærende linjer, der ligger i det andet plan, så er disse planer parallelle.

3. Bevis at to planer parallelt med det samme tredje plan er parallelle med hinanden.

4. Segmenter AB Og CD ligge i parallelle planer a og b, henholdsvis (fig. 2). Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? A.C. Og BD? Kan de være parallelle?

Mulighed 2

1. I en trekantet pyramide SABC tegne et plan parallelt med dets base ABC.

2. Er udsagnene sande:

1) Hvis en linje, der ligger i et plan, er parallel med en linje, der ligger i et andet plan, så er disse planer parallelle.

2) Hvis et plan skærer to givne planer langs parallelle linjer, så er disse planer parallelle.

3) Der er uendeligt mange planer parallelt med en given linje og går gennem et punkt, der ikke hører til denne linje.

4) Hvis to planer er parallelle med den samme linje, så er de parallelle.

3. Bevis, at hvis et plan skærer et af to parallelle planer, så skærer det også det andet.

4. Segmenter AB Og CD ligge i parallelle planer henholdsvis a og b (fig. 3). Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? AD Og B.C.? Kan de krydse hinanden?

9. Vektorer i rummet

Mulighed 1

1. For givet vektor konstruer vektorerne: a) -; b) 2; V) -.

2. Hvor mange vektorer er defineret af alle mulige punktpar, der består af toppunkterne i en regulær firkantet pyramide?

ABCD .

4. Givet et parallelepipedum EN...D 1..gif" width="128" height="29 src=">.gif" width="15" height="19 src="> konstruer vektorerne: a) 3; b) -2; V).

2. Hvor mange vektorer er defineret af alle mulige punktpar, der består af hjørnerne af et trekantet prisme?

3. Tegn almindelig tetraeder ABCD og tegn en vektor: a) ; b); V) .

4. Givet et parallelepipedum EN...D 1..gif" width="133" height="29 src=">.gif" width="15" height="17 src="> for at få en vektor i samme retning med og ||=1.

2. Givet to modsat rettede vektorer og , og || > ||..gif" width="15" height="19 src=">.

3. Givet et tetraeder ABCD. Skriv ned tre par af dets hjørner, der definerer koplanære vektorer.

4. Givet en terning EN...D 1. Nedskriv tripler af ikke-koplanære vektorer med begyndelse og slutning ved sine hjørner.

Mulighed 2

1..gif" width="15" height="21">, modsat rettet med og ||=2.

2..gif" width="15" height="21 src=">.gif" width="15" height="21 src=">|. Find retningen og længden af ​​vektoren +.

3. Givet et tetraeder ABCD. Skriv ned tre par af dets hjørner, der definerer ikke-koplanære vektorer.

4. Givet en terning EN...D 1. Nedskriv tripler af koplanære vektorer med begyndelse og slutning ved sine hjørner.

11. Parallel overførsel

Mulighed 1

1. Konstruer den figur, der viser sig parallel overførsel lige -en at vektorisere hvis: a) E hører til -en, F hører ikke til -en; b) point E Og F hører ikke til -en.

2. Angiv en parallel oversættelse, som er midten af ​​segmentet G.H. oversættes til et eller andet punkt M.

3. Konstruer en figur, der fås ud fra en firkant ABCD parallel overførsel til en vektor: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" width="28" height="24 src=">.

4. Konstruer en figur, der er opnået fra et tetraeder ABCD parallel overførsel til en vektor.

Mulighed 2

1. Konstruer en figur, der opnås ved parallel translation af en cirkel med centrum i punktet O til vektoren https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24"> .

12. Parallel design

Mulighed 1

1. Hvor mange point opnås med parallelt design to forskellige punkter plads? Lav passende tegninger og begrundelse.

2. Angiv egenskaberne for et rektangel, der er bevaret under paralleldesign.

3. Hvordan skal to rette linjer placeres, så de projiceres på et plan i en ret linje og et punkt, der ikke hører til denne rette linje?

4. Parallelle linjer -en Og b EN,B Og C er vist i figur 4. Tegn det fjerde punkt D. Begrund dit svar.

Mulighed 2

1. Hvor mange point får du, når du designer tre forskellige punkter i rummet? Lav passende tegninger og begrundelse.

2. Angiv egenskaberne for en rombe, der er bevaret under paralleldesign.

3. Hvordan skal en linje og et punkt placeres, så de projiceres på et plan i en linje og et punkt, der hører til denne linje?

4. Skærende linjer -en Og b skærer parallelle planer a og b i fire punkter. Tre af dem EN,B Og C er vist i figur 5. Tegn det fjerde punkt D. Begrund dit svar.

13. Parallelle projektioner af plane figurer

Mulighed 1

1. Tegn en parallel projektion af en ret ligebenet trekant, der ligger i et plan parallelt med projektionsplanet.

2. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant ABC og på den konstruer billeder af perpendikulære faldet fra punktet M– midt på siden AB til siderne A.C. Og B.C..

ABCDEF, idet man tager et rektangel som den oprindelige figur ABDE.

4. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant ABC og konstruer på den et billede af en vinkelret tegnet fra punktet K– segmentets midtpunkt B.O.(O– midten af ​​trekanten) til siden AB.

Mulighed 2

1. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant, der ligger i et plan parallelt med projektionsplanet.

2. Tegn en parallel projektion af en firkant ABCD og på den konstruer et billede af perpendikulære tegnet fra punktet E– midt på siden B.C. til lige linjer BD Og AC.

3. Tegn en parallel projektion regulær sekskant ABCDEF, idet den oprindelige figur ligesidet trekant ES.

4. Tegn en parallel projektion af et rektangel ABCD, Hvilken en AD= 2AB. Konstruer et billede af en vinkelret faldet fra et toppunkt C til diagonalen BD.

14. Billede af rumlige figurer

Mulighed 1

1. Tegn en regulær firkantet pyramide og dens højde.

2. Tegn en terning, hvis to flader er parallelle med designplanet.

3. Figur 6 viser parallel projektion Cuba EN...D

4. Givet et tetraeder ABCD. Området af dens ansigt ADC svarende til S BDC til flyet ADC i retning af en lige linje AB.

Mulighed 2

1. Tegn det rigtige trekantet pyramide og dens højde.

2. Tegn en terning, hvis flader ikke er parallelle med designplanet.

3. Figur 7 viser en parallel projektion af en terning EN...D 1. Hvordan er kuben placeret i forhold til designplanet?

4. Givet et tetraeder ABCD. Området af dens ansigt ABD svarende til Q. Find projektionsområdet for dens ansigt BDC til flyet A.D.B. i retning af en lige linje C.M., Hvor M– midten af ​​ribben AB.

15. Udsnit af polyedre

Mulighed 1

1. I et sekskantet prisme EN...F 1 (fig. 8) konstruer linjens skæringspunkt PQ med fly ABC, hvor punkterne Q Og P tilhører henholdsvis prismets sidekanter BB 1 og DD 1.

2. På sideribbene firkantet prisme EN...D 1 gives tre point K,L,M(Fig. 9). Konstruer en plan skæringslinje KLM med fly ABC.

3. Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne X,Y,Z A.D.A.A. 1, BB 1 og sådan ØKSE:XD= 1:2, EN 1Y:YA= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. I den højre pyramide SABCD konstruer en sektion, der går gennem siden af ​​basen AD og periode M, tilhørende sidekanten S.B..

Mulighed 2

1. På sideribbene BB 1 og E.E. 1 prisme ABCDEA 1B 1C 1D 1E Der gives 1 point tilsvarende F Og G(Fig. 10). Konstruer linjens skæringspunkt FG med fly ABC.

2. Givet en terning EN...D 1. På hans ribben A.A. 1, CC 1 og DD 1 gives tre point hhv X,Y,Z(Fig. 11). Konstruer skæringslinjen for planerne XYZ Og ABC.

3. I et regulært trekantet prisme EN...C 1 konstruer et snit, der går gennem punkterne K,L Og M, tilhørende henholdsvis kanterne A.A. 1, A.C. Og BB 1 og sådan, at: AK =K.A. 1; AL:LC= 1:2 og BM =M.B. 1.

4. I den højre pyramide SABCD konstruer et snit, der går gennem diagonalen A.C. base og parallelt med sidekanten SD.

16. Vinkel mellem lige linjer i rummet. Linjers vinkelrethed

Mulighed 1

1. I en terning EN...D AB Og BB 1; b) BD Og BB 1; V) AB 1 og CC 1; G) AB 1 og CD 1.

EN...C 1 segment CD vinkelret på kanten AB CD Og A.A. 1; b) CD Og EN 1B 1.

3. På den rigtige måde firkantet pyramide SABCD med lige kanter, find vinklen mellem diagonalen A.C. bund og sidekant S.C..

4. Find vinklen mellem de krydsende kanter på et regulært tetraeder.

Mulighed 2

1. I en terning EN...D 1 find vinklen mellem linjerne: a) B.C. Og BB 1; b) EN 1C 1 og AD; V) BB 1 og BD; G) EN 1D Og B.C. 1.

2. I et regulært trekantet prisme EN...C 1 ER.– medianen af ​​basen ABC. Find vinklen mellem linjerne: a) ER. Og C 1B 1; b) ER. Og EN 1C 1.

3. I et regulært tetraeder ABCD prik M– midten af ​​ribben C.B.. Find vinklen mellem linjerne ER. Og DC.

4. Find vinklen mellem ikke-skærende kanter på en regulær trekantet pyramide.

17. Vinkelrethed af en linje og et plan

Mulighed 1

1. Bevis, at linjen vinkelret på planet, skærer dette plan.

2. Gennem centrum O firkant ABCD en direkte linje blev trukket Okay, vinkelret på dette kvadrats plan. Bevis, at linjen A.K. vinkelret på en ret linje BD.

3. Find stedet for punkter, der hører til linjer, der går gennem et givet punkt og vinkelret på en given linje.

4. Peg M hører til sidefladen ABD trekantet pyramide ABCD, hvori AB =BD Og AC =CD. Konstruer et udsnit af denne pyramide med et plan, der går gennem punktet M og vinkelret på linjen AD.

Mulighed 2

1. Direkte -en, vinkelret på plan a, skærer dette plan i punktet EN. Bevis, at linjen b, der passerer gennem punktet EN og vinkelret på linjen -en, ligger i plan a.

2. Gennem pointen M– midt på siden AB ligesidet trekant ABC en direkte linje blev trukket M.H., vinkelret på denne trekants plan. Bevis vinkelret på linjer AB Og HC.

3. Givet en lige linje -en og et punkt, der ikke hører til EN. Find stedet for linjer, der går gennem et punkt EN og vinkelret på linjen -en.

4. I et rektangulært parallelepipedum EN...D 1 konstruer et snit, der går gennem et punkt K, indre punkt diagonalt snit A.A. 1C 1C og vinkelret på linjen BB 1.

18. Vinkelret og skrå

Mulighed 1

1. Givet et fly a. Fra punkt EN to tilbøjelige AB= 20 cm og A.C.= 15 cm. Projektionen af ​​det første skrå plan på dette plan er 16 cm. Find projektionen af ​​det andet skrånende plan.

2. Fra et punkt M, der ikke hører til planet g, trækkes lige skrå skråninger til det MA,M.B. Og M.C.. Bevis, at baserne på de skrånende tilhører den samme cirkel. Find dens centrum.

3. Fra et punkt B to lige store 2 cm skrå planer tegnes til plan b. Vinklen mellem dem er 600, og mellem deres projektioner er 900. Find vinkelret faldet fra punktet B til fly b.

4. Givet en trekant med sider 13 cm, 14 cm og 15 cm. Punkt M, der ikke tilhører denne trekants plan, er 5 cm væk fra trekantens sider Find vinkelret faldet fra punktet M til planet for den givne trekant.

Mulighed 2

1. Fra et punkt EN trukket til at plane en skrå AB= 9 cm og vinkelret A.O.= 6 cm Find projektionen af ​​denne vinkelret på den givne skrånende.

2. Find stedet for punkter i rummet lige langt fra alle punkter på en given cirkel.

3. Fra et givet punkt trækkes to lige skrå skråninger til et givet plan, og danner en vinkel på 600. Vinklen mellem deres projektioner er en ret linje. Find vinklen mellem hver skrå og dens projektion.

4. Peg M fjernes fra hvert hjørne af en regulær trekant med cm og fra hver side med 2 cm Find vinkelret faldet fra punktet M til trekantens plan.

19. Vinkel mellem en ret linje og et plan

Mulighed 1

1. I en pyramide er de laterale ribber lige skråtstillede til bundens plan. På hvilket tidspunkt projiceres toppen af ​​pyramiden?

2. I en terning EN...D A.A. 1 og fly AB 1D 1.

3. En skrå linje tegnes til plan a M.H. (H hører til plan a). Bevis, at hvis projektionen er skrå M.H. danner lige vinkler med rette vinkler A.H. Og B.H., liggende i flyet a, så den skrånende M.H. danner lige store vinkler med dem.

4. Tegn en lige linje til det givne plan gennem et givet punkt på det, og danner en vinkel på 900 med planet.

Mulighed 2

1. Bevis, at i en regulær pyramide er sidekanterne lige skråtstillede i forhold til basens plan.

2. I en terning EN...D 1 find cosinus af vinklen mellem kanten EN 1D 1 og fly AB 1D 1.

3. En skrå linje tegnes til plan b B.P. (P hører til plan b), som danner lige vinkler med rette vinkler P.E. Og PF, liggende i fly b. Bevis, at vinkler dannet af rette linjer P.E. Og PF med skrå projektion B.P. på planet b er lige store.

4. Gennem et punkt, der ikke hører til et givet plan, tegnes en ret linje, der danner en vinkel på 900 med planet.

20. Afstand mellem punkter, linjer og planer

Mulighed 1

1. I en retvinklet trekant ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. I en terning EN...D 1 med rib -en AB Og B 1C 1.

Mulighed 2

1. Ben af ​​en retvinklet trekant ABC(C= 900) er lig med 15 cm og 20 cm. Fra toppen C en vinkelret tegnes på trekantens plan CD lig med 5 cm Find afstanden fra punktet D til hypotenusen AB.

2. I en enhedsterning EN...D 1 find afstanden mellem toppunktet D 1 og: a) øverst B; b) kant AB; c) kant BB 1C 1C.

3. Fra et punkt K en vinkelret på længden d og der tegnes to skrånende, hvis vinkler med vinkelret er 300. Vinklen mellem de skrånende er 600. Find afstanden mellem grundene på de skrånende.

4. I en terning EN...D 1 med rib -en find afstanden mellem krydsende kanter DC Og BB 1.

21. Dihedral vinkel

Mulighed 1

-en. Find ortogonal projektion denne hælder på planet, hvis vinklen mellem den skrånende og planet er 300.

2. To punkter tages på den ene side af en dihedral vinkel EN Og B. Perpendikulære er udeladt fra dem A.A. 1, BB 1 til den anden side og A.A. 2, BB 2 pr. kant af den dihedrale vinkel. Find BB 2 hvis A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. To lige rektangel har fælles side og deres planer danner en vinkel på 450. Find forholdet mellem arealer af to figurer, hvori den ortogonale projektion af siden af ​​det ene rektangel deler det andet.

4. Bevis, at perpendikulærerne tegnet fra punkterne på en given linje på et plan ligger i samme plan, og den geometriske placering af disse perpendikulers baser er skæringslinjen mellem disse planer.

Mulighed 2

1. Den skrå linje tegnet til planet er lig med -en. Find den ortogonale projektion af dette skrå plan på planet, hvis vinklen mellem det skrånende plan og planet er 600.

2. Der tages to punkter på den ene side af en dihedral vinkel, med en afstand på 9 cm og 12 cm fra dens kant. Afstanden fra det første punkt til den anden side af den dihedral vinkel er 20 cm. Find afstanden fra denne flade til andet punkt.

3. To ligebenet trekant har fælles fodslag, og deres planer danner en vinkel på 600. Den fælles base er 16 cm, side den ene trekant er 17 cm, og den andens sider er vinkelrette. Find afstanden mellem hjørnerne af trekanter, der ligger over for en fælles base.

4. Bevis, at skæringspunktet for de ortogonale projektioner af to linjer på et plan er den ortogonale projektion af skæringspunktet for disse linjer på samme plan.

22. Planernes vinkelrethed

Mulighed 1

1. Givet en terning EN...D 1. Bevis planernes vinkelrethed: a) ABD Og DCC 1; b) AB 1C 1 og ABB 1.

2. Gennem en given linje, der ligger i et givet plan, tegnes et plan vinkelret på dette plan.

I en regulær trekantet pyramide SABC med top S vinklen mellem sidekanten og
basisplan er lig med 60°, siden af ​​basen er ens 1 , SH- pyramidens højde.
Find pyramidens tværsnitsareal ved et plan, der går gennem punktet N
parallelt med ribbenene S.A. Og B.C..

Grundlaget for højden af ​​en regulær pyramide er midten af ​​trekanten ABC. Først vil vi udføre
gennem punktet N linjestykke RT, parallelt med kanten Sol. Punkterne P og T hører til sektionen.

I ansigtets plan ACS gennem punktet T lad os tegne et segment TK parallelt med kanten SOM.

I ansigtets plan ABC gennem punktet R lad os tegne et segment P.L. parallelt med kanten SOM.

Forbindelse af prikkerne TIL Og L, får vi det ønskede afsnit. Lad os bevise, at dette er et rektangel.

Segmenter TK Og P.L. ikke kun parallel (hver er parallel SOM), men også lige.

Så det er en firkant KLPT- parallelogram på grundlag af et parallelogram.
Udover, TK ⊥ TR, fordi AS⊥CB, og siderne TK Og TR parallel SOM Og C.B..
Lad os bevise det AS⊥CB. Du kan bruge de tre vinkelrette sætninger.
SOM- tilbøjelig, AD projektion af denne skrå på ABC, AD⊥CB, Midler, AS⊥CB.

For at finde arealet af et rektangel skal du finde og gange dets sider.
Bemærk, at siden TR er to tredjedele af siden af ​​basen BC = 1.
Anden side af rektanglet TK en tredjedel af sideribben SOM.
Vi kan finde sidekanten ud fra trekanten SAH, hvor ∠SAH = 60°
(vinkel mellem sidekanten og basen) og ∠ASH = 30°, hvilket betyder AS = 2·AN.

Find længden af ​​segmentet AN, ved at kende siden af ​​basen, kan du gøre det på forskellige måder.
Det er bedre at undvære formler og overveje retvinklet trekant ET F.

Lad os gå tilbage til trekanten SAH og vi finder side rib pyramider:

Det er tilbage at gange de fundne sider og opnå tværsnitsarealet.

§ 2. SELVSTÆNDIG ARBEJDE

1. Grundlæggende begreber og aksiomer for stereometri

Selvstændigt arbejde N 1

Mulighed 1

1. Tegn en lige linje -en og prikker EN, B Og C, ikke hører til denne linje. Lav de nødvendige noter.

2. Tegn plan b, punkter E, F, der tilhører hende, punktum G, som ikke tilhører hende. Lav de nødvendige noter.

3. Tegn en lige linje -en, liggende i fly a. Foretag den nødvendige indtastning.

4. Tegn to skærende planer a og b. Foretag den nødvendige indtastning.

Mulighed 2

1. Tegn to, der skærer hinanden i et punkt O lige -en Og b og prikker EN, B, C, og peg EN hører til linjen -en, B hører til linjen b, prik C hører ikke til de givne linjer.

2. Tegn planet g og punkter, der ikke hører til K, L og det dertilhørende punkt M. Lav de nødvendige noter.

3. Tegn en lige linje b, der skærer planet b ved punktet O. Foretag den nødvendige indtastning.

4. Tegn tre skærende linjer -en flyene a, b og g. Foretag den nødvendige indtastning.

Selvstændigt arbejde N 2

Mulighed 1

1) Vinklerne ved bunden af ​​en ligebenet trekant er lige store.

2) En enkelt lige linje går gennem to punkter i rummet.

3) Lodrette vinkler er lige store.

4) Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par.

2. Bestem den relative position af planer a og b, hvis de indeholder en trekant ABC. Begrund dit svar.

3. Hvor mange fly kan passere gennem tre punkter?

4. Find det største antal linjer, der går gennem forskellige par af fire punkter.

Mulighed 2

1. Angiv aksiomer, definitioner, sætninger fra følgende sætninger:

1) Hvis to planer har et fælles punkt, så skærer de hinanden i en ret linje.

2) Midtlinjen i en trekant er det segment, der forbinder midtpunkterne på dens to sider.

3) For rette linjer og planer i rummet er planimetriens aksiomer opfyldt.

4) Diagonalerne i et parallelogram er delt i halvdelen af ​​skæringspunktet.

2. Bestem den relative position af to planer b og g, hvis de indeholder punkter B Og C. Begrund dit svar.

3. Find det største antal linjer, der går gennem forskellige par af 5 punkter.

4. Find det største antal fly, der passerer gennem forskellige trillinger med fire punkter.

2. Følger fra stereometriens aksiomer

Mulighed 1

1. I planet af to skærende linjer -en Og b point givet C, der ikke hører til disse linjer. Lige c liggende i et givet fly, går gennem et punkt C. Hvordan kan en lige linje placeres? c i forhold til disse lige linjer?

2. Givet tre punkter, der ikke hører til samme linje. Bevis, at alle linjer, der skærer to af de tre segmenter, der forbinder disse punkter, ligger i samme plan.

3. Planet er givet ved en ret linje c og et punkt der ikke hører til C -en, forskellig fra den givne linje og ikke passerer gennem det givne punkt.

4. Et plan er defineret af to, der skærer hinanden i et punkt O lige -en Og b. Tegn en lige linje c, som skærer disse linjer og ikke ligger i det givne plan.

Mulighed 2

1. Direkte d, liggende i trekantens plan ABC, krydser hans side AB. Hvad kunne den relative placering af linjerne være? d Og B.C.?

2. To parallelle linjer er tegnet i plan a -en Og b. Bevis, at alle linjer, der skærer disse linjer, ligger i samme plan.

3. Et plan er defineret af to, der skærer hinanden i et punkt O lige m Og n. Konstruer en lige linje i dette plan k, forskellig fra de givne linjer og ikke passerer gennem punktet O.

4. Planet er defineret af tre punkter D, E, F, der ikke tilhører samme linje. Tegn en lige linje -en, som skærer siderne DE Og DF trekant DEF og ligger ikke i dette plan.

3. Rumlige figurer

Mulighed 1

1. Tegn et femkantet prisme og del det i tetraeder.

2. Bestem antallet af hjørner, kanter og flader: a) terning; b) 7-gonalt prisme; V) n-kulpyramide.

3. Bestem typen af ​​prisme, hvis det har: a) 10 hjørner; b) 21 ribben; c) 5 ansigter.

4. Hvordan kan flader af et 4-gonalt prisme farves, så tilstødende (der deler en fælles kant) flader males i forskellige farver? Hvad er det mindste antal farver, der kræves?

Mulighed 2

1. Tegn en femkantet pyramide og del den i tetraeder.

2. Bestem antallet af hjørner, kanter og flader: a) rektangulær parallelepipedum; b) 6-sidet pyramide; V) n- kulstofprisme.

3. Bestem typen af ​​pyramide, hvis den har: a) 5 hjørner; b) 14 ribben; c) 9 ansigter.

4. Hvordan kan overfladerne på et oktaeder farves, så naboflader (som deler en fælles kant) males i forskellige farver. Hvad er det mindste antal farver, der kræves?

4. Modellering af polyedre

Mulighed 1

1. Tegn flere net af terningen.

2. Tegn en figur bestående af fire lige store ligesidede trekanter, som ikke er et net af et regulært tetraeder.

3. Tegn udviklingen af ​​en almindelig firkantet pyramide og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende ansigter har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

4. Tegn en udvikling af et rektangulært parallelepipedum og farve det på en sådan måde, at ved limning af tilstødende flader har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

Mulighed 2

1. Tegn flere net af et regulært tetraeder.

2. Tegn en figur bestående af seks firkanter, der ikke er et net af en terning.

3. Tegn en terningudvikling og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende flader har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

4. Tegn udviklingen af ​​en almindelig 6-gonal pyramide og farve den på en sådan måde, at ved limning af tilstødende ansigter har forskellige farver. Hvad er det mindste antal blomster, du skal tage?

5. Parallelisme af linjer i rummet

Mulighed 1

1. Skriv i en regulær 4-gonal pyramide SABCD alle par parallelle kanter.

2. I planet af to parallelle linjer -en Og b givet point C, der ikke hører til disse linjer. Gennem punktet C en direkte linje blev trukket c. Hvordan kan en lige linje placeres? c i forhold til rette linjer -en Og b.

3. Gennem et punkt, der ikke hører til en given linje, tegnes en linje parallelt med denne.

4. Find stedet for de linjer, der skærer to givne parallelle linjer.

Mulighed 2

1. Skriv fire par parallelle kanter af terningen EN… D 1 .

2. Givet tre linjer -en, b Og Med. Hvordan kan disse rette linjer placeres, så der kan tegnes et plan, der indeholder alle disse lige linjer?

3. Givet to parallelle linjer -en Og b. Bevis, at ethvert fly, der krydser et af dem, også vil skære det andet.

4. Find stedet for linjer parallelt med en given linje og skærer en anden linje, der skærer den første.

6. Krydsende linjer

Mulighed 1

1. I en terning EN… D 1 skriv ned kanterne, der krydser kanten AB.

2. Skriv par krydsende kanter af en 4-gonal pyramide SABCD.

3. Hvordan er linjerne placeret i forhold til hinanden? -en Og b i figur 1? Begrund dit svar.

4. Givet to skæve linjer -en Og b og et punkt, der ikke tilhører dem C. Konstruer en lige linje c, der passerer gennem punktet C og skærer linjerne -en Og b.

Mulighed 2

1. Skriv de kanter ned, der skærer kanten S.A. almindelig 4-gonal pyramide SABCD.

2. Skriv de kanter ned, der skærer diagonalen B 1 D Cuba A…D 1 .

c(Fig. 1). Lige -en ligger i plan a og skærer linjen c. Er det muligt at tegne en linje parallelt med linjen i plan b? -en? Begrund dit svar.

4. Findes der to parallelle linjer, som hver skærer to givne skæve linjer? Begrund dit svar.

7. Parallelisme af en ret linje og et plan

Mulighed 1

1. Skriv ned kanterne parallelt med ansigtets plan CC 1 D 1 D korrekt prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Direkte -en parallelt med plan a; lige b skærer plan a i punktet B; lige c, der skærer linjerne -en Og b henholdsvis på punkter E Og F, skærer plan a ved punkt C. Lav en tegning. Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? -en Og b?

3. Planerne a og b skærer hinanden i en ret linje c. Prik EN hører til plan a, punkt B– fly b. Konstruer: a) en ret linje -en, liggende i planet a, der går gennem punktet EN og parallelt med plan b; b) lige b, der ligger i b-planet, der passerer gennem punktet B og parallelt med plan a. Hvordan vil de rette linjer blive placeret i forhold til hinanden? -en Og b?

4. Points EN Og B tilhører tilstødende sideflader af pyramiden. Tegn to segmenter parallelt med hinanden gennem disse punkter på disse flader.

Mulighed 2

1. Skriv fladernes planer ned parallelt med kanten CC 1 parallelepipedum EN… D 1 .

2. Direkte -en parallelt med plan a; lige b Og c, skærer linjen -en henholdsvis på punkter B Og C, skærer planet a henholdsvis ved punkterne D Og E. Lav en tegning. Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? -en Og b?

3. Planerne a og b skærer hinanden i en ret linje c. Lige -en ligger i plan a. Bevis, at hvis: a) -en skærer plan b i punktet EN, At EN hører til linjen c; b) -en er parallel med plan b, så er den parallel med linjen c.

4. Points EN Og B tilhører tilstødende sideflader af prismet. Tegn to segmenter parallelt med hinanden gennem disse punkter på disse flader.

8. Parallelisme af to planer

Mulighed 1

1. Skriv parallelepipediets parallelle planer ned EN… D 1 .

2. Er udsagnene sande:

1) Gennem et punkt, der ikke hører til et givet plan, passerer der et enkelt plan parallelt med det givne.

2) Hvis to linjer, der ligger i et plan, er henholdsvis parallelle med to linjer, der ligger i et andet plan, så er disse planer parallelle.

3) Der er uendeligt mange linjer parallelle med et givent plan og går gennem et punkt, der ikke hører til dette plan.

4) Hvis et af to givne planer er parallelt med to skærende linjer, der ligger i det andet plan, så er disse planer parallelle.

3. Bevis at to planer parallelt med det samme tredje plan er parallelle med hinanden.

4. Segmenter AB Og CD ligge i parallelle planer a og b, henholdsvis (fig. 2). Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? A.C. Og BD? Kan de være parallelle?

Mulighed 2

1. I en trekantet pyramide SABC tegne et plan parallelt med dets base ABC.

2. Er udsagnene sande:

1) Hvis en linje, der ligger i et plan, er parallel med en linje, der ligger i et andet plan, så er disse planer parallelle.

2) Hvis et plan skærer to givne planer langs parallelle linjer, så er disse planer parallelle.

3) Der er uendeligt mange planer parallelt med en given linje og går gennem et punkt, der ikke hører til denne linje.

4) Hvis to planer er parallelle med den samme linje, så er de parallelle.

3. Bevis, at hvis et plan skærer et af to parallelle planer, så skærer det også det andet.

4. Segmenter AB Og CD ligge i parallelle planer henholdsvis a og b (fig. 3). Hvordan kan rette linjer placeres i forhold til hinanden? AD Og B.C.? Kan de krydse hinanden?

9. Vektorer i rummet

Mulighed 1

1. For en given vektor
konstruer vektorerne: a) - ; b) 2; V) -.

2. Hvor mange vektorer er defineret af alle mulige punktpar, der består af toppunkterne i en regulær firkantet pyramide?

ABCD og tegn en vektor: a)
; b)
; V)
.

4. Givet et parallelepipedum EN… D
; b)
; V)
.

Mulighed 2

1. For en given vektor konstruer vektorerne: a) 3 ; b) -2; V).

2. Hvor mange vektorer er defineret af alle mulige punktpar, der består af hjørnerne af et trekantet prisme?

3. Tegn et regulært tetraeder ABCD og tegn en vektor: a)
; b); V)
.

4. Givet et parallelepipedum EN… D 1 . Find summen af ​​vektorer: a)
; b); V).

10. Kollineære og koplanære vektorer

Mulighed 1

for at få vektoren , identisk instrueret med og | |=1.

2. Givet to modsat rettede vektorer og , og | | > | |. Find retningen og længden af ​​vektoren +.

3. Givet et tetraeder ABCD. Skriv ned tre par af dets hjørner, der definerer koplanære vektorer.

4. Givet en terning EN… D 1 . Skriv tripletter af ikke-koplanære vektorer med begyndelse og slutning ved sine hjørner.

Mulighed 2

1. Med hvilket tal skal en vektor, der ikke er nul, ganges? for at få vektoren , modsat rettet med og | |=2.

2. Givet to modsat rettede vektorer og , og | | |. Find retningen og længden af ​​vektoren +.

3. Givet et tetraeder ABCD. Skriv ned tre par af dets hjørner, der definerer ikke-koplanære vektorer.

4. Givet en terning EN… D 1 . Skriv tripletter af koplanære vektorer med begyndelse og slutning ved sine hjørner.

11. Parallel overførsel

Mulighed 1

1. Konstruer en figur, der opnås ved parallel translation af en linje -en til vektor
, hvis en) E hører til -en, F hører ikke til -en; b) point E Og F hører ikke til -en.

2. Angiv en parallel oversættelse, som er midten af ​​segmentet G.H. oversættes til et eller andet punkt M.

3. Konstruer en figur, der fås ud fra en firkant ABCD parallel overførsel til en vektor: a)
; b)
.

ABCD parallel overførsel til en vektor.

Mulighed 2

1. Konstruer en figur, der opnås ved parallel translation af en cirkel med centrum i punktet O til vektor
, hvis: a) punkt K hører til kredsen; b) punkt K hører ikke til kredsen.

2. Angiv den parallelle oversættelse, som er skæringspunktet O to lige linjer -en Og b oversættes til et eller andet punkt N.

3. Konstruer en figur, der fås ud fra en regulær trekant ABC parallel overførsel til en vektor: a) ; b)
, hvor er pointen M– midt på siden B.C..

4. Konstruer en figur, der er opnået fra et tetraeder ABCD parallel overførsel til en vektor
.

12. Parallel design

Mulighed 1

1. Hvor mange punkter opnås ved parallel projektion af to forskellige punkter i rummet? Lav passende tegninger og begrundelse.

2. Angiv egenskaberne for et rektangel, der er bevaret under paralleldesign.

3. Hvordan skal to rette linjer placeres, så de projiceres på et plan i en ret linje og et punkt, der ikke hører til denne rette linje?

4. Parallelle linjer -en Og b EN, B Og C er vist i figur 4. Tegn det fjerde punkt D. Begrund dit svar.

Mulighed 2

1. Hvor mange point får du, når du designer tre forskellige punkter i rummet? Lav passende tegninger og begrundelse.

2. Angiv egenskaberne for en rombe, der er bevaret under paralleldesign.

3. Hvordan skal en linje og et punkt placeres, så de projiceres på et plan i en linje og et punkt, der hører til denne linje?

4. Skærende linjer -en Og b skærer parallelle planer a og b i fire punkter. Tre af dem EN, B Og C er vist i figur 5. Tegn det fjerde punkt D. Begrund dit svar.

13. Parallelle projektioner af plane figurer

Mulighed 1

1. Tegn en parallel projektion af en ret ligebenet trekant, der ligger i et plan parallelt med projektionsplanet.

2. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant ABC og på den konstruer billeder af perpendikulære faldet fra punktet M– midt på siden AB til siderne A.C. Og B.C..

ABCDEF, idet man tager et rektangel som den oprindelige figur ABDE.

4. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant ABC og konstruer på den et billede af en vinkelret tegnet fra punktet K– segmentets midtpunkt B.O.(O– midten af ​​trekanten) til siden AB.

Mulighed 2

1. Tegn en parallel projektion af en ligesidet trekant, der ligger i et plan parallelt med projektionsplanet.

2. Tegn en parallel projektion af en firkant ABCD og på den konstruer et billede af perpendikulære tegnet fra punktet E– midt på siden B.C. til lige linjer BD Og A.C..

3. Tegn en parallel projektion af en regulær sekskant ABCDEF, idet den indledende figur tager en ligesidet trekant ES.

4. Tegn en parallel projektion af et rektangel ABCD, Hvilken en AD = 2AB. Konstruer et billede af en vinkelret faldet fra et toppunkt C til diagonalen BD.

14. Billede af rumlige figurer

Mulighed 1

1. Tegn en regulær firkantet pyramide og dens højde.

2. Tegn en terning, hvis to flader er parallelle med designplanet.

3. Figur 6 viser en parallel projektion af en terning EN… D

4. Givet et tetraeder ABCD. Området af dens ansigt ADC svarende til S BDC til flyet ADC i retning af en lige linje AB.

Mulighed 2

1. Tegn en almindelig trekantet pyramide og dens højde.

2. Tegn en terning, hvis flader ikke er parallelle med designplanet.

3. Figur 7 viser en parallel projektion af en terning EN… D 1 . Hvordan er kuben placeret i forhold til designplanet?

4. Givet et tetraeder ABCD. Området af dens ansigt ABD svarende til Q. Find projektionsområdet for dens ansigt BDC til flyet A.D.B. i retning af en lige linje C.M., Hvor M– midten af ​​ribben AB.

15. Udsnit af polyedre

Mulighed 1

1. I et sekskantet prisme EN… F 1 (fig. 8) konstruer linjens skæringspunkt PQ med fly ABC, hvor punkterne Q Og P tilhører henholdsvis prismets sidekanter BB 1 og DD 1 .

2. På sidekanterne af et firkantet prisme EN… D 1 gives tre point K, L, M(Fig. 9). Konstruer en plan skæringslinje KLM med fly ABC.

3. Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne x, Y, Z, tilhørende henholdsvis kanterne AD, A.A. 1 , BB 1 og sådan ØKSE:XD = 1:2, EN 1 Y:YA= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. I den højre pyramide SABCD konstruer en sektion, der går gennem siden af ​​basen AD og periode M, tilhørende sidekanten S.B..

Mulighed 2

1. På sideribbene BB 1 og E.E. 1 prisme ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E Der gives 1 point tilsvarende F Og G(Fig. 10). Konstruer linjens skæringspunkt FG med fly ABC.

2. Givet en terning EN… D 1 . På hans ribben A.A. 1 , CC 1 og DD 1 gives tre point hhv x, Y, Z(Fig. 11). Konstruer skæringslinjen for planerne XYZ Og ABC.

3. I et regulært trekantet prisme EN… C 1 konstruer et snit, der går gennem punkterne K, L Og M, tilhørende henholdsvis kanterne A.A. 1 , A.C. Og BB 1 og sådan, at: A.K. = K.A. 1 ; AL:L.C. = 1:2 og B.M. = M.B. 1 .

4. I den højre pyramide SABCD konstruer et snit, der går gennem diagonalen A.C. base og parallelt med sidekanten SD.

16. Vinkel mellem lige linjer i rummet. Linjers vinkelrethed

Mulighed 1

1. I en terning EN… D AB Og BB 1; b) BD Og BB 1; V) AB 1 og CC 1; G) AB 1 og CD 1 .

EN… C 1 segment CD vinkelret på kanten AB. Find vinklen mellem linjerne: a) CD Og A.A. 1; b) CD Og EN 1 B 1 .

SABCD med lige kanter, find vinklen mellem diagonalen A.C. bund og sidekant S.C..

4. Find vinklen mellem de krydsende kanter på et regulært tetraeder.

Mulighed 2

1. I en terning EN… D 1 find vinklen mellem linjerne: a) B.C. Og BB 1; b) EN 1 C 1 Og AD; V) BB 1 og BD; G) EN 1 D Og B.C. 1 .

2. I et regulært trekantet prisme EN… C 1 ER.– medianen af ​​basen ABC. Find vinklen mellem linjerne: a) ER. Og C 1 B 1; b) ER. Og EN 1 C 1 .

3. I et regulært tetraeder ABCD prik M– midten af ​​ribben C.B.. Find vinklen mellem linjerne ER. Og DC.

4. Find vinklen mellem ikke-skærende kanter på en regulær trekantet pyramide.

17. Vinkelrethed af en linje og et plan

Mulighed 1

1. Bevis, at en linje vinkelret på et plan skærer dette plan.

2. Gennem centrum O firkant ABCD en direkte linje blev trukket Okay, vinkelret på dette kvadrats plan. Bevis, at linjen A.K. vinkelret på en ret linje BD.

3. Find stedet for punkter, der hører til linjer, der går gennem et givet punkt og vinkelret på en given linje.

4. Peg M hører til sidefladen ABD trekantet pyramide ABCD, hvori AB = BD Og A.C. = CD. Konstruer et udsnit af denne pyramide med et plan, der går gennem punktet M og vinkelret på linjen AD.

Mulighed 2

1. Direkte -en, vinkelret på plan a, skærer dette plan i punktet EN. Bevis, at linjen b, der passerer gennem punktet EN og vinkelret på linjen -en, ligger i plan a.

2. Gennem pointen M– midt på siden AB ligesidet trekant ABC en direkte linje blev trukket M.H., vinkelret på denne trekants plan. Bevis vinkelret på linjer AB Og HC.

3. Givet en lige linje -en og et punkt, der ikke hører til EN. Find stedet for linjer, der går gennem et punkt EN og vinkelret på linjen -en.

4. I et rektangulært parallelepipedum EN… D 1 konstruer et snit, der går gennem et punkt K, indre punkt i diagonalsnittet A.A. 1 C 1 C og vinkelret på linjen BB 1 .

18. Vinkelret og skrå

Mulighed 1

1. Givet et fly a. Fra punkt EN to tilbøjelige AB= 20 cm og A.C.= 15 cm. Projektionen af ​​det første skrå plan på dette plan er 16 cm. Find projektionen af ​​det andet skrånende plan.

2. Fra et punkt M, der ikke hører til planet g, trækkes lige skrå skråninger til det M.A., M.B. Og M.C.. Bevis, at baserne på de skrånende tilhører den samme cirkel. Find dens centrum.

3. Fra et punkt B to lige store 2 cm skrå planer tegnes til plan b. Vinklen mellem dem er 60 0, og mellem deres projektioner - 90 0. Find vinkelret faldet fra punktet B til fly b.

4. Givet en trekant med sider 13 cm, 14 cm og 15 cm. Punkt M, der ikke tilhører denne trekants plan, er 5 cm væk fra trekantens sider Find vinkelret faldet fra punktet M til planet for den givne trekant.

Mulighed 2

1. Fra et punkt EN trukket til at plane en skrå AB= 9 cm og vinkelret A.O.= 6 cm Find projektionen af ​​denne vinkelret på den givne skrånende.

2. Find stedet for punkter i rummet lige langt fra alle punkter på en given cirkel.

3. Fra et givet punkt trækkes to lige skrå skråninger til et givet plan, der danner en vinkel på 60 0 mellem dem. Vinklen mellem deres projektioner er lige. Find vinklen mellem hver skrå og dens projektion.

4. Peg M afstand fra hvert hjørne af en regulær trekant med
cm, og fra hver side - 2 cm Find vinkelret faldet fra punktet M til trekantens plan.

19. Vinkel mellem en ret linje og et plan

Mulighed 1

1. I en pyramide er de laterale ribber lige skråtstillede til bundens plan. På hvilket tidspunkt projiceres toppen af ​​pyramiden?

2. I en terning EN… D A.A. 1 og fly AB 1 D 1 .

3. En skrå linje tegnes til plan a M.H. (H hører til plan a). Bevis, at hvis projektionen er skrå M.H. danner lige vinkler med rette vinkler A.H. Og B.H., liggende i flyet a, så den skrånende M.H. danner lige store vinkler med dem.

4. Tegn en lige linje til et givet plan gennem et givet punkt på det, og danner en vinkel på 90 0 med planet.

Mulighed 2

1. Bevis, at i en regulær pyramide er sidekanterne lige skråtstillede i forhold til basens plan.

2. I en terning EN… D 1 find cosinus af vinklen mellem kanten EN 1 D 1 og fly AB 1 D 1 .

3. En skrå linje tegnes til plan b B.P. (P hører til plan b), som danner lige vinkler med rette vinkler P.E. Og PF, liggende i fly b. Bevis, at vinkler dannet af rette linjer P.E. Og PF med skrå projektion B.P. på planet b er lige store.

4. Gennem et punkt, der ikke hører til dette plan, tegnes en ret linje, der danner en vinkel på 90 0 med planet.

20. Afstand mellem punkter, linjer og planer

Mulighed 1

1. I en retvinklet trekant ABC(
C= 90 0) ben A.C. lig med 8 cm. Fra toppen B en vinkelret tegnes på denne trekants plan BD. Afstand mellem punkter EN Og D svarer til 10 cm D til benet A.C..

2. I en enhedsterning EN… D EN og: a) toppen C 1; b) kant CC 1; c) kant BB 1 C 1 C.

3. Peg M afstand fra alle hjørner i en retvinklet trekant -en. Hypotenusen i en trekant er lig med c. Find afstanden fra punktet M til planet for den givne trekant.

4. I en terning EN… D 1 med rib -en AB Og B 1 C 1 .

Mulighed 2

1. Ben af ​​en retvinklet trekant ABC(C= 90 0) er lig med 15 cm og 20 cm. Fra toppen C en vinkelret tegnes på trekantens plan CD lig med 5 cm Find afstanden fra punktet D til hypotenusen AB.

2. I en enhedsterning EN… D 1 find afstanden mellem toppunktet D 1 og: a) toppen B; b) kant AB; c) kant BB 1 C 1 C.

3. Fra et punkt K en vinkelret på længden d og to skrånende tegnes, hvis vinkler med vinkelret er 30 0. Vinklen mellem de skrånende er 60 0. Find afstanden mellem baserne på de skrånende.

4. I en terning EN… D 1 med rib -en find afstanden mellem krydsende kanter DC Og BB 1 .

21. Dihedral vinkel

Mulighed 1

-en. Find den ortogonale projektion af dette skrå plan på planet, hvis vinklen mellem det skrånende plan og planet er 30 0.

2. To punkter tages på den ene side af en dihedral vinkel EN Og B. Perpendikulære er udeladt fra dem A.A. 1 , BB 1 til den anden side og A.A. 2 , BB 2 pr. kant af den dihedrale vinkel. Find BB 2 hvis A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. To lige store rektangler har en fælles side og deres planer danner en vinkel på 45 0. Find forholdet mellem arealer af to figurer, hvori den ortogonale projektion af siden af ​​det ene rektangel deler det andet.

4. Bevis, at perpendikulærerne tegnet fra punkterne på en given linje på et plan ligger i samme plan, og den geometriske placering af disse perpendikulers baser er skæringslinjen mellem disse planer.

Mulighed 2

1. Den skrå linje tegnet til planet er lig med -en. Find den ortogonale projektion af dette skrå plan på planet, hvis vinklen mellem det skrånende plan og planet er 60 0.

2. Der tages to punkter på den ene side af en dihedral vinkel, med en afstand på 9 cm og 12 cm fra dens kant. Afstanden fra det første punkt til den anden side af den dihedral vinkel er 20 cm. Find afstanden fra denne flade til andet punkt.

3. To ligebenede trekanter har en fælles base, og deres planer danner en vinkel på 60 0. Den fælles base er 16 cm, siden af ​​den ene trekant er 17 cm, og siderne af den anden er vinkelrette. Find afstanden mellem hjørnerne af trekanter, der ligger over for en fælles base.

4. Bevis, at skæringspunktet for de ortogonale projektioner af to linjer på et plan er den ortogonale projektion af skæringspunktet for disse linjer på samme plan.

22. Planernes vinkelrethed

Mulighed 1

1. Givet en terning EN… D ABD Og DCC 1; b) AB 1 C 1 og ABB 1 .

2. Gennem en given linje, der ligger i et givet plan, tegnes et plan vinkelret på dette plan.

3. To vinkelrette planer a og b skærer hinanden i en ret linje AB. Lige CD ligger i plan a, parallelt AB og er placeret i en afstand af 60 cm fra den. Prik E hører til plan b og er placeret i en afstand af 91 cm fra AB. Find afstanden fra punktet E til en lige linje CD.

4. Bevis, at linjen -en og plan a, vinkelret på samme plan b, er parallelle, hvis den rette linje -en ligger ikke i plan a.

Mulighed 2

1. Givet en terning EN… D 1 . Bevis planernes vinkelrethed: a) A.A. 1 D 1 Og D 1 B 1 C 1; b) EN 1 B 1 D Og BB 1 C 1 .

2. Tegn et plan vinkelret på dette plan gennem det skrå plan.

3. Segmenter MN har ender på to vinkelrette planer og laver lige store vinkler med dem. Bevis, at de punkter M Og N lige langt fra skæringslinjen mellem disse planer.

4. Bevis at to planer a og b er parallelle, hvis de er vinkelrette på planen g og skærer den langs parallelle linjer.

23*. Centralt design

Selvstændigt arbejde N 1

Mulighed 1

1. Under central design, hvor går den lige linje parallelt med designplanet?

2. Flad figur ligger i et plan parallelt med designplanet og er mellem centrum og designplanet. Hvordan bestemmes lighedskoefficienten mellem en figur og dens projektion?

R. Et plan parallelt med basen trækkes gennem midten af ​​højden. Find tværsnitsarealet.

4. I en trekantet pyramide ABCD(Fig. 12) gennem punkter M Og N, der tilhører henholdsvis ansigterne ABD Og BCD, tegn et snit parallelt med kanten A.C..

Mulighed 2

1. I hvilket tilfælde vil den centrale projektion af to linjer være to parallelle linjer?

2. En plan figur ligger i et plan parallelt med projektionsplanet. Designplanet er placeret mellem designcentret og planet for den givne figur. Hvordan bestemmes lighedskoefficienten mellem en figur og dens projektion?

3. Radius af keglens bund er lig med R. Den skæres af et plan parallelt med bunden og deler keglens højde i forhold til m:n, tæller fra toppen. Find tværsnitsarealet.

4. I en trekantet pyramide ABCD(Fig. 13) gennem et punkt M, der hører til pyramidens højde GØR, tegn et snit parallelt med ansigtet BCD.

Selvstændigt arbejde N 2

Mulighed 1

1. Direkte mS. Tegn den centrale projektion af en del af en given linje placeret i det samme halvrum med punktet S i forhold til plan s.

EN… D A.A. 1 C 1 .

3. Tegn den centrale projektion af et regulært sekskantet prisme på et plan parallelt med dets baser.

4. Givet en regulær firkantet pyramide SABCD, hvis dihedriske vinkel ved bunden er lig med 60 0. Find afstanden mellem linjerne AB Og S.C., hvis AB= 1.

Mulighed 2

1. Direkte m skærer designplanet p og passerer ikke gennem designcentret S. Tegn den centrale projektion af en del af en given linje placeret i forskellige halvrum med et punkt S i forhold til plan s.

2. Tegn den centrale projektion af terningen EN… D 1 på et plan parallelt med planet AB 1 C 1 .

3. Tegn den centrale projektion af et regulært sekskantet prisme på et plan, der ikke er parallelt med dets baser.

4. Givet et regulært trekantet prisme EN… C 1, hvor alle kanter er lig med 1. Find afstanden mellem linjerne A.A. 1 og B.C. 1 .

24. Polyedriske vinkler

Mulighed 1

1. Skriv ned, under hvilke betingelser vinkler a, b og g kan være plane vinkler af en triedrisk vinkel.

2. B trihedral vinkel alle plane vinkler er rette vinkler. På dens kanter er segmenter på 2 cm, 4 cm, 6 cm lagt ud fra toppen, og et plan trækkes gennem deres ender. Find området for den resulterende sektion.

3. Langs hvor mange linjer skærer planerne af alle flader af en tetraedrisk vinkel parvis?

Mulighed 2

1. To plane vinkler af en trihedrisk vinkel er lig med a og b, og a > b. Skriv ned de grænser, inden for hvilke værdierne af den tredje planvinkel g af en given trihedrisk vinkel er mulige.

2. I en trihedral vinkel alt dihedrale vinkler- lige. Fra toppen af ​​denne vinkel i dens indre område tegnes et segment, hvis projektioner på kanterne er lige store -en, b Og c. Find dette segment.

3. Langs hvor mange linjer skærer planerne af alle flader af en pentaedrisk vinkel parvis?

25*. Konvekse polyedre

Mulighed 1

n-kulprisme: a) konveks; b) ikke-konveks.

2. Tegn et konveks polyeder med 5 hjørner.

3. I et konveks polyeder kendes antallet af flader Г, og hver flade har det samme antal sider n. Find antallet af: a) plane vinkler (
); b) kanter (P) af et givet polyeder. Hvordan hænger tal og P sammen?

4. Konveks polyeder har B-spidser, P-kanter og G-flader. De afskar ham m-facetteret vinkel. Find antallet af hjørner, kanter og flader af det resulterende polyeder.

Mulighed 2

1. Bestem antallet af hjørner (B), kanter (P) og flader (D) n-kulpyramide: a) konveks; b) ikke-konveks.

2. Tegn et konveks polyeder med 6 spidser.

3. I et konveks polyeder kendes antallet af toppunkter B, og det samme antal kanter konvergerer ved hvert toppunkt m. Find antallet af: a) plane vinkler (); b) kanter af et givet polyeder (P). Hvordan hænger tal og P sammen?

4. Et konveks polyeder har B-spidser, P-kanter og T-flader. Til hans n- en pyramide blev bygget på kulfladen. Find antallet af hjørner, kanter og flader på det nye polyeder.

26*. Eulers sætning

Mulighed 1

1. Tegn et ikke-konveks polyeder, som Eulers sætning gælder for.

3. Bevis, at i enhver konveks polyeder med B-spidser, P-kanter og G-flader gælder følgende ulighed: 3B – 6 R.

4. Find siden af ​​bunden af ​​en regulær trekantet pyramide med højde h og sidekant b.

Mulighed 2

1. Tegn et ikke-konveks polyeder, som Eulers sætning ikke holder for.

2. Bevis, at for ethvert konveks polyeder forholdet er sandt

3. Bevis, at i enhver konveks polyeder med B-spidser, P-kanter og G-flader gælder følgende ulighed: 3G – 6 P.

4. Find højden af ​​en regulær trekantet pyramide med grundsiden -en og sidekanthøjde h.

27. Regelmæssige polyedre

Mulighed 1

1. Tegn: a) udviklingen af ​​et tetraeder; b) et polyeder dual til et hexahedron.

2. Konstruer et udsnit af oktaederet med et plan, der går gennem et af dets toppunkter og midtpunkterne af to parallelle kanter, som dette toppunkt ikke hører til. Bestem typen af ​​sektion.

3. Ind i et tetraeder ABCD et regulært trekantet prisme med lige kanter er indskrevet på en sådan måde, at spidserne af en af ​​dets baser er på sidekanterne AD, BD, CD, og den anden - i flyet ABC. Kanten af ​​et tetraeder er -en. Find kanten af ​​prismet.

4. I et tetraeder ABCD M– midt i højden GØR tetraeder, parallelt med ansigtets plan ADC. Bestem typen af ​​sektion.

Mulighed 2

1. Tegn: a) udviklingen af ​​en terning; b) et polyeder dual til et tetraeder.

2. Konstruer et udsnit af oktaederet med et plan, der går gennem to af dets parallelle kanter. Bestem typen af ​​sektion.

3. En terning er indskrevet i et oktaeder på en sådan måde, at dets spidser er på oktaederets kanter. Kanten af ​​oktaederet er -en. Find kanten af ​​terningen.

4. I et tetraeder ABCD tegne et snit med et plan, der går gennem punktet M, der hører til ansigtet ABC parallelt med ansigtsplanet BCD. Bestem typen af ​​sektion.

28*. Halvregulære polyedre

Mulighed 1

1. Find antallet af hjørner (B), kanter (P) og flader (D) af et afkortet sekskant.

2. Hvordan kan man opnå en 5-gonal antiprisme?

3. Tegn et polyeder dual til et regulært sekskantet prisme.

4. Regelmæssig trekant ABC og endnu en trekant ADC har en fælles side A.C. og er placeret i forskellige planer, hvor mellem vinklen er 30 0. Vertex D ortogonalt projiceret på trekantens plan ABC til dets centrum. Højden af ​​en regulær trekant er h. Find siden AD trekant ADC.

Mulighed 2

1. Find antallet af hjørner (B), kanter (P) og flader (D) af det afkortede oktaeder.

2. Hvordan kan man opnå en ottekantet antiprisme?

3. Tegn et polyeder dual til den 6-gonale antiprisme.

4. Firkantet ABCD og trekant ABE har en fælles side AB og er placeret i forskellige planer, hvor mellem vinklen er 45 0. Vertex E trekanten projiceres ortogonalt på firkantens plan i dets centrum O. Højde E.H. trekant er lig h. Find arealet af trekantens ortogonale projektion på kvadratets plan og den ortogonale projektion af segmentet O.E. til trekantens plan.

29*. Stjerne polyeder

Mulighed 1

1. Hvordan får man en Kepler-stjerne fra et oktaeder?

2. Find antallet af hjørner (B), kanter (P) og flader (D) af det lille stjernedodekaeder.

3. Hvordan opnås en afkortet terning fra en terning? Hvad er dens kant lig, hvis kanten af ​​terningen er lig -en?

4. Bevis, at hvis et plan skærer en trekantet pyramide og er parallel med dens to skærende kanter, så vil sektionen være et parallelogram.

Mulighed 2

1. Hvordan får man en Kepler-stjerne fra et sekskant?

2. Find antallet af hjørner (B), kanter (P) og flader (D) på det store dodekaeder.

3. Hvordan opnås et cuboctahedron fra en terning? Hvad er dens kant lig, hvis kanten af ​​terningen er lig -en?

4. Bevis, at et regulært tetraeder kan skæres af et plan på en sådan måde, at tværsnittet resulterer i en firkant.

tredive*. Krystaller – naturlige polyeder

Mulighed 1

1. Tegn en bjergkrystal.

2. Tegn et rombisk dodekaeder. Hvad er antallet af dets hjørner, kanter og flader?

3. Find summen af ​​alle plane vinkler af en islandsk spartelkrystal.

4. Find summen af ​​arealerne af alle flader af en diamantkrystal (i form af et cuboctahedron), hvis dens kant er lig med -en.

Mulighed 2

1. Tegn en islandsk sparkrystal.

2. Tegn et rombisk dodekaeder. Bestem antallet af dens plane vinkler, dihedrale vinkler; polyedriske vinkler og deres typer.

3. Find summen af ​​alle plane vinkler af en granatkrystal.

4. Find summen af ​​arealerne af alle flader af en diamantkrystal (i form af et afkortet oktaeder), hvis dens kant er lig med -en.

31. Kugle og bold. Kuglens og planets relative position

Mulighed 1

1. En kugle, hvis radius er 10 cm, skæres af et plan placeret i en afstand af 9 cm fra midten. Find tværsnitsarealet.

2. Udsnit af en kugle med radius R r 1 og r 2. Find afstanden mellem disse planer, hvis de er placeret langs forskellige sider fra centrum.

3. Trekantens sider rører ved kuglen. Find afstanden fra kuglens centrum til trekantens plan, hvis kuglens radius er 5 cm og trekantens sider er 12 cm, 10 cm, 10 cm.

4. Hver side af en rombe rører en kugle med en radius på 10 cm. Rombens plan er 8 cm væk fra midten af ​​kuglen. Find arealet af romben, hvis dens side er 12,5 cm.

Mulighed 2

1. Et plan tegnes vinkelret på det gennem midten af ​​kuglens radius. Hvordan forholder arealet af den store cirkel af en given bold sig til arealet af den resulterende sektion?

2. Udsnit af en kugle med radius R to parallelle planer har radier r 1 og r 2. Find afstanden mellem disse planer, hvis de er placeret på samme side af midten.

3. Rombens sider rører en kugle med en radius på 13 cm Find afstanden fra rombens plan til kuglens centrum, hvis diagonalerne på romben er 30 cm og 40 cm.

4. Et plan trækkes gennem enden af ​​kuglens radius, hvilket gør 30 0 med det. Find kuglens tværsnitsareal ved dette plan, hvis kuglens radius er 6 cm.

32. Polyeder indskrevet i en kugle

Mulighed 1

1. Angiv de egenskaber, som et prisme skal opfylde for at beskrive en kugle omkring det.

2. Figur 14 viser en trekantet pyramide ABCD, som har en kant D.B. vinkelret på planet ABC og vinkel ACB er lig med 900. Find midten af ​​kuglen beskrevet omkring denne pyramide.

3. I en regulær firkantet pyramide SABCD grundsiden ABCD lig med 4 cm, dihedral vinkel ved bunden 45 0. Find radius af den omskrevne kugle. Hvor vil dens centrum være?

4. Radius af en kugle afgrænset om et regulært firkantet prisme er lig med R. Find højden af ​​dette prisme, vel vidende at dets diagonal danner en vinkel a med dets sideflade.

Mulighed 2

1. Angiv de egenskaber, som en pyramide skal opfylde for at kunne beskrive en kugle omkring den.

2. Figur 15 viser en pyramide ABCD, hvis vinkler A.D.B., ADC Og BDC lige. Find midten af ​​kuglen beskrevet omkring denne pyramide.

3. I en regulær trekantet pyramide SABC midten af ​​den omskrevne kugle deler højden i dele svarende til 6 cm og 3 cm Find siden af ​​basen ABC pyramider.

4. I et regulært 4-vinklet prisme er diagonalen på basen og diagonalen på sidefladen henholdsvis 16 cm og 14 cm Find radius af den omskrevne kugle.

33. Polyeder beskrevet omkring en kugle

Mulighed 1

1. Er det muligt at indskrive en kugle i en pyramide, hvis dihedrale vinkler ved bunden er lige store? Forklar dit svar.

2. Et lige prisme er beskrevet nær kuglen, hvis basis er en rombe med diagonaler på 6 cm og 8 cm Find arealet af basen og prismets højde.

3. Siden af ​​bunden af ​​en regulær firkantet pyramide er lig med -en, den dihedriske vinkel ved bunden er 60 0. Find radius af den indskrevne kugle.

4. Siderne af bunden af ​​en regulær 4-gonal afkortet pyramide er 1 cm og 7 cm. Sidekanten hælder til bunden i en vinkel på 45 0. Find radius af den omskrevne kugle.

Mulighed 2

1. Hvilken egenskab skal et retvinklet trekantet prisme have, for at en kugle kan indskrives i det?

2. Ved bunden af ​​pyramiden ligger en ligebenet trekant, hvis lige vinkler er lig med a, og hvis grundflade er lig med -en. Pyramidens sideflader hælder til basens plan i en vinkel b. Find radius af kuglen indskrevet i denne pyramide.

3. Find radius af kuglen indskrevet i korrekt pyramide, hvis højde er lige stor h, og den dihedriske vinkel ved bunden er 45 0.

4. I en regulær trekantet afkortet pyramide er højden 17 cm, radierne af de omskrevne cirkler omkring baserne er 5 cm og 12 cm Find radius af den omskrevne kugle.

34. Cylinder. Kegle

Mulighed 1

1. I en cylinder, hvis basisradius er 4 cm og højde 6 cm, tegnes et snit parallelt med aksen. Afstanden mellem tværsnitsdiagonalen og cylinderaksen er 2 cm Find tværsnitsarealet.

2. Et snit tegnes gennem toppen af ​​keglen i en vinkel på 60 0 til dens base. Find afstanden fra midten af ​​keglens bund til snitplanet, hvis keglens højde er 12 cm.

3. Peg M hører til keglens højde. Prik N hører til planet for keglens bund, men er placeret uden for denne base. Konstruer linjens skæringspunkt MN med overfladen af ​​en kegle.

4. Diagonaler aksialt snit keglestub er vinkelrette, højden er 2 cm Find tværsnitsarealet af en keglestub trukket gennem midten af ​​højden parallelt med baserne.

Mulighed 2

1. Cylinderens højde er 15 cm, basens radius er 10 cm. Givet et segment, hvis ender hører til cirklerne på begge baser, og hvis længde er 3
cm Find afstanden mellem dette segment og cylinderens akse.

2. Et snit trækkes gennem toppen af ​​keglen i en vinkel på 30 0 til dens højde. Find tværsnitsarealet, hvis højden af ​​keglen er 3
cm, og basens radius er 5 cm.

3. Den aksiale sektion er angivet i keglen. Points K Og L tilhører to generatorer af keglen, der ikke ligger i dette afsnit. Konstruer linjens skæringspunkt KL med planet for et givet aksialsnit.

4. Radierne af baserne af en keglestub er i forholdet 1:3, generatricen laver en vinkel på 45 0 med basens plan, højden er h. Find arealet af baserne.

35. Vend. Rotationstal

Mulighed 1

1. Tegn den form, der opnås ved at dreje firkanten ABCD omkring en lige linje -en, der passerer gennem toppunktet B BD.

2. Tegn en figur, der fås ved at dreje en cirkel rundt om en tangent.

3. Kurven er givet ved ligningen y = synd x, 0 x s. Tegn den form, der vil resultere, når denne kurve drejes rundt om en akse Åh.

4. Flyet passerer gennem cylinderens akse, og arealet af cylinderens aksiale sektion er relateret til arealet af dens base som 4: s. Find vinklen mellem diagonalerne af det aksiale snit.

Mulighed 2

1. Tegn den form, der opnås ved at rotere romben ABCD omkring en lige linje -en, der passerer gennem toppunktet C og vinkelret diagonal A.C..

2. Tegn en figur, der fås ved at dreje en cirkel rundt om en korde, der ikke er en diameter.

3. Kurven er givet ved ligningen y =
, 0 x 4. Tegn den form, der opnås ved at dreje denne kurve rundt om aksen Okse.

4. Keglens højde er 20 cm, vinklen mellem den og generatricen er 60 0. Find tværsnitsarealet tegnet gennem to indbyrdes vinkelrette generatrices af keglen.

36. Indskrevne og omskrevne cylindere

Mulighed 1

1. En cylinder er indskrevet i en kugle med en radius på 10 cm, hvis diagonal af det aksiale snit hælder i forhold til basens plan i en vinkel på 30 0 . Find højden af ​​cylinderen og radius af dens base.

2. Find radius af bunden af ​​cylinderen omskrevet om en kugle med radius R.

r, et regulært trekantet prisme er indskrevet. Find tværsnitsarealet af prismet, der passerer gennem cylinderens akse og sidekanten af ​​prismet.

r, beskrives et regulært firkantet prisme. Find området af dens ansigter.

Mulighed 2

1. En cylinder er indskrevet i en kugle, hvis generatrix er 8 cm, og diagonalen af ​​det aksiale snit hælder til bundens plan i en vinkel på 60 0. Find kuglens radier og bunden af ​​cylinderen.

2. Find generatrixen af ​​en cylinder omskrevet om en kugle med radius R.

3. Ind i en ligesidet cylinder (højde lig med bundens diameter), hvis radius er lig med r, er et regulært firkantet prisme indskrevet. Find tværsnitsarealet af prismet, der passerer gennem cylinderens akse og sidekanten af ​​prismet.

4. Nær en ligesidet cylinder, hvis basisradius er r, beskrives et regulært trekantet prisme. Find området af dens ansigter.

37*. Udsnit af en cylinder ved et plan. Ellipse

Mulighed 1

1. Tegn en cylinder og en ellipse, som er skæringspunktet mellem cylinderens sideflade med et plan, der danner en vinkel på 45 0 med cylinderens bund.

2. Side overflade cylinder skæres af et plan, der danner en vinkel på 30 0 med cylinderaksen. Find ellipsens hovedakse opnået i tværsnit, hvis radius af cylinderbunden er lig med R.

3. Planet skærer cylinderens sideflade og danner en vinkel på 30 0 med basens plan. Find afstanden mellem ellipsens brændpunkter opnået i tværsnit, hvis radius af cylinderbunden er 3 cm.

R, skæres af et plan, der danner en vinkel på 45 0 med cylinderens bund. Find summen af ​​afstandene fra punkterne på ellipsen opnået i sektionen til brændpunkterne.

Mulighed 2

1. Tegn en cylinder og en ellipse, som er skæringspunktet mellem cylinderens sideflade med et plan, der danner en vinkel på 60 0 med cylinderens bund.

2. I hvilken vinkel i forhold til planet for cylinderens bund skal planet tegnes for at opnå en ellipse i snittet af sidefladen, hvis hovedakse er dobbelt så stor som den lille?

3. Planet skærer cylinderens sideflade og danner en vinkel på 45 0 med basens plan. Find afstanden mellem ellipsens brændpunkter opnået i tværsnit, hvis radius af bunden af ​​cylinderen er 2 cm.

4. En cylinder, hvis basisradius er R, skæres af et plan, der danner en vinkel på 30 0 med bunden af ​​cylinderen. Find summen af ​​afstandene fra ellipsens punkter opnået i snit til brændpunkterne.

38. Indskrevne og omskrevne kogler

Mulighed 1

1. En kegle er indskrevet i en kugle med en radius på 4 cm. Find højden af ​​denne kegle og radius af dens base, hvis vinklen ved toppen af ​​det aksiale snit er 60 0 .

2. Radius af keglens bund er lig med r, generatricen hælder til basens plan i en vinkel på 60 0. Find radius af kuglen indskrevet i keglen.

3. Er det muligt at passe en 4-gonal pyramide ind i en kegle, hvis grundvinkler konsekvent er relateret til: a) 1:5:9:7; b) 4:2:5:7?

4. Pyramidens bund er en ligebenet trapez med baser på 8 cm og 18 cm; De dihedriske vinkler ved bunden af ​​pyramiden er ens. En kegle er indskrevet i pyramiden. Find radius af keglens basis og dens højde, hvis den mindre sidekant af pyramiden danner en vinkel på 60 0 med den mindre side af trapez.

Mulighed 2

1. I en kegle er generatrixen 15 cm og danner en vinkel på 60 0 med basen. Find radius af den omskrevne kugle.

2. En kugle er indskrevet i en kegle, hvis radius er R. Find radius af keglens basis, hvis vinklen ved toppen af ​​det aksiale snit er 60 0 .

3. Er det muligt at beskrive en 4-gonal pyramide nær en kegle, hvor siderne af basen konsekvent er forbundet som: a) 5: 6: 8: 7; b) 3:10:15:7?

4. Pyramidens bund er en retvinklet trekant; sideribberne er lig med hinanden, og sideflader, der passerer gennem benene, lav vinkler på 30 0 og 60 0 med basen. En kegle er beskrevet rundt om pyramiden på en sådan måde, at de har en fælles højde. Find radius af keglens bund, hvis pyramidens højde er h.

39*. Keglesnit

Mulighed 1

1. Keglens generatrix hælder i forhold til dens basisplan i en vinkel på 60 0. Radius af keglens bund er lig med R. Et plan trækkes gennem midten af ​​basen i en vinkel på 60 0 til basens plan. Find radius af en kugle indskrevet i en konisk overflade og tangerer dette plan.

2. Tegn en kegle og et plan, der skærer den koniske overflade langs en ellipse.

3. Vinklen ved spidsen af ​​keglens aksiale sektion er 90 0. I hvilken vinkel med planet af keglens bund skal planet tegnes for at opnå i snittet af den koniske overflade: a) en ellipse; b) parabel; c) hyperbole?

4. Vinklen mellem keglens akse og dens generatrix er 45 0. Gennem et punkt i generatricen, med afstand fra keglens toppunkt i en afstand -en, tegnes et plan vinkelret på denne generatrix. Find afstanden mellem fokus og retningen af ​​parablen, der er resultatet af snittet af den koniske overflade ved dette plan.

Mulighed 2

1. Vinklen ved spidsen af ​​keglens aksiale sektion er 90 0. Gennem spidsen af ​​generatricen, med afstand fra keglens toppunkt i en afstand -en, tegnes et plan vinkelret på denne generatrix. Find radius af en kugle indskrevet i en konisk overflade, der tangerer dette plan.

2. Tegn en kegle og et plan, der skærer den kegleformede overflade langs en parabel.

3. Keglens generatrix hælder i forhold til dens basisplan i en vinkel på 60 0. I hvilken vinkel til basens plan skal planet tegnes for at opnå i snittet af en konisk overflade: a) en ellipse; b) parabel; c) hyperbole?

4. Vinklen ved spidsen af ​​keglens aksiale sektion er 30 0 . Gennem et punkt i generatricen, med afstand fra toppunktet i en afstand b, tegnes et plan vinkelret på denne generatrix. Find hovedaksen for ellipsen, der stammer fra snittet af den koniske overflade ved dette plan.

40. Symmetri af rumlige figurer

Mulighed 1

1. For to punkter i rummet skal du finde det punkt, hvorom de er centralt symmetriske.

2. Konstruer en linje, der er spejlsymmetrisk med den givne linje i forhold til den givne plan a. Overvej forskellige sager.

3. Bevis, at med aksial symmetri forvandles et plan vinkelret på aksen til sig selv.

4. Find symmetrielementerne i et regulært trekantet prisme.

Mulighed 2

1. For to punkter i rummet skal du finde den linje, i forhold til hvilken de er symmetriske.

2. Konstruer et plan centralt symmetrisk til det givne plan i forhold til punktet O. Overvej forskellige sager.

3. Bevis, at med aksial symmetri omdannes rette linjer vinkelret på aksen til rette linjer også vinkelret på aksen.

4. Find symmetrielementerne i en regulær 6-punkts pyramide.

41. Bevægelser

Mulighed 1

1. Bevis, at sammensætningen af ​​to satser (deres sekventielle udførelse) er en bevægelse.

EN Cuba EN… D 1 til toppen C 1 .

EN almindelig tetraeder ABCD til toppen C.

4. Hvilken slags bevægelse er sammensætningen (sekventiel udførelse) af to aksiale symmetrier med parallelle akser?

Mulighed 2

1. Bevis, at en transformation omvendt til bevægelse også er bevægelse.

2. Find de bevægelser, der flytter toppen B 1 terning EN… D 1 til toppen D.

3. Find de bevægelser, der flytter toppen D almindelig tetraeder ABCD til toppen B.

4. Hvilken slags bevægelse er sammensætningen (sekventiel udførelse) af to centrale symmetrier?

42*. Overfladeorientering. Mobius strimmel

Mulighed 1

1. Hvor mange sider har overfladen: a) pyramider; b) prismer; c) en dobbelt snoet Möbius-strimmel?

2. Tegn en Mobius-strimmel.

-en, b(-en b) ved at lime siderne af længden -en. Hvad er overfladearealet af en Mobius-strimmel?

4. Er det muligt at lime en ensidet overflade fra en sekskant?

Mulighed 2

1. Hvor mange sider har overfladen: a) kegle; b) cylinder; c) Mobius-strimmel?

2. Tegn en dobbelt snoet Möbius-strimmel.

3. Mobius-strimlen fås fra et rektangel med sider -en, b(-en b) ved at lime siderne af længden -en. Hvad er længden af ​​kanten af ​​en Mobius-strimmel?

4. Er det muligt at lime en ensidet overflade fra en ottekant?

43. Volumen af ​​figurer i rummet. Cylindervolumen

Mulighed 1

1. Det aksiale snit af en ret cirkulær cylinder er en firkant med en side på 3 cm Find cylinderens rumfang.

2. Fra kuben EN… D 1, hvis kant er lig med 1, 4 trekantede prismer er afskåret af planer, der passerer gennem midtpunkterne af tilstødende sider af ansigtet ABCD, parallelt med kanten A.A. 1 . Find volumen af ​​den resterende del af terningen.

3. Et retvinklet trekantet prisme skæres af et plan, der går gennem sidekanten og deler arealet af sidefladen modsat den i forhold m:n. I hvilket forhold er prismets rumfang opdelt?

4. Grundlaget for et ret parallelepipedum er en rombe, hvis diagonaler er i forholdet 5:2. Når du ved, at diagonalerne på parallelepipedet er 17 dm og 10 dm, skal du finde volumen af ​​parallelepipedet.

Mulighed 2

1. Diagonalen af ​​cylinderens aksiale sektion er 2 cm og hælder til basens plan i en vinkel på 60 0. Find cylinderens volumen.

2. Lydstyrke korrekt sekskantet prisme lige med V. Bestem rumfanget af et prisme, hvis toppunkter er midtpunkterne på siderne af baserne af dette prisme.

3. I hvilket forhold er volumenet af et retvinklet trekantet prisme divideret med et plan, der går gennem basernes midtlinjer?

4. Grundlaget for et ret parallelepipedum er en rombe, hvis diagonaler er 1 dm og 7 dm. Ved at vide, at diagonalerne på et parallelepipedum er i forholdet 13:17, skal du finde volumenet af parallelepipedet.

44. Cavalieri-princippet

Mulighed 1

1. Er det rigtigt, at to kegler, der har ens baser og højder, er lige store?

1. Find rumfanget af et skrå prisme, hvis grundareal er lig med S, og sidekanten b hælder til basens plan i en vinkel på 60 0.

3. I et skråtstillet parallelepipedum har to sideflader områder S 1 og S 2, er deres fælles kant ens -en, og de danner en dihedral vinkel på 150 0 mellem sig. Find volumenet af parallelepipedet.

4. I et skrånende trekantet prisme er arealet af en af ​​sidefladerne lig med Q, og afstanden fra den til den modsatte kant er d. Find rumfanget af prismet.

Mulighed 2

1. Er det rigtigt, at to pyramider med lige baser og lige høje er lige store?

2. Find rumfanget af en skrå cylinder, hvis basisradius er R, og sidekanten b hælder til basens plan i en vinkel på 45 0.

3. I et skrå parallelepipedum er basis- og sidefladen rektangler, og deres areal er henholdsvis 20 cm 2 og 24 cm 2. Vinklen mellem deres planer er 30 0. En anden side af parallelepipedet har et areal på 15 cm 2. Find volumenet af parallelepipedet.

4. I et skrånende trekantet prisme er to sideflader vinkelrette og har en fælles kant lig med -en. Områderne af disse ansigter er lige store S 1 og S 2. Find rumfanget af prismet.

45. Pyramidens volumen

Mulighed 1

1. En pyramide, hvis volumen er lig med V, og ved basen ligger et rektangel, gennemskåret af fire planer, som hver passerer gennem toppen af ​​pyramiden og midtpunkterne af tilstødende sider af basen. Find volumen af ​​den resterende del af pyramiden.

2. Pyramidens basis er en ligesidet trekant med en side lig med 1. To af dens sideflader er vinkelrette på basens plan, og den tredje danner en vinkel på 60 0 med basen. Find pyramidens rumfang.

3. I bunden af ​​primordium ligger en retvinklet trekant, hvoraf det ene ben er 3 cm, og det tilstødende skarpt hjørne er lig med 300. Alle laterale kanter af pyramiden hælder til bundens plan i en vinkel på 60 0. Find pyramidens rumfang.

4. Centret af fladerne på en terning, hvis kant er lig med 2 -en, tjener som toppunkter for oktaederet. Find dens volumen.

Mulighed 2

1. Find rumfanget af en regulær firkantet pyramide, hvis dens diagonale snit er en regulær trekant med side lig med 1.

2. Pyramidens bund er et rektangel, den ene sideflade er vinkelret på grundplanet, og de tre andre sideflader hælder til grundplanet i en vinkel på 60 0. Pyramidens højde er 3 cm Find pyramidens rumfang.

3. Pyramidens sideflader, ved hvis basis ligger en rombe, hælder til basens plan i en vinkel på 30 0. Diagonalerne på en rombe er 10 cm og 24 cm Find pyramidens rumfang.

4. Til en terning med en kant lig med -en, er et regulært tetraeder indskrevet på en sådan måde, at dets spidser falder sammen med terningens fire spidser. Find rumfanget af tetraederet.

46. ​​Volumen af ​​en kegle

Mulighed 1

1. Diameteren af ​​keglens bund er 12 cm, og vinklen ved aksialsektionens top er 90 0. Find keglens volumen.

2. To kegler har en fælles højde og parallelle baser. Find volumen af ​​deres fælles del, hvis rumfanget af hver kegle er lig med V.

3. Ind i en kegle, hvis volumen er lig med V, en cylinder er indskrevet. Find cylinderens rumfang, hvis forholdet mellem diametrene af keglens bund og cylinderen er 10:9.

4. Hver kant af en regulær 4-gonal pyramide er lig med -en. Et plan parallelt med bunden af ​​pyramiden afskærer den afkortede pyramide fra den. Find rumfanget af en afkortet pyramide, hvis siden af ​​sektionen er lig med b.

Mulighed 2

1. Keglens aksiale sektion er en ligebenet retvinklet trekant med et areal på 9 cm 2. Find keglens volumen.

2. En anden kegle er indskrevet i en kegle på en sådan måde, at midten af ​​bunden af ​​den indskrevne kegle deler højden af ​​denne kegle i forholdet 3:2, regnet fra keglens toppunkt, og toppunktet af den indskrevne kegle. kegle er placeret i midten af ​​bunden af ​​denne kegle. Find forholdet mellem rumfanget af de givne og indskrevne kegler.

3. Bevis, at hvis to lige store kegler har en fælles højde og parallelle grundplaner, så er rumfanget af deres fælles del lig med rumfanget af hver af dem.

4. Radierne af den afkortede kegles baser er 3 cm og 5 cm Find forholdet mellem volumenerne af de dele af den afkortede kegle, som den er delt i af midtersnittet.

47. Kuglens volumen og dens dele

Mulighed 1

1. Find forholdet mellem kuglens rumfang og rumfanget af den terning, der er indskrevet i den.

2. Find forholdet mellem kuglens rumfang og rumfanget af oktaederet beskrevet omkring den.

3. Et plan tegnes i kuglen, vinkelret på diameteren og opdeler det i dele svarende til 3 cm og 9 cm Find rumfanget af kuglens dele.

4. Radius af den sfæriske sektor R, vinklen i det aksiale snit er 120 0. Find volumen af ​​den sfæriske sektor.

Mulighed 2

1. Find forholdet mellem kuglens rumfang og rumfanget af oktaederet indskrevet i den.

2. Find forholdet mellem kuglens rumfang og rumfanget af terningen, der er omskrevet omkring den.

3. I en kugle med en radius på 13 cm tegnes to lige store parallelle sektioner med en radius på 5 cm på modsatte sider af midten Find rumfanget af det resulterende sfæriske lag.

4. Find rumfanget af en sfærisk sektor, hvis radius af dens grundcirkel er 60 cm og kuglens radius er 75 cm.

48. Overfladeareal

Mulighed 1

1. Et plan, der går gennem siden af ​​bunden af ​​et regulært trekantet prisme og midten af ​​den modsatte kant, danner en vinkel på 45 0 med bunden, og siden af ​​bunden er lig med -en. Find prismets laterale og samlede overfladeareal.

2. Pyramidens bund er en firkant, hvis side er lig med -en. To flader af pyramiden er vinkelrette på bunden, og de resterende to sideflader hælder til den i en vinkel på 60 0. Find det laterale overfladeareal af pyramiden.

3. I et regulært firkantet prisme er siden af ​​basen lig med b; sektionen tegnet gennem de modsatte sider af baserne danner en vinkel j med basens plan. Find det laterale overfladeareal af cylinderen omskrevet omkring det givne prisme.

4. Vinklen ved spidsen af ​​keglens aksiale sektion er 60 0; firkant stor cirkel, indskrevet i denne kegle af bolden, er lig med Q

Mulighed 2

1. I et regulært 4-vinklet prisme er siden af ​​basen lig med -en. Et plan trukket gennem modsatte sider af baserne danner en vinkel på 60 0 med en af ​​dem. Find prismets laterale og samlede overfladeareal.

2. De to sideflader af en trekantet pyramide er vinkelrette på dens base; højden af ​​pyramiden er h; Planvinklerne ved toppunktet er 60 0, 60 0 og 90 0. Find det laterale overfladeareal af pyramiden.

3. I et regulært trekantet prisme er sidekanten lig med b; segmentet, der forbinder midten af ​​sidekanten med midten af ​​basen, danner en vinkel j med basen. Find det laterale overfladeareal af cylinderen indskrevet i dette prisme.

4. I en kegle danner generatricen en vinkel på 60 0 med basen; Arealet af den store cirkel af en omskrevet kugle er Q. Find det samlede overfladeareal af keglen.

49. Boldens overflade og dens dele

Mulighed 1

1. Bevis, at det samlede overfladeareal af en ligesidet kegle (aksialt snit er en ligesidet trekant) er lig med overfladearealet af en kugle med en diameter af keglens højde.

2. Find overfladearealet af en kugle indskrevet i en ligesidet cylinder (det aksiale snit er et kvadrat), hvis diagonal af den aksiale sektion er lig med -en.

3. Radierne af bunden af ​​det sfæriske bælte er 10 cm og 12 cm, og dets højde er 11 cm. Find overfladearealet af det sfæriske bælte.

4. Kuglesegmentets radius er lig med R, buen af ​​den aksiale sektion er 90 0. Find det samlede overfladeareal af segmentet.

Mulighed 2

1. Bevis, at hvis en ligesidet kegle (aksialt snit er en ligesidet trekant) og en halvkugle har en fælles base, så er arealet af keglens laterale overflade lig med overfladearealet af halvkuglen.

2. Find forholdet mellem overfladearealerne af to kugler, hvoraf den ene er indskrevet, og den anden er omskrevet om en ligesidet cylinder (det aksiale snit er et kvadrat).

3. Kuglens radius er 25 cm. Find områderne af de dele, hvori boldens overflade er delt af en sektion, hvis areal er 49p cm 2.

4. Højden af ​​kuglesegmentet er h, buen af ​​den aksiale sektion er lig med 120 0. Find det samlede overfladeareal af segmentet.

50. Rektangulært koordinatsystem i rummet

Mulighed 1

1. Konstruer punkter ved hjælp af koordinater: EN(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Blandt disse punkter K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), Q(0,11,-2) find dem, der hører til: a) akse Åh; b) akser Oz; c) fly Oxy; d) fly Oyz.

3. Find koordinaterne for grundfladerne for perpendikulærerne udeladt fra de givne punkter E(6,-2,8) og F(-3,2,-5) på: a) akse Okse; b) fly Oxz.

G.H., hvis G(2,-3,5), H(4,1,-3).

U(8,0,6), V(20.-14.0) i forhold til: a) fly Oyz; b) akser Okse.

Mulighed 2

1. 1. Konstruer punkter ved hjælp af koordinater: E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

2. Blandt punkterne EN(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F(0,10,10) find dem, der hører til: a) akse Okse; b) akser Åh; c) fly Oyz; d) fly Oxz.

3. Find koordinaterne for baserne for de perpendikulære, der er faldet fra punkterne M(9,-1,-6) og N(-12,5,8) på: a) akse Oz; b) fly Oxy.

4. Find koordinaterne for segmentets midtpunkt G.H., hvis G(3,-2,4), H(5,2,-6).

5. Find koordinaterne for punkter, der er symmetriske med punkterne P(0,0,5), V(0,-1,-2) i forhold til: a) plan Oxy; b) akser Åh.

51. Afstand mellem punkter i rummet

Mulighed 1

EN(2,3,4), B(1,2,3), C(3,4,5) ved hjørnerne af trekanten.

Oz M(-1,-2,0) og N(3,0,4).

C(-2,0,3) og: a) radius; b) passerer gennem et punkt K(1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + z 2 – 6x =0.

5. Kugle x 2 + y 2 + z 2 +4x – 2y=0 gennemskåret af et plan Oyz

Mulighed 2

1. Bestem, om punkterne er E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G(-2,-3,-4) ved hjørnerne af trekanten.

2. Find koordinaterne for et punkt, der hører til aksen Åh og lige langt fra punkterne K(1,3,0) og L(4,-1,3).

3. Skriv ligningen ned for en kugle med centrum i punktet C(0,-5,6) og: a) radius 10; b) passerer gennem et punkt H(2,-3,5).

4. Find koordinaterne for kuglens centrum og radius givet af ligningen x 2 + y 2 + z 2 – 8z - 20 =0.

5. Kugle x 2 + y 2 + z 2 +2x – 6z=0 gennemskåret af et plan Oxy. Find koordinaterne for centrum og radius af cirklen, der ligger i snittet.

52. Vektorkoordinater

Mulighed 1

1. Find vektorens koordinater: a) 2 + 3 - 4 ; b) -5 + 10; c) - +.

2. Find længden af ​​vektoren: a) (1,-2,10); b) hvis EN(0,-5,1), B(2,0,-8); c) + if (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Find punktets koordinater C, hvis en)
(-5,6,8), D(0,-1,2); b) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

4. Find tallene x, y, z, så ligestillingen holder =
, hvis (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

Mulighed 2

1. Find vektorens koordinater: a) 3 - 4 + 2 ; b) -2-; V) -.

2. Find længden af ​​vektoren: a) (0,-3,2); b) hvis M(0,-5,1), N(2,0,-8); c) - hvis (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Find punktets koordinater E, hvis: a) (0,-3,11), F(5,-1,0); b) F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

4. Find tallene u, v, w, således at ligheden =
, hvis (-30,6,-12), (5,-6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Punktprodukt af vektorer

Mulighed 1

1. Identificer tegnet prik produkt vektorer og hvis vinklen mellem dem opfylder ulighederne: a) 0 0

2. Vinklen mellem vektorerne og er lig med 90 0. Hvorfor lig med vinklen mellem vektorer: a) - og ; b) - og ?

+
+
= 0.

4. I et regulært tetraeder ABCD med kant lig med 1, find skalarproduktet: a)
; b)
; V)
, Hvor H Og QA.C. Og BD.

Mulighed 2

1. Bestem i hvilket interval vinklen mellem vektorerne og er placeret, hvis: a) > 0.

2. Vinkel mellem vektorer og
er lig med 900. Hvad er vinklen mellem vektorerne: a) og - ; b) - og - ?

3. Bevis ligheden: a) ; b)
=
.

4. I et regulært tetraeder ABCD med en kant lig med -en, find det skalære produkt: a)
; b)
; V)
, Hvor E Og F– henholdsvis midten af ​​ribbenene B.C. Og AD.

54. Ligning af et plan i rummet

Mulighed 1

H(-3,0,7) og vinkelret på vektoren med koordinater (1,-1,3).

2. Find koordinaterne for skæringspunktet for plan 2 x – y + 3z– 1 = 0 med akse: a) abscisse; b) ordinere.

B(3,-2,2) og: a) parallelt med planet Oyz; b) vinkelret på aksen Okse.

M(5,-1,3) og vinkelret på vektoren if N(0,-2,1).

Mulighed 2

1. Skriv ligningen for den plan, der går gennem punktet P(5,-1,0) og vinkelret på vektoren med koordinater (0,-6,10).

2. Find koordinaterne for planens skæringspunkt x + 4y - 6z– 7 = 0 med aksen: a) ordinat; b) ansøg.

3. Skriv planens ligning, hvis den passerer gennem punktet C(2,-4,-3) og: a) parallelt med planet Oxz; b) vinkelret på aksen Åh.

4. Skriv ligningen for den plan, der går gennem punktet E og vinkelret på vektoren (4,-5,0), if F(3,-1,6).

55*. Ligning af en linje i rummet

Mulighed 1

1. Find værdien d, for hvilken den rette linje

krydser aksen Oz.

for at den rette linje: a) skal være parallel med aksen Okse; b) lå i et fly Oxz; c) krydsede aksen Åh.

med koordinatplaner.

Mulighed 2

1. Find værdierne b Og d, for hvilken den rette linje

skærer flyet Oxy.

2. Find de betingelser, som koefficienterne i linjens ligninger skal opfylde

for at den rette linje: a) falder sammen med aksen Oz; b) var parallel med flyet Oyz; c) passeret gennem oprindelsen.

3. Find koordinaterne for linjens skæringspunkter

med koordinatplaner.

4. Skriv linjens parametriske ligninger ned

56. Analytisk tildeling af rumlige figurer

Mulighed 1

x 2 + y 2 +z 2 = 1; b) x 2 = 1; V) xyz = 0.

EN)
b)

3. Der gives point EN(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) og fly
Og , givet henholdsvis ved ligning 2 x – y + z+1 = 0 og x – 5y –13z+1 = 0. For hver af disse planer skal du blandt de givne punkter finde dem, der ligger på samme side af planet som origo.

4. Givet plan 3 x – y +4z O(0,0,0) og D(2,1,0); b) E(1,2,1) og F(5,15,-1)?

Mulighed 2

1. Find ud af hvilken geometrisk figur sætter ligningen: a) x 2 + y 2+(z+1)2 = 1; b) x 2 – y 2 = 0; V) x 2 = 0.

2. Find ud af, hvilken geometrisk figur systemet definerer:

EN)
b)

3. Der gives point E(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) og fly Og , givet henholdsvis ved ligningerne x – 2z+12 = 0 og x + 5y + z+25 = 0. For hver af disse planer skal du blandt de givne punkter finde dem, der ligger på samme side af planet som origo.

4. Givet plan 3 x – y +4z+1 = 0. Ligger punkterne på samme side af det: a) EN(-1,2,-5) og B(-15,1,0); b) K(1,
,5) og L(1,15,-15)?

57*. Polyedre i optimeringsproblemer

Mulighed 1

1. Toppunkterne på tetraederet har følgende koordinater: O(0,0,0), EN(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Skriv ned de uligheder, der karakteriserer det indre område af dette tetraeder.

2. Find det område, der er defineret af følgende system af uligheder:

EN)
b)

Forestil dig hende.

3. Nedskriv et system af uligheder, der bestemmer det indre område af et retvinklet trekantet prisme OABO 1 EN 1 B 1 hvis O(0,0,0), EN(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Tegn den og find dens volumen.

u = x + y – 2z + 1 på det trekantede prisme fra forrige opgave.

Mulighed 2

1. Givet hjørnerne af et tetraeder EN(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Hvilket af punkterne M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) tilhører det indre område af dette tetraeder?

2. Find området defineret af følgende system af uligheder: a)
b)

3. Nedskriv systemet af uligheder, der bestemmer det indre område af tetraederet OABC, hvis O(0,0,0), EN(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Tegn den og find dens volumen.

4. Find de største og mindste værdier af den lineære funktion u= x – y + z – 1 på tetraederet fra forrige opgave.

58*. Polære koordinater på et fly

Mulighed 1

EN(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), E(4, ), F( , ).

2. Skriv punkternes kartesiske koordinater ned G(2, ), H( , ), P(5, ), Q(3,- ).

3. Find de polære koordinater for toppunkterne og skæringspunkterne for diagonalerne i et enhedskvadrat, idet du tager et af dets toppunkter som koordinaternes oprindelse og den side, der går gennem det valgte toppunkt, som polaksen.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), Q(, ) i forhold til: a) den polære akse; b) oprindelsen af ​​koordinater.

Mulighed 2

1. Tegn ind polære system punktkoordinater EN(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), E(2, ), F( , ).

2. Skriv punkternes polære koordinater ned K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Find de polære koordinater for hjørnerne af en regulær sekskant, hvis side er lig med 1, idet du tager en af ​​dens hjørner som udgangspunkt og den side, der går gennem det valgte toppunkt, som polaksen.

4. Find de polære koordinater for punkter, der er symmetriske med punkterne G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) i forhold til: a) oprindelsen af ​​koordinater; b) polær akse.

59*. Kugleformede koordinater i rummet

Mulighed 1

1. Find de kartesiske koordinater for følgende punkter i rummet, specificeret ved sfæriske koordinater: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Find de sfæriske koordinater for følgende punkter i rummet, givet ved kartesiske koordinater: EN(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Find det geometriske sted for punkter i rummet, hvis sfæriske koordinater opfylder betingelserne: a) y = 45 0 ; b) j= 600.

r 2; b) r 1, y 0?

Mulighed 2

1. Find de kartesiske koordinater for følgende punkter i rummet, specificeret ved sfæriske koordinater: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Find de sfæriske koordinater for følgende punkter i rummet, givet ved kartesiske koordinater: EN(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Find det geometriske sted for punkter i rummet, hvis sfæriske koordinater opfylder betingelserne: a) y= 30 0 ; b) j = 900.

4. Hvilken figur i rummet er givet af ulighederne: a) r 1; b) r 1, - j 0?

60*. Brug af computerprogrammet "Matematik" til at skildre rumlige figurer

Mulighed 1

1. Få et billede af et tetraeder.

2. Udfør operationen med trunkering af tetraederet og opnå et oktaeder.

3. Hvordan får man en Kepler-stjerne fra et oktaeder?

z = xy.

Mulighed 2

1. Få et billede af en terning.

2. Udfør operationen med at afkorte terningen og få et cuboctahedron.

3. Hvordan får man et rombisk dodekaeder fra en terning?

4. Få et billede af overfladen z = cos x cos y.

SVAR

Selvstændigt arbejde N 2

I 1. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

I 1. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) V=14, P=21, D=9; c) B= n+1, Р=2 n, Г= n+1. 3. a) 5-gonal; b) 7-gonal; c) 3-gonal. 4. Tre farver. AT 2. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 n, Р=3 n, Г= n+2. 3. a) tetragonal; b) 7-gonal; c) ottekantet. 4. To farver.

I 1. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

I 1. 3. De krydser hinanden. AT 2. 3. Nej. 4. Nej.

I 1. 3. Parallel.

I 1. 2. Udsagn 1), 3), 4) er sande. 4. Hvis AB || CD, At A.C.|| BD; Hvis AB krydser med CD, At A.C. krydser med BD. AT 2. 2. Udsagn 3) er sandt. 4. Hvis AB || CD, At AD Og B.C. krydse; Hvis AB Og CD kors altså AD Og B.C. krydsning.

I 1. 2. 26. 3. a) ; b)
; V)
, Hvor M– midt B.C.. 4. a)
; b); V). AT 2. 2. 24. 3. a)
; b)
; V)
, Hvor M– midt B.A.. 4. a)
; b); V).

I 1. 1.
. 2. Vektor + har samme retning som vektor ; | + | = | | - | |. AT 2. 1.
. 2. Vektor + har samme retning som vektor ; | + |=| | - | |.

I 1. 1. En, hvis den lige linje, der går gennem dem, er parallel med designretningen; to i Ellers. 2. Parallelisme og ligestilling af modsatte sider; halvering af diagonalerne i skæringspunktet. 3. De lige linjer skærer hinanden, og en af ​​dem er parallel med designretningen. AT 2. 1. En, hvis alle punkter tilhører en ret linje parallel med designretningen; to, hvis linjen, der går gennem to af disse punkter, er parallel med designretningen, og det tredje punkt ikke hører til denne linje; tre i andre tilfælde. 2. Parallelisme og ligestilling af modsatte sider; halvering af diagonalerne i skæringspunktet. 3. Den rette linje er ikke parallel med designretningen, og punktet hører til linjen eller planet, der passerer gennem dette punkt, og linjen er parallel med designretningen.

I 1. 3. Terningens flader er ikke parallelle med designplanet, og designretningen er parallel med diagonalen B.D. 4. . AT 2. 1. H=24, P=36, D=14. 4. . 3. Rb; b) y B. 4. a) Ja; b) nej. AT 2. 1. a) Kugle med centrum i punktet (0,0,-1) og radius 1; b) to skærende planer; c) fly Oyz. 2. a) Rektangulær parallelepipedum; b) to skærende linjer, der ligger i et plan Oxy. 3. For : pkt F; for : point E, F, G. 4. a) Ja; b) nej.

I 1. 1.

2. a) Indre område af et tetraeder med hjørner (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); b) det indre område af et rektangulært parallelepipedum med hjørner (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10) , (5,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3.
V = 20. 4. 8 – størst; 3 er den mindste.

AT 2. 1. Points N Og H. 2. a) Arealet mellem to parallelle planer; b) det indre område af et retvinklet trekantet prisme med hjørner (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

(); (); (0, stereometri. Giv eksempler på virkelige objekter... polyedre. Udvikling. Liste grundlæggende begreber Og aksiomer stereometri. Giv eksempler på rigtige genstande...

Retningslinier

46 - 2 Indledning. Vare stereometri. Grundlæggende begreber Og aksiomer stereometri. Første følger fra aksiomer 2 2 ... og icosahedron) 1 § 3*. Aksiomer, love, regler 2 9. Aksiomer stereometri Grundlæggende begreber stereometri(punkt, lige linje, plan, ...

Arbejdsprogram for uddannelseskurset "Geometri"

Arbejdsprogram

... stereometri. Aksiomer stereometri. Nogle følger fra aksiomerne. Hoved Målet er at danne elevernes forestillinger om vigtigste begreber Og aksiomer stereometri, deres...